vorsemester_Ü_A [Kompatibilitätsmodus]
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03.05.2011 Aufgabe 1: Konstruieren Sie ein Dreieck mit a = 5 cm , c = 7 cm und hc = 4 cm. C a = 5 cm A hc = 4 cm L c = 7 cm C B hc = 4 cm a = 5 cm A A 1.) Zeichne die Strecke a = 5 cm. c = 7 cm L 2.) Zeichne den Kreis um C mit dem Radius hc = 4 cm und den Thaleskreis über der Strecke a. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Punkt L. B c = 7 cm 3.) Zeichne die Gerade durch die Punkte B und L und den Kreis um B mit dem Radius c = 7 cm . Der Schnittpunkt der beiden ist der Punkt A. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten für den Punkt A und daher auch zwei nicht kongruente Dreiecke mit obigen Eigenschaften. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 1 Aufgabe 1: Konstruieren Sie ein Dreieck mit a = 5 cm , c = 7 cm und hc = 4 cm. C a = 5 cm A L c = 7 cm hc = 4 cm C B a = 5 cm A hc = 4 cm c = 7 cm L A B c = 7 cm 1.) Zeichne die Strecke hc = 4 cm. 2.) Zeichne die Senkrechte zu dieser Strecke durch L und den Kreis um C mit dem Radius a = 5 cm . Der Schnittpunkt der beiden ist der Punkt B. 3.) s.o. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 2 1 03.05.2011 Aufgabe 2: Konstruieren Sie ein Dreieck mit c = 5 cm , sa = 4,2 cm und sc = 3 cm. C C sc = 3 cm sa = 4,2 cm A Ma S B Mc c = 5 cm S A c = 5 cm Mc B 1.) Zeichne die Strecke c = 5 cm und kennzeichne ihren Mittelpunkt Mc. 2.) Da sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilen, ist S der Schnittpunkt der Kreise um A mit Radius 2,8 cm und um Mc mit Radius 1 cm. 3.) Indem man die Seitenhalbierende sc über S hinaus auf die Länge 3 cm verlängert, erhält man die Ecke C. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 3 Aufgabe 3: Berechnen Sie die Dreiecke mit a = 5 cm , c = 7 cm und hc = 4 cm. C c2 = a2 + b2 - 2 . a . b . cos ( γ ) sin2 ( α ) + cos2 ( α ) = 1 hc = 4 cm A a = 5 cm c = 7 cm L cos ( α ) = c = 7 cm B + 1- sin 2 ( α ) A Das Dreieck ∆ LBC hat an der Ecke L einen rechten Winkel. Daher gilt: sin ( β ) = Gegenkathete Hypotenuse 4 5 = sin ( β ) β = 53 0 = 0,8 Daraus ergibt sich mit Hilfe des Kosinussatzes im Dreieck ∆ ABC : b2 = 52 + 72 - 2 . 5 . 7 . cos ( β ) = 4. 2 b = 32 = 25 + 49 - 70 . = 1 - 0,82 = 32 5,657 cm ( Setzt man für β den gerundeten Wert 53 0 ein, so erhält man b = 5,646 cm ) . Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 4 2 03.05.2011 Aufgabe 3: Berechnen Sie die Dreiecke mit a = 5 cm , c = 7 cm und hc = 4 cm. C sin ( α ) hc = 4 cm a = 5 cm A sin ( β ) = a b A c = 7 cm L sin ( β ) c = 7 cm B β = 53 0 = 0,8 b = 4. 2 = 1. 2 2 5,657 cm Daraus ergibt sich mit Hilfe des Sinussatzes: sin ( α ) 5 0,8 4. 1 sin ( α ) = = = 2 2 α = 45 0 Wegen der Winkelsumme α + β + γ = 180 0 ergibt sich schließlich γ = 82 0 . Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 5 Aufgabe 3: Berechnen Sie die Dreiecke mit a = 5 cm , c = 7 cm und hc = 4 cm. C sin2 ( α ) + cos2 ( α ) = 1 hc = 4 cm cos ( α ) = a = 5 cm A A c = 7 cm L sin ( β ) = 0,8 c = 7 cm B sin ( a + π ) = - sin ( a ) β = 53 0 = sin ( 180 0 - β ) = - sin ( - β ) cos ( β ) = - 1- sin 2 ( α ) sin ( - a ) = - sin ( a ) Für das Dreieck ∆ ABC erhält man wegen sin ( β ) + 1- sin 2 ( β ) β = 180 0 - β = 127 0 = sin ( β ) = 0,8 und damit . Mit den gleichen Umformungen wie zum Dreieck ∆ ABC erhält man dann b = 116 = 10,776 cm , α = 22 0 und γ = 31 0 . Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 6 3 03.05.2011 Aufgabe 3: Berechnen Sie das Dreieck mit c = 5 cm , sa = 4,2 cm und sc = 3 cm. C Nach Kosinussatz gilt im Dreieck ∆ ASMc für den Winkel δ an der Ecke Mc : 2,82 b 2,52 + 12 - 2 . 2,5 . 1 . cos ( δ ) = cos ( δ ) = δ = a - 0,118 S 97 0 δ A Ebenfalls nach Kosinussatz gilt damit im Dreieck ∆ ACMc : b2 = 2,52 + 32 - 2 . 2,5 . 3 . cos ( δ ) b 32 = Mc c = 5 cm = 17,02 = 2,52 + 17,02 - 2 . 2,5 . cos ( α ) = sin ( α ) 4,126 cm a 17,02 . cos ( α ) c2 = B sin ( β ) = b a2 + b2 - 2 . a . b . cos ( γ ) 2,854 17,02 α 46 0 = Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 7 Aufgabe 3: Berechnen Sie das Dreieck mit c = 5 cm , sa = 4,2 cm und sc = 3 cm. C b = 17,02 = 4,126 cm b cos ( α ) 2,854 = α = 46 0 a S 17,02 Schließlich ergibt sich bei Betrachtung des Dreiecks ∆ ABC : a2 = 52 + 17,02 - 2 . 5 . a 17,02 = = 13,48 = Mc c = 5 cm c2 17,02 . cos ( α ) = 52 + 13,48 - 2 . 5 . cos ( β ) A = B a2 + b2 - 2 . a . b . cos ( γ ) 3,672 cm 13,48 . cos ( β ) 2,148 13,48 β = 54 0 γ = 180 0 - α - β = 80 0 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester Ü.1 Folie 8 4
