Angabe EMF1 SS08

Diplom-Vorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik
Termin Sommersemester 08
Elektromagnetische Feldtheorie 1
Dienstag, 02. 09. 2008, 9:00–10:00 Uhr
Zur Beachtung:
• Zugelassene Hilfsmittel:
– Originalskript zur Vorlesung Elektromagnetische Feldtheorie oder
Elektrodynamik der Fachschaft EI
– 5 Blätter DIN A4 mit eigenen handschriftlichen Aufzeichnungen, keine
Kopien oder Drucke
– Mathematische Formelsammlung
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Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe einen eigenen Bogen !
Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an !
Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet.
Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig
gelöst werden.
1. Aufgabe (13 Punkte)
Ein in z-Richtung unendlich ausgedehnter Zylinder mit dem Radius a ist permanent und
homogen elektrisch polarisiert mit der Polarisation P~ = P0~ex (P0 ∈ R). Der polarisierte
Zylinder erzeugt im ganzen Raum ein elektrostatisches Feld. Überall gilt: = 0 und ρ = 0
(keine Raumladung).
An der Zylinderoberfläche r = a gelten folgende Stetigkeitsbedingungen (in Zylinderkoordinaten):
Φ1 (a, ϕ) = Φ2 (a, ϕ) für 0 ≤ ϕ ≤ 2π
~2 −D
~ 1) = 0
~n · (D
Hierbei bezeichnet der Index 1 den einseitigen Limes von innen an den Zylinderrand r = a,
der Index 2 den einseitigen Limes von außen.
~ dem elek*a) Welchen allgemeinen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vektorfeld D,
trostatischen Potential Φ und der Polarisation P~ ?
*b) Bestimmen Sie die Polarisationsflächenladungsdichte σpol (ϕ) auf der Oberfläche des
Zylinders.
Um das elektrostatische Potential innerhalb und außerhalb des Zylinders (Φ1 und Φ2 ) zu
berechnen, kann folgender Ansatz verwendet werden (in Zylinderkoordinaten):
Φ1 (r, ϕ) = rAf (ϕ) für r < a
B
Φ2 (r, ϕ) = f (ϕ) für r > a
r
f (ϕ) ist hierbei die Winkelabhängigkeit der Verteilung der Polarisationsflächenladungsdichte aus der Teilaufgabe *b); A und B sind Konstanten und r ist die Radialkoordinate
eines Raumpunktes.
c) Bestimmen Sie die Konstanten A und B und berechnen Sie Φ1 und Φ2 . Drücken
Sie anschließend Φ1 und Φ2 in kartesischen Koordinaten aus. Stellen Sie überdies
Φ1 (~r) und Φ2 (~r) koordinatenfrei durch die Terme P~0 · ~r und |~r| dar. Wie heißt ein
Potential der Form Φ2 (~r)?
~ = E(~
~ r ) und D
~ = D(~
~ r) im Inneren des Zylinders an.
d) Geben Sie die Felder E
~ und D
~ (und deren Orientierung) in
e) Skizzieren Sie den Verlauf der Feldlinien von E
der x − y-Ebene innerhalb und außerhalb des Zylinders.
2. Aufgabe (11 Punkte)
Wir betrachten die Maxwellschen Gleichungen in Viererpotentialdarstellung für Medien
mit räumlich konstanter elektrischer Permittivität und magnetischer Permeabilität µ:
div(gradΦ) +
∂
~ = −ρ
divA
∂t
~ + µ
rot(rotA)
~
∂Φ
∂2A
+ µ · grad( ) = µ~j
2
∂t
∂t
∂
*a) Leiten Sie für den stationären Fall ( = 0) die Poissongleichung für das magnetische
∂t
~ = −µ~j her. Verwenden Sie die Coulomb-Eichung.
Vektorpotential ∆A
∂
~ und die magne*b) Wie lassen sich im stationären Fall ( = 0) das elektrische Feld E
∂t
~ in Abhängigkeit von Φ bzw. A
~ darstellen?
tische Induktion B
Gegeben ist nun ein geradliniger Leiter entlang der z-Achse mit kreisförmigen Querschnitt
(Radius b) und magnetischer Permeabilität µ1 . Der Leiter ist von einem nichtleitenden
Material der magnetischen Permeabilität µ2 umgeben (siehe Skizze). Der Leiter ist als
sehr lang anzunehmen, d.h. Randeffekte können vernachlässigt werden.
x
b
j
y
m1
z
m2
Eine stationäre Stromdichte ~j(r) durchfließt den Leiter und verursacht ein Magnetfeld
~ = Hϕ (r)~eϕ (in Zylinderkoordinaten) mit
H

r r2

 j0 ·
für 0 ≤ r ≤ b
−
2 3b
Hϕ (r) =
2

 j0 b · 1
für r ≥ b
6 r
~
*c) Bestimmen Sie ein magnetisches Vektorpotential A(r)
der Anordnung.
~
Beachten Sie: A(r)
ist an der Grenzfläche zwischen den beiden Materialien stetig.
*d) Bestimmen Sie die Stromdichte ~j(r) innerhalb des Leiters. Verifizieren Sie auch, dass
die Stromdichte außerhalb des Leiters verschwindet.
3. Aufgabe (12 Punkte)
In einem quaderförmigen Block der Länge L aus Halbleitermaterial (siehe Skizze, eindimensionales Problem!) befinden sich Löcher mit der Trägerverteilung (Löcherdichte)
x
p(x) = p0 + C · exp −
(1)
Lp
mit p0 = 1013 cm−3 , C = 1017 cm−3 und der Diffusionslänge Lp für Löcher. Außerdem
befinden sich in dem Halbleiterblock ortsfeste ionisierte Gitteratome ( Dotieratome“)
”
mit der Teilchendichte N = 1013 cm−3 . Die spezifische Ladung der Löcher sei +q, die
Ladung eines ionisierten Dotieratoms sei -q mit q > 0 (Elementarladung).
An der Stelle x = 0 werden Elektronen mit der spezifischen Ladung -q injiziert; die resultierende Elektronendichte ist
x
n(x) = C · exp −
,
(2)
Ln
wobei Ln die Diffusionslänge der Elektronen bezeichnet. Zur Vereinfachung nehmen wir
an, dass die Diffusionslängen Ln und Lp denselben Wert haben: Ln = Lp =: LD . Desweiteren gelte: L >> LD . Die Beweglichkeiten µn für die Elektronen und µp für die Löcher
seien homogen, das heißt sie weisen keine x-Abhängigkeit auf. Dasselbe gelte für die Diffusionskonstanten Dn und Dp der beiden Trägersorten. Die Dielektrizitätskonstante des
Halbleitermaterials sei ebenfalls konstant.
*a) Geben Sie die Raumladungsdichte ρ(x) an, die von den Trägerverteilungen der Löcher und Elektronen und den ionisierten Dotieratomen erzeugt wird. Was kann man
hieraus (mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes) für das elektrische Feld E(x) im Halbleiterblock folgern?
*b) Leiten Sie aus den gegebenen Größen Ausdrücke für die Elektronenstromdichte j~n (x)
und die Löcherstromdichte j~p (x) ab (sogenanntes Drift-Diffusions-Modell“).
”
c) Berechnen Sie die Gesamtstromdichte ~j(x) und zerlegen Sie das Resultat in eine
Summe aus Driftstromdichte und Diffusionsstromdichte. Was ergibt sich für die
spezifische elektrische Leitfähigkeit σ(x)?
d) Leiten Sie aus der Stromkontinuitätsgleichung ( Ladungserhaltungsgleichung“) eine
”
Aussage über die Ortsabhängigkeit der Gesamtstromdichte ~j(x) ab. Berechnen Sie
durch Vergleich mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe c) das (konstante) elektrische
Feld im Halbleiterblock ( eingebautes“ E-Feld).
”
e) Skizzieren Sie die Elektronenstromdichte j n (x) und die Löcherstromdichte jp (x) sowie die Gesamtstromdichte j(x) als Funktion von x im Bereich 0 ≤ x ≤ L.
(Es gelte: j~n (x) = jn (x)e~x , j~p (x) = jp (x)e~x , ~j(x) = j(x)e~x .)
Viel Erfolg!