Wahlpflichtvorlesung Antennen und Ausbreitung - von Prof. Dr.

Wahlpflichtvorlesung
Antennen
und
Ausbreitung
Skriptversion 3.0
30. August 2010
FH Aachen
FB5 Elektrotechnik und Informationstechnik
Lehrgebiet Hoch- und Hoechstfrequenztechnik
Prof. Dr.-Ing. H. Heuermann
Erneuert und erweitert über Studiengebühren von Torsten Finger
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
1.1
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Radargleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Grundprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Radarfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Grundbegriffe der Antennentheorie
2.1
11
Das Feld eines Elementarstrahlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.1
Elektrischer Elementarstrahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.2
Magnetischer Elementarstrahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Das Fernfeld einer beliebigen Stromverteilung im freien Raum . . . . . . .
18
2.3
Das Äquivalenzprinzip (Huygensches Prinzip) . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.4
Zusammenhang zwischen Aperturbelegung und Richtcharakteristik bei Flächenantennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Kenngrößen einer Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5.1
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.5.2
Kenngrößen einer Antenne für den Sendefall . . . . . . . . . . . . .
41
2.5.3
Kenngrößen einer Antenne für den Empfangsfall . . . . . . . . . .
46
2.5.4
Das Reziprozitätstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.5
3 Spezialantennen
51
3.1
Streifenleitungsantennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2
Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.3
Strahlungsfelder
54
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Streuung elektromagnetischer Wellen an Radarzielen
4.1
Allgemeine Betrachtung der Streuung an einem einzelnen Radarziel . . . .
iii
59
60
iv
INHALTSVERZEICHNIS
4.2
Berechnung des Radarquerschnittes von metallischen Objekten . . . . . .
4.2.1
63
Reflexion bei Einfall einer ebenen homogenen Welle auf eine leitende
ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Reflexion an der Vorderseite einer metallischen Kugel . . . . . . .
70
Streuung an dielektrischen Körpern, die klein gegen die Wellenlänge sind
(Rayleigh–Streuung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.4
Reflexion an einer leitenden Halbebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.5
Abhängigkeit des Radarquerschnitts von der Frequenz und dem Aspektwinkel 77
4.6
Volumenhafte meteorologische Radarziele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2
4.3
5 Phasengesteuerte Antennen
79
83
5.1
Prinzipielle Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.2
Die Richtcharakteristik einer phasengesteuerten Antenne . . . . . . . . . .
84
5.3
Kenngrößen einer phasengesteuerten Antenne . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.4
Diskretisierungsfehler bei einer phasengesteuerten Antenne
. . . . . . . .
90
5.5
Array aus Patch-Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5.5.1
Lineares Patch-Array mit λ/4 Abständen . . . . . . . . . . . . . .
95
5.5.2
Lineares Patch-Array mit λ/2 Abständen . . . . . . . . . . . . . .
96
5.5.3
Lineares Patch-Array mit 3λ/4 Abständen . . . . . . . . . . . . . .
98
5.5.4
Getapertes Patch-Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.6
Phasengesteuerte Empfangsantennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6 Antennenmesstechnik
6.1
101
Die Messeinrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Literaturverzeichnis
105
Kapitel 1
Einführung
Wellenfronten
Ltg.
Ant
S11
1
2
S 22
Abbildung 1.1: Reziproke: S21 = S12
~
0.2mm
Bonddraht
(vergoldet,
Ø=17 μm)
IC
Abbildung 1.2: Kleinstantennen
1.1
Einleitung
Unter dem Kunstwort RADAR (RAdio Detection And Ranging) werden die Methoden
zur Entdeckung von Objekten und zur Bestimmung ihrer räumlichen Lage sowie ihres
Bewegungszustandes mit Hilfe elektromagnetischer Wellen zusammengefaßt.
1
2
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Folie
Duenn- oder
Dickschichtmetallisierung
H
tr F-E
on le
ik k-
Abbildung 1.3: Folienantennen
Abbildung 1.4: Substratantennen
Trotz eines relativ geringen Auflösungsvermögens werden Radarverfahren sehr häufig eingesetzt, da diese in der Lage sind, unabhängig von den Witterungsbedingungen Entfernungsangaben über große Reichweiten zu liefern.
1904 wurde erstmalig ein Radarverfahren zur Ortung von Schiffen als Patent angemeldet und realisiert. Nach 1940 erfolgte eine rasante systemtechnische und technologische
Entwicklung in der Militärtechnik. Im weiteren etablierte sich die Radartechnik in dem
ebenfalls kostenunempfindlicheren Bereich der Luft- und Raumfahrt.
Die technologische Entwicklung der letzten Jahre ermöglichte die kostengünstige Realisierung von Radargeräten für verschiedenste industrielle Bereiche, z.B. zur Füllstandsmessung und für den Verkehrsbereich mit Anwendungen zur berührungsfreien Weg- und Abstandsmessung. Während zur Navigation von Flugzeugen aufgrund der Forderung, große
Reichweiten überwachen zu können, vor allem das Impulsradar Anwendung findet, setzen
sich in der industriellen Meßtechnik vermehrt Systeme durch, die auf dem sogenannten
FMCW–Prinzip (engl. frequency modulated continuous wave) beruhen.
Mit FMCW–Verfahren lassen sich Präzisionsentfernungsmesser mit Genauigkeiten bis in
den Submillimeterbereich realisieren.
Abbildung 1.5: Drahtantennen
1.2. RADARGLEICHUNG
1.2
3
Radargleichung
Nach wie vor sind die verbreitetsten Einsatzgebiete von Radargeräten die Überwachung
des Luftraumes und die Ortung von Schiffen. Ein wesentliches Leistungsmerkmal derartiger Radaranlagen ist ihre maximale Reichweite. Den Zusammenhang zwischen der
maximal detektierbaren Entfernung Rmax und den Kenngrößen der Radaranlage, wie
beispielweise der Sendeleistung sowie den Reflexionseigenschaften des Radarzieles gibt
die Radargleichung an.
Zur Herleitung dieser Radargleichung soll zunächst das Bild 1.6 betrachtet werden. Das
Radargerät strahlt einen kurzen Impuls elektromagnetischer Energie über die Antenne ab.
Diese Antenne weise den Gewinn G auf. Als Gewinn wird das Verhältnis der maximalen
Strahlungsdichte der Antenne zur Strahlungsdichte eines isotropen Strahlers (Kugelstrahlers) bezeichnet.
Abbildung 1.6: Anwendung eines Radargerätes in der Schiffahrt
Das Radarziel liegt praktisch immer im Fernfeld der Antenne und hat Ausdehnungen,
die klein gegen die Strahlungskeulenbreite der Antenne sind. Somit trifft eine homogene
ebene Welle mit der Strahlungsdichte Sa auf das Radarobjekt. Die Intensität der auf das
Ziel einfallenden Strahlung steigt mit zunehmender Sendeleistung Pt und verbessertem
Antennengewinn G. Mit zunehmendem Abstand R verringert sich die Strahlungs- bzw.
Leistungsdichte Sa umgekehrt proportional zur anwachsenden Kugeloberfläche 4πR2 eines
isotropen Strahlers.
1
Sa = Pt G
(1.1)
4πR2
Das im allgemeinen richtungsabhängige Reflexionsverhalten des Zieles wird über den sogenannten Radarquerschnitt σ beschrieben. Unter Berücksichtigung der Entfernung R
vom Radarziel zur Empfangsantenne erhält man die Empfangsstrahlungsdichte Se :
Se =
Pt G
1
σ
4πR2
4πR2
.
(1.2)
4
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Unter Verwendung der Antennenwirkfläche Ae , die direkt mit dem Gewinn G der Antenne
verknüpft ist,
Ae =
λ2 G
4π
(λ: elektr. Wellenlänge)
,
(1.3)
erhält man die Empfangsleistung Pe = Se · Ae :
Pe =
Pt G Ae σ
2
(4π) R4
.
(1.4)
Übersprecher, Systemrauschen und die verwendete Filterbandbreite beschränken das Empfangssystem auf eine minimal noch nachweisbare Empfangsleistung Pe,min . Die sogenannte Radargleichung gibt die maximale detektierbare Entfernung Rmax an :
Rmax =
Pt G Ae σ
1/4
2
(4π) Pe,min
.
(1.5)
Diese hängt sowohl von den Systemparametern Pt , G, Ae und Pe,min als auch von dem
Reflexionsvermögen des Meßobjektes mit dem Radarquerschnitt σ ab.
1.3
Grundprinzip
Abbildung 1.7: Pulsradar
Beim klassischen Pulsradar wird die Entfernung zum Radarziel aus der Impulslaufzeit
und dessen Richtung aus der Winkelstellung einer gut bündelnden Antenne bestimmt.
Die Entfernung R ergibt sich aus der Impulslaufzeit τR zum Ziel und zurück unter der
Annahme, daá sich die elektromagnetische Welle mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet.
c τR
(1.6)
R =
2
Eine elektromagnetische Welle benötigt für eine Wegstrecke von 30 cm gerade 1 ns oder
für 300 m die Zeit von 1 μs. Nachdem ein einzelner Impuls gesendet worden ist, sollte eine
gewisse Zeit vergehen, bis auch die Echos von den am weitesten entfernten Radarzielen
empfangen worden sind, bevor ein weiterer Impuls ausgesendet wird, damit Entfernungen
1.3. GRUNDPRINZIP
5
Abbildung 1.8: Dispersive Leitung verzögert 9 GHz Signal um 0.5 μs
eindeutig bestimmt werden können. Der maximale eindeutige Entfernungsbereich Reind
hängt von der Pulsfolgefrequenz fp bzw. der Pulsfolgezeit Tp = 1/fp ab:
Reind =
c Tp
2
.
(1.7)
Das Grundprinzip eines typischen Pulsradargerätes für Weitbereichsanwendungen kann
anhand des Blockschaltbildes 1.9 erläutert werden.
Abbildung 1.9: Blockschaltbild eines Pulsradars
Ein Taktgeber steuert den zeitlichen Ablauf der Signalerzeugung und der Darstellung auf
dem Sichtgerät. Dieser Taktgeber triggert den Pulsmodulator, der seinerseits über die Versorgungsspannung einen Hochleistungssender amplitudenmoduliert. Ein Weitbereichs–
Radargerät weist typisch eine Impuls–Spitzenleistung von einigen Megawatt und Impulsbreiten von einigen Mikrosekunden auf.
Der Sendeimpuls wird über eine rotierende Antenne, die wiederum auch für den Empfang
benutzt wird, abgestrahlt. Ein Sende–Empfangsschalter (Duplexer) schaltet für die Zeit
6
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
des Sendeimpulses den Sender auf die Antenne durch und trennt den Empfänger von
der Antenne, wodurch eine Zerstörung des Empfängers durch die Sendeenergie vermieden
wird. Wenn nicht gesendet wird, führt der Duplexer die von der Antenne empfangenen
Signale der rauscharmen Empfangsstufe zu und entkoppelt den Sender vom Empfänger.
Um das Systemrauschen möglichst gering zu halten, müssen die Empfangssignale möglichst rauscharm sein und soweit verstärkt werden, wie es die größtmöglichen Empfangsimpulse erlauben.
Mit Hilfe eines Fest- bzw Lokaloszillators und einem Mischer wird der Impuls, der im
einfachsten Fall aus einer kurzen hochfrequenten Folge von Sinusschwingungen besteht,
in einen Zwischenfrequenzbereich (ZF-Bereich) umgesetzt.
Zur weiteren Signalaufbereitung wird das ZF–Signal zunächst verstärkt und anschließend
gefiltert. Stand der Technik ist die Verwendung eines geeignet geformten Bandpaßfilters,
welches das Verhältnis der durchgelassenen Signalenergie zu dem am Ausgang verbleibenden Rauschpegel optimiert. Liegt weißes Rauschen vor, so muß das Optimal–Filter
(engl. matched filter) eine Impulsantwort aufweisen, die dem gespiegelten Verlauf des
Sendeimpulses entspricht.
In einem nächsten Schritt wird durch Gleichrichtung mit dem Detektor die Einhüllende
des gefilterten ZF–Signalimpulses gewonnen, verstärkt und in einer Komparatorschaltung
mit einem Schwellwert verglichen. Sämtliche Signale, die den Schwellwert überschreiten,
werden bei einem derartigen Rundsichtradar als Funktion des Azimutwinkels und der
Entfernung zur Anzeige gebracht (Bild 1.10).
Abbildung 1.10: Bildliche Darstellung der Radarinformation:
links: in Polarkoordinaten mit Entfernung und Winkel,
rechts: bei festen Winkel mit der Amplitude als Funktion der Entfernung
1.4. RADARFREQUENZEN
1.4
7
Radarfrequenzen
Die Wahl des Frequenzbandes für ein Radargerät wird zunächst von den Anforderungen an das Winkelauflösungsvermögen bestimmt. So ergibt sich beispielsweise für eine
rechteckige Flächenantenne mit der Breite L eine sogenannte Halbwertsbreite Δϕ in der
Winkelauflösung von
Δϕ = 0.88
λ0
L
(λ0 : Wellenlänge im freien Raum, Δϕ in Radian) .
(1.8)
Somit erzwingt die Vorgabe einer Winkelauflösung Δϕ und einer maximalen Antennengröße L die kleinste Betriebsfrequenz f .
f = 0.88
c0
Δϕ L
(c0 : Lichtgeschindigkeit im freien Raum)
(1.9)
Ein weiteres und oft erheblicheres Kriterium für die Wahl der Betriebsfrequenz sind die
rechtlichen Vorschriften. Speziell bei Entfernungsmessern für industrielle Anwendungen
sind von den deutschen Behörden lediglich drei Bänder freigegeben (Tabelle in Bild 1.12).
Will man jedoch bei anderen Frequenzen arbeiten, so darf das Gerät entweder im Einsatzfall keine Strahlung in die Umwelt abgeben, wie zum Beispiel bei einem Stahltank,
oder muß mit einer Sendeleistung von weniger als ca. -60 dBm arbeiten.
Des weiteren sind in der Tabelle 1.12 die wichtigsten freien Frequenzbänder für Industrieanwendungen in den USA und international vereinbarte Frequenzbänder für spezielle
Anwendungen im Schiffahrts- und Flugbereich angegeben.
Neben diesen künstlichen Einschränkungen muß man noch den Einfluß der Atmosphäre
beachten (Bild 1.11).
Den für unsere Atmosphäre charakteristischen Dämpfungsverlauf, der durch Molekülresonanzen der Gase der Atmosphäre bewirkt wird, überlagert sich unter Umständen der
dämpfende Einfluß von Nebel oder Regen. Diese Dämpfung hängt stark von der Nebeloder Regendichte ab.
Die Sauerstoffresonanz beschränkt die meisten Anwendungen auf Frequenzen bis 36 GHz.
Jedoch sind bei speziellen Anwendungen hohe Dämpfungen erwünscht, wie beispielsweise
beim Abstandswarnradar. Da speziell der Nebel bei höheren Frequenzen über den infraroten Bereich bis weit über den sichtbaren Bereich hinaus elektromagnetische Wellen
erheblich dämpft, ist das Fenster bei 94 GHz für viele zukünftige Anwendungen von großer
Bedeutung.
8
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Abbildung 1.11: Allgemeine Freiraumdämpfung in der Atmosphäre
1.4. RADARFREQUENZEN
USA
L
S
C
X
K
Q
V
W
9
Frequenzbänder
Freie Bänder für
International vereinbarte Frequenzbänder
Bandbezeichnung
Industrieanwendungen
für Radaranwendungen
Frequenzin
in den FrequenzEU
BRD bereich in Deutschland USA in bänder in
typische Radaranwendungen
GHz
in GHz
GHz
GHz
0.3
B
ISM
·
0.433
·
ISM/RFID
UHF
·
C
0.868
GSM
1
0.900
1.215
1
Sekundärradar; Mittelbereich·
⁞
·
1.500
1.400 Rundsichtradar für LuftraumüberL
D
·
1.800
1.722
wachung; GPS; GSM; UMTS
2.000
⁞
2
2.400
2.200
2.300
2
·
⁞
E
⁞
Flughafen-Rundsichtradar
·
2.500
2.500
Weitbereichsver-folgung
S
·
3.358
2.700
(Tracking); Schiffsradar
·
⁞
⁞
F
3.600
3.700
4
4
·
5.725
5.460
5.250
G
·
⁞
⁞
⁞
Präzise Schiffsführung
C
·
5.875
5.925
·
7.250
H
8
8.500
8.500
8
·
⁞
·
I
Präzisions-Anflug-radar;
·
9.000
·
Wetterradar
in Flugzeugen;
X
·
9.500
·
Schiffsradar
·
⁞
·
10.60
10.68
12
12.7
13.40
12
·
⁞
⁞
J
·
13.25
14.00
Dopplernavigation
Ku
·
13.40
15.70
·
⁞
⁞
14.47
17.70
18
18
·
24.00
24.00
·
⁞
·
K
·
24.25
·
Rollfeldüberwachung auf
·
27
·
K
27
Flughafen
·
31.20
·
31.80
33.40
Ka
·
⁞
⁞
36.50
36.00
40
40
·
60
Körperscanner;
L
·
⁞
V
Short-Range-Communication
·
65
75
75
·
77
Autoradar
M
·
W
·
110
Abbildung 1.12: Aufstellung von Frequenzbändern der wichtigsten HF-Anwendungen
10
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Kapitel 2
Grundbegriffe der
Antennentheorie
1
Während die Baugruppen des Sende- und Empfangszweiges für verschiedene Anwendungen ähnlich sind, bringt die Applikation der Antenne eines Radargerätes an ein spezielles
Einsatzgebiet häufig neue Problemstellungen mit sich.
Die exakte Berechnung der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen muß von der Lösung
der Maxwellschen Gleichungen unter Berücksichtigung der Randbedingungen erfolgen.
Erfüllt eine Lösung die Maxwellschen Gleichungen, so ist diese Lösung aufgrund des Eindeutigkeitsatzes die einzige. Diese Vorgehensweise ist nur in Sonderfällen wie zum Beispiel
dem Elementarstrahler und der offenen Rechteckhohlleitung möglich.
Daher greift man in der Regel schon bei einfachen Anordnungen auf numerische Verfahren
zurück.
In vielen Fällen wird lediglich die Stromverteilung auf der Antenne numerisch berechnet,
da bei vorgegebener Stromverteilung sich das abgestrahlte Feld geschlossen berechnen
läßt.
Für einige sogenannte Flächenantennen wie den Hornstrahler und die Parabolantenne
kann man die Stromverteilung in guter Näherung angeben und deren Abstrahlung somit
ohne numerische Hilfsmittel berechnen.
1 Die Kapitel 2. und 3. sind aus dem Manuskript „Mikrowellentechnik“ bzw. „Radartechnik“ von Prof.
H. Chaloupka übernommen und nur geringfügig verändert worden. Der Abdruck hier erfolgt mit freundlicher Genehmigung des Autors.
11
12
2.1
2.1.1
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Das Feld eines Elementarstrahlers
Elektrischer Elementarstrahler
Aus der Elektrostatik ist der statische Dipol bekannt. Man erhält ihn aus zwei Punktladungen der Ladung q und −q, indem man deren Abstand gegen Null gehen läßt und
dabei q so vergrößert, daß das Produkt, nämlich das Dipolmoment p
p = q
(2.1)
endlich bleibt. Das von diesem Dipol im leeren Raum erregte Feld ist:
→
p
→
→
u
u
E =
+
2
cos
ϑ
sin
ϑ
.
ϑ
r
4π0 r3
→
(2.2)
→
Dabei sind u ϑ und u r Einheitsvektoren, r ist der Abstand zum Aufpunkt, ϑ ist der
Elevationswinkel und ϕ der Azimutwinkel (Bild 2.1).
z
ur
Aufpunkt
uϑ
ϑ
r
+q
l
y
Ha
up
ta
bs
tr
ah
l-
-q
ϕ
ng
tu
h
c
ri x
Abbildung 2.1: Zur Erläuterung des statischen Dipoles
Falls zwischen den beiden Punktladungen ein zeitabhängiger Strom i(t) (positive Zählrichtung +z)
fließt, wird auch das Dipolmoment p zeitabhängig, und es gilt:
dp
dq
= ṗ = = i(t)
dt
dt
.
(2.3)
Ein elektrischer Elementarstrahler, der auch als Hertz’scher Dipol bezeichnet wird, weist
ein derartig zeitabhängiges Dipolmoment auf und wird, wie im Bild 2.2 angegeben, realisiert.
2.1. DAS FELD EINES ELEMENTARSTRAHLERS
13
z
i(t)
l
y
x
Abbildung 2.2: Realisierung des elektrischen Elementarstrahlers
Das elektromagnetische Feld dieses Dipols muß im quellenfreien Raum die entsprechenden
Maxwellschen Gleichungen für r = 0 erfüllen.
→
∂E
rot H = 0
∂t
→
und
→
∂H
rot E = −μ0
∂t
→
(2.4)
Dabei ergibt sich die Lösung
→
p(t − rc ) ṗ(t − rc )
p(t − rc ) ṗ(t − rc ) p̈(t − rc )
1
→
→
u
u
+
+
+
cos ϑ r ,
sin ϑ ϑ +2
E(r, ϑ, t) =
4π0
r3
cr2
c2 r
r3
cr2
(2.5)
1 ṗ(t − rc ) p̈(t − rc )
→
+
sin ϑ u ϕ
H(r, ϑ, t) =
2
4π
r
cr
→
,
(2.6)
√
wobei c = 1/ 0 μ0 die Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Die Gültigkeit der Lösung mit
den Gleichungen (2.5) und (2.6) läßt sich bestätigen, indem man zeigt, daß
• die Maxwellschen Gleichungen erfüllt sind und
• im Grenzfall
ergibt.
ṗ = p̈ = 0
und
p(t − rc ) = p
sich die statische Lösung
Die Lösung, die diese beiden Bedingungen erfüllt, ist wegen des Eindeutigkeitssatzes auch
die einzige Lösung des Abstrahlungsproblems.
Aus den Gleichungen (2.5) und (2.6) erkennt man, daß der zeitliche Verlauf des elektrischen und magnetischen Feldes durch den zeitlichen Verlauf des Dipolmomentes p(t)
und seiner Ableitungen ṗ und p̈ bestimmt wird. Dabei tritt allerdings wegen der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit des elektromagnetischen Feldes eine Zeitverzögerung
(Retardierung) von τ = r/c auf.
Die retardierte Zeit τ gibt somit die Laufzeit an, die eine elektromagnetische Welle vom
Quellpunkt zum Aufpunkt r bei einer Ausbreitung mit der Lichtgeschwindigkeit c benötigt.
14
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Für den Fall einer harmonischen Zeitabhängigkeit (Kreisfrequenz ω, Freiraumwellenlänge
λ0 = 2πc/ω) erhält man nach Einführung der üblichen Phasorenschreibweise
p(t) = Re P e jωt
,
i(t) = Re I e jωt
usw.
(2.7)
und unter Berücksichtigung von I = jωP
(siehe Gleichung (2.3)) aus den Gleichungen (2.5) und (2.6) für die Phasoren des elektrischen und magnetischen Feldes:
→
1
1
1
→
→
1
+
+
sin ϑ u ϑ + 2
cos ϑ u r
jk0 r (jk0 r)2
jk0 r (jk0 r)2
(2.8)
→
I →
−jk0 r 1 + 1
e
(r,
ϑ)
=
j
(2.9)
sin ϑ u ϕ
H
2 λ0 r
jk0 r
I e −jk0 r
E(r, ϑ) = jZ0
2 λ0 r
und
1+
√
mit der Wellenzahl k0 = ω 0 μ0 = 2π/λ0 und dem Ausbreitungswiderstand bzw.
Feldwellenwiderstand im leeren Raum Z0 = μ0 /0 ≈ 377 Ω .
Das Nahfeld ist dadurch charakterisiert, daß k0 r 1 gilt. Führt man diese Näherung
ein, so ergibt sich für das E–Feld ein Ausdruck, der dem statischen Feld entspricht und für
das H–Feld ein Feld, das dem stationären Feld eines stromdurchflossenen Leiters entspricht
(Nahfeld =
ˆ statischen Feldern). Im Fernfeld ist k0 r 1 und folglich 1 1/k0 r 1/(k0 r)2 . Aus den Gleichungen (2.8) und (2.9) ergibt sich für den Hertz’schen Dipol
das elektromagnetische Feld im Abstand von mehreren Wellenlängen (Fernfeld) in guter
Näherung zu
→
I →
e −jk0 r sin ϑ u ϑ
2 λ0 r
(2.10)
I →
e −jk0 r sin ϑ u ϕ .
2 λ0 r
(2.11)
E(r, ϑ) ≈ jZ0
und
→
H(r, ϑ) ≈ j
z
y
x
Abbildung 2.3: Fernfeld
2.1. DAS FELD EINES ELEMENTARSTRAHLERS
15
Schließlich kann man die Gleichungen (2.10) und (2.11) in koordinatenfreier Vektor-
→
schreibweise formulieren, wenn man die Orientierung des Dipols durch den Vektor →
→
mit dem Betrag = | | und die Richtung zum betrachteten Aufpunkt durch u r
beschreibt. (Siehe auch Bild 2.4)
Aufpunkt
ur
Dipol
r
I
I
Abbildung 2.4: Beschreibung des Dipols als Vektor
→
→
I × u r −jk0 r
e
H( r ) ≈ j
2 λ0 r
→ →
und
→ →
E ( r ) ≈ Z0
→ → H × ur
.
A
t0
t=t 0
t=t 4
t3
t6
t=t 1
t
t=t 2
t=t 5
t=t 3
t=t 6
Abbildung 2.5: Feldablösung
(2.12)
(2.13)
16
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Die durch den Raum emittierte Strahlungsleistungsdichte erhält man aus dem Realteil
des komplexen Poynting–Vektors
→
1 → → ∗ ,
(2.14)
S =
E×H
2
der für den Elementarstrahler nur eine Komponente in r–Richtung aufweist:
Sr
Z0
≈
2
I 2 λ0 r
2
sin2 ϑ
.
(2.15)
Aus den Gleichungen (2.10), (2.11) und (2.15) kann man die folgenden Eigenschaften des
Feldes in der Fernzone eines elektrischen Elementarstrahlers ablesen:
1. Die Flächen konstanter Phase (Phasenflächen) werden von den Kugelflächen um
den Ort des Dipols gebildet.
→
→
2. E und H liegen tangential zur Kugeloberfläche.
→
3. H liegt senkrecht zur Orientierung des Dipols.
→
→
4. E und H stehen senkrecht aufeinander und es gilt wie für ebene homogene Wellen
→
→
| E | = Z0 · | H | .
→
→
5. | E | und | H | fallen mit wachsendem Radius entsprechend 1/r ab.
6. Es findet ein reiner Wirkleistungstransport in Ausbreitungsrichtung statt.
7. Das Feld ist auf der Achse des Dipols (ϑ = 0, π) Null und wird in der Ebene durch
den Dipol, auf der der Dipol senkrecht steht, maximal. Die Felder sind unabhängig
vom Azimutwinkel ϕ.
z
Dipolantenne
0.02
a-
0
x
y
−0.02
0.06
0.04
0.05
0.02
Rundum-Strahlungsverhalten
0
−0.02
−0.04
−0.06
0
−0.05
Abbildung 2.6: Darstellung einer (symmetrischen) Dipolantenne entlang der z-Achse und der
zugehörigen Strahlungscharackteristik (Form eines Toroids) der Hauptkeule angesteuert über
eine symmetrische Quelle mittles eines Gegentaktsignales (links: 2D, rechts: 3D)
2.1. DAS FELD EINES ELEMENTARSTRAHLERS
2.1.2
17
Magnetischer Elementarstrahler
Eine stromdurchflossene Leiterschleife mit kleinen Abmessungen (Abmessungen λ0 )
erzeugt ein Feld, das zu dem Feld des oben beschriebenen elektrischen Elementarstrahlers
→
→
dual ist, d. h. die Felder gehen bis auf Konstanten durch Vertauschen von E und H
auseinander hervor (Bild 2.7).
Flaeche A
M
I
Abbildung 2.7: Magnetischer Elementarstrahler
Führt man formal den magnetischen Strom M ein,
→
→
M = j Z0 k0 A I
,
(2.16)
wobei A den Flächeninhalt der Leiterschleife angeben soll, dann erhält man für die Fernzone, also für k0 r 1, dieses magnetischen Elementarstrahlers analog zu den Gleichungen
(2.12) und (2.13)
→
→
→ →
M × u r −jk0 r
r
(
e
(2.17)
)
≈
−j
E
2 λ0 r
und
→ →
H( r ) ≈
→
1 →
ur × E .
Z0
(2.18)
18
2.2
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Das Fernfeld einer beliebigen Stromverteilung im
freien Raum
In diesem Abschnitt soll das Gesamtfeld betrachtet werden, das aus der Überlagerung
der Felder mehrerer Elementarstrahler entsteht. Dabei wird angenommen, daá der Abstand r des Aufpunktes P zu den Elementarstrahlern (Quellpunkte) die Fernfeldbedingung k0 r 1 erfüllt.
Die Grundidee soll zunächst anhand des Sonderfalls von zwei elektrischen Elementarstrahlern erläutert werden. Die beiden Elementarstrahler mögen sich entsprechend Bild 2.8 in
→
→
den Punkten befinden, die durch die Ortsvektoren ρ 1 und ρ 2 beschrieben werden.
I1
1
ur1
r1
r
ur
Aufpunkt
P
r2
ur2
I2
2
Abbildung 2.8: Berechnung des Fernfeldes von zwei Elementarstrahlern
→
Für die Beträge r, ρ1 und ρ2 sowie den Aufpunktvektor u r gilt:
→ ρi = ρ i ;
→
r = r ;
→
→
ur =
r
.
r
Das elektrische Feld im Aufpunkt P erhält man durch Überlagerung der Einzelbeiträge
→
→
mit den Aufpunktsvektoren u r1 und u r2 nach Gleichung (2.13) und (2.12) zu:
→ 1
→ 1
→
→ →
→
→
jZ0 →
r
r
−jk
−jk
0
1
0
2
I1 1 × u r1 × u r1
e
+
I2 2 × u r2 × u r2
e
.
E( r ) =
2λ0
r1
r2
(2.19)
→
→
→
Die Größen r1 , r2 , u r1 und u r2 sollen durch die Größen r, u r und die Ortsvektoren der Quellpunkte ρ1 und ρ2 ersetzt werden. Die Anwendung des Satzes des Pythagoras
liefert für das rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse r1
r12 = (r − ρ1 cos β)
2
2
+ (ρ1 sin β) .
Multipliziert man Gleichung (2.20) aus und ersetzt das skalare Produkt
r · ρ 1 , so errechnet sich r1 zu
→ →
r1 =
→
→
und mit r = r u r zu
→
→
r2 + ρ21 − 2 ρ 1 · r
r1 = r
1 +
→
(2.20)
rρ1 cos β
durch
(2.21)
→
ρ21
2 ρ 1 · ur
−
2
r
r
.
(2.22)
2.2. DAS FERNFELD EINER BELIEBIGEN STROMVERTEILUNG IM FREIEN RAUM19
Der Wurzelausdruck wird in eine Taylorreihe entwickelt:
⎧
⎨
r1
1
= r
1 +
⎩
2
→
→
ρ21
2 ρ 1 · ur
−
2
r
r
1
−
8
→
→
ρ21
2 ρ 1 · ur
−
2
r
r
2
+ ...
⎫
⎬
⎭
.
(2.23)
Im Ferfeld gilt ρ1 /r 1 . Weil r1 im Phasenterm des elektrischen Feldes auftritt,
werden nichtsdestotrotz zur Berechnung von r1 zunächst sämtliche Glieder mit ρ21 /r2
berücksichtigt:
→
→
r1 = r − ρ 1 · u r +
1 1
2 r
→ → 2 ρ21 − ρ 1 · u r
.
(2.24)
Abgesehen von den Phasengrößen ϕi = k0 ri der Exponentialfunktionen in Gleichung
→
(2.19) kann man für die Größen ri und u ri die gröbere Näherung
ri ≈ r
und
→
u ri
→
≈ ur
einführen.
Eine Abschätzung des Phasenfehlers ist mit Hilfe des dritten Gliedes möglich, das propor→
→
tional (ρ21 − ( ρ 1 · u r )2 ) ist. Der Phasenfehler, der durch das dritte Glied verursacht
→
→
wird, ist maximal, wenn ρ 1 · u r = 0 ist. Benutzt man diese Beziehung und legt eine
mehr oder weniger willkürliche Fehlerschranke von π/8 für den Phasenfehler Δϕ fest,
dann erhält man, wenn man das dritte Glied der Phase ϕ1 = k0 r1 als Maß für den
Phasenfehler nimmt:
1 1 2
π
ρ <
Δϕ ≈ k0
2 r 1
8
π
π ρ21
<
.
(2.25)
Δϕ ≈
λ0 r
8
→
→
Bezeichnet man mit D = | ρ 1 − ρ 2 | den Abstand zwischen den beiden Quellpunkten
→
→
und nimmt an, daß ρ 1 = − ρ 2 und somit D = 2 ρ1 ist, dann wird die Ungleichung
(2.25) erfüllt, wenn
r >
2 D2
λ0
(Fernfeldbedingung)
(2.26)
gewählt wird.
Das durch die Ungleichung (2.26) definierte Raumgebiet bezeichnet man als Fernfeldzone
oder Fraunhoferzone und das Feld in diesem Gebiet als Fernfeld. Muß man die ersten
drei Glieder in der Reihe zur Approximation der Phase verwenden, dann spricht man
von der Fresnelzone. Unter Berücksichtigung der oben diskutierten Näherungen für die
Fernfeldzone erhält man für das Fernfeld der beiden Elementarstrahler, wenn man die
Reihenfolge im Vektorprodukt vertauscht:
→ →
E( r ) =
e −jk0 r → →
E0 ( u r )
r
mit
20
→
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
→
E0 ( u r ) =
j Z0 →
ur ×
2 λ0
→
ur
×
→
→
→
→
→
→
ρ
ρ
I1 1 e (jk0 u r · 1 ) + I2 2 e (jk0 u r · 2 )
.
(2.27)
Diese am Beispiel von zwei elektrischen Elementarstrahlern gezeigte Vorgehensweise läßt
sich auf die Berechnung des Feldes einer beliebigen räumlich verteilten Flächenstromdichte
→
→
übertragen. Das Stromelement I wird dabei durch das Flächenstromelement J ds
→
mit der Flächenstromdichte J ersetzt (Bild 2.9).
→
→
J ds = J d1 d2
(2.28)
J
1
2
Abbildung 2.9: Flächenstromelement
→
Für die magnetische Flächenstromdichte M gelten ähnliche Überlegungen, wie sie für die
→
elektrische Flächenstromdichte J angestellt wurden.
Zur Berechnung des Feldes einer ausgedehnten Stromverteilung (Bild 2.9) tritt an die
Stelle der Summe ein Integral über alle Quellen. Man erhält für das Fernfeld:
→ →
E( r ) =
mit
→ →
E0 ( u r )
j
=
2 λ0
→
ur
e −jk0 r → →
E0 ( u r )
r
(2.29)
→ →
→
→ → → → ρ)
u
·
(jk
0
r
× Z0 u r × J ( ρ ) + M( ρ ) e
ds
S
(2.30)
bzw.
→
→
E0 ( u r )
−j
=
2 λ0
→ → → → → → → →
→ →
→
u r · ρ ) ds
(jk
0
Z0 J ( ρ ) − J ( ρ ) · u r · u r + M( ρ ) × u r e
S
(2.31)
2.2. DAS FERNFELD EINER BELIEBIGEN STROMVERTEILUNG IM FREIEN RAUM21
und
→ →
H( r ) =
→ → 1 →
u r × E( r )
Z0
.
(2.32)
Bild 2.10 dient zur Erläuterung der Umformung von Gleichung (2.30) nach Gleichung
(2.31).
J
J
J ur
ur
ur
M
ur
ur J
M ur
Abbildung 2.10: Zur Erläuterung einer Vektorumformung
→
→
→
→
Das Kreuzprodukt u r × J steht senkrecht zu den beiden Vektoren u r und J und das
→
→
→
→
→
→
doppelte Kreuzprodukt u r × u r × J nunmehr senkrecht zu u r und u r × J 2 . Die
Richtung der Vektoren sind im Sinne einer Rechtsschraube zugeordnet.
Die Anwendung der Gleichungen (2.29) bis (2.32) soll anhand des Bildes 2.11 für den Fall,
→ →
daß nur eine Flächenstromdichte J ( ρ ) vorhanden ist, erläutert werden.
J( )
H(r)
Q=Querpunkt
ur
P
r
E(r)
D
Flaeche
S
Abbildung 2.11: Zur Erläuterung des Integrals über die Flächenstromdichte
Die Integration muß unter Berücksichtigung der eingezeichneten Vektoren über die im
Schnitt gezeichnete Fläche S erfolgen.
Die Abmessung D der Fernfeldbedingung (Gleichung (2.26)) hat nunmehr die Bedeutung
der größten Linearabmessung der Stromverteilung.
Die Gleichungen (2.29) bis (2.32) stellen das Ergebnis dieses Abschnitts dar. Die aus diesen Gleichungen folgenden Eigenschaften des Fernfeldes einer beliebigen Stromverteilung
können wie folgt zusammengefaßt werden:
2 Der
Betrag der Kreuzprodukte ist gleich der aufgespannten Fläche eines Parallelogramms.
22
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
→
1. Die Ortsabhängigkeit der elektrischen Feldstärke E ist durch das Produkt von
1
−jk0 r ist unabhängig
zwei Funktionen gegeben. Der erste Faktor nämlich
r e
von der speziellen Form der Stromverteilung und beschreibt den Amplitudenabfall sowie die Phase des Feldes in Abhängigkeit vom Abstand r. Der zweite Faktor
→ →
→
→
→
u r = u r (ϑ, ϕ) abhängig, also
E0 ( u r ) = E0 (ϑ, ϕ) ist nur von der Richtung
von r unabhängig. Dabei sind ϑ und ϕ die beiden Koordinatenwinkel in Kugelko→ →
→
ordinaten. Man nennt E0 ( u r ) = E0 (ϑ, ϕ) die absolute Richtcharakteristik der
Stromverteilung.
→
→ →
→
→
→
2. Da nach Gleichung (2.31) die Vektoren ( J −( J · u r ) · u r ) und M × u r im
→ →
→
→
Integranden auf u r senkrecht stehen, liegt auch E( r ) senkrecht auf u r , also tangential zu der Kugelfläche um den Nullpunkt.
→
→
→
3. Nach Gleichung (2.32) steht H senkrecht auf E und u r . Es gilt für die Beträge:
→
→
E
.
(2.33)
H =
Z0
Das elektrische und magnetische Feld sind in Phase.
2.3
Das Äquivalenzprinzip (Huygensches Prinzip)
Der Entwurf einer Radaranlage erfordert einerseits Kenntnisse über die Strahlungseigenschaften wie zum Beispiel Richtcharakteristik, Gewinn, Halbwertsbreite, Nebenkeulendämpfung der in Frage kommenden Antennen und anderseits Kenntnisse der Rückstreueigenschaften wie Streumatrix, Radarquerschnitt möglicher Radarziele.
Die Bestimmung dieser Größen stellt im allgemeinen ein kompliziertes elektromagnetisches Randwertproblem dar, dessen strenge Lösung im allgemeinen einen sehr hohen
rechnerischen Aufwand erfordert. Man benutzt in der Regel Näherungsverfahren, deren
Ergebnisse für den hier vorliegenden Zweck praktisch ausreichend sind. Außerdem haben diese Näherungsverfahren den Vorteil, daß sie einen guten Einblick in die prinzipielle
Wirkungsweise von Antennen geben.
Aus dem vorherigen Abschnitt ist der Zusammenhang zwischen der Verteilung der elektrischen und magnetischen Ströme (Quellen) und dem zugehörigen elektromagnetischen
Feld unter der Voraussetzung des freien Raums (d. h. homogener Raum mit r = μr = 1
für alle Punkte) bekannt. Diese Ergebnisse lassen sich nicht auf direktem Wege auf die
vorliegenden Probleme (Antenne, Radarziel) anwenden. Hier ist nämlich die Voraussetzung des homogenen Raumes verletzt, da die Antennen und Radarziele aus Material mit
r = 1 (meistens Metall) bestehen. Außerdem befinden sich die eigentlichen Quellen
elektromagnetischer Felder in den verwendeten Röhren und Halbleiterbauelementen. Man
kann jedoch mit Hilfe des Äquivalenzprinzips (auch als Huygensches Prinzip bezeichnet)
das vorliegende Problem durch Quellen im freien Raum beschreiben.
Die hier benötigten Aussagen des Äquivalenzprinzips lassen sich folgendermaßen zusammenfassen:
2.3. DAS ÄQUIVALENZPRINZIP (HUYGENSCHES PRINZIP)
23
i ) Es werden Volumenbereiche Vi , (i = 1, 2, . . .) , beliebiger geometrischer Gestalt eingeführt, die diejenigen Strukturen einschließen, welche die Homogenität des
Raumes stören. In Bild 2.13 ist die Radaranlage samt Antenne in V1 eingeschlossen
und das Radarziel in V2 .
Radaranlagen mit
Antenne
Radarziel
J n
u
J
u
V1
V2
Abbildung 2.12: Einschluß der Radaranlage und des Radarzieles in den Volumen V1 und V2
Radaranlagen mit
Antenne
Radarziel
V1
V2
Abbildung 2.13: Einschluß der Radaranlage und des Radarzieles in den Volumen V1 und V2
ii ) In allen Punkten auf der Oberߊche dieser Volumenbereiche werden ӊquivalente
→
→
Stromdichten” J und M definiert, die sich aus den in diesen Punkten herrschenden
→
→
Feldstärken E und H über
→
→
→
→
→
→
J =
und
n × H
M =− n × E
→
ergeben. Dabei ist n der nach außen zeigende Flächennormalenvektor.
(2.34)
(2.35)
24
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
J = n H
M = -n E
n
n
V1
n
n
n
n
V2
Abbildung 2.14: Radaranlage und Radarziel ersetzt durch äquivalente Quellen
iii ) Denkt man sich die unter ii) definierten äquivalenten Stromdichten im freien Raum
befindlich (Bild 2.14), so erzeugen sie außerhalb von V1 und V2 ein elektromagnetisches Feld, das demjenigen der ursprünglichen Anordnung entspricht. Innerhalb
dieser Volumenbereiche wird das von den äquivalenten Strömen erzeugte Feld zu
Null. Somit kann man anstelle der ursprünglichen Konfiguration (Bild 2.13) eine
Anordnung, die aus elektrischen und magnetischen Quellen im freien Raum besteht
(Bild 2.14) und hinsichtlich des Feldes außerhalb von V1 und V2 äquivalent ist, betrachten. Damit hat man zunächst nur eine neue Beschreibungsweise eingeführt. Da
die äquivalenten Ströme nach Gleichung (2.34) und (2.35) von dem Tangentialanteil
des elektrischen und magnetischen Feldes in der Oberfläche abhängen, dieses Feld
jedoch unbekannt ist, bleibt das Randwertproblem nach wie vor ungelöst. Es gibt
jedoch, wie weiter unten erläutert wird, brauchbare Näherungen für die Tangentialkomponenten der Felder in der Öffnung (Apertur) von Flächenstrahlern sowie auf
der Oberfläche von metallischen Streukörpern (Radarzielen). Diese Näherungslösungen gestatten nach Gleichung (2.34) und (2.35) die Bestimmung äquivalenter Ströme
und damit eine näherungsweise Lösung des Antennen- und Rückstreuproblems.
2.3. DAS ÄQUIVALENZPRINZIP (HUYGENSCHES PRINZIP)
25
R F=377 Ω
→∞
Abbildung 2.15: Feld im Volumen Monopol
E, H=0
E
E, H=0
H
E, H=0
Abbildung 2.16: Beispiel: Hornantenne
26
2.4
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Zusammenhang zwischen Aperturbelegung und Richtcharakteristik bei Flächenantennen
Radargeräte in der Schiffs- oder Flugüberwachung benötigen Antennen, die eine scharfe
Richtcharakteristik in der Horizontalebene (Azimut) und eine relativ geringe Bündelung
in der Vertikalebene (Elevation) besitzen.
Die bisher vorgestellten Linearantennen finden in der Radartechnik lediglich Einsatz als
Elemente von sogenannten Gruppenantennen, die im Kapitel 4 ausführlich behandelt
werden. Neben den elektronisch steuerbaren Gruppenantennen werden sehr häufig mechanisch schwenkbare Flächenantennen eingesetzt. Flächenantennen werden in zwei Klassen, den Strahlern und den Spiegelantennen, unterteilt. Bei Hohlleiterstrahlern erreicht
man eine sehr gute breitbandige Anpassung an den Wellenwiderstand des freien Raumes
mit einem trichterförmigen Übergang. Das elektromagnetische Feld in der Öffnungsfläche
(Aperturfläche) entspricht dem Feld des angeregten Wellentyps: H10 im Rechteck- bzw.
H11 im Rundhohlleiter. Weil bei Rechteckhörnern sich die Richtcharakteristik sehr genau
berechnen läßt, werden diese auch als Eichstrahler mit bekanntem Richtfaktor eingesetzt.
Einige Beispiele von Horn- bzw. Trichterstrahlern sind dem Bild 2.17 zu entnehmen.
Rechteckhorn
H-Sektorhorn
Kegelhorn
Abbildung 2.17: Hohlleiterantennen
Als Erreger in Spiegelantennen werden in der Regel Hornstrahler eingesetzt.
Einfache Spiegelantennen werden unter Verwendung der Methoden der geometrischen
Optik dimensioniert: Der Laufweg aller Strahlen ist vom Wellenzentrum im Brennpunkt
F über die Reflexion an der parabolisch geformten Spiegelfläche bis zur Öffnungsebene
(Apertur) gleich lang und damit ist die Phasenbelegung in der Apertur konstant.
Bild 2.18 illustriert drei häufig eingesetzte Spiegelantennen.
Beide Arten von Flächenantennen haben gemein, daß
a.) deren geometrische Abmessungen ein Vielfaches der Wellenlänge λ0 beträgt.
b.) deren Hauptstrahlrichtung senkrecht zur Hauptausdehnung der Antenne steht.
c.) eine in nächster Nähe der Antenne befindliche ebene Fläche (Apertur) begrenzter
Abmessung angebbar ist, durch die der weitaus größte Teil der Strahlung hindurchgeht.
Nach Abschnitt 2.3 kann man zur Berechnung des Strahlungsfeldes die Antenne durch eine
äquivalente Stromverteilung im freien Raum ersetzen (Gleichung 2.34). Für eine exakte
2.4. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN APERTURBELEGUNG UND RICHTCHARAKTERISTIK BEI FLÄCHENA
Apertur
Paraboloid
ebene
Phasenfront
Ausschnitt aus
einem Paraboloiden
Subreflektor
F
F
D
F
F
Hyperboloid
Parabolantenne
Muschelantenne
Cassegrain-Antenne
Abbildung 2.18: Beispiele für Flächenstrahler
Abbildung 2.19: Beispiel: TEM-Horn
Berechnung müßte man die äquivalente Stromverteilung auf einer geschlossenen, die ganze
Antenne umschließenden Oberfläche berücksichtigen. Denkt man sich diese Oberfläche so
gelegt, daß die oben eingeführte Apertur Teil dieser Oberfläche ist, so ist aufgrund der
Definition der Apertur (=Ebene, durch die der weitaus größte Teil der Strahlung geht) der
Beitrag der äquivalenten Ströme auf dem restlichen Teil der Oberfläche vernachlässigbar,
besonders bezüglich des Strahlungsfeldes auf der Vorderseite der Antenne.
Anstatt über die geschlossene Oberfläche integriert man also näherungsweise nur über
die ebene Aperturfläche. Im übrigen Bereich der geschlossenen Oberfläche werden die
Flächenströme zu Null angenommen. Grundsätzlich kann bei einer gegebenen Flächenantenne die Apertur mehr oder weniger willkürlich gewählt werden. Im allgemeinen wählt
man sie jedoch so, daß man für den Verlauf der äquivalenten Stromdichten (proportio→
→
nal den Transversalkomponenten von E und H ) in der Apertur eine einfache Näherung
mit genügender Genauigkeit angeben kann. Bei einem zur Achse symmetrischen Parabolspiegel mit kreisförmiger Berandung läßt man sie mit der Spiegelöffnung, bei einem
Hornstrahler mit der Hornöffnung zusammenfallen. Bild 2.20 zeigt eine Apertur, die in
die Ebene x = 0 gelegt ist.
Nach Gl.2.35 ergibt sich für die Apertur eine äquivalente magnetische Flächenstromdichte
von
→
→
→
→
→
M(y, z) = − n × E(0, y, z) = − u x × Et (y, z)
→
→
→
.
(2.36)
Dabei ist Et (y, z) = E − Ex · u x der parallel zur Aperturebene orientierte Anteil (Transversalanteil) des elektrischen Feldes.
28
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
z
y
: Elevationswinkel
u =e 2
: Azimuthwinkel
ur
u =e 1
x
Hauptstrahlrichtung
Abbildung 2.20: Apertur in der Ebene x = 0 und zugehöriges Koordinatensystem
Nimmt man in einer weiteren Näherung an, daß zwischen dem transversalen Anteil des
elektrischen und magnetischen Feldes in der Apertur näherungsweise der gleiche Zusammenhang wie für TEM–Wellen gilt, nämlich
→
Ht (y, z) ≈
→
1 →
u x × Et (y, z)
Z0
(2.37)
.
→
dann läßt sich auch die elektrische Flächenstromdichte durch Et (y, z) ausdrücken:
→
J (y, z)
=
≈
=
→
→
→
→
n × Ht (0, y, z) = u x × Ht (y, z)
→
1 →
→
ux ×
u x × Et (y, z)
Z0
1 →
−
.
Et (y, z)
Z0
→
,
,
(2.38)
→
Nach Einsetzen dieses speziellen Ausdrucks für M und J wird aus Gl. 2.30
→ →
E0 ( u r )
mit
j
= −
2 λ0
→
S
ρ =
→
ur
×
→
→
→
→ →
→
ρ
u x + u r × Et (y, z) e jk0 u r dy dz ,
→
y · uy + z · uz
(2.39)
.
Das Integral ist über die ebene Aperturfläche S zu erstrecken. Der Integralausdruck kann
über die in Bild 2.20 eingeführten Koordinaten umgeschrieben werden. Man beachte, daß
der Winkel θ sich an der Hauptstrahlrichtung orientiert und nicht mit dem Winkel ϑ nach
Bild 2.1 , der von der z–Achse aus gerechnet wird, übereinstimmt. Im einzelnen wird:
2.4. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN APERTURBELEGUNG UND RICHTCHARAKTERISTIK BEI FLÄCHENA
→
a.) das transversale Feld Et (y, z) in der Apertur in seine Komponenten bezüglich der
z– und y–Achse zerlegt.
→
Et (y, z)
→
→
= Ey (y, z) u y + Ez (y, z) u z
(2.40)
b.) die Richtung vom Koordinatennullpunkt zum Punkt, in dem das Fernfeld bestimmt
werden soll (Aufpunkt), durch die Winkel θ und ϕ beschrieben:
→
→
→
→
u r = sin θ · u z + cos θ · cos ϕ · u x + sin ϕ · u y
.
(2.41)
→
→
→
c.) der Vektor E0 (θ, ϕ) in Komponenten bezüglich der Einheitsvektoren e 1 und e 2 ,
die aufeinander senkrecht stehen und tangential zur Kugeloberfläche liegen, zerlegt:
→
E0 (θ, ϕ)
mit
→
e1
→
→
= E01 · e 1 + E02 · e 2
→
→
= − sin ϕ · u x + cos ϕ · u y
und
→
e2
(2.42)
,
→
→
= e 1 × ur .
→
→
→
→
→
Wenn man Gl. 2.39 mit Hilfe von Gl. 2.40 und 2.41 in den Komponenten u x , u y , u z , Ey , Ez , θ, ϕ
→
ausdrückt und anschließend E0 aus Gl. 2.39 durch Bildung des Skalarproduktes in zwei
→
→
Komponenten in Richtung von e 1 und e 2 zerlegt, erhält man:
→
E0 (θ, ϕ)
j
=
2λ0
→
→
e 1 · (cos θ + cos ϕ) + e 2 · sin ϕ · sin θ ·
+
Ey (y, z) e jk0 (z sin θ + y cos θ sin ϕ) dy dz
→
→
e 1 · sin ϕ · sin θ − e 2 · (cos θ + cos ϕ) ·
(z
sin
θ
+
y
cos
θ
sin
ϕ)
jk
0
dy dz
Ez (y, z) e
Für Aufpunkte in der Horizontalebene θ = 0 (Ebene z = 0) vereinfacht sich Gl. 2.43 zu
→
→
j (1 + cos ϕ)
e1 ·
Ey (y, z) e jk0 y sin ϕ dy dz
E0 (0, ϕ) =
2λ0
−
→
e2
·
Ez (y, z) e jk0 y sin ϕ dy dz
und für Aufpunkte in der Vertikalebene ϕ = 0 (Ebene y = 0) zu
→
→
j (1 + cos θ)
e
(θ,
0)
=
·
Ey (y, z) e jk0 z sin θ dy dz
E0
1
2λ0
,
(2.44)
(2.43)
30
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
→
e2
−
·
Ez (y, z) e jk0 z sin θ dy dz
.
(2.45)
→
Die Richtungscharakteristik der einzelnen Komponenten von E0 (θ, ϕ) wird nach Gl. 2.44
und 2.45 in den Hauptebenen θ = 0 und ϕ = 0 durch das Produkt der jeweiligen Integralausdrücke mit der Funktion (1 + cos ϕ) bzw. (1 + cos θ) bestimmt. Für den bei stark bündelnden Antennen interessierenden Winkelbereich in der Nähe der Hauptstrahlrichtung
θ = ϕ = 0 kann 1 + cos ϕ ≈ 2 und 1 + cos θ ≈ 2 gesetzt werden, so daß die Richtungsabhängigkeit vollständig durch die Integralausdrücke gegeben ist. Da die verschiedenen
Integralausdrücke durch Vertauschung von Komponenten und Koordinaten auseinander
hervorgehen, soll hier einer der Integralausdrücke exemplarisch herausgegriffen werden,
zum Beispiel
W (sin ϕ) =
1
λ0
Ey (y, z) e j k0 y sin ϕ dy dz
.
(2.46)
Da die e–Funktion im Integranden nicht von z abhängt, kann Ey (y, z) (Aperturbelegung
bezüglich der y–Komponente) zunächst über z integriert werden, so daß eine nur von y
abhängige Funktion w̃(y) übrig bleibt. Man erhält auf diese Weise:
1
W (sin ϕ) =
2π
+∞
w(k0 y) e j k0 y sin ϕ d(k0 y)
(2.47)
−∞
mit der Belegungsfunktion (hier bezüglich der y–Komponente und der Horizontalebene)
zmax
(y)
w̃(y) =
w(k0 y) =
Ey (y, z) dz
für ymin < y < ymax ; y ∈ Sa (2.48)
zmin (y)
=
0
sonst
.
Damit ist die Belegungsfunktion sowohl von der geometrischen Form als auch von der
→
→
Ortsabhängigkeit der Komponenten von E (hier Ey ) innerhalb der Apertur abhängig. Gl.
2.47 zeigt, daß die Belegungsfunktion w(k0 y) und die für die Richtcharakteristik entscheidene Funktion W (sin ϕ) über eine Fouriertransformation miteinander zusammenhängen.
und
W (sin ϕ) =
w(k0 y) =
F −1 {w(k0 y)}
F {W (sin ϕ)}
bzw.
W (sin ϕ)
•−−◦
w(k0 y)(2.49)
2.4. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN APERTURBELEGUNG UND RICHTCHARAKTERISTIK BEI FLÄCHENA
z
y
a
a
Abbildung 2.21: geometrische Form für konstante Belegung
Die Bilder 2.22 und 2.23 sowie Gl. 2.50 sollen die Analogie zur Signaltheorie verdeutlichen, wobei die Richtcharakteristik mit dem zeitlichen Verlauf f (t) eines Signals und die
Belegungsfunktion mit dem Spektrum dieses Signals F (ω) korrespondiert.
1
f (t) =
2π
+∞
F (ω) e jωt d(ω)
bzw.
f (t)
•−−◦
F (ω)
−∞
Abbildung 2.22: Zur Analogie zwischen Signal- und Antennentheorie I
(2.50)
32
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Abbildung 2.23: Zur Analogie zwischen Signal- und Antennentheorie II
Für den wichtigsten Sonderfall einer konstanten Belegungsfunktion der Breite a, d.h.
1 : für |y| ≤ a/2
w(k0 y) =
(2.51)
0 : sonst
erhält man für die Richtcharakteristik W (sin ϕ) eine si–Funktion (auch Spaltfunktion
genannt),
W (sin ϕ) =
=
a sin (sin ϕ k0 a/2)
·
λ0
sin ϕ k0 a/2
a
· si (sin ϕ k0 a/2)
λ0
a
· si (ϕ k0 a/2)
λ0
(2.52)
für
ϕ π
2
deren betragsmäßiger Verlauf in Bild 2.24 wiedergegeben ist.
Man erkennt, daß die 3 dB–Grenzen der Hauptkeule bei sin ϕ = ± 0.44 λ0 /a liegen. Für
etwa λ0 /a < 1/3 läßt sich damit in guter Näherung für die Halbwertsbreite Δϕ schreiben:
oder
Δϕ
=
2 · 0.443 ·
Δϕ/◦
≈
51 ·
λ0
a
λ0
λ0
= 0.886 ·
a
a
.
(2.53)
Die Hauptkeule ist folglich umso schmaler, je größer das Verhältnis der Aperturbreite a
zur Wellenlänge λ0 ist.
Ein Beispiel: a = 50 λ0 , somit folgt Δϕ = 1◦ .
2.4. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN APERTURBELEGUNG UND RICHTCHARAKTERISTIK BEI FLÄCHENA
Abbildung 2.24: Verlauf der Richtcharakteristik für eine rechteckförmige Belegungsfunktion
Abbildung 2.25: Belegungsfunktion und Richtcharakteristik einer diracförmigen Belegungsfunktion
34
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
rect
13.2dB
Abbildung 2.26: Belegungsfunktion und Richtcharakteristik für eine rechteckförmige Belegungsfunktion
inverse Taperung
Abbildung 2.27: Belegungsfunktion und Richtcharakteristik für eine inverse getaperte Belegungsfunktion
cos
23dB
Abbildung 2.28: Belegungsfunktion und Richtcharakteristik einer cosinusförmigen Belegungsfunktion
2.4. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN APERTURBELEGUNG UND RICHTCHARAKTERISTIK BEI FLÄCHENA
cos2
32dB
Abbildung 2.29: Belegungsfunktion und Richtcharakteristik für eine Cosinus Quadrat Belegungsfunktion
36
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Weiterhin erkennt man, daß neben der Hauptkeule weitere Maxima bei den sogenannten
Nebenkeulen auftreten. Bei der hier zunächst betrachteten rechteckförmigen Belegungsfunktion liegt das Maximum der ersten Nebenkeule um 20 log0.22 = −13.2 dB unter
dem Maximalwert bei ϕ = 0 . Diese Nebenkeulendämpfung von 13.2 dB ist für die
meisten Anwendungen zu gering. Aus der Theorie der Fouriertransformation ist bekannt,
daß die Nebenmaxima verkleinert werden können, wenn man statt der Rechteckfunktion
eine zum Rand hin stetig abfallende Funktion verwendet (“Taperung"). Der Effekt einer
Taperung soll anhand verschiedener Belegungsfunktionen mit der normierten Länge von
a/2 = 1/k0 demonstriert werden:
cosn ( π2 k0 y) : für |y| ≤ 1/k0
w(k0 y) =
(2.54)
0 : sonst
mit
n = 0, 1, 2
.
Für die sich ergebende Richtcharakteristik gilt:
1
W (sin ϕ) =
2π
1
cosn (
−1
π
k0 y) e j k0 y sin ϕ d(k0 y) .
2
(2.55)
Für n = 0 erhält man die bereits betrachtete Rechteckfunktion. Einen Vergleich der Fouriertransformierten der cos–Belegungsfunktion (n = 1) und der cos2 –Belegungsfunktion
(n = 2) mit der Rechteckfunktion hinsichtlich der Höhe des ersten Nebenmaximums sowie
hinsichtlich der Halbwertsbreite ermöglicht folgende Tabelle:
Belegungsfunktion
Nebenkeulendämpfung
Halbwertsbreite /◦
13.2 dB
50 λ0 /a
23 dB
69 λ0 /a
32 dB
83 λ0 /a
Rechteck
w(k0 y) = 1
für |y| ≤ 1/k0
Cosinus
w(k0 y) = cos ( π2 k0 y)
für |y| ≤ 1/k0
Cosinus–Quadrat
w(k0 y) = cos2 ( π2 k0 y)
für |y| ≤ 1/k0
Tab. 1: Nebenkeulendämpfung und Halbwertsbreite einer Flächenantenne in Abhängigkeit von verschiedenen Belegungsfunktionen
Sowohl die Tabelle als auch die Richtcharakteristiken im Bild 2.31 lassen sich unmittelbar
aus den Ergebnissen für die drei Fälle bestimmen.
n=0
:
W (sin ϕ)
=
1 sin (sin ϕ)
π
sin ϕ
(2.56)
2.4. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN APERTURBELEGUNG UND RICHTCHARAKTERISTIK BEI FLÄCHENA
cos (sin ϕ)
2
ϕ
1 − 2 sin
π
n=1
:
W (sin ϕ)
=
2
π2
n=2
:
W (sin ϕ)
=
sin (sin ϕ)
π
sin ϕ
2π 2 − 2 sin2 ϕ
W(k0 )
(2.57)
(2.58)
rect;n=0
1
Belegungsfunktion
cos;n=1
cos 2;n=2
-1
1 k0
0
Abbildung 2.30: Vergleich verschiedener Belegungsfunktionen I
W(sin )
W max
1
Richtcharakteristik
1
2
0.5
n=2
n=1
n=0
-3
-2
-
2
3
sin
Abbildung 2.31: Vergleich verschiedener Belegungsfunktionen II
Man erkennt die Möglichkeit einer deutlichen Erhöhung der Nebenkeulendämpfung durch
Taperung der Belegungsfunktion. Dabei muß man allerdings eine Erhöhung der Halbwertsbreite in Kauf nehmen. Bei einer vorgegebenen Antennenbreite widersprechen sich
die Forderungen nach hoher Nebenkeulendämpfung und geringer Halbwertsbreite. Es muß
also ein Kompromiß zwischen diesen beiden Forderungen geschlossen werden.
In den obigen Betrachtungen wurde der Idealfall, daß die Phase des Feldes innerhalb
der Apertur konstant ist, zugrunde gelegt. In der Praxis sind jedoch geringe Phasenabweichungen unvermeidlich. Diese Phasenfehler bewirken, daß eine Erhöhung der Nebenzipfeldämpfung über den Wert von etwa 35 bis 40 dB hinaus nur mit hohem Aufwand
38
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
erreichbar ist. Die Beiträge der elektrischen und magnetischen Flächenstromdichte zum
Feld in Hauptstrahlrichtung (θ = 0, ϕ = 0) sind gleich und addieren sich, wenn die
Näherung gilt, daß das Verhältnis von elektrischem und magnetischem Feld in der Apertur gleich dem Feldwellenwiderstand Z0 ist (Gl. 2.37). Diesen Sachverhalt kann man
der Gl. 2.39 entnehmen. Andererseits ist unter den gleichen Voraussetzungen das Feld
in Rückwärtsrichtung, also entgegengesetzt zur Hauptstrahlrichtung null, weil sich dann
die Beiträge aus der elektrischen und magnetischen Flächenstromdichte gerade aufheben.
Dieses Ergebnis läßt sich beispielsweise an der Gleichung 2.31 ablesen.
Die Tatsache, daß die Belegungsfunktion und die Richtcharakteristik über eine Fouriertransformation miteinander verknüpft sind, erlaubt die Anwendung einiger aus der Signaltheorie bekannter Theoreme. Es gilt beispielsweise:
a.) Ähnlichkeitssatz:
F (α ω)
w(α k0 y)
t
1
f( )
|α|
α
◦−−•
◦−−•
sin ϕ
1
W(
)
|α|
α
(2.59)
Eine “Dehnung"(α < 1) bzw. “Stauchung"(α > 1) der Belegungsfunktion führt
zu einer “Stauchung"(α < 1) bzw. “Dehnung"(α > 1) der Richtcharakteristik als
Funktion von sin ϕ .
b.) Verschiebungssatz:
F (ω) e −jωt0
◦−−•
f (t − t0 )
w(k0 y) e −j k0 y sin ϕ0
◦−−•
W (sin ϕ − sin ϕ0 )
(2.60)
Eine linear ansteigende Phase der Belegungsfunktion führt zu einer Strahlschwenkung (Bild 2.32 und 2.33).
Abbildung 2.32: Strahlschwenkung durch linear ansteigende Phase der Belegungsfunktion I
Dies ist, wie wir sehen werden, der Grundgedanke für die Realisierung von Antennen
mit elektronisch schwenkbarer Richtcharakteristik.
2.4. ZUSAMMENHANG ZWISCHEN APERTURBELEGUNG UND RICHTCHARAKTERISTIK BEI FLÄCHENA
Abbildung 2.33: Strahlschwenkung durch linear ansteigende Phase der Belegungsfunktion II
c.) Verschiebungssatz, angewandt in umgekehrter Richtung:
F (ω − ω0 )
w(k0 (y − y0 ))
◦−−•
◦−−•
f (t) e jω0 t
W (sin ϕ) e j k0 y0 sin ϕ
(2.61)
Eine räumliche Verschiebung der Belegungsfunktion ändert die Phase der Richtcharakteristik.
40
2.5
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Kenngrößen einer Antenne
Die Eigenschaften einer Antenne beim Senden und Empfangen elektromagnetischer Wellen werden durch Kenngrößen charakterisiert. Mittels des Reziprozitätstheorems läßt sich
ein Zusammenhang zwischen den Kenngrößen im Empfangs- und Sendefall herleiten.
2.5.1
Polarisation
Grundlagen: Freiraumübertragung
z
Ausbreitungsrichtung
E
E
x
y
Abbildung 2.34: Lineare Polarisation
vertikale Polarisation: E1 · uz
horizontale Polarisation: E2 · uy
Abbildung 2.35: horizontal polarisierte Welle
Zirkulare Polarisation
Erzeugung einer zirkular polarisierten Welle:
2.5. KENNGRÖEN EINER ANTENNE
41
Kreuzdipol
0°
+
- 90°
Signalteiler
Abbildung 2.36: Erzeugung einer zirkularen Polarisation
Abbildung 2.37: linkszirkulare Welle
2.5.2
Kenngrößen einer Antenne für den Sendefall
Wie in den vorangegangenen Abschnitten erläutert wurde, gilt im Fernfeld für eine beliebige Antenne:
→
→
E(r) = E0 (θ, ϕ)
e −jk0 r
r
(2.62)
.
→
Hierbei hängt E0 (θ, ϕ) von der Amplitude und Phase der in den Antenneneingang eingespeisten zeitharmonischen Welle a ab. Daher ist es zweckmäßig, die absolute Richtcha→
rakteristik C(θ, ϕ) der Antenne so zu definieren, daß sie eine reine Antennenkenngröße
ist. Dies kann zum Beispiel in der Form
→
E0 (θ, ϕ) =
→
(Z0 /(2π)) · C(θ, ϕ) · a
,
(2.63)
42
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
ϕ = 90
Vertikal
Horizontal
ϕ = −90
Vertikal
Horizontal
ωt = 0
0
1
ωt = 0
0
-1
ωt = 45
1/2
1/2
ωt = 45
−1/2
−1/2
ωt = 90
1
0
ωt = 90
-1
0
ωt = 135
1/2
−1/2
ωt = 135
−1/2
1/2
ωt = 180
0
-1
ωt = 180
0
1
ωt = 225
−1/2
−1/2
ωt = 225
1/2
1/2
ωt = 270
-1
0
ωt = 270
1
0
ωt = 315
−1/2
1/2
ωt = 315
1/2
−1/2
→
C(θ, ϕ) =
mit
→
→
C1 (θ, ϕ) e 1 + C2 (θ, ϕ) e 2
(2.64)
geschehen. Dabei sind C1 (θ, ϕ) und C2 (θ, ϕ) die Richtcharakteristiken für die Polari→
→
→
→
sation 1 bzw. 2 in Richtung e 1 bzw. e 2 . Die Einheitsvektoren e 1 bzw. e 2 stehen
aufeinander senkrecht und stehen tangential zur Kugeloberfläche, in deren Mittelpunkt
sich die Antenne befindet. Durch die Normierung der absoluten Richtcharakteristik auf
den im allgemeinen größten Wert in Hauptstrahlrichtung gelangt man zur relativen
Richtcharakteristik.
C(θ, ϕ)
Cmax
: relative Richtcharakteristik
In der Regel gilt Cmax = C(θ = 0, ϕ = 0) .
Unter einem Richtdiagramm versteht man die zeichnerische Darstellung eines Schnitts
durch die relative Richtcharakteristik. Wegen
→ →
H( r ) =
e −jk0 r
→
→
1 →
1 →
· ur × E =
· u r × E0 (θ, ϕ) ·
Z0
Z0
r
(2.65)
gilt für die Strahlungsdichte S im Fernfeld (mit [S] = W/m2 )
S(θ, ϕ) =
→ → ∗ → 1 1 →2
1
Re E × H · u r =
·
· E
2
2 Z0
S(θ, ϕ) =
|a|2 2
2
·
|C
(θ,
ϕ)|
+
|C
(θ,
ϕ)|
1
2
4πr2
,
.
Im Bild 2.38 ist die Leistungsaufteilung in einer Sendeantenne angedeutet.
(2.66)
2.5. KENNGRÖEN EINER ANTENNE
allgemeine
Antenne
43
isotrope,verlustlose
Antenne
P
S( , )= 4 r2
2
S( , ) |C( , )|
r
a
P=|a| 2
r
,
,
PS=P-P V
P
Abbildung 2.38: Zur Strahlungsdichte bei einer Sendeantenne
Von der aufgenommenen Wirkleistung P = |a|2 wird ein (meist kleiner) Anteil Pv als
Verlustleistung innerhalb der Antenne in Wärme umgesetzt. Dabei wurde angenommen,
daß die Antenne angepaßt ist. Die Strahlungsleistung
Ps = P − Pv = ηa P
( ηa : Antennenwirkungsgrad )
(2.67)
wird in den freien Raum abgestrahlt und es gilt
Ps =
S(θ, ϕ) dA
.
(2.68)
A
Um den Antennenwirkungsgrad zu optimieren können die metallischen und/oder die dielektrischen Verluste verringert werden.
Verringerung der metallischen Verluste:
• geringe Oberflächenrauigkeit
• „viel“ Metall
• hohe elektrische Leitfähigkeit
Verringerung der dielektrischen Verluste:
• DK = 1 (Luft)
• oder tan δ → 0
• besseres Platinenmaterial, statt FR4 z.B. Teflon oder ALO2
Zur Beschreibung der Richtwirkung einer Antenne kann man deren Strahlungsdichte auf
die mittlere Strahlungsdichte beziehen, die entstehen würde, wenn man die gesamte aufgenommene Leistung gleichmäßig in den gesamten Raum abstrahlen würde, wie es bei
einem hypothetischen isotropen Strahler der Fall ist. Es gilt dann:
44
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
G̃(θ, ϕ) =
S(θ, ϕ)
= |C1 (θ, ϕ)|2 + |C2 (θ, ϕ)|2
P/(4πr2 )
.
(2.69)
Man nennt G̃(θ, ϕ) die Gewinnfunktion einer Antenne. Der Wert der Gewinnfunktion in
Hauptstrahlrichtung wird als Antennengewinn G bezeichnet.
G = G̃(θ = 0, ϕ = 0)
(2.70)
Der Gewinn eines Hertz’schen Dipols ergibt sich zu
∧
GHertz = 1.5 = 1.76 dB
und der Gewinn eines λ/2 - Dipols zu
∧
Gλ/2 = 1.64 = 2.15 dB .
Für eine verlustlose Antenne mit homogener Feldbelegung (das heißt der Flächenstrom
innerhalb der Apertur ist konstant) gilt
Ghom. Apert. = 4π
A
λ20
.
(2.71)
Beispiel Astra-Antenne:
geg.: ∅ = 30 cm, f = 10 GHz → λ0 = 3 cm, A = Πr2 = Π · 152 cm2
Ghom.Aprt. =
4Π2 · 152 cm2
≈ 1000
32 cm2
GdB
hom.Aprt. = 30 dB
(2.72)
(2.73)
Beispiel Effelsberg:
geg.: ∅ = 100 m, f = 100 GHz → λ0 = 0.003 m, A = Πr2 = Π · 502 m2
Ghom.Aprt. =
4Π2 · 502 m2
≈ 11 · 109
0.0032 m2
GdB
hom.Aprt. = 100.4 dB
(2.74)
(2.75)
Dabei ist A die geometrische Aperturfläche. Die Halbwertsbreite Δθ bzw. Δϕ ist der
Winkelbereich, innerhalb dessen die Strahlungsdichte auf die Hälfte des maximalen Wertes
absinkt. Nach Gleichung (2.53) gilt für die Halbwertsbreite der homogen ausgeleuchteten
Rechteckapertur
Δϕ = 0.88
λ0
L
,
(2.76)
2.5. KENNGRÖEN EINER ANTENNE
45
Abbildung 2.39: Radioteleskop Effelsberg3
wobei L die parallel zur betrachteten Ebene gemessene Breite ist.
Bei nichthomogener, getaperter Ausleuchtung vergrößert sich die Halbwertsbreite bis auf
etwa den doppelten Wert. Daraus erhält man eine für beliebige Flächenantennen gültige
Abschätzung:
Δϕ/◦ ≈ (50 . . . 100)
λ0
L
(2.77)
,
wobei der kleinste Wert für den Fall homogener Ausleuchtung gilt.
Zu einer groben Abschätzung des Zusammenhangs der Halbwertsbreiten mit dem Gewinn
G für Antennen mit sogenannten “Bleistiftkeulen"gelangt man über die Annahme, daß die
gesamte Energie in einem durch die Halbwertsbreiten Δθ und Δϕ gegebenen rechteckigen
Strahl gleichmäßig verteilt ist:
G ≈
4π
4πr2
=
r2 Δθ Δϕ
Δθ Δϕ
,
(2.78)
oder als Zahlenwertgleichung mit den Halbwertsbreiten in Grad
G ≈ 41000 ·
1
Δθ◦ Δϕ◦
.
(2.79)
3 |Source = photo taken by Dr. Schorsch |Date = 26. May 2005 |Author = Dr. Schorsch |Permission
= Dr. Schorsch put it under the GFDL |oth
46
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
2.5.3
Kenngrößen einer Antenne für den Empfangsfall
Zur Beschreibung des Empfangsverhaltens einer Antenne geht man von einer in Richtung
→
− u r (Winkel θ, ϕ) auf die Antenne einfallenden ebenen homogenen Welle aus.
→
→ →
→
→
→
−jk0 (− u r · r )
E( r ) = (E1 · e 1 + E2 · e 2 ) e
(2.80)
Führt man in die Gleichung (2.80) die Strahlungsdichte S ein:
S =
1 → 2
|E|
2Z0
(2.81)
,
so läßt sich diese Gleichung auch in der folgenden Form schreiben:
→
→
→ →
E( r ) =
2 Z0 S
→
→
k · e 1 + (1 − k 2 ) e jψ · e 2
jk0 u r · r
e
=r
.
(2.82)
Hierbei sind k und ψ reelle Zahlen, die die Polarisation der Welle beschreiben. Im allgemeinen gilt k ≥ 0 und −π ≤ ψ ≤ π und für spezielle Polarisationen:
k=1
:
k=0;ψ=0
:
k=
√1
2
; ψ = ± π2
:
→
→
→
→
E ist eine linear polarisierte Welle in Richtung e 1 ,
E ist eine linear polarisierte Welle in Richtung e 2 ,
→
E ist eine zirkular polarisierte Welle (rechts oder links) .
Eine entsprechend polarisierte einfallende Welle bewirkt, daß an einer angepaßten Last
(Bild 2.40) einer Antenne die Wirkleistung P = |b|2 abgegeben wird.
Abbildung 2.40: Zur Erläuterung einer Empfangsantenne
Da b eine lineare Funktion der Feldkomponenten E1 und E2 ist, gilt ein Ausdruck der
Form
1
b = √
(D1 (θ, ϕ) · E1 + D2 (θ, ϕ) · E2 )
2 Z0
.
(2.83)
Dabei sollen D1 (θ, ϕ) und D2 (θ, ϕ) als die absoluten Empfangs–Richtcharakteristiken für
die Polarisation 1 bzw. 2 bezeichnet werden.
2.5. KENNGRÖEN EINER ANTENNE
47
Zu den relativen Empfangs–Richtcharakteristiken kommt man, wenn man die Beträge von
D1 und D2 so normiert, daß der Maximalwert gerade eins wird.
Stellt man die Feldkomponenten der einfallenden ebenen homogenen Welle über die Strahlungsdichte S wie in Gleichung (2.81) dar und setzt in die Gleichung (2.83) ein, dann
erhält man:
b =
√ S k · D1 (θ, ϕ) + (1 − k 2 ) e jψ · D2 (θ, ϕ)
.
(2.84)
Damit wird die an die Last des Empfängers abgegebene Wirkleistung P = |b|2 :
P = b · b∗ = S · k 2 · |D1 |2 + (1 − k 2 ) · |D2 |2 + 2 k (1 − k 2 ) Re D1∗ D2 e jψ
.
(2.85)
Die Wirkleistung P ist somit abhängig von der durch
a.) θ und ϕ festgelegten Empfangsrichtung,
b.) k und ψ festgelegten Polarisation.
Der Ausdruck für P in Gleichung (2.85) nimmt in Abhängigkeit von ψ seine Extremwerte
an, wenn D1∗ · D2 · e jψ reell wird. Der Ausdruck für P nimmt in Abhängigkeit von ψ
sein Maximum an, wenn D1∗ · D2 · e jψ positiv reell wird. Dies ist der Fall für den Winkel
ψopt
ψ = ψopt = arg (D1 ) − arg (D2 )
(2.86)
.
Dann wird
2
P = S · k · |D1 | +
(1 − k 2 ) · |D2 |
.
(2.87)
Diese Leistung wird maximal für
|D1 |
k = kopt = (|D1 |2 + |D2 |2 )
(2.88)
,
mit dem Wert P = Pmax
"
!
P = Pmax = S · |D1 |2 + |D2 |2
.
(2.89)
Dagegen verschwindet bei
ψ = ψsperr = ψopt + π
und
(2.90)
48
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
|D2 |
k = ksperr = (|D1 |2 + |D2 |2 )
(2.91)
die abgegebene Leistung, das heißt P = 0 .
Es gibt also für jede Empfangsrichtung eine durch die Gleichungen (2.86) und (2.88)
bestimmte optimale Polarisation, die zu einer maximalen Leistungsabgabe führt und eine
durch Gleichung (2.90) und (2.91) gegebene Sperrpolarisation, bei der keine Leistung
abgegeben wird.
Die für eine bestimmte Empfangsrichtung mit optimaler Polarisation nach Gleichung
(2.89) aufgenommene Leistung Pmax entspricht derjenigen Leistung, die die ungestörte ebene homogene Welle der Strahlungsdichte S durch eine zur Ausbreitungsrichtung
senkrechten Fläche der Größe
Ãw (θ, ϕ) =
Pmax
2
2
= |D1 (θ, ϕ)| + |D2 (θ, ϕ)|
S
(2.92)
transportieren würde und die von der Empfangsantenne aufgenommen werden kann. Man
bezeichnet Ãw (θ, ϕ) als Wirkflächenfunktion. Der Maximalwert von Ãw (θ, ϕ) , der hier in
Hauptstrahlrichtung bei θ = ϕ = 0 liegt, wird als Antennenwirkfläche Aw bezeichnet.
Aw = Ãw (θ = 0, ϕ = 0)
2.5.4
(2.93)
Das Reziprozitätstheorem
Das Reziprozitätstheorem liefert einen Zusammenhang zwischen den Richtcharakteristiken
C1 (θ, ϕ) und C2 (θ, ϕ) für den Sendefall und D1 (θ, ϕ) und D2 (θ, ϕ) für den Empfangsfall.
Dazu wird eine Antennenanordnung betrachtet, bei der die zu untersuchende Antenne I
schwenkbar ist (Bild 2.41).
Abbildung 2.41: Zur Erläuterung der Anordnung von Sende- und Empfangsantenne
Die Antenne II sei mit ihrer Hauptstrahlrichtung entlang der Achse auf die Antenne I
hin ausgerichtet. Für den Fall, daß die Antenne I sendet und die Antenne II empfängt,
gilt nach Gleichung (2.63) und (2.83)
$
bII
e −jk0 r # I
√
= S21 (θ, ϕ) =
C1 (θ, ϕ) · D1II (0, 0) + C2I (θ, ϕ) · D2II (0, 0)
aI
2 πr
. (2.94)
2.5. KENNGRÖEN EINER ANTENNE
49
Für den umgekehrten Fall, also Antenne II als Sende- und Antenne I als Empfangsantenne bei räumlich gleicher Anordnung, gilt:
$
e −jk0 r # II
bI
√
C1 (0, 0) · D1I (θ, ϕ) + C2II (0, 0) · D2I (θ, ϕ)
= S12 (θ, ϕ) =
aII
2 πr
. (2.95)
Falls die Antennenstrecke aus isotropen Materialien aufgebaut ist und keine aktiven Bauelemente enthält, ist die Gültigkeit des Reziprozitätstheorems gesichert und es gilt:
S21 = S12
(2.96)
und damit auch
C1I (θ, ϕ) · D1II (0, 0) + C2I (θ, ϕ) · D2II (0, 0) = C1II (0, 0) · D1I (θ, ϕ) + C2II (0, 0) · D2I (θ, ϕ) .
(2.97)
Nimmt man an, daß die Antenne II in Hauptstrahlrichtung nur die Polarisation 1 sendet
und empfängt, also
C2II (0, 0) = D2II (0, 0) = 0
gilt, dann reduziert sich Gleichung (2.97) zu:
D1II (0, 0)
D1I (θ, ϕ)
=
= const. = ϕ0
I
C1 (θ, ϕ)
C1II (0, 0)
.
(2.98)
Damit erhält man das folgende wichtige Ergebnis:
Das Verhältnis der Richtcharakteristiken für den Empfangsfall D1,2 (θ, ϕ) zu den Richtcharakteristiken für den Sendefall C1,2 (θ, ϕ) ist unabhängig von der Richtung und ebenfalls unabhängig vom Antennentyp. Kennt man also das Verhältnis für den speziellen
Antennentyp und für eine spezielle Richtung, so kennt man es für alle Antennentypen
und Richtungen.
Für den Hertz’schen Dipol gilt:
ϕ0 =
2
λ0
√
π
(2.99)
.
Also gilt allgemein
D1,2 (θ, ϕ) =
λ0
√ C1,2 (θ, ϕ)
2 π
.
(2.100)
Aus Gleichung (2.100) folgt weiterhin für den Zusammenhang zwischen Antennenwirkfläche Aw und dem Antennengewinn über die Gleichungen (2.69) und (2.92) die Beziehung
50
KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE DER ANTENNENTHEORIE
Aw =
λ20
G
4π
.
(2.101)
Ein Vergleich der Gleichung (2.101) mit Gleichung (2.71) erlaubt den Schluß, daß für
die Flächenantenne mit homogener Aperturbelegung die geometrische Fläche A und die
Wirkfläche Aw gleich sind. Eine optimal ausgerichtete Empfangsantenne nimmt eine Leistung auf, die sich aus dem Produkt der Strahlungsdichte S und der Antennenwirkfläche
Aw ergibt. Die Antennenwirkfläche kann man über Gleichung (2.101) aus dem Gewinn
der Antenne berechnen.
Die Proportionalität zwischen Sende- und Empfangscharakteristik führt dazu, daß die
Nebenzipfeldämpfung der Sende- und Empfangsantenne multiplikativ eingeht. Bei gleicher Sende- und Empfangsantenne und rechteckförmiger Belegungsfunktion beträgt die
effektive Nebenzipfeldämpfung daher 2 · 13.2 dB = 26.4 dB .
Kapitel 3
Spezialantennen
3.1
Streifenleitungsantennen
Streifenleitungsantennen (Patch-Antennen) sind gerade im Hochfrequenzbereich von 100 MHz
bis 100 GHz sehr attraktiv. Sie bieten die Möglichkeit eines einheitlichen Entwurfs der
Mikrowellenschaltung, des Speisenetzwerkes und der Antenne auf einem gemeinsamen
Substrat.
Vorteile:
• hoher Miniaturisierungsgrad,
• Reproduzierbarkeit und automatisierte Massenfertigung (niedrige Kosten),
• mechanische Belastbarkeit durch Vibration und Stoß und hohe Zuverlässigkeit.
Nachteile:
• geringer Wirkungsgrad durch Verluste im Substrat,
• wodurch Strahlungsleistung und Gewinn begrenzt werden und
• kleine relative Bandbreite (einige Prozent).
Eine geschlossene Lösung für die Wellenausbreitung kann nicht angegeben werden. Deshalb werden empirische Näherungsformeln verwendet, welche aus den statischen Feldern
abgeleitet und für höhere Frequenzen verallgemeinert werden.
3.2
Design
Wie in Bild 3.1 zu sehen ist besteht eine Patch-Antenne aus einzelnen Grundelementen.
Einem dielektrischen Substrat zwischen einer metallischen Struktur, dem Patch-Element
und einer metallischen Grundplatte der Dicke t → 0.
51
52
KAPITEL 3. SPEZIALANTENNEN
Substrat
Patch
h
L
t
W
t
metallische
Grundplatte
Abbildung 3.1: Grundlegendes Design einer rechteckigen Patch-Antenne
Das Patch-Element lässt sich auf verschieden Möglichkeiten anregen:
• a) mit einer Koaxialleitung von unten durch die Grundplatte,
• b) direkte Einspeisung mit einer Streifenleitung,
• c) elektrodynamische Ankopplung zur Reduktion parasitärer Abstrahlung oder
• d) Aperturkopplung durch Schlitze in einer Zwischenmetallisierung
Eine gute Anpassung an die Speiseleitung kann oft durch geeignete Wahl des Speisepunktes (xs , ys ) erzielt werden, womit ein zusätzliches Anpassnetzwerk vielfach nicht mehr
erforderlich ist.
Ein rechteckiges Patch-Element kann als eine an allen vier Seiten offene Streifenleitung der
Länge L und der Breite W betrachtet werden. Die bei y = 0, W entstehenden Streufelder
werden mit u = W/h näherungsweise durch eine relative Permittivität berücksichtigt,
welche kleiner r ist, da die Feldlinien sowohl im Substrat als auch im Außenraum verlaufen:
r − 1
r + 1
(0)
+
r,ef f ∼
=
2
2
1/2
10
1+
u
.
(3.1)
Die Näherung (3.1) unterstellt eine quasi-TEM-Welle auf der Streifenleitung. Der Leitungswellenwiderstand dieser Welle ist:
(0)
ZL
∼
=
F (u) =
%
'
&
F (u)
4
60 Ω
+ 1 + 2 mit
ln
(0)
u
u
r,ef f
% 0.7528 '
30.666
6 + (2π − 6) exp −
.
u
(3.2)
3.2. DESIGN
53
xS
yS
(b)
(a)
(c)
(d)
Abbildung 3.2: Verschiedene Möglichkeiten zur Anregung von Patch-Antennen
Bei Erhöhung der Frequenz konzentrieren sich die Felder stärker im Substrat, was zu
einem Anstieg der effektiven relativen Permittivität führt:
r,ef f
∼
= r −
(0)
r − r,ef f
2
1 + G (f /fp )
⇒
λ0
λef f = √
ef f
(3.3)
mit den Hilfsgrößen
G = 0.6 + 0.009
(0)
ZL
Ω
sowie fp =
(0)
ZL
.
2 μ0 h
(3.4)
Die Streufelder bei x = 0, L lassen die Leitung jeweils um ΔL elektrisch länger erscheinen:
r,ef f + 0.300 u + 0.262
ΔL ∼
.
= 0.412h
r,ef f − 0.258 u + 0.813
(3.5)
Mit (3.3), (3.5) und Lef f = L + 2 ΔL = λef f /2 findet man die geometrische Patchlänge
L:
L =
λef f
− 2 ΔL .
2
(3.6)
54
KAPITEL 3. SPEZIALANTENNEN
Es wird somit ein betrieb in Halbwellenresonanz angestrebt, bei dem eine Verkürzung
durch kapazitive Endbelastung wirksam wird. Die Breite W der Patch-Antenne ergibt
sich aus:
W =
λ0
hλ0
ln
−1
.
√
√
r
h r
(3.7)
Der Einspeisepunkt (xs , ys ) ergibt sich aus:
xs
∼
=
ys
=
λef f
arccos
2π
W
2
&
RE
RS
und
(3.8)
mit dem Strahlungswiderstand RS nach (3.28)
L
xs
εr
h
D
d
Abbildung 3.3: Koaxiale Einspeisung durch die Grundplatte hindurch mit Speisepunkt bei xs
3.3
Strahlungsfelder
Um die Abstrahlung eines rechteckigen Patches zu berechnen verwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Ursprung im Zentrum unter dem quaderförmigen
Volumen des Patch liegt V = W Lef f h.
Der quaderförmige Hohlraum unter dem Patch strahlt seitlich aus den 4 flachen Schlitzen
der Höhe h heraus, die sich bei x = ± Lef f /2 und y = ± W/2 befinden. Aufgrund der
geringen Substrathöhe h << λ0 können wir annehmen, dass die Felder des Hohlraums
nicht von z abhängig sind. Desweiteren nehmen wir zunächst an, dass r = 1 und W =
Lef f .
Die vertikale elektrische Feldstärke ergibt sich als Lösung der Helmholtz-Gleichung, unter
Annahme einer magnetischen Wand als Randbedingung in den vier Schlitzebenen, zu:
3.3. STRAHLUNGSFELDER
55
z
W
L
y
h/2
h
h/2
x
Abbildung 3.4: Luftgefüllter Hohlraumresonator mit zwei elektrischen und vier magnetischen
Wänden
z
E
z
δE
δx
0 cos m π(x + Lef f /2) cos n π(y + W/2) mit
= E
Lef f
W
δ Ez
= 0 für x = ±Lef f /2 und
= 0 für y = ±W/2 .
δy
(3.9)
(3.10)
Es gilt: Lef f = λef f /2.
Bei Halbwellenresonanz stellt sich die einfachste Wellenform, die E10-Grundwelle ein,
falls Lef f ≥ W gilt. Mit m = 1 und n = 0 erhalten wir aus (3.10):
z = −E
0 sin π x
E
Lef f
.
(3.11)
Die elektrischen Aperturfelder ersetzen wir nach dem Huygensschen Prinzip durch äquivaF = E
× n und erhalten in allen vier Schlitzen,
lente magnetische Flächenstromdichten M
wobei n jeweils als äußere Flächennormale zu nehmen ist:
F (x =
M
F (x =
M
F (y
M
=
F (y
M
=
0 uz × (−ux ) = −E
0 uy
−Lef f /2) = E
0 uz × ux = −E
0 uy
Lef f /2) = −E
0 uz × (−uy ) sin π x = −E
0 ux sin π x
−W/2) = −E
Lef f
Lef f
π
x
π
x
0 uz × uy sin
0 ux sin
W/2) = −E
= E
.
Lef f
Lef f
(3.12)
Die Schlitze bei x = ±Lef f /2 strahlen gleichphasig, während die Schlitze bei y = ±W/2
gegenphasig strahlen (3.4). Wir können die vier Schlitze somit in zwei Gruppen zu je zwei
Elementen zusammenfassen und berücksichtigen ihre kombinierte Wirkung durch zwei
Gruppenfaktoren. Das elektrische Vektorpotential für den Einzelschlitz bei x = Lef f /2
folgt aus:
56
KAPITEL 3. SPEZIALANTENNEN
−jk0 r
0 e
Fy = −E
4πr
h/2
ejk0 y
sin ϑ sin ϕ
dy z =−W/2
h/2
ejk0 z
cos ϑ
dz ,
(3.13)
z =−h/2
während für den anderen Schlitz bei y = −W/2:
0 e
Fx = E
−jk0 r
4 πr
π x jk0 y sin ϑ cos ϕ sin
e
dx
Lef f
z =−Lef f /2
Lef f /2
h/2
ejk0 z
cos ϑ
dz . (3.14)
z =−h/2
Die Auswertung der Integrale (3.13) und (3.14) führt auf
Fy
=
Fx
=
sin Y sin Z
e−jk0 r
Wh
4πr
Y
Z
−jk0 r
X cos X sin Z
0 e
4jLh 2
E
4πr
π − (2X)2 Z
0
−E
(3.15)
mit den Abkürzungen
X = 0.5·k0 Lef f sin ϑ cos ϕ, Y = 0.5·k0 W sin ϑ sin ϕ_und_Z = 0.5·k0 h cos ϑ . (3.16)
Zwei sich gegenüberliegende Schlitze werden zu einer Zweiergruppe zusammengefasst.
Für die gleichphasige Gruppe entlang der x-Achse im Abstand Lef f und die gegenphasige
Gruppe entlang der y-Achse im Abstand W erhalten wir die Gruppenfaktoren
F1
=
F2
=
2 cos[0.5 · k0 Lef f sin ϑ cos ϕ] = 2 cos X
−π + k0 W sin ϑ sin ϕ
= 2 sin Y .
2 cos
2
(3.17)
Nun multiplizieren wir (3.15) mit dem jeweiligen Gruppenfaktor (3.17)
Fy F1
Fx F2
sin Y sin Z
e−jk0 r
W h cos X
2πr
Y
Z
−jk0 r
e
4X
cos
X
sin Z
0
Lef f /h 2
= jE
sin Y
2πr
π − (2X)2
Z
0
= −E
(3.18)
und erhalten die Fernfelder einer rechteckigen Streifenleitungsantenne (für r = 1):
ϑ
E
ϕ
E
ϕ = −jk0 (−Fx F2 sin ϕ + Fy F1 cos ϕ)
= Z0 H
ϑ = −jk0 cos ϑ (Fx F2 cos ϕ + Fy F1 sin ϕ) .
0H
= −Z
(3.19)
3.3. STRAHLUNGSFELDER
57
Nach einsetzen von (3.18) und (3.19) folgt schließlich
ϑ
E
=
ϕ
E
=
4jLef f X
sin Z
W
cos
ϕ
cos X sin Y
sin
ϕ
+
π 2 − (2X)2
Y
Z
−jk0 r
4jLef f X
sin Z
W
0 e
cos ϑ − 2
sin ϕ cos X sin Y
(3.20)
.
jk0 hE
cos ϕ +
2πr
π − (2X)2
Y
Z
0
jk0 hE
e−jk0 r
2πr
Im Vertikalschnitt in der E-Ebene bei ϕ = 0 mit Y = 0 und X = 0.5 · k0 Lef f sin ϑ
erhalten wir:
ϑ
E
−jk0 r
sin[0.5 · k0 h cos ϑ
0 e
cos[0.5 · k0 Lef f sin ϑ]
]
= jW hE
λ0 r
0.5 · k0 h cos ϑ
ϕ
E
= 0 ,
(3.21)
während in der H-Ebene bei ϕ = π/2 mit X = 0 und Y = 0.5 · k0 W sin ϑ gilt:
ϑ
E
ϕ
E
= 0
(3.22)
0 e
= jW hE
−jk0 r
λ0 r
cos ϑ
sin[0.5 · k0 W sin ϑ] sin[0.5 · k0 h cos ϑ
0.5 · k0 W sin ϑ
0.5 · k0 h cos ϑ
Die Hauptstrahlungsrichtungen liegen senkrecht zur Oberfläche des Patch-Elementes bei
ϑ = 0 und ϑ = π. Es fällt auf, dass die gegenphasigen Schlitze bei y = ±W/2 in den
Hauptschnitten keinen Strahlungsbeitrag liefern. Auch in anderen ϕ-Ebenen bleibt dieser
Beitrag im Bereich um die Hauptkeulen relativ klein, da dort |X| << πL/λ0 ∼
= 1 gilt.
Darum wird er in der Literatur meist nicht behandelt. Da das Strahlungsfeld proportional
zu h ist, kann es durch Erhöhung der Substratdicke vergrößert werden. Es muss dabei
allerdings die Nebenbedingung
h ≤
0.3 λ0
√
2 π r
(3.23)
beachtet werden. Bei größeren Dicken steigt der Energieverlust durch Oberflächenwellen
entlang des Dielektrikums spürbar an. An den Grenzfrequenzen
fc =
n c0
√
mit n = 0, 1, 2, ...
4 h r − 1
(3.24)
werden Oberflächenwellen ausbreitungsfähig. Durch (3.23) wird erreicht, dass die niedrigste Oberflächenwelle mit n = 0 nur eine geringe Energie besitzt und keine höheren
Wellen ausbreitungsfähig sind. Bei 10 GHz und r = 2.2 sollte die Substrathöhe h also
höchstens 0.97 mm betragen.
Bislang vernachlässigt haben wir den Einfluss der ausgedehnten Grundplatte und des
58
KAPITEL 3. SPEZIALANTENNEN
dielektrischen Substrats. Diese Effekte lassen sich durch ein gleichphasiges Spiegelbild berücksichtigen. Bessere Genauigkeit erreicht man durch folgende Korrekturfaktoren, mit
ϕ in (3.20) zu multiplizieren sind:
ϑ bzw. E
denen E
F3
F4
=
r − sin2 ϑ
ϑ)
(für E
2
2
r − sin ϑ − jr cos ϑ cot k0 h r − sin ϑ
(3.25)
=
2 cos ϑ
ϕ) .
(für E
cos ϑ − j r − sin2 ϑ cot k0 h r − sin2 ϑ
(3.26)
2 cos ϑ
0 = hE
0
Die Strahlungsleistung der gesamten Streifenleitungsantenne erhalten wir mit U
aus:
PS
4
=
2Z0
π/2
ϕ=0
π/2
ϑ=0
1 2
2 2
2
F3 Eϑ + F4 Eϕ r sin ϑ dϑ dϕ = U
0 GS .
2
(3.27)
Für den Strahlungsleitwert GS in A/V gilt für h/λ0 ≤ 0.02 folgende Näherung:
GS
⎧
2
2
⎪
⎪
für W < 0.35 λ0
⎪ W /(45 λ0 )
1 ∼⎨
2
=
=
W/(60 λ0 ) − 1/(30π ) für 0.35 λ0 < W < 2 λ0
⎪
RS
⎪
⎪
⎩ W/(60 λ
für 2 λ0 < W .
0
(3.28)
Kapitel 4
Streuung elektromagnetischer
Wellen an Radarzielen
Im allgemeinen stellt die exakte analytische Beschreibung des Rückstreuverhaltens von
Radarzielen, wie Schiffe und Flugzeuge, ein unlösbares Problem dar. Jedoch kann man
viele Radarziele, wie Regentropfen oder den Füllstand in einem Tank, recht gut durch
idealisierte Ziele, wie Kugeln oder unendlich ausgedehnte metallische Ebenen, analytisch
erfassen. Ziel dieses Kapitels ist es, eine Beschreibung von idealisierten Radarzielen zu
geben. Für eine Beschreibung der elektromagnetischen Rückstreuung an Radarzielen
L
R
L
Fall I
R
Fall II
Abbildung 4.1: Linearabmessung des Radarziels klein (Fall I) bzw. groß (Fall II) gegenüber
der Breite der Antennenkeule
empfiehlt es sich, eine Reihe von Fallunterscheidungen zu treffen. Der erste Fall (Fall I im
Bild 4.1), der hier betrachtet werden soll, betrifft Radarziele, deren Linearabmessungen
59
60KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
L klein gegen die Breite des ”Radarstrahls” sind, das heißt
L Δφ R
.
(4.1)
Dabei ist Δφ die Halbwertsbreite der Antennenkeule und R die Entfernung bis zum Radarziel (Bild 4.1).
In dem anderen Grenzfall, der später betrachtet werden soll (Fall II), ist das Radarziel
groß gegenüber der Breite der Antennenkeule.
4.1
Allgemeine Betrachtung der Streuung an einem einzelnen Radarziel
Bei Abwesenheit des Streukörpers (Radarziel) ist das Fernfeld einer Antenne in der Umgebung eines Punktes OR eine ebene homogene Welle (Bild 4.2).
Es
a0
b0
e1
Oa
Ei
e2
,
OR
ui
xi L
Rest
"verschattet"
R
Abbildung 4.2: Detaillierte Darstellung eines Radarzieles, das klein gegenüber der einfallenden
ebenen homogenen Wellenfront ist
Für die allgemeine Betrachtung des Radarstreukörpers soll gelten:
λ0 L Δφ R
.
(4.2)
Bei Abwesenheit des Streukörpers hat diese einfallende ebene Welle die Form (der Index
i steht für ”incident”):
→
→
→
−jk0 xi
mit
Ei = Ei1 e 1 + Ei2 e 2 e
Ei1,2
1 −jk0 R
e
=
R
Z0
2π
C1,2 (θ, ϕ) a0
.
(4.3)
4.1. ALLGEMEINE BETRACHTUNG DER STREUUNG AN EINEM EINZELNEN RADARZIEL61
Hierbei bedeuten C1,2 (θ, ϕ) die Sendecharakteristik für die Polarisation 1 bzw. 2 und
a0 die in die Antenne eingespeiste Welle.
Bei Anwesenheit des Streukörpers läßt sich dieser hinsichtlich seines Rückstreuverhaltens
durch die im freien Raum befindlichen induzierten äquivalenten elektrischen und magne→
→
→
tischen Flächenströme J s und Ms ersetzen. Das durch diese Ströme erzeugte Feld Es
→
(Streufeld) überlagert sich dem Strahlungsfeld der Antenne Ei (einfallendem Feld).
Der Verlauf der induzierten Ströme in Abhängigkeit vom Ort auf der Oberfläche des
Streukörpers stellt sich gerade so ein, daß das Gesamtfeld
→
→
→
Eges = Ei + Es
(4.4)
alle Rand- und Stetigkeitsbedingungen erfüllt. So muß z. B. für einen ideal leitenden me→
tallischen Streukörper die Tangentialkomponente von Eges auf der Oberfläche des Streukörpers verschwinden.
Befindet sich auch die Antenne im Streufernfeld des Radarziels, daß heißt
R >
2 L2
λ0
(4.5)
(keine identischen Fernfeldbedingungen für den Sende- und Streu-Fall), wobei L die größte
Linearabmessung des Streukörpers ist, dann kann das Streufeld in der Umgebung des
Punktes Oa (siehe Bild 4.2) bei Abwesenheit der Antenne ebenfalls als ebene homogene
Welle aufgefaßt werden.
→
→
→
−jk0 xi
(4.6)
Es = Es1 e 1 + Es2 e 2 e
Dabei ergeben sich Es1 und Es2 gemäß den Gleichungen (2.29) und (2.30) aus den äqui→
→
valenten Flächenströmen J (ρ ) und M(ρ ). Da die Komponenten Es1 und Es2 linear von
den Feldern Ei1 und Ei2 abhängen, muß sich die folgende Vierpolgleichung allgemein
formulieren lassen:
⎛
⎝
⎡
−jk0 R
γ
e
⎣ 11
⎠ =
√
2 πR
γ21
⎞
Es1
Es2
⎤ ⎛
γ12
γ22
⎦ ⎝
⎞
Ei1
⎠
.
(4.7)
Ei2
Die Elemente γ11 bis γ22 werden als Streuamplituden und die zugehörige Matrix [γ] als
Radarstreumatrix bezeichnet. Die Wahl des Vorfaktors in Gleichung (4.7) wird später
plausibel werden.
Aus dem Reziprozitätstheorem folgt, daß γ12 = γ21 gelten muß. Die drei komplexen Streuamplituden γ11 , γ12 und γ22 enthalten die vollständige Information über die
Rückstreuung an einem Radarziel für eine gegebene Frequenz und einen festen Aspektwinkel. Sie sind unabhängig von der Entfernung R und der Richtcharakteristik C1,2 der
Antenne.
Der erste Index der Streuamplituden charakterisiert die Polarisation der einfallenden Welle und der zweite Index die der gestreuten Welle.
62KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
Hat man diese Streumatrix für zwei orthogonale Polarisationen (z. B. horizontal und
vertikal linear) bestimmt, so kann aus dem Meßergebnis die Radarstreumatrix für zwei
beliebige andere orthogonale Polarisationen (z. B. links- und rechtsdrehend zirkular) ermittelt werden.
Für die von der Antenne empfangene und auf einen angepaßten Verbraucher einfallende
Welle b0 gilt mit Gleichung (2.83) und Gleichung (2.100):
b0 =
λ0
C1 (θ, ϕ) Es1 + C2 (θ, ϕ) Es2
√ √
2 π 2Z0
.
(4.8)
Dabei wurden auch für den Empfangsfall die Richtcharakteristiken für den Sendefall verwendet, die im folgenden gemeint sind, wenn nur von der Richtcharakteristik die Rede
ist. Setzt man in diese Gleichung Es1 und Es2 aus Gleichung (4.7) ein und danach für Ei1
und Ei2 den Ausdruck aus Gleichung (4.3), so erhält man (Sende- und Empfangsantenne
sollen identisch sein):
b0 =
λ0 e (−j2k0 R) 2
2
√
C
γ
+
C
γ
+
2
C
C
γ
a0
11
22
1
2
12
1
2
8 π R2 π
.
(4.9)
Für das Verhältnis der empfangenen Wirkleistung |b0 |2 zur eingespeisten Leistung |a0 |2 ,
d. h. für die Einfügungsdämpfung, ergibt sich daraus der Ausdruck:
|b0 |2
|a0 |2
=
2
λ20
2
2
γ
+
C
γ
+
2
C
C
γ
C
1
2 12 1 11
2 22
(4π)3 R4
.
(4.10)
Nach Einführung der Gewinnfunktion G̃(θ, ϕ) aus Gleichung (2.69) und des Radarquerschnitts σ erhält man den Ausdruck:
|b0 |2
|a0 |2
=
λ20
G̃2 (θ, ϕ) σ
(4π)3 R4
(4.11)
mit dem Rückstreuquerschnitt:
2
2
C1 γ11 + C22 γ22 + 2 C1 C2 γ12 σ =
2
|C1 |2 + |C2 |2
bzw.
2
γ11 + C2
C1
σ =
1 +
γ22 + 2
2 2
C2 C1 C2
C1
2
γ12 ,
.
(4.12)
Die komplexe Größe C2 /C1 charakterisiert die Polarisation des abgestrahlten elektromagnetischen Feldes. Damit hängt die Größe σ, die als Radarquerschnitt, Rückstreufläche
4.2. BERECHNUNG DES RADARQUERSCHNITTES VON METALLISCHEN OBJEKTEN63
oder Rückstreuquerschnitt bezeichnet wird, sowohl von den Streuamplituden γ11 bis γ22
als auch von der Polarisation ab. Der Ausdruck in Gleichung (4.12) vereinfacht sich für
die wichtigen Sonderfälle der linearen und zirkularen Polarisation. Für eine lineare Po→
larisation in Richtung des Einheitsvektors e 1 , d. h. C2 /C1 = 0, erhält man für den
Radarquerschnitt σ:
2
σ = γ11 →
(lineare Polarisation in Richtung e 1 ).
→
Genauso gilt für eine lineare Polarisation in Richtung e 2 , und damit
2
σ = γ22 (4.13)
C2 /C1 → ∞ ,
→
(lineare Polarisation in Richtung e 2 ).
(4.14)
Für eine zirkulare Polarisation gilt entsprechend der rechts- oder linksdrehenden Polarisation C2 /C1 = ±j , und man erhält für den Rückstreuquerschnitt
σ =
2
1 γ11 − γ22 ± j 2 γ12 4
(zirkulare Polarisation).
(4.15)
Um zu einer anschaulichen Deutung des Radarquerschnitts zu gelangen, kann man die
Gleichung (4.11) mit Hilfe der Gleichung (2.101) umschreiben und erhält die Radargleichung:
2
b0 =
|a0 |2
4 π R2
G̃(θ, ϕ)
σ
1
4 π R2
Ãw
.
(4.16)
Diese Gleichung kann man folgendermaßen interpretieren: Die Sendeleistung |a0 |2 , auf die
Kugeloberfläche 4πR2 aufgeteilt und um den Gewinn G̃ erhöht, ergibt eine Strahlungsdichte SR am Ort des Streukörpers. Gemäß dem Radarquerschnitt bzw. der Rückstreufläche σ wird eine Leistung SR σ isotrop in alle Raumrichtungen zurückgestreut. Daraus
ergibt sich eine Strahlungsdichte Se = (SR σ)/(4πR2 ) am Ort der Empfangsantenne, die gemäß der Wirkfläche Ãw zu einer Eingangsleistung |b0 |2 = Se Ãw in der
Empfangsantenne führt. Es sei noch einmal betont, daß ein Streukörper nicht isotrop
zurückstreut. Dies wird in der Gleichung (4.16) dadurch berücksichtigt, daß der Streuquerschnitt σ eine Funktion des Aspektwinkels sowie der Polarisation ist. Außerdem ist
σ im allgemeinen frequenzabhängig.
4.2
Berechnung des Radarquerschnittes von metallischen
Objekten
In diesem Abschnitt soll der bisherige allgemein behandelte Rückstreuquerschnitt σ
für spezielle metallische Objekte bei homogener einfallender Welle berechnet werden.
64KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
Um zu Aussagen über die durch die einfallende ebene homogene Welle
→
→
→
−jk0 xi
Ei = Ei1 e 1 + Ei2 e 2 e
(4.17)
→
→
xi = u i · ρ
mit
ausgelöste Radarrückstreuung zu kommen, müßte man die Maxwellschen Gleichungen
unter Berücksichtigung der Randbedingungen eines ideal leitenden metallischen Streukörpers lösen, das heißt unter der Randbedingung, daß die Tangentialkomponente des
elektrischen Feldes verschwinden muß. Das bedeutet
→
→
→
E × n = 0
(idealer Leiter).
(4.18)
Bei bekannter Lösung des elektromagnetischen Feldes einschließlich Rückstreuung kann
man den Streukörper durch im freien Raum befindliche äquivalente Flächenströme ersetzen (siehe Abschnitt 2.3).
→
Für die äquivalenten magnetischen Flächenströme gilt nach Gleichung (2.35) Ms =
→
→
→
→
− n × E und damit wegen Gleichung (4.18) Ms = 0 . Es verbleibt daher der elektrische Flächenstrom nach Gleichung (2.34) mit
→
→
→
J = n × H
.
(4.19)
→
→
Bild 4.3 erläutert die Wahl der beiden Polarisationsrichtungen e 1 und e 2 und der Koordinaten.
n
Streukoerper
e1
ui
Ei
OR
e2
xi
dS
Flaechenstromelement
Abbildung 4.3: Koordinaten für die einfallende Welle und den Streukörper
Für die elektrischen Streufeldkomponenten Es1 und Es2 aus Gleichung (4.6) kann man
mit Hilfe von Gleichung (2.31) unter Berücksichtigung, daß keine Komponenten in Aus→ →
→
→
→
breitungsrichtung auftreten ( J ( ρ ) · u r ) u r = 0 und daß die Randbedingung einer
4.2. BERECHNUNG DES RADARQUERSCHNITTES VON METALLISCHEN OBJEKTEN65
→ →
→
ideal metallischen Oberfläche erfüllt sein muß (M( ρ ) = 0 ), auch schreiben:
⎫
⎧
⎪
⎪
√
⎬
⎨
−jk
R
0
→ →
−j π Z0
→
e
x
−jk
0
i
ρ
√
Es1,2 =
dS
J ( ) · e 1,2 e
⎪
λ0
2 πR ⎪
⎭
⎩
(4.20)
S
→
→
xi = − u r · ρ
mit
.
Ein Vergleich mit der Definitionsgleichung, Gleichung (4.7), liefert für die Streuamplituden
γ11 bis γ22 :
√
→ → π
−jk0 xi dS
Z0
,
γ11 = − j
J · e1 e
λ0
S
γ21
√
π
= −j
Z0
λ0
→ → −jk0 xi dS
J · e2 e
,
→ → −jk0 xi dS
J · e1 e
,
→ → −jk0 xi dS
J · e2 e
,
S
→
mit J für Ei1 = 1 und Ei2 = 0 ,
γ12
√
π
= −j
Z0
λ0
S
γ22 = − j
√
π
Z0
λ0
(4.21)
S
→
mit J für Ei1 = 0 und Ei2 = 1 .
Bei metallisierten Streukörpern mit Abmessungen, die groß gegen die Wellenlänge sind,
dominiert der von der Vorderseite des Streukörpers stammende Anteil. Dieser läßt sich
näherungsweise mit Hilfe der ”physikalischen Optik” bestimmen. Dazu wird zunächst die
Oberfläche S in ”beleuchtete Bereiche” Si und ”Schattenbereiche” Ss eingeteilt (siehe Bild
4.4).
beleuchteter Bereich Si
n
Schattenbereich Ss
ui
n
P
OR
Abbildung 4.4: Erläuterung zur Verteilung der Flächenströme
66KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
In den Schattenbereichen wird der äquivalente Strom näherungsweise gleich Null gesetzt:
J ≈ 0
→
ρ ∈ Ss
für
(4.22)
.
→
In den Punkten der beleuchteten Gebiete wird der Flächenstrom J gleich demjenigen
Flächenstrom gesetzt, der in dem betreffenden Punkt P fließen würde, wenn er auf ei→
ner unendlich ausgedehnten ebenen Platte liegen würde, die n(P ) als Normalenvektor
aufweist. Für eine solche ebene Platte ist die Tangentialkomponente des gesamten magnetischen Feldes gerade doppelt so groß wie die Tangentialkomponente des einfallenden
Feldes:
→
→
→
→
n × H = 2 n × Hi
(für ebene Platte).
(4.23)
Daraus ergibt sich die im Rahmen der ”physikalischen Optik” getroffene Näherungsannahme für die äquivalenten Ströme auf der beleuchteten Oberfläche des metallischen Streukörpers
→
→
→
→
→
→
ρ ∈ Si
für
.
(4.24)
J = n × H ≈ 2 n × Hi
Zur einfallenden ebenen homogenen Welle nach Gleichung (4.17) gehört das magnetische
Feld
→
1 →
→
e 1 Ei2 − e 2 Ei1 e −jk0 xi
(4.25)
Hi =
Z0
und damit die Näherungslösung für den äquivalenten Flächenstrom nach Gleichung (4.24)
→
2 →
→
→
→
Ei2 ( n × e 1 ) − Ei1 ( n × e 2 ) e −jk0 xi
(für Si ).
(4.26)
J ≈
Z0
Setzt man diesen Strom in die Gleichungen (4.21) für die Streuamplituden ein, dann folgt
wegen
→
→
Ei1
Z0
→ →
n · ui
e −jk0 xi
→
→
Ei2
Z0
→ →
n · ui
e −jk0 xi
J · e1 = − 2
und
J · e2 = − 2
als Ergebnis für die Streuamplituden:
√
π
γ11 = γ22 = γ0 = j 2
λ0
→ → n · u i e (−j2k0 xi ) dS
(4.27)
,
(4.28)
Si
γ12 = γ21 = 0
.
(4.29)
Das Integral ist nur über den beleuchteten Bereich zu erstrecken.
Es ergibt sich eine Streumatrix der Form:
γ
⎡
= ⎣
γ0
0
0
γ0
⎤
⎦
(4.30)
4.2. BERECHNUNG DES RADARQUERSCHNITTES VON METALLISCHEN OBJEKTEN67
mit γ0 nach Gleichung (4.28). Dieses Näherungsergebnis bedeutet, daß für den Fall einer linear polarisierten einfallenden Welle die rückgestreute Welle die gleiche Polarisation
aufweist. Weiterhin ist die Amplitude der rückgestreuten Welle unabhängig von der Polarisationsrichtung.
Dieses Näherungsergebnis für die Einfachreflexion an der Vorderseite wird von Ergebnissen genauerer Rechnungen sowie durch Meßergebnisse bestätigt, solange die Vorderseite
frei von ”Kanten” ist, das heißt, solange die Krümmungsradien groß gegen die betrachteten Wellenlängen sind. Die betrachtete Näherung wird auch dann recht gut sein, wenn
die Fläche des Streukörpers groß ist oder wenn die Amplitude des Flächenstromes zu den
Kanten hin abnimmt.
In der betrachteten Näherung ist γ12 = γ21 = 0 . Dies bedeutet, daß bei Einfall einer
linear polarisierten Welle keine dazu kreuzpolare Komponente in der Reflexion auftritt.
Weiterhin ist γ11 = γ22 = γ0 . Damit folgt für den Rückstreuquerschnitt σ = σzir der
zirkularen Polarisation gemäß Gleichung (4.15), und zwar sowohl für die links- als auch
für die rechtszirkulare Polarisation:
2
1 .
(4.31)
σ = σzir =
γ11 − γ22 ± j 2 γ12 = 0
4
Die Gleichung (4.31) besagt, daß der Rückstreuquerschnitt für zirkulare Polarisation, σzir ,
null ist. Dabei ist jedoch zu bedenken, daß in Gleichung (4.15) die Annahme steckt, daß
die Sende- und Empfangsantenne identisch sind. Verwenden wir hingegen eine Empfangsantenne, welche gerade die kreuzpolare Polarisation empfangen kann, also die zirkulare
Polarisation mit entgegengesetztem Drehsinn, dann ist
C2
= ±j
C1
aber
,
D1
= ∓j
D2
(4.32)
.
Man erhält somit für den Streuquerschnitt der kreuzpolaren Komponente σkrz :
σkrz =
|γ11 + γ22 |
4
2
2
= γ0 .
(4.33)
Der Rückstreuquerschnitt für die kreuzpolare Komponente ist folglich ebenso groß wie
für eine lineare Polarisation.
Es sei noch erwähnt, daß ein Streukörper, der nicht die Voraussetzungen dieses Abschnitts
erfüllt, nämlich metallische Leitfähigkeit und sanft veränderliche Geometrie, im allgemeinen eine kreuzpolare Polarisation erzeugen wird. Insbesondere an gemischt dielektrisch–
metallischen Objekten und Kanten kann eine Kreuzpolarisation entstehen. Anderseits
wird ein beliebiges Objekt mit Rotationssymmetrie keine Umwandlung in kreuzpolare
Komponenten hervorrufen.
Für einige einfache Streukörpergeometrien läßt sich Gleichung (4.28) analytisch auswerten.
68KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
4.2.1
Reflexion bei Einfall einer ebenen homogenen Welle auf
eine leitende ebene Platte
Wir betrachten zunächst eine kreisförmige ebene Platte (Bild 4.5). Der Integrand in Gleichung (4.28) ist für jeden Punkt auf der Vorderseite der Platte gleich. Mit xi = 0 und
→ →
n · u i = −1 gilt für die Streuamplitude γ0 :
n
d
ui
xi
OR
Abbildung 4.5: Senkrechter Einfall auf eine ebene Platte
γ0 =
√
j2 π
λ0
→ → n · u i e (−j2k0 xi ) ds
(4.34)
,
Si
γ0
√ 2π r
j2 π
=
(−1) e 0 r dr dϕ
λ0
(4.35)
√
j2 π π 2
d
λ0
4
(4.36)
0 0
und letztendlich
γ0 = −
.
Für λ0 d dominiert dieser Streubeitrag über alle anderen Streubeiträge, und man
erhält für den Radarquerschnitt, wenn A die Fläche der Scheibe ist:
σlin = |γ0 |2 =
4 π 2 π 2
4π 2
d
=
A
2
λ0
4
λ20
,
σzir = 0
.
(4.37)
Die Beziehung (4.37) gilt auch allgemein, wenn A die Fläche einer beliebig gestalteten
ebenen Platte ist. Kippt man die ebene Platte um einen Winkel Δβ, so verändert sich
die Streuamplitude ähnlich wie die Richtcharakteristik bei einer Flächenantenne.
Wir hatten gesehen, daß die Richtcharakteristik sich aus der Fouriertransformierten der
Belegungsfunktion ergibt. Die Beiträge, die sich aus elektrischer und magnetischer Flächenstromdichte ergeben, waren fast gleich (Gleichung 2.39). Bei dem ebenen leitenden
4.2. BERECHNUNG DES RADARQUERSCHNITTES VON METALLISCHEN OBJEKTEN69
Hauptrueckstreurichtung
n
ebene Platte
OR
ui
Abbildung 4.6: Reflexion an einer geneigten ebenen Platte idealer Leitfähigkeit
Streukörper, den wir in diesem Abschnitt betrachten, gibt es nur eine elektrische Flächenstromdichte, diese aber mit verdoppelter Amplitude. Man beachte aber, daß die Neigung
der ebenen Platte um einen Winkel Δβ bereits zu einer linear ansteigenden Phase der äquivalenten Flächenstromdichte führt. Dieser Phasenfaktor in der Belegungsfunktion führt
dazu, daß die Hauptrückstreurichtung noch einmal um Δβ gegenüber der Normalenrichtung geschwenkt ist (Gleichung 2.60). Dies ist die aus der Optik bekannte Spiegelreflexion
mit Einfallswinkel gleich Reflexionswinkel. Bei einer Neigung der Platte um Δβ ist der
Winkel zwischen Einfallsrichtung und Hauptrückstreurichtung bereits 2Δβ. Eine z. B.
rechteckige Platte weist eine konstante Flächenstromverteilung auf, und damit weist der
Rückstreuquerschnitt σ über den Drehwinkel den Verlauf einer si2 –Funktion auf.
Für meßtechnische Anwendungen ist ein sogenannter Tripel–Spiegel oder Winkel–Reflektor
(engl. ”corner–reflector”) beliebt. Dieser ist wie die Ecke eines Zimmers aus drei metallischen Dreiecksflächen aufgebaut (Bild 4.7).
Draufsicht
Schnitt
wirksamer
Bereich
Abbildung 4.7: Draufsicht des und seitlicher Schnitt durch den Tripel–Spiegel
Dieser Tripel–Spiegel hat geometrisch–optisch die Eigenschaft, daß ein einfallender Strahl
70KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
parallel zu sich selbst zurückgeworfen wird, unabhängig vom Einfallswinkel Δβ (Prinzip
des Katzenauges).
Ein derartiger Tripel–Spiegel weist für einen Einfallswinkel von etwa Δβ ≤ 35◦ die nahezu
winkelunabhängige Fläche des schraffierten Bereichs im Bild 4.7 mit der Größe von
√
3
4
A =
k2
(4.38)
auf.
Unter Berücksichtigung von Gleichung (4.37) erhält man für einen Winkelspiegel die Rückstreufläche
π
3 4
σ =
k
(4.39)
2
λ0 4
für eine linear polarisierte einfallende Welle.
4.2.2
Reflexion an der Vorderseite einer metallischen Kugel
Der Integrand in Gleichung (4.28) ist innerhalb eines Ringes mit xi = konst. ebenfalls
konstant (Bild 4.8).
n
ausgeleuchteter
Bereich
n
dStr
a
xi
n
R
dx i
dS
Abbildung 4.8: Schnitt durch eine Kugel zur Berechnung des Rückstreuquerschnittes
Die Fläche dS eines kleinen Ringes auf der Oberfläche der Kugel berechnet sich aus dem
mittleren Umfang des Ringes und dessen Breite dStr :
dS
= 2π
a2 − x2i dStr
.
(4.40)
4.2. BERECHNUNG DES RADARQUERSCHNITTES VON METALLISCHEN OBJEKTEN71
Die Breite des Ringes erhält man aus dem Verhältnis :
dStr
dxi
=
a
a2
(4.41)
.
− x2i
Somit ergibt sich für die Ringfläche dS :
dS
= 2 π a dxi
(4.42)
.
Da xi im Integrationsbereich kleiner Null ist, gilt weiterhin
→
xi
a
→
n · ui =
(4.43)
.
Zur Ermittlung der Streuamplitude der Kugel muß die Fläche in der Gleichung (4.28) in
dem Bereich von −a xi 0 aufintegriert werden :
γ0
γ0 =
√
j2 π
=
λ0
0
−a
xi (−j2k0 xi )
e
a
√
j a j2k0 a
j2 π
+
2π
e
λ0
2 k0
1
4 k02
2 π a dxi
(4.44)
,
1 − e j2k0 a
.
(4.45)
Ist der Durchmesser der Kugel groß gegenüber der Wellenlänge (a λ0 ), so überwiegt
der erste Summand in der geschweiften Klammer in Gleichung (4.45) und man erhält:
γ0 = − a
√
π e j 2 k0 a
(4.46)
.
Daraus ergibt sich ein Rückstreuquerschnitt σ der Kugel zu:
2
;
σzir = 0
σlin = γ0 = π a2
.
(4.47)
Damit ist der Rückstreuquerschnitt gleich der maximalen Querschnittsfläche der Kugel
und unabhängig von der Frequenz.
Ist hingegen der Kugeldurchmesser d viel kleiner als die Wellenlänge (a λ0 ), so gilt für
r → ∞ abgeleitet aus Gleichung (4.59):
σlin
=
wie im weiteren gezeigt wird.
π5
λ40
d6
;
σzir
= 0
.
(4.48)
72KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
ui
L
a
Abbildung 4.9: Kreiszylinder und dessen Größen zur Berechnung des Rückstreuquerschnittes
Streukörper
Kugel
Streuquerschnitt
σ = π a2
Kreiszylinder
σ = 2π
a L
λ0
ebene Platte
σ = 4π
A2
λ20
Tab. 2: Rückstreuquerschnitte verschiedener Geometrien
In der Tabelle 2 sind die Rückstreuquerschnitte von einer ebenen Platte, einem Zylinder
(siehe Bild 4.9) und einer Kugel für den Fall, daß die Geometrien viel größer als die
Wellenlänge sind, nochmals zusammengestellt.
An diesen Ergebnissen ist insbesondere die verschiedene λ0 –Abhängigkeit des Radarquerschnittes bemerkenswert. Während für die Kugel der Wert von σ bei hohen Frequenzen
konstant ist, nimmt er beim Zylinder proportional der Frequenz f ( ∼ 1/λ0 ) und bei der
ebenen Platte und senkrechten Einfall sogar proportional f 2 zu.
Dieses unterschiedliche Verhalten läßt sich verstehen, wenn man die Größe des Streukörpers nicht nur in Richtung des Senders, sondern in allen Raumrichtungen betrachtet
(”Streudiagramm”). Während bei der Metallkugel das Streudiagramm bei hohen Frequenzen unabhängig von der Frequenz wird, nimmt bei der Platte die Bündelungseigenschaft
stetig mit der Frequenz zu.
4.3. STREUUNG AN DIELEKTRISCHEN KÖRPERN, DIE KLEIN GEGEN DIE WELLENLÄNGE SIND (RAYLEI
4.3
Streuung an dielektrischen Körpern, die klein gegen
die Wellenlänge sind (Rayleigh–Streuung)
In der Radartechnik spielt die Rückstreuung an Zielen, die sich aus vielen kleinen, räumlich
getrennten dielektrischen Partikeln zusammensetzen, eine wichtige Rolle. Ein Beispiel
dafür ist ein Niederschlagsfeld, das sich aus vielen einzelnen Regentropfen zusammensetzt.
Zur Vorbereitung solcher Streuvorgänge soll in diesem Abschnitt die Streuung an einem
einzigen dielektrischen Partikel, dessen Abmessungen klein im Vergleich zur Wellenlänge
ist, behandelt werden.
In diesem Fall kann man sich den Streukörper bezüglich seines Streuverhaltens durch
einen elektrischen Elementardipol ersetzt denken. Dessen Dipolmoment ergibt sich als
Lösung eines elektrostatischen Randwertproblems. Zu besonders einfachen Ergebnissen
gelangt man, wenn der Streukörper eine Kugelform besitzt. Da dieser Fall gleichzeitig
von praktischer Bedeutung ist, soll er hier näher behandelt werden.
Beim Einbringen einer unmagnetischen Kugel mit der relativen Dielektrizitätszahl r und
dem Durchmesser d in ein elektrostatisches Feld werden an der Grenzfläche elektrostatische Ladungen influenziert, die zu einem Dipolmoment p führen.
z
P
r·ur
Ez
uz
x
d
Ɛr
Abbildung 4.10: Dielektrische Kugel im homogenen elektromagnetischen Feld
Vor dem Einbringen einer Kugel (Bild 4.10) möge das homogene einfallende Feld in z–
Richtung liegen. In Kugelkoordinaten können wir für diese Ez –Komponente schreiben:
→
Ei
→
= Ez u z = Ez
→
→
cos ϑ u r − sin ϑ u ϑ
.
(4.49)
Es ist bekannt, daß nach dem Einbringen einer dielektrischen Kugel in ein homogenes
elektrisches Feld das Feld im Inneren der Kugel weiterhin nur eine z–Komponente hat.
Allerdings ist das Feld um einen Faktor k kleiner als im Außenraum. Im Außenraum
überlagert sich dem homogenen einfallenden Feld ein Dipolfeld mit dem Dipolmoment p
(Gleichung 2.2), dessen Wert man aus den zu erfüllenden Randbedingungen erhält.
74KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
Für den Innenraum mit r ≤ d/2 gilt
→
→
E = k Ez u z = k Ez
→
→
cos ϑ u r − sin ϑ u ϑ
,
und für den Außenraum mit r ≥ d/2 gilt
→
→
E = Ez u z +
p
4 π 0 r 3
→
→
sin ϑ u ϑ + 2 cos ϑ u r
.
(4.50)
Die Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes auf der Kugeloberfläche
erfordert
d
d
Eϑ
− 0 = Eϑ
+ 0
(4.51)
2
2
und damit
− k Ez sin ϑ =
p
4 π 0 (d/2)3
oder
Ez (1 − k) =
sin ϑ − Ez sin ϑ
p
(4.52)
.
3
4 π 0 (d/2)
Außerdem muß die Normalkomponente der elektrischen Verschiebung auf der Kugeloberfläche stetig sein:
r k Ez cos ϑ =
p
3
4 π 0 (d/2)
Ez (r k − 1) =
2 cos ϑ + Ez cos ϑ
2p
3
4 π 0 (d/2)
,
(4.53)
.
Die Gleichungen (4.51) und (4.52) lassen sich nach k und p auflösen mit dem Ergebnis:
3
r + 2
k =
und
p = 0 π
d3
2
,
(r − 1)
(r + 2)
Ez
(4.54)
.
√
Im Sinne einer ”quasistationären” Betrachtung läßt sich das Ergebnis für den Fall D/ r λ0 auch auf Wechselfelder übertragen. Man erhält dann für den Phasor des induzierten
zeitharmonischen Dipolmoments
→
p
= 0
(r − 1)
(r + 2)
π
d3
2
→
→
Ei1 e 1 + Ei2 e 2
.
(4.55)
In Gleichung (4.55) bedeuten Ei1 und Ei2 die Komponenten des einfallenden Feldes am
Ort des Streukörpers. Das Ergebnis Gleichung (4.55) ist auch dann gültig, wenn wegen
4.3. STREUUNG AN DIELEKTRISCHEN KÖRPERN, DIE KLEIN GEGEN DIE WELLENLÄNGE SIND (RAYLEI
dielektrischer Verluste die relative Dielektrizitätszahl r komplex ist. Das Ergebnis läßt
sich auf eine metallische Kugel erweitern.
→
Zu dem Dipolmoment p gehört mit
→
→
I = jω p = j
2πc
λ0
→
p
(4.56)
ein Streufeld, das am Ort des Senders nach Gleichung (2.10) mit
durch den folgenden Ausdruck gegeben ist:
→
Es
= −
π2
2
d3
(r − 1)
2
R λ0 (r + 2)
e −jk0 R
r = R und
→
→
(Ei1 e 1 + Ei2 e 2 )
.
ϑ = π/2
(4.57)
Ein Vergleich mit Gleichung (4.7) liefert für die Streuamplituden
5
γ11 = γ22 = − π ( 2 )
(r − 1)
(r + 2)
d3
λ20
und
γ12 = γ21 = 0
(4.58)
.
Für den Radarquerschnitt der linearen Polarisation folgt damit
2
(r − 1) 2 5 d6
π
σ = γ11 = (r + 2) λ40
.
(4.59)
Der Streuquerschnitt für die zirkulare Polarisation ist wiederum null.
√
Das Ergebnis nach Gleichung (4.59) besagt, daß der Radarquerschnitt im Bereich D/ r λ0 mit dem Quadrat des Streukörpervolumens und für ein frequenzunabhängiges r mit
der vierten Potenz der Frequenz zunimmt.
Diese beiden Aussagen gelten auch dann noch, wenn der Streukörper von der Kugelform
abweicht. Auch für eine beliebige geometrische Form erhält man
σlin = h1
V2
λ40
= h2
V2
λ40
und
σkrz
.
(4.60)
Dabei sind h1 und h2 Funktionen von r , der Streukörperform und Orientierung sowie
Polarisation.
Die Abhängigkeiten nach Gleichung (4.60) sind auch für genügend kleine metallische
Streukörper gültig.
Für kleine metallische Streukörper mit beliebiger Form gilt ebenfalls die Aussage der
Gleichung (4.60).
Es sei noch angemerkt, daß man einfache geschlossene Lösungen außer für die Kugelform
auch für Rotationsellipsoide erhält, sofern wiederum die Abmessungen klein gegen die
Wellenlänge sind.
76KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
4.4
Reflexion an einer leitenden Halbebene
Das elektromagnetische Feld einer Sendeantenne wird gemäß Bild 4.11 an einer unendlich
ausgedehnten ideal leitenden metallischen Halbebene reflektiert.
I
II
leitender
Halbraum
ui
a0
Etan=0
Abbildung 4.11: Reflexion eines Antennenfeldes an einer leitenden Halbebene
Die Randbedingung, daß die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes auf der Oberfläche der Halbebene verschwindet, läßt sich erfüllen, wenn man spiegelbildlich, wie in
Bild 4.12 gezeigt, eine zweite identische Sendeantenne anordnet, die jedoch in Gegenphase angesteuert wird (180◦ ).
I
II
aI0=a 0 ·e j0°
Antenne I
aII
0 =a 0 ·e
Etan=0
j180°
Antenne II
Abbildung 4.12: Spiegelbildlich angeordnete zweite Antenne
Die leitende Halbebene muß man sich entfernt denken. Die Überlagerung der Felder von
Antenne I und Antenne II ergibt dann im Halbraum I das wahre Gesamtfeld, also einfallendes Feld und Reflexion der Anordnung von Bild 4.11.
Bei Dipolen vor einer leitenden Halbebene kann man ebenfalls das Spiegelungsprinzip
4.5. ABHÄNGIGKEIT DES RADARQUERSCHNITTS VON DER FREQUENZ UND DEM ASPEKTWINKEL77
anwenden, wie in Bild 4.13 gezeigt. Dabei ist zu beachten, daß eine positive (negative)
Ladung im Spiegelpunkt eine negative (positive) Ladung zur Folge hat.
SpiegelDipol
Dipol
Dipol
SpiegelDipol
leitender
Halbraum
leitender
Halbraum
Abbildung 4.13: Dipole vor einem leitenden Halbraum
Die Aperturbelegung einer Flächenantenne kann man ebenfalls durch viele einzelne Dipole
ersetzen, die dann wie im Bild 4.13 zu spiegeln wären.
Ein Beispiel aus der Praxis ist die Yagi-Antenne.
Reflektor
Dipol
4
2
<< 4
10 Direktoren
Hauptstrahlrichtung
Abbildung 4.14: Links: Yagi, rechts: Faltdipol
Für den Fall, daß der reflektierende Halbraum aus einem Dielektrikum r besteht, kann
man näherungsweise die Eingangswelle aII
0 der Spiegelantenne gemäß dem Reflexionsfaktor
der Halbebene verkleinern:
√
r − 1
aII
a0
=
.
(4.61)
√
0
r + 1
Man beachte die Entfernungsabhängigkeit der Empfangsleistung für die verschiedenen
Reflektoren. Bei der unendlichen Halbebene ist |b0 |2 ∼ 1/R2 .
4.5
Abhängigkeit des Radarquerschnitts von der Frequenz und dem Aspektwinkel
Eine Erläuterung des prinzipiellen Interferenz–Effekts kann man anhand eines Modells
mit zwei gleichen isotropen frequenzunabhängigen Punktstreuern geben. Unter fiktiven
isotropen Punktstreuern sind Streuobjekte zu verstehen, die keine räumliche Ausdehnung
besitzen und deren Streuamplitude γ0 unabhängig von der Betrachtungsrichtung bzw.
78KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
dem Aspektwinkel ist. Das Modell eines solchen Punktstreuers dient einer übersichtlicheren Darstellung. Es gilt nach Bild 4.15 für den Streuquerschnitt σ in Abhängigkeit vom
Aspektwinkel θ und der Kreisfrequenz ω:
2
ωL cos θ
ωL cos θ j
2
1
−j
ωL cos θ
2 2
c
c
γi (θ, ω) = |γ0 | e
+ e
σ(θ, ω) = .
= 4 σ0 cos
c
i
(4.62)
y
L
PunktStreuer
x
L COS
2
HEW
2L cos
Abbildung 4.15: Koordinaten für zwei Punktstreuer beim Einfall einer homogenen ebenen
Welle (HEW)
[
,
]
(a)
4
0
(b)
Abbildung 4.16: Streuquerschnitt σ in Abhängigkeit von der Frequenz ω und dem Aspektwinkel θ, wobei gilt: L = 4λ
4.6. VOLUMENHAFTE METEOROLOGISCHE RADARZIELE
79
Im oberen Teil des Bildes 4.16 ist die Abhängigkeit des Streuquerschnitts σ von der
Kreisfrequenz und im unteren Teil des Bildes 4.16 vom Aspektwinkel dargestellt.
Für ein größeres reales Objekt wird es viel mehr meist ungleiche Streuzentren geben,
entsprechend wird das Streudiagramm komplizierter aussehen. Bild 4.17 zeigt ein Meßergebnis an einem Flugzeug.
Abbildung 4.17: Rückstreudiagramm eines Flugzeuges [103]
4.6
Volumenhafte meteorologische Radarziele
Bei Vorliegen von Niederschlag stellt die Gesamtheit aller Regentropfen (oder Hagelkörner, Schneeflocken usw.) ein volumenhaftes Ziel dar, dessen Gesamtabmessungen in
der Regel groß im Vergleich zu den Strahlabmessungen sind. Die Erfassung eines solchen meteorologischen Ziels ist bei einem Wetterradar erwünscht. Dagegen ist es z. B.
bei einem Radar zur Flugraumüberwachung unerwünscht, weil die von den Niederschlägen stammenden Echos die zu den Flugzeugen gehörenden Echos verdecken können (Die
Niederschlagechos sind dann Clutter).
Für eine einfache Berechnung wird die Gewinnfunktion der Antenne grob angenähert. Es
wird angenommen, daß die gesamte Strahlungsleistung in einem Strahl mit ellipsenförmigen Querschnitt transportiert wird. Die Durchmesser dieses Strahls sind somit Δθ R
80KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
und Δϕ R. Innerhalb dieses Strahls wird die Strahlungsdichte als konstant angenommen und die Gewinnfunktion gleich dem Gewinn in Hauptstrahlrichtung gesetzt. Weiterhin wird ein rechteckmodulierter Sinusimpuls der Länge Δt zugrundegelegt. Wegen der
Verdopplung des Laufweges aufgrund des zweimaligen Durchlaufens der Wegstrecke wird
das Echosignal durch alle Partikel in einem Volumenbereich der Tiefe c Δt/2 und des
Querschnitts
Δθ Δϕ
R2
(4.63)
A = π
4
beeinflußt (Bild 4.18).
Abbildung 4.18: Zur Definition einer Auflösungszelle
Dieser Volumenbereich
V
= π c
Δt Δθ Δϕ
R2
2
4
(4.64)
wird als Auflösungszelle bezeichnet. Das rückgestreute Echosignal ergibt sich aus der
Interferenz aller Einzelechos der in der Auflösungszelle befindlichen N Partikel (z. B.
Regentropfen) mit den Radarquerschnitten σ0,ν (ν = 1, . . . , N ). Der Radarquerschnitt
ist von der jeweiligen Polarisation und Frequenz abhängig. Geht man von räumlich zufällig
verteilten Partikeln aus, die eine gleichverteilte Phasenlage aufweisen, so kann man zeigen,
daß der gesamte Radarquerschnitt σ gleich der Summe der Einzelquerschnitte ist:
σ =
N
1
σ0,ν
.
(4.65)
ν=1
Dabei heben sich, wenn man das Betragsquadrat von der Summe aller Streuamplituden wie in Gleichung (4.62) bildet, die gemischten Terme, ähnlich wie bei unkorrelierten
Signalen, im Mittel heraus.
Weil das Volumen der Auflösungszelle von den Antennenparametern Δθ und Δϕ sowie
von der Entfernung R und der Impulsdauer t abhängt, ist der in Gleichung (4.65) benutzte
Radarquerschnitt nicht nur von den Eigenschaften des Ziels abhängig. Daher bezieht
man σ zweckmäßigerweise auf das Volumen der Auflösungszelle, und man erhält damit
den spezifischen Radarquerschnitt pro Volumeneinheit Σ. Für diesen kann man nach
Einführung der Partikelzahl n pro Volumeneinheit auch folgendermaßen schreiben (mit
4.6. VOLUMENHAFTE METEOROLOGISCHE RADARZIELE
σ0,ν ≈ σ0
81
für alle ν):
Σ =
σ
V
1
V
=
N
1
σ0,ν
=
ν=1
n
1
σ0
(4.66)
.
ν=1
Damit lautet die Radargleichung für volumenhaft verteilte Ziele:
b0
a0
2
λ20
G2 V Σ =
2 =
(4 π)3 R4
λ20 G2
(4 π)3
Δθ Δϕ π c Δt
Σ
4
R2
2
.
(4.67)
Man beachte, daß hierbei die Einfügungsdämpfung eine Abhängigkeit mit 1/R2 aufweist,
im Gegensatz zu einzelnen zur Strahlbreite kleinen Zielen, wo die Abhängigkeit mit 1/R4
beschrieben werden kann. Dies liegt daran, daß die Auflösungszelle mit wachsender Entfernung größer wird und damit immer mehr Partikel erfaßt werden.
Für den Fall von Regen kann man zeigen, daß die Streuung an den einzelnen näherungsweise kugelförmigen Tropfen als Rayleigh–Streuung behandelt werden darf, solange der
Durchmesser d der Tropfen nicht größer als etwa λ0 /12 ist (Beispiel λ0 = 6 cm, d ≤ 3
mm). Setzt man den Rayleigh–Querschnitt nach Gleichung (4.59) an, dann ergibt sich
nach einer Aufsummierung über n Regentropfen pro Einheitsvolumen
Σlin =
π5
λ40
Σzir
n
r − 1 2 1
d6ν
r + 2 ν=1
=
0
.
,
(4.68)
Bild 4.19 zeigt Ergebnisse über den Radarquerschnitt pro Volumeneinheit als Funktion
der Regenrate pro Stunde mit der Wellenlänge λ0 als Parameter.
82KAPITEL 4. STREUUNG ELEKTROMAGNETISCHER WELLEN AN RADARZIELEN
Abbildung 4.19: Zusammenhang zwischen Rückstreuquerschnitt und Regenrate [103]
Kapitel 5
Phasengesteuerte Antennen
5.1
Prinzipielle Vorgehensweise
In der Radartechnik werden in zunehmenden Maße elektronisch gesteuerte oder phasengesteuerte Antennen (”Phased Array”) eingesetzt. Bei ihnen erfolgt eine Schwenkung des
Antennendiagramms nicht auf mechanische Weise, sondern durch eine Phasensteuerung
einer Gruppe von Einzelstrahlern. Solche Antennen besitzen den Vorteil, daß man die
Antennenkeule im Vergleich zu einer mechanisch schwenkbaren Antenne sehr viel schneller schwenken kann. Weil dabei keine schwere Masse beschleunigt werden muß, kann der
Strahl in beliebiger Abfolge ausgelenkt werden. So kann man etwa eine Raumabtastung
und eine Zielverfolgung von einigen Objekten fast gleichzeitig durchführen.
Eine Gruppe von Einzelstrahlern, z. B. elektrischen Dipolen, Hornstrahlern oder sogenannten Schlitzstrahlern, die in etwa dual zu elektrischen Dipolen sind, werden einzeln
mit elektronisch schaltbaren Phasenschiebern versehen. Dadurch läßt sich die Phasenlage jedes Einzelstrahlers einstellen. Im allgemeinen kann jedoch nicht jeder beliebige
Phasenwert eingestellt werden, sondern aus Aufwandsgründen weist der Phasenschieber nur eine endliche Anzahl diskreter Stufen auf. Man spricht beispielsweise von einem
3–Bit Phasenschieber und meint damit einen Phasenschieber, der einen 45◦ , 90◦ und
180◦ Phasenschalter hintereinander aufweist und dadurch in 23 = 8 Schritten die Werte
0◦ , 45◦ , 90◦ , 135◦ , 180◦ , 225◦, 270◦ , 315◦ einzustellen gestattet. Die Werte 360◦ und 0◦ sind
identisch.
Die Steuerung der Phasenschieber erfolgt im allgemeinen digital mit der Unterstützung
von Rechnern. Der 3–Bit Phasenschieber weist damit einen Diskretisierungsfehler von
±22.5◦ auf.
Die Auswirkungen eines solchen Diskretisierungsfehlers werden wir noch besprechen. Es
werden vor allem Ferrit–Phasenschieber und Phasenschieber, die mit Halbleiterbauelementen wie PIN–Dioden oder FET–Transistoren gesteuert werden, eingesetzt. Der Aufbau von schaltbaren Phasenschiebern soll hier allerdings nicht näher diskutiert werden.
Das Prinzip einer elektronisch schwenkbaren Antenne wird anhand einer linearen Strahleranordnung erläutert, die N Elemente aufweisen soll (Bild 5.1).
83
84
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
Normale
(y)
Hauptstrahlrichtung
Phasenfront
des Strahlers 2
(y)
Antennen
Phasenschieber
N-1
5
6
4
3
2
1
a0
N
L = N · de
a0
Abbildung 5.1: Lineare Gruppe von Strahlerelementen
Wie in Bild 5.1 gezeigt, soll im folgenden β(y) die Phase in der Strahlerebene bzw. Strahlerzeile und Ψ(y) die Phase in einer Ebene oder Zeile senkrecht zur betrachteten Ausbreitungsrichtung mit der Richtung θ beschreiben. Die Differenzphasenwerte Δβ und ΔΨ
bezeichnen die entsprechenden Phasenänderungen von Strahlerelement zu Strahlerelement.
Es soll angenommen
werden, daß auf die angepaßten Strahlerelemente der Gruppe die
√
Welle a0 / N einfällt (Sendefall). Außerdem soll keine Verkopplung zwischen den Einzelstrahlern auftreten, und alle Strahler sollen die gleiche Richtcharakteristik Ce (θ) aufweisen. In das als verlustfrei angenommene Speisenetzwerk soll die Welle a0 eingeführt
werden.
5.2
Die Richtcharakteristik einer phasengesteuerten Antenne
Die Einzelstrahler sollen die gleiche Polarisation 1 aufweisen. Für den Einzelstrahler gilt
nach Gleichung (2.63) für das elektrische Feld im Fernfeld:
→
E(r, θ) =
&
Z0
2π
1
r
1
√
N
Ce (θ) e −jk0 r
→
e1
a0
.
(5.1)
Während wir wie bei der Flächenantenne annehmen, daß der Beitrag zum Fernfeld durch
den Faktor 1/r für alle Strahlerelemente gleich ist, müssen wir bei der Aufsummation
der Feldbeiträge der Einzelstrahler berücksichtigen, daß der Phasenfaktor e −jk0 r für die
verschiedenen Strahler ungleich ist.
5.2. DIE RICHTCHARAKTERISTIK EINER PHASENGESTEUERTEN ANTENNE85
Wir wollen annehmen, daß bei den Phasenschiebern keine Diskretisierungsfehler vorliegen
und die Phase β(m), m = 0, 1, 2, . . . , N, der Phasenschieber linear um Δβ von Phasenschieber zu Phasenschieber ansteigt.
Die Phasenänderung zu einem Nachbarstrahler ΔΨ quer zur betrachteten Ausbreitungsrichtung θ entnimmt man Bild 5.2.
P
R
Aufpunktstrahl
Normale
1
Wellenfront
d e sin
0
0
de
Antenne m=1
Antenne m=0
Phasenwinkel
Phase linear ansteigend
1
0
0
Abbildung 5.2: Phasendifferenzen in Strahlrichtung
Sie beträgt
ΔΨ = Ψ1 − Ψ0
,
ΔΨ = Δβ − k0 de sin θ
,
ΔΨ = − k0 de (sin θ − sin θ0 )
mit
Δβ
(5.2)
,
= β1 − β0 = k0 de sin θ0
.
(5.3)
Wir werden sehen, daß θ0 die Hauptstrahlrichtung bezeichnet. Beginnend mit null steigt
der Phasenbeitrag zu einem Aufpunkt im Fernfeld um ΔΨ von Strahler zu Strahler auf
→
N ΔΨ an. Für das Gesamtfeld Ei (R, θ), das sich im Aufpunkt P einstellt, muß man
die Beiträge aller N hier als gleich angenommenen Einzelstrahler mit einem Feldbeitrag
gemäß Gleichung (5.1) aufsummieren.
→
E(R, θ) =
&
Z0
2π
e −jk0 R
Ce (θ)
R
1
√
N
N
−1
1
e jmΔΨ
→
a0 e 1
(m =Laufindex).
m=0
(5.4)
86
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
√
Der Faktor 1/ N in Gleichung (5.4) berücksichtigt, daß |a0 |2 die in alle Einzelstrahler
eingespeiste Gesamtleistung sein soll. Die Summe in Gleichung (5.4) soll als Richtcharakteristik der Antennengruppe Cg (θ) bezeichnet werden:
N
−1
1
1
√
N
Cg (θ) =
e jmΔΨ
(5.5)
.
m=0
Die Gesamtcharakteristik Cres ergibt sich als Produkt der Strahler–Einzelcharakteristik
Ce und der Gruppencharakteristik Cg .
Die Summe in Gleichung (5.5) läßt sich als geometrische Reihe auffassen und explizit
berechnen. Dabei ergibt sich das folgende Ergebnis:
Cg (θ) =
1 − e (jN ΔΨ)
1 − e (jΔΨ)
1
√
N
j(N − 1) ΔΨ
2
e
√
Cg (θ) =
N
Cg (θ) = e
Cg (θ) = e
"
! ΔΨ "
!
ΔΨ
− e jN 2
e −jN 2
! ΔΨ "
! ΔΨ "
−j
2
− e j 2
e
j(N − 1) ΔΨ
2
j(N − 1) ΔΨ
2
,
1
√
N
sin N ΔΨ
2
ΔΨ
sin 2
,
,
N πde
(sin θ − sin θ0 )
λ
0
πde
sin
(sin θ − sin θ0 )
λ0
sin
1
√
N
.
(5.6)
Für die Gewinnfunktion G̃g (θ) der Gruppe schließlich entfällt der unerhebliche Phasenvorfaktor in Gleichung (5.6) und man erhält:
2
G̃g (θ) = Cg (θ) =
N πde
(sin θ − sin θ0 )
sin
λ
0
πde
N sin2
(sin θ − sin θ0 )
λ0
2
.
(5.7)
Für die günstige Wahl de = λ0 /2 und eine ausreichend große Elementzahl N ist dieses
Diagramm dem einer homogenen belegten Flächenantenne ähnlich (Bild ??). Die Hauptstrahlrichtung liegt bei sin θ = sin θ0 bzw. θ = θ0 wie es auch schon durch die Gleichung
(2.60) beschrieben wurde. Die erste Nebenkeule liegt bei großem N etwa 13.2 dB unter
der Hauptkeule.
5.2. DIE RICHTCHARAKTERISTIK EINER PHASENGESTEUERTEN ANTENNE87
Solange die Elementabstände λ0 /2 oder geringer sind, bleiben die Nebenkeulen klein im
Vergleich zur Hauptkeule. Wird jedoch der Elementabstand größer als λ0 /2, dann können
im Strahlungsdiagramm zusätzliche Keulen mit vergleichbarem Gewinn wie die Hauptkeule auftreten. Solche Sekundärkeulen (engl. ”grating lobes”, übersetzt ”Gitterkeulen”)
entstehen, wenn in Gleichung (5.7) Zähler und Nenner gleichzeitig zu null werden, der
Quotient im Limes aber endlich bleibt. Dies trifft zu, wenn folgendes gilt:
πde
(sin θ − sin θ0 ) = ±μ π
λ0
λ0
sin θ − sin θ0 = μ
de
oder
(μ ganze Zahl)
,
m = 1, 2, 3, . . .
,
.
(5.8)
Ist beispielsweise θ0 = 0 und der Elementabstand de = 2λ0 , dann treten unerwünschte
Sekundärkeulen bei θs auf mit
θs = ±30◦ ; ±90◦
.
Die Nebenkeulen bei ±90◦ sind im allgemeinen nicht kritisch, weil bei diesem Winkel der
Gewinn der Einzelstrahler meist gering ist.
Bild 5.3 erläutert graphisch, daß bei de = 2λ0 und einem Winkel von 30◦ wiederum
eine Hauptstrahlrichtung vorliegt, also eine gemeinsame Phasenfront aller Einzelstrahler
ausgebildet wird.
Hauptstrahlrichtung
Sekundaerstrahlrichtung
30°
Phasenfront
0
0
0
de = 2
a0
N
0
de = 2
0
de = 2
0
Abbildung 5.3: Graphische Erläuterung für eine Sekundärkeule bei θ = 30◦
Wie man dem Bild 5.3 entnehmen kann, ist für θs = 30◦ die Bedingung erfüllt, daß
die Wegunterschiede zu den Einzelstrahlern λ0 betragen, die Beiträge der Einzelstrahler
also aufsummiert werden. Algebraisch lautet die Bedingung für eine solche konstruktive
Interferenz, wenn Ψ0 eine beliebige Anfangsphase ist:
Ψ0 + Δβ − k0 de sin θ = Ψ0 ± μ 2 π
oder
sin θ =
Δβ
k0 de
±
mit
μ2π
k0 de
μ = 0, 1, 2, . . .
.
,
(5.9)
88
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
Wegen Gleichung (5.3) ist diese Beziehung aber identisch mit Gleichung (5.8). Für μ =
1, 2, 3, . . . können sich unerwünschte Sekundärkeulen ausbilden, wenn Gleichung (5.8)
durch ein reelles θ = θs erfüllt werden kann. Dies ist am ehesten durch μ = 1 möglich.
Um Sekundärkeulen sicher zu vermeiden, darf der Abstand de der Einzelstrahler λ0 /2 nur
geringfügig überschreiten. Zulassen kann man im allgemeinen Sekundärkeulen bei θs =
±90◦ , weil die Einzelstrahler aufgrund ihrer Eigencharakteristik wenig in diese Richtung
strahlen. Schränkt man außerdem den maximalen Auslenkwinkel ein, z. B. auf ±θm , dann
folgt mit θs = ±90◦ aus Gleichung (5.8) für den einzuhaltenden Abstand de :
λ0
de
≥ 1 + sin θm
(5.10)
.
Für θm = ±60◦ folgt daraus de ≤ 0.536 λ0 . Für θm → 0 steigt der zulässige Abstand der
Strahlerelemente bis λ0 an.
Betrachtet man eine rechteckige flächenhafte Gruppenanordnung von Einzelstrahlern, und
zwar von M Spalten und N Zeilen (Bild 5.4), dann erhält man für die Gewinnfunktion
der Gruppe in der Horizontal- und Vertikalebene:
M
N πde
(sin θ − sin θ0 )
sin
λ
0
πde
N sin2
(sin θ − sin θ0 )
λ0
N
M πde
(sin ϕ − sin ϕ0 )
sin2
λ
0
πde
2
M sin
(sin ϕ − sin ϕ0 )
λ0
2
G̃g (θ, 0)
=
G̃g (0, ϕ)
=
ϕ0 = 0
θ0 = 0
,
(5.11)
.
(5.12)
z
a
N Zeilen
d0
b
M Spalten
y
Abbildung 5.4: Gitterförmige Anordnung der Elementarstrahler mit M Spalten und N Zeilen
Die Phasenbelegung β(y) muß so gewählt werden, daß eine Ebene konstanter Phase senkrecht auf der Hauptstrahlrichtung steht. Fällt die Hauptstrahlrichtung weder mit der
5.3. KENNGRÖEN EINER PHASENGESTEUERTEN ANTENNE
89
Vertikal- noch mit der Horizontalebene zusammen, so muß auch die Ebene konstanter
Phase entsprechend schief stehen. Damit wird die Phasenbelegung β eine Funktion von y
und z, d. h. β = β(y, z).
5.3
Kenngrößen einer phasengesteuerten Antenne
Aus den Gleichungen (5.11) und (5.12) ergibt sich der Gewinn Gg der Antennengruppe
zunächst in Hauptstrahlrichtung mit θ = θ0 und ϕ = ϕ0 zu
Gg
= G̃(θ = θ0 , ϕ = ϕ0 ) = N M
(5.13)
.
Für einen Abstand der Einzelstrahler von de = λ0 /2 und den Seitenlängen der Gruppe
a und b (Bild 5.4) sowie der Fläche A = a b kann man die Gleichungen (5.11) und
(5.12) auch schreiben:
= N M
Gg
=
N
λ0
λ0
2 M 2
λ20
4
=
4A
λ20
.
(5.14)
Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem Gewinn einer Flächenantenne homogener Belegung, Gleichung (2.71), nimmt weiterhin an, daß die Einzelstrahler mindestens den
Gewinn von 1.5 eines Hertzschen Dipols aufweisen, dann stellt man fest, daß der Gewinn
G der Gruppenantenne ungefähr um einen Faktor 2π/3 geringer ist als der eines Flächenstrahlers gleicher Fläche und homogener Belegung. Eine Abschätzung der Keulenhalbwertsbreite können wir durch die folgende Überlegung gewinnen. Die Gewinnfunktionen
der Gruppe G̃g gemäß Gleichung (5.11) und (5.12) weisen bis auf einen konstanten Faktor
den Term si2 u auf, wobei die Abkürzung
u
=
N k0 de
2
(sin θ − sin θ0 )
M k0 de
2
(sin ϕ − sin ϕ0 )
,
beziehungsweise
u
=
,
(5.15)
eingeführt wurde. Dazu wurde im Nenner der Gleichung (5.11) und (5.12) sin u ≈ u wegen
N, M 1 gesetzt.
Der Gewinn ist um 3 dB abgefallen, wenn u von null auf den Wert
u
=
± 0.443 π
(5.16)
angestiegen ist (siehe auch Gleichung (2.53)).
Für die weitere Überlegung wollen wir die folgende Identität benutzen:
≈ 0
sin θ − sin θ0 = sin (θ − θ0 ) cos θ0
≈ 0
−
1 − cos (θ − θ0 ) sin θ0
. (5.17)
90
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
Den zweiten Summanden auf der rechten Seite von Gleichung (5.17) kann man vernachlässigen, wenn θ0 nicht zu groß ist und außerdem θ nicht zu sehr von θ0 abweicht. Dann
gilt näherungsweise:
sin θ − sin θ0 = sin (θ − θ0 ) cos θ0
(5.18)
.
Man erhält damit für die Halbwertsbreite des Gruppengewinns:
Δθb =
2 · 0.443 λ0
N de cos θ0
λ0
N de cos θ0
= 0.886
Δϕb = 0.886
λ0
M de cos ϕ0
.
,
(5.19)
Die entsprechenden Gleichungen in Grad lauten:
Δθb =
51◦ λ0
N de cos θ0
,
Δϕb
51◦ λ0
M de cos ϕ0
.
=
(5.20)
Der Faktor cos θ0 im Nenner von Gleichung (5.20) bedeutet, daß näherungsweise nur die
Projektion der Aperturfläche in Hauptstrahlrichtung für die Halbwertsbreite bestimmend
ist.
Es sei erwähnt, daß sich wie beim Flächenstrahler eine bessere Unterdrückung der Nebenkeulen erzielen läßt, wenn man eine Taperung der Amplitude der Belegungsfunktion
einführt. Dies führt dann ebenso zu einer Erhöhung der Halbwertsbreite.
5.4
Diskretisierungsfehler bei einer phasengesteuerten
Antenne
Die Phase der einzelnen Strahlerelemente kann im allgemeinen nur diskrete Werte annehmen. Für einen n–Bit Phasenschieber ergibt sich die Schrittweite δΨ zu:
δΨ
=
2π
2n
(5.21)
.
Daraus folgt ein maximaler Quantisierungsfehler βm von
βm
=
δΨ
2
=
π
2n
.
(5.22)
5.4. DISKRETISIERUNGSFEHLER BEI EINER PHASENGESTEUERTEN ANTENNE91
wirkliche Phasenverlauf
(y) , (y)
(y)
(y)
S
idealer Phasenverlauf
Ort eines Strahlers
Ort y
de
(y)
Fehlerphase
m
y
Abbildung 5.5: Verlauf der idealen Phase Γ(y), der tatsächlichen Phase β(y) und der Fehlerphase (y) = Γ(y) − β(y) als Funktion des Ortes y bei diskreter Phaseneinstellung
Bild 5.5 zeigt den idealen Phasenverlauf Γ(y) sowie den tatsächlichen Phasenverlauf β(y),
welcher aufgrund der Quantisierung einen Treppenverlauf aufweist. Tatsächlich angenommen werden jedoch nur einzelne diskrete Werte β(ym ) an den Stellen ym , m =
0, 1, 2, . . . , N , die in Bild 5.5 als Punkte eingezeichnet sind. Wir wollen jedoch die folgenden Überlegungen, die nur Abschätzungen darstellen, mit β(y) durchführen. Bild 5.5
zeigt außerdem den Verlauf der Fehlerphase
=
(y)
β(y) − Γ(y)
(5.23)
als Funktion des Ortes y. Die Fehlerphase (y) ist in dieser Darstellung eine Dreiecksfunktion mit dem Scheitelwert βm . Der ideale Phasenverlauf Γ(y) wird durch den Ausdruck
Γ(y)
=
k0 sin θ0 y
(5.24)
beschrieben. Damit gilt für die Periode S der Fehlerphase (y) aus
2 βm
beziehungsweise
S
=
=
k0 sin θ0 S
2 βm
k0 sin θ0
.
(5.25)
Wegen des Dreiecksverlaufs der Fehlerphase (y) weist diese eine rechteckförmige Wahrscheinlichkeitsdichte p(), wie in Bild 5.6 gezeigt, auf.
92
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
Abbildung 5.6: Wahrscheinlichkeitsdichte der Fehlerphase
Für die Richtcharakteristik der Gruppe Cg in Hauptstrahlrichtung, d. h. θ = θ0 , gilt nach
Gleichung (5.5) mit ΔΨ = 0
Cg (θ0 )
N
−1
1
1
√
N
=
e jmΔΨ
1
√
N
=
m=0
N
(5.26)
.
Der Erwartungswert der Richtcharakteristik der Gruppe in Hauptstrahlrichtung Ce bei
einer rechteckförmig angenommenen Wahrscheinlichkeitsdichte wie in Bild 5.6 ergibt:
Ce (θ0 ) = E Cg (θ0 )
=
Ce (θ0 ) =
Ce (θ0 ) ≈
√
N
N −1
1
1
2 βm
1 −
1 2
β
6 m
+β
m
e jm
1
√
N
N
e j d =
−βm
N
−1
1
1
√
N
=
m=0
1
√
N E e j
=
N
N
√
N
Ce (θ0 ) =
1
√
E
N
+∞
E e j
,
m=0
p() e j d
,
sin βm
βm
,
−∞
N
√
N
(die ersten zwei Glieder der Reihe für si(βm )).
(5.27)
Damit erhält man für das Verhältnis des Gewinns mit der Fehlerphase Ge (θ0 ) zu dem
Gewinn ohne Fehlerphase G(θ0 ) für βm 1:
Ge (θ0 )
G(θ0 )
=
Ce (θ0 )
Cg (θ0 )
2
=
1 −
1
3
π2
22n
.
(5.28)
Tabelle 3 zeigt die Gewinnreduktion in dB als Funktion der Bit–Zahl n der Phasenschieber.
5.4. DISKRETISIERUNGSFEHLER BEI EINER PHASENGESTEUERTEN ANTENNE93
n
2
3
4
Ge /G in dB
1.0
0.23
0.06
Tab. 3: Gewinnverlust durch Diskretisierungsfehler
Des weiteren verursacht die Phasenquantisierung zusätzliche Nebenkeulen, sogenannte
Quantisierungskeulen. Wir wollen für eine vereinfachte rechnerische Behandlung annehmen, daß die Fehlerphase wie in Bild 5.6 einen sinusförmigen Verlauf über dem Ort y
aufweist mit der Periode S. Man kann sich den sinusförmigen Verlauf als erstes Glied einer Fourierreihenentwicklung des Sägezahnverlaufs von Bild 5.5 vorstellen. Wir setzen die
Amplitude der sinusförmigen Phasenstörung gleich βm (genauer: bei idealem Sägezahnverlauf gleich β̃m = 2βm /π). Die Belegungsfunktion weist dann den folgenden Verlauf
auf:
w(y) = e −jβ(y) = e
! 2πy "
− j k0 sin (θ0 ) y + β̃m sin S
(5.29)
.
Mit der Annahme, daß β̃m 1 ist, gelten die folgenden Näherungen:
!
w(y) ≈ e − jk0 sin (θ0 )y
!
w(y) ≈ e − jk0 sin (θ0 )y
w(y) ≈ e
" %
− jk0 sin (θ0 )y
β̃m
e
2
1 − j β̃m sin
! 2πy "
,
S
! 2πy "
! 2πy " '
β̃m
β̃m
j
S
e
e −j S
+
1 −
2
2
−
"
2
− jk0 sin (θ0 ) −
λ0
S
3
y
+
β̃m
e
2
,
2
− jk0 sin (θ0 ) +
(5.30)
Die räumliche Modulation der Phasenbelegungsfunktion führt also zu zwei Nebenkeulen
bei den Winkeln θ1,2 mit
sin
θ1,2
=
sin
θ0
±
λ0
S
.
(5.31)
Die relative Amplitude der Nebenkeulen beträgt β̃m /2 = π/2n+1 . Tabelle 4 gibt die
Unterdrückung dieser Quantisierungskeulen in Abhängigkeit von der Bit–Zahl wieder.
λ0
S
3
y
.
94
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
n
2
3
4
5
2
/4 in dB
β̃m
−8
−14
−20
−26
Tab. 4: Unterdrückung der Quantisierungskeulen
Man kann Tabelle 4 entnehmen, daß eine ausreichende Unterdrückung der Quantisierungskeulen wahrscheinlich stärker die Auswahl der erforderlichen Bit–Zahl bestimmen
wird als der Verlust an Gewinn.
5.5
Array aus Patch-Antennen
Ein Antennenarray bietet die Möglichkeit, den Öffnungswinkel zu verkleinern und den
Antennengewinn zu steigern. Hier wurden auf Basis eines Einzelstrahlers einige mögliche
Gruppenantennen simuliert.
Abbildung 5.7: 3D-Modell der Patch-Antenne
Abbildung 5.8: Richtdiagramm der Patch-Antenne
5.5. ARRAY AUS PATCH-ANTENNEN
95
Abbildung 5.9: 3D-Plot des Richtdiagramms der Patch-Antenne
Man kann erkennen das der Antennengewinn von 8.6 dBi in Hauptstrahlrichtung für ein
Einzelelement sehr gut ist. Jedoch ist der Öffnungswinkel mit 61° ziemlich groß.
Die Anzahl der Elemente des Arrays wurden mit der Faustformel 3 dB Gewinn pro Verdoppelung der Elemente auf 16 festgelegt. Das hat theoretisch eine Steigerung des Antennengewinns um 12 dB zur Folge.
Im folgenden wurde ein lineares Patch-Array mit unterschiedlichen Abständen der Elemente simuliert.
5.5.1
Lineares Patch-Array mit λ/4 Abständen
HFSS kann ohne großen Aufwand aus einem simulierten Modell einer Antenne ein lineares
Array berechnen. Der Abstand der Strahlerelemente beträgt bei dieser Simulation:
λ/4 =
3 · 108 m/s
= 30.6 mm
4 · 2.45 GHz
.
(5.32)
Die Anpassung bleibt hierbei in der Simualtion unverändert, weshalb nur noch die Plots
für das Richtdiagramm angegeben werden.
Wie deutlich zu erkennen ist, erhält man wie erwartet einen Antennengewinn von 20.6 dBi.
Auch der Öffnungswinkel ist deutlich schmaler geworden, er beträgt jetzt 10◦. Sehr schön
zu erkennen ist das Auftauchen der Nebenzipfel. Der erste Nebenzipfel taucht bei 20°
neben der Hauptkeule auf und die Nebenzipfeldämpfung beträgt ca. 14.5 dB. Damit kann
man die Nebenzipfel als nicht störend klassifizieren.
96
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
Abbildung 5.10: Richtdiagramm des linearen Patch-Array mit λ/4 Abständen
Abbildung 5.11: 3D-Plot des Richtdiagramms des linearen Patch-Array mit λ/4 Abständen
5.5.2
Lineares Patch-Array mit λ/2 Abständen
Der Abstand der Strahlerelemente beträgt bei dieser Simulation:
λ/2 =
3 · 108 m/s
= 61.2 mm
2 · 2.45 GHz
.
(5.33)
5.5. ARRAY AUS PATCH-ANTENNEN
97
Abbildung 5.12: Richtdiagramm des linearen Patch-Array mit λ/2 Abständen
Abbildung 5.13: 3D-Plot des Richtdiagramms des linearen Patch-Array mit λ/2 Abständen
Es ist gut zu erkennen, dass die Anzahl der Nebenzipfel gegenüber dem linearen PatchArray mit λ/4 Abständen deutlich zugenommen hat, auch die Nebenzipfelunterdrückung
ist geringer geworden, sie beträgt nun ca. 13.5 dB. Desweiteren ist der erste Nebenzipfel
nun nur noch 10° von der Hauptkeule entfernt. Der Öffnungswinkel ist, wie erwartet
schmaler geworden und beträgt nun 6°. Der Antennengewinn ist unverändert, da die
Anzahl der Elemente unverändert geblieben ist.
98
5.5.3
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
Lineares Patch-Array mit 3λ/4 Abständen
Der Abstand der Strahlerelemente beträgt bei dieser Simulation:
3λ/4 =
3 · 3 · 108 m/s
= 91.8 mm
4 · 2.45 GHz
.
(5.34)
Abbildung 5.14: Richtdiagramm des linearen Patch-Array mit 3λ/4 Abständen
Abbildung 5.15: 3D-Plot des Richtdiagramms des linearen Patch-Array mit 3λ/4 Abständen
Die Nebenzipfeldämpfung ist erneut niedriger geworden und beträgt nun ca. 13.2 dB. Wie
zuvor ist der erste Nebenzipfel nun näher an der Hauptkeule, er ist nur noch 7◦ entfernt,
was zu Problemen in der Unterscheidung zwischen Hauptkeule und Nebenzipfel führen
kann. Der Öffnungswinkel beträgt hier nur noch 4°.
5.5. ARRAY AUS PATCH-ANTENNEN
5.5.4
99
Getapertes Patch-Array
Je größer der Abstand zwischen den Elementen, desto schmaler der Öffnungswinkel. Jedoch bilden sich dadurch deutlich mehr Nebenzipfel aus, welche zudem näher an der
Hauptkeule liegen.
Ziel ist es nun trotz einer guten Nebenzipfelunterdrückung eine sehr schmale Hauptkeule
zu erhalten. Hierfür werden die Elemente nun nicht mehr linear verteilt, sondern getapert.
Und zwar im Bereich von 3λ/4 bis λ/4.
Abbildung 5.16: getapertes Patch-Array mit unterschiedlichen Abständen der Elemente
Wie zu sehen ist, wurden von der Mitte der Antenne zum Rand hin größer werdende
Abstände der Elemente verwendet. Die Abstände sind λ/4, λ/2 und 3λ/4.
Abbildung 5.17: Richtdiagramm des getaperten Patch-Array
Die schmale Hauptkeule und die gut unterdrückten Nebenzipfel fallen einem schnell ins
Auge. Der Öffnungswinkel beträgt weiterhin nur 4◦, die Nebenzipfeldämpfung erreicht
gute 17.5 dB und der Antennengewinn liegt bei 20.2 dBi.
100
KAPITEL 5. PHASENGESTEUERTE ANTENNEN
Abbildung 5.18: 3D-Plot des Richtdiagramms des getaperten Patch-Array
5.6
Phasengesteuerte Empfangsantennen
Im Prinzip arbeitet eine phasengesteuerte Gruppenantenne im Empfangsfall ebenso wie
im Sendefall, vorausgesetzt die verwendeten Phasenschieber sind reziprok. Werden Verstärker verwendet, dann müssen diese natürlich den richtigen Verstärkungssinn aufweisen.
PIN–Dioden–Phasenschieber sind praktisch immer reziprok, Ferrit–Phasenschieber jedoch
oftmals nicht.
Setzt man im Empfangsfall an den Ausgang jedes einzelnen Strahlerelements eine Anordnung, die es erlaubt, das Empfangssignal nach Betrag und Phase zu messen (also im
Prinzip Netzwerkanalysatoren) und zu digitalisieren, dann kann man die Phasenschiebung und anschließende Summation auch rein rechnerisch vornehmen. Nach dem Stand
der Technik ist eine solche Vorgehensweise bisher für Impulsradars nicht schnell genug
und kommt daher eher für frequenzmodulierte Dauerstrich–Radars in Betracht.
Kapitel 6
Antennenmesstechnik
Die Messungen von Antennen helfen, relative Aussagen über die Antennenparameter bezüglich des Öffnungswinkels, des Gewinns, des Vorwärts- und Rückwärtsverhältnis und
des Richtfaktors machen zu können. Außerdem ermöglichen die Messungen, die Antennenrichtwerte aus der Simulation zu vergleichen und zu überprüfen.
6.1
Die Messeinrichtung
Die Messung zur Ermittlung des Öffnungswinkels und des Gewinns der Antenne werden
mit Hilfe von zwei Antennen durchgeführt. Eine erste Antenne wird auf die Sendeseite gestellt, eine zweite auf die Empfangsseite festgelegt. Die Entfernung zwischen der
Sendeantenne und der Empfangsantenne kann zwischen 3 m und 10 m variieren. Da die
Antennen reziprok sind, können Sende- oder Empfangsantenne frei gewählt werden. Eine
dritte Antenne wird als Referenzantenne benutzt um eine möglichst genauere Aussage
über den Gewinn der gemessenen Antenne zu machen
Um die Reflexion der Wellen durch die Gebäudewände und die Zimmerdecke gering zu
halten, werden alle Messungen im freien, z.B. auf dem Dach des Fachhochschulgebäudes
siehe Bild 6.1, oder in Absorptionsräumen durchgeführt.
Es gibt zwei Möglichkeiten die Antennenparameter zu vermessen.
• 1. Transmissionsmessung: Gemessen wird der Transmissionsparameter S12 in
dB mit Hilfe eines Vektor-Netzwerksanalysators (z.B. Rohde und Schwarz, 300 kHz
bis 8.0 GHz, ZVM), am Display wird die Pegeldifferenz zwischen den beiden Tore
abgelesen.
• 2. Pegelmessung: Es wird auf einer Seite ein Signal mit Hilfe eines Signalgenerator
(z.B. Rohde und Schwarz, 5 kHz bis 3.0 GHz, SME 03) gesendet. Auf der anderen
Seite wird das empfangene Signal mit Hilfe eines Spektralanalysators (z.B. Rohde
und Schwarz, 9 kHz bis 3.0 GHz, FSP) abgelesen. Hier wird wieder der Transmissionsparameter S12 ermittelt, wobei der Pegel in dBm vorliegt.
101
102
KAPITEL 6. ANTENNENMESSTECHNIK
Kompotek-Antenne
Log. Periodische
Antenne
Absorbiermatten
Messgerät
Abbildung 6.1: Messeinrichtung der Antennen auf dem Dach des Gebäudes der Fachhochschule Aachen
Gemessen wird die Funkfelddämpfung. Unter Funkfelddämpfung versteht man die Dämpfung zwischen der Sende- und der Empfangsantenne.
Bei der Übertragung der Daten wird die Strahlungsleistung als effektive Strahlungsleistung ausgedrückt. Die effektive Strahlungsleistung (engl. effective radiated power, ERP),
die beim Senden von Daten nötig ist, ist die Sendeleistung, die von einer Sendeantenne
in einer bestimmten Richtung abgestrahlt wird, verglichen mit einer Halbwellendipolantenne. Der Gewinn einer Halbwellendipolantenne bezieht sich auf dem Gewinn einer
isotropen Antenne. Von der isotropen Antenne wird die effektive isotrope Strahlungsleistung ermittelt (engl. Equivalent isotropic radiated power, EIRP). Die EIRP gibt an, mit
welcher Sendeleistung eine isotrope Antenne versorgt werden müsste, um im Fernfeld die
selbe Feldstärke zu erzeugen wie eine Richtantenne in ihrer Hauptstrahlrichtung.
ga
PS · 10 10 dBi
= EIRP · 0.610
ERP =
L
(6.1)
Rechnung in dBm:
ERP = 10 · log
PS
[dBm] + ga[dB] − 10 · logL[dB]
1 mW
(6.2)
mit PS als Sendeleistung in Watt, ga als Antennengewinn in dBi und L als Systemverluste
(Kabeldämpfung, Stecker, Durchgänge, usw..)
Da sich ERP auf einen Halbwellendipol bezieht, ist EIRP um den Faktor 1.64 (2.15 dB)
größer als ERP:
6.1. DIE MESSEINRICHTUNG
103
Abbildung 6.2: Netzwerksanalysator (Rohde und Schwarz, 300 kHz bis 8.0 GHz, ZVB 8) mit
vier Tore
EIRP =
Pt · Gt
= Pt · Gmax = ERP · 1.64
L
(6.3)
mit Pt als Sendeleistung in Watt, Gt als Antennengewinn bezogen auf eine isotrope Antenne und Gmax als maximal möglicher Gewinn der Empfangsantenne bezogen auf einen
isotrope Antenne.
Die Vorschriften laut [ETSI] für die Antennenmessung können wie folgt zusammengefasst
werden
• Der Abstand zwischen der Sende- und der Empfangsantenne soll 3 m oder 10 m
betragen. Das Sendegerät soll in RF eingestellt werden.
• Der Abstand zwischen dem Messgerät und der Antenne soll mindesten 3 m betragen.
• Die Messgeräte müssen auf die gemessene Frequenz eingestellt, die Kabeldämpfung
soll vor der Messung abgemessen und eingerechnet werden.
• Die Messungen sollen in einer Messkammer oder in einer reflexionsarmen Ebene
erfolgen.
• Die gemessene Antenne wird bei der ersten Messung horizontal ausgerichtet und
nach dem Azimutwinkel ϕ um ±180◦ mit einem beliebigen Schritt gedreht, in Bezug zur Sendehauptrichtung. Bei der zweiten Messung wird die gemessen Antenne
vertikal ausgerichtet und die Aufnahme der Werte wie bei der ersten Messung wiederholt.
104
KAPITEL 6. ANTENNENMESSTECHNIK
• Bei der Messung muss die Höhe so variiert werden, dass die Messung am Empfänger
das stärkste Signal aufweist.
• Die Sendeantenne soll in der Vertikalen ausgerichtet sein. Um den Öffnungswinkel
zu ermitteln wird die Messantenne um den Azimutwinkel (horizontal) gedreht, bis
die Halbwertbreite (3 dB Abfall im vergleich zum maximalen Pegel) erreicht wird.
Für alle durchgeführten Messungen gilt die Angabe der Werte mit einer Messungenauigkeit von ±2 dB.
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LITERATURVERZEICHNIS