Physik III Übung 10

Physik III
Übung 10 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WiSe 2012
Stand: 11.02.2013
Die folgenden Aufgaben behandeln Stoff der letzten “Vorlesungswoche” vor dem Jahreswechsel
und allgemeine Wiederholungsaufgaben. Sie sind nicht Bonus-relevant (müssen nicht vorgerechnet oder abgegeben werden). Eine gewisse Relevanz für die Klausur ist aber nicht auszuschließen.
Wer möchte, kann Ergebnisse am Montag, den 14.01.2013 abgeben. Diese werden dann korrigiert. Dies ist aber freiwillig.
Stofflicher Einschub:
Das Auge hat ein begrenztes Auflösungsvermögen. Es kann zwei Objekte getrennt auflösen,
wenn das zentrale Beugungsmaxima des einen gerade im ersten Beugungsminima des anderen
liegt. Man kann dazu das Rayleigh’sche Kriterium der Auflösung definieren:
αk = 1.22
λ
p
Dabei ist p der Durchmesser der Pupille. Zwei Objekte müssen mindestens unter dem Winkel
αk erscheinen, um getrennt aufgelöst zu werden.
Aufgabe 1 Wer sieht die Löcher im Käse?
Vor dir liegt ein gigantisch großer Käse. Es ist ein Schweizer Emmentaler, erkennbar an seinen
Löchern im Abstand von d = 6 mm.
a) Der Käse wird mit Licht der Wellenlänge λ = 500 nm beleuchtet. Was ist die maximale
Entfernung, bei der du ihn zweifelsfrei als Schweizer Emmentaler identifizieren kannst? (Zum
identifizieren musst du die Löcher einzeln erkennen). Nimm einen Pupillendurchmesser von
p = 5 mm an.
b) Kannst du den Käse bei rotem oder bei violettem Licht aus größerer Entfernung eindeutig
identifizieren? Warum?
1
Lösungshinweise:
a) Abstand zum Käse: l. Die Strahlen von zwei benachbarten Löchern schließen den Winkel α
ein, dabei ist dann (mit Kleinwinkelnäherung):
sin α =
x
≈α
l
Aus dem Einschub nehmen wir das Rayleigh’sche Kriterium
αk =1.22
x
l
=1.22
l=
λ
p
λ
=α
p
xp
1.22λ
= 49.2m
b) Bei violettem Licht ist die mögliche Entfernung größer. Violettes Licht hat eine kürzere Wellenlänge und l ist umgekehrt proportional zur Wellenlänge.
Aufgabe 2 Beugungsmuster am Doppelspalt
Licht mit einer Wellenlänge von 550 nm trifft auf zwei Spalte mit Breite 0.03 mm und Abstand
0.15 mm.
a) Wieviele Maxima des Strukturfaktors liegen in der gesamten Breite des nullten Maximums
des Formfaktors? (Der Formfaktor ist das Beugungsbild des Einzelspaltes, der Strukturfaktor das
überlagerte Bild des Doppelspalts.)
b) Wie verhält sich die Intensität des dritten Strukturfaktor-Maximums auf einer Seite von der
Mitte zur Intensität des zentralen (nullten) Maximums?
Lösungshinweise:
Für den Winkel θ1 , unter dem das erste Minimum des Formfaktors bei einer Spaltbreite b zu
sehen ist, gilt:
sin θ1 =
λ
b
Für den Winkel θm , unter dem das m-te Maximum des Strukturfaktors bei einem Spaltabstand
a zu sehen ist, gilt:
θm =
mλ
a
2
Wenn das m-te Maximum das erste ist, das nicht mehr zu sehen ist, gilt θ1 = θm , bzw:
mλ
λ
=
a
m=
b
a
b
Das m-te Maximum ist das erste, das nicht mehr zu sehen ist. Im Maximum des Formfaktors
liegen daher zwei mal (m − 1) Maxima plus noch das zentrale, also
N =2(m − 1) + 1
=2m − 1
a
=2 − 1
b
=9
b) Bei einem Einzelspalt hängt die Intensität I über folgende Formel mit der Phasendifferenz φ
und der Intensität in der Mitte I0 zusammen:

I = I0 
sin
φ
2
φ
2
2

Wir müssen nun die Phasendifferenz am Ort des dritten Strukturfaktor-Maximums berechnen:
φ=
2π
b sin θ3
λ
2π 3λ
=
b
λ a
b
=6π
a
6
= π
5

I3 =I0 
I3
I0
=
sin
sin
φ
2
φ
2
2

Š !2
6
·
·
π
2 5
€1
1
2
· 65 · π
=0.255
3
Aufgabe 3 Hinter Gittern
Die Winkeldifferenz von zwei Linien mit den Wellenlängen λ und λ + ∆λ hinter einem Gitter
mit n Linien pro Längeneinheit wird näherungsweise durch
∆θ = Æ
∆λ
1
n2 m2
− λ2
gegeben. Zeige, dasss dies stimmt. m ist dabei die Ordnung der Linien.
Lösungshinweise:
Nicht ganz einfacher Weg:
Bei n Linien pro Längeneinheit haben die Linien den Abstand g = 1n . Das m-te Interferenzmaximum liegt dann bei
g sin θ = mλ
Das leiten wir nun nach λ ab und ersetzen g.
dθ
cos θ
dλ
dθ
nm =
cos θ
dλ
1 dθ
n=
cos θ
m dλ
m =g
Wir machen aus den Differentialen Differenzen:
n=
∆θ =
1 ∆θ
cos θ
m ∆λ
nm∆λ
cos θ
nm∆λ
=p
1 − sin2 θ
sin θ können wir mithilfe der ersten Gleichung ersetzen:
∆θ = p
nm∆λ
1 − n2 m2 λ2
∆λ
nm
=
Æ
1
nm
− λ2
n2 m2
=Æ
∆λ
1
n2 m2
− λ2
4
Aufgabe 4 Fourier und Beugung
Korrektur: In der Aufgabenstellung waren zwei Vorzeichenfehler,
und zwar in der Definition der Fouriertransformation und der Pattersonfunktion.
Wie Prof. Fujara in der Vorlesung dargestellt hat, kann man
mit Fouriertransformationen tolle Beugungsbilder berechnen. Wir
wollen das hier exemplarisch für den Formfaktor eines Einzelspalts mit Breite b tun. Wir schauen von oben auf die Anordnung,
in der das Licht sich parallel zur x-Achse bewegt. Der Spalt hat die
Dichtefunktion
¨
1 : − 2b < y < 2b , x = 0
ρ(x, y) =
0:
sonst
k1
α
k
k0
a) Berechne die eindimensionale Fouriertransformation in Richtung des Spaltes
Z∞
ρ(x, k y ) =
ρ(x, y)e−ik y y d y
−∞
Dabei ist ~k = k~1 − k~0 der sog. Streuvektor, die Differenz zwischen dem ausfallenden Wellenvektor
und dem einfallenden Wellenvektor und zeigt in Richtung des Streuwinkels, unter dem man das
Ganze betrachtet. Für das Beugungsbild ist nur die y-Komponente von ~k relevant, da nur sie in
Spaltrichtung geht.
b) Beweise, dass das Betragsquadrat der Fouriertransformierten ρ(x, k y ) proportional zum in
der Vorlesung hergeleiteten Beugungsmuster des Einzelspaltes ist, indem du k y durch sin α
ausdrückst. Wichtig hierbei ist, dass |~k0 | = |~k1 | gilt, die Streuung also elastisch ist.
c) (Hat nichts mit a) und b) zu tun:) Zeige mathematisch, dass das Betragsquadrat der Fouriertransformierten gleich der Fouriertransformierten der Pattersonfunktion
p( y) =
Z∞
f ( y 0 ) f ( y + y 0 )d y 0
−∞
ist.
5
Lösungshinweise:
a) Die stückweise definierte Spaltfunktion kann man durch die Integrationsgrenzen berücksichtigen
b
ρ(x, k y ) =
Z2
e−ik y y d y
− 2b
=
1
ik y 2b
−ik y 2b
−e
e
−ik y
k b
y
sin 2
=2
ky
b) Das Beugungsmuster aus der Vorlesung ist
I = I0
sin
€ πb sin α Š !2
λ
πb sin α
λ
Das sieht schon so ähnlich aus wie die Fouriertransformierte von oben, wir
müssen nur noch den Wellenvektor richtig ersetzen. Die y-Komponente des
ausfallenden Wellenvektors muss (siehe Skizze)
k y = sin α|~k1 | = sin α|~k0 | = sin α
2π
k1
ky
α
λ
sein, wobei die zweite Gleichheit in der Aufgabe gegeben ist. Setzt man das
in das Ergebnis für die Fouriertransformierte ein, erhält man
€
Š
sin πb λsin α
ρ(x, k y ) =
πb sin α
k0
λ
Bildet man nun noch das Betragsquadrat, kommt bis auf den Vorfaktor I0 das gleiche Ergebnis
heraus wie in der Vorlesung genannt.
c) Das Betragsquadrat der Fouriertransformierten F der Funktion f ergibt sich zu (∗ bezeichnet
die komplexe Konjugation)
|F (k)|2 = F (k)F ∗ (k) =
=
=
Z∞
f (x)e−ik x dx
−∞
Z∞ Z∞
−∞ −∞
Z∞ Z∞
Z∞
0
f ∗ (x 0 )eik x dx 0
−∞
0
f (x) f ∗ (x 0 )e−ik( x−x ) dxdx 0
f (x 0 + ξ) f ∗ (x 0 )e−ikξ dx 0 dξ
−∞ −∞
6
Wobei in der letzten Zeile ξ = x − x 0 substituiert wurde. Zieht man den nun von x unabhängigen
Exponentialfaktor aus dem inneren Integral heraus (und verwendet, dass f eine reellwertige
Funktion ist), erhält man
|F (k)|2 =
=
Z∞ Z∞
f (x 0 + ξ) f (x 0 )dx 0 e−ikξ dξ
−∞ −∞
Z∞
p(ξ)dξ
−∞
Aufgabe 5 Die Farbenlehre
Folgende Szene spielt im Himmel oder wohin Leute wie Newton, Goethe und Huygens kommen.
Goethe: “Also, bester Sir Isaac, ich bleibe dabei: Die Farben sind nicht von vornherein im weißen Licht,
sondern sie werden erst durch die farbigen Dinge daraus erzeugt.”
Newton: “Jetzt lassen Sie mich erst fertig aufbauen. Das ist nicht meine ursprüngliche Anordnung,
weil ich hier kein Prisma auftreiben konnte. Aber hier habe ich eine Schwungfeder vom Erzengel
Gabriel, die tut’s auch. So. Ist das weißes Licht, das da vorn drauffällt? Gut. Jetzt halten Sie mal
Ihr Auge dorthin, Herr Geheimrat. Was sehen Sie?”
Goethe: “Ein prächtiges Grün.”
Newton: “Na, also.”
Goethe: “Jetzt sagen Sie mir bitte, was ist denn das eigentlich, grünes Licht?”
Huygens: Räuspert sich vernehmlich.
Newton: “Schon gut, Herr Kollege. Ich habe ja inzwischen auch dazugelernt. Also, das Grün, das Sie
gesehen haben, ist eine harmonische Welle mit der Wellenlänge 0.5 µm.”
Goethe: “Und Sie versichern, dass Sie die 0.5 µm nicht irgendwie hineingeschmuggelt haben in Ihre
Apparatur?”
Newton: “Allerdings, das versichere ich.”
Goethe: “Ha, mein Bester! Jetzt betrachten Sie den Renommieratavismus von Seiner Heiligkeit genauer.
Da sind doch periodische feine Seitenstrahlen, viel feiner als bei irdischen Flügelbesitzern, oder
nicht?”
Newton: “Natürlich. Aber nicht, wie Sie vielleicht denken, in 0.5 µm Abstand.”
Goethe: “Zugegeben. Aber von da, wo Sie mich hingestellt haben, liegt jeder Seitenstrahl um genau
0.5 µm weiter entfernt als der benachbarte. Sie haben also eine Periodizität von 0.5 µm in Ihrer
Apparatur. Kein Wunder, dass entsprechendes Licht herauskommt.”
7
Wer hat recht? Wie wäre die Lage, wenn Newton ein Prisma gehabt hätte?
Lösungshinweise:
Die Aufgabe haben wir aus dem Gerthsen übernommen. Hier ist seine Antwort dazu:
Offensichtlich ist Goethe in keiner schlechten Position. In Wirklichkeit hat er übrigens von der
Munition, die Young und Fresnel ihm lieferten, wenig Notiz genommen und sie jedenfalls in
seiner „Farbenlehre“ nicht ausgenutzt. Feine Beugungsgitter konnte man damals noch nicht herstellen. – Es ist oft nicht leicht zu entscheiden, ob wir etwas, z. B. die Farben, machen oder
nur finden. Sind die harmonischen Teilwellen wirklich in einem zusammengesetzten Wellenvorgang drin, oder konstruiert sie die Fourier-Methode erst daraus? Dass wir diese Teilwellen direkt
hören, ist ein Argument für Newton, aber das Ohr ist ja selbst ein Fourier-Analysator.
Das Auge arbeitet anders und kann z. B. nicht entscheiden, ob ein Weiß aus allen Farben oder
nur aus zwei engen, komplementären Spektralberei- chen zusammengesetzt ist. Dass ein Gitter
ein Fourier-Analysator ist, sieht man leicht ein, beim Prisma weniger leicht. Aber auch Absorption und Dispersion beruhen auf dem Mitschwingen atomarer Oszillatoren. Was ist das Primäre,
Reale: Der zusammengesetzte Wellenzug oder die Teil- wellen, die Spektrallinien? Was heißt
überhaupt Realität oder Existenz? Existierte das Thema aus dem Andante des Klavierkonzerts
d-moll schon, bevor es Mozart einfiel? Als Michelangelo einen riesigen Block Carrara- Marmor
erblickte, rief er: ”Da ist der David drin.´´ Jemand wandte ein, im Marmor steckten bestenfalls
Ammoniten, aber keine nackten Jünglinge. Michelangelo führte den experimentellen Beweis: Er
stoppte seinen Meißel haarscharf dort, wo die Haut des David begann. Machte er ihn oder fand
er ihn?
Aufgabe 6 Magnetfeld des “L”
a
P
a) Wie groß ist der Betrag des Magnetfeldes am Punkt
P.
I
2a
Durch die Leiterschleife in der Abbildung (a = 4.7 cm)
fließt ein Strom I = 13 A.
b) In welche Richtung geht das Magnetfeld an diesem
Punkt?
a
Hinweis: 4.7 cm sind nicht lang!
a
8
Lösungshinweise:
P
r
Ix
α1
α2
Das Magnetfeld eines kurzen Leiters wie oben in der Abbildung hatten wir schon mal hergeleitet (zwar nicht für Winkel, ist aber ähnlich). Es berechnet sich mit den Winkeln wie in der
Abbildung zu (Magnetfeld in positive z-Richtung, aus dem Blatt heraus):
B=
µ0 I
4π r
cos α1 − cos α2
Das Problem der Aufgabe kann man in sechs solche Leiterstücke zerlegen - zwei davon geben
gar keinen Beitrag. Alle anderen, sowie die Winkel sind in der folgenden Abbildung markiert
(Winkel immer gegen Uhrzeigersinn, Winkelnummerierung nach Stromflussrichtung).
9
α1
P
P
I
I
2a
α4
α3
α2
α8
P
I
P
I
α6
α5
α7
a
Nun noch ausrechnen:
B=
µ0 I
1
1
cos α1 − cos α2 + cos α3 − cos α4 +
cos α5 − cos α6 + cos α7 − cos α8
4π 2a
a
µ0 I
1
1
1
1
1
1
=
0+ p + p −0 +
0− p − p −0
4π 2a
a
2
2
2
2
1
2
µ0 I
=
p −p
4π
2a 2a
µ0 I
1
=
−p
4π
2a
10
Aufgabe 7 Space Talk
Du beobachtest ein geladenes Teilchen. Es ruht, denn es ist kein elektrisches Feld vorhanden.
Dafür existiert aber ein großräumiges Magnetfeld.
Ein Raumfahrer fliegt vorbei und beobachtet das gleiche Teilchen. Er funkt: “Da fliegt ein
geladenes Teilchen mit <kkrrkkzz>. Es herrscht ein Magnetfeld von <kkrrkkzz>. Trotz
der <kkrrkkzz> fliegt das Teilchen genau <kkrrkkzz>. Also muss ein <kkrrkkzz> herrschen, das die <kkrrkkzz> kompensiert, und zwar vom Betrag <kkrrkkzz> in der Richtung
<kkrrkkzz>.”
a) Was hat der Raumfahrer gesagt?
b) In seiner Rakete ist auch eine geladenes Teilchen. Wie verhält es sich für den Raumfahrer?
Warum?
c) Wie verhält sich das Teilchen in der Rakete für uns?
Lösungshinweise:
Wir lassen das Raumschiff mit Geschwindigkeit v~ in irgendeine Richtung fliegen.
a) “Da fliegt ein geladenes Teilchen mit Geschwindigkeit v auf mich zu. Es herrscht ein Ma~ . Trotz der Lorentzkraft q~
~ fliegt das Teilchen genau geradlinig. Also muss
gnetfeld von B
v ×B
ein elektrisches Feld herrschen, das die Lorentzkraft gerade kompensiert, und zwar vom Betrag
qv B sin θ in Richtung senkrecht zum Magnetfeld und zur Geschwindigkeit.
b) Es wird entsprechend des elektrischen Feldes, das der Raumfahrer sieht, beschleunigt.
c) Wir führen die Bewegung auf die Lorentz-Kraft zurück, die auf bewegte Ladungen durch das
Magnetfeld wirkt.
Man merke also: ob elektrische oder magnetische Felder vorliegen, hängt vom Bewegungszustand des Betrachters ab (Relativität). Bei hohen Geschwindigkeiten wird das Ganze noch ein
wenig komplizierter, da die Komponenten der Felder in Bewegungsrichtung sich dann unter
Lorentztransformation anders verhalten als die Felder senkrecht dazu.
Aufgabe 8 Holzzylinder
Ein Holzzylinder der Masse m = 250 g und Länge L = 10 cm liegt auf einer schiefen Ebenen.
Um den Zylinder ist in longitudinaler Richtung eine Spule mit 10 Windungen gewickelt, so dass
die Achse des Zylinders in der Ebene der Spule liegt. Der Zylinder wird so losgelassen, dass
die Spulenebene parallel zur schiefen Ebene ist. Im ganzen Raum herrscht noch ein nach oben
gerichtetes vertikales Magnetfeld mit dem Betrag B = 0.5 T.
Wie groß muss der Strom durch die Spule mindestens sein, damit der Zylinder nicht die Ebene
hinabrollt?
Lösungshinweise:
Wir nehmen an: die Achse des Zylinders ist parallel zur x-Achse.
11
Durch die Schwerkraft wirkt auf den Zylinder ein Drehmoment. Die Schwerkraft greift im
Schwerpunkt (Mittelpunkt des Zylinders) an, er rotiert um den Auflagepunkt auf der schiefen
Ebene. Den Verbindungsvektor Auflagepunkt-Mittelpunkt bezeichnen wir als ~r, und bestimmen
ihn (α ist der Winkel der schiefen Ebene). Die Schwerkraft geht in negative z-Richtung.




0
0




~r = r  sin α 
F~ =  0 
cos α
−mg
Das Drehmoment ist nun:
~ g = ~r × F~ = −r mg sin α~e x
M
Fließt der Strom durch die Spule von oben betrachtet gegen den Uhrzeigersinn, so hat sie ein
das folgende magnetische Moment:




0
0




µ
~ = nIA  sin α  = nI2r L  sin α 
cos α
cos α
~ = B~ez ):
Das Drehmoment, welches durch den Strom verursacht wird ist nun (B
~B =µ
~ = 2BnI r L sin α~e x
M
~ ×B
Damit sich der Zylinder nicht bewegt, müssen sich die Drehmomente aufheben:
!
~g+M
~ b =0
M
−r mg sin α~e x + 2BnI r L sin α~e x =0
mg
I=
= 2.45 A
2BnL
Aufgabe 9 Lange Drähte
Zwei lange, gerade Drähte (Abstand zueinander d = 4 cm) sind von einem homogenen Isolator
mit der relativen Permeabilität µ r = 120 umgeben. Durch die Drähte fließen Ströme von je 40 A
in entgegengesetzen Richtungen.
a) Wie stark ist das Magnetfeld in der Mitte der Fläche zwischen beiden Drähten?
b) Welche Kraft wirkt pro Längeneinheit auf die Drähte?
Lösungshinweise:
a) Das Magnetfeld addiert sich in der Mitte. Für unendlich lange gerade Leiter ergibt sich
B = 2µ0 µ r H = 2
µ0 µ r I
2πr
= 0.1 T
b) Die Drähte müssen sich anziehen. Die Kraft auf ein Leiterelement ist
F = IB =
µ0 µ r I 2
πr
= 3.8 N/m
12
Aufgabe 10 Rotation im Magnetfeld
Ein Metallstab (Länge l) rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um ein Ende. Ein homogenes Magnetfeld vom Betrag B steht senkrecht zur Rotationsebene.
a) Zeichne das Problem.
b) Ein Körper mit Ladung q befinde sich im Abstand r von der Drehachse. Zeige, dass auf ihn
die magnetische Kraft Fm = qBrω wirkt.
c) Zeige, dass zwischen den Enden des Stabes die Potentialdifferenz U = 21 Bωl 2 herrscht.
d) Zeichne eine radiale gerichtete Linie ein. Wir definieren θ als den Winkel zwischen der Linie
und dem Metallstab. Zeige, dass die Fläche des Kreisausschnittes, der von dieser Linie und dem
Stab begrenzt wird, A = 12 l 2 θ ist.
e) Berechne den magnetischen Fluss durch die in d) beschriebene Fläche. Zeige, dass du durch
Anwendung des Faraday’schen Induktionsgesetzes die Beziehung Uind = 12 Bωl 2 erhälst.
Lösungshinweise:
a) Das bekommst du selber hin.
b) Es wirkt natürlich die Lorentz-Kraft
~|
Fm = |q~
v ×B
~|
= |q (ω
~ × ~r) × B
= qBrω
~
Wobei wir ausgenutzt haben, dass ω
~ in Magnetfeldrichtung zeigt, sodass v~ senkrecht zu B
steht.
c) Im Gleichgewicht muss die Lorentzkraft (die nach außen bzw. innen zeigt, je nach Drehrichtung) gerade durch eine elektrische Kraft kompensiert werden. Diese muss man nur noch
hochintegrieren
U=
Zl
Edr =
0
=
1
2
Zl
Fm
q
0
dr =
Zl
Brωdr
0
Bωl 2
d) Der Gesamtkreis hat eine Fläche von πl 2 . Der Kreisausschnitt, der von den beiden Linien beθ
grenzt wird, hat einen Anteil von 2π
an dieser Fläche. Dann muss die Fläche des Kreisausschnitts
gleich A =
θ
πl 2
2π
= 12 l 2 θ sein.
13
Man kann auch die Eins in Polarkoordinaten hochintegrieren
A=
Zθ Zl
rdrdφ
0
0
1
=
2
l 2θ
e)
φm =
Z
~ = BA =
~ · dA
B
A
1
2
l 2θ B
Die induzierte Spannung ist gleich der magnetischen Flussänderung
Uind = −
=
1
2
dφm
dt
= B Ȧ
l 2 θ̇ B =
1
2
l 2 ωB
Aufgabe 11 Wechselstromkreis
S
R
~
U
L
C
RL
R
RL
L
C
Uma x
ν
10 Ω
30 Ω
150 mH
8 µF
100 V
10 Hz
a) Berechne mit Hilfe von Zeigerdiagrammen die Impedanz des Stromkreises, wenn der Schalter
S geschlossen ist.
b) Wie groß ist die Impedanz bei geöffnetem Schalter?
c) Welche Spannung fällt am Widerstand R L ab, wenn der Schalter offen/geschlossen ist?
d) Welche Ergebnisse erhälst du für Aufgabe a) bis c) bei einer Wechselspannungsfrequenz von
1000 Hz.
e) Wir wollen die Anordnung als Tiefpassfilter verwenden. Muss dazu der Schalter geöffnet oder
geschlossen sein?
14
Lösungshinweise:
Allemein betrachtet kann man die Gesamtimpedanz der Schaltung wie folgt herleiten: Die Spule
und R L sind in Reihe geschaltet, die Impedanz der beiden ist also Z1 = R L + iX L . Z1 wiederum
befindet sich in einer Parallelschaltung mit dem Kondensator. Die Impedanz der drei Elemente
nennen wir Z2 .
1
Z2
=
=
=
Z2 =
1
−iX C
1
+
1
Z1
1
+
−iX C R L + iX L
R L + i(X L − X C )
X C X L − iX C R L
X C X L − iX C R L
R L + i(X L − X C )
Für später ist es geschickt, Realteil und Imaginärteil in getrennte Summanden zu verbannen.
Das macht man am besten durch Erweiterung mit dem komplex Konjugierten des Nenners (R L −
i(X L − X C )).
Z2 =
R L X C2
R2L + (X L − X C )2
−i
€
Š
X C R2L + X L (X L − X C )
R2L + (X L − X C )2
Diese Impedanz befindet sich in Reihe mit dem Widerstand R, damit ist die Gesamtimpedanz
Z = R + Z2 =
R L X C2
R2L + (X L − X C )2
−i
€
Š
X C R2L + X L (X L − X C )
R2L + (X L − X C )2
a) Mit Zeigerdiagrammen ist das sehr aufwändig, man muss auf jeden Fall immer Beträge ausrechnen. Das war etwas blöd in der Aufgabenstellung. Für Zeigerdiagramme siehe Übung 4,
Aufgabe 4. Wir rechnen nur...
Wenn der Schalter geschlossen ist, ist die Spule überbrückt. Damit ist X L = 0.
XC =
1
= 1.99 kΩ
2πν C
Z2 = 30 Ω − i(0.452 Ω)
Z = 40 Ω − i(0.452 Ω)
|Z| =
p
402 + 0.4522 Ω = 40 Ω
15
Die Phase der Impedanz kann man wie folgt berechnen
ϕ = arctan
ℑ(Z)
ℜ(Z)
−0.452
=
40
= −0.647◦
b) Die Spule ist nun im Stromkreis, der Blindwiderstand der Induktivität ist dann
X L = 2πν L = 9.42 Ω
Damit ergibt sich weiter
Z =40.3 Ω + i(9.01 Ω)
|Z| =41.3 Ω
ϕ =12.6◦
c)
geschlossener Schalter: Kirchhoffsche Maschenregel für Spannungsquelle + Widerstand R +
Lastwiderstand R L :
U − RI − UR L =0
UR L =U − RI
UR
UR L =U −
Z
R
=(1 −
)Uma x cos(ωt − δ)
|Z|
(1 −
R
|Z|
)Umax =75 V
ω =20π s−1
−0.452
δ = arctan
= −0.647◦ ≈ 0◦
40
offener Schalter: Zusätzlich noch Induktivität in der Masche
U − RI − X L I − UR L =0
(1 −
R + XL
|Z|
UR L =U − RI − X L I
U(R + X L )
UR L =U −
Z
R + XL
=(1 −
)Uma x cos(ωt − δ)
|Z|
)Umax =53 V
ω =20π s−1
δ = arctan
XL
R + RL
= arctan
9.42
40
= 13.3◦
16
d-a)
1
XC =
2πν C
X L =0
= 19.9 Ω
Z2 =9.17 Ω − i(13.8 Ω)
Z =19.17 Ω − i(13.8 Ω)
|Z| =23.6 Ω
ϕ = arctan
ℑ(Z)
ℜ(Z)
=
−13.8
19.17
= −35.7◦
d-b)
1
XC =
= 19.9 Ω
2πν C
X L =2πν L = 942 Ω
Z2 =0.0140 Ω − i(20.3 Ω)
Z =10.0 Ω − i(20.3 Ω)
|Z| =22.6 Ω
ϕ = arctan
ℑ(Z)
ℜ(Z)
=
−20.3
10.0
= −63.8◦
d-c) geschlossener Schalter
(1 −
R
|Z|
)Uma x =55.8 V
ω =2000π s−1
−13.8
δ = arctan
= −35.7◦
19.7
offener Schalter
(1 −
R + XL
|Z|
)Umax =
ω =20π s−1
δ = arctan
XL
R + RL
= arctan
942
40
= 87.6◦
e) Bei hohen Frequenzen und offenem Schalter gibt es einen größerern Spannungsabfall am
Lastwiderstand, bei niedrigen Frequenzen fast gar keinen. Daher eignet sich diese Schaltung
mit offenem Schalter gut als Tiefpassfiler.
17
Aufgabe 12 Verschiebungsstrom
Links ist der Feldverlauf eines gleichförmigen elektrischen Feldes gezeigt. Berechne den Verschiebungsstrom durch eine
1.6 m2 große Fläche senkrecht zum Feld für
die verschiedenen Zeitintervalle (ignoriere
dabei die Knicke).
6
EH105 NCL
5
4
3
2
Lösungshinweise:
1
Der Verschiebungsstrom ist Iv =
0
R
A
0
2
4
6
ZeitΜS
8
10
12
"0 dE
(t 0 )dt 0
dt
In den verschiedenen Bereichen kann man
die Steigung der Kurve, also die Ableitung
des elektrischen Feldes, ablesen
I1 = "0 E10 A = "0
I2 = 0
−2 × 105 V/m
4 × 10−6
s
1.6 m2 = −0.7 A
I3 = −2.8 A
18