E - Lehrstuhl Experimentelle Physik I

EFK
6.
6.1
6.2
6.3
Æ 6.4
Ende
17.Dez.09
Fermiflächen und Metalle
Das reduzierte Zonenschema
Konstruktion von Fermiflächen
Berechnung von Energiebändern
Experimentelle
ExperimentelleMethoden
Methoden
5. Energiebänder
5.1 Motivation
5.2 Das Modell des „fast freien“ Elektrons
5.3 Das „stark gebundene“ Elektron
5.4 Das Bloch‘sche Theorem
5.5 Beispiel: Kronig-Penney-Modell
5.6 Brillouin-Zonnen und Fermi-Flächen
5.7 Messung von Bandstrukturen, Zustandsdichte
für Dezember 2009 ist geplant:
273
Do.17.Dez2009
11
10
9
Vorlesungswoche
Inhalt der Vorlesung
"Einführung in die Festkörperphysik"
Wintersemester 2009 / 2010
Æ 6.4 Experimentelle Methoden
Wintersemester 2009 / 2010
EFK
274
Wir betrachten zuerst die Zyklotronresonanz,
da damit auch der dHvA verstanden werden kann.
• Winkel- und energieaufgelöste Photoemission
(Hochauflösung!)
• Magnetwiderstand
• anomale Skineffekt
• Zyklotronresonanz
• magneto-akustische Effekte
• Shubnikow-de-Haas-Effekt
• de-Hass-van-Alphén-Effekt (dHvA)
• Compton-Streuung
• Kohn-Effekt
• optische Reflektivität
• Ultraschallabsorption
•
•
Die experimentelle Bestimmung der Fermi-Flächen
erscheint auf den ersten Blick schwierig,
Man hat eine ganze Reihe von Methoden dazu
entwickelt:
Æ 6.4 Experimentelle Methoden
Wintersemester 2009 / 2010
6.4.1 Die Zyklotronresonanz
)
)
275
r r
r r r 
 1 r
dk = F = −e ⋅  2 ∇ k En (k ) × B(r , t )  dt

h
dt
r• r
r r r 
1 r
h k = F = −e ⋅  ∇ k En ( k ) × B ( r , t ) 
r
h

dk
r
r 1 ∂E (k )
r r 1r
n
r
v n ( k ) = ∇ k En ( k ) =
h
h ∂k
es gilt für die Gruppengeschwindigkeit:
r
r r r r
F = −e ⋅ v n ( k ) × B ( r , t )
r• r
r r r r
h k = F = −e ⋅ v n ( k ) × B ( r , t )
(
(
Auf ein Elektron wirkt im Magnetfeld die Kraft:
EFK
→ Bewegung der e- auf geschlossenen Bahnen
Elektronen mit der Fermi-Energie als Energie
liegen auf der Fermi-Fläche
r
r
r
→ dk steht senkrecht auf ∇ k En (k )
→ e- bewegen sich auf Flächen mit konst. Energie
→ keine Energieänderung der e-
Wir schauen uns nun nur zeitliche konstante Felder
an:
Wintersemester 2009 / 2010
[
]
[
]
r
e dE
dt
dk = − B 2
h dk ⊥
276
r
r r r 
 1 r
dk = −e ⋅  2 ∇ k En (k ) × B(r , t )  dt

h
Wir wollen die Zyklotronfrequenz ausrechnen. Dazu
benötigen wir die Zeit , die ein e- pro Umlauf braucht:
Wir hatten (Vorseite):
Dann:
r
r
dE
∇ k E (k ) ⊥ =
dk ⊥
r
r
r
definiere dk ⊥ : das steht senkrecht auf dk und B
→
r r r
r
r
r
∇ k En ( k ) × B ( r , t ) = ∇ k E ( k ) ⊥⋅ B
→ nur
r die rsenkrecht zu B liegende Komponente von
∇ k En (k ) wirkt (wegen Kreuzprodukt).
r
r r
r
→ eine Änderung von dk ist prop zu ∇ k En (k ) × B
→ e- -Bahn verläuft senkrecht zum B-Feld
EFK
h 2 dS
=T
eB dE
mit
r
dS = ∫ dk ⊥⋅ dk
∫ dt = T
dt
r
e dE
dt
dk = − B 2
h dk ⊥
r
h2
dk =
dE
eB
dk ⊥
r
h 2 dk
=
∫
dE
eB
dk ⊥
(Vorseite):
Wintersemester 2009 / 2010
dS 2π m
= 2
dE
h
Damit
eB
ωC =
m
eB
ωC =
m*
die “Zyklotronfrequenz“.
Dann haben alle e- dieselbe Umlaufzeit!
Für das freie Elektronengas ist:
Also:
die Umlaufzeit hängt von der im k-Raum
eingeschlossenen Schnittfläche ab, oder richtiger:
von der Energieabhängigkeit dieser Schnittfläche!
Dann gilt die bekannte Formel
für die Zyklotronfrequenz:
277
Wir werden sehen:
i.a. sind die Umlaufzeiten für die e- unterschiedlich!,
und : m → m * , die “effektive Masse“
EFK
oszillierendes elektrisches Feld
Probe
278
Bahnen von resonant
schwingenden
Elektronen oder Löchern
B- Feld (statisch)
→ bei der Zyklotronfrequenz tritt starke Absorption auf
• sind Mikrowellen und Zyklotronfrequenz in
Resonanz, so nehmen die e- Energie aus dem Feld
auf!
• Einstrahlen von Mikrowellen, diese durchstimmen
da das B-Feld wirkt: → Spiralbahnen
Nun zum experimentellen Aufbau:
• die Probe befindet sich im Magnetfeld
(homogen, zeitlich konstant /// erst mal, hier, vorerst)
EFK
Bemerkung:
Im Realraum sind die e- -Bahnen etwas komplizierter
als im k-Raum, da auch die z-Komponente des
Wellenvektors berücksichtigt werden muss.
Wintersemester 2009 / 2010
δ=
µωσ
2
=
4π ⋅10
−7
]
2
1.68 ⋅10 −8 Ωm RT = ... = 940 nm
N
⋅ 30GHz
A2
bei Raumtemperatur
[
In Realität gemessen: 30 GHz;
Dieses ergibt dann für Kupfer:
eB 1.6 ⋅10 −19 C
N
ωC =
=
⋅
1
= ... = 175 Ghz
−31
m * 9.1 ⋅10 kg Am
Beispiel: B~ 1 T und freie Elektronen:
magn.
Feldkonstante
279
→ nur dort wird Energie zu-/abgeführt
Damit: Energiezufuhr auch dann, wenn die ephasengerecht an das Feld koppeln, also wenn
zwischen 2 Umläufen genau eine Periode des EFeldes verstrichen ist.
→ bei Metallen wird eine ganze Zahl von Maxima
beobachtet
→ bei HL nicht, da dort das Feld tiefer eindringt
Also: die Elektronen fühlen das elektrische Feld der
Mikrowelle nur an der Oberfläche
…..und ca. 10 nm bei tiefen Temperaturen.
→ der Bahnradius beträgt ca. 10 µm!
EFK
siehe Jackson Kapitel 5.18
Leitfähigkeit,
µωσ
-- im Experiment: Metalle zeigen den so genannten
“Skineffekt“:
2
δ
=
Also: e-m- Strahlung dringt nur
tief ein.
→ die Zyklotronfrequenz wird variiert:
eB
ωC =
m*
-- im Experiment ist es ziemlich schwierig, die
Mikrowellenfrequenz exakt durchzustimmen, daher
bleibt die Mikrowellenfrequenz konstant und es wird
die Magnetfeldstärke durchgestimmt.
Bemerkungen:
Wintersemester 2009 / 2010
→ Möglichkeit, die Fermi-Fläche abzutasten
(durch Drehen des Kristalls)
•
•
•
•
offene Bahnen
geschlossene Bahnen
Lochbahnen
Elektronenbahnen
Diskussion:
280
• Die e- laufen auf Extremalbahnen, die zu ihrer
Energie und zur Orientierung des B-Feldes passen
Fermi-Fläche von Cu
EFK
• scharfe Resonanzen nur dort, wenn die e- mehrere
Umläufe vollziehen (natürlich phasengerecht).
→ notwendig: hohe Frequenzen, hohe Magnetfelder,
tiefe Temperaturen, kleine Widerstände, sehr reine
Proben. (schon bei T~10K: verminderte Resonanzen,
breitere Peaks)
• nur die e- bei EF können Energie aufnehmen, da
dort freie Zustände verfügbar sind
Diskussion:
Zyklotronresonanz bei Cu(110),
35 Ghz, B || zur [100]-Richtung
Wintersemester 2009 / 2010
•
•
A, B, C sind geschlossene Bahnen von
e-, e-, Loch
Bauch, Hals, Hundeknochenbahn
D ist eine offene Bahn
Diskussion:
Fermi-Fläche von Cu:
Wintersemester 2009 / 2010
EFK
)
2
Ansatz:
ψ = ψ~ ( x) ⋅ e
−i ( k y y + k z z )
281
 ∂ ieBx 
∂2
∂2
2m * E


+
+
+
ψ
ψ
ψ
+
ψ =0
2
 ∂y

∂x 2
∂z 2
h
h


Damit wird die S-Gl:
r  
A
=  xB 
Wähle B || zur z-Richtung →
 0
v
v
 
als Vektorpotential ( B = rot A in Coloumb-Eichung)
r v
∇⋅ A = 0
r2
1
− ih∇ + eA ψ = Eψ
2m
 0
(
Dann:
Stationäre Schrödinger-Gleichung:
Dazu:
betrachte quasi-freies Elektronengas im konst.
Magnetfeld (noch ohne Spin)
Wir werden sehen:
die Elektronenbahnen im Magnetfeld sind quantisiert.
6.4.2 Bahnquantisierung im
Magnetfeld und Landauniveaus
Damit ist die Energie der Elektronen:
2
Dieses ist die DGL eines lin. harm Oszillators mit
der Frequenz
ωC,
~
den Eigenfunktionen ψ
1
den Eigenwerten
El = (l + ) hωC
1
∂ 2 ~ 2m * 
2 2 ~
ψ
E
m
*
ω
x′ ψ = 0
+
−
l
C
2
2 
2
h 
∂x′

wird daraus:
h 2 k z2
mit: El = E −
2m *
h ky
′
x = x−
eB
eB
ωC =
m*
2
∂ 2 ~  2m * E
 eBx
 ~
2
− k y  ψ = 0
ψ +  2 − kz − 
2
∂x
 
 h
 h
Einsetzen liefert:
Wintersemester 2009 / 2010
EFK
Mit Spin spalten diese nochmal in
zwei parallele Parabeln auf
für freie Elektronen: parabelförmiges Band
für e- mit B-Feld: zusätzlich Subbänder
die heißen “Landau-Niveaus“, Abstand: ∆E
Diskussion:
Oder graphisch:
h 2 k z2
1
E = El + E (k z ) = (l + ) hωC +
2
2m *
282
= hωC
EFK
• mit Spin: die Zweige der Parabel spalten in zwei
parallele Unterzweige auf
∆E
• Annahme: B~ 2T → ∆E~0.1 meV, also
~ 1K
k
B
damit:
bei einem TF~5·104K ist eine sehr große Anzahl
von Landau-Niveaus besetzt
• B-Feld || zur z-Richtung:
→ in z-Richtung ändert sich nichts für die Zustände
→ in x-y-Richtung wird die Energie quantisiert
weiter mit der Diskussion:
Wintersemester 2009 / 2010
Ende
05.Jan.10
283
Dieses nun an der Tafel (Seiten "17", "18", "19" )
weiter beschreiben...
→ der umschlossene Magnetfluss ist auch quantisiert.
→ mit klassischem Bahnradius rℓ,
allerdings quantisiert
→ die Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen in
der x-y-Ebene
Was bedeutet dieses nun für die Elektronen?