ÜBUNGSAUFGABEN

ÜBUNGSAUFGABEN
zur Lehrveranstaltung
"STATISTIK für Lebensmittelchemiker"
Übungsaufgaben- Serie 1
1. Klassifizieren Sie folgende Merkmale:
- Masse von Broten
- Anzahl angeschlagener Äpfel in einer Kiste
- Ausbeute eines Stoffes bei einer chem. Reaktion
- Biersorten
- ph- Wert von Rindfleisch
- Eiweißgehalt von Joghurt
- Aroma verschiedener Weinsorten
- Stammwürzegehalt von Bier
- Anzahl der Stillstände einer Flaschenabfüllanlage im Monat
2. Der Wassergehalt von Butter wurde gemessen und ergab folgende Werte [%]:
15,05 15,52 15,44 15,35 15,24 14,89 15,47 15,28 15,18 15,39 15,08 15,26 14,78
15,19 15,78 15,02 14,91 15,80 15,26 15,07 15,09 15,24 15,23 15,01 14,99 15,29
a) Man stelle eine sekundäre Häufigkeitstabelle auf (y0 = 14,7 und d = 0,2)!
b) Man stelle die rel. Häufigkeit und die empirische Verteilungsfunktion graphisch dar!
c) Man bestimme den arithm. Mittelwert, den Median, das untere und obere Quartil, die
Spannweite, die empir. Varianz,
die Standardabweichung, den Quartilsabstand und den Variationskoeffizienten!
3. Bei der quantitativen spektrometrischen Bestimmung von Zinn wurden in einer Probe
folgende Gehalte (%) ermittelt:
x1 = 0,192
x2 = 0,243
x3 = 0,157
x4 = 0,255
x5 = 0,319
Man bestimme den mittleren Zinngehalt (geom. Mittel) und die Standardabweichung bei
Verwendung der Transformation lg 10 xi !
Übungsaufgaben- Serie 2
1. In einer bestimmten Kultur erhöhte sich in 3 Tagen die Zahl der Bakterien pro Einheit von 100
auf 500.
Geben Sie die durchschnittliche tägliche Zunahme in % an!
2. Bei 12 Milchproben wurden folgende Keimzahlen [in 10**3] gemessen:
5150 26900 285 265 4750 60900 1410 3950 2150 8250 30500 295
Bestimmen Sie das geometrische Mittel und vergleichen Sie dieses mit dem arithmetischen
Mittel!
3. In Polyacrylnitril- Abbauprodukten wurde der restliche Nitrilgehalt auf infrarotspektralphotometrischem Wege bestimmt.
Die Proben wurden mittels der Kaliumbromid- Preßtechnik präpariert und für jede Probe wurden
10 Parallelbestimmungen durchgeführt.
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Probe
0.665
0.673
0.625
0.680
0.682
0.674
0.669
0,679
0,691
0,683
2. Probe
0.679
0.691
0.683
0.689
0.687
0.695
0.692
0,689
0,690
0,686
3. Probe
0.630
0.671
0.654
0.642
0.665
0.657
0.692
0,679
0,691
0,683
a) Bestimmen Sie die Mittelwert- und Streuungsmaße, sowie die Quartile und vergleichen Sie
diese!
b) Zeichnen Sie einen multiplen Box- und Whisker- Plot, der die Ergebnisse der drei Proben
enthält und interpretieren Sie diesen!
c) Wie beurteilen Sie die Daten in den drei Proben? Was kann man über die
Häufigkeitsverteilungen der einzelnen Proben und der Gesamtprobe sagen?
Übungsaufgaben- Serie 3
3. Es soll geprüft werden, ob zwischen dem Natrium- und dem Lithiumgehalt von Wasserproben
ein statistischer Zusammenhang besteht.
Folgende Werte wurden ermittelt:
xi [mg Na/l]: 55 92 148 371 67 403 294 547 356 241
yi [mg Li/l]: 0,8 1,6 1,1
1,8 1,0
3,1 1,8
2,7
2,1
1,0
- Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie:
a) ein Streudiagramm
b) die Mittelwerte und Varianzen
c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten
d) die Regressionsgleichung
- Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre
Ergebnisse!
- Bestimmen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von SPEARMAN und vergleichen Sie ihn
mit dem Maßkorrelationskoeffizienten!
2. Zum Kalibrieren der photometrischen Bestimmung von Benzen mittels UV- Spektroskopie
wurden die Extinktionen von 7 Proben bekannten Gehaltes gemessen:
Konzentrati
on xi
0,2
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
[g Benzen/ l]
Extinktion yi
0,2
0,37
0,64
0,93
1,22
1,5
1,8
- Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie:
a) ein Streudiagramm
b) die Mittelwerte und Varianzen
c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten
d) die Regressionsgleichung
- Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre
Ergebnisse!
Übungsaufgaben- Serie 4
1. Man bestimme für die folgenden Ereignisse ihre Komplementärereignisse:
A - das Erscheinen zweier Wappen beim Werfen zweier Münzen
B - beim Ziehen einer Kugel aus einer Urne, die 2 weiße, 3 schwarze und 4 rote Kugeln enthält,
wird eine weiße Kugel gezogen
C - bei 3 Schüssen werden 3 Treffer erzielt
D - bei 5 Schüssen wird mindestens 1 Treffer erzielt
E - bei 5 Schüssen werden nicht mehr als 2 Treffer erzielt
F - bei einem Schachspiel gewinnt der erste Spieler
2. Eine Leitung, die 2 im Abstand von 200 m befindliche Punkte A und B miteinander verbindet, sei
an einer unbekannten Stelle gerissen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich die Schadensstelle nicht weiter als 45 m vom Punkt
A befindet?
3. Ein Fahrgast wartet auf die Straßenbahn Nr.18 oder 17 an einer Haltestelle, an der 4 Linien
vorbeikommen: Nr.14, 11, 17, 18.
Wir setzen voraus, daß alle Linien gleich oft verkehren.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die erste an der Haltestelle haltende Straßenbahn
eine vom Fahrgast benötigte Linie ist!
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei unterscheidbaren
Würfeln mit dem 1. Würfel
eine Augenzahl i<=3 und mit dem 2. Würfel die Augenzahl j=6 zu würfeln?
5. Von 30 Stillständen einer Flaschenabfüllanlage entstehen 15 beim Auswechseln der
Anpreßkonusse, 6 durch einen Defekt des Antriebes
und 2 durch die nicht rechtzeitige Lieferung von Flaschen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Stillstand der Flaschenabfüllanlage aus anderen
Ursachen!
6. 5 Körbe enthalten jeweils 25 Äpfel. Im 1. Korb sind ein, im 2. Korb kein, im 3. Korb zwei, im 4.
Korb ein und im 5. Korb ein angeschlagener Apfel.
Aus jedem Korb wird zufällig ein Apfel ausgewählt.
a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß alle 5 ausgewählten Äpfel nicht angeschlagen sind!
b) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß alle 5 ausgewählten Äpfel angeschlagen sind!
c) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens einer der ausgewählten Äpfel
angeschlagen ist!
7. Ein Arbeiter bedient 2 unabhängig voneinander arbeitende Maschinen. Die Wahrscheinlichkeit,
daß eine Maschine im Laufe einer Stunde
die Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht erfordert, sei für die 1. Maschine P(A) = 0,4 und für die
2. Maschine P(B) = 0,3 .
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß im Laufe einer Stunde keine der beiden Maschinen
die Aufmerksamkeit des Arbeiters erfordert?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß wenigstens eine der beiden Maschinen die
Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht erfordert?
8. In einer Gemeinde werden drei Brotsorten A, B und C verzehrt, den folgenden Wahrscheinlichkeiten entsprechend:
P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 ; P(C) = 0,3
P(A und B) = 0,2 , P(A und C) = 0,15 ; P(B und C) = 0,1 ; P(A und B und C) = 0,05
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten, daß ein Bewohner dieser Gemeinde
a) die Sorten A oder B oder C verzehrt
b) keine dieser Brotsorten verzehrt
c) nur A verzehrt
d) weder A noch C verzehrt
e) B und C nur gemeinsam verzehrt
f) höchstens zwei der Brotsorten verzehrt
9. In einer Brauerei erwies sich das Bier in 96% der hergestellten Bierflaschen als genießbar
(Ereignis B). Von jeweils 100 genießbaren Bierflaschen
konnten im Durchschnitt 75 in die Güteklasse 1 (Ereignis A) eingeordnet werden.
Es ist die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, daß eine in dieser Brauerei hergestellte Bierflasche
genießbar ist und zur Güteklasse 1 gehört.
10. In 2 Käsereien werden Käseecken hergestellt. Die 1. Molkerei liefert 70% und die 2. Käserei
30% der Gesamtproduktion.
Im Mittel sind von je 100 Käseecken der 1. Käserei 83 und von je 100 Käseecken der 2. Käserei
63 qualitätsgerecht.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine qualitätsgerechte Käseecke aus der 2.
Käserei stammt?
11. Ein Bauer hat 3 Hühner (Erna, Lisa und Moni). Erna ist seine Lieblingshenne, denn sie liefert
im Durchschnitt pro Jahr 40% des gesamten
Eieraufkommens, während Lisa und Moni nur je 30 % schaffen. Da die Eier ein Mindestgewicht
haben müssen, gibt es einen
gewissen Ausschuß K. Bei Erna und Lisa beträgt er jeweils 3% und bei Moni 5%.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig entnommenes Ei von Lisa stammt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig entnommenes Ei Untergewicht hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig entnommenes untergewichtiges Ei
von Lisa stammt?
12. Bei einem Schachturnier ist die Zahl der Spiele auf 150 begrenzt. Wieviel Personen können
höchstens teilnehmen, wenn jeder gegen jeden spielen soll?
(13. Man zerlege einen Würfel, dessen sämtliche Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, in 1000
kleine Würfel einheitlicher Größe und mische diese.
Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, daß ein zufällig ausgewählter Würfel genau 2
gefärbte Seitenflächen besitzt!)
Übungsaufgaben- Serie 5
1. Was ist bei der Auswahl von guten Pfirsichen (p = 0,8) wahrscheinlicher:
a) genau 7 gute Pfirsiche von 8 oder
b) genau 9 gute Pfirsiche von 11 auszuwählen?
2. In einer Käserei sind 5% der hergestellten Käseecken nicht qualitätsgerecht. Die Käseecken
werden zu je 6 Stück verpackt.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer Packung mindestens eine nicht
qualitätsgerechte Käseecke ist!
3. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Abfüllmaschine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet, beträgt
0,2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von 3 Abfüllmaschinen
a) genau eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet?
b) höchstens eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet?
4. Die Masse M [g] von gewissen Früchten gleicher Art und gleichen Reifegrades sei normalverteilt
mit my = 106 g und sigma = 3,2 g.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine beliebig herausgegriffene Frucht
a) eine Masse unter 98 g hat?
b) eine Masse im Intervall (100; 120] g hat?
c) genau 98 g wiegt?
5. Die tägliche Nachfrage an Brot in einer bestimmten Kaufhalle sei eine normalverteilte
Zufallsgröße X ~N(500;100) [ME].
Wie groß muß das Angebot an Broten [ME] mindestens sein, damit die Nachfrage zu 95%
befriedigt werden kann?
6. Die Länge bei der Messung von Käsescheiben sei normalverteilt mit my = 150 mm und sigma =
8 mm.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebig gemessener Wert
a) um weniger als 10 mm von my abweicht?
b) um mehr als 10 mm von my abweicht?
7. Eine Maschine füllt Tüten. Die Masse der Tüten sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit X ~
N(31,4 ; 0,04) [g].
Eine Tüte ist normgerecht gefüllt, wenn X Werte im Intervall (30,9 ; 31,7] [g] annimmt.
a) Wieviel Prozent der Tüten sind normgerecht gefüllt?
b) Wieviel Prozent der Tüten sind nicht normgerecht gefüllt?
c) Wieviel Prozent der Tüten sind unterdosiert?
d) Wieviel Prozent der Tüten sind überdosiert (zu voll)?
e) Wie müßte die untere Grenze des Toleranzbereiches xu sein, damit nur 0,2% der Tüten
unterdosiert sind?
f) Welchen Wert müßte die Standardabweichung sigma haben, damit bei ursprünglichem
Toleranzbereich nur 0,2 % der Tüten unterdosiert sind?
Übungsaufgaben- Serie 6
1. Aus 100 Weinproben wurde als Mittelwert für den Kaliumgehalt = 835 [mg/l] bestimmt. Die
Standardabweichung σ = 170 [mg/l]
sei als bekannt vorauszusetzen. Der Kaliumgehalt sei normalverteilt.
Man bestimme das 95%- ige Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert!
2. Der Abstand zwischen geschätztem Mittelwert = 835 [mg/l und dem Erwartungswert µy soll
bei Aufg. 1 mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von αlpha = 0,05 nicht größer als d = 40 [mg/l] sein.
Wie groß muß der Umfang der Stichprobe mindestens gewählt werden?
3. Der zufällige Fehler eines Meßgerätes sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µy = 0 mm.
Die Wahrscheinlichkeit, daß bei einer Messung
der zufällige Fehler um höchstens 20 mm vom Erwartungswert abweicht, sei 0,8mm.
Man bestimme die Standardabweichung σ !
4. Die Feinheit eines Mahlgutes sei normalverteilt. Proben von 10 Siebanlagen ergaben folgende
Feinheitswerte (größere Feinheitswerte entsprechen feinerem Material!):
19,7 21,0 21,4 20,8 20,6 19,5 21,2 19,7 19,8 20,9 .
Es soll geprüft werden, ob
a) das Mahlgut des Tages nur zufällig von der vorgeschriebenen Feinheit µ0 = 20 abweicht!
b) das Mahlgut des Tages echt zu fein ist!
Als Irrtumswahrscheinlichkeit ist jeweils αλπηα = 0,05 anzunehmen.
5. Zwei Arbeitsgruppen hatten in einer organischen Substanz (Cinchonin) mittels Mikroanalyse
Stickstoff zu bestimmen. Es ergaben sich folgende N- Werte in [%]:
Gr. 1: 9,29 9,38 9,35 9,43 9,48 9,37 9,45 9,42 9,40 9,39
Gr. 2: 9,53 9,48 9,61 9,68 9,59 9,67 9,63 9,51 9,48 9,49
Der theoretische Stickstoffgehalt lag bei der untersuchten Verbindung bei µψ0 = 9,51 %
a)
Es ist zu prüfen, ob es Mittelwert- und Varianzunterschiede zwischen den Stickstoffwerten
beider Arbeitsgruppen gibt!
b) Vergleichen sie die Ergebnisse beider Arbeitsgruppen mit dem theoretischen Stickstoffgehalt
µ0 = 9,51 %. Welche Schlussfolgerungen lassen sich ziehen?
Als Irrtumswahrscheinlichkeit ist jeweils αlpha = 0,05 anzunehmen.