VL 2

2. Komplexe Zahlen
2.1
Definition und geometrische Darstellung
Komplexe Zahl
z := x + i y
mit Realteil x =: Re z , Imaginärteil y =: Im z und imaginärer Einheit i. Dabei sind i und –i
die Lösungen der quadratischen Gleichung
z 2 + 1 = 0 , d.h. i 2 = i ⋅ i = −1 .
z := x + i y wird algebraische Darstellung der komplexen Zahl z in der Gauß´schen
Zahlenebene genannt.
Trigonometrische Darstellung der komplexen Zahl z lautet
z = r cos ϕ + i r sin ϕ .
Dabei bedeuten r = x 2 + y 2 =: z = z z * , 0 ≤ r < ∞ der Betrag (Modul) und
arg z = ϕ + 2kπ , − π < ϕ ≤ π , k = 0, ± 1, ± 2, ... das Argument der komplexen Zahl z. Der
Winkel ϕ = arctan
y
wird Hauptwert (Phase) von z genannt.
x
Die komplexe Zahl z*
z* := x − i y
heißt komplex konjugiert zu z.
1
Algebraische und trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl z in der Gauss´schen Zahlenebene unter
Verwendung von ebenen kartesischen (x, y) bzw. ebenen Polarkoordinaten (r, ϕ)
2.2
Die Euler´sche Formel
Aus der Taylor-Reihe der Exponentialfunktion folgt unter Berücksichtigung von i 2 = −1
Taylor−Reihe von sin x
647
4 48
4
3
⎛
⎞
(i x ) (i x ) (i x )
x
x
x
(i x )
= 1+ i x +
+
+
+
+ i ⎜⎜ x − + ...⎟⎟ = cos x + i sin x
ei x = ∑
... = 1 −
n!
2!
3!
4!
! 43
4!
3!
n =0
⎝
⎠
1422
∞
n
2
3
4
2
4
Taylor−Reihe von cos x
die Euler'sche Formel
ei x = cos x + i sin x .
Die Euler´sche Formel beleuchtet den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und
trigonometrischen Funktionen
(
)
1 i x −i x
e +e
e = cos x + i sin x ⎫
2
⎬ →
1 i x −i x
1
e − i x = cos x − i sin x ⎭
sin x =
e −e
= i e − i x − ei x
2i
2
ix
cos x =
(
)
(
)
,
in diesem Sinne entsprechen cos x und sin x dem "geraden bzw. ungeraden Anteil" von ei x .
Das gleiche gilt für die Potenzreihen; Analoges gilt für die Potenzreihen; so kann man sich die
für cos x und sin x gut merken. Der Konvergenzbereich dieser Reihen ist die gesamte reelle
Achse.
2
Ein weiterer interessanter Zusammenhang besteht zwischen den hyperbolischen und den
trigonometrischen Funktionen entsprechend
cosh(ix ) = cos x , sinh(ix ) = sin x , cosh 2 x − sinh 2 x = 1 .
Die Potenzreihenentwicklung von cosh x und sinh x enthält die geraden bzw. die ungeraden
Terme der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion gemäß
cosh x =
1 x −x
d
1
(e + e ) und sinh x =
cosh x = (e x − e − x ) .
2
dx
2
• Die Euler'sche Formel ist oft hilfreich bei der Ableitung von Beziehungen zwischen den
trigonometrischen Funktionen, z.B. der Additionstheoreme:
■
■
cos (3x ) = Re (e i 3 x ) = Re [(cos x + i sin x )3 ] = cos3 x − 3 cos x sin 2 x = 4 cos3 x − 3 cos x
( )
sin (4 x ) = Im e i 4 x = Im [(cos x + i sin x ) 4 ] = 4 cos3 x sin x − 4 cos x sin 3 x =
= 8 cos3 x sin x − 4 sin x cos x
usw.
2.3
Rechenregeln für komplexe Zahlen
Bei Bedarf Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division, Potenzen/Wurzeln komplexer
Zahlen wiederholen und üben (vgl. z.B. Bronstein, Kap. 1.5.3.)
• Multiplikation komplexer Zahlen
- in algebraischerDarstellung: z1 ⋅ z 2 = (a1 + i b1 ) ⋅ (a 2 + i b 2 ) = (a1a 2 − b1b 2 ) + i (a1b 2 + b1a 2 )
3
- in trigonometrischer Darstellung:
strecke / stauche
um r1 bzw . r2
}
r1 r2
z1 ⋅ z 2 = r1 r2 ei ( ϕ1+ϕ2 ) =
[ cos( ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ) ]
14444
4244444
3
drehe z 2 um ϕ1 oder z1 um ϕ2 gegen Uhrzeiger
Produkt z1 z2: drehe Vektor z2 gegen Uhrzeigersinn
um ϕ1 und strecke/stauche um r1
Multiplikation mit imaginärer Einheit i
äquivalent zu Drehung um π / 2
• Analog Division komplexer Zahlen (selbstständig)
• Potenzieren komplexer Zahlen
Unter Verwendung des Euler´schen Satzes finden wir die Formel von Moivre
z n = [ r (cos ϕ + i sin ϕ) ] = (r ei ϕ ) n = r n ei n ϕ = r n [ cos(nϕ) + i sin(nϕ) ]
n
4
• Wurzel aus einer komplexen Zahl (Radizieren)
Mit z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r ei ϕ und arg z = ϕ + 2kπ , − π < ϕ ≤ π , k = 0, ± 1, ± 2, ... hat
1
n
z =n z
→
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ ⎞
⎛
+ i sin
z n = n r ⎜ cos
⎟ , k = 0, 1, 2, ... , n − 1
n
n ⎠
⎝
n verschiedenen Werte. In der Gauss´schen Zahlenebene sind die Punkte zn die Eckpunkte
eines regelmäßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
Beispiele:
■ n-te Wurzel der Gleichung z n = 1 (n-te Einheitswurzel)
(e i ϕ ) n = e i nϕ = 1 ergibt wegen e 2 πk i = 1, k = 0, 1, 2, ... , n − 1
ϕ=
2πk
, k = 0, 1, 2, ... , n − 1 .
n
■
z 2 = 1 → ϕ1 = 0 und ϕ2 = π
■
1
2π
1
4π
(gleichseitiges Dreieck)
z 3 = 1 → ϕ1 = 0 , ϕ2 = 2π ⋅1 =
, ϕ3 = 2 π ⋅ 2 =
3
3
3
3
■
6 Werte für
6
z bilden Eckpunkt eines regelmäßigen Sechsecks
5