Lösungen Blatt 3

Übungen zur Vorlesung Mathe III - Analysis“
”
Musterlösung
Hans-Christian von Bothmer, Henrik Bachmann
WiSe 2015/16
Blatt 2
Thema: Additionstheoreme
Präsenzaufgabe am 04.11.2015 und 05.11.2015
In der Vorlesung wurde für Winkel α, β das folgende Additionstheorem des Sinus bewiesen:
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) .
Aufgabe 1. Berechnen Sie mit Hilfe des Additionstheorem des Sinus den Wert sin
5
Tipp: Es ist 12
π = π4 + π6 .
5
π
12
.
Aufgabe 2. Beweisen Sie die Additionstheoreme für den Kosinus, d.h. Zeigen Sie, dass für
alle Winkel α, β gilt
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) .
Benutzen Sie obige Skizze, wobei die Seite OS die Länge 1 hat, und gehen wie folgt vor:
1. Drücken Sie cos(α + β) mit Hilfe der Seitenlängen OB und P B aus.
2. Betrachten Sie die rechtwinklingen Dreiecke in denen die Seiten OB und P B vorkommen und versuchen Sie diese wiederum auszudrücken mit Hilfe der Seiten OA
und SA .
3. Berechnen Sie die Seiten OA und SA in Abhängigkeit von α und β .
1
Aufgabe 3. Benutzen Sie Aufgabe 2. um zu Zeigen, dass für alle Winkel α, β gilt
cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) .
Lösung:
Aufgabe 1. Mit Hilfe eines gleichschenklingen und eines gleichseitigen Dreiecks kann man
folgende Werte mit dem Satz des Pythagoras bestimmen (siehe Vorlesung):
π √2
π = cos
=
sin
4
4
2
π 1
π √3
sin
= , cos
=
.
6
2
6
2
Eingesetzt in das Additiomstheorem des Sinus erhalten wir
π π 5
sin
π = sin
+
12
4
6
π
π
π
π
= sin( ) cos( ) + cos( ) sin( )
6√
4√
6√
√ 4√
2
3
2 1
6+ 2
·
+
· =
.
=
2
2
2 2
4
Aufgabe 2. (Lösung ohne die Hinweise zu beachten)
Zunächst berechnen wir alle Strecken in dem Bild. Wir beginnen mit dem Dreieck OSA :
Hier gilt
SA
= SA
1
OA
cos β =
= OA
1
sin β =
Damit haben wir alle Seitenlängen in diesem Dreieck. Nun betrachten wir das Dreieck OAB :
Hier gilt:
AB
=⇒ AB = sin α cos β
cos β
OB
cos α =
=⇒ OB = cos α cos β
cos β
sin α =
Jetzt berachten wir das Dreieck SCA :
2
Hier gilt:
CA
=⇒ CA = sin α sin β
sin β
SC
cos α =
=⇒ SC = cos α sin β
sin β
sin α =
Als letztes betrachten wir das Dreieck OSP :
Hier gilt:
SP
= SP
1
OP
cos(α + β) =
= OP
1
sin(α + β) =
Wir suchen cos(α + β) und beobachten dass dies grade die Strecke OP ist. Nun möchten
wir diese Stecke als Differenz von anderen Strecken schreiben. Tatsächlich ist
OP = OB − P B
Im Dreieck OBA kann man
OB = cos α cos β
ablesen. Nun ist P B genauso lang wie CA weil dies gegenüberliegende Seiten in einem
Rechteck sind. Im Dreieck SCA kann man dann
P B = CA = sin α sin β
ablesen. Zusammen erhalten wir
cos(α + β) = OP = OB − P B = cos α cos β − sin α sin β
wie gewünscht.
Aufgabe 2. (mit Beachtung der Lösungshinweise)
1. In dem rechtwinkligen Dreieck OP S kann man ablesen, dass cos(α + β) = OP und
somit
cos(α + β) = OP = OB − P B .
3
2. Die Seite OB ist eine Kathete des Dreiecks OBA und in diesem Dreieck erhält man
sin(α) = OB
und somit
OA
OB = sin(α) · OA .
Die Seite P B ist genau so lang wie die Seite CA . Diese ist Kathete des rechtwinklingen
also
Dreiecks CAS und dort gilt sin(α) = CA
SA
P B = CA = sin(α) · SA .
Somit haben wir bisher zusammen mit 1. :
cos(α + β) = sin(α) · OA − sin(α) · SA .
3. Die Seite OA ist eine Kathete im rechtwinkligen Dreieck OAS und es gilt cos(α) =
OA
= OA , da OS = 1 . Die Seite SA ist die andere Kathete in diesem Dreieck und
OS
es gilt sin(β) = OA
= OA . Eingesetzt in die letzte Formel in 2. erhalten wir somit
OS
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) .
Aufgabe 3. Zunächst ist aus der Vorlesung bekannt, dass sin(−β) = − sin(β) und cos(−β) =
cos(β) . Wir nutzen nun die Formel aus Aufgabe 2. indem wir dort β durch −β ersetzen.
Dies ergibt
cos(α − β) = cos(α + (−β))
2.
= cos(α) cos(−β) − sin(α) sin(−β)
= cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) .
4