Lösungen Trigonometrie

Crash-Course Physik
Vorlesung 1
Trigonometrie: Lösungen
21. September 2016
1. Notiere für die folgenden vier rechtwinkligen Dreiecke die An- und Gegenkathete des
jeweils eingetragenen Winkels:
a
f
d
b
c
α
β
e
Ankathete von α ist b,
Gegenkathete ist a.
Ankathete von β ist e,
Gegenkathete ist d.
h
γ
i
δ
g
m
l
k
Ankathete von γ ist h,
Gegenkathete ist g,
Ankathete von δ ist l,
Gegenkathete ist k.
2. Gib bei denselben Dreiecken für jede der drei Winkelfunktionen sin, cos und tan des
jeweils angegebenen Winkels das entsprechende Seitenverhältnis an.
Links oben:
a
c
b
cos α =
c
a
tan α =
b
sin α =
Links unten:
g
sin γ =
i
h
cos γ =
i
g
tan γ =
h
Rechts oben:
d
f
e
cos β =
f
d
tan β =
e
sin β =
Rechts unten:
k
m
l
cos δ =
m
k
tan δ =
l
sin δ =
3. Zusatzaufgabe: Konstruktive Ermittlung der trigonometrischen Funktionen
(a) Trage auf einem Viertelkreis die Winkel 0, 10, 20, . . . , 90 Grad ein und zeichne
jeweils das rechtwinklige Dreieck ein, wie es untenstehend am Beispiel von 40
Grad gezeigt ist.
40 Grad
(b) Miss für jeden Winkel die drei Seiten des aufgespannten rechtwinkligen Dreiecks
in mm und trage die Werte in einer Tabelle ein.
(c) Bilde für die Winkelfunktionen sin, cos, tan und cot die entsprechenden Seitenverhältnisse und trage sie auch in der Tabelle ein.
(d) Stelle schliesslich die Werte der Verhältnisse als Funktion des Winkels in einer
Grafik dar.
4. Berechne in den folgenden drei rechtwinkligen Dreiecken jeweils die fehlenden Grössen
und überprüfe dein Resultat mithilfe des Satzes von Pythagoras.
C
γ
b = 8.1
A
a
α
α = 29.7◦
B
c
a
b
c
cos α =
b
c
sin γ =
b
sin α =
⇒
a = b sin α = 4.0 ,
⇒
c = b cos α = 7.0 ,
c
γ = arcsin = 60.3◦ .
b
⇒
Überprüfung:
• Die Summe der Winkel in einem Dreieck muss 180◦ betragen, d.h. α + γ = 90◦
• Gemäss Pythagoras muss a2 + c2 = b2 gelten, d.h. 4.02 + 7.02 = 8.12
X
X
C
γ
a
β = 20.6
◦
b
A
β
c = 8.0
B
b
c
c
cos β =
a
c
tan γ =
b
⇒
tan β =
⇒
⇒
b = c tan β = 3.0 ,
c
a=
= 8.5 ,
cos β
c
γ = arcsin = 69.4◦ .
b
Überprüfung:
• Die Summe der Winkel in einem Dreieck muss 180◦ betragen, d.h. β + γ = 90◦
• Gemäss Pythagoras muss b2 + c2 = a2 gelten, d.h. 3.02 + 8.02 = 8.52
X
X
C
a = 4.1
b = 6.8
A
β
α
c
a
b
b
cos α =
c
b
tan β =
a
tan α =
⇒
α = arctan
⇒
c=
⇒
B
a
= 31.1◦ ,
b
b
= 7.9 ,
cos α
b
β = arctan = 58.9◦ .
a
Überprüfung:
• Die Summe der Winkel in einem Dreieck muss 180◦ betragen, d.h. α + β = 90◦
• Gemäss Pythagoras muss
a2
+
b2
=
c2
gelten, d.h.
4.12
+
6.82
=
7.92
X
X
5. Berechne den Umfang des folgenden Vierecks und bestimme soweit wie möglich alle
unbekannten Längen und Winkel. Gegeben seien a = 8 LE, γ = 53.5◦ und δ = 104◦
mit einem rechten Winkel bei B, sowie b und d parallel zueinander.
C
γ0
c
γ
D
δ
b
e
d
γ
A
α
·
a
B
• Wir berechnen zuerst den Winkel α = 90◦ − γ = 36.5◦ .
• Dann die Seite b mithilfe des Sinussatzes:
a
b
=
sin γ
sin α
⇒
b=a
sin α
= 5.92 LE .
sin γ
• Nun die Diagonale e mithilfe von Pythagoras
p
e = a2 + b2 = 9.95 LE
oder mittels des Sinussatzes
a
e
=
sin γ
sin 90◦
⇒
e=a
⇒
c=e
sin 90◦
= 9.95 LE .
sin γ
• Jetzt c mithilfe des Sinussatzes
c
e
=
sin γ
sin δ
sin γ
= 8.24 LE .
sin δ
• Schliesslich den Winkel γ 0 = 180◦ − γ − δ = 22.5◦ sowie die Seite d mit dem
Sinussatz
e
d
sin γ 0
=
⇒
d
=
e
= 3.93 LE .
sin δ
sin γ 0
sin δ
• Dann haben wir für den Umfang U = a + b + c + d = 26.09 LE.
6. Gegeben sei ein allgemeines Dreieck mit den Seitenlängen a = 5cm, b = 6cm und
c = 7cm. Berechne die Grösse der Innenwinkel und überprüfe, ob ihre Summe 180◦
beträgt.
• Wir bezeichnen die den Seiten a, b, c gegenüberliegenden Winkel mit α, β, γ.
• Mithilfe des Cosinussatzes
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
finden wir (Einheit cm)
cos α =
a2 − b2 − c2
b2 + c2 − a2
62 + 7 2 − 52
=
=
= 0.71 .
−2bc
2bc
2·6·7
Die Umkehrfunktion des Cosinus ergibt dann den Winkel α,
α = arccos
b2 + c2 − a2
= arccos 0.71 = 44.4◦ .
2bc
• Mithilfe des Sinussatzes erhalten wir
a
sin α
=
b
sin β
⇒
sin β =
b · sin α
6 · sin 44.4◦
=
a
5
und daraus mit der Umkehrfunktion des Sinus
β = arcsin
b · sin α
= 57.1◦ .
a
• Wir benutzen noch einmal den Sinussatz
a
sin α
=
c
sin γ
⇒
sin γ
und daraus
γ = arcsin
c · sin α
7 · sin 44.4◦
=
a
5
c · sin α
= 78.5◦ .
a
• Die Summe der Winkel beträgt tatsächlich α + β + γ = 44.4◦ + 57.1◦ + 78.5◦ =
180◦ X.
7. Umrechnung von Winkelmassen
(a) Erstelle eine Tabelle mit den Einträgen 0◦ , 20◦ , 40◦ , . . . , 360◦ und bestimme zu
jedem Eintrag den Winkel im Bogenmass. Drücke das Bogenmass jeweils auch
in Einheiten von π aus.
(b) Erstelle eine Tabelle mit den Einträgen 0, π/4, 2 · π/4, . . . , 2π und bestimme zu
jedem Eintrag den Winkel im Gradmass.
Gradmass
Winkelmass
Bogenmass
(auf 3 Stellen ger.)
0◦
20◦
40◦
45◦
60◦
80◦
90◦
100◦
120◦
135◦
140◦
160◦
180◦
200◦
220◦
225◦
240◦
260◦
270◦
280◦
300◦
315◦
320◦
340◦
360◦
0.000
0.349
0.698
0.785
1.047
1.396
1.571
1.745
2.094
2.356
2.443
2.793
3.142
3.491
3.840
3.927
4.189
4.538
4.712
4.887
5.236
5.498
5.585
5.934
6.283
0
π/9
2π/9
π/4
π/3
4π/9
π/2
5π/9
2π/3
3π/4
7π/9
8π/9
π
10π/9
11π/9
5π/4
4π/3
13π/9
3π/2
14π/9
5π/3
7π/4π
16π/9
17π/9
2π
(c) Berechne die Werte der Winkel 47◦ , 112◦ , −55◦ , 222◦ im Bogenmass.
Gradmass
Bogenmass
47◦
47π/180
0.820
112◦
28π/45
1.955
−55◦
−11π/36
−0.960
222◦
37π/30
3.875
(d) Berechne die Werte der Winkel 5.15, 1.20, −0.35, 2.75 im Gradmass.
Bogenmass
Gradmass
5.15
295.07◦
1.20
68.75◦
−0.35
−20.05◦
2.75
157.56◦
U. Wenger