Waagrechter Wurf
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Waagrechter Wurf ================================================================== km 1. Im Winter 1981/82 warf ein mit der Geschwindigkeit 720 horizontal fliegendes Flugh zeug aus einer Höhe von 125m eine Sprengladung in die gefrorene Weichsel, um dort das Eis aufzubrechen. Bei den folgenden Aufgaben soll der Luftwiderstand nicht berücksichtigt werden, der Wert m für die Fallbeschleunigung sei g = 9,81 2 . s a) Zeige, dass die Sprengladung nach 5,05s auf dem Eis aufschlug. b) Berechne den horizontalen Abstand vor dem Ziel, an dem die Sprengladung abgeworfen werden musste. c) Berechne die Geschwindigkeit, mit der die Sprengladung auf das Eis aufschlug. d) Berechne die Größe des Winkels α gegen die Horizontale, unter dem die Sprengladung auf das Eis aufschlug. e) Bestimme die Gleichung der Bahnkurve der Sprengladung. ___________________________________________________________________________ Kreisbewegung ================================================================== 1. Die Skizze stellt den Verlauf der Schiene einer Loopingbahn dar. Im Punkt A mit hA = 50 m hat der Wagen eine Gem schwindigkeit 4,0 . s Mit welcher Kraft drückt der 200 kg schwere Wagen im Punkt Punkt B bzw. im Punkt C mit hC = 20 m auf die Schienen. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Bei einem Kettenkarussell auf der Kirmes sind die Ketten am Dach des Karussells in einem Abstand von 5 m von der Drehachse befestigt. Der Schwerpunkt der Mitfahrer befindet sich in der Ruhe vor dem Start 4 m unterhalb dieser Befestigung. Bei gleichmäßiger Fahrt werden die Sitze an Ihren Ketten nach außen ausgelenkt, so dass die Mitfahrer einen Kreis mit größerem Radius beschreiben. a) Zeichnen Sie ein Diagramm (nicht maßstäblich) aller während der Fahrt auf einen Mitfahrer wirkenden Kräfte. (Momentaufnahme mit zugehörigen Bezeichnungen). Welche Beziehung muss zwischen diesen Kräften bestehen? b) Bei welcher Umlaufzeit sind die Ketten gegen die Vertikale um 40° Grad nach außen geneigt? c) Wie groß ist bei dieser Drehzahl die Zentrifugalkraft auf einen 70 kg schweren Mitfahrer? d) Welche Kraft verspürt er in seiner Sitzfläche? ___________________________________________________________________________ Harmonische Schwingungen ================================================================== N 1. An eine Schraubenfeder mit der Härte D = 100 wird ein Körper der Masse 800 g gem hängt, dann 4 cm aus seiner Gleichgewichtslage nach unten gezogen und losgelassen. a) Mit welcher Frequenz schwingt der Körper? b) Wie groß sind die maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers? c) Wie groß sind die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers 3 cm oberhalb der Gleichgewichtslage? Welche Zeit braucht er vom unteren Umkehrpunkt bis zu dieser Stelle? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------N 2. Ein Gegenstand der Masse m ist an einer vertikalen Feder mit der Federkonstanten 1800 m aufgehängt. Er wird 2,5 cm nach unten ausgelenkt und dann losgelassen, woraufhin er mit einer Frequenz von 5,5 Hz schwingt. a) Bestimme m. Wie stark dehnt die Masse die entspannte Feder, wenn sie sich im Gleichgewichtspunkt befindet? b) Stelle Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Masse als Funktion der Zeit t graphisch dar dar. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------m 3. Von zwei gleichen Pendeluhren befindet sich eine am Nordpol (gN = 9,83 2 ) und eine am s m Äquator (gÄ = 9,78 2 ). s Behandeln Sie Pendeluhren wie ideale Fadenpendel und berechnen Sie, welche Zeitspanne die Uhr am Äquator für diejenige Zeitspanne anzeigt, die von der Uhr am Nordpol mit 24 h angezeigt wird. ___________________________________________________________________________ Wellen ================================================================== Vergleiche dazu das letzte Übungsblatt! Lösungen ================================================================== Waagrechter Wurf -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 1 Gegeben: v = 720 km m = 200 und H = 125 m h s a) Gesucht: Flugzeit T 1 g⋅T2 = H 2 ⇒ 2H g T = T = 2⋅125 m = 5,05 s 9,81 m2 s b) Gesucht: Wurfweite:W W = v0⋅T W = 200 m ⋅ 5,05 s = 1010 m = 1,01 km s c) Gesucht: Auftreffgeschwindigkeit v v = v02 + (g⋅T)2 v0 = (200 2 m 2 m m ) + (9,81 2 ⋅ 5,05 s) = 206 s s s d) Gesucht: Auftreffwinkel. α g⋅T tanα = v0 9,81 tanα = m s2 ⋅ 5,05 s 200 m s = 9,2477 ⇒ α = 13,9° e) Gesucht: Gleichung der Bahnkurve (1) x = v0⋅t (1) ⇒ (2) y = − x t = v0 1 2 g⋅t 2 2 1 x g in(2) y = − g⋅ = − ⋅x2 2 2 v0 2v0 y = − 0,000124 m−2 ⋅ x2 ___________________________________________________________________________ Kreisbewegung -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 1 Gegeben: hA = 50 m und hC = 20m = 2r und vA = 4 m s Geschwindigkeit im Punkt B: 1 1 m⋅vB2 = mg⋅hA + m⋅vA2 2 2 vB = 2⋅9,81 ⇒ vB = 2g⋅hA + vA2 m m 2 m ⋅ 50 m + (4 ) = 31,7 2 s s s Geschwindigkeit im Punkt C: 1 1 m⋅vB2 = mg⋅(hA − hC) + m⋅vA2 2 2 vc = 2⋅9,81 ⇒ vB = 2g⋅(hA − hC) + vA2 m m 2 m ⋅ 30 m + (4 ) = 24,6 2 s s s Die Kraft mit der der Wagen gegen die Schienen drückt ist entgegesetzt gleich der Kraft F, die die Schienen auf den Wgen ausüben. Im Punkt B gilt für die Zentripetalkraft FZ: FZ = F − G ⇒ F = FZ + G = m⋅ vB2 + mg r (31,6 ms )2 m F = 200kg ⋅ + 200kg ⋅ 9,81 2 = 21,9 kN 10m s Im Punkt C gilt für die Zentripetalkraft FZ: FZ = F + G ⇒ vC2 F = FZ − G = m⋅ − mg r (24,6 ms )2 m F = 200kg ⋅ − 200kg ⋅ 9,81 2 = 10,1 kN 10m s -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 2 a) Auf einenMitfahrer wirkt die Zugkraft der Kette und die Gewichtskraft. a Beide Kräfte addieren sich zur erforderlichen Zentripetalkraft. Zugkraft der Kette Zentripetalkraft Gewichtskraft b) Radius der Kreisbahn: r = d + a⋅sinα 5m + 4m⋅sin40° = 7,57m 2 m⋅ vr FZ v2 tanα = = = G mg g⋅r v = v = 9,81 2π⋅r T ⇒ v = g⋅r⋅tanα m m ⋅7,57m⋅tan40° = 8,0 2 s s ⇒ T = 2π⋅r v T = 2π⋅7,57m = 5,9s 8 ms c) Die Zentrifugalkraft hat den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft. v2 FZ = m⋅ r (8 ms )2 FZ = 70kg⋅ = 592N 7,57m d) Die Kraft, mit der der Fahrgast in seinen Sitz gedrückt wird, ist entgegengesetzt gleich zu der Kraft mit der die Kette zieht. 70kg⋅9,81 m2 m⋅g s cosα = ⇒ FKette = FKette = = 896N FKette cos40° cosα ___________________________________________________________________________ G Harmonische Schwingung -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 1 Gegeben: D = 100 N , A = 4 cm = 0,04 m und m = 800 g = 0,8 kg m a) Gesucht: f m D T = 2π⋅ 0,8 kg N = 0,562 s 100 m T = 2π⋅ ⇒ f = 1 = 1,78 Hz T b) Gesucht: vmax und amax vmax = A⋅ω = A⋅ 2π T amax = A⋅ω 2 = A⋅( vmax = 0,04 m⋅ 2π a2 ) T 2π m = 0,45 0,562s s vmax = 0,04 m⋅( 2π 2 m ) = 5,0 2 0,562s s c) Gesucht: v und a, wenn y = 3 cm y(t) = 4cm⋅sin2π⋅1,8s−1⋅t = 4cm⋅sin11,2s−1⋅t v(t) = 0,45 m ⋅cos11,2s−1⋅t s a(t) = − 5,0 m −1 ⋅sin 11,2s ⋅t s2 4cm⋅sin11,2s−1⋅t = 3cm ⇒ sin11,2s−1⋅t = 0,75 cos11,2s−1⋅t = 1 − 0,752 = 0,66 ⇒ Geschwindigkeit bzw. Beschleinigung 3 cm oberhalb der Gleichgewichtslage: v = 0,45 m m m m ⋅0,66 = 0,30 bzw. a = − 5,0 2 ⋅0,75 = − 3,8 2 s s s s Alternativ: 4cm⋅sin11,2s−1⋅t = 3cm ⇒ sin11,2s−1⋅t = 0,75 11,3s−1⋅t = sin−1(0,75) ⇒ v(0,0756s) = 0,45 ⇒ t = 0,076s m m ⋅cos11,2s−1⋅0,076s = 0,30 s s und a(0,0756s) = − 5,0 m m −1 ⋅sin 11,2s ⋅0,076s = − 3,8 2 2 s s d) Gesucht: t1 T + 0,076s = 0,1405s + 0,076s = 0,2165s 4 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------t1 = Aufgabe 2 Gegeben: D = 1800 N und f = 5,5 Hz sowie A = ,5 cm m a) Gesucht: mund s 2 D = m⋅ω F D = s ⇒ ⇒ D D⋅T2 D m = 2 = = 2 ω 4π 4π2⋅f2 F mg s = = D D s = m = 1,5kg ⋅ 9,8 m2 s N 1800 m b) y(t) = A⋅sin2πf⋅t = 2,5cm⋅sin34,6s−1⋅t N m −1 2 1800 (5,5s ) ⋅4π2 = 0,8 cm = 1.5 kg m v(t) = Aω⋅cos2πf⋅t = 2,5cm⋅2π⋅5,5s−1⋅cos34,6s−1⋅t = 0,86 ⋅cos34,6s−1⋅t s 2 m a(t) = − Aω2⋅sin2πf⋅t = − 2,5cm⋅(2π⋅5,5s−1) ⋅sin34,6s−1⋅t = 29,9 2 ⋅sin34,6s−1⋅t s -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 3 TN = 2π⋅ TÄ = TN l gN 9,83 m2 s 9,78 m2 s TÄ = 2π⋅ l gÄ ⇒ TÄ = TN gN gÄ = 1,00255 tN 24 h = = 23,94 h = 23 h 56 min 20 s 1,00255 1,00255 ___________________________________________________________________________ tÄ =
