Folien 2011-10-27

15
10
y
5
–2
2
x
–5
–10
–15
Nullstellen
Häufig interessiert man sich für die Werte der unabhängigen Variable einer Funktion, für die der Funktionswert 0 ist:
98
Sei f : R → R eine Funktion. Ist x0 ∈ D(f )
eine reelle Zahl mit f (x0) = 0, dann heißt x0 eine
Nullstelle von f .
Der folgende Graph skizziert eine Funktion mit drei Nullstellen (3, 1 und −3):
60
40
20
–3
–2
–1
1
2
x
–20
–40
99
3
4
2.3
Elementare Funktionen
Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen)
Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x ∈ [0, 2π]. Alternativ werden die
Argumente der Winkelfunktionen in Winkelgraden angegeben. Hier entspricht
der Winkelgrad α = 360o der Bogenlänge x = 2π, und Anteile am Vollkreiswinkel 360o werden entsprechend in Anteile des Kreisumfangs umgerechnet:
360o
2π
α=
entspricht x =
t
t
π
d.h. die Bogenlänge zum Winkel α ist x =
α.
180
(i) Sinus
Als Winkelfunktion ist die Sinus-Funktion in folgender Weise definiert. Für
einen Winkel α ∈ [0, π2 ] ist sin α = Gegenkathete
Hypothenuse , wobei hier die (Längen
der) Gegenkathete und Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit
Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α ∈ [ π2 , π] ist sin α = sin(π − α). Für
α ∈ [π, 2π] ist sin α = − sin(α − π).
100
Ist x ∈ R, dann schreiben wir x = 2mπ + α mit m ∈ Z, α ∈ [0, 2π), und
setzen sin x = sin α. Dadurch ist die Sinus-Funktion auf ganz R erklärt. Sie
ist periodisch mit Periode 2π, d.h. sin(x + 2π) = sin(x). Ihr Wertebereich
ist
W (sin) = {y ∈ R : −1 ≤ y ≤ 1} = [−1, 1].
π/2 − α
Hypothenuse
Gegenkathete
α
Ankathete
Diese Skizze zeigt noch einmal die Größen, die bei der Definition der trigonometrischen Funktionen eine Rolle spielen.
(ii) Cosinus:
Als Winkelfunktion ist die Cosinus-Funktion in folgender Weise definiert.
Ankathete
Für einen Winkel α ∈ [0, π2 ] ist cos α = Hypothenuse
, wobei hier die (Länge
der) Ankathete bzw. Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit
Scheitelwinkel α gemeint ist. Für α ∈ [ π2 , π] ist cos α = − cos(π − α).
101
–6
–4
1
0.5
–2 –0.50
–1
2
4
6
x
Abbildung 1: Graphen von sin x (rot) und cos x (blau)
Für α ∈ [π, 2π] ist cos α = − cos(α − π).
Ist x ∈ R, dann schreiben wir x = 2mπ + α mit m ∈ Z, α ∈ [0, 2π), und
setzen cos x = cos α.
Auch die Cosinus-Funktion ist periodisch mit Periode 2π. Ihr Wertebereich
ist ebenfalls W (cos) = [−1, 1].
Es gilt
π
sin(x + ) = cos x und
2
102
π
sin(x) = cos(x − )
2
Das bedeutet, dass der Graph der Sinus-Funktion aus dem Graph der
Cosinus-Funktion durch Verschiebung um π/2 nach rechts entsteht.
(iii) Tangens:
Als Winkelfunktion ist die Tangens-Funktion für einen Winkel α ∈ [0, π2 )
definiert als tan α = Gegenkathete
Ankathete wobei hier die (Längen der) Gegenkathete und Ankathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit Scheitelwinkel α
gemeint ist. Es ist also
sin α
tan α =
cos α
Wie vorher wird tan fortgesetzt, diesmal allerdings nur auf den Definitionsbereich D = {x ∈ R : x 6= π2 + m · π, m ∈ Z}, und es ist
tan : D → R , tan x =
sin x
.
cos x
Als Wertebereich ergibt sich W (tan) = R. Der Tangens ist auf den Intervallen (− π2 + zπ, − π2 + zπ), z ∈ Z, streng monoton wachsend.
(iv) Cotangens:
Diese Funktion ist auf D = {x ∈ R | x 6= m · π, m ∈ Z} definiert durch
x
cot x = cos
sin x .
103
10
8
6
y
4
2
–4
–3
–2
–1
1
–2
2
3
4
x
–4
–6
–8
–10
Abbildung 2: Graphen von tan x (rot) und cot x (blau)
Als Wertebereich ergibt sich W (cot) = R. Der Cotangens ist streng monoton fallend auf den Intervallen (zπ, π + zπ), z ∈ Z.
Im folgenden Bild sind die Graphen für den Tangens rot und den Cotangens blau eingezeichnet.
104
Eigenschaften
Funktionen
der
trigonometrischen
1. Einige spezielle Werte sind
0
sin
0
cos
1
tan
0
cot − − −
π/6 π/4 π/3
1
2
√
3
2
√
3
3
√
3
105
√
2
2
√
2
2
1
1
√
π/2
3
2
1
1
2
0
√
√
3 −−−
3
3
0
2. Periodizität:
sin(x + 2π) = sin x , cos(x + 2π) = cos x
3. Symmetrie:
sin(−x) = − sin x , cos(−x) = cos x
(sin ist eine ungerade und cos eine gerade
Funktion.)
4. Satz des Pythagoras: sin2 x + cos2 x = 1.
106
5. Additionstheoreme:
sin(x + y) = sin x · cos y + cos x · sin y
cos(x + y) = cos x · cos y − sin x · sin y
6. Die trigonometrische Funktion tan ist streng
monoton steigend auf (−π/2, π/2) und und
die Funktion cot ist streng monoton fallend
auf (0/π) (und den entsprechend verschobenen Intervallen).
107
7. Verschiebungen um π/2 und π:
sin(x + π2 ) = cos(x)
cos(x − π2 ) = sin(x)
sin(x + π) = − sin(x)
cos(x + π) = − cos(x)
tan(x + π) = tan(x)
tan(x + π2 = − cot(x)
cot(x + π2 = − tan(x)
cot(x + π) = cot(x)
1
tan(x) = cot(x)
.
Treppenfunktionen
Das sind Funktionen, die intervallweise konstant sind; bis auf die konstante Funktion haben solche Funktionen Sprungstellen.
108
•
3
•
2
–3
–2
ο
–1
1
•
ο
0
ο
1
2
ο
3
x
ο
ο
•
Beispiel 2.17
•
•
–1
–2
–3
• Ganzzahliger Anteil: Sei
f : R → R,
f (x) = trunc(x)
wobei für x ∈ R durch trunc(x) der ganzzahlige Anteil von x (Vorkommastelle) bezeichnet sei. Als Wertebereich ergibt sich W (f ) = Z.
• Vorzeichenfunktion:
109
Es sei


1 falls x > 0
sgn : R → R , x 7→
0 falls x = 0

−1 falls x < 0
1ο
0.5
–4
–3
–2
•
–1
1
2
x
–0.5
–1 ο
110
3
4
2.4
Polynome
Eine Funktion P : R → R gegeben durch
P (x) = anxn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0
=
n
X
ak xk ,
k=0
wobei n ∈ N0, ak ∈ R und an 6= 0, heißt Polynom(funktion) vom Grad grad(P (x)) =
n. Die Funktion P (x) = 0 heißt das Nullpolynom. Wir setzen grad(0) = −∞. Die Zahlen
a0, a1, . . . , an heißen die Koeffizienten des Polynoms. Ist an = 1, dann heißt P normiert.
111
60
40
20
–3
–2
–1
1
2
3
x
–20
Abbildung 3: Graph von 2x4 − 10x2 + 3x − 10
Division mit Rest
Seien S(x), T (x) zwei Polynome, T (x) 6= 0.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q(x)
und R(x) mit der Eigenschaft
S(x) = T (x)Q(x)+R(x) und grad(R(x)) < grad(T (x))
Die Polynome Q(x), R(x) werden genauso wie
beim “schriftlichen Dividieren” berechnet. R(x)
heißt Rest von S(x) bei Division durch T (x). Gilt
dabei R(x) = 0, so heißt T (x) ein Teiler von
112
S(x).