A 7-12_Binomialverteilung und Erwartungswert

Mathematik: LehrerInnenteam
Arbeitsblatt 7-12
7. Semester
ARBEITSBLATT 12
12
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik
bekannt (Es sind die Maßzahlen für die Streuung). Der Erwartungswert ist nichts
anderes als der Durchschnittswert.
Beispiel: Es wird mit 2 Würfeln gewürfelt. Was kann im Mittel für die Augensumme X erwartet werden?
Lösung:
Zunächst einmal müssen wir uns wieder alle möglichen Ereignisse veranschaulichen (Wie groß kann also die Augensumme werden).
Ω = {2,3,4,...,12}
Nun berechnen wir uns die Wahrscheinlichkeiten mit der die einzelnen
Ereignisse eintreten. Dazu eine Tabelle aller Möglichkeiten:
1
2
3
4
5
6
Ausfall
des 2.
Würfels
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
Ausfall
des 1.
Würfels
Da jedes einzelne Ergebnis gleichwahrscheinlich eintritt, können wir
wieder unsere einfache Formel P = günstige/mögliche anwenden. In
unserer Tabelle sieht man bereits, dass die Augensumme 7 am häufigsten auftritt. Eine vernünftige Formel sollte uns also diesen Wert liefern.
1
Mathematik: LehrerInnenteam
1
36
3
= 4) =
36
5
= 6) =
36
5
= 8) =
36
3
= 10) =
36
1
= 12) =
36
P ( X = 2) =
P( X
P( X
P( X
P( X
P( X
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7. Semester
2
36
4
P ( X = 5) =
36
6
P ( X = 7) =
36
4
P ( X = 9) =
36
2
P ( X = 11) =
36
P ( X = 3) =
Tragen Sie sich dies am Besten immer in einer Tabelle ein:
X=xi=Augensumme
P(X=xi) Wahrscheinlichkeit für
diese Augensumme
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nun müssen wir uns nur noch den Mittelwert ausrechnen. Dazu interpretieren wir einfach die Wahrscheinlichkeiten wie folgt: Von 36 Würfen ergibt 1 die Augensumme 2.
Wir rechnen also lediglich das gewogene arithmetische Mittel aus, welches wir mit "E" abkürzen.
2
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Arbeitsblatt 7-12
7. Semester
1
2
3
6
1
+ 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ + ... + 12 ⋅ = 7
36
36
36
36
36
Wir sehen also, für den Erwartungswert muss man lediglich jeden möglichen Ausfall mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und diese Werte
addieren. Für diese Summenbildung wurde einfachkeitshalber ein eigenes Symbol eingeführt.
E( X ) = 2 ⋅
Als Erwartungswert der Gewinnfunktion g(x) bezeichnet man die Zahl
n
E ( g ( x )) = x = ∑ g ( x i ) ⋅ P ( X = x i )
i =1
Nun ist aber zusätzlich noch gefragt, wie viel dieser Wert nach oben
und unten voraussichtlich abweicht. Diesen Wert nennt man in der Mathematik die Streuung (Siehe Arbeitsblatt 11). Das übliche Maß dafür ist
die Standardabweichung σ.
Für die Standardabweichung müssen wir uns zunächst noch die Varianz
σ 2 berechnen. Dazu benötigen wir wieder die quadratischen Abweichungen der Ausfälle vom Erwartungswert µ.
Wir arbeiten dazu einfach an unserer obigen Tabelle weiter. Wir fügen
uns eine neue Spalte ein und berechnen die Abweichung jeder Augensumme vom Erwartungswert:
X=xi=Augensumme
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(X=xi) Wahrscheinlichkeit für diese Augensumme
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
3
EMBED
2-7=-5
3-7=-4
4-7=-3
5-7=-2
6-7=-1
7-7=0
8-7=1
9-7=2
10-7=3
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7. Semester
11-7=4
2
36
1
36
Nun quadrieren wir diese Abweichungen:
X=xi=Augensumme P(X=xi) Wahrscheinlichkeit für diese Augensumme
1
2
36
2
3
36
3
4
36
4
5
36
5
6
36
6
7
36
5
8
36
4
9
36
3
10
36
2
11
36
1
12
36
12-7=5
xi − x
( xi − x ) 2
2-7=-5
25
3-7=-4
16
4-7=-3
9
5-7=-2
4
6-7=-1
1
7-7=0
0
8-7=1
1
9-7=2
4
10-7=3
9
11-7=4
16
12-7=5
25
Nun müssen wir nur noch das gewogene arithmetische Mittel der quadratischen Abweichungen bilden, um die Varianz zu erhalten. Wenn wir
uns aber unserer Interpretation der Wahrscheinlichkeit beim Mittelwert
erinnern, heißt dies, dass wir lediglich die quadratischen Abweichungen
mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens multiplizieren müssen und davon die Summe bilden.
1
2
3
2
1
V = 25 ⋅ + 16 ⋅ + 9 ⋅ + ... + 16 ⋅ + 25 ⋅ = 5,83
36
36
36
36
36
Die Standardabweichung ist nun die Wurzel aus der Varianz:
σ = 5,83 = 2,42
Was bedeutet diese Standardabweichung? Sie bedeutet, dass eine
Abweichung von ± 2,42 vom Erwartungswert 7 als „normal“ zu betrachten ist.
4
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7. Semester
Generell ist für die Berechnung des Erwartungswertes also folgende Vorgangsweise angebracht:
•
Fertige eine Tabelle an, in der du in der 1.Spalte alle möglichen Ergebnisse einträgst.
•
Berechne in der 2. Spalte die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis.
•
Nun berechne den Durchschnittswert dieser Ergebnisse. Bilde also das
Produkt aus Ergebnis mal zugehöriger Wahrscheinlichkeit und anschließend die Summe all dieser Produkte.
Für die Standardabweichung ist folgendermaßen weiterzurechnen:
•
Bilde die Differenz zwischen Ergebnis und Mittelwert.
•
Quadriere diese Differenzen.
•
Bilde nun den Durchschnittswert all dieser quadrierten Differenzen. Also
zunächst das Produkt aus quadrierter Differenz mal zugehöriger Wahrscheinlichkeit und bilde dann die Summe all dieser Produkte. Dies nennt
man die Varianz.
•
Ziehe nun die Wurzel aus der Varianz.
Nun definieren wir wieder diese Formeln in allgemeingültiger Form:
Definition: Als Varianz der Zufallsvariablen X bezeichnet man die Zahl
n
V ( X ) = σ 2 = ∑ ( x i − µ ) ⋅ P ( X = x i ) µ...Erwartungswert
2
i =1
σ heißt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsvariablen X.
σ= V
Sehen wir uns dazu noch ein Beispiel an:
Beispiel: Es gibt 100 Lose zu je 1 €; 7 Lose gewinnen: ein 1. Preis = 40 €, zwei
2.Preise zu je 20 €, vier 3. Preise zu je 5 €. Bernhard kauft 2 Lose. Welchen Gewinn mit welcher Streuung darf er erwarten?
Lösung:
Wir sollen also den Erwartungswert für den Gewinn und die Standardabweichung berechnen.
Wir müssen zunächst wieder überlegen, welche Gewinne (da es um
den zu erwartenden Gewinn geht) möglich sind. Dazu überlegen wir
uns zunächst, welche Losziehungen möglich sind. Ich schreibe dabei 1
für einen 1.Preis, 2 für einen 2.Preis, 3 für einen 3.Preis und N für eine Niete:
Ziehung
N,N
N,1
5
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7. Semester
N,2
N,3
1,2
1,3
2,2
2,3
3,3
Nun tragen wir zu jeder möglichen Ziehung den Gewinn ein (Der Kaufpreis der beiden Lose muss dabei natürlich abgezogen werden):
Ziehung Gewinn
N,N
-2
N,1
38
N,2
18
N,3
3
1,2
58
1,3
43
2,2
38
2,3
23
3,3
8
Nun müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis berechnen.
Sehen wir uns die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis N,N an. Wir müssen
also als 1. Los eine Niete ziehen und als 2. Los eine Niete ziehen. Beim
Ziehen des 1.Loses sind 100 Lose vorhanden, wovon 93 Nieten sind. Folg93
lich ist die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen
. Beim Ziehen des
100
2. Loses sind noch 99 Lose vorhanden, wobei 92 davon Nieten sind. Die
92
Wahrscheinlichkeit jetzt eine niete zu ziehen ist also
. Die Wahrschein99
93 92
lichkeit, dass also beides Nieten sind, beträgt:
⋅ = 0,864 .
100 99
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis N,1 wollen, so ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ich in der 1. Ziehung eine Niete ziehe gleich
93
1
und in der 2. Ziehung den 1. Preis gleich
. Aufpassen müssen wir
100
99
jedoch, dass nun 2 Wege dieses Ergebnis bringen. Wir können zuerst die
Niete und dann den 1. Preis oder zuerst den 1. Preis und dann die Niete
ziehen. Folglich müssen wir also die Wahrscheinlichkeit verdoppeln: Sie
93 1
beträgt also: 2 ⋅
⋅
= 0,019 .
100 99
6
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7. Semester
Berechnen Sie nun alle Wahrscheinlichkeiten und tragen Sie diese in ihrer Tabelle ein:
Ziehung
N,N
Gewinn
-2
N,1
38
N,2
18
N,3
3
1,2
58
1,3
43
2,2
38
2,3
23
3,3
8
Wahrscheinlichkeit
93 92
⋅
= 0,864
100 99
93 1
2⋅
⋅
= 0,019
100 99
93 2
2⋅
⋅
= 0,038
100 99
93 4
2⋅
⋅
= 0,075
100 99
1 2
2⋅
⋅
= 0,0004
100 99
1 4
2⋅
⋅
= 0,0008
100 99
2 1
⋅ = 0,0002
100 99
2 4
2⋅
⋅
= 0,0016
100 99
4 3
⋅ = 0,0012
100 99
Der Erwartungswert ist nun der Durchschnitt dieser Gewinne, d.h. wir
multiplizieren jeden Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit und bilden
davon die Summe:
E ( X ) = x = (−2) ⋅ 0,846 + 38 ⋅ 0,019 + 18 ⋅ 0,038 + ... + 8 ⋅ 0,0012 = 0,015
Man kann also praktisch keinerlei Gewinn erwarten. Für die Standardabweichung berechnen wir nun die Differenz zwischen jedem Gewinn
und dem Erwartungswert:
7
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Ziehung
N,N
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Gewinn
-2
Wahrscheinlichkeit Gewinn-E
− 2 − 0,015 = −2,015
93 92
⋅
= 0,864
100 99
38 − 0,015 = 37,985
93 1
N,1
38
2⋅
⋅
= 0,019
100 99
18 − 0,015 = 17,985
93 2
N,2
18
2⋅
⋅
= 0,038
100 99
3 − 0,015 = 2,985
93 4
N,3
3
2⋅
⋅
= 0,075
100 99
58 − 0,015 = 57,985
1 2
1,2
58
2⋅
⋅
= 0,0004
100 99
43 − 0,015 = 42,985
1 4
1,3
43
2⋅
⋅
= 0,0008
100 99
38 − 0,015 = 37,985
2 1
2,2
38
⋅ = 0,0002
100 99
23 − 0,015 = 22,985
2 4
2,3
23
2⋅
⋅
= 0,0016
100 99
8 − 0,015 = 7,985
4 3
3,3
8
⋅ = 0,0012
100 99
Nun quadrieren wir diese Abweichungen:
Ziehung Gewinn Wahrscheinlichkeit Gewinn-E
Quadrat
−
2
−
0
,
015
=
−
2
,
015
93 92
N,N
-2
2,015 2 = 4,06
⋅
= 0,864
100 99
38 − 0,015 = 37,985
93 1
N,1
38
1442,86
⋅
= 0,019
2⋅
100 99
18 − 0,015 = 17,985
93 2
N,2
18
323,46
2⋅
⋅
= 0,038
100 99
3 − 0,015 = 2,985
93 4
N,3
3
8,91
⋅
= 0,075
2⋅
100 99
58 − 0,015 = 57,985
1 2
1,2
58
3362,26
2⋅
⋅
= 0,0004
100 99
43 − 0,015 = 42,985
1 4
1,3
43
1847,71
⋅
= 0,0008
2⋅
100 99
38 − 0,015 = 37,985
2 1
2,2
38
1442,86
⋅ = 0,0002
100 99
23 − 0,015 = 22,985
2 4
2,3
23
528,31
2⋅
⋅
= 0,0016
100 99
8 − 0,015 = 7,985
4 3
3,3
8
63,76
⋅ = 0,0012
100 99
Nun bilden wir wieder den Durchschnittswert dieser quadratischen Abweichungen.:
V = 4,06 ⋅ 0,864 + 1442,86 ⋅ 0,019 + 323,46 ⋅ 0,038 + ...63,76 ⋅ 0,0012 = 47,92 .
Die Wurzel daraus ist nun die Standardabweichung: σ = V = 6,92
8
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Die Binomialverteilung
Ein aus einer Folge von n Versuchen bestehendes Experiment, bei dem
1) jeder Versuch genau zwei mögliche Versuchsausgänge besitzt und
2) jeder Versuch unter genau den gleichen Vorraussetzungen abläuft
(Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten bei jeder Ziehung
gleich bleiben),
heißt BERNOULLI-Experiment.
Ein für diese Verteilung typisches Beispiel ist das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen.
Beispiel: In einer Urne befinden sich 100 Kugeln. 60 Kugeln sind weiß, 40
schwarz. Dreimal wird je eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel
wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau zwei weiße
Kugeln zu ziehen?
Lösung:
Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung, da pro Versuch nur zwei
mögliche Ergebnisse vorliegen (Eine schwarze oder eine weiße Kugel
wird gezogen) und die Wahrscheinlichkeiten pro Versuch gleich bleiben
(Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel ist gleich der
Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel in der 2. Ziehung).
Das typische an diesen Experimenten: Jeder einzelne günstige Weg tritt
mit derselben Wahrscheinlichkeit auf.
P(Weg1)=P(WWS)
P(Weg2)=P(WSW)
P(Weg3)=P(SWW)
Man muss sich also lediglich die Wahrscheinlichkeit für einen Weg ausrechnen und diese mit der Anzahl der günstigen Wege multiplizieren.
Mit p bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen.
Mit q bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen.
9
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7. Semester
60 3
=
100 5
40 2
q=
=
100 5
Beachte: q=1-p
Nun rechnen wir uns die Wahrscheinlichkeit für einen Weg aus.
P(Weg1)=2*WEISZ und 1*SCHWARZ
p=
2
1
3 3 2  3  2 
18
P (Weg1) = ⋅ ⋅ =   ⋅   =
5 5 5  5   5  125
Allgemein: P (Weg1) = p 2 ⋅ q1
Wir müssen jetzt also nur noch die Anzahl der günstigen Wege feststellen. Aus unserem Schaubild ersieht man, dass es drei günstige Wege
gibt. Wir möchten dies aber etwas allgemeiner betrachten:
Eigentlich müssen wir uns lediglich fragen, wie man zweimal weiß und
einmal schwarz anordnen kann. WWS, WSW, SWW Als gibt es drei Möglichkeiten.
Es ist jedoch leicht ersichtlich, dass dieses Auflisten bei 100 maligen Ziehen etwas mühsam wäre. Deshalb gibt es hierfür eine sehr praktische
Formel, um deren Herleitung wir uns weiter nicht kümmern. Die Anzahl
der günstigen Wege, man nennt sie die Kombinationen, berechnet
man mittels des Binomialkoeffizienten.
n
n!
Definition: Binomialkoeffizient:   =
(sprich: n Faktorielle)
 k  k!⋅(n − k )!
Dabei gilt: n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n
Den Binomialkoeffizienten berechnet man also immer wie oben:
6
6!
Wir berechnen zum Beispiel   =
= 15
 2  2!⋅4!
10
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7. Semester
Für unser Beispiel gilt:
n=3 (Anzahl der Ziehungen)
k=2 (Zweimal weiß)
 3
3!
1⋅ 2 ⋅ 3
  =
=
=3
 2  2!⋅(3 − 2 )! 1 ⋅ 2
2
1
54
3  2
P(2 mal weiß)= 3 ⋅   ⋅   =
 5   5  125
n
Allgemein:   ⋅ p k ⋅ q n−k
k 
Satz: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem n-stufigem BERNOULLI-Experiment mit
der "Erfolgs"-Wahrscheinlichkeit p die Anzahl X der "Erfolge" genau k ist, ist
n
n−k
P( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p )
k = 0,1,..., n
k 
Beispiel: Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem durchschnittlichen
Ausschussanteil von 3%, wobei der Fehler rein zufällig auftritt.
a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Serie von 20 Stück
1) kein 2)genau 1 Stück Ausschuss ist?
b)Wie viel Stück Ausschuss muss man unter 20 Stück erwarten, und um wie viel
schwankt dieser Wert voraussichtlich nach oben und unten?
Lösung:
Binomialverteilt ist diese Aufgabe, da es pro Werkstück nur 2 Möglichkeiten gibt( Ausschuss oder kein Ausschuss) und die Wahrscheinlichkeit,
dass das zweite Werkstück Ausschuss ist, gleich ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass das 1. Stück Ausschuss ist.
3
P( Ausschuß ) =
=p
100
97
P(¬Ausschuß ) =
=q
100
0
20
 20   3   97 
a )1)P( X = 0) =   ⋅ 
⋅
 

 0   100   100 
= 1 ⋅ 1 ⋅ 0,54 = 0,54
1
19
 20   3   97 
a )2) P( X = 1) =   ⋅ 
 ⋅

 1   100   100 
20!
=
⋅ 0,03 ⋅ 0,9719
1!⋅19!
= 20 ⋅ 0,03 ⋅ 0,9719 = 0,34
Für die Frage b) dieser Aufgabe, wie viel Ausschuss man erwarten darf, benötigt man intuitiv einen Mittelwert. Mit diesem Mittelwert, in der Stochastik nennt
man ihn Erwartungswert, haben wir uns bereits im beschäftigt. Die Berech11
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7. Semester
nung von Erwartungswert und Standardabweichung ist oft recht rechenintensiv. Für unsere spezielle Verteilung, die Binomialverteilung, gibt es jedoch etwas leichter handhabbare Formeln.
Satz: Für die Binomialverteilung mit den Parametern n und p (bzw. q=1-p) gilt:
E( X ) = µ = n ⋅ p V ( X ) = σ 2 = n ⋅ p ⋅ q
Lösung b)
Bei uns ist n=20 und p=0,03 und q=0,97
Es folgt:
µ = 20 ⋅ 0,03 = 18,6
σ = 20 ⋅ 0,03 ⋅ 0,97 = 4,25
Noch ein Beispiel:
Beispiel: In einer Urne sind 40 rote und 10 blaue Kugeln. Es werden 20 Kugeln
mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
a)Genau 15 rote Kugeln
b)Genau 7 blaue Kugeln
c)Mindestens 2 blaue Kugeln
d)Höchstens 3 blaue Kugeln
gezogen werden.
Lösung:
Die Aufgabe ist binomialverteilt, da pro Ziehung nur 2 Ergebnisse möglich sind (Rote oder blaue Kugel) und die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel stets konstant bleibt (wegen dem Zurücklegen).
40 4
10 1
a) p ( rot ) =
=
q(blau ) =
=
50 5
50 5
15
5
 20   4   1 
P(15rot ) =   ⋅   ⋅   = 0,17
 15   5   5 
7
13
 20   1   4 
b) P(7blau ) =   ⋅   ⋅   = 0,05
 7   5  5
c) Mindestens 2 blaue Kugeln zu ziehen, würde bedeuten, dass ich 2
blaue oder 3 blaue oder 4 blaue usw. Kugeln ziehe. Besser ist es hier mit
der Gegenwahrscheinlichkeit zu arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass
ich mindestes 2 blaue Kugeln ziehe, ist 1 minus der Wahrscheinlichkeit,
dass ich weniger als 2 blaue Kugeln ziehe:
X... Anzahl der blauen Kugeln
P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X < 2)
Weniger als 2 blaue Kugeln bedeutet nun, dass ich keine blaue oder 1
blaue Kugel ziehe. Wir setzen dies ein:
P( X ≥ 2) = 1 − P( X < 2) = 1 − [P( X = 0) + P ( X = 1)]
12
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7. Semester
Nun berechnen wir mittels unserer Formel für die Binomialverteilung diese Wahrscheinlichkeiten:
0
20
 20   1   4 
P( X = 0) =   ⋅   ⋅   = 0,01
 0  5  5 
1
19
 20   1   4 
P( X = 1) =   ⋅   ⋅   = 0,06
 1  5  5
Nun setzen wir ein:
P( X ≥ 2) = 1 − P( X < 2) = 1 − [P( X = 0) + P( X = 1)]
= 1 − (0,01 + 0,06) = 0,93
d) Höchstens 3 blaue Kugeln zu ziehen, bedeutet, dass ich keine, eine,
zwei oder drei blaue Kugeln ziehe:
P ( X ≤ 3) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3)
Die Wahrscheinlichkeiten, dass keine blaue oder 1 blaue Kugel gezogen wird, haben wir bereits in c) ausgerechnet. Wir rechnen nun noch
die beiden anderen Fälle aus:
2
18
 20   1   4 
P( X = 2) =   ⋅   ⋅   = 0,14
 2  5  5
3
17
 20   1   4 
P( X = 3) =   ⋅   ⋅   = 0,21
 3  5  5 
Nun setzen wir ein:
P( X ≤ 3) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) = 0,01 + 0,06 + 0,14 + 0,21 = 0,42
13