Quantenphysik

Quantenphysik
Plancksches Strahlungsgesetz Das Plancksches Strahlungsgesetz beschreibt das Spektrum der Strahlung des schwarzen Körpers.
Quantenoptik
Elektromagnetische Strahlung
E(ν) =
1
8πhν 3
3
hν/kT
c
e
−1
Nach Planck ist jede Strahlung aus Energiequanten zusammengesetzt. Strahlungsenergie
ist also stats ein ganzzahliges Viefaches der Energie eines Strahlungsquantums. Dieses
Quantum ist frequenzabhängig.
E(λ) =
1
8πhc
λ5 ehc/λkT − 1
E = hν
Lichtgeschwindigkeit c =
√1
0 µ0
≈ 3 × 108 m s−1
Die spektrale Energiedichte (Volumendichte der thermischen Strahlungsenergie innerhalb
eines schwarzen Krpers)
1
8πhν 3
J
ρE (ν)dν =
dν
c3 ehν/kB T − 1
m3
Eine beschleunigte Ladung straht elektromagnetische Energie ab.
ρE (λ)dλ =
8πhc
1
dλ
λ5 ehc/λkB T − 1
Die von einem geladenen Teilchen abgestrahlte Energie kann von anderen geladenen
Teilchen absorbiert werden, auf die das elektromagnetische Feld der ersten Teilchens wirkt.
Plancksche Konstante h = 6.6256 × 10−34 J s
Daher können wir die Wechselwirkung zweier geladener Teilchen als Austausch von Energie ρ (ν) ist die Volumendichte der thermischen Strahlungesenergie innerhalb eines schwarz
E
durch Emission und Absorption von Strahlung beschreiben.
ausgekleideten Hohlraums für das Frequenzintervall [ν, ν + dν]
Kleine λ sind energiereicher (Blau), als grosse (Rot). Die Temperatur definiert eine
Die Strahlung des schwarzen Körpers
Wellenlängenverteilung. Heiss: viele em Wellen mit kleinen λ → blau. Das Maximum
befindet sich an der Stelle, wo die Anzahl der Teilchen in diesem Energiebereich und ihre
Die Energiedichte der Strahlung mit Frequenzen zwischen ν und ν + dν schreibt man als Energie maximal sind.
E(ν)dν, wobei E(ν) die Energiedichte pro Frequenzintervall ist und manchmal monochromatische Energiedichte ganannt wird.
Wiensches Verschiebungsgesetz
Jeder Oszillator kann Strahlungsenergie nur in Beträgen absorbieren oder emittieren,
die seiner Frequenz ν proportional sind.
Die im enzelnen Wechselwirkungsprozess zwischen einem Oszillator und em Strahlung
absorbierte oder emittierte Energie, ist:
E = h ν = ~ω =
hc
λ
Wenn ein Oszillator elektromagnetische Strahlung absorbiert oder emittiert, vergrössert
oder verringert sich dementsprechend seine Energie um den Betrag hν
λmax =
hc
2.8978 × 10−3
=
m·K
kB T
T
λ: Wellenlänge des Strahlenmaximums
Dieses Gesetz sagt aus, dass die Maxima von E(λ) bei verschiedenen Temperaturen
T1 , T2 , T3 , . . . bei Wellenlängen λ1 , λ2 , λ3 ,. . . liegen, so dass λ1 T1 = λ2 T2 = λ3 T3 = . . . ist.
Wir stellen fest, dass mit steigender Tempertur des Körpers das Maximum seiner Energieverteilung in Richtung kürzerer Wellenlängen verschoben wird, was eine Farbänderung des
Körpers bewirkt.
Die Energie atomarer Oszillatoren ist quantisiert.
En = nhν
Boltzmannsches Strahlungsgesetz
Energiedichte der Strahlung des schwarzen Körpers
P = σAT 4
Martin Wirz
1
= 1 für schwarz, = 0 für weiss. Leistung in Watt, die auf einer Seite von der Fläche
Nach der Relativitätstheorie ist die Energie eines Teilchens mit Ruhemasse m0 und dem
A abgestrahlt wird (Wärmestrahlung). T ist die absolute Temperatur der Fäche A, das Impult p
Emissionsvermögen ≤ 1 (= 1 für schwarze Körper). Boltzmann-Konstante σ = 5.67 ×
p
10−8 W m−2 K −4
E = c m2 0 c2 + p2
Intensität
Identisch, falls m0 = 0 ist. Die Beziehung zwischen Energie und Impuls in einer ebenen
elektromagnetischen Well ist die gleiche wie bei einem Teilchen mit Ruhemasse 0. Wenn
eine em Welle emittiert, absorbiert oder gestreut wird, werden sowohl Energie wie auch
Impuls mit den Teilchen, die für den Prozess verantwortlich sind, ausgetauscht. Wenn z.B.
Photoelektrische Emission
ein Elektron aus einer em Welle Energie E absorbiert muss es auch einen Impuls p = E/c
Der Prozess, bei dem Elektronen aus einem Material durch Strahlungseinwirkung freige- absorbieren.
setzt werden, wird photoelektrische Emission oder photoelektrischer Effekt genannt. Die Als Compton-Effekt bezeichnet man einen physikalischen Vorgang, bei dem die Wellenlänge
Elektronenemission wächst mit zunehmender Intensität der Strahlung, die auf die Met- von Photonen nach der Streuung an freien Elektronen um einen Wert ∆λ vergrössert wird.
alloberfläche auftrifft, weil dann auch mehr Energie zur Verfügung steht, um Elektronen Treffen Photonen auf einen Streukörper stossen sie dort elastisch mit freien Elektronen
freizusetzen; es wird aber auch eine charakteristische Abhängigkeit von Frequenz der einfal- und fliegen mit verändertem Impuls weiter. Um die Impulserhaltung zu erfüllen ändert
lenden Strahlung beobachtet. Für jede Substanz gibt es eine minimale oder Schwellenfre- sich jedoch nicht ihre Geschwindigkeit, die mit c konstant bleiben muss, sondern ihre
quenz ν0 der elektromagnetischen Strahlung. Bei Strahlung mit einer Frequenz kleiner als ν0 Masse/Energie über die Wellenlänge. Die Frequenz der gestreuten Strahlung ist kleiner
werden unabhängig von der Intensität der Strahlung keine Photoelektronen erzeugt.Es wird als die Frequenz der einfallenden Strahlung und entsprechend ist die Wellenlänge grösser
diejenige Energie, die ein Elektron benötigt, um aus einem bestimmten Metall auszutreten, als die der einfallenden Strahlung. Es gilt
mit Φ bezeichnet. Wenn das Elektron eine Energei E absorbiert, wird die Diffrenz E − Φ
als kinetische Energie des austretenden Elektrons erscheinen. Ist E kleiner als Φ kann keine
λc = 2.4262 × 10−12 m
Elektonenemission auftreten.
I=
P
= σT 4
A
P =I ·A
[W ]
1
mv 2 = eU0
2
= hν − Φ0
λ0 − λ = λc (1 − cosΘ)
Ekin = E − Φ = hν − Φ =
Ekin,max
mit Φ0 als Austrittsenergie des Metalles.
Photonenfluss Γ:
Photonen
P
P
P
,
=
=
Γ=
hν
sek
E
hc/λ
mit P = Eν
[W ] Leistung.
1
λc
1
=
(1 − cosΘ)
−
ν0
ν
c
1
1
1
−
=
(1 − cosΘ)
0
E
E
me c2
−1 s
E: Energie
Streuung von Strahlung durch freie Elektronen und Compton Effekt
Eine elektromagnetische Welle transportiert ausser Energie auch noch Impuls.
E und E 0 sind die Energien des Teilchens mit Ruhemasse Null vor und nach dem Stoss.
p = E/c und p0 = E 0 /c sind die zugehörigen Werte des Impulses. Wenn pe den Impuls des
Elektrons nach dem Stoss bezeichnet, so ergibt sich aus Energie- und Impulssatz p = p0 + pe
Für Energie gilt
hν = hν 0 +
E = c·p
Damit ist der Impuls eines Photons
hν
h
E
p = mph c =
=
=
= ~k
c
λ
c
Martin Wirz
me v 2
2
Für Impuls gilt
hν
hν 0
=
+ me v
c
c
2
Für jedes Teilchen (Photon, Elektron, Mensch) gilt
λ=
h
p
p : Impuls
damit kann die Wellenlänge einer Welle in den Impuls des entsprechenden Teilchens (zb
Photonimpuls) umgewandelt werden.
Compton Effekt
Der Comptoneffekt läuft in zwei Schritten ab: Zuerst wird ein Photon mit der Energie hν
von dem Elektron absorbiert, und später emittiert das Elektron ein Photon der Energie hν 0 .
Das Elektron gewinnt
eine kinetische Energie Ek = E − E 0 und einen Impuls pe = p − p0 ,
p
2
die durch Ek = m 0 c2 + p2 − m0 c2 miteinander verknüpft sind, wie es von der Erhaltung
von Energie und Impuls gefordert wird.
Wenn eine em Welle mit einem geladenen Teilchen in Wechselwirkung tritt, entsprechen
die bei dem Prozess ausgetauschten Beträge der Energie und des Impulses denen eines
Photons.
Man kann sich em Wechselwirkungen als das Ergebnis eines Austausches von Photonen
zwischen wechselwirkenden geladenen Teilchen vorstellen.
Photonen
• Die Streuung elektromagnetischer Strahlung durch ein freies Elektron kann als
Stossprozess zwischen dem Elektron und einem Teilchen der Ruhemasse Null Aufgefasst
werden.
• Die elektromagnetische Strahlung spielt die Rolle des Teilchens mit der Ruhemasse
Null, das wir der Kürze halber ”‘Photon”’ nennen wollen.
• Die Energie und der Impuls des Teilchens mit der Ruhemasse Null (oder des Photons) stehen mit der Frequenz und der Wellenlänge der em Strahlung in Beziehung
entsprechend E = hν = ~ω und p = λh
• Die Masse eines Photons beträgt mph =
hν
c2
=
h
cλ
Teilchen-Wellen dualismus
Teilchen und Wellen sind über die Brogli Beziehung miteinander verknn̈upft. BroglieWellenlänge eines Teilchens, Materialwelle:
~ = h/2π = 1.0544 × 10−34 J s
Martin Wirz
Photonen (m0 = 0, v = c)
nicht Pauli
E = c · p = h · ν = h λc = ~ω
p=~·k
λ = hp
λ=
hc
WArbeit
=
F
=
nicht rel. Teilchen (zb e− )(m0 6= 0, v < c)
Pauli
p2
E = 12 mv 2 = 2m
p=m·v =~·k
λ = hp
h
2mEk in
∆p
P
=
F : Kraft P : Leistung p: Impuls
c
∆t
√
Das Doppelspaltexperiment ist ein klassischer Versuchsaufbau im Rahmen der Quantenmechanik und des Welle-Teilchen-Dualismus:
Wird Licht durch eine Platte mit zwei sehr dünnen Spalten geschickt, bildet sich auf dem
Schirm hinter der Platte ein Interferenzmuster. Wenn der selbe Versuch mit Elektronen
(Teilchen) durchgeführt wird, geschieht genau das Gleiche. Die Teilchen scheinen Wellencharakter aufzuweisen. Man beobachtet, dass der vom Detektor registrierte Elektronenstrahl immer dann ein Maximum aufweist, wenn die für die Röntengenstrahlen abgeleitete
Braggsche Bedingung erfüllt ist. 2d sin Θ = nλ Mit d als Abstand aufeinanderfolgender
atomarer Netzebenen im Kristall. Das gleiche Phänomen der Braggschen Beugung hat man
bei Experimenten mit Protonen und Neutronen beobachtet.
Braggsche Bedingung für Streuungsmaxima
2dsinΘ = nλ
λ : Brogli-Wellenlänge
Jedes Teilchen wird in der Quantenmechanik durch eine Wellenfunktion beschrieben.
Die Wellenfunktion eines Teilchen ist komplexwertig und somit keine Messgrösse. Lediglich
ihr Betragsquadrat kann als Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens gedeutet und
im Experiment bestimmt werden. Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion des
Teilchens und somit die Veränderung seiner Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird durch die
Schrödingergleichung beschrieben. Alle Mikroteilchen tragen sowohl Teilchen- als auch
Wellencharakter in sich.
3
Atommodell
Broglie-Wellenlänge
λ = h/
Bohr’sche Atommodell für Wasserstoff
s
2me |{z}
e
V = h/
|{z}
p
2mEkin
√
= 1.23 × 10−9 / V m
Ladung el.P ot
Übersicht
Teilchen
Photonenfluss
Ausbreitungsgeschw c
relativistisches Teilchen
Ruhemasse = 0
E = hf = ~ω
h
~ = 2π
= 1, 0546 × 10−34 Js
p = ~k = λ~
Wellen
Maxwellgleichung
Wellengleichung = 0 ei(ωt−kz)
Kreisfrequenz ω = 2πf
Wellenzahl k = 2π/f
c = λ/T = λf = ω/k
Die Unschärferelation für Ort und Impuls
∆x∆px ≥ ~
∆E∆t ≥ ~
Z ist die Ordnungszahl oder Atomnummer, entspricht also der Anzahl Elektronen (= Anzahl
Protonen). Bsp.: Wasserstoff: Z=1.
1. Bohr’sches Postulat (Quantenbedingung): Der Bahndrehimpuls L = rme v nimmt nur
h
an:
Vielfache von 2π
h
= n~ = me r2 ω = me rv
2π
Auf jeder dieser Bahnen bewegt sich das Elektorn strahlungsfrei. n ist die Quantenzahl,
die die Bahn bestimmt.
L = n
2. Bohr’sches Postulat (Frequnzbedingung): Beim Übergang des Elektrons von einer
Bahn mit hoher Energie Em zu eriner Bahn mit geringer Energie En wird die Energiediffernz
mit dem Photon abgegeben (Emission):
hf = Em − En = ∆E
Beim umgekehrten Vorgang wird ein Photon aufgenommen (Absorption)
Die heisenbergsche Unschärferelation besagt, dass der Ort x und der Impuls p eines
Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können.
Bohrscher Radius: Aufgrund der Quantenbedingung ergeben sich für das Elektron nur
Je grösser unsere Kenntnis über die Lage des Teilchens ist, desto unpräziser ist unsere
ganz
bestimmte, feste Bahnen, deren Radius Rn .
Information über seinen Impuls und umgekehrt. Deshalb wird ein Teilchen mit bekanntem
Impuls (∆p = 0) durch eine Welle mit konstanter Amplitude dargegstellt, die sich über
h2 0 2
~2
den gesamten Raum erstreckt (∆x = ∞), so dass unsere Kenntnis der Lage gleich 0
n = 4π0
n2
Rn =
2
πme e
Zme e2
ist. Das Unbestimmtheitsprinzip ist eine direkte Folge des Messprozesses. Bedingt durch
die Wechselwirkung zwischen Messgerät und zu messender Grösse bringt die Messung auf
Der Radius der innersten Bahn (Bohrradius R1) mit n = 1 ist R1 = 5, 29 × 10−11 m.
atomarer Ebene unvermeidlich eine wesentliche Störung des Systems mit sich.
Z ist die Ordnungszahl oder Atomnummer (= Anzahl e− Wasserstoff: Z = 1) Das Atom besitzt diskrete Energiezustände En , die sich aus den unterschiedlichen Bahnen des Elektrons
Die Unschärferelation kann im Wellenmodell leicht verstanden werden: Eine Welle ergeben (n bezeichnet das Energielevel):
pflanzt sich mit einer festen Geschwindigkeit fort, die von ihrer Wellenlänge abhängen
kann. (Im Falle einer quantenmechanischen Teilchenwelle ist die Geschwindigkeit der
1
me e4 1
1
me e4 Z 2
Ze2
me e4
Welle um so grösser, je kleiner die Wellenlänge ist.) Solch eine Welle hat also einen
=
−hcR
=
−
=
−
En = − 2 2 2 = −
∞
2
gut bestimmten Impuls. Dafür hat eine Welle aber keinen festen Ort, sie ist überall
80 h n
n2
82 h2 n2
8π0
Rn
(4π0 ) 2~2 n2
|{z}
zugleich. Der Ort einer einfachen Welle ist völlig Unscharf. Um die Unschärfe des Ortes
Bohrradius
einzuschränken, muss man mehrere Wellen mit verschiedenen Impulsen Überlagern. Diese
Überlagerung von Wellen führt nun dazu, dass der Impuls nicht mehr genau bekannt (also
me e4 Z 2 1
1
E
−
E
=
−
i
j
unscharf) ist.
80 h2
i2
j2
Martin Wirz
4
Der Erwartungswert < x > gibt nicht den Ort an, an dem sich das gebundene Teilchen
R∞ ≈ 1.097 · 107 m−1 : Rydbergkonstante
Für n = 1, den Grundzustand, beträgt die Energie E1 = −2, 18 × 10−18 J = −13.6eV . gerade befindet, da es sich nicht an einem exakten Ort aufhalten kann (Unschärferelation).
Befindet sich das Elektron auf der n-ten Bahn, so lässt sich die Energie En des Atoms aus Man kann sich < x > als den Schwerpunkt der Verteilung |Ψ(x)|2 vorstellen.
der im Grundzustand berechnen:
In der klassischen Definition entspricht die totale Energie E = Ekin + Epot = 1/2mv 2 +
2
p2
Epot = (mv)
2m + Epot = 2m + Epot
1
1
En = E1 2 = −13, 6eV 2
Mithilfe der Schrödingergleichung ist es nun möglich die Feldamplitude oder Wellenfunkn
n
tion Ψ für dynamische Problme zu bestimmen.
Frequenz des abgestrahlten Photons:
Teilchen mit exaktem Impuls sind nach der Unschärferelation uendlich ausgedehnt. → ebene
Welle.
2
1
e
1
Analog zu < x > gilt:Erwartungsmittelwert einer Funktion f (x):
ν =
− 2
8π0 R1 h n2 2
n1
Z ∞
e: Ladung Q eines Elektrons
hf (x)i =
Ψ∗ (x) · f (x) · Ψ(x)dx
−∞
Quantenmechanik
Mittelwert Epot und Ekin
Schrödinger Gleichung
Z
∞
Ψ∗ · Epot · Ψ(x)dx
Ψ: Materialwelle Ψ = Ψ0 e
−∞
Die Amplitude des Materialfeldes wird mit Ψ(x) bezeichnet. Aus historischen Gründen
Z ∞
wird diese Amplitude Ψ(x) allgemein Wellenfunktion genannt. In der Quantenphysik lässt
hEkin i =
Ψ∗ · Ekin · Ψ(x)dx
sich ein Teilchen nicht genau orten. Daher kann keine genaue Position bestimmt werden
−∞
und es lässt sich auch keine Bewegungsgleichung/Bahnkurve herleiten. Man weicht auf ein
Erwartungswert für den Impuls
statistisches Modell aus.
Z ∞
d
∗
· Ψ(x)dx
hP i =
Ψ · −i~
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen, das durch die Wellenfunktion Ψ(x) beschrieben
dx
−∞
wird, in dem Intervall dxdydz um den Punkt P (x, y, z) zu finden, ist gegeben durch
hEpot i =
i(kx−ωt)
2
2
2
P = |Ψ(x, y, z)| = Ψ∗ (r, t) Ψ(r, t) = |Ψ(r, t)| = |Ψ(r)|
(=Intensität) Dies entspricht der Intensität der Materialwelle. Da sich ein Elektron immer
irgendwo im Raum befindet, gilt
Z
Z
2
|Ψ(x, y, z)| dxdydz =
Ψ(x, y, z)Ψ∗ (x, y, z)dxdydz = 1
gesamter Raum
gesamter Raum
Somit ist P eine Dichtefunktion.
Der Erwartungswert < x > für den Ort eines Teilchens beträgt
Z
Z
2
∗
< x >= Ψn (x) · x · Ψn (x) = |Ψ(x)| x · dx
Integriert wird über den Bereich indem das Teilchen sich befindet, also zb 0 → a
Martin Wirz
Die Schrödingergleichung
FΨ(x, y, z, t) = EΨ(x, y, z, t)
Operator x Eigenfunktion = Eigenwert x Eigenfunktion
Die Zeitabhängige Schrödingergleichung
−
~2 ∂ 2
∂
Ψ(x, t) + V (x, t)Ψ(x, t) = i~ Ψ(x, t)
2
2m ∂x
∂t
Die Zeitunabhängige Schrödingergleichung
−
~2 ∂ 2
Ψ(x) + Epot (x)Ψ(x) = EΨ(x)
2m ∂x2
E
Ψ(x, t) = Ψ(x) · e−ωt = Ψ(x) · e−j ~ t
5
Für stationäre Potentiale lässt sich die Zeitabhängige SGL durch den Separationsansatz
E
Ψ(x, t) = Ψ(x) · e−ωt = Ψ(x) · e−j ~ t in die zeitunabhängige SGL überführen.
Teilchen in einem Potentialkasten
Eingeschlossene Teilchen:
Wenn die Gesamtenergie E eines Teilchens in einem bestimmten Bereich (den klassisch
Die Unbekannte der Schrödingergleichung ist immer die Wellenfunktion Ψ. E ist der erlaubten Bereich) grösser als die potentielle Energie Epot (x) ist, ausserhalb dieses Bereichs
Energieoperator und ermittelt die Gesamtenergie der Wellenfunktion. H heit Hamilton- aber kleiner, dann oszilliert die Wellenfunktion innerhalb des klassisch erlaubten Bereichs,
Operator und hängt vom untersuchten System ab. Er ist für ein Elektron im Atom anders während sie ausserhalb davon exponentiell zu- oder abnimmt. Nur bei bestimmten Werten
als zum Beispiel für ein Silberatom in einem Magnetfeld. Der Hamiltonoperator beschreibt der Gesamtenergie E geht die Wellenfunktion für x → ±∞ gegen 0. Daher ist die Energie
quantisiert.
also die Art des Teilchens und der Felder, in denen es sich bewegt.
Kasten mit endlich hohem Potential
Zur Berechnung der erlaubten Energieniveaus in einem System muss nur die zeitun- In einem Kasten mit endlichhoher potentieller Energie Epot gibt es nur eine endliche Anzahl
abhängige SchrödingerGL gelöst werden. Dagegen muss man die Lösung der zeitabhängigen erlaubter Energien; diese sind etwas geringer als die entsprechenden Energien in einem
Gleichung ermitteln, wenn man die Wahrscheinlichkeit der Übergänge zwischen diesen Kasten mit unendlich hoher potentieller Energie.
Reflexion und Transmission bei einer Potenzialbarriere
Niveaus berechnen will.
Wenn sich die potenzielle Energei auf eine kleine Strecke stark ändert, kann das Teilchen
Der Hamilton-Operator
reflektiert werden, selbst wenn E > Epot ist. Es kann auch in einem bereich mit E <
~2 2
Epot eindringen. Reflexion und Transmission von Elektronenwellen ähneln denen anderer
∇ + Epot (x)
H = Ekin + Epot = −
Wellenarten.
2m
Die obige Formel gibt den Hamilton-Operator in seiner allgemeinen Form an. Ep (x) ist
die potenzielle Energie, gibt also alle beteiligten Kräfte und Felder an.
Der erste Teil des Operators errechnet dagegen die Bewegungsenergie. Hier taucht die Tunneleffekt
Naturkonstante ~ auf. Ausserdem spielt die Masse eine Rolle. Es wird eine doppelte
Herleitung siehe Anhang
Ableitung gebildet, die kinetische Energie ist also von der Krümmung der Wellenfunktion
Der Tunneleffekt bezeichnet den quantenmechanischen Effekt, der den Teilchen die
abhängig.
Überwindung endlicher Barrieren erlaubt, die nach den Vorstellungen der klassischen
Physik für diese Teilchen unüberwindbar wären: im Rahmen der heisenbergschen UnDer Energie-Operator (Bei zeitabhängiger SchrödingerGL)
schärferelation ist das Teilchen so ausgedehnt, dass es bei der Reflexion am Potential zum
Teil in dieses eindringt. Ist die ansonsten unüberwindliche Barriere dünn, so reicht ein
∂
E = i~
relevantes Stück der Welle hindurch. Gerade bei der Verringerung der Geschwindigkeit
∂t
π/2i
(i = e
) Diese Formel gibt den Energieoperator an. Ein wichtiges Zwischenergeb- wird die Ortsunschärfe des Teilchens besonders gross.
nis ist, dass im Energieoperator nur eine Zeitabhängigkeit vorhanden ist, der Hamiltonoperator dagegen nur Ortsableitungen enthält. Wenn also in dem Potenzial Ep (x) keine
Zeitabhängigkeit vorhanden ist, können die beiden Seiten der Gleichung unabhängig gelöst
werden. (Dies hängt damit zusammen, dass in zeitsymmetrischen Systemen Energieerhaltung gilt.)
Übersicht Quantenoperatoren
Grösse
Ort
Impuls
Drehimpuls
Kinetische Energie
Gesamtenergie
Martin Wirz
Klassische Definition
r
p
r × p
p2 /2m
p2 /2m + Ep (r)
Quantenoperator
r
−i~∇
−i~r × ∇
−(~2 /2m)∇2
−(~2 /2m)∇2 + Ep (r)
Die quantenmechanische Betrachtungsweise geht von der Schrödingergleichung aus,
die angibt, wo sich ein Teilchen aufhalten kann. Diese Wellenfunktion dringt in den
verbotenen Bereich ein und klingt exponentiell ab. Durch den exponentiellen Abfall der
Welle in dem verbotenen Bereich, bleibt am Ende des verbotenen Bereiches noch ein Rest
der ursprünglichen Welle übrig. Da nach den Regeln der Quantenmechanik der Betrag der
Wellenfunktion eine Wahrscheinlichkeit darstellt, gibt es eine kleine Wahrscheinlichkeit,
dass das Teilchen am anderen Ende der Barriere auftaucht.
Zusammenfassung
Ein Teilchen, welches von links nach rechts wandert hat überall die selbe Energie.
6
gilt für die Frequenz fΨ(3.) = fΨ(1.)
Beispiele
• Ψ(~r, t = A exp
i
~~r
~p
− Et (Wellenfkt eines freien Teilchens
• Potentialtopf: V (~r) ist unendlich, ausser in einem Streifen ist es konstant und endlich.
Siehe Kastenpotential.
R
• harmonischer Oszillator: V (~x = 12 Dx2 = Kraft einer Federdx)
• Potentialbarriere und Tunneleffekt: V (~r) ist Rechtecksimpuls
• Coulombpotential:V (~r ≈ 1r )
Energie einer Materiewelle
Energieeigenwerte sind solche Energiewerte, die zur Lösung der zeitunabhänigen SGL
Die Wellenlänge von Ψ ist die De-Broglie Wellenlänge, hängt also nur von der lokalen gehören. Gemessen werden immer Energieeigenwerte, welche bei gebundenen Systemen
diskret sind. Der Erwartungswert der Energie ist jedoch kontinuierlich variierbar. Eine
Energie E − V des Teilchens ab. I : V (x) = 0 II : v(x) = V2 III : V (x) = V3
dazu analoge Situation tritt beim Würfeln auf: Bei jedem Wurf erhält man eine ganze Zahl
1. Aufenthalswahrscheinlickeit innerhalb des verbotenen Gebietes (Klassisch: Kann nicht zwischen 1 und 6, während das Ergebnis im Mittel 3,5 ist.
in verbotenes Gebiet eindrigen)
elektromagnetische Welle
2. Tunneleffekt (Klassisch: Totalreflektion)
Intensitäte:
P
1
I=
= c0 0 E 2
(a) Ψ(x) = Aeikx + Be−ikx Stehende Welle
A
2
Quantumwell
(b) Ψ(x) = Ceαx + De−αx Exponentieller Abfall
(c) Ψ(x) = Eeikx Welle mit einem freien Ende, dh ohne Reflexionstherm
2
|Ψ| ist konstant, da wir hier keine rücklaufende Welle erlaubt haben.
Atomphysik
Atome mit einem Elektron
An den Potentialänderungsstellen müssen die Stetigkeitsbedingungen für Ort x und Orbitale
Als Orbitale eines Atoms bezeichnet man die Aufenthaltsräume von Elektronen in der
Steigung x0 der Wellengleichungen erfüllt werden.
Elektronenhülle des jeweiligen Atoms, welche durch die Elektronenkonfiguration bestimmt
3. Obwohl die Energie reicht, die Schwelle zu Überwinden, wird ein Teil der Welle stets ist. Das Quadrat der Wellenfunktion eines Elektrons in einer Atomhülle beschreibt
reflektiert. Für E → ∞ wird die Reflexion 0. (Klassisch: Keine Reflektion)
die räumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit, die charakterisiert, wo man mit welcher
Wahrscheinlichkeit Elektronen in der Elektronenhülle antreffen könnte. Im zugrunde
liegenden Wellenmodell existieren keine Kreisbahnen, wie im Atommodell von Niels Bohr
~2 d 2
und auch keine anderen, definierten Bahnen. Viel mehr brachten Entwicklungen der
−
+ V (x) Ψ(x) = E Ψ(x)
2m dx2
Quantenmechanik die Erkenntnis, dass der genaue Aufenthaltsort der Elektronen aufgrund
Nach dem Durchtunneln ist die Welle auf dem selben Energielevel wie zuvor und bildet der Unschärferelation nicht exakt, sondern nur ihre Verteilung stochastisch beschrieben
an der Austrittsstelle ein Maximum für die weiterlaufende Sinusschwingung. Da der werden kann.
Übergang 2. → 3. stetig ist, ist die Amplitude bestimmt. Da E(3.) = E(1.) und E = hν
Martin Wirz
7
Klassifikation/Quantenzal
Jedes Elektron besitzt eine Satz von vier Zahlen, die man Quantenzahlen nennt und welche
das Elektron vollständig beschreiben; in einem Atom können keine zwei Elektronen die
gleichen vier Quantenzahlen haben. Dies ist eine präzisere Formulierung des Paulischen
Ausschlussprinzips. Orbitale werden meist anhand der vier Quantenzahlen n, l, ml und ms
klassifiziert, manchmal auch durch n, l, j und mj, wobei gilt:
• n (Hauptquantenzahl, Wertebereich: 1, 2, 3, ...) beschreibt das Hauptenergieniveau,
welches ein Elektron besitzt. Es entspricht gewissermaen der Bahnzahl n des Bohr’schen
Atommodells
Besetzung der Schalen
• Pauli Aussschliessungsprinzip
Keine zwei Elektronen in einem Atom können denselben Satz von Quantenzahlen besitzen.
• Jedes Elektron nimmt einen möglichst niedrigen Energiezustand ein.
wenn z: Anzahl der auf dieser Schale maximal möglichen Elektronen und n: Hauptquan• l (Bahndrehimpulsquantenzahl (Nebenquantenzahl), Wertebereich: 0, 1, ..., n-1) tenzahl, dann gilt
beschreibt
z = 2n2
p den Bahndrehimpuls des Elektrons
|L| = ~ · l(l + 1) Bei gleichem n-Wert haben Orbitale höherer l-Werte höhere Energie.
Die Nebenquantenzahl l kennzeichnet die Bahnform. Zur Hauptquantenzahl n gehören
n verschiedene Bahnformen: die Kreisbahn und (n-1) Ellipsenbahnen unterschiedlicher
Extentrizität.l = (n − 1) bildet dabei die Kreisbahn und l = 0 die Ellipse mit der
grössten Exzentrizität.
Zur kennzeichnung der Bahn ersetzt man die Zahlen 0,1,2,3,4,5,6,7,... durch die
Buchstanben s,p,d,f,g,h,i,k,...
• ml (magnetische Quantenzahl, Wertebereich: (−l, . . . , +l) kennzeichnet die räumliche
Lage der Ebenen einer Elektronenbahn. Sie kann (2l+1) verschiedene Werte annehmen.
Die Bahnlage wird bestimmt durch den Winkel δ zwischen der Richtung des magnetischen Feldes und der Achse senkrecht zur
p Bahnebene. Wertebereich −l, . . . , +l). Für
den Bahnneigungswinkel gilt cosδ = m/ l(l + 1) ≈ m/l
Beispiel: Die Ellipse 4d ist die in der 4. Schale liegende, kreisähnliche Ellipse. Die
Nebenquantenzahl ist l = 2 . Die magnetische Quantenzahl ml kann 2 · 2 + 1 = 5
verschiedene Werte besitzen. Also ergibt sich:
quantenzahl
Strahlungsemission
Das auf ein niedrigeres Energieniveau übergehende Elektron emittiert ein Strahlungsquant,
dessen Frequenz und Wellenlänge aus der beim Bahnwechsel auftretenden Energiedifm:
-2
-1
0
+1
+2
ferenz bestimmt werden können: ∆E = hf . Bei den tatsächlich auftretenden Elektrom/l: -2/2 -1/2 0/2 +1/2 +2/2
nenübergängen ändert sich die Nebenquantenzahl l oder die Spinquantenzahl s um 1.
cosδ:
-1 -0.5
0 +0.5
+1
Auswahlregel: ∆l = 1 oder ∆ms = 1
δ:
180
120
90
60
0
Infolge der Auswahlregeln gibt es bei manchen Elementen Energieniveaus, die das Elektron
Betrachtet man die Nebenquantenzahl als Vektor ~l mit Richtung des Bahndrehimpulses nicht durch einen direkten Übergang auf ein niedrigeres Niveau verlassen kann. Man beze~ so sind nur solche Raumlagen möglich, für die die Projektion von ~l auf die Richtung ichnet sie als metastabile Zustände, in die ein Elektron durch Elektronenstoss oder auf dem
L,
Umweg über ein höheres Niveau gelangen kann.
des Magnetfeldes eine ganze Zahl ist.
Es muss unterschieden werden zwischen
• ms ist die Spinquantenzahl, kurz Spin. Ihre Existenz deutet man als Eigenrotation der
Elektronen. Sie legt den Drehimpuls dieser Rotation fest und beträgt bei Elektronen
• spontaner Emission, bei der das Elektron ohne äussere Einwirkung vom angeregten
immer + − 21 .
in den Grundzustand unter Emission eines Photons in den Grundzustand zurückkehrt.
Martin Wirz
8
• induzierter Emission, bei der nach Einwirkung einer elektromagnetischen Strahlung Fermionen niemals im gleichen Zustand sein können. Da in diesem Fall die Vertauschung
(Photon) entsprechender Frequenz der Übergang vom metastabilen zum Grundzustand der Teilchen nämlich offenbar keine Auswirkungen hätte, folgt aus der Forderung nach
erfolgt.
Vorzeichenwechsel, dass die Wellenfunktion insgesamt verschwinden muss.
Ebenso ergibt sich daraus die Fermiverteilung als Besetzungsstatistik für Fermionen.
Bei genügend starker Anregung (Pumpen) kann ein grosser Teil der Atome mit metastabilen Niveaus gleichzeitig angeregt sein und so Energie speichern. ”Und genau so funktioniert ein Laser”. Der durch induzierte Emission ausgelöste Übergang vieler Atome
Die Fermi-Energie
in den Grundzustand führt zu einer intensiven, monochromatischen, kohärenten und eng Befinden sich in einem Kasten viele Elektronen, so werden diese bei T = 0K die niedriggebündelten Strahlung.
sten Energiezustände einnehmen, die mit dem Pauli-Prinzip vereinbart sind. Im Fall von
ne Elektronen können sich zwei Elektronen auf dem niedrigsten Energieniveau niederlassen,
zwei Elektronen auf dem zweitniedrigsten Niveau, usw. Die ne Elektronen füllen also die unStatistische Physik
tersten ne /2 Energienieveaus. Die Energie des letzten gefüllten (oder teilgefüllten) Niveaus
Eine Quantenstatistik trifft statistische Aussagen über die Besetzung quantenmechanischer bei T = 0K wird als Fermi-Energie EF bezeichnet.
Fermi-Energie bei T = 0 im 1dim Fall
Systeme.
Die Fermi-Dirac-Statistik trifft hierbei Aussagen über die Besetzung durch Teilchen mit
halbzahligen Spin, den Fermionen, welche dem Ausschliessungsprinzip gehorchen. Bosonen
werden hingegen durch die Bose-Einstein-Statistik beschrieben.
EF =
n 2
e
2
h2
h2 n e 2
=
8me l2
32me l
Fermi-Energie bei T = 0 im 3dim Fall
Maxwell-Boltzmann-Statistik
Temperatur
Die mittlere Energie eines Teilchens ist gegeben durch Eave = U/N mit der inneren Energie
d
(lnZ)
U. Es folgt aus der MBS: Eave = kT 2 dT
EF =
h2
8me
3ne
πV
2/3
= (0.365eV · nm2 ) ·
n 2/3
e
V
Die Fermiverteilung gibt die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus durch
ein Elektron an und ergibt sich aus der Fermi-Dirac-Statistik.
W (E) ≡Fermi-Dirac-Statistik (siehe unten)
Für die Temperatur Null Kelvin (T = 0 K) gilt:
−
Die Fermi-Dirac-Statistik ist eine Form einer Quantenstatistik, die für Teilchen mit Für E ≤ EF gilt: W (E) = 1, Die Wahrscheinlichkeit ein e− anzutreffen ist 1.
Für
E
≥
E
gilt:
W
(E)
=
0,
Die
Wahrscheinlichkeit
ein
e
anzutreffen ist 0.
F
halbzahligem Spin (Fermionen) gültig ist.
Für Temperaturen gröer gleich Null Kelvin (T ≥ 0K) gilt fig. 2
Fermi-Statistik
Im Unterschied zur Fermi-Statistik befinden sich bei der Maxwell-Boltzmann-Statistik alle
Teilchen bei T = 0 im Grundzustands-Energieniveau. In der FDS wird diese Anhäufung
im Grundzustand durch das Ausschliessungsprinzip verhindert und die Teilchen besetzen
bei T = 0 die niedrigsten Energiezustände bis hin zur Energie EF . Bei höheren Temperaturen beginnen Zustände mit Energien grösser als EF durch Übergänge von Teilchen aus
Zuständen niedriger Energie besetzt zu werden. Durch Absorption der Energie kT können
sich nur diejenigen Fermionen in höher liegende, unbesetzte Zustände übergehen, deren
Energei nahe bei EF liegt.
Kernpunkt der Fermi-Dirac-Statistik ist, dass die Wellenfunktion (oder der ”Zustandsvektor”) eines Vielteilchensystems bei Vertauschen zweier Teilchen einen Vorzeichenwechsel
erleidet. Als Konsequenz davon ergibt sich das Pauli-Prinzip, demzufolge zwei gleiche
Martin Wirz
Fermiverteilung T=0K und T=1200K
9
Bei Temperaturen T > 0K können einige Elektronen aufgrund der thermischen Energie,
die sie aus Stössen mit dem Gitter gewinnen, höhere Energiezustände einnehmen. Ein
Elektron kann jedoch nur dann in einen energetischen höheren oder niedrigeren Zustand
überwechseln, wenn dieser unbesetzt ist. Die kinetische Energie der Gitterionen liegen
in der Grössenordnung von kB T , so dass die Elektronen ungefähr diese Energie kB T
bei Stössen mit den Gitterionen gewinnen können. Bei steigender Temperatur können
daher nur solche Elektronen Energie aufnehmen, deren Energie um weniger als kB T von
der Fermi-Energie abweicht. Für Temperaturen T > 0K ist die Fermi-Energie diejenige
Energie, für die die Besetzungswahrscheinlichkeit gerade f (EF ) = 1/2 ist. Ausser bei
wirklich extrem hohen Temperaturen ist der Unterschied zwischen der Fermienergie bei
T = 0 und bei Temperatur T > 0K sehr klein.
Die Fermi Energie EF bei der Temperatur T ist diejenige Energie, bei der die Wahrscheinlichkeit, dass der betreffende Zustand besetzt ist, 21 beträgt. Sie ist also die Energie, bei
der die Fermi-Dirac-Verteilung den Wert 12 hat.
Die Fermi Energie EF bei Temperatur T ist diejenige Energie, bei der die Wahrscheinlichkeit, dass der betreffende Zustand besetzt ist, 1/2 beträgt. Sie ist also die Energie, bei
der die Fermi-Dirac-Verteilung den Wert 1/2 hat.
Festkörperphysik
Zweiatomige Moleküle
Wenn sich zwei Atome zu einem Molekül verbinden, werden die fester gebundenen oder inneren Elektronen jedes Atoms (welche die abgeschlossenen Schalen um den jeweiligen Kern
bilden) praktisch nicht gestört und bleiben an ihren ursprünglichen Kern gebunden. Nur
die äusseren oder Valenzelektronen in den nicht abgeschlossenen Schalen werden beeinflusst.
Bildet man ein Wasserstoffmolekül Ion aus H und H + versucht das Proton, bei Näherung,
das Elektronen vom andern Atom wegzuziehen. Dabei wird die Wellenfunktion der Elektronen gestrt. Es können zwei Arten von Überlagerungen entstehen: ψgerade = ψ1 + ψ2
und ψungerade = ψ1 − ψ2 . Diese entstehen durch Linearkombination von WasserstoffWellenkfunktionen.
Gerade und ungerade Molekülorbitale
Diese Zustände besitzen verschiedene Energien. Wenn sich das Elektron in dem Gebiet
zwischen den beiden Protonen befindet, zieht es die Protonen zusammen und vermindert
dabei ihre elektrische Abstossung. Wenn sich das Elektron auf einer der beiden Seiten
befindet, hilft es die beiden Protonen zu trennen. Mit andern Worten, wenn sich das Elektron in dem Gebiet zwischen den Protonen befindet, verhält es sich wie ein Klebstoff, der
Die Fermi-Temperatur TF ist definiert als diejenige Temperatur, für die gilt:
sie verbindet und eine stabile Konfiguration ergibt. Demzufolge besitzt der Zustand ψgerade
eine niedrigere Energie als ψungerade . Die Energiedifferenz zwischen ψgerade und ψungerade
kB TF = EF
hängt von der Entfernung der beiden Protonen ab.
Für Temperaturen weit unterhalb der Fermi-Temperatur ist die mittlere Energie der
Wahrscheinlichkeitsdichte für gerade und ungerade Molekülorbitale in H2+
Gitterionen viel niedriger als die Fermi-Energie und die Energieverteilung der Elektronen
Elektronische potentielle Energie im H2+ für den Grundzustand und einige angeregte
unterscheidet sich nicht sehr stark von der bei T = 0K.
Zustände
Man erkennt sofort, dass die Energiekurve fr σg 1s oder ψgerade bei r0 ein Minimum
besitzt, das dem Gleichgewichtsabstand der beiden Protonen entspricht und eine stabile
Konfiguration für H2+ ermöglicht. Die Energiekurve für σu 1s oder ψungerade besitzt jedoch
Bose-Einstein Statistik
kein Minimum, und dementsprechen gibt es keine stabile Konfiguration (oder Molekül).
ψgerade ist eine bindende Wellenfunktion, ψungerade ist eine nichtbindende Wellenfunktion.
Wie in der Fermi-Dirac-Statistik geben auch in der Bose-Einstein-Statistik die gi die EntarNichtbindende Wellenfunktionen werden mit einem Stern * gekennzeichnet.
tung der einzelnen Energieniveaus an. Die BES gilt für Teilchen, welche nicht dem Ausschliessungsprinzip unterliegen, sog. Bosonen. In derartigen Systemen gibt es keine Grenzen
für die Anzahl dieser Teilchen, die sich im selben Quantenzustand befinden können.
n-atomige Moleküle
Übersicht Siehe Beiblatt
Teilchenart
Spin
Fermion
1/2,3/2,...
bzahlig
0,1,2,...
zahlig
Bosonen
Martin Wirz
halganz-
Mögliche Besetzung der Zustände
0 und 1 PauliPrinzip
beliebig
Beispiel
Elektronen, Protonen, Neutronen
Photonen
Sobald wir mehr als ein Elektron haben, müssen wir das Ausschliessungsprinzip
berücksichtigen. Wenn die Atome, wie es in einem Molekül der Fall ist, sehr nahe beieinander
angeordnet sind, erhält man die möglichen Wellenfunktion durch geeignete Linearkombination der einzelnen oder atomaren Wellenfunkionen. Die Technik der linearen Überlagerung
ist die selbe wie bei H2+ , mit dem Unterschied, dass wir jetzt mehr Atome überlagern müssen.
Wegen der Symmetrie des Moleküls müssen die molekularen Orbitale relativ zum Zentrum des Moleküls entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein. Jeds dieser Zustände
entspricht einer anderen Energie.
10
Bändermodell der Festkörper
Effektive Masse m*
Ein Elektron, das die Energie E1 besitzt, kann sich nicht frei durch das Gitter bewegen,
sonder ist vorwiegend auf die klassisch erlaubten Gebiete AB, CD usb beschränkt. Ein
Durchtunneln ist höchst unwarscheinlich. Aus diesem Grunde sind die innersten Elektronen
in einem Kristall im wesentlichen lokalisiert. Ein Elektron mit der Energie E2 ist nicht so
stark an ein bestimmtes Ion gebunden und kann sich, indem es durch die Potentialbarriere
hindurchtunnelt, im Gitter umherbewegen. Ein Elektron mit der Energie E3 ist nicht an ein
bestimmtes Atom gebunden und kanns sich frei durch das Gitter bewegen. In einem Gitter,
führt jedes atomare Energieniveau auf N nahe benachbarte Niveaus. Diese entstehen analog
zum Effekt bei mehratomigen Molekülen. Wenn N sehr gross ist, liegen die verschiedenen
Energieniveaus so nahe beieinander, dass man sagen kann, dass sie ein kontinuierliches
Energieband bilden. Da nach dem Ausschliessungsprinzip jedes Niveau zwei Elektronen
aufnehmen kann, Spin up und Spin down, kann ein Energieband maximal 2N Elektronen
aufnehmen. Bänder, die zu den inneren abgeschlossenen Schalen der Stammatome gehören,
weisen die GEsamtzahl von Elektronen auf, die nach dem Pauli-Prinzip zugelassen sind.
Wenn das oberste Band nicht vollständig aufgefüllt ist, nennt man es Leitungsband. Wenn
es jedoch aufgefüllt ist, wird es als Valenzband bezeichnet. In diesem Fall nennt man das
leere, direkt darüberliegende Band Leitungsband.
Wenn sich das Metall in seinem Grundzustand befindet (absoluter Nullpunkt) besetzen
alle Elektronen die niedrigstmglichen Energieniveaus, die mit dem Ausschliessungsprinzip
vertäglich sind (Fermiverteilung). Wenn die Gedamtzahl der Elektronen pro Volumen n0
geringer ist als die Gesamtzahl der in dem Band zur Verfügung stehenden Energieniveaus,
werden die Elektronen alle Energiezustände bis zu der Fermienergie eF besetzen.
m∗ = F/a
eF =
h2
8me
3n0
π
2/3
Brillouin-Zone
Ein Elektron kann sich ohne Widerstand frei durch ein Gitter bewegen, ausser wenn k nache
bei den Werten nπ/a liegt. Die Bewegungsgleichung des Elektrons im Gitter
F =~
dk
dt
m∗ =
~2
d2 E/dk 2
Man beachte, dass m∗ = me ist, wenn das Elektron frei ist. m∗ ist eine Funktion der
Parameter des Gitters und des Gitterimpulses ~k. Nehmen wir an, ein Band sei vollständig
gefüllt. Wenn ein Elektron entfernt wird (etwa in das Leitungsband), kann man sagen, dass
ein LOch erzeugt wurde, da es jetzt in dem Band einen unbesetzten Zustand gibt. Wenn
eine äussere Kraft (wie etwa ein elektrisches Feld) angelegt wird, kann sich eine Elektron
in den unbesetzten Zustand bewegen und dabei das Loch füllen. Dabei hinterlässt das
Elektron jedoch ein neues Loch in dem Band, das dem Zustand entspricht, den es vorher
eingenommen hatte. Man kann sagen, dass sich das Loch unter dem Einfluss der angelegten
Kraft genau umgekehrt wie ein Elektron bewegt und sich daher wie ein positiv geladenes
Teilchen verhält. Der Nullpunkt der Energieskala für die Löcher liegt bei der oberen Kante
des Bandes, und ihre Energie wird nach unten gemessen; d.h. Emax − E
Bei der Betrachtung der elektronischen Eigenschaften eines Kristalls sind vor allem das
Valenz- und das Leitungsband von Bedeutung. Am absoluten Nullpunkt ist das Valenzband
das hchste vollstndig besetzte Energieband. Das energetisch darberliegende Band nennt man
Leitungsband. Im allgemeinen liegt zwischen beiden ein verbotener Bereich, der Bandlcke
genannt wird. Das Ferminiveau gibt an, bis zu welcher Energie Zustnde (am absoluten
Nullpunkt, null Kelvin) besetzt sind.
Die Leitfhigkeit des Kristalls hngt zum einen davon, ob das Leitungsband am Nullpunkt halb
besetzt oder unbesetzt ist, und zum anderen von der Temperatur ab. Letztere bestimmt,
inwieweit Elektronen aus dem Valenzband thermisch angeregt und in das Leitungsband
gehoben werden knnen. Auf diese Weise kann ein unbesetztes Leitungsband teilbesetzt
werden. Ein voll besetztes Band trgt genau wie ein unbesetztes Band nichts zum Stromtransport bei, denn die Geschwindigkeit aller Elektronen eines Bandes ist im Mittel Null.
Erst ein teilbesetztes Band ermglicht im elektrischen Feld einen von Null verschiedenen
Nettostrom.
Leiter, Isolator, Halbleiter
Leiter
Wobei ~k der Gitterimpuls des Elektrons darstellt. Eine äussere Kraft kann ein Elektron nicht auch der Brillouin-Zone entfernen; daher bleibt das Elektron in demselben Energieband, wenn es nicht in einem einzigen Prozess (z.B. durch Absorption eines Photons)
genügend Energie aufnimmt, um die Energielücke zu überspringen un in die nächste Zone
überzugehen.
Martin Wirz
In einem Metall ist das Leitungsband zur Hlfte besetzt. Es handelt sich daher um einen
guten elektrischen Leiter. Eine Temperaturerhhung fhrt im Allgemeinen zur Verringerung
der Leitfhigkeit des Kristall, da die erhhte Streuung der Elektronen eine niedrigere mittlere
Geschwindigkeit bedingt. In Halbmetallen berlappen das Valenz- und Leitungsband nicht.
11
Isolator
ihrem Energieniveau im Bnderschema auch durch ihre ”Geschwindigkeit” (Impuls = Masse
* Geschwindigkeit) charakterisiert.
Ein Isolator hat ein unbesetztes Leitungsband und eine so groe Bandlcke, dass bei Raumtem- Betrachtet man nun das Bndermodell im Impulsraum, so stellt man fest, dass Leitungs- und
peratur und auch bei deutlich hheren Temperaturen nur sehr wenige Elektronen vom Valenz- Valenzbandkante nicht fr jeden Impuls gleich ist, sondern dass beide Bandkanten mindestens
ins Leitungsband thermisch angeregt werden. Der spezifische Widerstand eines solchen ein Extremum aufweisen. Wenn nun ein Elektron aus dem Valenzband ins Leitungsband
Kristalls ist sehr hoch. N. B.: Es gibt auch Isolatoren, auf die das Bn̈dermodell nicht angeregt wird, so ist es am energetisch gnstigsten (und somit am wahrscheinlichsten), wenn
anwendbar ist.
es vom Maximum des Valenzbandes zum Minimum des Leitungsbandes angeregt wird.
Liegen diese Extrema nun (nahezu) beim gleichen Quasiimpuls, so ist eine Anregung z.B.
durch ein Photon ohne Weiteres mglich, da das Elektron lediglich seine Energie, nicht aber
Halbleiter
seinen Impuls ndern muss. Man spricht von einem direkten Halbleiter. Liegen die Extrema
Ähnlich liegen die Verhltnisse bei einem Halbleiter, jedoch ist die Bandlcke hier so klein, jedoch bei unterschiedlichen Quasiimpulsen, so muss das Elektron zustzlich zu seiner Energie
dass sie durch thermische Energiezufuhr berwunden werden kann. Ein Elektron kann auch seinen Impuls ndern, um ins Leitungsband angeregt zu werden. Dieser Impuls kann
ins Leitungsband angehoben werden und ist hier beweglich. Zugleich hinterlsst es im nicht von einem Photon (welches einen sehr kleinen Impuls hat) stammen, sondern muss
Valenzband eine Lcke, die durch benachbarte Elektronen aufgefllt werden kann. Somit von einer Gitterschwingung (auch Phonon) beigesteuert werden.
ist im Valenzband die Lcke beweglich. Man bezeichnet sie auch als Elektronenfehlstelle, Bei der Rekombination von Elektronen-Loch-Paaren gilt im Prinzip dasselbe. In einem
Defektelektron oder Loch. Bei Raumtemperatur weist ein Halbleiter dadurch eine geringe direkten Halbleiter kann bei der Rekombination ein Lichtquant ausgesandt werden. Bei
Eigenleitfhigkeit auf, die durch Temperaturerhhung gesteigert werden kann.
einem indirekten Halbleiter hingegen wird die bei der Rekombination freiwerdende Energie
Dotierung
als Gitterschwingung abgegeben. Hieraus folgt, dass nur direkte Halbleiter zur effektiven
Durch Dotierung kann ein Halbleiter gezielt mit Ladungstrgern ausgestattet werden. Der Strahlungserzeugung verwendet werden knnen.
Halbleiterkristall beruht auf einem Kristallgitter aus 4-wertigen Atomen, die jeweils durch
vier Elektronenpaare gebunden sind. Dotierung mit 5-wertigen Atomen hinterlsst im Gitter
Quantentheorie der elektrischen Leitfähigkeit
ein fr die Bindung nicht erforderliches Elektron, das somit nur locker gebunden ist (Abbildung unten, Bild a). Mit nur geringer Energie kann es daher ins Leitungsband angehoben
Thermodynamik
werden und ist hier beweglich (Bild b). Ein solches Atom nennt man einen ElektronenDonator (lat. donare = geben). Der Kristall wird mit beweglichen negativen Ladungstrgern
Begriffe und Definitionen
ausgestattet, man spricht von einer n-Dotierung. Zugleich bleibt ein positiver Atomrumpf
im Gitter zurck. Lsst man den Hintergrund der neutralen Grundsubstanz auer Betracht
T [K] = ϑ[◦ C] + 273.15
(Bild c), so hat man eine positive feste und eine negative bewegliche Ladung ins Gitter
eingebracht. Energetisch liegt ein Donator also knapp unterhalb des Leitungsbandes (Bild
Ideales Gas
d).
Dotierung mit 3-wertigen Atomen fhrt zu einer ungesttigten Bindung, in der ein Elektron Druck bei konstantem Volumen:
fehlt. Dieses kann mit geringem Energieaufwand aus einer anderen Bindung gerissen werden. Ein solches Atom nennt man einen Elektronen-Akzeptor (lat. accipere = annehmen),
p(ϑ) = p0 (1 + γϑ)
das energetisch knapp oberhalb des Valenzbandes liegt. Es entsteht eine negative ortsfeste
V (ϑ) = V0 (1 + γϑ)
Ladung. Zugleich hinterlsst das Elektron im Kristall eine Lcke, die durch ein anderes Elektron aufgefllt werden kann, also eine bewegliche Elektronenfehlstelle. Im Resultat hat man
mit p0 =Druck bei 0C oder V0 =Volumen bei 0C
eine negative feste und eine positive bewegliche Ladung eingebracht. Man spricht dann von
p-Dotierung.
Man teilt Halbleiter in zwei Gruppen ein, die direkten und die indirekten Halbleiter. Ihre
Zustandsgleichung idealer Gase:
unterschiedlichen Eigenschaften lassen sich nur durch die Betrachtung der Bnderstruktur
im sogenannten Impulsraum verstehen: Freie Ladungstrger im Halbleiter lassen sich als
N
pV = nRT =
RT = N kB T
Materiewellen mit einem Quasi-Impuls auffassen, das heit die Ladungstrger werden neben
NA
Martin Wirz
12
mit n: anzahl Mole
NA : Avogadro Zahl
Kinetische Gastheorie
Dichte
ρ = m/V = N mM /V
Druck
p=
Z
m
mA
M = NA mA
N = m/mM
m
n=v= M
Zustandssumme
Masse
Teilchenmasse
Molmasse einer Substanz
Totale Anzahl Moleküle/Teilchen
Stoffmenge (Teilchenmenge) (Anzahl Mole)
X
−1
x= X
[kg
]
m
X
X
−1
= m M = n [mol ]
gi
Gemessene Grösse (anz Teilchen)
spezifische Grösse (Teilchen / Masse)
molare Grösse
Zustandsdichte, Entartung
v2
p
Mittleres Geschwindigkeitsquadrat
Druck
J
R = 8.1314 mol·K
1
2
NA = 6.0222 · 10 3 mol
R
−23 J
kB = NA = 1.38 · 10
K
Universelle (molare) Gaskonstante
Avogadro’sche Zahl (anz Teilchen in 1 mol)
Boltzmann Konstante
C
Wärmekapazität
spezifische Wärmekapazität
molare Wärmekapazität
Xm
c=
Cm =
C
m
C
n
1
1N
mM v 2 = ρv 2
3V
3
mM : Masse eines Moleküls
Mittlere Geschwindigkeit
vm =
r
r
r
p
3p
3kB T
3RT
v2 =
=
=
ρ
mM
M
Thermische Energie ↔ Temperatur
r
vm =
3kB T
=
mM
r
3RT
M
Die Temperatur ist ein Mass für die mittlere kinetische Energie der Moleküle.
Mittlere kinetische Energie E kin eines Teilchens der Masse mM
E kin =
1
3
mM v 2 = kT
2
2
Die Quantentheorie lehrt, dass bei T = 0K noch eine Nullpunktsenergie vorhanden ist.
Die thermische Energie eines Moleküls verteilt sich gleichmässig auf alle seine Freiheitsgrade. Jeder Freiheitsgrad hat die Energie E f = 12 kB T . Dieser gleichverteilungssatz
(Äquipartionsprinzip) liefert für die mittlere kinetische Energie eines Moleküls mit f Freiheitsgraden
f
Äquipartitionsprinzip
E kin = kB T
2
Für N Moleküle
3
< Ekin >= N kB T
2
Der Boltzmann-Faktor gibt an, welcher Bruchteil der Teilchen aufgrund ihrer thermischen
Bewegung die Energieschwelle E2 − E1 Überschritten hat.
E −E1
N2
n2
− 2
=
= e kB T
N1
n1
Martin Wirz
13
mit n =
N
V
Um die Temperatur T eines Systems um dT zu erhöhen, ist eine Wärmezufuhr ∂Q erforderlich, die proportional zu dT ist.
Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung lautet
m 3/2
2
M
− mm v
· e 2kB T dv
f (v)dv = 4πv 2
2πkT
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vW , also diejenige, die am häufigsten auftritt,
kann durch Bestimmung des Maximums ermittelt werden.
r
r
2kT
2
vw =
=
vm
mM
3
∂Q = CdT
C=
partialQ
∂T
Oft wird keine Arbeit verrichtet, daher gilt auch
partialU
∂T
C=
Für Teilchensystem gilt
f
kB
U (T ) = N kb T ⇒ C(T ) = f N
2
2
Die durchschnittliche Geschwindigkeit v, also der arithmetische Mittelwert der
Bsp: Wieviel Energie ist nötig, um Flüssigkeit von T1 auf T2 aufzuwären?
Geschwindigkeitsbeträge aller Teilchen, liegt zwischen vw und vm .
R T2
R T2
Q12 = m T 1 c(T )dT = n T 1 Cm (T )dT
r
r
8kB T
8
wobe Cm V : Isochor und Cm p: Isobar.
v=
vm
=
πmM
3π
c, cm konst
Q12 = m · C∆T
Barometrische Höhenformel: Druck in bestimmter Höhe
ρair gh
ρ0 T0 gh
mM gh
Q12 = n · Cm ∆T
−
ph = p0 e− p0 T = p0 E − kT = p0 e kB T
Falls isotherm: T = T0
Innere Energie U
Hauptsätze der Thermodynamik
Zustandsgrösse
1. Hauptsatz
Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik ist der Satz der Energieerhaltung: Jedes System
besitzt eine extensive Zustandsgröe innere Energie U . Diese kann sich nur durch den Transport von Energie in Form von Arbeit (∂W ) und Wärme (∂Q) über die Grenze des Systems
ändern, d.h.
dU = ∂Q + ∂W = ∂Q + pdV
dU = ∂Q + ∂W
Ideales Gas
Endliche Temperaturänderung
Die Energie eines abgeschlossenen Systems bleibt unverändert. Verschiedene Energieformen
können sich demnach ineinander umwandeln, aber Energie kann weder aus dem Nichts
erzeugt werden noch vernichtet werden.
Wärmekapazität
Wärme ist Energie, die aufgrund eines Temperaturunterschieds zwischen zwei Systemenübertragenwird. Diese Energieübertragung hat eine eindeutige Richtung. Die wärme
fliesst stets in Richtung der niedrigeren Temperatur. Der Wärmeübergang ist also ein irreversibler Prozess.
Martin Wirz
f
f
dU
f
= N kB
U = N E kin = N kB T = n RT ⇒ c =
2
2
dT
2
dU = nCmV dT = mcV dT
Z
T2
∆U = U2 − U1 = n
CmV dT = Q12 + W12
T1
Q und W sind Prozessabhänig und damit Wegabhängig.
Volumenänderungsarbeit
∂W = −pdV
Gesamtarbeit
Z
V2
W12 = −
p(V )dV
V1
14
Berechnung der Wärmekapazität
Cmp − CmV = R
respektive
cp − cV = Ri
Isochor, V=Konst
1 dU
n dT
f
= R
2
CmV =
CmV
wegen U (T ) = f2 vRT
Isobar, p=Konst
Cmp =
f
+1 R
2
analog
f
cV = Ri cp =
2
f
+ 1 Ri
2
Isochor: Wärme muss zugeführt werden. Dies dient ausschliesslich zur Erhöhung der
inneren Energie.
Isobar: Zuführen von Wärme bewirkt Expansion, also negative Arbeit. Erwärmung
dient sowohl zur Erhöhung der inneren Energie als auch zur Arbeitsabgabe (mechanisch).
Deshalb ist die isobare Wärmekapazität stets grösser als die isochore: Cmp > Cmv .
Isentrop: Prozess läuft sehr schnell ab, so dass keine Zeit für eine Wärmeübertragung
bleibt. Die Entropie bleibt konstant. Die reversibel ablaufende Adiabate ist identisch mit
der Isentrope. Die Temperatur nimmt bei Kompression zu. Volumen änderungsarbeit dient
ausschliesslich zur Erhöhung der inneren Energie.
Kreisprozesse
Nutzarbeit: entspricht dem Flächenintegral der vom Kreisprozess eingeschlossenen Fläche.
I
I
W = ∂W = − pdV
1. Hauptsatz bei komplettem Umlauf:
I
I
I
dU = 0 = ∂Q + ∂W
Isotropenexponent χ
χ=
Cmp
cp
2
=
=1+
CmV
cV
f
χ beschreibt isotrope (adiabate) Zustandsänderung.
Freiheitsgrade
Je nach Molekülform (punktförmig, starre Hantel, schwingende Hantel, starr mehratomig)
gibt es unterschiedlich viele Freiheitsgrade (translatorische, rotatorische und oszillatorische).
Ein Molekül (mit dem Massenträgheitsmoment J) beginnt zu rotieren, sobald die mittlere
thermische Energie je Freiheitsgrad gleich oder grösser seiner minimalen Rotationsenergie
ist, also
1
1 L2 m in
1 ~2
kB T ≥ Erot, min =
=
2
2 J
2 J
Carnotscher Kreisprozess
Umwandlung von Wärme in Arbeit durch zwei Isotherme und zwei Isentrope. Der Carnotprozess dient zur Abschätzung des maximalen Nutzeffekts einer Wärmekraftmaschine, die
zwischen zwei Temperaturgrenzen (T1 und T3 )Wärme in Arbeit umwandeln soll.
rechtsläufiger Kreisprozess
Nutzarbeit des gesamten Prozesses
W = −vRln
V4
V3
=
V1
V2
V4
V3
(T3 − T1 )
und W23 = −W41
Zustandsänderung
mit
(siehe Tabelle im Anhang)
Energiebilanz
|W | = Qzu − |Qab |
Molare Grösse: vCm = mc
isotherm: Zugeführte Kompressionsarbeit ist positiv, abgegebene Expansionsarbeit neg- thermische Wirkung
ativ. Die Arbeit wird als Wärme von der Umgebung aufgenommen bzw. abgegeben. Der
Prozess ist unendlich langsam.
Martin Wirz
Q12 + Q34 + W = 0
ηth =
Nutz
|W |
=
Qzu
Aufwand
15
Carnot Prozess
ηth,C
Carnot
T3 − T1
T1
=
=1−
T3
T3
W,C =
ηth,C ist nur von den Temperaturen der beiden Wärmebäder abhängig.
Ein höherer thermischer Wirkungsgrad als der Carnot Prozess ist nach dem 2. Hauptsatz
nicht möglich.
thermodynamische Temperatur
Die Temperaturen zweier Wärmebäder können verglichen werden, indem man zwischen
ihnen einen idealen Carnot-Prozess laufen lässt und die übertragenen Wärmen misst.
1
T3
=
T3 − T1
ηth,C
2. Hauptsatz
Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass es eine extensive Zustandsgrösse
Entropie S gibt, die in einem abgeschlossenen System niemals abnimmt. Für die Änderung
der Entropie dS gilt also
dS ≥ 0
Entropie ist in der Thermodynamik eine Zustandsgröe, die aus der Definition
T1
|Qab |
=
Qzu
T3
dS =
Q12
Q34
+
T1
T3
Man legt die Temperatur eines Wärmebads fest und misst die anderen Temperaturen im
Verhältnis dazu mit der obigen Beziehung.
linksläufiger Kreisprozess
Energiebilanz
|Qb | = Qzu + W
∂Q
T
über geeignete Ersatzprozesse berechnet werden kann.
Bei spontan ablaufenden Prozessen, die man auch irreversibel nennt, findet immer eine
Entropieproduktion statt. Beispiele sind die Vermischung von zwei unterschiedlichen Gasen
und der Wärmetransport von einem heien zu einem kalten Körper. Die Wiederherstellung
des (oft ’geordneter’ genannten) Anfangszustandes erfordert dann den Einsatz von Energie,
oder Information . Reversible Prozesse sind nicht mit einer Produktion der Gesamtentropie
verbunden und laufen daher auch nicht spontan ab.
zwei Nutzungsarten
1. Kältemaschine:
Zu kühlender Raum (T1 ) dient als Wärmequelle. Umgebung (T3 ) ist Wärmesenke. T1 < T3 . reversible Prozesse
Leistungszahl K :
allgemein
K =
Q̇zu
zugeführte Wärme
Qzu
=
=
W
P
Arbeit des Motors
Carnot
K,C =
T1
T3 − T1
2. Wärmepumpe
Wärmequelle ist Umgebung (T1 ), Wärmesenke ist zb Warmwasserheizung (T3 ).
tungszahl W :
allgemein
Qab
Q̇ab
abgegebene Wärme ∼
W =
=
=
=3
W
P
Arbeit des Motors
Martin Wirz
Definition: Ein Prozess ist reversibel, wenn bei seiner Umkehr der Ausgangszustand wieder
erreicht wird, ohne dass Änderungen in der Umgebung zurückbleiben.
Mechanik: keine Wärmeentwicklung infolge Reibung.
Zustandsänderung von Gasen: Reibungsfreier und quasistatischer Prozess, Druck und
Temperatur des Gases sind zu jeder Zeit mit der Umgebung im Gleichgewicht.
irreversible Prozesse
LeisDefinition: Ein Vorgang ist irreversibel, wenn seine Umkehr zum Ausgangszustand nur unter
äusserer Einwirkung möglich ist, wobei eine Veränderung in der Umgebung zurückbleibt.
Beispiel: Diffusion (Regelmässige Stoffkonzentration),Wärmeübergang (Temperaturausgleich), Chemische Reaktion (Exotherm).
16
Folgerung
s = kB ln(P )
• irreversibel
• reversibel
ds > 0
ds = 0
• Alle spontan (in eine Richtung) ablaufenden Prozesse sind irreversibel.
• Alle Prozesse, bei denen Reibung stattfindet, sind irreversibel.
• Ausgleichs- und Mischungsvorgänge sind irreversibel.
• Wärme kann nicht von selbst von einem Körper niedriger Temperatur auf einen Körper
höherer Temperatur übergehen. Dazu ist eine Kompensation durch andere irreversible
Prozesse notwendig (z. B. Kühlschrank, Wärmepumpe).
• Das Gleichgewicht isolierter thermodynamischer Systeme ist durch ein Maximalprinzip
der Entropie ausgezeichnet.
• Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgewandelt werden. Dies wäre eine Realisierung eines Perpetuum Mobile zweiter Art.
Statistische Interpretation
Die statistische Interpretation des Zweiten Hauptsatzes ist: ein abgeschlossenes System,
sich selbst überlassen, wird immer den Zustand gröter Unordnung anstreben.
Transport Phänomene
mittlere thermische Geschw:
r
< v >=
Diffusion
Wärmeleitung—Drift
Transfer von Teilchen
Diffusion läuft in Richtung ab, in der
die Konzentration abnimmt
Teilchenstromdiche
Ficksches Gesetz
j(r) = −D grad n(r)
Transfer von Energie/Wärme
von Teilchen mit hohen Ekin zu tiefer
Ekin
Wärmestromdichte
Fourier Gesetz der Wärmeleitung
jQ (r) = −K grad T (r)
Diffusionskonstante
2
[D] = ms = µkB T
Wärmeleitfähigkeit
J
[K] = m·s·K
für Gase und Flüssigkeiten
D = 13 < v > Λ
für Gase und Flüssigkeiten
K = D 32 nkB = 21 nkB < v > Λ =
1
<v>
2 kB σ
stationärer Zustand:
j(x) = konst
∂j/∂x = 0 ∂j/∂t = 0
j
8 n(x) = − D
x + n0
Kontinuitätsgleichung:
Teilchenerhaltung
∂n
∂t + div j = 0
stationärer Zustand:
JQ (x) = konst
j
T (x) = − KQ x + T0
Diffusionsgleichung:
Dynamik n(r, t)
∂n
∂t − D∆n = 0
Wärmeleitungsgleichung:
Dynamik T (r, t)
∂T
∂t − DW ∆T = 0
K
DW = ρc
ρ: Massendichte
k: Wärmeleitfähigkeit
c: Wärmekapazität
Wärmestrom ( Pro Zeit durch A
fliessende Wärmemenge
)
R
IQ = dQ
dt = A jQ (r)dA
Kontinuitätsgleichung:
Energieerhaltung
∂ρQ
∂t + div jQ = 0
8kB T
πm
m:Masse Molekül
Teilchendichte n
Mittlere freie Weglänge Λ
Diffusion
Es wirkt keine äussere Kraft. Die Teilchen bewegen sich ungerichtet. Die ungeordnete
Wärmebewegung der Moleküle und Atome ist die treibende Kraft für Diffusion. Die
Wärmeenergie steckt in der kinetischen Energie der kleinsten Teilchen. Wirkt ein äusserer
Druck auf den beweglichen Wärmetransport, ensteht zusätzlich Drifft. Dies muss separat
betrachtet werden.
Martin Wirz
Die Stosshäufigkeit Γ
1
Γ = <∆t>
= <v>
Λ
Makroskopischer
/Stossquerschnitt Σ
Σ = Λ1
Mikroskopischer
/Stossquerschnitt σ
1
Σ = nσ ⇔ σ = nΛ
Ekin =< E >= N f /2kB T (Luft
f=5)
Wirkungs-
Wärmestromdichte jQ (r)
Wirkungs-
D=
1
3
[J/M 2 s]
<v>Λ
17
Die mittlere freie Weglänge Λ ist die mittlere Entfernung, die ein Teilchen zwischen des Wärmestroms.
zwei Stössen zurücklegt.
Die Stosshäufigkeit Γ ist die Anzahl der Stösse, die ein Molekül pro Zeiteinheit erleidet.
Wobei < ∆t > die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Stössen und < v > die mittlere
Wichtige Formeln
Geschwindigkeit eines Moleküls ist.
Wellenlänge λ = c/f
Wellenzahl k = 2π/λ
Kreisfrequenz ω = 2πν
Eine monochromatische, ebene Welle e(kx−ωt) hat die Phasengeschwindigkeit vp =
dω
Drift: Alle Teilchen haben eine gemeinsame Geschwindigkeit und Richtung. Drift oder die Gruppengeschwindigkeit vG = dk
stationäre Geschw vs : vs = µF
µ: Beweglichkeit
Die Diffusion läuft in die Richtung ab,
n(r) 6= konst ⇒ Dif f usion
n(r) ist die Teilchenkonzentration am Orte r.
in der die Konzentration abnimmt.
ω
k
und
Wärmeleitung
Der Wärmedurchgang lässt sich in drei Übertragungsmechanismen einteilen:
• Wärmeleitung
• Konvektion
• Wärmestrahlung
In Festkörpern tritt nur Wärmeleitung in Form einer Übertragung der Schwinungsenergien benachbarter Moleküle und der kinetischen Energien der Leitungselektronen in
Stossprozessen auf. In Flüssigkeiten kommt es auch ohne von aussen aufgeprägter
Zwangsströmung zu Strömung erwärmter Teilmengen, zur freien Konvektion. In Gasen
dominiert die Konvektion und die Wärmestrahlung zwischen den Wänden des Gasvolumens.
Im Vakuum ist der Wärmetransport durch Wärmestrahlung der einzige
Wärmeübertragungsmechanismus.
Wärmeleitung = Transfer von Energie von Teilchen mit hohen kinetischen Energien zu
Teilchen mit tiefen kinetischen Energien. Die kinetische Energie bei einer Temperatur
T ist gegeben durch < E >= 23 kB T Bei Nicht-Metallen hat es keine freien Elektronen
und bei der Wärmeleitung wird die Schwingungsenergie der Atome über das Kristallgitter
transportiert. Bei Metallen hat es zusätzlich freie Elektronen, die ähnlich wie im Gas oder
bei einer Flüssigkeit die Wärme leiten. ”Heisse” Elektronen diffundieren in kalte Regionen
und geben dort durch Stösse ihre zusätzliche Energie durch Stösse an die Kristallatome ab
bis sich ein Gleichgewicht eingestellt hat.
Der Wärmestrom bewirkt im Körper den Temperaturausgleich zwischen Bereichen
mit verschiedener Temperatur. So wirken Temperaturinhomogenitäten als treibende Kraft
Martin Wirz
18