A5120-Trigonometrie-Anwendungen 1

Mathematik
Trigonometrie
Anwendungen 1 - Lösungen
Für alle Aufgaben gilt:
1.
Winkel und Strecken sind auf eine, Winkelfunktionen auf 4 Nachkommastellen zu runden; nehmen
Sie für Zwischenresultate mit denen Sie weiterrechnen eine Stelle mehr
2.
Erstellen Sie immer eine Skizze von Hand – es sei denn, es ist eine exakte Konstruktion verlangt
Aufgabe 1:
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 12 cm und b = 5 cm.
(Konstruieren Sie das Dreieck ABC – die Seite a ist bereits gezeichnet)
a)
die Ankathete des Winkels α ist:
_b_
die Gegenkathete des Winkels α ist: _a_
die Gegenkathete des Winkels β ist: _b_
die Ankathete des Winkels β ist:
b)
_a_
Berechnen Sie die Hypothenuse c:
c = a2 + b2
c = 144 + 25
c = 13
c)
Berechnen Sie die Winkelfunktionen
sinα , cosα , und tanα
G 12
=
= 0,9231
H 13
A
5
cos α = =
= 0,3846
H 13
G 12
= 2,4000
tan α = =
A
5
sin α =
d)
Berechnen Sie die Winkel α und β :
12
12
α = arc sin
= 67,380 oder α = arctan
= 67,380
13
5
0
0
0
β = 90 − 67,38 = 22,62
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Aufgabe 2:
Berechnen sie ohne TR die Werte sin(42o), cos(42o), tan(42o) und cot(42o) auf zwei
Dezimalen genau durch Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks und Messung der
Seiten auf eine Dezimale genau. Geben Sie zum Vergleich die exakten Werte aus dem TR
an:
G
9,1
=
= 0,67
H 13,5
A
10
cos 420 = =
= 0,74
H 13,5
G 9,1
tan 420 = =
= 0,91
A 10
sin 420 =
TR: sin 420 = 0,67
TR: cos 420 = 0,74
TR: tan 420 = 0,90
Aufgabe 3:
Eine Strasse hat eine Steigung von 20% - welchem Neigungswinkel entspricht das?
arc tan
20
= 11,30
100
Aufgabe 4:
Gegeben ist die lineare Funktion y = 2x + 3. Welchen Winkel bildet der Graf dieser
Funktion mit
a) der x-Achse
b) mit der y-Achse?
Mit der x-Achse:
m = 2 = t an α
α = arc tan 2 = 63,40
Mit der y-Achse:
β = 900 − 63,40 = 26,60
Aufgabe 5:
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In einem rechtwinkligen Dreieck ist b = 20 cm und α = 39o.
Berechnen Sie die anderen beiden Seiten und den Winkel β :
β = 900 − 390 = 510
a
= tan α
│⋅b
b
a = b ⋅ tan α
│Werte einsetzen
0
a = 20 ⋅ tan39
a = 16,20
b
= cos α
c
c
1
=
b cos α
b
c=
cos α
20
c=
cos 390
c = 25,74
│Kehrwert
│
bilden
⋅b
│Werte
einsetzen
Aufgabe 6:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist b = 20 cm und tan β = 1,5.
Berechnen Sie die anderen beiden Seiten und die Winkel α und β :
β = arctan 1,5 = 56,30
α = 900 − 56,30 = 33,70
20
tan β = 1,5 =
a
20
a=
= 13,3
1,5
β = arctan 1,5 = 56,30
Z.B.: c = a2 + b2
2
 20 
c = 20 +  
1,5 
2
c = 24,0
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Aufgabe 7:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse dreimal so lang wie die Kathete a.
Berechnen Sie die Winkel α und β :
A
a
1
=
=
H 3a 3
1
β = arccos = 70,50
3
0
α = 90 − β = 900 − 70,50 = 19,50
cos β =
Aufgabe 8:
a)
Unter welchem Elevationswinkel α
erscheint die Spitze eines 161 m hohen
Doms von einer Stelle aus, die in
horizontaler Richtung e = 150 m vom
Fuss des Turmes entfernt ist? Die
Augenhöhe a beträgt 1.5 m.
159,5
150
159,5
α = arctan
= 46,80
150
tan α =
b) Um wie viele Meter berechnen Sie die Turmhöhe zu niedrig wenn Sie den in a)
gemessenen Winkel α auf das nächste Winkelgrad abrunden?
Also: α = 460, e = 150, v=?
v
tan α =
e
v = e ⋅ tan α
v = 150 ⋅ tan 460
v = 150 ⋅ tan 460 = 155,3
Die Turmhöhe wird um 161 – (155,3 + 1,5) = 4,2 m zu niedrig gemessen
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Aufgabe 9:
Welchen Flächeninhalt hat ein Parallelogramm
(Rhomboid) wenn folgende Grössen gegeben sind:
a) a = 8 cm, d = 10 cm, α = 60o
G ha
=
H
d
ha = d ⋅ sin α
sin α =
Fläche Rhomboid = Grundseite mal Höhe:
A ABCD = a ⋅ ha
A ABCD = a ⋅ d ⋅ sin α
1
3:
remember: sin 600 =
2
1
A ABCD = 8 ⋅ 10 ⋅ sin600 = 80 ⋅
3 = 69,3
2
b)
a = 12 m, b = 7,5 m, β = 125o
1. α = 1800 − β = 1800 − 1250 = 550
2. d = b
3. also: a, d, α bekannt wie in a):
A ABCD = a ⋅ d ⋅ sin α
A ABCD = 12 ⋅ 7,5 ⋅ sin550 = 90 ⋅ sin550 = 73,7
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Aufgabe 10:
Berechnen Sie die Höhenabschnitte p und q
sowie die Höhe h des rechtwinkligen Dreiecks
wenn folgende Grössen gegeben sind:
a)
a = 6 c = 10
b2 64
b = 10 − 6 = 8 Kathetensatz: b = pc p =
=
= 6,4
c
10
q = c − p = 10 − 6,4 = 3,6
2
2
2
h2 = pq h = pq = 6,4 ⋅ 3,6 = 4,8
Höhensatz:
b)
b = 4,5
h
= sin α
b
p
= cos α
b
α = 43,5o
h = b ⋅ sin α
h = 4,5 ⋅ sin 43,50
h = 3,1
p = b ⋅ cos α
p = 4,5 ⋅ cos 43,50
p = 3,3
2
h2 (b ⋅ sin α )
b ⋅ sin2 α
q=
=
=
= 2,9
p
b ⋅ cos α
cos α
2
Höhensatz: h = pq
c)
a = 8 α = 28o
β = 62o
a
a
= 15,046
= tan α ; b =
b
tan α
Pythagoras:
2
2
2
c = a +b a2
c = a +b = a +
= 17,040
tan2 α
a ⋅ b 8 ⋅ 15,05
h=
=
= 7,07
c
17, 04
2
2
2
c ⋅h a⋅b
=
(Dreieckesfläche)
2
2
Kathetensatz: b2 = pc p=
b2 15,0462
=
= 13,29
c
17,040
Kathetensatz: a2 = qc q=
a2
82
=
= 3,76
c
17,040
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d)
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c = 14,5 m β = 48,5o
a
= cos β ; a = c ⋅ cos β
c
Kathetensatz:
Höhensatz:
α = 41,5o
b
= cos α ; b = c ⋅ cos α
c
b2 c 2 ⋅ cos2 α
2
pc = b p =
=
= c ⋅ cos2 α = 8,13
c
c
2
2
a
c ⋅ cos2 β
qc = a2 q =
=
= c ⋅ cos2 β = 6,37
c
c
h = pq h = c ⋅ cos2 α ⋅ c ⋅ cos2 β = c ⋅ cos α ⋅ cos β = 7,20
Ein Tipp:
Da die Geometrie auf konstruktive Weise dieselben Ergebnisse liefert wie die
Trigonometrie, können Sie anstelle einer Skizze gleich die exakte Konstruktion nach den
Kongruenzsätzen durchführen, das dauert nicht wesentlich länger; Sie bekommen dafür
dann eine Kontrollmöglichkeit ob Ihre berechneten Längen und Winkel in etwa stimmen.
Längen stimmen fast auf den Millimeter, Winkel etwa auf ein Grad genau.
Messen Sie die Resultate von d) in der Konstruktion oben nach!
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So dazwischen – zum durchatmen:
Beantworten Sie die Frage jeweils innerhalb von 3 Sekunden nach dem Lesen:
a.
Monikas Vater hat 5 Töchter.
Sie heissen Lala, Lele, Lolo und Lulu – wie heisst die fünfte Tochter?
b.
Sie nehmen an einem Hundertmeterlauf teil.
Sie überholen den Zweiten – auf welchem Platz sind Sie jetzt?
c.
Sie nehmen an einem Hundertmeterlauf teil.
Sie überholen den Letzten – auf welchem Platz sind Sie jetzt?
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Aufgabe 11:
Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge a:
H
G
E
F
a) Berechnen Sie den Winkel α , den die
eingezeichnete Körperdiagonale mit der
vorderen, unteren Kante bildet
b) Berechnen Sie den Winkel β den die
eingezeichnete Körperdiagonale mit der
linken Flächendiagonalen bildet
D
C
A
B
Zuerst die Figur betrachten und nicht drauflos rechnen! Man stellt fest:
ABGH ist ein Rechteck! (Begründen Sie!)
Demzufolge ist β = 900 - α , die Aufgabe b) erübrigt sich also.
Es reicht nun α zu berechnen. Wir wählen ∆ABG und stellen fest, dass ∢ABG ein rechter
Winkel ist.
Kopfgeometrie – ohne das Dreieck in wahrer Grösse zu zeichnen:
Ankathete von α :
Gegenkathete von α :
Hypothenuse:
Strecke AB - Würfelseite s
Strecke BG – Flächendiagonale d = s 2
Strecke AG – Körperdiagonale k = s 3
Also wählen Sie eine Winkelfunktion aus die heute gerade zu Ihrer Stimmung passt und
berechnen Sie mit der entsprechenden Arkusfunktion α :
Beispiel Kosinus:
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A
s
1
=
=
H s 3
3
1
α = arc cos
= 54,740
3
cos α =
und damit
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β = 35,260
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Aufgabe 12:
Berechnen Sie von folgendem Drachenviereck die Fläche A:
3,7 cm
5,8 cm
e
2
112o
m
+
n=f
Sei e die vertikale Diagonale e und die horizontale f; diese sei durch die Diagonale e in
den linken Teil m und den rechten Teil n aufgeteilt.
Wir lenken alle unsere Aufmerksamkeit auf das obere linke Teildreieck (an der Prüfung
machen Sie eine Skizze!) und nennen den Winkel links α .
1.
α misst 56o; da ein Drachenviereck der Diagonalen, die von der anderen NICHT
halbiert wird symmetrisch ist.
e
2.
Mit der Gegenkathete
erhalten wir:
2
e
2 = sin α ; e = 2 ⋅ 3,7 ⋅ sin560 = 6,135
3,7
Mit der Ankathete m erhalten wir:
m
= cos α ; m = 3,7 ⋅ cos560 = 2,069
3,7
Wir lenken alle unsere Aufmerksamkeit auf das obere rechte Teildreieck (an der
Prüfung machen Sie eine Skizze!) und nennen den Winkel rechts β .
e
6,135
2 = tan α ;
2 = 0,529 = tan α ; α = arctan (0,529) = 27,880 (ist aber nicht gefragt;
3.
5,8
5,8
man soll auch nicht zu viel rechnen an einer Prüfung – also Punkt 3 vergessen)
2
4.
5.
e
Pythagoras: n = 5,8 −    2 
2
2
 6,135 2
n = 5,8 − 
= 4,922
 2 
2
Somit ergibt sich für die Diagonale f: f = m + n = 2,069 + 4,922 = 6,991
Wir haben nun die Längen der Diagonalen berechnet:
e = 6,135 und
f = 6,991
Die Fläche des Drachens ergibt sich nun zu:
e ⋅ f 6,135 ⋅ 6,991
A Drachen =
=
= 21,44 cm2
2
2
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Aufgabe 13:
Zürich liegt auf einer geografischen Breite von 47,3o, der Erdradius R beträgt 6370 km.
a) Welchen Umfang hat der Breitenkreis mit Radius r, auf dem Zürich liegt?
Aus der Zusatzskizze können wir entnehmen:
r
A
= = cos 47,50 ; r = R ⋅ cos 47,50
R H
u = 2πr = 2πR cos 47,30 = 2π⋅ 6370 ⋅ 0,6782 = 27142,6 km
b) Mit welcher Geschwindigkeit (km/h) dreht sich Zürich um die Erde?
In 24h einmal rum, dideldum: Ein Dreisatz:
24h
≙
27142,6 km
1h
≙
1130,9 km
Zürich dreht sich mit 1131 km/h um die Erde
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Aufgabe 14:
Jedes regelmässige Vieleck (reguläres n-Eck oder Polygon) besitzt einen Inkreis und
einen Umkreis.
Gegeben ist ein reguläres Fünfeck mit einem Umkreisradius R = 10 cm.
a) Wie gross ist der Zentriwinkel α ?
3600
α=
= 720
5
r
α
R
b) Wie lang ist die Seite s des Fünfecks?
s
Wir betrachten 'einen Zehntel' des Fünfecks:
(Skizze nebenan)
s
s
sin360 = 2 =
; s = 2R sin 360
R 2R
s = 2R sin360 = 1,1756R
c) Wie lang ist der Inkreisradius r?
r
cos 360 = ; r = R cos360 = 0,8090R
R
d) Wie gross ist die Fünfecksfläche A5?
Aus der Skizze ist abzulesen:
s
2R sin360
2R sin360
r
r
Rcos360
1
2
2
2
Fläche des Dreiecks = ∆5 =
=
=
= R2 sin360 cos 360
2
2
2
2
A5 besteht aus 10 solchen Dreiecken:
1
A 5 = sin360 cos 360 ⋅ R2 = 0,5 ⋅ 0,5878 ⋅ 0,8090 = 0,2378R2
2
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Aufgabe 15:
Es soll die Breite b eines Flusses gemessen werden. Zu diesem Zweck wird dem Ufer
entlang eine Standlinie AB = 30 m abgesteckt. Punkt A genau gegenüber (also senkrecht
zur Standlinie) steht ein Baum C, der von B unter dem Winkel ∢ ( ABC) = 340 gesehen
wird.
Sie können's schon bald
auswendig:
b
G
= = tan340
30 A
b = 30 ⋅ tan340 = 20,24 m
Aufgabe 16:
Berechnen Sie den Umkreisradius eines regulären Achtecks mit Seitenlänge s = 5 cm.
Wir betrachten wieder dasselbe Teildreieck wie in Aufgabe 14.
Der Zentriwinkel einer Seite eines Achtecks ist 45o, der Winkel
in nebenstehendem Dreieck die Hälfte davon.
Zu beachten: In Aufgabe 14 war der Umkreisradius gegeben, hier
ist es die Seite.
s
G
s
sin 22,50 = = 2 =
H R 2R
0
2R sin22,5 = s
s
R=
= 1,307s
2 sin 22,50
Nun ist Zeit, diese Formel zu verallgemeinern: Allgemein für ein n-Eck gilt:
1
Rn =
s
 3600  n

2 sin 
 2n 
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Aufgabe 17:
Berechnen Sie den Flächeninhalt eines regulären 9-Ecks mit Seitenlänge s = 25 cm.
Aus nebenstehender Skizze entnehmen wir:
s9
2 = tan 200 und damit ergibt sich:
r9
(die Umformungen sind Ihnen nun geläufig)
s9
r9 =
2 tan 200
Damit ist die Dreiecksfläche:
s9
s9
s9
r9 s r
0
s92
252
∆9 = 2 = 9 9 = 2 tan20 =
=
= 214,6 cm2
0
8 tan20
8 ⋅ 0,3640
2
4
4
Und damit ist die Neunecksfläche (18 mal die Dreiecksfläche):
A 9 = 18 ⋅ 214.6 cm2 = 3862,8 cm2
Abschätzung:
Man nehme die Kreisfläche mit r = r9 :
2
AInkreis
 s9

 25 2



= πr = π 
= π
= 3705,4 cm2
 2 tan 200 
 2 tan 200 
2
9
Diese ist etwas kleiner als die 9-Eck-Fläche
Damit hätten wir den Maturastoff Trigonometrie im Kasten!
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