„Statistik für LMC“ Übungsaufgaben

Dr. U. Römisch
„Statistik für LMC“
Übungsaufgaben - Serie 1
1. Klassifizieren Sie folgende Merkmale:
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



Masse von Broten
Anzahl angeschlagener Äpfel in einer Kiste
Ausbeute eines Stoffes bei einer chem. Reaktion
Biersorten
ph-Wert von Rindfleisch
Eiweißgehalt von Joghurt
Aroma verschiedener Weinsorten
Stammwürzegehalt von Bier
Anzahl der Stillstände einer Flaschenabfüllanlage im Monat
2. Der Wassergehalt von Butter wurde gemessen und ergab folgende Werte (%):
15,05 15,52 15,44 15,35 15,24 14,89 15,47 15,28 15,18 15,39 15,08 15,26 14,78
15,19 15,78 15,02 14,91 15,80 15,26 15,07 15,09 15,24 15,23 15,01 14,99 15,29
a) Man stelle eine sekundäre Häufigkeitstabelle auf (y0 = 14,7 und d= 0,2)!
b) Man stelle die rel. Häufigkeit und die empirische Verteilungsfunktion graphisch dar!
c) Man bestimme den arithm. Mittelwert, den Median, das untere und obere Quartil, die
Spannweite, die empir. Varianz, die Standardabweichung, den Quartilsabstand und
den Variationskoeffizienten!
3. Bei der quantitativen spektrometrischen Bestimmung von Zinn wurden in einer Probe
folgende Gehalte xi (%) ermittelt:
0,192
0,243
0,157
0,255
0,319
Man bestimme den mittleren Zinngehalt (geom. MW) und die Standardabweichung bei
Verwendung der Transformation lg (10 xi)!
Dr. U. Römisch
„Statistik für LMC“
Übungsaufgaben - Serie 2
1. In einer bestimmten Kultur erhöhte sich in 3 Tagen die Zahl der Bakterien pro Einheit von
100 auf 500. Geben Sie die durchschnittliche tägliche Zunahme in % an!
2. Bei 12 Milchproben wurden folgende Keimzahlen [in 10³] gemessen:
5150 26900
285
265
4750
60900
1410
3950
2150
8250
30500
295
Bestimmen Sie das geometrische Mittel und vergleichen Sie dieses mit dem arithmetischen
Mittel!
3. In Polyacrylnitril- Abbauprodukten wurde der restliche Nitrilgehalt auf infrarotspektralphotometrischem Wege bestimmt. Die Proben wurden mittels der KaliumbromidPresstechnik präpariert und für jede Probe wurden 10 Parallelbestimmungen durchgeführt.
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Probe
0.665
0.673
0.625
0.680
0.682
0.674
0.669
0,679
0,691
0,683
2. Probe
0.679
0.691
0.683
0.689
0.687
0.695
0.692
0,689
0,690
0,686
3. Probe
0.630
0.671
0.654
0.642
0.665
0.657
0.692
0,679
0,691
0,683
a) Bestimmen Sie die Mittelwert- und Streuungsmaße, sowie die Quartile und vergleichen
Sie diese!
b) Zeichnen Sie einen multiplen Box- und Whisker-Plot, der die Ergebnisse der drei Proben
enthält und interpretieren Sie diesen!
c) Wie beurteilen Sie die Daten in den drei Proben? Was kann man über die Häufigkeitsverteilungen der einzelnen Proben und der Gesamtprobe sagen?
Dr. U. Römisch
„Statistik für LMC“
Übungsaufgaben - Serie 3
1. Es soll geprüft werden, ob zwischen dem Natrium- und dem Lithiumgehalt von
Wasserproben ein statistischer Zusammenhang besteht. Folgende Werte wurden ermittelt:
xi [mg Na/l]
yi [mg Li/l]
55
0,8
92
1,6
148
1,1
371
1,8
67
1,0
403
3,1
294
1,8
547
2,7
356
2,1
241
1,0
Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie:
a) ein Streudiagramm
b) die Mittelwerte und Varianzen
c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten
d) die Regressionsgleichung
Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre
Ergebnisse!
Bestimmen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von SPEARMAN und vergleichen Sie ihn
mit dem Maßkorrelationskoeffizienten!
2. Zum Kalibrieren der photometrischen Bestimmung von Benzen mittels UV- Spektroskopie
wurden die Extinktionen von 7 Proben bekannten Gehaltes gemessen:
Konz. xi
[g Benzen/ l]
Extinktion yi
0,2
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,2
0,37
0,64
0,93
1,22
1,5
1,8
Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie:
a) ein Streudiagramm
b) die Mittelwerte und Varianzen
c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten
d) die Regressionsgleichung
Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre
Ergebnisse!
Dr. U. Römisch
„Statistik für LMC“
Übungsaufgaben - Serie 4
1. Man bestimme für die folgenden Ereignisse ihre Komplementärereignisse:
A - das Erscheinen zweier Wappen beim Werfen zweier Münzen
B - beim Ziehen einer Kugel aus einer Urne, die 2 weiße, 3 schwarze und 4 rote Kugeln
enthält, wird eine weiße Kugel gezogen
C - bei 3 Schüssen werden 3 Treffer erzielt
D - bei 5 Schüssen wird mindestens 1 Treffer erzielt
E - bei 5 Schüssen werden nicht mehr als 2 Treffer erzielt
F - bei einem Schachspiel gewinnt der erste Spieler
2. Eine Leitung, die 2 im Abstand von 200 m befindliche Punkte A und B miteinander
verbindet, sei an einer unbekannten Stelle gerissen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
sich die Schadensstelle nicht weiter als 45 m vom Punkt A befindet?
3. Ein Fahrgast wartet auf die Straßenbahn Nr. 18 oder 17 an einer Haltestelle, an der 4 Linien
vorbeikommen: Nr. 14, 11, 17, 18. Wir setzen voraus, dass alle Linien gleich oft verkehren.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste an der Haltestelle haltende
Straßenbahn eine vom Fahrgast benötigte Linie ist!
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei
unterscheidbaren Würfeln mit dem einen Würfel eine Augenzahl i  3 und mit dem anderen
Würfel die Augenzahl j = 6 zu würfeln?
5. Von 30 Stillständen einer Flaschenabfüllanlage entstehen 15 beim Auswechseln der
Anpresskonusse, 6 durch einen Defekt des Antriebes und 2 durch die nicht rechtzeitige
Lieferung von Flaschen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Stillstand der
Flaschenabfüllanlage aus anderen Ursachen!
6. 5 Körbe enthalten jeweils 25 Äpfel. Im 1. Korb sind ein, im 2. Korb kein, im 3. Korb zwei,
im 4. Korb ein und im 5. Korb ein angeschlagener Apfel. Aus jedem Korb wird zufällig ein
Apfel ausgewählt.
a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 ausgewählten Äpfel nicht angeschlagen
sind!
b) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 5 ausgewählten Äpfel angeschlagen sind!
c) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der ausgewählten Äpfel
angeschlagen ist!
7. Ein Arbeiter bedient 2 unabhängig voneinander arbeitende Maschinen. Die
Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine im Laufe einer Stunde die Aufmerksamkeit des
Arbeiters nicht erfordert, sei für die 1. Maschine P(A) = 0,4 und für die 2. Maschine
P(B) = 0,3 .
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe einer Stunde keine der beiden
Maschinen die Aufmerksamkeit des Arbeiters erfordert?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens eine der beiden Maschinen die
Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht erfordert?
8. In einer Gemeinde werden drei Brotsorten A, B und C gegessen. Dabei gelten folgende
Wahrscheinlichkeiten:
P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 ; P(C) = 0,3
P(A  B) = 0,2 , P(A  C) = 0,15 ; P(B  C) = 0,1 ; P(A  B  C) = 0,05
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Bewohner dieser Gemeinde
a) die Sorten A oder B oder C verzehrt
b) keine dieser Brotsorten verzehrt
c) nur A verzehrt
d) weder A noch C verzehrt
e) B und C nur gemeinsam verzehrt
f) höchstens zwei der Brotsorten verzehrt
9. In einer Brauerei erwiesen sich 96% der hergestellten Bierflaschen als genießbar (Ereignis
B). Von jeweils 100 genießbaren Bierflaschen konnten im Durchschnitt 75 in die
Güteklasse 1 (Ereignis A) eingeordnet werden.
Es ist die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine in dieser Brauerei hergestellte
Bierflasche genießbar ist und zur Güteklasse 1 gehört.
10. In 2 Käsereien werden Käseecken hergestellt. Die 1. Käserei liefert 70% und die 2.
Käserei 30% der Gesamtproduktion. Im Mittel sind von je 100 Käseecken der 1. Käserei 83
und von je 100 Käseecken der 2. Käserei 63 qualitätsgerecht. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den qualitätsgerechten Käseecken eine aus der 2. Käserei
stammt?
11. Ein Bauer hat 3 Hühner (Erna, Lisa und Moni). Erna ist seine Lieblingshenne, denn sie
liefert im Durchschnitt pro Jahr 40 % des gesamten Eieraufkommens, während Lisa und Moni
nur je 30 % schaffen. Da die Eier ein Mindestgewicht haben müssen, gibt es einen gewissen
Ausschuss K. Bei Erna und Lisa beträgt er jeweils 3 % und bei Moni 5 %.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes Ei von Lisa
stammt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes Ei Untergewicht
hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig entnommenes untergewichtiges
Ei von Lisa stammt?
12. Bei einem Schachturnier ist die Zahl der Spiele auf 150 begrenzt. Wieviel Personen
können höchstens teilnehmen, wenn jeder gegen jeden spielen soll?
Dr. U. Römisch
„Statistik für LMC“
Übungsaufgaben - Serie 5
1. Was ist bei der Auswahl von guten Pfirsichen (p = 0,8) wahrscheinlicher:
a) genau 7 gute Pfirsiche von 8 oder
b) genau 9 gute Pfirsiche von 11 auszuwählen?
2. In einer Käserei sind 5 % der hergestellten Käseecken nicht qualitätsgerecht. Die
Käseecken werden zu je 6 Stück verpackt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
in einer Packung mindestens eine nicht qualitätsgerechte Käseecke ist!
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Abfüllmaschine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet,
beträgt 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das von 3 Abfüllmaschinen
a) genau eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet?
b) mindestens eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet?
c) höchstens eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet?
4. Die Masse M [g] von gewissen Früchten gleicher Art und gleichen Reifegrades sei
normalverteilt mit  = 106 g und  = 3,2 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
beliebig herausgegriffene Frucht
a) eine Masse unter 98 g hat?
b) eine Masse im Intervall (100; 120] g hat?
c) genau 98 g wiegt?
5. Die tägliche Nachfrage an Brot in einer bestimmten Kaufhalle sei eine normalverteilte
Zufallsgröße X  N(500;100) [ME]. Wie groß muss das Angebot an Broten [ME] mindestens
sein, damit die Nachfrage zu 95 % befriedigt werden kann?
6. Die Länge bei der Messung von Käsescheiben sei normalverteilt mit  = 150 mm und
 = 8 mm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebig gemessener Wert
a) um weniger als 10 mm von  abweicht?
b) um mehr als 10 mm von  abweicht?
7. Eine Maschine füllt Tüten. Die Masse der Tüten sei eine normalverteilte Zufallsgröße
X  N(31,4 ; 0,04) [g]. Eine Tüte ist normgerecht gefüllt, wenn X Werte im Intervall
(30,9 ; 31,7] [g] annimmt.
a) Wieviel Prozent der Tüten sind normgerecht gefüllt?
b) Wieviel Prozent der Tüten sind nicht normgerecht gefüllt?
c) Wieviel Prozent der Tüten sind unterdosiert?
d) Wieviel Prozent der Tüten sind überdosiert (zu voll)?
e) Wie müsste die untere Grenze des Toleranzbereiches xu sein, damit nur 0,2 % der
Tüten unterdosiert sind?
f) Welchen Wert müsste die Standardabweichung  haben, damit bei ursprünglichem
Toleranzbereich nur 0,2 % der Tüten unterdosiert sind?
Dr. U. Römisch
„Statistik für LMC“
Übungsaufgaben - Serie 6
1. Aus 100 Weinproben wurde als Mittelwert für den Kaliumgehalt x = 835 [mg/l] bestimmt.
Die Standardabweichung  = 170 [mg/l] sei als bekannt vorauszusetzen. Der Kaliumgehalt sei
normalverteilt. Man bestimme das 95 %- ige Konfidenzintervall für den unbekannten
Erwartungswert!
2. Der Abstand zwischen geschätztem Mittelwert x = 835 [mg/l und dem Erwartungswert 
soll bei Aufg. 1 mit einer Irrtumswahrsch. von  = 0,05 nicht größer als d = 40 [mg/l] sein.
Wie groß muss der Umfang der Stichprobe mindestens gewählt werden?
3. Der zufällige Fehler eines Messgerätes sei normalverteilt mit dem Erwartungswert
 = 0 mm. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Messung der zufällige Fehler um höchstens
20 mm vom Erwartungswert abweicht sei 0,8. Bestimmen Sie die Standardabweichung !
4. Die Feinheit eines Mahlgutes sei normalverteilt. Proben von 10 Siebanlagen ergaben
folgende Feinheitswerte (größere Feinheitswerte entsprechen feinerem Material!):
19,7
21,0
21,4
20,8
20,6
19,5
21,2
19,7
19,8
20,9 .
Es soll geprüft werden, ob
a) das Mahlgut des Tages nur zufällig von der vorgeschriebenen Feinheit 0 = 20
abweicht!
b) das Mahlgut des Tages echt zu fein ist!
Als Irrtumswahrscheinlichkeit ist jeweils  = 0,05 anzunehmen.
5. Zwei Arbeitsgruppen hatten in einer organischen Substanz (Cinchonin) mittels
Mikroanalyse Stickstoff zu bestimmen. Es ergaben sich folgende N- Werte in [%]:
Gr. 1
Gr. 2
9,29
9,53
9,38
9,48
9,35
9,61
9,43
9,68
9,48
9,59
9,37
9,67
9,45
9,63
9,42
9,51
9,40
9,48
9,39
9,49
Der theoretische Stickstoffgehalt lag bei der untersuchten Verbindung bei 0 = 9,51 %
a) Es ist zu prüfen, ob es Mittelwert- und Varianzunterschiede zwischen den
Stickstoffwerten beider Arbeitsgruppen gibt!
b) Vergleichen sie die Ergebnisse beider Arbeitsgruppen mit dem theoretischen
Stickstoffgehalt 0 = 9,51 %. Welche Schlussfolgerungen lassen sich ziehen?
Als Irrtumswahrscheinlichkeit ist jeweils  = 0,05 anzunehmen.