Theoretische Elektrodynamik

Vorlesungszusammenfassung
bei Herrn Prof.Dr. Lein
Theoretische Elektrodynamik
erstellt von:
Daniel Edler
II
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Vorbereitung
1.1 Dirac’sche Deltafunktion . . . . . . . . . . .
1.1.1 Eindimensional . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Mehrdimensional . . . . . . . . . . .
1.2 Felder und Differentialoperatoren . . . . . .
1.2.1 Ableitungen von Feldern . . . . . . .
1.2.2 Nabla – Kalkül . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Laplace – Operator . . . . . . . . . .
1.3 Flächenintegral/Fluss . . . . . . . . . . . . .
1.4 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Integraldarstellung der Divergenz und
1.4.2 Gauß’scher Satz . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Stoke’scher Satz . . . . . . . . . . . .
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Gauß’scher Satz
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2 Elektrostatik
2.1 Die elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Die elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 1. Maxwellsche Gleichung/Gauß’scher Satz . . . .
2.3 Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 2. Maxwellsche Gleichung . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Potential als Linienintegral . . . . . . . . . . . . .
2.4 Homogen geladene Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Unendlich homogen geladene Ebene . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Potential für z > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 elektrische Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Verhalten des Feldes and der Oberfläche . . . . .
2.7 Eigenschaften des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Einführendes Beispiel: Bildladung . . . . . . . . .
2.8.2 Problemstellung und Eindeutigkeit . . . . . . . .
2.8.3 Arten von Randbedingungen . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Green’scher Satz & Green’sche Funktion . . . . .
2.8.5 Green’sche Funktion in R3 . . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Green’sche Funktion und Bildladung . . . . . . .
2.8.7 Entwicklung nach orthogonalen Funktionen . . .
2.8.8 Trennung der Variablen/Methode der Separation
2.9 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Das elektrische Feld des Dipols . . . . . . . . . .
2.10 Die elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Wechselwirkung zwischen zwei Ladungsverteilungen . . .
2.11.1 Klassischer Elektronenradius . . . . . . . . . . . .
2.12 Kugelflächenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . .
2.12.2 Potential einer Punktladung in Kugelkoordinaten
2.12.3 sphärische Multipolentwicklung . . . . . . . . . .
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39
Inhaltsverzeichnis
III
3 Magnetostatik
3.1 Grundlagen/-begriffe . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Ladungserhaltung . . . . . . . . . . .
3.2 Das Amperèsche Gesetz . . . . . . . . . . .
3.3 Biot-Savartsches Gesetz . . . . . . . . . . .
3.3.1 Verallgemeinerung auf kontinuierliche
3.4 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Eichungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ampersches Druchflutungsgesetz . . . . . .
3.6 Magnetisches Moment . . . . . . . . . . . .
3.7 Pseudovektoren . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Fouriertransformation
4.1 Fourierdarstellung der Delta-Funktion . .
4.2 Dreidimensionale Transformation . . . .
4.3 Ableitung mittels Fouriertransformation
4.4 Anschauliche Bedeutung . . . . . . . . .
5 Statische Felder in Materie
5.1 Elektrostatik in Materie . . .
5.1.1 Spezialfälle . . . . . .
5.2 Elektrostatische Energie . . .
5.3 Magnetostatik in Materie . . .
5.4 Magnetfelder an Grenzflächen
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Stromverteilungen
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6 Elektrodynamik
6.1 Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Maxwellscher Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Wichtige Eichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Differentialgleichungen für die Potentiale . . . . . . . . . .
6.4.1 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Lorenz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Feldenergie und Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Feldimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Anmerkungen zum Rechnen mit komplexen Feldern
6.7.2 Energiedichte für ebene Wellen im Vakuum . . . . .
6.7.3 Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Polarisation ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Lösung mit Quellen, Retardierung . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Feld einer oszillierenden Quelle (Antenne) . . . . . . . . .
6.10.1 Spezialfall: elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . .
6.10.2 Elektromagnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Punktladung auf vorgegebener Bahn . . . . . . . . . . . .
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IV
7 Formelsammlung
7.1 Additionstheoreme . . . . . .
7.1.1 Interessante Stellen des
7.2 Potenzreihen . . . . . . . . . .
7.3 e Funktion . . . . . . . . . . .
7.4 Ableitungen . . . . . . . . . .
7.4.1 Nabla . . . . . . . . .
7.5 Kreuzprodukt . . . . . . . . .
8 Tipps und Tricks
Inhaltsverzeichnis
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Sinus
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Bedingungen, Nicht kommerziell)
1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
1
Thema ist (ausschließlich) die klassische Elektrodynamik, also die Beschreibung des
Elektromagnetismus mit Hilfe von Feldern und Wellen (im Gegensatz zum klassischen
steht die Quantenelektrodynamik, welche den Welle – Teilchen – Dualismus berücksichtigt)
Themenüberblick:
• Mathemaitsche Grundlagen (z.B. Vektoranalysis, Fourieretransformation, . . . )
• Elektrostatik1
• Magnetostatik
• Maxwellgleichung, elektromagnetische Wellen
• Potentiale
1 Mathematische Vorbereitung
1.1 Dirac’sche Deltafunktion
1.1.1 Eindimensionale Deltafunktion δ(x)
Definition 1.1
Z
∞
δ(x) dx = 1
(1.1)
δ(x) = 0 ∀x 6= 0
(1.2)
−∞
Mathematisch betrachtet ist δ(x) keine Funktion, sondern eine Distribution (ist nur
sinnvoll im Integral)
Eigenschaften
•
R∞
−∞
δ(x − x0 )f (x) dx = f (x0 )
• Bestimmung der Ableitung (δ 0 (x) =?)
Z
Z
0
δ (x)f (x) dx = δ(x)f (x)− δ(x)f 0 (x) dx
1
ist die Physik der ruhenden Ladungen. Bsp: ein stromdurchflossener Draht ist zwar ein zeitlich
unabhängiges(, statisches) System jedoch nicht seine Ladung
2
1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
Θ(x)
1
x
Abbildung 1: Verlauf der Stufenfunktion
da gilt:
R
δ(x)f (x) dx = f (0) = const ⇒ δ(x)f (x) = 0
Z
Z
0
δ (x)f (x) dx = 0
−
δ(x)f 0 (x) dx = −f 0 (0)
d
δ 0 (x) = −δ(x) dx
P δ(x−x )
• δ(f (x)) = j |f 0 (xj j)| mit xj = Nullstellen von f (x) falls f 0 (x) 6= 0. Beweis durch
Substitution; Erläuterung anhand eines
Beispiel 1.2
mit f (x) = |x| − 1
Z
∞
δ(f (x))g(x)) dx
Z ∞
+
δ(f (x))g(x) dx
=
0
−∞
Z 0
Z ∞
δ(−x − 1)g(x) dx +
=
δ(x − 1)g(−x) dx
−∞
0
|
{z
}
R
−∞
Z 0
=
∞
0
δ(x−1)g(x) dx
=g(−1) + g(1)
Das heißt: δ(|x| − 1) = δ(x + 1) + δ(x − 1) =
δ(x+1)
|−1|
+
δ(x−1)
1
• Zusammenhang mit der Heaviside’schen Stufenfunktion Θ(x):
(
0 ,a < 0
Θ(x) =
δ(x0 ) dx0 =
1 ,a > 0
−∞
Z
a
(
1 , k = k0
δ(x − x0 ) ist die kontinuierliche Variante des Kroneckerdeltas δk k0 =
0 , k 6= k 0
für k ∈ Z (Nebenbemerkung: An x = 0 ist es nicht definiert. Man kann es sich
d
als 12 definieren) d.h. δ(x) = dx
Θ(x)
1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
3
1.1.2 Mehrdimensionale Deltafunktion
Definition 1.3
 
x
Sei der Ortsvektor r = y  dann gilt:
z
δ(r) := δ(x)δ(y)δ(z)
Also gilt auch:
Z
3
Z
δ(r) d r =
Z
δ(x) dx
Z
δ(y) dy
δ(z) dz = 1
δ(r) = 0 ∀r 6= 0
Physikalische Bedeutung δ(r) ≡ Teilchen einer Punktladung am Ort r0 = 0 bzw.
δ(r − r0 ) ≡ Teilchendichte einer Punktladung bei r0
1.2 Felder und Differentialoperatoren
Definition 1.4 (Feld)
Größe, die an jedem Ort im Raum definiert ist (und gewisse Transformationseigenschaften unter Koordinatentransformationen besitzt)
Definition 1.5 (Skalarfeld)
Funktion s(r), d.h. Abbildung R3 → R (oder R3 → C)
Definition 1.6 (Vektorfeld)
Funktion v(r), d.h. Abbildung R3 → R3 (oder R3 → C3 ).
Definition 1.7 (Nabla – Operator ∇)
 
∂1

∇ := ∂2 
∂3
1.2.1 Ableitungen von Feldern
Gradient Bei Skalarfeldern s(r) gilt: grad s = ∇s. Anschaulich ist ∇s ein Vektor
in Richtung des steilsten Anstieges von s mit Steigung = |∇s| entlang dieser
Richtung:
∂f
∂f
eˆ1 + . . . +
eˆn
∇f = grad(f ) =
∂x1
∂xn
4
1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
Divergenz Bei Vektorfeldern v(r) gilt divv = ∇v. Anschaulich gibt die Divergenz die
Quellen von v an.
Beispiel 1.8
 
r1
1
r
r2 
=p 2
f (r) =
|r|
r1 + r22 + r32 r
3
Dann ist die Divergenz: divf = ∇f
r2
r3
r1
+
∂
+
∂
= ∂1 p 2
2p
3p
r1 + r22 + r32
r12 + r22 + r32
r12 + r22 + r32
3
r2 + r2 + r2
3−1
2
=
− p 12 22 32 =
=
|r| ( r1 + r2 + r3 )3
|r|
r
Rotation Bei Vektorfeldern gilt: rot v = ∇ × v. Anschaulich gibt die Rotation die
Wirbel von v an
Beim Rechnen mit Ableitungsoperatoren wie ∇ ist zu beachten, auf welche Funktionen
der Operator wirkt
1.2.2 Nabla – Kalkül
Hierbei zeigt der Pfeil auf die Variable (o.ä.) auf das der Operator wirkt.
↓
↓
∇ × (v × w) = ∇ × (v × w) + ∇ × (v × w)
↓
↓
= (∇ · w)v − w(∇ · v) + v(∇ · w) − (∇ · v)w
= (w · ∇)v − w(∇ · v) + v(∇ · w) − (v · ∇)w
• ∇ wirkt nur auf Funktioonen, die rechts von ∇ stehen
• Durch Pfeile wird ausgedrückt, dass ∇ nur auf die angegzeigten Funktionen wirkt
• Ohne Pfeile wirkt ∇ auf alle weiter rechts stehenden Funktionen innerhalb derselben Kalmmerhierachie
1.2.3 Laplace – Operator
Der Laplace – Operator
∆ := ∇2 = ∂12 + ∂22 + ∂32
ist auf Skalar- oder Vektorfelder anwendbar
1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
5
1.3 Flächenintegral/Fluss
Definition 1.9 (Fluss)
Der Fluss (bzw. Flächenintegral) des Vektorfeldes v durch (über) eine Fläche ist:
Z
F =
v · dA
A
mit Flächenelementvektor dA ⊥ zur Fläche, bei geschlossener Fläche (nach Konvention) nach außen gerichtet.
Beispiel 1.10
 
1

Integral über eine Fläche, die in der xy – Ebene liegt mit v(r) = 0 
x
dA = ez dA = ez d2 x = ez dx dy
Für den Fluss folgt dann:
dA · ez · v =
dA · v =
F =
Z
Z
Z
Z
dx
0
A
A
1
0
1
   
1
0
1
dy  0  · 0 =
2
x
1
Es bleibt zu beachten, dass das Flächenintegral nicht mit dem Integral der Fläche (gibt
Fläche aus) zu verwechseln ist. Deswegen ist das Wort Fluss sinnvoller, da es häufig
das Volumen pro Zeit und Fläche angibt.
1.4 Integralsätze
1.4.1 Integraldarstellung der Divergenz und Gauß’scher Satz
 
 
x0
vx



Betrachte das Vektorfeld v = vy in der Umbgebung vom Punkt P = p = y0 .
vz
z0
∆V sei ein kleiner Quader (Gauß Box) mit der Ecke bei P und der Kantenlänge von
z.B. δx . Das geschlossene Integral über die Fläche dieses Quaders lautet dann:
I
lim
v · dA
∆V →0
A(∆V )
(Nebenbemerkung: ist ein geschlossenes Integral meist über eine Linie oder Fläche)
Dieser Grenzwert ist deutlich abzulesen gleich null, deswegen, wird der Term ein wenig
umgeschrieben
I
1
1
lim
v · dA = lim
(Ixy + Ixz + Iyz )
∆V →0 ∆V
∆V →0 ∆V
A(∆V )
H
6
1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
Diese Elemente Ii lassen sich als Integrale schreiben. Dabei werden die Vektoren des
Vektorfeldes an auf der Flächenoberfläche betrachtet. Dabei ist des Konvention, dass
der Fluss Nach “außen” zeigt. Dies führt dazu, dass eine Komponente (z.B. z) des
Vektorfeldes an einer Fläche des Testquaders mit derselben Art Komponente (hier in
z) an der gegenüberliegenden Fläche subtrahiert wird
1
= lim
∆V →0 ∆V
Z
dx dy vz (x, y, z0 + δz ) − vz (x, y, z0 )
Z
dx dz vy (x, y0 + δz , z) − vz (x, y0 , z)
+
Z
+
dy dz vx (x0 + δz , y, z) − vz (x0 , y, z)
z
Im folgenden wird die Taylorentwicklung (vz (x, y, z0 +δz ) = vz (x, y, z0 )+ ∂v
(x, y, z0 )δz +
∂z
Rb
. . .) und der Mittelwertsatz der Integralrechnung ( a f (x) dx = f (x1 )(b − a) mit a ≤
x1 ≤ b) angewendet:
1
∂vz
lim
δx δy
(x1 , y1 , z0 )δz + . . .
∆V →0 δx δy δz
∂z
∂vz
∂vy
∂vx
=
(x0 , y0 , z0 ) +
(x0 , y0 ,0 ) +
(x0 , y0 , z0 )
∂z
∂y
∂x
= ∇v|p
Daraus folgen Überlegungen, dass ∇v 6= 0, wenn die Feldlinien aus ∆V austreten. Das
bedeutet, dass ∇v die Quelle von v angibt.
1.4.2 Gauß’scher Satz
Wir betrachten nunt die Integration über eine beliebige geschlossene Oberfläche A(V ):
N I
X
I
v · dA
A(V )
=
Aufteilen in N Teilvolumina ∆Vj
v · dA
j=1
(Nebenbemerkung: An den Kontaktflächen zweier Teilvolumina liegt auf beiden Seiten dasselbe Vektorfeld an, weshalb es sich gegenseitig aufhebt. Es überlegen also nur
noch die Oberflächenintegrale an der Oberfläche meines ungeteilten Objekts)
N
X
v dA N →∞
=
∆Vj
−−−→
∆V
j
j=1
Z
∇ · v dV
V
1 MATHEMATISCHE VORBEREITUNG
Definition 1.11 (Gauß’sche Satz)
I
7
Z
v · dA =
A(V )
∇ · v dV
(1.3)
V
1.4.3 Integraldarstellung der Rotation/Stoke’scher Satz
Linienintegral entlang einer geschlossenen Kurve C(∆A) um eine kleine Fläche ∆A:
I
1
lim
v · dr = n · (∇ × v)
∆A→0 ∆A C(∆A)
Das heißt ∇ × v gibt die Wirbel von v an
Definition 1.12 (Stoke’scher Satz)
Für eine beliebige einfach zusammenhängende Fläche A gilt:
Z
I
v · dr = (∇ × v) · dA
C(A)
A
(1.4)
8
2 ELEKTROSTATIK
2 Elektrostatik
Sei im folgenden k :=
1
4πε0
C
mit ε0 = 8,8542 · 10−12 Vm
2.1 Die elektrische Ladung
• Es ist eine empirische Tatsache, dass die Ladungsteilchen gequantelte Ladungen
q haben von q = ±ne , n ∈ N0 , e = 1,602 . . . · 10−19 C (manchmal steht e auch
für Elektronenladung - also mit einem Vorzeichenwechsel)
• Gesamtladung im Volumen V : Q =
dichte
R
V
ρ(r) dV , wobei ρ(r) =
Ladung
Volumen
= Ladungs-
• Coulombgesetz (Kraft von 2 auf 1):
r1 − r2
|r1 − r2 |3
1
|F12 | ∼
Abstand2
F12 = kq1 q2
• Superpositionsprinzip für N Ladungen: Gesamtkraft auf q1 ist:
F1 = kq1
N
X
qj
j=2
r1 − r2
|r1 − r2 |3
2.2 Die elektrische Feldstärke
Es wird die Kraft auf eine kleine Testladung q betrachtet
Definition 2.1 (elektrische Feldstärke)
Es wird der Grenzwert betrachtet, da es sonst das Feld beeinflussen/stören könnte:
X
F
r1 − r2
⇒ E(r) = k
qj
q→0 q
|r1 − r2 |3
j
E = lim
bzw. für kontinuierliche Ladungsverteilung ρ(r):
Z
E(r) = k
dV 0 ρ(r0 )
r1 − r2
|r1 − r2 |3
2 ELEKTROSTATIK
9
2.2.1 1. Maxwellsche Gleichung/Gauß’scher Satz
Betrachte nun die Divergenz der elektrischen Feldstärke E: Aus irgendwelchen Gründen
ist es möglich Nabla zu verschieben und in das Integral zu ziehen.
Z
1
r − r0 3 0
∇·E=
ρ(r0 )∇
dr
4πε0
|r − r0 |3
da ∇ rr3 = 4πρ(r)
1
=
4πε0
Z
ρ(r0 )4πδ(r − r0 ) d3 r0
Daraus folgt die erste Maxwellsche Gleichung der Elektrostatik (, die allgemeingültig und auch für die Relativitätstheorie anwendbar ist) (in differentieller Form). Die
Quellen des E-Feldes ist die Ladungsvereteilung
⇒ ∇·E=
δ(r)
ε0
(2.1)
In Integralform (auch “physikalischer” Gauß’scher Satz)
Z
Z
δ(r)
dV ∇ · E =
dV
ε0
V
I
E · dA =
A(V )
1
Q
ε0
(2.2)
In Worten:
• die Quelle des E Feldes ist die Ladungsdichte durch ε0
• der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung durch ε0
2.3 Elektrostatisches Potential
Weil gilt ∇ 1r = − rr3 kann die elektrische Feldstärke umgeschrieben werden zu
Z
Z
1
0
0 r1 − r2
0
E(r) = k
dV ρ(r )
= k ρ(r ) −∇
d3 r 0
0
3
|r1 − r2 |
|r − r |
Dies führt zur nächsten
10
2 ELEKTROSTATIK
Definition 2.2 (elektrostatisches Potential φ)
E kann als Gradient eines Potentials geschrieben werden, wobei dann gilt:
E = −∇φ
R ρ(r0 ) 3 0
0
eine Integration ist z.B. dann: φ(r) = −k |r−r
0 | d r . Allerdings ergibt jedes φ mit
φ0 = φ+ const dieselbe Feldstärke. Allerdings bedeuten verschiedene φ0 verschiedene
Eichungen
2.3.1 2. Maxwellsche Gleichung
Betrachte nun die Rotation der elektrischen Feldstärke E, was uns zur zweiten Maxwellschen Gleichung der Elektrostatik (welche nur in der Elektrostatik gültig ist)
führt
(2.3)
∇ × E = −∇ × ∇φ = 0
Das heißt, dass E wirbelfrei ist. sonst könnten Elektronen?.
2.3.2 Potential als Linienintegral
Z
r
0
Z
0
r
E(r ) · dr = −
r0
∇r0 φ(r0 ) · dr0
r0
1
Z
=−
Z0 1
∇r0 φ(r0 (s)) ·
dr 0
ds
ds
dφ
ds
0 ds
= φ(0) − φ(1) = φ(r0 ) − φ(r)
|
{z
}
=−
:=Ur0 r Spannung zwischen r0 und r
Rr
Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten. φ(r) = φ(r0 ) − r0 E(r0 ) · dr0
Die Arbeit, Rdie benötigt wird,
R r um eine Ladung q von r0 nach r zu bringen ist also demr
nach: W − r0 R · dr0 = − r0 qE · dr0 = q [φ(r) − φ(r0 )]
2 ELEKTROSTATIK
11
(a) E-Feld
(b) Potential
Abbildung 2: Verhalten bei einer homogen geladenen Kugel
2.4 Homogen geladene Kugel
Die Ladungsdichte ρ einer Kugel mit dem Radius R sei gegeben durch (mit: r = |r|)
(
ρ0 , r ≤ R
ρ(r) =
0 ,r > R
Dann ist logischerweise die Gesamtlaung Q = ρ0 · 43 πR3 . Bei symmetrischen Problemen
(Symmetrie ist auch eine Translationsinvarianz) sollte man die Symmetrie und Integralsätze ausnutzen. Aus der Tatsache, dass eine Kugel rotationsysmmetrisch ist folgt:
E(r) = E(r) · er mit er = eradial nach außen . Aus dem Gaußschen Satz (2.2) folgt
(
4π 3
r
,r ≤ R
1
3
E(r) · 4πr2 = ρ0 4π
3
ε0
R ,r > R
3
(
r
,r ≤ R
3
E(r) = kQ R1
,r > R
r2
Für das Potential ergibt sich dann:
Z
r
φ(r) = φ(∞) −
E(r0 ) · dr0
∞
Wähle nun φ(∞) = 0 und E k dr0 ⇒ E(r0 ) · dr0 = E(r0 ) · er0 · er0 · dr 0
(
Z r
2
2
1
,r ≤ R
+ R2R−r3
0
R
⇒ φ(r) = −
E(r ) = kQ 1
,r > R
∞
r
12
2 ELEKTROSTATIK
2.5 Unendlich homogen geladene Ebene
Sei eine geladene xy-Ebene gegeben. Dabei gilt die Translations- und Spiegelsymmetrie
E(r) = E(z) · ez und E(z) = −E(−z)
Definition 2.3 (Flächenladungsdichte)
Ladungen pro Fläche = Flächenladungsdichte σ =
dQ
dA
Nehme den Gauß’schen Satz und setze eine Quader-Gauß-Box sinnvoll in die xy-Fläche.
Dabei stehen vier Seiten der Box senkrecht zu den elektrischen Feldlinien, wodurch
dessen Skalarprodukt null wird. Es werden also nur noch zwei Seiten betrachtet, von
denen aufgrund der sinnvollen Platzierung beide gleich sind:
sgn(z)E(z) · ∆A · 2 = σ · ∆A
⇒ E(z) =
1
ε0
σ
sgn z
2ε0
wobei sgn x eine sogenannte Signumfunktion bzw. Vorzeichenfunktion ist. Sie wird wie
folgt definiert:
Definition 2.4 (Signum-/Vorzeichenfunktion)


+1
sgn(x) :=
0


−1
x>0
x=0
x<0
2.5.1 Potential für z > 0
Wähle für φ(0) = 0 so folgt aus φ(z) = φ(0) −
Rz
0
E(z 0 ) dz 0 :
σ
z ,z ≥ 0
2ε0
σ
φ(z) = −
|z| − ∞ < z < ∞
2ε0
φ(z) = −
2.6 elektrische Leiter
Definition 2.5 (Leiter)
Ein Leiter ist ein Material mit frei beweglichen Ladungen (ohne Rückstellkraft, aber
2 ELEKTROSTATIK
13
”Reibung”).
Im Inneren des Leiters gilt (zumindest in der Elektrostatik) E = 0 und φ = const, da
sonst Kräfte F = qE wirken und Ladungsverschiebung stattfinden, bis Ruhe eintritt.
2.6.1 Verhalten des Feldes and der Oberfläche
Man nehme den Stokes’schen Satz für Kurve an Oberfläche: Rechteck mit einer Kante
im Leiter, einer Kante außerhalb
I
Z
A
(∇ × E) · dA =
| {z }
E dr = 0
C
=0
=
Z
Z
+
innen
Z
+
außen
| {z }
E · dr
seitlich
| {z }
=0
=0 für d→0
Z
E · dr = 0
0=
außen
Für Dicke d der Gaußbox d → 0
:
E · dr = 0
→
E ⊥ dr
⇒ E ⊥ Oberfläche
Man nehme Gauß’sche Satz (für Zylinder) an Oberfläche und lasse die Dicke d gegen
null laufen mit s := Zylinderfläche ohne Mantel: Es = ε10 Q
⇒E=
1
σ
ε0
nicht unbedingt verstanden
Beachte fehlenden Faktor
te σ
1
2
im Vergleich zur geladenen Ebene mit Flächenladungsdich-
14
2 ELEKTROSTATIK
2.7 Eigenschaften des Potentials
Rr
Das Linienintegral r0 ist “wegunabhängig” – also ist das Feld konservativ – da gilt:
H
R
E
·
dr
=
(∇ × E) · dA = 0
C(A)
A | {z }
=0
φ(r) ist durch die Wahl des Bezugspunktes r0 und φ(r) eindeutig festgelegt (für ein
vorgegebenes E). (Nebenbemerkung: Wäre das E Feld nicht konservativ, so könne man ein Elektron auf einem energiearmen Weg “entlang schieben” und auf einem
energiereichen Weg “zurückschieben” und somit Energie gewinnen)
Es gilt ∇2 φ = ∇(∇φ) = ∇(−E) = − ερ0 . Daraus folgt die
Definition 2.6 (Poisson-Gleichung)
∇2 φ = −
ρ
ε0
Für ein Ladungsfreies Gebiet – also mit ρ = 0 – folgt dann die
Definition 2.7 (Laplace-Gleichung)
∆φ = ∇2 φ = 0
2.8 Randwertprobleme
2.8.1 Einführendes Beispiel: Bildladung
Betrachte eine Punktladung q bei x = y = 0 , z = zq > 0 vor einer leitenden, geerdeten
xy - Ebene (also mit φ = 0). Die Frage ist nun, wie das Potential im Halbraum z ≥ 0
aussieht.2
2
siehe auch Nolting 3, S.108ff
2 ELEKTROSTATIK
15
Lösungsweg: Konstruktion mit Hilfe einer fiktiven Bildlagung q 0 in z < 0 bei z = zq0 .
Dabei wird q 0 so gewählt, dass das von q und q 0 erzeugte Gesamtpotential bei z = 0
verschwindet:
kq
kq 0
φ(0) =     −    
x
0 x
0 y  −  0  y  −  0 
0
zq 0
zq0 Aus Gründen der Symmetrie folgt q 0 = −qzq0 = −zq. Damit kann nun das Potential
im gesamten Halbraum z ≥ 0 aufgestellt werden:

 −1  −1 
0
0 ⇒ φ(r) = kq r −  0  − r +  0  
zq zq für z ≥ 0
Die Bildladung ersetzt die komplizierte Ladungsverteilung, die von q auf der xy-Ebene
induziert wird, und ermöglicht eine einfache Berechnung des Potentials. Wir haben
hier ein Randwertproblem gelöst: zu lösen war die Poisson-Gleichung im Gebit z >
ˆ Punktladung q) mit vorgegebenen Potential auf dem Rand des
0(∇2 φ = − ερ0 mit ρ=
Gebites. (Rand = xy-Ebene und streng genommen auch unendlich)
2.8.2 Problemstellung und Eindeutigkeit
Gegeben:
• Ladungsdichte ρ(r) in Volumen V 3
• Randbedingungen auf Oberfläche A(V )
Es kann die Poisson-Gleichung (→ DGL) aufgestellt und umgestellt werden zu:
∂y2 φ(x, y, z) + ∂y2 φ(x, y, z) + ∂z2 φ(x, y, z) +
3
ρ(x, y, z)
=0
ε0
Ladungsdichte ist eigentlich immer auf ein Volumen beschränkt, da sie für das restliche Universum
unbekannt ist
16
2 ELEKTROSTATIK
Exkurs DGL
partiell für die gesuchte Funktion φ. Partiell heißt, dass weitere Variablen auftreten
(im Gegensatz zu gewöhnlichen DGL)
linear in φ , da die unbekannte Funktion bzw. deren Ableitungen linear auftreten, dh.
h. Vorfaktoren hängen nicht von φ ab. (Nebenbemerkung: Bsp für nichtlineare
DGL: ∆φ + aφ3 +f (r)φ = 0)
|{z}
nicht linear
elliptisch , da die Vorfaktoren der 2. Ableitungen gleiche Vorzeichen haben, wie bei
2
2
der Ellipsengleichung xq2 + yb2 = 1 (Die Poisson-Gleichung ist elliptisch, da die
Vorfaktoren der 2. Ableitungen das gleiche Vorzeichen habne)
Für homogene, lineare DGLs gilt das Superpositionsprinzip, d.h. wenn φ1 , φ2 Lösungen
der DGL sind, dann auch die Linearkombination φ = aφ1 + bφ2
Ohne Zusatzbedingung ist die Lösung nicht eindeutig
2.8.3 Arten von Randbedingungen
• Dirichlet-Randbedingung: Potential auf dem Rand A(V ), also φ|A(V ) ist vorgegeben
• Neumann-Randbedingung: Normalableitung auf dem Rand, also n · ∇φ|A(V ) =:
∂φ
= “Normalableitung” mit |n| = 1 , n ⊥ A(V ) ist vorgegeben
∂n
• gemischte Randbedingung (Stückweise Dirichlet und Neumann)
Theorem 2.8 (Eindeutigkeitstheorem)
Falls φ1 , φ2 Lösung von ∆φ = − ερ0 sind mit gleichern Randbedingungen, dann ist
φ1 = φ2 + const
Beweis.
∆φ1 = − ερ0
∆φ2 = − ερ0
∆ψ = 0 mit ψ = φ1 − φ2
<?> Dirichlet-Randbedingung:
ψ|A(V ) = (φ1 − φ2 )|A(V ) = 0
Neumann-Randbedingung: ∂ψ
= n · ∇(φ1 − φ2 )|A(V ) = 0
∂n A(V )
Nach Gauß: woher kommt das ψ∇ψ
Z
I
3
∇ · (ψ∇ψ) d r =
ψ(∇ψ) · dA = 0
V
A(V )
2 ELEKTROSTATIK
17
(Produktregel) =
Z
3
Z
(∇ψ)(∇ψ) d r +
V
Z
V
ψ (∇2 ψ) d3 r
| {z }
=0
(∇ψ)(∇ψ) d3 r
0=
V
Da aus ∇ψ = 0 folgt ψ = const gilt also: φ1 = φ2 + const
• Bei Dirichlet-Randbedingung: φ1 = φ2 also ist die Lösung eindeutig
• Bei Neumann-Randbedingung ist die Lösung bis auf eine Konstante eindeutig
</?>
2.8.4 Green’scher Satz & Green’sche Funktion
Green’scher Satz Betrachte das Vektorfeld w = u∇v−v∇u bestehend aus u(r), v(r).
Aus dem Gauß’schen Satz folgt dann
Z
I
w · dA =
ZV
A(V )
I
(u∇v − v∇u) · dA =
ZV
A(V )
=
ZV
=
∇ · w d3 r
∇ · (u∇v − v∇u) d3 r
(∇u∇v + u∇2 v) − (∇v∇u + v∇2 u) d3 r
(u∇2 v − v∇2 u) d3 r
V
Definition 2.9 (Green’sche Satz)
I
Z
∂v
∂u
u
−v
· dA = (u∆v − v∆u) d3 r
∂n
∂n
A(V )
V
Green’sche Funktion
Definition 2.10 (Green’sche Funktion)
Die Lösung einer homogenen DGL mit der Eigenschaft, dass die Inhomogenität (bei
Poisson-Gleichung ist der Term ερ0 ) proportional zur Deltafunktion ist. (Mathematische
Hilfsmittel zur Lösung für eine beliebige Inhomogenität)
18
2 ELEKTROSTATIK
Voraussetzung ist, dass die vorliegende DGL der Form
Ly = f
entspricht, wobei L ein linearer Differentialoperator, y die zu lösende Funktion und f
die Inhomogenität ist. Betrachtet man so eine Gleichung möchte man die Gleichung
lösen mit
L−1 Ly = y = L−1 f
Dies ist allerdings nicht so einfach möglich, da L nicht injektiv ist und es somit kein
Linksinverses gibt. Da L allerdings surjektiv ist gibt es ein rechtsinverses, was uns schon
zur Lösung bzw. zur Greenschen Funktion führt. Wir nennen dieses Inverse deshalb G.
Es gilt dann LG = 1 und somit
⇒ Ly = f
= 1f
= (LG)f
Ly = L(Gf )
Ly = Ly
⇒ y = Gf
Die Greensche Funktion G = G(r, r0 ) ist die partikuläre Lösung einer homogenen
DGL für die Delta-Distribution δ als Inhomogenität (bzw. diese proportional dazu).
Im Fall der Poisson-Gleichung ist es die Lösung dieser Gleichung im Volumen V für
Punktladungen am Ort r → Die Inhomogenität wird von Punktladugnen erzeugt:
LG(r, r0 ) = −
1
δ(r − r0 )
ε0
(2.4)
mit L := lineare Ableitungsoperator = ∆0 = ∂x20 + ∂y20 + ∂z20 (Nebenbemerkung: Wie
bekomme ich eine partikuläre Lösung des inhomogenen Problems? → Finde Lösung für
den Fall der “Punkt-Inhomogenität” in 2.4)
Crashkurs: Faltung Die Faltung (f ∗ g) zweier Funktionen f, g : Rn → C ist definiert
durch
Z
(f ∗ g)(x) :=
f (τ )g(x − τ )dτ
Rn
Eigenschaften Die Faltung ist kommutativ
Unter Beachtung der Definition der Faltung stellt man fest, dass wenn die DeltaDistribution mit einer Funktion gefaltet wird, dies wieder die besagte Funktion ergibt.
Durch diese Erkenntnis ergibt sich (analog zu voherigen Überlegungen) die folgende
Logikkette:
Lyp = f
=δ∗f
2 ELEKTROSTATIK
19
= (LG) ∗ f
Lyp = L(G ∗ f )
Lyp = Lyp
⇒ yp = G ∗ f
Für den Fall der gewöhnlichen DGL mit konstanten Koeffizienten ist die Greensche
Funktion lösbar über die Fourier Transformation. Die allgemeine Lösung ergibt sich
durch Superposition dieser partikulären mit der allgemeinen Lösung des homogenen
Teils
Hierbei wird in Gleichung 2.4 G(r, r0 ) als Potential am Ort r0 interpretiert. Lösung:
G(r, r0 ) = k
1
+ f (r, r0 )
|r − r0 |
mit einer Funktion f , die ∆0 f (r, r0 ) = 0, damit G die Poisson-Gleichung erfüllt. Dabei
muss f so gewählt werden, dass bestehende Randbedinungen erfüllt sind
Betrachte Ladungsdichte ρ innerhalb vom Volumen V Definiere im folgenden:
u(r0 ) = φ(r0 ), v(r0 ) = G(r, r0 ). Dann ist der Green’sche Satz mit Integration über r0
(mit n0 := Normalenvektor zu r0 )
I
Z ∂φ
∂G
2
0
0
2
−G
∇
φ(r
)
d3 r 0
φ 0 − G 0 dA =
φ(r0 ) ∇
G
{z
}
|
|
{z
}
∂n
∂n
A(V )
V
1
0
− ε δ(r−r )
0
=−
Z
⇒ φ(r) =
0
0
1
1
φ(r) +
ε0
ε0
A(V )
bestimmt durch Ladungsverteilung
0
V
−ε0
|
− ε1 ρ(r0 )
G(r, r0 )ρ(r0 ) d3 r0
I
3 0
G(r, r )ρ(r ) d r
V
|
{z
}
Z
∂G
∂φ
φ 0 −G 0
∂n
∂n
{z
dA0
}
bestimmt durch Randbedingungen
Dirichlet - Randbedingungen Wähle Green’sche Funktion G0 (r, r0 ) zum Beispiel
so, dass Randbedingungen GD (r, r0 )|r0 ∈A(V ) = 0 erfüllt ist
Z
V
∂GD
∂n0
6= 0
0
3 0
I
GD (r, r )ρ(r ) d r − ε0
φ(r) =
warum ist
0
φ
A(V )
∂GD 3 0
dr
∂n0
20
2 ELEKTROSTATIK
∂G 0
Neumansche Randbedingungen: Beachte, dass ∂n
0 |r ∈A(V ) = 0 nicht möglich, da
(für r in V)
I
I
Z
1
∂G
0
0
0 Gauß
02
dA =
∇ G · dA =
∇
G} d3 r0 = − 6= 0
0
{z
|
ε0
A(V ) ∂n
A(V )
V
1
0
− ε δ(r−r )
0
Wähle Green’sche Funktion GN (r, r0 ) so, dass (Nebenbemerkung: − ε10 aus siehe
oben, A1 aus der Integration über Oberfläche)
∂G
1
0 (r, r )
=−
∂n
Aε0
r∈A(V )
Also folgt für das Potential
Z
I
0
0
3 0
φ(r) =
GN (r, r )ρ(r ) d r + ε0
V
GN (r, r0 )
A(V )
∂φ 0
(r ) dA0 + φ
∂n0
(Nebenbemerkung: aus Definition des Mittelwertsatzes)
I
1
⇒φ=
dA0 φ = frei wählbare const (→ Neumann)
A A(V )
Fazit: Green’sche Funktion hängt vom Typ der Randbegingung ab, aber weder von der
genauen Randbedingung noch von der Ladungsdichte
Frage: Gilt die Symmetrie G(r, r0 ) = G(r0 , r)?
Antwort (ohne Beweis): GD ist symmetrisch, GN kann symmetrisch gewählt werden
2.8.5 Green’sche Funktion in R3
Betrachte den ganzen drei dimensionalen Raum mit Rand bei |r0 | = ∞ und Dirichlet
Randbedingung: φ(∞) = 0
GD (r, r0 ) = k
1
0
0 + f (r, r )
|r − r |
mit limr0 →∞ f (r, ∞) = 0 und ∇02 f (r, r0 ) = 0 Offensichtlich erfüllt f (r, r0 ) = 0 die
geforderten Bedingungen und ist somit (wegen Eindeutigkeitstheorem) die richtige Lösung:
1
→ GD (r, r0 ) = k
|r − r0 |
Es gilt
∇2 GD = ∇02 GD = −
1
δ(r − r0 )
ε0
Für eine beliebige Ladungsdichte δ(r0 ) in R3 kann das Potential aus der Greenschen
Funktion berechnet werden.
2 ELEKTROSTATIK
21
2.8.6 Green’sche Funktion und Bildladung
Erinnerung: Potential einer Punktladung q bei lautet bei r = (0,0, zq ) mit zq > 0 vor
einer leitender xy - Ebene mit φ = 0:
1
1
−
φq,r (r) = kq
|r0 − (0,0, zq )| |r0 + (0,0, zq )|
Dies entspricht der Definition der Green’schen Funktion mit Dirichlet-Randbedingungich
dachte es gibt keine allgemein gültige Def
GD (r, r0 ) =
1
φq (r0 )
qr
Weiter physikalische Fragen im Zusammenhang mit dem Bildladungsproblem
• Wie ist die von q induzierte Flächenladungsdichte σ auf xy - Ebene. Verwende:
E|Oberfläche = εσ0 . E-Feld (Beachte: jetzt betrachtet in Abh. von r0 ):
Eq,r (r0 ) = −∇0 φq,r (r0 )
0
Eq,r (r ) = kq
r0 + r
r0 − r
+
|r0 − r|3 |r0 + r|3
Feld an der Oberfläche (z 0 = 0)
Eq,r (r0 = (x0 , y 0 ,0)) = kq
(x0 , y 0 , zq )
(x0 , y 0 , −zq )
!
3 − p 2
3
x0 2 + y 0 2 + zq 2
x0 + y 0 2 + zq 2


0
kq
 0 
=p
3
x0 2 + y 0 2 + zq 2
−2zq
p
Daraus folgt, dass das E-Feld senkrecht auf der Oberfläche A liegt. Für die Flächenladungsdichte ergibt sich dann:
σ = ε0 Eqr (r = (x0 , y 0 , 0))ez ⇒ σ =
−q
zq
p 2
2π x0 + y 0 2 + zq 2 3
Die induzierte Ladungsdichte ist wie erwartet entgegengesetztt zu q geladen und
ist maximal bei x0 = y 0 = 0
• Induzierte Gesamtladung qind :
Z
Z
0 Kart
qind =
σ dA =
xy−Ebene
∞
−∞
dx
0
Z
∞
dy 0 σ(x0 , y 0 )
−∞
Für die Umrechnung in Polarkoordinaten gilt:
∂(x, y) dr dφ = cos φ −r sin φ dr dφ = r(cos φ2 + sin φ2 ) dr dφ = r dr dφ
∂(r, φ) sin φ r cos φ 22
2 ELEKTROSTATIK
Polar
∞
Z
0
dr r
qind =
0
Z
2π
dϕ0 σ(r0 )
0
0
∞
Z
= 2π
0
#∞
"
0
−q
z
r
1
q
dr0
= −qzq − p
p
2π r02 + zq 3
r02 + zq
0
= −q
• Bildkraft (Nebenbemerkung: keine Kraft auf sich selbst): Kraft der induzierten
Ladungen auf q: (anziehende Kraft)
F = qEind = qk(−q)
r+r
1
ez
= −kq 2
3
|r + r|
(2zq )2
2.8.7 Entwicklung nach orthogonalen Funktionen
Betrachte System von Funktionen Un (x), n = 1,2, . . . auf dem Intervall [a, b]. Wenn
folgendes gilt, heißen Sie:
Definition 2.11 (orthonormal)
b
Z
Um (x)Un (x) dx = δm,n
a
(
1 ,m = n
=
0 , m 6= n
Unbedingt im Nolting 3 S. 116ff nachlesen
Definition 2.12 (vollständig)
∞
X
Un (y)Un (x) = δ(x − y)
n=1
Die Kombination der Definition von Funktionssysteme von Orthonormalität und Vollständigkeit ermöglicht die Entwicklung einer Funktion f auf [a, b]:
Z b
Z b
∞
X
Un (y)Un (x) dy
f (x) =
dy f (y)δ(x − y) =
f (y)
a
a
Entwicklung gilt für x ∈]a, b[:
f (x) =
∞
X
n=1
mit:
cn Un (x)
n=1
2 ELEKTROSTATIK
23
Z
b
f (y)Un (y) dy
cn =
a
Dabei ist zu beachten, dass die Entwicklung im offenen Intervall ]a, b[ definiert ist. Das
bedeutet, dass es bei x = a und x = b nicht garantiert ist, dass es die Funktion f (x)
wirklich approximieren kann/konvergent ist.
Beispiel 2.13 (orthogonale Funktionensysteme)
(Nebenbemerkung: Entwicklung in e Funktion heißt Fourierreihe)
1. Ul (x) =
ilx π
√ 1 e x0 ;
2x0
2. Un (x) =
q
2
a
l ∈ Z, x ∈ [−x0 , x0 ]
sin nπx
;
a
n ∈ N, x ∈ [0, a]
Dies führt noch zu Legendre Polynomen und Kugelflächenfunktionen
2.8.8 Trennung der Variablen/Methode der Separation
Es handelt sich um eine allgemeines Verfahren zur Lösung von partiellen DGL’s. Ziel
ist es eine Lösung in Form eines Produkts bzw. Summe aus Produkten aus Funktion,
die nur von einer Veriablen abhängen. Dies ist also auch eine Möglichkeit zur Lösung
der Greenschen Funktion eine andere für eine andere Art von DGL geht über FourierTransformation.
ϕ(r) = ϕ( (x, y, z) ) = f (x) g(y) h(z)
Grund: Dadurch erreicht man, dass eine partielle DGL in eine gewöhnliche und somit
(hoffentlich) einfacher zu lösende Funktion umgewandelt wird
Die Laplace-Gleichung/(Poisson-Gleichung) ist eine lineare, partielle, homogene(/inhomogene) DGL zweiter Ordnung (mit Randbedingungen). Sich eignet sich also dadurch
als konkreten Erklärungsbeispiel.
Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten x, y in einem (ladungsfreien)
Rechteck Drei Kanten werden auf ein Potential φ = 0 gehalten; an der Vierten
gilt φ(x, y) = V (x). Gesucht φ(x, y)
24
2 ELEKTROSTATIK
Anmerkungen
• Das zweidimensionale Problem kann als dreidimensionale Situation aufgefasst
werden, die translationsinvariant entlang der z-Richtung ist, d.h. φ ist von z
∂2
unabhängig, so dass ∂z
2 φ = 0.
• Die Laplacegleichung sagt anschaulich aus, dass sich die Krümmungen in x- und
y-Richtung zu Null addieren. Die Lösung φ kann deshalb keine lokalen Extrema
haben.
Nehme Laplace Gleichung
∇2 φ = 0 =
∂2
∂2
φ(x,
y)
+
φ(x, y) = 0
∂x2
∂y 2
Seperationsansatz: φ(x, y) = X(x)·Y (y). Eingesetzt in Laplace Gleichung dann folgt
X 00 Y + XY 00 = 0
Y 00
X 00
=−
X
Y
00
00
Es ist zu sehen, dass die linke Seite XX nicht von y und die rechte Seite − YY nicht
00
00
von x abhängt. Damit diese Gleichung also für beliebige x, y gilt, muss XX = − YY =
const =: α2 sein.
X 00 (x) =−α2 X(x)
Y 00 (y) = α2 Y (y)
Mögliche Lösungen sind e±iαx , sin(αx), cos(αx), . . .. (Die richtige Lösung hängt von den
Randbedingungen ab). Hier ergibt sich für die Struktur der Lösung:
X(x) = sin αx
Y (y) = sinh αy
Damit nun die Randbedingungen X(0) = X(a) = 0 erfüllt werden ergibt sich für
2 2
αn2 = naπ2 , n = 1,2, . . .
X(x) = sin
nπ
x
a
2 ELEKTROSTATIK
25
Da auch die Randbedingung Y (0) = 0 erfüllt werden muss folgt:
Y (y) = sinh
nπ
y
a
Def
wobei sinh Ω = 12 (eΩ − e−Ω )
Weil die Laplace-Gleichung linear und homogen ist, sind Linearkombinationen wieder
Lösungen. Aufgrund dieser Linearität folgt die allgemeine Lösung (ohne Berücksichtigung der Randbedinung V (x)):
φ(x, y) =
∞
X
An sin
n=1
nπ
nπ
x · sinh
y
a
a
Nun gibt es nur noch eine verbleibende Randbedingung
φ(x, b) =
∞
X
An sin
n=1
nπ !
nπ
x sinh
b = V (x)
a
a
(2.5)
Die einzige Freiheit, um diese Randbedingung zu erfüllen steckt in der Wahl der An
q
Wir wissen, dass nach Abschnitt 2.8.7 Un = a2 sin nπx
, n = 1,2, . . . ein vollständig
a
orthogonales Funktionensystem auf [0, a] bildet. Deshalb ist es möglich VR(x) als Summa
me dieser vollständigen orthogonalen Funktionen (mit Vorfaktoren cn = 0 dx Un (x)V (x))
zu schreiben
V (x) =
∞
X
cn Un (x)
(2.6)
n=1
Weiter kann man die Gleichung (2.5) genauer zu Betrachten und Terme zu identifizieren
mithilfe von Gleichung (2.6):
∞
X
nπ
nπ
x sinh
b
a
a
n=1
r r
∞
X
nπ
2 a
nπ
=
An sinh
b
sin
x
a
a 2
a
n=1 |
{z
}|
{z
}
cn
Un
r
a
nπb
cn =
An sinh
2
a
r
Z a
2
nπx
cn =
dx
sin
V (x)
a
a
0
Z a
2
1
nπx
⇒ An =
sin
V (x) dx
nπb
a sinh a 0
a
V (x) =
An sin
Beispiel 2.14 (V (x) = V0 = const)
Z
a
sin
0
h a nπx
nπx ia
V0 dx = V0 −
cos
a
nπ
a 0
26
2 ELEKTROSTATIK
a
V0 a
= V0 (1 − cos nπ) =
(1 − (−1)n )
nπ
nπ
(
2a
V , n = 1,3, . . .
nπ 0
=
0,
n = 2,4, . . .
∞
(2k+1)πy
(2k + 1)πx sinh
4V0 X 1
a
sin
φ(x, y) =
(2k+1)πb
π k=0 2k + 1
a
sinh
a
Anmerkung Wir sind strenggenommen noch nicht fertig, denn wir haben noch nicht
gezeigt, dass die Lösung die Randbedingung φ(0, y) = 0 und φ(a, y) = 0 erfüllt. Dies
ist zwar für die Funktionen sin nπx
offensichtlich, aber nicht, wenn wir diese in einer
a
unendlichen Reihe aufsummieren. Beachte, dass die Randbediungungen an den Ecken
links oben und rechts oben unstetig sind
V0 = lim lim φ(x, y) 6= lim lim φ(x, y) = 0
x→0 y→b
y→b x→0
Um zu zeigen, dass φ(0, y) = φ(a,P
y) = 0 ist zu überprüfen, ob wir den Limes x → 0
(bzw. x → a) mit der Summation ∞
k=0 vertauschen können, denn in diesem Fall gilt:
∞
∞
X
X
φ(0, y) = lim φ(x, y) = lim
(. . .) =
lim (. . .) = 0
x→0
x→0
x→0
{z }
|
k=0
k=0
=0
In der Analysis wird gezeigt, dass Limes und Summe vertauscht werden können, wenn
sie für alle x gleich schnell konvergiert).
In unsererm Fall zeigt man dies so:
φ(x, y) =
4V0
ψ(x, y)
π
mit:
ψ(x, y) =
∞
X
fk (x, y)
k=0
fk (x, y) =
sin (2k+1)π
x sinh (2k+1)πy
a
a
2k + 1 sinh (2k+1)πb
a
Es gilt |fk (x, y)| ≤
1 sinh
2k+1 sinh
(2k+1)πy
a
(2k+1)πb
a
sinh (2k+1)πy
a
sinh (2k+1)π
b
. Es sei n := 2k + 1
=
=
≤
e
nπy
a
− e−
nπy
a
e
nπb
a
− e−
nπb
a
e
nπ(y−b)
a
− e−
nπ(y+b)
a
nπb
1 − e−2 a
nπ(y−b)
π(y+b)
e a − e− a
πb
1 − e−2 a
nπ(b−y)
nπ(y+b)
1
−
−
a
a
≤
e
+
e
−2πb
1−e a
2 ELEKTROSTATIK
27
2.Summand immer kleiner als 1.Summand
1
≤
=
mit: g(y) = e−
1−e
2
−2πb
a
− 2πb
a
1−e
2e−
nπ(b−y)
a
(g(y))n
π(b−y)
a
|fk (x, y)| ≤ Mk (y)
mit: Mk (y) =
2
(2k+1)(1−e−
−2πb
a )
g(y)2k+1
• Falls y = b, → g(y) = g(b) = 1
∞
X
Mk
k=0
Konvergiert nicht. Es kann keine Aussage getroffen werden
• Falls y < b, → 0 < g(y) < 1
∞
X
Mk ≤
k=0
∞
X
2g(y)
1−e
− 2πb
a
(g(y)2 )k
k=0
|
{z
}
geometrische Reihe
=
2g(y)
1−e
− −2πb
a
1
1 − g(y)2
P∞
Es konvergiert und somit ist k=0 fk (x, y) nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig konvergent in x und somit stetig in x. → Randbedingung φ(0, y) = φ(a, y) =
0 ist erfüllt
2.9 Der elektrische Dipol
Betrachte zwei Ladung q, −q in kleinem Abstand d und der Position einer der beiden
Ladungen von r0 . Das davon nach dem Superpositionsprinzip erzeugte Potential ist:
1
1
φ(r) = kq
−
(2.7)
|r − r0 − d| |r − r0 |
Was passiert nun, wenn dieser Abstand nun “fast” null wird? Bei diesem Grenzwert
d → 0 hilft mal wieder Taylor:
1
1
1
=
+
∇
· d + ...
d
|r − r0 − d|
|r − r0 − d| d=0
|r − r0 − d| d=0
28
2 ELEKTROSTATIK
d
Aus der Erkenntniss dy
f (x − y) = f 0 (x − y) · (−1) folgt, dass gilt: ∇d f (r − d) =
−∇r f (r − d). Somit:
1
1
=
− ∇r
· d + ...
|r − r0 |
|r − r0 |
In Gleichung (2.7) eingesetzt ergibt sich nun für das gesuchte Potential approximiert:
φ(r) ≈
qd
1
∇r
4πε0 |r − r0 |
Definition 2.15 (Dipolmoment)
Das das Dipolmoment ist ein Vektor, der von der negativen zu der positiven Ladung
zeigt. Ferner gilt:
p = qd
⇒ φ(r) ≈
d→0
p r − r0
4πε0 |r − r0 |3
2.9.1 Das elektrische Feld des Dipols
Betrachte den vereinfachten Fall für r0 = 0, d.h. Dipol am Ursprung
r
r3
!
3
p · r
1 X
E(r) = −k∇
= −k∇
pj rj
r3
r3 j=1


X
X
1
1
(Produktregel) = −k  ∇ 3
pj rj + 3 ∇
pj rj 
r
r
j∈[1,3]
j∈[1,3]
1 X
3r r X
= −k − 4
pj rj + 3
pj ∇rj
r r
r
|{z}
φ(r) ≈ kp ·
j∈[1,3]
E(r) = k
j∈[1,3]
=ej
3r
1
(p · r) − 3 p
3
r
r
|r|→∞
Für einen Beobachter, der weit weg ist ergibt sich −−−−→ φ ∼ r12 , |E| ∼ r13 . Dabei ist zu
beachten, dass dies schneller gegen null konvergiert als bei Punktladungen (Dort ist es
φ ∼ 1r , |E| ∼ r12 )
Es gilt: E(r) = E(−r) (Bei Punktladung: E(r) = −E(−r))nachvollziehen!)
2 ELEKTROSTATIK
29
Allgemeiner für N Punktladungen Hier kann p von der Wahl des Koordinatenursprungs abhängen, da keine Angabe über die Gesamtladung gemacht worden ist!!!
p=
N
X
qj rj
(2.8)
j=1
Dipolmoment für kontinuierliche Ladungsverteilungen/Multipolentwicklung Betrachte das von einer räumlich begrenzten Ladungsdichte ρ(r) Potential
Z
ρ(r0 ) 3 0
φ(r) = k
dr
|r − r0 |
Für zwei Ladungen die dicht nebeneinander liegen verglichen mit dem Beobachtungspunkt, wenn also gilt |r| |r0 |:
Z
Taylor
1
1
0
0
φ(r)
≈ k ρ(r )
− r · ∇r
d3 r 0
1.Ordnung
r
r
Z
Z
1
1
0
3 0
0 0 3 0
=k
ρ(r ) d r − ∇
ρ(r )r d r
r
r
Bekannterweise ist das erste Integral identisch mit der Gesamtladung Q. Aus (2.8) ist
schon zu erahnen, dass das zweite Integral das Dipolmoment ist
φ(r) ≈ k
1
Q
− ∇
·p
r
r
Wobei Qr := Monopolterm und − ∇ 1r · p := Dipolterm. Diese Entwicklung kann in
höheren Ordnungen fortgesetzt werden → kartesische Multipolentwicklung
2.10 Die elektrostatische Energie
Energie ist die “gespeicherte” Arbeit, um eine elektrostatische Anordnung herzustellen.
Also Arbeit, um eine Punktladung q von B nach A zu bringen
Z
A
(−qE) · dr = q [φ(A) − φ(B)]
W =
B
Für B → ∞ folgt W = qφ(A).
Berechne nun die Gesamtenergie einer Anordung von N Punktladungen q1 , q2 , . . . , qN
(, die an die Ort r1 , r2 , . . . , rN gebracht werden sollen):
W =
N
X
j=1
qj φj (rj )
30
2 ELEKTROSTATIK
Mit φj = Potential, das von q1 , . . . , qj−1 erzeugt. Das Problem dieser Aufgabe ist, dass
sich mit der Verschiebung auch das Potential ändert. Für j = 2, . . . , N und φ1 (r) = 0
gilt für das Potential φj , welches von q1 , . . . , qj−1
φj (rj ) = k
j−1
X
k=1
→W =k
qk
|rj − rk |
j−1
N X
X
j=2 k=1
q j qk
|rj − rk |
| {z }
PN
k<j=2
N
1 X
qj qk
= k
δkj
2 k,j=1 |rj − rk |
(Summe über alle Paare j, k außer j = k. Der Faktor
Zählung zu kompensieren)
Energie für kontinuierliche Ladungsverteilung Σ →
R
ρ(r)ρ(r0 )
1
dr
=
0
|r − r |
2
Z
1
→W = k
2
Z
3
Z
dr
3 0
1
2
ist nötig, um die doppelt-
d3 r ρ(r)φ(r)
Zu beachten ist, dass die Gesamtenergie von der Ladungsverteilung abhängig ist. Im
Beispiel einer geladenen Kugel ist das also von den Integrationsgrenzen der Kugel
abhängig. Wir wollen nun die Energie durch das elektrische Feld ausdrücken. Dazu
wird Poisson verwendet: ∇2 φ = − ερ0 ⇒ ρ = −ε0 ∇2 φ
1
W =
2
Z
d3 r (−ε0 ∇2 φ)φ
Nach Partieller Integration
Z
h
i
ε0
3
d r ∇ · (∇φ)φ − ∇φ · (∇φ)
=−
2
I
Z
ε0
ε0
(Gauß) = −
(∇φ)φ · dA +
(∇φ)2 d3 r
| {z }
2 A→∞
2
|
{z
}
=E2
|r|→∞
1
−−−−→0, da (∇φ)φ∼ r3
Z
ε0
W =
E2 (r) d3 r
2
(Nebenbemerkung: dies wird nun nicht mehr im Beispiel der geladenen Kugel bis zur
Kugeloberfläche integriert sondern quasi über das Universum) (Nebenbemerkung:
dA ∼ r12 (für endliche Ladungsverteilungen))
2 ELEKTROSTATIK
31
Definition 2.16 (Energiedichte)
w(r) =
ε0 2
E (r)
2
Dieser Ausdruck behält auch in der zeitabhängigen Elektrodynamik seine Gültigkeit
und verdeutlicht, dass eine Feld auch ohne Anwsenheit von Ladungen ein Energie
tragen kann (z.B. in einer Lichtwelle)
Feld einer Punktladung trägt unendlich große Energie → “Selbstenergie”
Z ∞
Z
1 2
ε0 r 2 3
q
kq 3 d r =
W =
r dr · 4π = ∞
2
2
r
32π 2 ε0 0 r4
Diese Selbstenergie wird daher nicht mitgezählt und wurde daher bei der Gesamtenergie
von N Punktladungen weggelassen (j 6= k)
Elektrostatische Energie eines Leiters
Z
Z
φ
φQ
1
3
ρ φ(r) d r =
ρ d3 r =
W =
2 V |{z}
2
2
=const im Leiter
2.11 Wechselwirkung zwischen zwei Ladungsverteilungen
Für die Gesamtenergie gilt (seit letztem Kapitel) bekanntlich:
ZZ
k
ρ(r)ρ(r0 )
d3 r d3 r 0
W =
2
|r − r0 |
Setze ρ(r) = ρ1 (r) + ρ2 (r) (WW := Wechselwirkungsenergie)
"Z
#
ZZ
ZZ
k
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ1 ρ1 3 3 0
2
2
1
2
W =
drdr +
d3 r d3 r0
+2
d3 r d3 r0
2
|r − r0 |
|r − r0 |
|r − r0 |
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
→W1
→W2
→WW W
= W1 + W2 + WW W
Fazit: Das Superpositionsprinzip ist hier nicht anwendbar
Annahme, dass die Ausdehnung von ρ1 klein ist um r1 :
Taylor
φ2 (r) ≈ φ2 (r1 ) + ∇φ2 (r1 ) (r − r1 )
um r1
=φ2 (r1 ) − E2 (r1 )(r − r1 )
Z
⇒ WW W ≈
3
ρ1 (r)φ2 (r1 ) d r −
Z
ρ1 (r)E2 (r1 )(r − r1 ) d3 r
32
2 ELEKTROSTATIK
= φ2 (r1 )Q1 − E2 (r1 ) · p1
mit Q1 =
r1 ) d3 r
R
ρ1 d3 r und dem Dipolmoment von ρ1 bzgl. Ursprung r1 : p1 =
R
ρ1 (r −
Energie eines ungeladenen Dipols in einem äußeren Feld E:
Wdip = −p · E
Dipole möchten sich entlang des Feldes ausrichten → Vergleich Kompass
2.11.1 Klassischer Elektronenradius
Betrachte das Elektron als geladene Hohlkugel mit Radus R, Masse me und Ladung e.
Dann gilt für die Energie weil es ein Leiter ist?
1
1
e
!
W = Qφ = e
= me c2
2
2 4πε0 R
Damit diese Gleichung erfüllt ist, muss für den Radius R “der Kugel” gelten: R =
e2
8πε0 me c2
Definition 2.17 (klassische Elektronenradius)
wer hat eine 2 gesehen. ich vermisse sie
re = k
e2
me c2
2.12 Kugelflächenfunktion
“Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große
Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei
der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in
Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst
werden.”[Wik12]
Eine Funktion ist periodisch, wenn sie die Laplace-Gleichung erfüllt. Eine solche Funktion lässt sich dann (analog zu Fourier-Reihe) als Summe von ebenen Wellen (→ Kugelflächenfunktionen) darstellen. Im Grenzfall auch als Integral. Aus voherigen Überlegungen lässt sich dann erkennen, dass diese ebenen Wellen (→ Kugelflächenfunktionen) ein
Orthonormalsystem bilden.
“Die Kugelflächenfunktionen sind definiert als ein vollständiger und orthonormaler Satz
von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators”[ug12]
2 ELEKTROSTATIK
33
Kugelflächenfunktionen bilden (summiert) Funktionen auf der Fläche einer Kugel
2.12.1 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten
Die Laplace Gleichung in Kugelkoordinaten lautet: ∆ = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 . Erfolgt nun
 


x
r sin θ cos ϕ
eine Transformation zu Kugelkoordinaten mit r, θ, ϕ und y  =  r sin θ sin ϕ  so
z
r cos θ
folgt:
1 ∂ 2∂
1 ∂
∂
1 ∂2
1
sin θ
+
+ 2
∆= 2 r
r
∂r
∂r
r
sin
θ
∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
| {z }
|
{z
}
=:∆r
∆ = ∆r +
=:∆θ,ϕ
1
∆θ,ϕ
r2
Die Laplace-Gleichung lautet dann in Kugelkoordinaten
(r2 ∆r + ∆θ,ϕ )φ = 0
Neben der trivialen Lösung φ = 0 gibt es weitere Lösungen. Auf diese kommt man
mit
Trennung der Variablen Teile nun das Potential in Radial- und Winkelkomponente
(Polar- und Azimutwinkel) auf, indem der Seperationsansatz
φ(r, θ, ϕ) = R(r) · S(θ, ϕ)
verwendet wird. Dies ist möglich, da in der Laplace - Gleichung in Kugelkoordinaten
der Radius unabhäng von den Winkeln ist. Setze nun diesen Ansatz in die Gleichung
ein und es ergibt sich die DGL
∆φ = 0
S∆r R + R
1
∆θ,ϕ S = 0
r2
∆θ,ϕ S
r2 ∆r R
−
=
S
R
Da beide Seiten unabhängig voneinander sind muss (wenn die Gleichung erfüllt sein
soll) jede Seite gleich einer Konstanten C sein (später stellt sich heraus, dass C = l(l+1)
sinnvoll ist)
∆θ,ϕ S(θ, ϕ)
r2 ∆r R(r)
−
=C=
⇒
S(θ, ϕ)
R(r)
(
∆θ,ϕ S(θ, ϕ) = −CS(θ, ϕ)
∆r R(r) = rC2 R(r)
34
2 ELEKTROSTATIK
Weiterer Separationsansatz
−CS(θ, ϕ) = ∆θ,ϕ S(θ, ϕ)
1 ∂
∂
1 ∂2
=
sin θ S(θ, ϕ) +
S(θ, ϕ)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
∂
∂2
∂
sin θ ∂θ
S(θ, ϕ) + ∂ϕ
sin θ ∂θ
2 S(θ, ϕ)
2
−C sin θ =
S(θ, ϕ)
Betrachte nun die Winkelabhängige Ableitung mithilfe eines weiteren Seperationsansatzes: S(θ, ϕ) = T (θ) · Q(ϕ)
2
∂
∂
∂
Q(ϕ) · sin θ ∂θ
sin θ ∂θ
T (θ) T (θ) · ∂ϕ2 Q(ϕ)
=
+
Q(ϕ) · T (θ)
T (θ) · Q(ϕ)
2
∂
Q(ϕ)
∂
∂
∂ϕ2
−T (θ)C sin θ = sin θ sin θ T (θ) + T (θ)
∂θ
∂θ
Q(ϕ)
2
(2.9)
Trigonometrische Funktionen (und dann natürlich auch die exp Funktion) erfüllen die
2
DGL ddϕQ2 = constwoher DGL?. Mögliche Lösung ist Q(ϕ) = eimϕ für m ∈ Z, ϕ ∈
[0, 2π]. Diese Lösung erfüllt die Bedingung Q(ϕ) = Q(ϕ + 2π). sin mϕ und cos mϕ
sind ebenfalls mögliche Lösungen, die aber unpraktischer später beim Rechnen sind.
eimϕ können zu reellen Lösungen superponiert werden (da linear ist dies auch wirklich
möglich).
Lösung eingesetzt in (2.9) ergibt:
∂
∂
sin θ T − m2 T
∂θ
∂θ
∂
∂
0 = sin θ sin θ T − m2 T + T C sin2 θ
∂θ
∂θ
−T C sin2 θ = sin θ
Substituiere: x = cos θ
d dx d
d cos θ d
d
→
=
=
= − sin θ
dθ dθ dx
dθ dx
dx
d
d
d
d
→ sin θ
= − sin2 θ
= −(1 − cos2 θ)
= −(1 − x2 )
dθ
dx
dx
dx
Definiere T (θ) =: P (cos θ) = P (x)
2 d
2 d
2
2
+ C(1 − x ) − m P (x)
⇒ 0 = (1 − x ) (1 − x )
dx
dx
d
m2
2 d
=P (x)
(1 − x )
−
+C
dx
dx 1 − x2
suche Spezialfälle m = 0
Definition 2.18 (Legendre’sche DGL)
d
2 d
(1 − x )
+ C P (x) = 0
dx
dx
2 ELEKTROSTATIK
35
⇔ (1 − x2 )P 00 (x) − 2xP 0 (x) + CP (x) = 0
Die Lösung erfolgt z.B. durch Potenreihenansatz und mit Fordungerung, dass P (x)
endlich in x ∈ [−1,1] (vgl. θ ∈ [0, π], x = cos θ). Es ergibt sich die
Definition 2.19 (Formel von Rodrigues)
Pl (x) =
1 dl 2
(x − 1)l
2l l! dxl
Erfüllen die DGL mit C = l(l + 1), l = 0,1, . . ..? C0 = 0; C1 = 2; C2 = 6; C3 = 12; . . .
1
P1
P2
P3
P4
P5
Pl (x)
0,5
0
−0,5
−1
−1
0
x
−0,5
0,5
1
Eigenschaften:
• Pl heißen Legendre-Polynome
• P0 (x) = 1;
P1 (x) = x;
P2 (x) = 12 (3x2 − 1);
P3 (x) = 21 (5x3 − 3x); . . .
• Pl bildven ein vollständiges Orthogonalsystem auf [−1,1]
• Sie sind die partikulären Lösungen der legendreschen Differentialgleichung(Q:wiki)
Definition 2.20 (Orthogonalitätsrelation für m = 0)
36
2 ELEKTROSTATIK
Z
1
Pl0 (x) · Pl (x) dx =
−1
2
δl,l0
2l + 1
l
Die Normierung
R 1 so2 gewählt ist, dass Pl (1) = 1, Pl (−1) = (−1) (anstatt Normierung
des Integrals −1 Pl (x) dx )
Allgemeiner Fall m 6= 0
Definition 2.21 (Orthogonalitätsrelation für m 6= 0)
Z 1
2 (l + m)!
m
Plm
δl,l0
0 (x) · Pl (x) dx =
2l + 1 (l − m)!
−1
(Nebenbemerkung: Plm heißt nicht P hoch m) Die Lösungen heißen assoziierte Legendrefunktionen und lauten mit l = 0,1, . . . und m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l:
Plm (x) =
l+m
(−1)m
2 m/2 d
(1
−
x
)
(x2 − 1)l
2l l!
dxl+m
Es gilt:Pl0 (x) = Pl (x). Plm bilden für festes m ein vollständiges Orthogonalsystem auf
[−1,1].
Kugelflächenfunktion
Definition 2.22 (Kugelflächenfunktionen)
s
2l + 1 (l − m)!
Slm (θ, ϕ) :=
· Plm (cos θ) · eimϕ
4π (l + m)!
Eigenschaften:
• Slm sind Lösungen von ∆θ,ϕ Slm = −l(l + 1)Slm
• Slm bilden vollständiges Orthonormalsystem (deshalb die Wurzel etc.) auf der
Oberfläche der “Einheitskugel”, d.h. θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π]
Orthonormalität
Z
2π
Z
0
π
sin θ dθ · Sl0 m0 (θ, ϕ)Slm (θ, ϕ) = δl,l0 δm,m0
dϕ
0
Vollständigkeit
∞ X
l
X
l=0 m=−l
Slm (θ0 , ϕ0 )Slm (θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 )δ(cos θ − cos θ0 )
2 ELEKTROSTATIK
37
(Nebenbemerkung: Sl,−m (θ, ϕ) = (−1)m Slm (θ, ϕ))
q
3
cos ϑ)
Beispiel 2.23 (S00 = √14π , S10 = 4π
Entwicklung einer Funktion f (ϑ, ϕ) (Dafür wurden die Kugelflächenfunktionen ja “erschaffen”):
∞ X
l
X
f (ϑ, ϕ) =
al,m Sl,m (ϑ, ϕ)
l=0 m=−l
mit:
Z
2π
dϑ f (ϑ, ϕ)Sl,m (ϑ, ϕ)
al,m =
0
Additionstheorem der Kugelflächenfunktion
l
4π X
Pl (cos ϑ) =
Slm (ϑ1 , ϕ1 )Slm (ϑ2 , ϕ2 )
2l + 1 m=−l
mit:
ϑ = ]((ϑ2 , ϕ1 ), (ϑ2 , ϕ2 ))
∧
φ(r, ϑ, ϕ) = R(r) · Slm (ϑ, ϕ)
Radialgleichung der Laplace-Gleichung Betrachte nun den Radialteil (im Gegensatz zum eben betrachteten Winkelanteil)
r2 ∆r R(r) = CR(r) = l(l + 1)R(r)
d 2 d
Wiederholung: Operator in Radialrichtung ∆r = r12 dr
r dr . Nach Anwendung der Pro1
d
1 2 d2
2 d
d2
duktregel ergibt sich: r2 2r dr + r2 r dr2 = r dr + dr2 .
Definiere U (r) := rR(r)
dU
dr
= R(r) + r dR
dr
d2 U
dR
d2 R
=
2
+
r
= r∆r R(r)
dr2
dr
dr2
2
Radialgleichung: r · ddrU2 = l(l + 1) rU2
mögliche Lösung (→ Linearität): U (r) = Arl+1 + Br−l
Allgemeine Lösung
φ(r, ϑ, ϕ) =
∞ X
l
X
Al,m rl + Bl,m r−l−1 · Sl,m (ϑ, ϕ)
l=0 m=−l
In jedem ladungsfreien Bereich kann also das Potential in Form einer solchen Reihe
entwickelt werden
38
2 ELEKTROSTATIK
Spezialfall: Azimuthalsymmetrisches Potential d.h. φ hängt
q nicht von ϕ ab. We· Sl (cos ϑ)
gen Sl,m ∼ eiϕ Verwende nur Terme mit m = 0: ⇒ Sl,0 (ϑ, ϕ) = 2l+1
4π
ϕ(r, ϑ) =
∞
X
al rl + bl r−l−1 Pl (cos ϑ)
l=0
Für das Potential auf der Position z-Achse gilt:
φ(r, ϑ = 0) =
(z=r) =
∞
X
l=0
∞
X
l=0
al rl + bl r−l−1
al z l + bl z −l−1
| {z }
z→0
−−→0
Die Entwicklung auf der z-Achse liefert Koeffizienten al , bl und somit Entwicklung im
ganzen ladungsfreien Raum
2.12.2 Potential einer Punktladung in Kugelkoordinaten
Betrachte zunächst den Fall, dass die Punktladung q an einem Ort r0 auf der positiven
z-Achse liegt: also r0 = (0, 0, r0 ) und betrachte das Potential bei r = (0, 0, r)
φ(r) = kq
(geometrische Reihe:
P∞
n=0
an =
1
1−a
1
1
= kq
|r − r0 |
|r − r0 |
für |a| < 1)
1. Fall r > r0
∞
1 X r0 l
1 1
=
kq
φ(r) = kq
r 1 − rr0
r l=0 r
2. Fall r0 > r
l
∞ 1 1
1 X r
φ(r) = kq
= kq
r0 1 − rr0
r0 l=0 r0
1.+2. Fall mit r< = min{r, r0 }; r> = max{r, r0 }
l
∞ 1 X r<
φ(r) = kq
r> l=0 r>
Betrachte Potential an einem beliebigen Ort r. Entwicklung in Lagendrepolynome (s.
2.12.1)
∞
1 X r< l
φ(r) = kq
Pl (cos ϑ)
r> l=0 r> l
2 ELEKTROSTATIK
39
Das Problem ist, dass diese Funktion an der “kritischen” Stelle unstetig ist. Für r0 nicht
auf der z-Achse gilt:
l X
∞
q X 1
r<
φ(r) =
∞m=−l Sl,m (ϑ0 , ϕ0 )Sl,m (ϑ, ϕ)
ε0 r> l=0 2l + 1 r>
Pl
4π
0
wegen Pl (cos ϑ0 ) = 2l+1
m=−l Sl,m (ϑ0 , ϕ0 )Sl,m (ϑ, ϕ) wobei ϑ der Winkel zwischen z
Achse und r0 minus ϑ (Winkel von z Achse und r)
2.12.3 sphärische Multipolentwicklung
Sei ρ(r) eine endliche Ladungsverteilung:
Z
ρ(r0 ) 3 0
φ(r) = k
dr
|r − r0 |
l X
Z
∞
l
1 X 1
r<
0
Sl,m (ϑ0 , ϕ0 )Sl,m (ϑ, ϕ) d3 r0
= ρ(r ) =
ε0 r> l=0 2l + 1 r> m=−l
Definition 2.24 (sphärische Multipolmoment ql,m )
Z
ql,m =
ρ(r0 )r0l Sl,m (ϑ0 , ϕ0 ) d3 r0
l
X
1 X
1
1
ql,m Sl,m (ϑ, ϕ)
φ(r) =
∞l=0
l+1
ε0
2l + 1 r
m=−l
für r außerhalb von ρ(r0 )
Beispiel 2.25
kugelsymmetrische Verteilung → q0,0 =
Monopol
√Q , ql,m
4π
= 0 für l 6= 0 q0,0 = spährischer
40
3 MAGNETOSTATIK
3 Magnetostatik
Analog zur Definition der Elektrostatik ist die Magnetostaik die Physik der stationären
Ströme
• Ströme erzeugen Magnetfelder (siehe Elektromagneten)
• Es gibt keine magnetischen Ladung (keine magnetsiche Monopole), die ein Magnetfeld erzeugen würden
3.1 Der elektrische Strom
Stromstärke I =
dQ
dt
=
Stromdichte j =
dI
dA
·e
Ladung durch Querschnitt
Zeit
mit A = Leiterquerschnitt oder beliebige Fläche, durch die der Stromfluss berechnet
werden soll folgt:
Z
j · dA
⇒I=
A
Beispiel 3.1
Betrachte eine Strommdichte
in x-Richtung
j(r) =R jx (r)exR. Dann ist der Strom durch
R
R
∞
∞
die yz Ebene: Iyz = yz j · dA = yz dA jx ex ex = −∞ dy −∞ dz jx
Für den Strom geladener Teilchen mit Geschwindigkeit v, die eine Ladungsverteilung
ρ bilden gilt:
ρ d3 r
ρ dA dx e
j=
e=
= ρve → ρv = j
dA dt
dA dt
v, ρ können von Ort und Zeit abhängen
3.1.1 Ladungserhaltung
Gesamtladung bleibt (in der Regel, siehe Annhiliation o.ä.) gleich. Dass heißt, Ladungsänderung in einem Volumen V entspricht Strom durch die Oberfläche A(V )
(Nebenbemerkung: Per Definition zeigt die Richtung nach draußen)
dQ
=I
dt
Z
I
Z
d
3
−
ρd r =
j · dA =
∇ · j d3 r
dt V
A(V )
V
−
→
Dies gilt für beliebige Volumina, insbesondere für beliebig Kleine
3 MAGNETOSTATIK
41
Es ergibt sich die Kontinuitätsgleichung
−
∂ρ
=∇·j
∂t
Diese Gleichung ist analog zur Strömung einer Flüssigkeit mit Massendichte ρ und
=0
Stromdichte j = ρv. In statischen Strömen gilt: ∂ρ
∂t
⇒∇·j=0
Ohmsches Gesetz (nur für ohmsche Leiter ⇒6= Luft)
U = IR
bzw.
j = σE
mit R = elektrische Widerstand, σ = elektrische Leitfähigkeit
3.2 Das Amperèsche Gesetz
Zwei stromführende Leiterschleifen C1 , C2 mit Strömen I1 , I2 üben eine Kraft aufeinander aus
Ampèresche Gesetz mit µ0 = magnetische Feldkonstante oder Permeabilität des
Vakuums (Nebenbemerkung: j(r) = jx (r)ex )
I I
µ0 I1 I2
dr1 × ( dr2 × r12 )
F12 =
3
4π
r12
C1 C2
Alternative Formulierung mittels dr1 ×( dr2 ×r12 ) = dr2 ( dr1 ·r12 )−r12 ( dr1 · dr2 )
I I
I
I
I I
dr1 ( dr2 × r12 )
dr1 · r12
r12
=
dr2
−
( dr1 · dr2 ) 3
3
3
r12
r12
r12
C1 C2
C2
C1
C1 C2
I
I
dr1 · r12
1
= −
dr1 · ∇
3
r12
r12
C1
ZC1
1
Stokes
= −
∇×∇
dA = 0
r12
42
3 MAGNETOSTATIK
⇒ F12
µ0
=−
I1 I2
4π
I
I
( dr1 · dr2 )
C1
C2
r12
3
r12
Beispiel 3.2
Zwei parallele Leiter zur z-Achse. Hier:



I I
Z ∞Z ∞
0
0
∧
dr1 · dr2 =  0   0  = dz1 · dz2
→
−∞ −∞
C1 C2
dz1
dz2
R∞
Die (unendlich große) Gesamtkraft lässt sich schreiben: F12 = −∞ dz1 f12 mit f12 =
Kraft pro Längenstück dz1
Z
Z
r12
µ0 I1 I2 ∞
−d + (z1 − z2 )ez
µ0 I1 I2 ∞
dz2 3 = −
dz2 p
f12 = −
3
4π
r12
4π
−∞
−∞
d2 + (z2 − z1 )2
da r12 = −d + (z1 − z2 )ez
Substitution: z = z2 − z1 , dz = dz2
!
Z ∞
Z ∞
dz
µ0 I1 I2
z dz
f12 =
d
dz p
√
3
3 − ez
4π
−∞
−∞
d2 + z 2
d2 + (z2 − z1 )2
Das zweite Integral ist gleich null, da der Integrand ungerade in z isthä?
∞
µ0 I1 I2
z
d √
=
4π
d2 + z 2 d2 −∞
µ0 I1 I2
1
−1
=
d
− 2
4π
d2
d
µ0 I1 I2 d
=
2π d2
Betrag der Kraft pro Länge
|f12 | =
1
µ0 I1 I2
∼
2πd
Abstand
Richtung der Kraft: f12 k d, d.h. parallele Ströme ziehen sich an
3 MAGNETOSTATIK
43
3.3 Biot-Savartsches Gesetz
Definition 3.3 (magnetische Flussdiche (auch magnetische Induktion))
Die Flussdichte B, die von C2 (mit I = const = I2 ) am Ort r1 erzeugt wird lautet
I
µ0 I2
dr2 × r12
B(r1 ) =
3
4π C2
r12
mit r1 =: r
∧
r2 = Stückchen auf Leiterschleife =: r0
µ0 I2
B(r) =
4π
I
C2
⇒
r12 ≡ r1 − r2 = r − r0
dr0 × (r − r0 )
|r − r0 |3
Die Kraft F12 , die dann auf eine Leiterschleife C1 wirkt ist dann
I
F12 = I1
dr1 × B(r1 )
C1
Für einen unendlich langen, geraden Leiter, der den Strom I führt, ergibt sich (durch
Vergleich mit Abschnitt 3.2)
µ0 I
B(r) =
eϕ
2πr
wobei r = radiale Zylinderkoordinate und eϕ = azimuthaler Einheitsvektor.
Richtung von B ergibt sich durch die Rechte-Hand-Regel (Daumen in Stromrichtung;
dann zeigen Finger in B-Richtung)
3.3.1 Verallgemeinerung auf kontinuierliche Stromverteilungen
I · dr → j · d3 r , da I = |j| · dA
Z
µ0
r − r0 3 0
B(r) =
j(r0 ) ×
dr
4π
|r − r0 |3
(Biot-Savart-Gesetz für kontinuierliche Stromverteilungen) und (Kraft auf Stromverteilung j(r))
Z
F = j(r) × B(r) d3 r
Es gilt
Z
µ0
1
0
B(r) = −
j(r ) × ∇
d3 r0
4π
|r − r0 |
Z µ0
1
=
∇
× j(r0 ) d3 r0
4π
|r − r0 |
44
3 MAGNETOSTATIK
µ0
=∇×
4π
Z
j(r0 ) 3 0
dr
|r − r0 |
da ∇ × (sv) = (∇s) × v + s(∇ × v) und hier ∇ × v = 0
Z
µ0
j(r0 ) 3 0
∇·B=∇· ∇×
d r =0
4π
|r − r0 |
Das heißt B ist quellenfrei. Es gilt:
Z
µ0
j(r0 ) 3 0
∇×B=∇×∇×
dr
4π
|r − r0 |
Z
Z
µ0
j(r0 ) 3 0
j(r0 ) 3 0
2 µ0
=∇·∇·
d
r
−
∇
dr
4π
|r − r0 |
4π
|r − r0 |
Z
Z
µ0
1
1
µ0
0
3 0
0
2
=
∇ · j(r ) · ∇
dr −
j(r ) ∇
d3 r 0
4π
|r − r0 |
4π
|r − r0 |
|
|
{z
}
{z
}
=−∇0
µ0
=− ∇·
4π
Z ∇ j(r0 )
0
=−4πδ(r−r0 )
1
|r−r0 |
1
|r − r0 |
−
0
0
(∇ · j(r ))
| {z }
1
d3 r0 + µ0 j(r)
|r − r0
=0 in Magnetostatik
µ0
(Gauß) = − ∇ ·
4π
I
1
0
j(r0 )
0 · dA +µ0 j(r)
|r
−
r
|
{z
}
| A→∞
→0
|r0 |→∞
Integral geht gegen null für endliche Stromverteilungen, da j(r0 ) −−−−→ 0 genügend
schnell
∇ × B = µ0 j(r)
Das heißt Stromdichtee j erzeugt magnetisches Wirbelfeld. Maxwellgleichungen der Magnetostatik
(3.1)
(3.2)
∇·B=0
∇ × B = µ0 j
3.4 Vektorpotential
Aus
µ0
B=∇×
4π
Z
j(r0 ) 3 0
dr
|r − r0 |
folgt:
B=∇×A
mit
A=
µ0 j(r0 ) 3 0
dr
4π |r − r0 |
3 MAGNETOSTATIK
45
3.4.1 Eigenschaften
• Jedes Vektorfeld A, dass B = ∇ × A erfüllt, heißt Vektorpotential von B
• A ist nicht eindeutig festgelegt. Betrachte dazu A0 = A+∇χ mit einem beliebigen
Skalarfeld χ.
∇ × A0 = ∇ × A + ∇ × ∇χ = B
| {z }
=0
d.h. auch A ist ein mögliches Vektorpotential. Eine solche Transformation A →
A0 heißt Eichtransformation
0
3.4.2 Eichungen
Wir können A so wählen, dass ∇·A = 0 gilt. Dies nennt man auch Coulomb-Eichung”
∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A = −∇2 A
∇2 A = −µ0 j nur in Coulomb-Eichung
Dies ist eine “Poisson-Gleichung” mit 3 Komponenten. → Randwertprobleme analog
zur Elektrostatik
3.5 Ampersches Druchflutungsgesetz
Z
∇ × B = µ0 j
Z
(∇ × B) · dA = µ0
A
mit I := Strom durch Fläche A ergibt
I
Stokes
⇒
j · dA
A
B · dr = µ0 I
C(A)
Dies ist die Integralform der Gleichung ∇ × B = µ0 j, sie ist nützlich für symmetrische
Probleme
Beispiel 3.4 (Unendlich langer, gerader Leiter)
Ergibt konzentrische B-Feldlinien
I
I
B · dr =
B(r)eϕ · dr
C
C
Z 2π
= B(r)
eϕ · eϕ ·r dϕ
| {z }
0
=1
= B(r) · 2πr
I
B · dr = µI
C
B(r) =
µI
2πr
46
3 MAGNETOSTATIK
Beispiel 3.5 (Lange HSpule)
Näherungsweise gilt: C B
H · dr = B · L mit B = Flussdichte im Inneren der Spule ist
ungefähr konstant. Und C B · dr = µ0 N I, da der Strom I N -mal durch die von C
eingeschlossene Fläche tritt
NI
B = µ0 ·
L
3.6 Magnetisches Moment
Betrachte endliche Stromverteilung j(r0 ) um den Ursprung und beobachte Magnefeld
weit außerhalb. Ziel: Multipolentwicklung, ähnlich wie beim elektrischen Feld
Aus dem Vektorpotential folgt mit Taylorentwicklung für r0 → 0
Z
j(r0 ) 3 0
µ0
dr
A(r) =
4π V |r − r0 |
Z
1
µ0
1
0
0
+ ∇
· (−r ) + . . . d3 r0
≈
j(r )
4π
r
r
Z
Z
µ0 1
µ0 1
0
3 0
=
j(r ) d r +
j(r0 ) · (r · r0 ) d3 r0
4π r
4π r3
|
{z
} |
{z
}
Dipolterm AD
Monopolterm
Nähere Betrachtung des Monopols:

Z

j · ex
j(r0 ) d3 r0 = j · ey  d3 r0
j · ez


Z j · ∇ 0 x0
= j · ∇0 y 0  d3 r0
j · ∇0 z 0
 0

Z ∇ · (jx0 ) − (∇0 · j)x0
=  ∇0 · (jy 0 ) − (∇0 · j)y 0  d3 r0
∇0 · (jz 0 ) − (∇0 · j)z 0
Z
Da ∇0 j = 0 in Magnetostatik

jx0
jy 0 
(Gauß) =
A(V )→∞
jz 0

I
=0
Da j = 0 außerhalb von V . Das bedeutet, dass es keine Monopole gibt. Nun zum Dipol
(ohne Beweis)
Z
µ0 1
AD (r) =
j(r0 ) · (r · r0 ) d3 r0
3
4π r
Z
µ0 1 1
=
r0 × j(r0 ) × r d3 r0
4π r3 2
3 MAGNETOSTATIK
47
AD (r) =
µ0 1
m×r
4π r3
mit dem magnetische (Dipol-) Moment: m =
1
2
R
r × j(r0 ) d3 r
Magnetische Flussdichte eines magnetischen Dipols(ohne Beweis) (analog zum elektrischen Dipol)
µ0 3(r · m)r m
B(r) =
− 3
4π
r5
r
Beispiel 3.6 (Ebene Leiterschleife mit Strom I)
1
m=
2
Z
r × j d3 r
Da j d3 r = I dr
Z
1
= I r × dr
2
=I ·A
mit |A| = eingeschlossene Fläche und A senkrecht zur Fläche
Beispiel 3.7 (Punktladung q mit Geschwindigkeit v am Ort R(t))
j(r) = ρv = qδ(r − R(t))v
Z
1
→m=
r × qδ(r − R(t))v d3 r
2
q
= R(t) × v
2
q
=
·l
2M
mit dem Bahndrehimpuls l = M (R × v) und M = Masse. Dies ist allerdings kein
stationärer Strom
3.7 Pseudovektoren
Betrachte Raumspiegelung (Inversion) einer physikalischen Anordung:
Ortsvektoren r → r0 = −r
Ladungsdichte ρ(r) → ρ0 (r0 ) = ρ(−r0 )
Geschwindigkeiten v =
dr
dt
→ v0 =
dr0
dt
= − dr
= −v
dt
48
3 MAGNETOSTATIK
Stromdichte j(r) → j0 (r0 ) = −j(−r0 )
Gleichung der Elektro-/Magnetostatik sind erfahrungsgemäß auch für die gespiegelte
Anordnung gültig:
ρ(r)
ε0
∇×E=0
∇·E=
ρ0 (r0 )
ρ(−r0 )
=
ε0
ε0
0
0
→ ∇ × E =0
→ ∇0 · E0 =
Diese Gleichungen werden erfüllt von E0 (r0 ) = −E(−r0 ), da
∇0 · (−E(−r0 )) = −(∇ · E)(−r) · (−1) = (∇ · E)(−r0 ) =
ρ(−r0 )
ε0
E ist ein polarer Vektor (wie Ortsvektoren), d.h. die Richtung kehrt sich bei Inversion
um.
∇·B=0
→ ∇0 · B0 =0
∇ × B = µ0 j(r) → ∇0 × B0 =µ0 (j0 (r0 )) = µ0 (−j(−r0 ))
Diese Gleichungen werden erfüllt von B0 (r0 ) = B(−r0 ), da
∇0 × (B(−r0 )) = ∇ × B|r=r0 · (−1) = −µ0 j(−r0 )
B ist ein pseudovektor oder axialer Vektor, d.h. die Richtung bleibt bei Inversion
gleich
Beispiel 3.8 (geladener Draht)
Beispiel 3.9 (stromführender Draht)
Wegen der Symmetrie gilt außerdem in diesen beiden Beispielen ρ0 = ρ,
j0 = −j
E0 (r) = E(r), B0 (r) = −B(r)
E(−r) = −E(r), −B(−r) = B(r)
E zeigt radial, B zeigt azimutal. Dies rechtfertigt also die Annahmen E(r) = E(r)er
beim Gaußschen Satz und B(r) = B(r)eϕ beim Stokesschen Satz für den geraden
Leiter
4 FOURIERTRANSFORMATION
49
4 Fouriertransformation
Betrachte Funktion f (x), x ∈ R, f (x) ∈ C
Definition 4.1 (Fouriertransformation)
Z ∞
˜
f (x)e−ikx dx
f (k) =
−∞
Definition 4.2 (Inverse Fouriertransformation)
Z ∞
1
f (x) =
f˜(k)e+ikx dx
2π −∞
Es gibt unterschiedliche Konventionen für die Exponenten und Vorfaktoren. In Mathematica:
Z ∞
1
˜
f (x)eikx dx
f (k) = √
2π −∞
Z ∞
1
f (x) = √
f˜(k)e−ikx dx
2π −∞
4.1 Fourierdarstellung der Delta-Funktion
Z ∞
1
f (x) =
f˜(k)eikx dk
2π −∞
Z ∞
Z ∞
1
0
dx0 f (x0 )eik(x−x )
dk
=
2π
−∞
Z ∞ −∞
Z ∞
1
0
0
0
=
dx f (x ) ·
dk eik(x−x )
2π −∞
−∞
Z ∞
1
0
⇒ δ(x − x0 ) =
dk eik(x−x )
2π −∞
4.2 Dreidimensionale Transformation
f (r) → f˜(k) =
Z
1
f (r) =
(2π)3
Z
d3 r f (r)e−ik·r
d3 k f˜(k)eik·r
50
4 FOURIERTRANSFORMATION
4.3 Ableitung mittels Fouriertransformation
df (x)
d
=
dx
dx
Die Fouriertransformierte von
Z
dk
f˜(k)eikx
=
2π
df
dx
ist ik f˜
Z
dk
f˜(k) · (ik)eikx
2π
4.4 Anschauliche Bedeutung
Zerlegung in Frequenzen bzw. Wellenunterschiedlicher Wellenlängen
Beispiel 4.3
Akustische Signal aus 2 Dauertönen mit Frequenzen ν1 , ν2 und Phasendifferenz ϕ:
f (t) = A1 sin(ω1 t) + A2 sin(ω2 t + ϕ)
mit Kreisfrequenz ω1 = 2πν1 , ω2 = 2πν2 . Fouriertransformation mit umgkehrten Vorzeichenkonvention:
Z ∞
˜
f (t)e+iωt dt
f (ω) =
−∞
Z ∞
=
(A1 sin ω1 t + A2 sin(ω2 t + ϕ))eiωt dt
Z−∞
∞ 1 iω1 t+iωt
1 iω2 t+iωt iϕ
−iω1 t+iωt
−iω2 t+iωt −iϕ
=
A1
e
−e
+ A2
e
e −e
e
dt
2i
2i
−∞
1
1
= A1 2π (δ(ω + ω1 ) − δ(ω − ω1 )) + A2 2π δ(ω + ω2 )eiϕ − δ(ω − ω2 )e−iϕ
2i
2i
“Leistungsspektrum”
|f˜(ω)|2 = π 2 |A1 |2 δ(ω + ω1 )2 + δ(ω − ω1 )2 + π 2 |A2 |2 δ(ω + ω2 )2 δ(ω − ω2 )2
Das Spektrum zeigt, aus welchen Frequenzen f (t) aufgebaut ist. Die umgekehrte Transformation bildet eine Superposition der verschiedenen Schwingungen:
Z ∞
1
f (t) =
f˜(ω)
e−iωt dω
|{z}
|{z}
2π
−∞
|{z}
“Gewicht” Schwingung
Superposition
5 STATISCHE FELDER IN MATERIE
51
5 Statische Felder in Materie
5.1 Elektrostatik in Materie
Betrachte Materie in einem äußeren Feld: Feld induziert (viele) Dipolmomente (Ladungsverschiebung, “Influenz”) Unterschiede zwischen:
• freie Ladungsdichte ρf
• Polarisationsladungsdichte (/gebundene Ladungsdichte) ρp
• Tatsächliche Ladungsdichte ρges = ρf + ρp
Definition 5.1 (Polarisation)
Die Polarisation P gibt Stärke des Dipolmoments in einem Volumen V ( in einem
dielektrischen Material4 ) an
Dipolmoment
P=
Volumen
Gesucht: Zusammenhang zwischen Polarisation P und ρp . Potential:
1
φ(r) =
4πε0
Z
d3 r0
ρf (r0 )
|r − r0 |
| {z }
1
−P(r0 ) · ∇
|r − r0 |
|
{z
}
!
erzeugt von den
erzeugt von den
freien Ladungen Dipolmomenten p· d3 r0
∇ · E = − ∇2 φ
Z
1
1
3 0
0
2
0
2
=−k
d r ρf (r )∇
− P(r ) · ∇∇
|r − r0 |
|r − r0 |
Z
=−k
d3 r0 [ρf (r0 )(−4πδ(r − r0 )) − P(r0 ) · ∇(−4πδ(r − r0 ))]
P(r0 ) · ∇(−4πδ(r − r0 )) = −4πP(r0 · ∇0 δ(r − r0 ))
= −4π∇0 (P(r0 )δ(r − r0 )) + 4π (∇0 · P) δ(r − r0 )
=
1
ρf (r) − ∇ · P(r)
ε0
Vergleich mit ∇ · E =
1
ρ
ε0 ges
⇒ ρges = ρf − ∇ · P
kommt da nicht ein vorfaktor ε0 rein
4
Material, welches Dipolmomente ausbilden kann
52
5 STATISCHE FELDER IN MATERIE
Die Polarisationsladungsdichte (bzw. gebundene Ladungsdichte) ist die negative Quelle
der Dipolmomente in einem Volumen
ρp = −∇ · P
∇ · (ε0 E + P) = ρf
Definition 5.2 (dielektrische Verschiebung (oder elektrische Flussdichte))
D = ε0 E + P
→
∇ · D = ρf
Dabei ist D eine Hilfsgröße. Das E-Feld ist die physikalisch “relevante” Größe, da es
Kräfte auf Ladungen angibt
5.1.1 Spezialfälle
lineares Medium
P = χε0 E
wobei χ ein Tensor ist. D.h. P muss nicht parallel zu E sein. Ein Medium ist linear für
nicht zu starke Felder
lineares und isotropes Medium
P = χε0 E
D.h. P k E mit χ = elektrische Suszeptibiltität (skalar)
• D = ε0 E + P = ε0 (1 + χ)E
• Definiere relative Dielektrizitätskonstante εr = 1 + χ
• D = ε0 εr E = εE
5.2 Elektrostatische Energie
Für lineares, isotropes Medium gilt (ohne Beweis)
Z
1
W =
E · D d3 r
2
weiteres im offiziellen Skript, ab S.60; 5 Vorlesungen
5 STATISCHE FELDER IN MATERIE
5.3 Magnetostatik in Materie
5.4 Magnetfelder an Grenzflächen
53
54
6 ELEKTRODYNAMIK
6 Elektrodynamik
Bisher: Besaßen die (statischen) elektrischen Felder und (statischen) magnetischen Felder keinerlei Kopplung
∇×E=0
ρ(r)
∇·E=
ε0
; ∇ × B = µ0 j(r)
∇·B=0
;
Jetzt: zeitabhängige Felder E(r, t), B(r, t) führen zur Kopplung zwischen E und B
6.1 Faradaysches Induktionsgesetz
Empirisch gilt: (Induktion)
I
d
E · dr = −
dt
C(A)
Z
B · dA
A
Für feste Fläche A: (Stokesscher Satz)
Z
Z
∇ × E · dA = −
A
A
∂B
· dA
∂t
Gültig für beliebige Flächen:
∇×E=−
∂B
=: −Ḃ
∂t
• HVeränderliche Magnetfelder erzeugen elektrische Wirbelfelder und Spannung U =
E · dr
C
• Lenzsche Regel: E-Feld ist so gerichtet, dass der induzierte Strom die B-Feldänderung
abschwächt
Das Induktionsgesetz in der Form
d
U =−
dt
Z
B · dA
A
gilt aber auch für zeitabhängige (bewegte) Flächen A. Induktion kann also bei bewegter
Leiterschleife in einem homogenen B-Feld auftreten. U ist die in der Leiterschleife
induzierte Spannung (vgl. Generator)
6 ELEKTRODYNAMIK
55
6.2 Maxwellscher Verschiebungsstrom
Annahme: ∇ × B = µ0 j (wie in Magnetostatik). Dann:
0 = ∇ · (∇ × B) =∇ · µ0 j
Kontinuitätsgleichung: ∇j = − ∂ρ
∂t
∂ρ
∂t
∂ρ
⇒
=0
∂t
= − µ0
Das bedeutet aber, dass keine Änderung von ρ möglich ist → Widerspruch!
Maxwells Vorschlag war es, dass gilt: (mit Ė =
∂E
)
∂t
∇ × B = µ0 j + µ0 ε0 Ė
Dann:
0 = ∇ · (∇ × B) =∇ · µ0 j + ∇µ0 ε0 Ė
∂ρ
∂
= − µ0
+ µ 0 ε0 ∇ · E
∂t
∂t
∂ρ
∂ ρ
= − µ0
+ µ0 (ε )) = 0
∂t
∂t ε0
ε0 Ė nennt man Verschiebungsstromdichte
Bestätigung der modifizierten Gleichung wurden durch Experimente erreicht. Dadruch
bekommen die Maxwellgleichungen folgende endgültige Form
homogene Gleichungen:
∇·B=0
∇ × E + Ḃ = 0
inhomogene Gleichungen:
ρ
ε0
∇ × B − µ0 ε0 Ė = µ0 j
∇·E=
In Materie können die Gleichungen mit Hilfe von D und H formuliert werden zu: (mit:
D = ε0 E + P; B = µ0 (H + M))nachvollziehen
∇ × E + Ḃ = 0
; ∇ × H − Ḋ = jf
56
6 ELEKTRODYNAMIK
∇ · D = ρf
;
∇·B=0
Anschauliche Bedeutung der Zeitableitungen:
• Veränderliches Magnetfeld erzeugt elektrisches Wirbelfeld
• Veränderliches elektrische Feld erzeugt magnetische Wirbelfeld
6.3 Potentiale
∇ · B = 0, d.h. B hat keine Quellen (“transversales Feld”). → Es existiert ein Vektorpotential A, so dass
B=∇×A
Einsetzten in Maxwellgleichung
0 = ∇ × E + Ḃ
0 = ∇ × E + ×Ȧ = 0
0 = ∇ × (E + Ḃ)
Das heißt, dass E + Ȧ keien Wirbel hat. Es ist ein “longitudinales Feld”. Es existiert
ein Skalarpotential φ mit E + Ȧ = −∇φ
E = −∇φ − Ȧ
Es ist zu beachten, dass φ, A nicht eindeutig festgelegt sind. Es gibt Eichtransformationen mit einem beliebigen Skalarfeld χ
A0 = A + ∇χ
φ0 = φ − χ̇
B0 = ∇ × A0 = ∇ × (A + ∇χ) = ∇ × A = B
E0 = −∇φ0 − Ȧ0 = −∇φ − Ȧ + ∇χ̇ − ∇χ̇ = E
| {z } | {z }
=E
=0
Felder E, B ändern sich bei einer Eichtransformation nicht. Festlegung auf eine bestimmte Wahl von A, φ heißt Eichung.
6 ELEKTRODYNAMIK
57
6.3.1 Wichtige Eichungen
Coulomb-Eichung A erfüllt Bedingung ∇ · A = 0
Lorenz-Eichung A, φ erfüllen ∇ · A + µ0 ε0 φ̇ = 0
Beispiel 6.1 (Homogenes Magnetfeld B = Bez )
A ist definiert
für dasVektorpotential sind:  
  durch B =∇ × A.
 Mögliche Wahl 
0
By
−By
x
1
1






0
A1 = Bx oder A2 =
oder A1 = − 2 −Bx = − 2 r × B mit r = y 
0
0
0
z
A1 , A2 , A3 erfüllen Columbeichung:
∇ · A1 = ∂y (Bx) = 0
∇ · A2 = ∂x (−By) = 0
1
∇ · A3 = − (∂x (By) − ∂y (Bx)) = 0
2

  
0
Bx



Betrachte A4 = Bx + By 
0
0


∂y 0
−∂z (Bx + By)
 = Bez = B
∂z Bx
−∂x 0
∇ × A4 = 
∂x (By + Bx)
−∂y Bx
A4 ist also ein mögliches Vektorpotential


Bx
∇ · A4 = ∇ · By  = ∂x (Bx) + ∂y (By) = B + B =
6 0
0
A4 ist erfüllt aber nicht die Coulombeichung Graphen der Vektorpotentiale
Anmerkung zu Zeitableitungen Die Schreibweise mit Punkt, z.B. Ḃ, ist hier gleich∂
, da Ort und Zeit unabhängige Variablen
zusetzen mit der partiellen Zeitableitung ∂t
∂
sind: Ḃ(r, t) = ∂t B(r, t). In anderen Gebieten der Physik werden oft impllizite Zeitabhängigkeiten betrachtet, z.B. die Dichte ρ an einem Ort r(t), der die Position eines
bewegten Teilchen angibt: ρ(t) = ρ(r(t), t), wobei ρ(r, t) die orts- und zeitabhängige
Dichte ist. In diesem Fall wäre dρ
= (∇ρ) · ṙ + ρt 6= ∂ρ
und es wäre wichtig zu beachten,
dt
∂t
ob mit dem Punkt die totale oder partielle Zeitableitung gemeint ist.
58
6 ELEKTRODYNAMIK
6.4 Differentialgleichungen für die Potentiale
6.4.1 Coulomb-Eichung
Coulomb-Eichung ∇ · A = 0 und E = −∇φ − Ȧ folgt
∇ · E = −∇2 φ − ∇ · Ȧ = −∇2 φ
Mit der Maxwellgleichung: ∇ · E =
ρ
ε0
folgt dass gilt:
∇2 φ = −
ρ
ε0
Also die Poisson-Gleichung, wie in der Elektrostatik
Gesucht ist nun noch eine Gleichung für A:
∇ × B = ∇(∇ · A) − ∇2 0A
= −∇2 A
(6.1)
∇ × B = µ0 j + µ0 ε0 Ė
= µ0 j + µ0 ε0 (−∇φ̇ − Ä)
(6.2)
Aus (6.1) und (6.2) folgt
−∇2 A = µ0 j − µ0 ε0 (∇φ̇ + Ä)
(6.3)
−∇2 A = µ0 j − µ0 ε0 ∇φ̇ − µ0 ε0 Ä
(6.4)
2
µ 0 ε0
∂
A − ∇2 A = µ0 j − µ0 ε0 ∇φ̇
∂t2
Definition 6.2
(wird sich später als Lichtgeschwindigkeit herausstellen)
c := √
→
1
ε0 µ 0
1 ∂2
1
2
− ∇ A = µ0 j − 2 ∇φ̇
2
2
c ∂t
c
Definition 6.3 (d’Alembert-Operator bzw. “Box-Operator”)
:=
1 ∂2
− ∇2
c2 ∂t2
Achtung: Definition mit anderen Vorzeichen ist ebenfalls gebräuchlich:
∂2
2
:= − c12 ∂t
2 + ∇
(6.5)
6 ELEKTRODYNAMIK
59
→ A = µ0 j −
1
∇φ̇
c2
˙ ausgehen von ∇2 φ folgt z.B. das Potential φ(r, t) =
Bestimme rechten Term − c12 ∇phi
R ρ(r0 ,t) 3 0
dr
4πε0 |r−r0
Z
1
ρ̇(r0 , t)
1
d3 r0
∇
φ̇
=
∇
c2
c2
4πε0 |r − r0 |
Z
∇0 · j(r0 , t) 3 0
µ0
(Kontinuitätsgleichug) = − ∇
d r =: µ0 jl
4π
|r − r0 |
mit der longitudinalen Stromdichte jl
→ A = µ0 jt
wobei:
jt = j − jl = transversale Stromdichte
(inhomogene Wellengleichungen für Ax , Ay , Az )
Theorem 6.4 (Helmholtz-Theorem)
Jedes Vektorfeld v kann in einen longitudinalen Anteil
Z
∇0 · v(r0 ) 3 0
1
dr
vl (r) = − ∇
4π
|r − r0 |
und in einen transversalen Anteil
1
vt (r) =
∇×
4π
Z
∇0 × v(r0 ) 3 0
dr
|r − r0 |
zerlegt werden, wenn v für r → ∞ genügend schnell gegen null geht
Vorteil der Coulomb-Eichung: einfache Gleichung für φ (∇2 φ = − ερ0 ); im Vakuum
(ρ ≡ 0) kann φ ≡ 0 gesetzt werden. NOCHMAL ANGUCKEN
Nachteile der Coulomb-Eichung: kompliziertere Gleichung für A und nicht invariant
unter LorentztransformationWICHTIG
6.4.2 Lorenz-Eichung
∇ · E = −∇2 φ − ∇ · Ȧ
Bei Lorenz-Eichung soll gelten: ∇ · A +
1
φ̇
c2
=0
= −∇2 φ +
1
φ̈
c2
60
6 ELEKTRODYNAMIK
Maxwellgleichung besagt: ∇ · E =
ρ
ε0
ρ
1
= 2 φ̈ − ∇2 φ
ε0
c
ρ
φ =
ε0
Dies ist eine inhomogene Wellengleichung
∇ × B = ∇(∇ · A) − ∇2 A
Bedinung der Lorenz-Eichung: ∇ · A +
1
φ̇
c2
=−
1
∇φ̇ − ∇2 A
c2
Maxwellgleichung besagt: ∇ × B = µ0 j +
µ0 j +
=0
1
Ė
c2
1
1
Ė = − 2 ∇φ̇ − ∇2 A
2
c
c
1
1
µ0 j = − 2 ∇φ̇ − 2 Ė − ∇2 A
c
c
1
= 2 Ä − ∇2 A = µ0 j
c
A = µ0 j
Dies sind drei inhomogene Wellengleichungen
Vorteile der Lorenz-Eichung:
• “symmetrische” Gleichung für φ, A
• lorentzinvariant
• Wellengleichungen verdeutlichen endliche Ausbreitungsgeschwindigkeitsehe ich
nicht
6.5 Feldenergie und Poynting-Vektor
Annahme: Vakuum oder lineares, isotropes Medium, d.h. D = εE, B = µH
Dann ist die Kraft auf eine Punktladung q die Lorentzkraft F = q(E + v × B)
Die Arbeit pro Zeit, d.h. Leistung, die die Felder an der Punktladung verrichten lautet
dW
F · dr
=
=F·v =q·E·v
dt
dt
da (v × B) · v = 0 wegen v × B ⊥ v warum stehen die senkrecht?
6 ELEKTRODYNAMIK
61
Definition 6.5 (Leistungsdichte)
Arbeit, die von dne Lorentzkräften pro Zeit und Volumen an einer Ladungsdichte ρ
verrichtet wird
dQE · v
dW
=
= ρE · v = j · E
dV dt
dV
Die Gesamte Leistung beträgt dann im Volumen V :
Z
dW
j · E d3 r
=
dt
V
Mit der Maxwellgleichung ∇ × H − Ḋ = j ergibt sich:gibt’s die wirklich
j · E = (∇ × H − Ḋ) · E
= (∇ × H) · E − Ḋ · E
= E · (∇ × H) − Ḋ · E + Ḃ · H − Ḃ · H
= ∇ · (H × E) − Ḋ · E − (∇ × E) ·H − Ḃ · H
| {z }
˙
=−B
Da B = µH folgt, dass Ḃ · H = B · Ḣ (D, E analog)
1
1
Ḋ · E + D · Ė −
Ḃ · H + B · Ḣ
2
2
1∂
1∂
= −2∇ · (E × H) −
(B · H) −
(D · E)
2 ∂t
2 ∂t
= −∇ · (E × H) − ∇ · (E × H) −
Definition 6.6 (Energiedichte)
w=
1
(H · B + E · D)
2
Definition 6.7 (Poynting-Vektor bzw. Energiestromdichte)
S=E×H
Theorem 6.8 (Poyntingsches Theorem)
j(r, t) · E(r, t) = −∇ · S(r, t) −
∂w(r, t)
∂t
wo ist die 2
Falls keine Arbeit an Ladungen verrichtet wird (z.,B. wenn ρ = 0), dann gilt j · E = 0
und ∂w
+ ∇ · S = 0 (Kontinuitätsgleichung für Energiedichte)
∂t
Beispiel 6.9 (Stromdurchflossener Draht mit Widerstand R)
0I
Unmittelbar am Draht gilt: E = Ul , B = µ2πr
. Dabei zeigt der Poynting-Vektor S =
E × H radial nach innen und es gilt
|S| =
U
I
P
Leistung
·
=
=
l 2πr
2πrl
Oberfläche
62
6 ELEKTRODYNAMIK
Energie pro Zeit, die durch die Leiterobefläche fließt:
|S| · A = |S| · 2πrl = P
Anschauliche Erklärung: elektromagnetische Enerrgie fließt ins Innere des Drahtes und
wird dort in Wärme umgewandelt
6.6 Feldimpuls
Ohne Beweis: Elektromagnetisches Feld trägt
Impuls
= g =D×B
Volumen
R
D.h. der Gesamtimpuls des Feldes im Volumen V ist G = V g d3 r . Der Impulserhaltungssatz lautet:
Z X
3
d
∂j Tij d3 r
(P + G)i =
dt
V j=1
Impulsdichte =
für die i-te Komponente des Gesamtimpulese P + G. Hierbei
ist P der gesamte mechaR
nische Impuls im Volumen V (und erfüllt Ṗ = F = V ρ(E + v × B) d3 r ) die drei
fragezeichen und Tij sind die Elemente des Maxwllschen Spannungstensors
Tij = −wδij + Ei Dj + Bi Hj
Das elektromagnetische Feld trägt auch einen Drehimpuls. Drehimpulsdichte: lF =
r × g = r × (D × B) angucken!
6.7 Elektromagnetische Wellen
Betrachte den ladungsfreien Raum: ρ = 0, j = 0. Es ist günstig, die Potentiale in der
Coulombeichung zu bestimmen
∆φ = 0
ladungsfreier Raum
→
φ≡0
(Es wurde die Randbedingung φ(∞) = 0 verwendet)
Das Vektorpotential ist: (Wellengleichung für A)
A = µ0 jt = 0
(6.6)
Eine mögliche Lösung: (mit ω = ck, k = |k|)
A(r, t) = A0 ei(k·r−ωt)
(6.7)
Die Lösung in die Gleichung (6.6) eingesetzt (unter der Berücksichtigung der Definition
2
des d’Alembert-Operators) ergibt muss das nicht −k sein∇2 A = −k 2 A und
2
1 ∂
A = − c12 ω 2 A. Somit ist gezeigt, dass es eine mögliche Lösung ist.
c2 ∂t2
6 ELEKTRODYNAMIK
63
Wegen der Coulomb-Eichung muss außerdem gelten: ∇ · A = 0. Angewendet auf die
mögliche Lösung (6.7):
k·A=0
k⊥A
Das heißt, dass A senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zeigt (→ “Transversalwelle”)
Wie sehen die Wellenfronten aus (Orte mit gleicher Auslenkung)? → Wellenfronten
erfüllen k · r − ωt = const; dies ist die Gleichung für eine Ebene. Also sind die Lösungen
A = A0 ei(k·r−ωt) ebene Wellen
Betrachte (skalare) Projektion rk von r auf k̂ :=
k
|k|
: rk = r · k̂
• Es gilt k · r = k · rk und somit k rk − ωt = const für Wellenfront
• → rk =
ωt
k
+
const
k
• Wellenfront breitet sich mit Geschwindigkeit
ω
k
= c aus
Definition 6.10 (Phasengeschwindigkeit)
v = c · k̂ =
ω
k̂
k
Elektromagnetische Felder: ein großes Fragezeichen auf Seite 73
6.7.1 Anmerkungen zum Rechnen mit komplexen Feldern
• möglich, wenn die Gleichungen reel und linear sind, z.B. hat E = 0 die Lösungen
E1 (r, t) = E0 cos(k · r − ωt) und E2 (r, t) = E0 sin(k · r − ωt) und somit ist auch
die Linearkombination
E = E1 + iE2 = E0 ei(k·r−ωt)
formal eine Lösung
• leichteres Rechnen
• nur der Realteil der komplexen Felder aht physikalische Bedeutung
• bei nichtliniearen REchenoperationen muss vorher der Realtiel genommen werden, z.B. ist der elektrische Anteil der Energiedichte:
1
Vakuum 1
ε0 <2 (E)
wel = <(E) · <(D) =
2
2
64
6 ELEKTRODYNAMIK
6.7.2 Energiedichte für ebene Wellen im Vakuum
w = wel + wmag
ε0
1 2
= <2 (E) +
< (B)
2
2µ0
Da gilt |E| = c · |B|
1
ε0 2
< (E) +
<2 (E)
2
2µ0 c2
= 2wel = ε0 <2 (E)
=
= ε0 E20 cos2 (k · r − ωt)
für reelle Amplitude E0
6.7.3 Energiestromdichte
S = <(E) × <(H)
1 k̂ × <(E)
nachvollziehen = <(E) ×
µ0 c
c
<2 (E)k̂
=
µ 0 c2
S = cwk̂
Die Energiedichte w wird also mit der Geschwindigkeit c in Richtung k̂ transportiert
6.8 Polarisation ebener Wellen
Betrachte E(r, t) = E0 eik·r−iωt und B(r, t) = B0 eik·r−iωt
Der einfachster Fall stellt sich ein, wenn sowohl E0 als auch B0 reel sind (ohne Phasenverschiebung; nur unterschiedliche Amplituden). Dies ist dann ein linear polarisiertes
Feld, da die Richtung von <(E) konstant ist (→ Polarisationsachse)
Betrachte jetzt E0 , B0 komplex. Z.B. für k = ez :


|E0x |ei(α+δ)
E0 =  |E0y |eiα 
0
6 ELEKTRODYNAMIK
65
1. Fall δ = nπ, n ∈ Z Dann ist das Feld linear polarisiert


±|E0x |
E =  |E0y |  eik·r−iωt+iα
0
2. Fall δ = ± π2 und |E0x | = |E0y | =: E0 . Dann gilt:
 ±i π 
e 2

1  eik·r−iωt+iα
E = E0
0
und man nennt das Feld zirkular polarisiert. Genauer wenn
(
rechtszirkular
π ·1
δ=
2 ·(−1) linkszirkular
3. (allgemeiner) Fall δ, |E0x |, |E0y | sind beliebig. So nennt man das Feld elliptisch
polarisiert
6.9 Lösung mit Quellen, Retardierung
Betrachte Elektrodynamik in Anwesenheit von Ladungen und Strömen (ρ 6= 0, j 6= 0).
Verwende Lorenz-Eichung, also ∇ · A + c12 φ̇ = 0
ρ
A = µ0 j, φ = warum
ε0
Anschauliche “Herleitung” der Lösung: Für statische Verteilung ρ, j gilt:
Z
ρ(r0 ) 3 0
1
dr
φ(r) =
4πε0
|r − r0 |
Z
µ0
j(r0 ) 3 0
A() =
dr
4π
|r − r0 |
für zeitabhängige Verteilungen ist die endliche
Ausbreitungsgeschwindigkeit c zu be|r−r0 |
0
0
achten. Laufzeit von r nach r ist t − t = c . Es folgen die
Retardierten Potentiale
Z ρ r0 , t − |r−r0 |
c
1
φ(r, t) =
d3 r0
0
4πε0
|r − r |
Z j r0 , t − |r−r0 |
c
µ0
A(r, t) =
d3 r0
0
4π
|r − r |
erfüllen Wellengleichung und die Lorenz-Eichung. (Überprüfung erfolgt durch Einsetzen)
66
6 ELEKTRODYNAMIK
6.10 Feld einer oszillierenden Quelle (Antenne)
Oszillation: ρ(r, t) = ρ0 (r)e−iωt ;
j(r, t) = j0 (r)e−iωt
φ(r, t) = φ0 ()e−iωt
∧
A(r, t) = A0 (r)e−iωt
(Andere Schwinungsformen können aus diesen zusammengesetzt werden durch Superposition)
Z
0
1
ρ0 (r0 ) eik|r−r | 3 0
φ0 (r) =
dr
4πε0
|r − r0 |
Z
0
j0 (r0 ) eik|r−r | 3 0
µ0
dr
A0 (r) =
4π
|r − r0 |
mit k =
ω
c
Betrachte Fernzone - also weit außerhalb der Strahlungsquelle - r r0
1
1
0 ≈
|r − r |
r
Z
µ0 1
0
⇒ A(r, t) =
j0 (r0 )eik|r−r | d3 r0 e−iωt
4π r
warum e−iωt
6.10.1 Spezialfall: elektrische Dipolstrahlung
0
Die elektrische Dipolstrahlung bezeichnet die Strahlung für kr0 1i
eik|r−r | ≈ eikr
(“Dipolnäherung”). Dies gilt, wenn Abmessungen der Quelle Wellenlänge
Z
µ0 eikr−iωt
A(r, t) =
j0 (r0 ) d3 r0
4π r
µ0 eikr−iωt
p˙0
=
4π r
mit Dipolmoment p0 =
R
rρ0 d3 r wieso
da zum Beispiel für x Komponente:
Z
Z
3
j0,x d r = j0 · ex d3
Z
= j0 · (∇x) d3 r
Z h
=
∇ · (j0 x)
| {z }
→0 wegen Gaußschem Satz,
endliche Quelle
i
−x(∇ · j0 ) d3 r
6 ELEKTRODYNAMIK
67
warum wird aus j0 ein j; warum kommt ein exp-term hinzu
Z
x(∇ · j) d3 r · eiωt
Z
iωt
(Kontinuitätsgl.) = e
xρ̇ d3 r
=−
jetzt ist das exp wieder weg. nur ist jetzt der vorfaktor des exp
dadrin; ρ → ρ0 ?
Z
=
x · (−iω) · ρ0 d3 r = −iωp0
Dies ist eine Kugelwelle. Es gilt |<A| ∼
1
r
und winkelunabhängig
6.10.2 Elektromagnetisches Feld
was soll das folgende?
µ0 ω
eikr−iωt
B=∇×A=
(k × p0 )
4π
r
∇ × B = µ0 ε0 Ė = −iωc2 E
eikr−iωt
µ 0 c2 E=
p0 k 2 − k(k · p0 )
r }
|4π
{z
} | {z
richtungsabhängige Amplitude Kugelwelle
r
.
r
Es gibt keien Kugelwelle, dessen Ausbreitungsrichtung senkrecht auf
mit k = k ·
dem E-Feld stehte - die also E ⊥ k erfüllt - also auch “E richtungsunabhängig” erfüllt
(→ Hairy-Ball-Theorem)
Eine “Dipolantenne” erüllt nicht die Dipolnäherung
6.11 Punktladung auf vorgegebener Bahn
Teilchenbahn: r0 (t)
Ladungsdichte: ρ(r, t) = qδ(r − r0 (t))
Stromdichte: j(r, t) = q r˙0 δ(r − r0 (t)), da j = ρvgilt dies wirklich
Einsetzten in die retardierten Potentiale φ, A ergibtt nach Integration die LiénardWiechert-Potentiale
q 1
1
φ(r, t) =
4πR ε0 1 − n·v
c
ret
q
1
A(r, t) =
µ0 v
4πR
1 − n·v
c
ret
mit R = |r − r0 (t0 )|,
˙ 0 ),
v = r0 (t
n(t0 ) =
r−r0 (t0 )
|−r0 (t0 )|
68
6 ELEKTRODYNAMIK
0
berechnet zur retardierten Zeit t0 , welche die Retardierungsbedinung t0 − t + r−rc0 (t ) = 0
erfüllt
Das elektrische Feld ergibt sich zu hab ich auch noch nicht unbedingt
verstanden
1
q
E=
3
4πε0 R (1 −
n·v 3 )
c
1
· (R − Rβ) + 2 R × (R − Rβ) × β̇
| {z } |c
ret
{z
}
Nahfeld
|E|∼ 12
R
mit β =
v
c
B = 1c nret × E
Fernfeld
1
|E|∼ R
7 FORMELSAMMLUNG
69
Literatur
[ug12]
uni goettingen. lp.uni-goettingen.de, 2012. [Online; Stand 7. Februar 2012].
[Wik12] Wikipedia. Kugelflächenfunktionen — wikipedia, die freie enzyklopädie, 2012.
[Online; Stand 6. Februar 2012].
7 Formelsammlung
arsinh := ln(x +
√
x2 + 1)
arcosh := ln(x +
√
x2 − 1)
7.1 Additionstheoreme
(cos z + i sin z)n = cos(nz) + i sin(nz) Satz von Moivre
cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y
(7.1)
(7.2)
sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
tan x + tan y
sin(x + y)
tan(x + y) =
=
1 − tan x tan y
cos(x + y)
tan x − tan y
sin(x − y)
tan(x − y) =
=
1 + tan x tan y
cos(x − y)
(7.3)
(7.4)
x+y
x−y
cos
2
2
x−y
x+y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
x+y
x−y
cos x + cos y = 2 cos
cos
2
2
x+y
x−y
cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
(7.7)
sin x + sin y = 2 sin
1
cos(x − y) − cos(x + y)
sin x sin y =
2
(7.5)
(7.6)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
70
7 FORMELSAMMLUNG
cos x cos y =
1
cos(x − y) + cos(x + y)
2
(7.12)
(7.13)
sin(2x) = 2 sin x cos x
2
cos(2x) = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1 =
tan(2x) =
1 − tan x
1 + tan2 x
2 tan x
2
=
2
1 − tan x
cot x − tan x
(7.14)
(7.15)
r
x
1 − cos x
sin = ±
2
2
r
x
1 + cos x
cos = ±
2
2
r
x
1 − cos x
1 − cos x
sin x
tan = ±
=
=
2
1 + cos x
sin x
1 + cos x
(7.16)
(7.17)
(7.18)
7.1.1 Interessante Stellen des Sinus
sin
1√
1 = 30◦
2
sin
1√
2 = 45◦
2
sin
1√
3 = 60◦
2
7.2 Potenzreihen
∞
X
(−1)n 2n+1
x3 x5
x
=x−
+
− o(x7 )
sin x =
(2n
+
1)!
3!
5!
n=0
cos x =
∞
X
(−1)n
n=0
ex =
∞
X
xn
n=0
ln(x + 1) =
(2n)!
∞
X
n!
x2 x4
+
− o(x6 )
2!
4!
(auch bei x = At)
(−1)n
n=0
x2n = 1 −
xn+1
n+1
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
7.3 e Funktion
ez ln y = y z
x
e = lim
n→∞
x n
1+
n
(7.23)
7 FORMELSAMMLUNG
71
ex = cosh2 x + sinh2 x
(cosh2 − sinh2 = 1)
(7.24)
(7.25)
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
1
sin x = (eix − e−ix )
2i
1
cos x = (eix + e−ix )
2
(7.26)
(7.27)
7.4 Ableitungen
1
cos2
0
sinh = cosh
cosh = sinh
√
1
arcsin arcsin0 = √
arccos0 = − 1 − x2
1 − x2
f (x) = ax
f (x)0 = ax ln a
tan0 =
1
arctan =
1 + x2
0
(7.28)
7.4.1 Nabla
• ∇ × (∇s) = 0
• ∇ · (∇ × v) = 0
• Beachte: Für Skalarfelder gilt: ∇(∇s) = ∆s, aber für Vektorfelder v gilt: ∇(∇v) 6=
∆v
∇ × (sv) = −v × (∇s) + s(∇ × v)
|{z}
s(r)v(r)
• → ∇ · (sv) = s(∇v) + v · (∇s)
• → ∇ × (∇ × v) = ∇(∇v) − ∆v
7.5 Kreuzprodukt
• a × b = −b × a (antikommutativ)
• (a × b) × c = b · (a · c) − c · (a · b) (Graßmann-Identität, abc “BAC-CAB”)
• a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) (Spatprodukt)
72
8 TIPPS UND TRICKS
8 Tipps und Tricks
Invertieren einer 2 × 2 Matrix A =
A
−1
a b
:
c d
1
=
det A
d −b
−c a