I. WIEDERHOLUNG ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
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I. WIEDERHOLUNG
1. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit einer geordneten Stichprobe ist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.
2. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten, die gemäß 1. Pfadregel berechnet werden.
Zufallsvariable:
Bei der n-maligen Durchführung eines Versuches mit nur zwei möglichen Ergebnissen
(Ja - Nein, ... ) interessiert man sich oft nur für die Anzahl X der Erfolge, die dabei auftreten. Da die Anzahl X eine vom Zufall abhängige Variable ist, nennt man sie Zufallsvariable.
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Ist eine Funktion, die einer Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit P(X) zuordnet:
f: ℜ d[0;1], y = P(X=xi); i ∈ ℵ +
Verteilungsfunktion:
F: ℜ d[0;1], y = P( X ≤ ( x ) =
∑ f ( xi )
, x∈ℜ
xi ≤ x
heißt Verteilungsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X.
Erwartungswert:
Als Erwartungswert der Zufallsvariablen X bezeichnet man die Zahl
n
E(X) =
=
∑ xi ⋅ P ( X = xi )
i=1
Gewinnerwartung:
Als Erwartungswert der diskreten Gewinnfunktion g(X) bezeichnet man die Zahl
n
∑ g ( xi ) ⋅ P ( X = xi )
E(g(X)) =
i=1
Varianz und Standardabweichung
Als Varianz der Zufallsvariablen X bezeichnet man die Zahl
n
∑ ( xi – μ )
2
V(X) = σ =
2
⋅ P ( X = xi )
i=1
heißt Standardabweichung (Streuung) der Zufallsvariablen X.
Gewinnstreuung
Als Varianz der diskreten Gewinnfunktion g(X) bezeichnet man die Zahl
n
2
V(g(X)) = σ =
∑ [ g ( xi ) – E ( g ( X ) ) ]
2
⋅ P ( X = xi )
i=1
heißt Standardabweichung (Streuung) bzw. Gewinnstreuung von g(X).
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BINOMIALVERTEILUNG
Definition:
Ein aus einer Folge von n Versuchen bestehendes Experiment , bei dem
• jeder Versuch genau zwei mögliche Versuchsausgänge besitzt und
• jeder Versuch unter genau den gleichen Voraussetzungen abläuft,
heißt (n-stufiges) BERNOULLI-Experiment.
Die Wahrscheinlichkeit, daß bei Erfolgswahrscheinlichkeit p die Anzahl X der Erfolge
genau k ist, ist
k
n–k
n
P(X = k) = ⎛ ⎞ ⋅ p ⋅ (1 – p)
⎝ k⎠
k = 0, 1, ..., n
Für die Binomialverteilung mit den Parametern n und p gilt:
E(X) = = n. p
und
V(X) = ² = n.p.(1-p)
Vermischte Beispiele:
1. In einer Lade befinden sich 5 braune und 7 graue Socken. Der Besitzer hat es sehr
eilig, daher greift er ohne zu schauen hinein, nimmt zwei Socken heraus und zieht
sie an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie dieselbe Farbe haben? [0,47]
2. Unter 100 Personen ist erfahrungsgemäß eine Person im Mittel farbenblind.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter zufällig 100 ausgewählten
Personen mindestens zwei Farbenblinde?
b) Wieviele Personen müssen ausgewählt werden, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens eine farbenblinde Person darunter befindet? [26,4 %; 299 Personen]
3. Ein Käufer testet Rechenmaschinen, und zwar 15 Stück. Die Firma gibt an, dass er
mit 1,8 % Ausschussanteil rechnen muss.
a) Wie hoch ist die Kaufwahrscheinlichkeit, wenn er höchstens ein Ausschussstück
zulässt?
b) Wie viele Stück müsste man produzieren lassen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,97 wenigstens ein Ausschussstück dabei ist?
4. Urne I enthält 4 weiße und 2 schwarze Kugeln. Urne II enthält 2 weiße und eine
schwarze Kugel. Urne III enthält 3 weiße Kugeln. Führe folgenden Vorgang durch:
Aus Urne I wird eine Kugel gezogen und in Urne II gelegt, dann wird aus Urne II
eine Kugel gezogen und in Urne III gelegt. Zuletzt wird eine Kugel aus Urne III
gezogen. Ist die zuletzt gezogene Kugel schwarz, dann gewinnt man € 120,-. Ist sie
weiß, gewinnt man nichts.
a) Zeichne ein Baumdiagramm.
b) Die Zufallsvariable X sei der Spielgewinn. Berechne E(X).
c) Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit für Spielbank und Spieler die Chancen
gleich sind?
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5. Eine Maschine produziert CDs mit einem durchschnittlichen Ausschussanteil
von 0,3 %, wobei der Fehler rein zufällig auftritt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Serie von 10 Stück genau
eine CD fehlerhaft ist?
b) Wieviel Stück Ausschuss muss man unter 10 CDs erwarten, und um wieviel
schwankt dieser Wert voraussichtlich nach oben oder unten?
c) Eine nicht defekte CD bringt einen Gewinn von 1 EU, ein Stück Ausschuss einen
Verlust von 2 EU. Mit welchem Gewinn darf man bei einer Produktion von
100000 CDs rechnen?
6. Die Spielstärken zweier Tischtennisspieler verhalten sich wie 6:4
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt bzw. verliert der schwächere Spieler
dreimal hintereinander?
b) Wie oft müssen die beiden gegeneinander spielen, damit B mit 99%iger Sicherheit mindestens einmal gewinnt?
c) Ein Spiel gilt als gewonnen, wenn zwei Sätze hintereinander oder zwei von drei
Sätzen gewonnen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß A ein Spiel
gewinnt?
d) Xn sei die Anzahl der von A gewonnenen Spiele bei n Spielen gegen B.
Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X5 und stelle sie in einem Säulendiagramm dar.
e) Wie viele Siege von A kann man bei 5 Spielen erwarten? (Erwartungswert)
7. In einer Klasse wird ein Vokabeltest angesagt. Sophie möchte schlau sein und
meint, wenn sie nur 40 % der Vokabel lernt, müsste sie die Prüfung bestehen. Der
Professor hat nämlich angekündigt, es reiche ihm für eine positive Beurteilung,
wenn ein Schüler von jeweils 9 Vokabeln 4 wisse.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht Sohie den Test? Berechne Erwartungswert, sowie Varianz und Standardabweichung.
b) Wie viele Vokabel müsste der Professor Sophie fragen, damit sie mit 90%iger
Wahrscheinlichkeit mindestens eines weiß?
8. Die Gendarmerie führt Alkoholkontrollen durch, bei denen im Durchschnitt 15 von
100 Lenkern alkoholisiert sind.
a) An einem Abend werden 30 Lenker überprüft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 3 Lenker alkoholisiert sind?
b) wie viele Lenker müssen aufgehalten werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit
von 99 % mindestens ein alkoholisierter Lenker ertappt wird?
9. Bei einer Lotterie gibt es 500 Lose, davon sind 125 Geldtreffer, 300 Warentreffer
und der Rest Nieten. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass beim Kauf von drei
Losen:
a) alle 3 Lose gewinnen.
b) kein Los gewinnt.
c) ein Geldtreffer, ein Warentreffer und eine Niete in beliebiger Reihenfolge
auftreten.
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d) mindestens ein Treffer enthalten ist.
e) Wie viele Lose müsste man bei gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit kaufen, damit die Wahrscheinlichkeit, einen Geldtreffer zu erhalten, größer als 90 %
wird?
10.Die Schüler aus der Schule X sollen vorschwimmen. 40 % sind aus der 1a-Klasse,
35 % aus der 1b und 25 % aus der 1c. Die Prozentsätze der Nichtschwimmer in
den einzelnen Klassen betragen 2 %, 3 % und 5 %. Beim Vorschwimmen wird
zufällig ein Schüler ausgewählt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieser Schüler Nichtschwimmer?
b) Wie viele Schüler müssen vorschwimmen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 80% einen Nichtschwimmer zu entdecken?
11.Freilandeier werden in Schachteln zu je 6 Stück verkauft. Aus Erfahrung weiß man,
dass beim Transport 4 von 100 Eiern beschädigt werden.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine Schachtel mehr kaputte als ganze
Eier?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in 5 Schachteln höchstens zwei
beschädigte Eier?
c) Wie viele Eier (Schachteln) müssen kontrolliert werden, um mit mehr als 90%iger
Wahrscheinlichkeit mindestens ein kaputtes Ei zu finden?
Ein Konditor hat 20 Schachteln Eier bestellt, nichtwissend, dass sich darunter fünf
Schachteln mit beschädigten Eiern befinden. Für eine Hochzeitstorte benötigt er 4
Schachteln Eier.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens eine Schachtel mit
beschädigten Eiern erwischt?
12.
a) Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer pro Schuss sei 0,35. Ist es wahrscheinlicher, bei sechs Schüssen genau 2 Treffer oder bei 10 Schüssen höchstens
einen Treffer zu machen?
b) In einem Spiel wird zweimal hintereinander gewürfelt. Wird keinmal „6“ geworfen, verfällt der Einsatz von € 9,-. Bei einmal „6“ ist der Reingewinn € 18,-, bei
zweimal „6“ € 72,-. Wie groß ist der Gewinnerwartungswert eines solchen
Spiels?
13.Ein Grafologe behauptet, mit 85 % Wahrscheinlichkeit vorgelegte Schriftproben
identifizieren zu können. Zum Testen seiner Fähigkeiten legt man ihm 5 Schriftproben vor. Man will ihn anstellen, wenn er mindestens 4 von 5 Proben identifiziert.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er
a) angestellt wird.
b) genau 3 Proben richtig erkennt
c) höchstens 4 Proben richtig erkennt.
d) Erstelle rechnerisch und graphisch eine Verteilung.
e) Berechne, wie oft dem Grafologen Schriftproben vorgelegt werden müssen,
damit er sie mit 99%iger Sicherheit richtig zuordnet.
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II. STETIGE ZUFALLSVARIABLE
Bei der Produktion von Bleistiften mit der Soll-Länge 18 cm kann es vorkommen, dass
manche Bleistifte ein wenig kürzer oder länger sind. Die Ist-Länge entspricht also nicht
immer der Soll-Länge. Die Ist-Länge ist eine Zufallsvariable. In der 7. Klasse haben wir
über Zufallsvariablen gesprochen, die einzelne, diskrete Werte annehmen, wie z. B.
die Zahlen von 1 bis 6 beim Werfen eines Würfels. Die Länge eines Bleistiftes kann im
Prinzip alle reellen Werte in einem bestimmten Intervall [a;b] annehmen. Wenn der kürzeste Bleistift 17,5 cm und der längste Bleistift 18,5 cm lang ist, kann die Bleistiftlänge
im Intervall [17,5 ; 18,5] variieren. Eine solche Zufallsvariable bezeichnet man als
stetige Zuffallsvariable.
Misst man auf 1 mm genau, so erhält man eine grobe Klasseneinteilung. In x-Richtung
werden die Bleistiftlängen aufgetragen und in Klassen (=Intervalle) unterteilt. Die relative Häufigkeit, dass die Bleistiftlänge in einem bestimmten Bereich liegt, kann angegeben werden und wird durch die Rechteckfläche über dem Intervall angegeben. Je
genauer man misst, umso genauer wird die Einteilung des Grundintervalls [a;b]. Die
Umrandung der Rechteckflächen ist eine Treppenkurve und die Summe aller
Rechtecksflächen ist 1.
Lässt man die Intervalle immer kleiner werden, so entsteht im „Grenzwert“ aus dieser
Treppenkurve eine Kurve f, die man als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bezeichnet:
Die Wahrscheinlichkeit P( x 1 ≤ X ≤ x 2 ) in einem bestimmten Intervall [x1; x2] berechnet
x2
man als Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mittels
∫ f ( x ) ⋅ dx .
x1
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f:
• f ( x ) ≥ 0 für alle x ∈ ℜ
x2
• f ist integrierbar, d.h.
∫ f ( x ) ⋅ dx
existiert für jedes x 1, x 2 ∈ ℜ
x1
∞
• Die Gesamtfläche unter f ist 1, dh.:
∫ f ( x ) ⋅ dx
= 1
–∞
• Die x-Achse ist Asymptote, d.h.:
lim f ( x ) = 0 und lim f ( x ) = 0
x → –∞
x→∞
Erwartungswert und Streuung einer stetigen Zufallsvariablen
Ist f die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X, so ist
∞
E(X) = μ =
∫ x ⋅ f ( x ) ⋅ dx
–∞
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∞
2
V(X) = σ =
∫ (x – μ)
2
⋅ f ( x ) ⋅ dx
–∞
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Normalverteilung und Standardnormalverteilung
Die durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
1
f: y = ------------------ ⋅ e
σ ⋅ 2π
1 x–μ 2
– --- ⋅ ⎛ ------------⎞
2 ⎝ σ ⎠
festgelegte stetige Verteilung heißt Normalverteilung mit den Parametern μ und σ ,
2
kurz N ( μ ;σ ) - Verteilung. Der Graph von f heißt GAUSSsche Glockenkurve.
Ist insbesondere μ = 0 und σ = 1, so bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunkton statt f mit ϕ und sprechen von der Standardnormalverteilung N(0;1).
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Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit x 1 ≤ X ≤ x 2 in einem bestimmten Intervall
muss das Integral über der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion gebildet werden. Um
x2
1
nicht das komplizierte Integral ∫ ------------------ ⋅ e
σ ⋅ 2π
x1
schränkt man
1 x–μ
– --- ⋅ ⎛⎝ ------------⎞⎠
2
σ
2
⋅ dx
x2
1
⋅e
∫ ---------2π
sich auf die Standardnormalverteilung:
x2
– ----2
berechnen zu müssen, be-
⋅ dx
.
x1
Auch dieses Integral besitzt jedoch keine einfache Stammfunktion und man muss auf
numerische Methoden zurückgreifen. Wir werden in der Folge immer eine Tabelle benutzen. Darin sind die wichtigsten Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
z
Φ(z) =
∫
–∞
t---2
–
1
2
---------⋅ e ⋅ dt
2π
eingetragen.
Der Trick besteht also darin, nicht alle verschiedenen Integrale der verschiedensten
2
Normalverteilungen N ( μ ;σ ) zu berechnen, sondern diese Verteilungen auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen!
Standardisierungsformel:
2
N ( μ ;σ ) → N ( 0 ;1 )
2
N ( 0 ;1 ) → ( Nμ ;σ )
x–μ
z = -----------σ
x= μ+z⋅σ
Vermischte Übungen
1. Die Bruchlast von Kletterkarabinern sei normalverteilt mit einem Mittelwert
μ = 2200 kg, die Standardabweichung betrage 100 kg.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Karabiner zu bekommen, der
bereits bei einer Belastung von 2000 kg bricht?
b) Wieviel % der Produktion liegen zwischen 2000 kg und 2300 kg Bruchlast?
c) Gib ferner eine Toleranzgrenze an, wenn 4 % der Produktion als minderwertiger
Ausschuss nicht ausgeliefert werden.
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2. Der Intelligenzquotient IQ sei eine μ - -normalverteilte Zufallsvariable bei zufälliger
Auswahl einer erwachsenen Person aus der Bevölkerung mit dem Erwartungswert
= 100 und der Standardabweichung = 15.
a) Welchen IQ braucht man, wenn man zu den intelligentesten 1 % der Bevölkerung gehören will?
b) Welchen IQ haben die unintelligentesten 20 % der Erwachsenen?
c) 800 Personen sollen nach dem IQ in Gruppen eingeteilt werden.
Gruppe A: bis 95; Gruppe B: 95 bis 120; Gruppe C: über 120.
Berechne die vermutliche Anzahl der Personen in den einzelnen Gruppen.
d) Gib ein symmetrisches Intervall um
an, in dem die Intelligenzquotienten von
90 % der Bevölkerung liegen.
3. An einer Akademie wird eine Aufnahmsprüfung durchgeführt. Es treten 25 Kandidaten an. Erfahrungsgemäß werden 30 % aufgenommen.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 und höchstens 11 Kandidaten aufgenommen werden.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau 6 Kandidaten aufgenommen werden (ohne Tabelle) und gib die Anzahl der Möglichkeiten an, sechs verschiedene Personen aus 25 auszuwählen.
c) Im ersten Testteil werden jedem Kandidaten fünf Fragen mit je vier möglichen
Antworten gegeben (1 Antwort ist richtig). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
durch blindes Ankreuzen höchstens zwei Fragen richtig zu haben?
4. In einer Bevölkerung sind 17 % aller Männer und 20 % aller Frauen Brillenträger.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 25 Männern mehr als 3 Brillenträger?
b) Aus einer Gruppe von vier Männern und acht Frauen wird eine Person zufällig
ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trägt die Person eine Brille und ist
gleichzeitig eine Frau? (Baumdiagramm!)
c) Wie groß muss eine Gruppe von Männern mindestens sein, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von 75 % mindestens einer von ihnen ein Brillenträger ist?
d) Berechne mit Hilfe der Normalverteilung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der Brillenträgerinnen unter 1000 Frauen zwischen 170 und
230 liegt.
5. Ein Fremdwörterquiz besteht aus 12 Fragen, zu denen jeweils vier Antworten vorgegeben sind. Ein Leser kreuzt zufällig die Antworten an.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
- mindestens neun ,
- höchstens zwei,
- genau jede dritte Frage richtig anstreicht?
b) X sei die Anzahl der richtigen Antworten. Wie groß ist der Erwartungswert und
die Standardabweichung von X?
c) Angenommen, man hätte es nur mit Zufallsratern zu tun. Wie viele Tests müsste
man durchsehen, um mit mindestens 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens
einen Leser zu finden, der keine Antwort richtig hat?
6. Man weiß, dass 8 % aller produzierten Transistoren kaputt sind.
a) Ein Großkunde kauft 900 Stück. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind höchstens
75 Stück kaputt?
b) Herr Maier kauft 12 Stück. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind weniger als zwei
Stück kaputt?
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7. Ein Glücksrad ist in sechs Sektoren geteilt, welche die Zahlen
4
1,2,3 und 4 tragen. Ein Mittelpunktswinkel beträgt 90°, zwei
Mittelpunktswinkel je 45° und drei Mittelpunktswinkel je 60°.
3
2
Das Rad ist so konstruiert, dass es gleichmäßig läuft, aber
3
nicht auf der Trennlinie zwischen zwei Sektoren anhält. Die
1
2
Zahl, auf die der Pfeil nach Stillstand des Rades zeigt, gilt als
gezogen. Die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung einer Zahl
entspricht dem Winkelmaß der ihr zugeordneten Sektoren.
a) Das Rad wird dreimal gedreht. Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit für das
Ziehen einer Zahl X den in der Tabelle angegebenen Wert hat:
X
1
2
3
4
p(X)
1/4
7/24
7/24
1/6
b) Das Rad wird nun dreimal gedreht und die Ergebnisse werden notiert. Berechne
die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Die 2 tritt mindestens zweimal auf.
B: Die Summe der drei gezogenen Zahlen ist 5.
8. In einer Großstadt sind erfahrungsgemäß 6 % aller U-Bahn-Fahrgäste
Schwarzfahrer.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem U-Bahn-Waggon mit 50
Fahrgästen
- genau zwei Schwarzfahrer
- mindestens drei Schwarzfahrer befinden?
b) Wie viele Fahrgäste müsste man kontrollieren, damit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit mindestens ein Schwarzfahrer darunter ist?
c) Ein Kontrolleur überprüft täglich etwa 300 Fahrgäste. Wie viele Schwarzfahrer
wird er im Mittel täglich antreffen? In welchem Bereich liegt mit mindestens
95%iger Sicherheit die Anzahl der Schwarzfahrer, die er an einem Tag antrifft?
d) Wird ein Schwarzfahrer kontrolliert, so muss er einen Fahrschein kaufen und
zusätzlich das 20fache des Fahrpreises als Strafe zahlen
- Wie viel Prozent des Fahrpreises (a €) spart ein Schwarzfahrer auf lange Sicht,
wenn im Mittel 2 % der Fahrgäste kontrolliert werden?
- Wie hoch müsste die Strafe angesetzt werden, damit ein Schwarzfahrer auf die
Dauer kein Geld spart?
9. Eine Blumenhandlung weiß aus Erfahrung, dass beim Transport ungefähr 10 % der
transportierten Rosen beschädigt werden.
a) Ein Kunde wählt 30 Rosen beliebig aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
- keine
- genau zwei
- mindestens zwei Rosen beschädigt sind.
b) Diese Blumenhandlung erhält eine Lieferung von 3000 Rosen. Die Anzahl der
beschädigten Rosen sei normalverteilt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
- 285 bis 310 Rosen beschädigt sind;
- höchstens 270 Rosen beschädigt sind.
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10.Es ist anzunehmen, dass 12 % aller Autofahrer auf einem bestimmten Straßenstück die erlaubte Höchstgeschwindigkeit nicht einhalten. Es wird erwartet, dass in
einer Woche 150 Schnellfahrer ertappt werden.
a) Wie viele Autos müssen kontrolliert werden damit die Erwartung erfüllt wird? Wie
groß ist in diesem Fall die Standardabweichung?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 kontrollierten Autos höchstens
drei Schnellfahrer sind?
c) Es werden in einem Monat 8000 Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1000 Raser erwischt werden?
In welchem Intervall um den Erwartungswert liegt die Zahl der Schnellfahrer mit
95%iger Wahrscheinlichkeit?
11.Ein Gewehr hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 35 %.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Schüssen genau einen Treffer, genau
2 Treffer bzw. mindestens einen Treffer zu erzielen? Stelle die Verteilungsfunktion graphisch dar.
b) Wie oft muss man schießen, damit die Wahrscheinlichkeit, zumindest einmal zu
treffen, 95 % beträgt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Schüssen zumindest 320 und
höchstens 360 Treffer zu erzielen?
12.Von einer Maschine werden Eisenplatten hergestellt. Die Dicke der Platten sei normalverteilt. Der Erwartungswert ist 12 mm, die Standardabweichung 0,03 mm.
Berechne, wieviel % Ausschuss zu erwarten sind, wenn die Platten
a) mindestens 11,97 mm
b) höchstens 12,09 mm stark sein sollen
c) höchstens ± 0,06 mm vom Erwartungswert (Sollwert) abweichen dürfen.
13.Eine Fabrik bezieht Kurzschlussläufer von drei verschiedenen Werken A, B und C
und baut sie in Drehstrommotoren ein. Aus dem Werk A stammen 45 %, aus dem
Werk B 35 % und aus dem Werk C 20 %. Die Werke A, B bzw. C produzieren zu
3 %, 4 % bzw. 5 % fehlerhafte Kurzschlussläufer.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Drehstrommotor einen fehlerhaften
Kurzschlussläufer?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der fehlerhafte Kurzschlussläufer aus
dem Werk A stammt?
14.Bei der Produktion eines Massenartikels gehören im Schnitt 75 % der Güteklasse
1 und 25 % der Güteklasse 2 an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer
Entnahme von 5 Stück
a) genau drei Stück der Güteklasse 1 angehören.
b) mindestens drei Stück der Güteklasse 1 angehören.
c) höchstens drei Stück der Güteklasse 1 angehören.
d) Berechne die Verteilung für die Güteklasse 1 und stelle sie graphisch dar.
15.Die Länge von maschinell hergestellten Schrauben sei normalverteilt mit dem
Erwartungswert
= 225,5 mm und der Streuung = 1,5 mm. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass
a) die Länge der Schrauben zwischen 224 mm und 227,6 mm liegt?
b) die Länge der Schrauben größer als 226 mm ist?
c) die Länge der Schrauben kleiner als 222 mm ist?
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