einfache Formelsammlung

INHALTSVERZEICHNIS
1. ZAHLEN BEREICHE...
. ......................... 2
1.1 Teilbarkeit in N* ....... . .... ... ....... ..... ... ............ . .... ... . .... .... .. .. .... ...... 2
1.2 Termumformungen
.... . ........ ..... ..... . . .......
. ..... ... .. ..... 3
1.3 Bruchrechnen ................................ .... .............
. . .3
1.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen .... .... .............. ... .. ........... ... ...... .3
1.5 Mittelwerte .... ............ .. ............. .. ......... ...... ........... ........ ........... S
2. LÖSEN VON GLEICHUNGEN .......................................... .... ..... ..... .S
2.1 Lösen linearer Gleichungen und Gleichungssysteme
............... S
2.2 Äquivalenzumformungen.. . . . . . . . . . . ............. ...... .
. .. 6
2.3 Lösen quad ratischer Gleich u ngen .
..............
6
2.4 Gleichung n-ten Grades
............ .
. .... .7
3. GEOMETRIE .
......... ... .
...7
3.1 Das Dreieck
...... .7
3.2 Das Viereck ........................................ .... ........ ....... ....... ...... ..... ... .8
3.3 Strahlensätze, Teilungen einer Strecke
............... . .. .... . ..... .... . .... 10
3.4 Stereometrie ............................ .......... ..... ... ... .. .... .... .. ..... ... . ....... 11
4. TRIGONOMETRIE .... ... ... .......
.. ..... ... .
....... 12
4.1 Kreisfunktionen .......... . ....... .. ... .. .... .. .... .. .. .... ... ... ... ..... ... ........... . .12
4.2 Ebene Trigonometrie
...... 13
5. ANALySiS ......... ... .. .
.14
5.1 Folgen
........................
. ... . .. . ........ 14
5.2 Zinseszins, Renten, Abschreibung
....... .14
5.3 Grenzwerte .............................. ... .... .. .... ........ ... .. .. ... ... .... ... .. .. .15
5.4 Differenziation.
.... 16
5.5 Integration .............. ... .
. .. ............ ... ........ 18
6. LINEARE ALGEBRA
...... ... ......... ........... 20
6.1 Matrizen..
. ............. ...... ... .... .... ............. .... ......... .. ..... ....... 20
6.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) ........................... ............ . ........ 20
7. STOCHASTIK (WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG) ............ . ....21
7.1 Kombinatorik
.......... . ............................................. ...... . .. 21
7.2 Ereignisse .................... .. .. .
. ..... ... .. .. ... ......... .... . .... ....... 22
7.3 Wahrscheinlichkeiten
....... ... ... .... . .. . .... 23
7.4 Verteilungen . .... .......
. ........ . ........ . ......................... 24
7.5 Spezielle Verteilung .................. .. ... ... .... ........... .. .... .. .... ... ... ... ... ... 25
8. WIRTSCHAfTSMATRITZEN
........... ........ .... ....... .. .. .... .. ... . ... 27
8.1 Leontieff-Modell (Firmenverflechtungen) ... .
.....
. ... 28
9. ANALYTISCHE GEOMETRIE (VEKTORIELLE GEOMETRIE) ... ... ..29
•
•
1. ZAHlINBIRIICHI
•
Zahlen
nicht
negativ
nicht
positiv
negativ
Z
Z
positiv
N*
N
N
N
ganze
Z
Z*
Z ;:'0 oderZ
rationale
Q
Ql*
Ql ;:'0 oderQl +
Ql oderQl*
Ql $ 0 oderQ -
Q < 0 oderQl*-
reelle
IR
IR*
IR ;:'0 oderlR
IR oderlR*
IR oderlR
IR oderlR*
natürliche
N
= {I, 2, 3, ... }
Tei'bar~eit
1.1
Z
+
+
Z
>0
oder Z*
+
>0
+
>0
= {...,-2, -1, 0,1, 2,... } Q=
+
~o
oderZ
~o
<0
oderZ*
<0
Menge aller Zahlen, die sich als
Bruch schreiben lassen
in N*
TEl LBARKE ITSREG ELN
1. Ist tTeiler von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Summe a + b.
2. Ist tTeiier von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Differenz a - b.
3. Ist tTeiiervon a und a Teilervon b, dann istt auch Teiler von b (Transitivität).
4. Ist tTe iler von
a, dann ist tTeiler jedes Produktes a . b.
Teiler (t)
natürliche Zahl ist durch tteilbar, ...
2
wenn ihre letzte Ziffer eine 2, 4, 6,8 oder 0 ist .
3
wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3
teilbar ist.
4
wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind .
5
wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.
6
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
8
wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind .
9
wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
10
wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.
•
1.2 Termumformungen
Addition
Multiplikation
Kommunikativgesetz
a · b=b · a
Assoziativgesetz
a + (b + e) = (a + b) + e
Distributivgesetz
a . (b + e)
o . (b . e) = (a . b) . e
a .b +a .e
=
(a + bF = a 2 + 2ab + b 2
(a - bF
a 2 - 2ab + b 2
=
(0 + b)· (a-b)
Bin omisch e Forme ln
=
a 2 -b2
1.3 Bruchrechnen
a
a·c
a
a:c
b
b ·c
b
b :e
a
e
a
c
b
d
b
d
Erweitern/
Kürzen
-
Addition/
Subtraktion
- + - = --
-- - = - -
Multiplikation/
Division
a c
a·c
b d
b·d
= -
od+bc
bd
ad-be
a c
bd
a ·d
b d
b·c
-:- = -
1.4 Potenzen, Wurzeln und logarithmen
on =
mit
0·0 · .. . ·0
0
E IR \ {O}; n E N
n Faktoren a
Potenz an Basis a (Grundzahl) und Exponent n (Hochzahl).
Sonderfälle sind: 0 0 = 1
P
Für
0
1
=a
a-n
1
an
= -
I
a~ =(aP )~ =if:;
gilt mit oE IR
+
gleiche Basis
gleicher Exponent
_ _--11 Potenzieren
a m . a n = a m+n
an. b n = (0· b)"
----
an : b n = (a : b)"
•
Wurzeln
a=
en ist gleich e =
~
(ge lesen : n-te Wurzel aus a) . a E R
a
Radikant
n
Wurzelexpon ent
{;
Quadratwurze l
v-;
n Ef\!, e <!: 0
Kubikwurzel
Wurzelgesetze
gleiche Basis
gleicher
Exponent
Potenzen
a'· aS= a'+S
a' . h' = (a . h)'
(a')' = a' ·S
a': aS= a'-S
a': h'
=
Wurzeln
~ · fb={;;b
(~r
efaft; ~
(a;>,O)
=
(a<!:O,h>O)
Logarithmen
h = aCist gleich e = logah
aE JR \{O; l},hEJR
+
Man nennt e Logarithmus, a Basis, h Numerus.
Insbesondere gilt: loga1
= 0, lo goa = 1, a
1og
, b
=
h
log (u ·v) =log u+log v
a
a
a
Logarithmengesetze
log - =Iog u-Iog
Basiswechsel
log h In h Igh
log h= _O_ = _ =_
C log e in e Ige
u
o V
0
o
v
0
Achtung: logl a ist nicht erklä rt!
log u' =rlog u (rE JR )
a
a
nl 1
log Vu= - Iog u (n E f\!)
o
n
0
•
1. 5 Mittelwerte
bei 2 Größen a1 und a2
1
2
Arithmetischer
Mittelwert
A= - (a + a )
1
bei n Größen a 1 , a 2: · · ,an
1
A =- (a +a + ... +a )
2
n
1
2
n
Quadratischer
Mittelwert
2. LÖSEN VON GLEICHUNGEN
2.1 Lösen linearer Gleichungen und Gleichungssysteme
Additionsverfahren mit zwei Variablen
1) Beide Gleichungen addieren/subtrahieren, um eine Gleichung mit nur einer
Variablen, zum Beispiel x, zu erhalten
2) Diese Gleichung nach der Variablen
x auflösen
3) x in eine Ausgangsgleichung einsetzen undy ermitteln
Gleichsetzungsverfahren mit zwei Variablen
1) Beide Gleichungen nach der sei ben Variable (zum Beispiel x) auflösen
2) Den Term für x aus der ersten und zweiten Gleichung gleichsetzen und y ermitteln
3)y in eine Ausgangsgleichung einsetzen und x ermitteln
Einsetzungsverfahren mit zwei Variablen
1) Eine Gleichung nach x auflösen
2) Den Term für x in die zweite Gl eichung einsetzen und y ermitteln
3)y in die erste Gleichung einsetzen und x ermitteln
Gaußsches Verfahren
a ll x I + a 12x 2 + a 13 x 3 = PI
b ll x I + b I2 X 2 + b 13x 3 = ql
= P2
= P3
+ b 22 X 2 + b 23 X 3 = q 2
a 21x I + a 22 x 2 + a 23 x 3
a 31x I + a 32 x 2 + a 33x 3
Siehe auch Kapitel 6.2
+ b33X 3 = q 3
2.2 ÄC{uivalenzurnforrnungen
Zwei Gleichungen gelten als äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.
Äquivalenzumformungen linearer Gleichungen
1) Addieren derse lben Zahl zu beiden Seiten einer Gleichung
2) Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zah l
3)Addieren oder Subtrahieren von Gleichungen miteinander
2.3 Lösen C{uadratischer Gleichungen
Quadratische
Gleichungen
allgemeine Form: ax2 + hx + C = 0, wobei a, h, c konstant und a ::j: 0
Normalform: x 2 + px + q = 0, wobei p, q konstant
Lösungsformeln
Fü r allgeme ine Form
=_~±~b' -4a(
x
1 ,2
Diskriminante
Anzahl der
Lösungen
Für Normalform
4a 2
2a
0=( 12)2
-q, daher x
2
=
1 .2
_12 ±Fo
2
Falls 0 > 0: zwei Lösungen
x, =-;+~(;r-q
Falls 0
x, =-;-~(;r-q
und
= 0: genau eine Lösung, x
=
1
x
2
=_122
Falls 0 < 0: ke in e Lösung im Bereich der reellen Zahlen .
VietaFormeln
Hat x 2 + px + q = 0 die Lösungen
Xl + x 2 = -p und X l • x 2 = q
Linearfaktorzerlegung
Hat x 2 + px + q = 0 die Lösungen
Quadratische
Ergänzung
x 2 + px + q = (x - xJ (x - x2 )
2
x + px + q =
(X
+;
r-(; r
+q
Xl
und x 2' dann gi lt:
Xl
und x 2 ' dann gilt:
•
2.4 Gleichung n-ten Grades
Gleichung n-ten Grades: 0 nx n + 0 n_l x n-1 + ... +
0 l X+ 0 0
=0
Eine Nullstelle X o wird durch sinnvolles Probieren (Einsetzen in die Gleichung) erraten . Nun kann die Ausgangsgleichung durch "Polynomdivision" durch den Linearfaktor
x - X o oder durch das " Horner-Schema" mit der Lösung x o auf eine Gleichu ng vom
Grad n-1 reduziert werden . Die erhaltene reduzierte Gleichungwird von Neuem auf
Nullstellen untersucht. Eine Gleichung n-ten Grades hat höchsten s n verschiedene
Lösungen . Ist n ungerade, so hat die Gleichung mindestens eine reelle Lösung.
3. GEOMETRIE
3.1 l>as l>reieck
Seiten
0,
b, c, Winkel a, ß , y, Höhe h, Flächeninhalt A, Umfang U
W.I.<;:.~.1! ~.~ .P.'='.~.~.T.~.
Umkreismittelpunkt
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
Inkreismittelpunkt
Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden .
Höhenschnittpunkt
Die Schnittstelle der drei Höhen.
Schwerpunkt
Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden.
Der Schwerpu n kt tei It jede Seiten ha Ibierende
vom Eckpunkt des Dreiecks aus im Verh ältnis 2 : 1.
Gleichschenkliges Dreieck
° = b; a = ß
c
U = 20 + C
1
A= - c-h
2
c
ill
,
i h(
a
A
:.
c
ß
B
c
Gleichseitiges Dreieck
a =ß=y =60
0
U = 3a
a=b=c
A
c
B
Rechtwinkliges Dreieck
y = 90
0
U= a + b+c
Satz des Pythagoras:
a2 + b2 = c2
Kathetensatz:
a2 = c · p ; b2 = c· q
Höhensatz:
h2 = P . q
c
A
B
Allgemeines Dreieck
a + ß + y = 180
0
U = a + b +c
111
A=-a·h =- b ·h =- c·h
2
a
2
b
2
c
KONGRUENZSÄTZE
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
1) drei Seitenlängen übereinstimmen (sss) z.B.: a = a '; b = b'; c = c'
2) zwei Seitenlängen und dem von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel
übereinstimmen (sws) z.B.: a = a'; b = b';y=y'
3) zwei Seiten längen und dem Gegenwinkel der längeren Seite überein stimm en (ssw) z.B.: a = a ' ; ß = ß ' ;y= y'
4) einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen (wsw)
z.B.:a=a'; b=b '; a=a';c>a
1>_</-;:;
3.2 l>as Viereck
Beliebiges Viereck
a+ß +y +0 =360°
D \ :------- ___
~ • •"", •• fl.,"
A
----- -fi B
c
I
Rechteck
Alle Innenwinkel betragen 90°.
a=ß=y =0=90°
Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
M Mittelpunkt
0
e,j Sch rägachsen
m 1 , m 2 Symmetrieachsen
p-----
.-----~
1
-
_----- M: ----
br_------ e
:
m2
t -------r:;
a
A
e= f=~a2 +b2
Quadrat
B
o
Alle Innenwinkel betragen 90°.
c
~'"
ß = y = 0 = 90°
und a = e = b = d
Die Diagonalen sind zueinander senkrecht.
=
'i m
d ___________ ~:~::;+~::~=:----------- b
a=e;b=d
U = 2(a+b); A = a . b
a
c_~----..,., C
..-:::-r_ _ _ _
C
, ,t ,/'
"',,~,
d
"
I
,~
,,'
- - - - - - -- - :.~- -- - - - - -m2 M :'"
M Mittelpunkt und Drehzentrum
e,j, m1 , m 2 Symmetrieachsen
/:{// :m>"\;
U = 4a; A = a2
a
A
e= f =a!i e.lf
b
B
Parallelogramm
Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang.
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
M Mittelpunkt
0
c
C
e,j, m1 , m 2 Diagonalen
b il d und all e
a = e; b = d;
e undfhalbieren sich.
A
U = 2 (a+b); A = a . h
Trapez
D~_ _ _ _ _ _C
_ _~~_ _~C
,,
,,--
Zwei Seiten sind zueinander parallel.
U=a+b+e+d
B
a
_-1
-
:::,.~:: _____ hi
d
A= a+e· h
2
b
,A
a
B
•
3.3
Strahlensätze~
Teilungen einer Strecke
Stra h lensätze:
~
1) Wenn AA' IIBB'dann ISAI:lSBI=lsA'I:lSB'1 und umgekehrt.
~
2) Wenn AA' II BB' dann SAi:ISBI=IAA'I:lBB'1 .
'"
Teilverhältnis:
1) TteiltAB, im Verhältnis t, wenn
2) TteiitAB, im Verhältnis x, wenn
x
Zusammenhang: t = I-x
AT =t ·m
AT = x ·M
B
A~
(x;-,l)
Harmonische Teilung:
Cund 0 teilen AB harmonisch, wenn AB von Cim
Verhältnis
t und von 0 im Verhältnis -t geteilt wird.
a
C und 0 teilen AB harmonisch, wenn
1) A, B, C und 0 auf einer Gerade liegen,
2)CEAB, DEAB, C;-,B und O;-,B ,
3) IAOI:IBOI=IACI:IBCI.
C
A
a
0
B
allb
Die Halbierenden eines Dreiecksinnenwinkels und seines Nebenwinkels
teilen die Gegenseite harmonisch im Verhältnis der anliegenden Seiten :
T mit TEAB teilt AB nach dem goldenen Schnitt, wenn
IABI:lATI=IATI:lTBI
oder
x 2 =IAd =IABI ·ITBI
oder
•
3.4 Stereometrie
Bezeichnungen
d
räumliche Diagonale
r
Umkreisradius
0
Oberfläche
h
räumliche Höhe
P
In kreisradius
M
Mantelfläche
5
Länge der Seitenkanten
V
Volumen
C
Grundfläche
Quader:
V=a·b·c
0= 2 . (ab + bc + ca)
c
d = ~a2 + b2 + c 2
b
a
Pyramiden:
O=C+M
a) unregelmäßige Pyramide
V =!'C'h
M = Summe al ler seit lichen Dreiecksflächen
3
b) dreiseitige regelmäßige Pyramide
1
V=- ·C·h
3
a ·h
M=3-'
2
c) quadratische Pyramide
v=LC·h oder
3
V=L a 2·h
3
M=2·a ·h
d) sechsseitige regelmäßige Pyramide
V=! ·C·h oder
3
v=!J3 ·a2·h
2
a
M=3 ·a·h
'
Hexaeder (Würfel) :
V = a3
r=~.h
2
0 = 6a 2
a
P=2
/a
..:.
a
Drehzylinder (Senkrechter Kreiszylinder):
C = TT' r2
M=2TTr·h
h
O=2TTr(r+h)
Drehkegel (Senkrechter Kreiskegel):
1
1
2
V=-·C·h=-·nr ·h
3
3
0= TT r (r+ 5)
M=TTrs
Kugel
4
V=-'nr
3
3
Kugelsegment:
n 2(3r-h ) =-nh
1 (3r 2+h 2)
V =-·h
3
6
1
2 2h
Kuge Iaussc hnitt: V=-nr
3
Kugelsch icht:
M=2nrh=n(r 2 +h 2 )
1
M=2nr( h+~)h(2r-h) )
2
M=2nrd
4. TfUGONOMETRJE
4.1 Kreisfunktionen (trigonometrische funktionen)
Trigonometrische Funktionen werden im Allgemeinen am Einheitskreis (r=l) veranschaulicht, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist. Ist A(lIO) und ist P(ulv) ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis, so wird a durch den Winkel <S.AOP dargestellt,
welcher immer von der positiven x-Achse aus, gegen den Uhrzeigersinn, gemessen wird.
I
Es gilt:
cos a = u
(Abszisse von P)
sina= v
(OrdinatevonP)
y
si n a
tan a = - - a",(2k+ l)-90o
cosa
cosa
cot a = - - a",k- 180° kE 'll
sina
Darstellung am rechtwinkligen Dreieck:
c
[ Hypothenuse
b Ankathete zu a und Gegenkathete zu ß
a Gegenkathete zu a und An kat hete zu ß
- a = cos ß
-a = S In
[
[
a
-=tana=cotß
b
b
- =cota=tanß
a
a
b
- ß
-b = cos a = s In
a
ß
A
B
c
Zusammenhänge zwischen den Kreisfunktionen
sin 2 a +cos 2 a=1
sin 2 a = (sin a )2
1
1
cota=-1+tan 2 a = - tan a
cos 2 a
(entsprechend bei cos, ta n und cot)
1
2
l+cot a =- sin 2 a
4.2 Ebene Trigonometrie
Sinussatz:
Kosin ussatz:
a
b
[
- - = -- = -- = 2r
sin a sin ß sin y
[2
= a 2 +b 2 - 2ab -cos y
a +ß
t an- Ta ngenssatz:
2
----'=---
tan a-ß
2
a+b
a-b
Dreiecksinhalt:
A=~ab-sin
y
2
Projektionssatz: a=b-cos y +C"cos ß
I
5. ANALYSIS
5.1 folgen
Arithmetische Folge: a
-a =d (d konstant) für allen EN. Es gilta =a +(n-1)·d
Geometrische Folge: a
=q'an (q konstant) für alle nEN. Es gilt an =a1qn-1
n+ l
n+ l
n
n
1
Summe der n ersten Glieder einer
n
n(n-1)
arithmetischen Folge: a +a + .. .+a =-(a1+an)= na +
·d
12
n 2
1
2
n_1
geometrischen Folge: a +a + ... +a =a ._q1
2
n
1
1
q,,<1
C/n
n
n
"(ra
a +s"~ bk
~
k+sbk)= r"
~ k
k-1
k-1
k-1
n
Summenzeichen: a +a + . .. +a =:" a
1
2
Fakultät: n! :=1-2-.. .·(n-1)·n
n
~ k
k-1
0! :=1
1! :=1
Binomischer Satz: (a+b)2= ( ~ )an +( ~ )a - b+( ; ).nn-w + ... +( : )'b =
n1
n
i( ~ )an-kH
k=O
Bernoullische Ungleichung:
(l+a)" >l+n'a für n>l
und l+a~O mit a",O
(verschärfte Ungleichung)
5.2 Zinseszins, Renten, Abschreibung
Zinsrechnung:
Z = Zinsen im Zeitraum, K = Kapital
K·i· p
Z=--
1200
36000
i = Monate im Zeitraum, t = Tage im Zeitraum
Zinseszins:
Kn = Kapital nach n Jahren, Ko = Anfangskapital
q = Wachstumsfaktor, p = Zinssatz in %, n = Jahre
Ratensparen :
K = R'(1+q+q2+ .. .+qn)
K·t ·p
Z=--
K =K .qn
n
0
I
k = Kapital, R = Rente, r = Zinsfaktor, n = Laufzeit in Jahren, W = Abschre ibungsbetrag
p Zinsfluß (in %); r=l+ L Zin sfaktor (oft auch q) ; b =l- L Abschreibungsfaktor
WO
WO
~----------------~
Endwert nach n Jahren
rn - 1
n
r -1
R =_R ._n
b
r r -1
R =R·-r-1
r n -1
Abschreibung
W = W
n
0
b
·bn
5.3 Grenzwerte
w
o
n
1
rn- 1 r-1
=....!!.-.r
R'
R' =R·r· - r-1
= W
n
:bn
n
Wichtige Grenzwerte
lim
n-(X)
~=o
lim
n
n-oo
Rechenregeln: Falls lim a =a und
n
n-oo
(1+~)
n
lim
=e
qn=0
n-co
lim b =b, so gilt:
n-oo
n
lim (a +b )= a+b lim (a - b )= a-b lim (a ·b )= a·b li m an = ~ fü r b ",0 und
n
n
n-oo
n
n
n--0tJ
n
n
(J--+-f:IO
--
b
b
n
b",O
n
Vollständigkeit von JR
Supremum:
Kleinste obere Schranke einer nicht leeren, nach oben
beschränkten Menge M reeller Zahlen .
Größte untere Schranke einer nicht leeren , nach unten
beschrän kten Menge M reeller Zahlen.
Infimum:
Grenzwerte bei Funktionen
a heißt Häufungspunkt der nicht leeren Menge A reeller Zahlen , wenn es in jeder
Umgebung von a ein von a verschiedenes Element aus A gibt.
Eine Zahl 9 ist Grenzwert einer Folge an' wenn es für jede beliebig kleine, positive
Zahl & ein
n gibt, so dass gilt:
Die Funktion
f
lan-gl <&
:O-;. JR hat im Häufungspunkt a von 0 den Grenzwert g, wenn für
alle gegen a konvergierenden Folgen (x ) mit x EO und x '" a die Bildfolgen
n
n
n
(f( x n )) gegen 9 konvergieren .
Schreibweise: lim f( x )= g ; Sprechweise: Limes f(x) für x gegen a gleich
g.
I
Wichtige Grenzwerte bei Funktionen:
, sin x 1
II m - - =
x-o
lim (x ,lnx )=O
lim
x-o
X
X- GO
~=O;
x'
(rE IR > O)
5.4 nifferenziation
(x o Häufungspunkt von 0)
Die Funktion
f
:O-"' IR
heißt an der Stelle X EO differenzierbar
o
mit der Ableitung 1'( xo )' wenn gilt:
lim f( x )- f( x)
x-x
o
j'( x )
x - xo
0
Differenzen:
Differenzenquotient:
I'> x:= x - x o
I'> y
_
=
f (x +1'> x )- f( x )
0
Steigung der Sekante
I'> X
Differentiale:
dx := I'> X
Differentialquotient:
df = j'( x )
0
dx
Steigung der Tangente
I'> y:= f( x )- f (x 0 )
0
I'> X
df:= j'( x o )I'> X
Ableitungsregeln
Falls die Funktionen 9 und h in x differenzierbar sind, gilt:
Additivität:
f( x )= g(x )+h(x ) ~ j'( x )= g'(x )+ h'(x)
Konstanter Faktor
f (x )= c-g(x ) ~ f'( x )= c-g'(x )
Homogenität
Produktregel:
f( x )=g(x )'h(x ) ~ f'( x )=g'(x)'h(x )+ g(x )'h'(x )
Quotientenregel:
f( x )= g( x )
h(x )
h(x );o'O
j'( x ) = g'(x )'h(x )-g(x )H(x )
(h(X))2
I
Die Fun ktion f(x)
=
h(g(x)) ist an der Stelle x differenzierba r, fa Ils fan der Stelle x
und h an der Stelle g(x) differenzierbar ist. Hierbei gilt:
Kettenregel: f(x)=h(g(x))
= j'(x)=h'(g(x))·g'(x)
Sätze für die Kurvendiskussion
f
:O~ IR
; ! ist ein Intervall aus 0 und \ EO. f ist ggf. dreimal differenzierbar auf!.
Eigenschaft von Kurven
fist auf I monoton steigend
j'(x»O für alle xE!
j'(x):20 für alle xE!
j'(x)<O für alle xE!
fist auf I streng monoton fallend
{;
j'(x)sO für alle xE!
.2
..,l:'
tU
fist auf lInksgekrümmt
j"(x»O für alle xE!
fist auf rechtsgekrümmt
j"(x)<O für alle xE!
charakteristische
Punkte von Kurven
fhat an Xo ein
Maximum.
(xo IJ(x) Hochpunkt
fhat an Xo ein
Minimum.
(xo IJ(xo)) TIefpunkt
fhat an Xo eine
Wendestelle.(xoIJ(x)
Wendepunkt
0
notwendige Bedingung
j'(x )=0
0
j"(x ) < 0 oder j'(x )
o
0
hat einen Vorzeichenwechsel von + zu j"(x ) > 0 oder j'(x )
o
j'(x )=0
0
0
hat einen Vorzeichenwechsel von - zu +
j"'(x );0' 0 oder j'(x )
o
j"(x )=0
0
hat keinen
Vorzeichenwechsel
0
11
5.5 Integration
Die differenzierbare Funktion f : o ~ IR heißt Stammfunktion der Funktion
f : o~ IR , wenn F'=f gilt. Ist Feine Stammfunktion der auf einem Intervall 0
definierten Funktionj, so erhält man alle Stammfunktionen vonfdurch
x f-+ F(x)+c, xE 0, wenn c alle reellen Zahlen durchläuft.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Istfauf dem Intervall 0 stetig, dann ist
x
die auf 0 definierte Integralfunktion I : Xf-+ ff(t)dt differenzierbar.
Es gilU'=f
Ist F eine beliebige Stammfunktion der auf dem
b
Intervall 0 steigenden Funktion j, dann giltfür a, b E 0 : f f(t)dt=F(b)-F(a)
Durchschnitt / Mittlerer Funktionswert:
o<>-
m= _1_.
b
r f(x)dx
b-a Ja
1= [a;bJ
~
Eigenschaften des Integrals
~
Für f : o~ IR und g:O ---'>IR (0 Intervall) gilt bei a,b,cEound s,rEIR:
ff(t)dt+ ff(t)dt= ff(t)dt
Intervalladditivität
Vertauschen der
Grenzen
a
b
f f(t) dt = - f f(t)dt
b
msf(t)sM
für alle tE [a,b] folgt:
b
m(b-a)s ff(t)dtsM(b-a)
Abschätzba rkeit
Istf stetig auf[a, b], dann gibt es ein cE ]a,b[, sodass gilt:
b
Mittelwertsatz der
f(c)'(b-a )= ff(t)dt
Integralrechnung
f(rf(t) + sg(t)) dt = rf f(t) dt+s fg(t) dt
Linearität
I
Ausf(t)sg(t) füralle tE [a,b] folgt:
J f(t) dts J g(t)dt
Monotonie
a
Partielle
Integration
(Produktintegration)
Jf(t)g'(t)dt= f(b)'g(b)- f(a)'g(a)- JJ'(t)'g(t)dt
a
Sindfund g' stetig und existiertfog, dann gilt
b
Integration durch
Substitution
gIb)
Jf(g(t))'g'(t) dt= J f(x) dx
a
g(a)
==
Falls 9 noch
umkehrbar ist, gilt
mit x = g(t) und
dx = g'(t) dt
d
g-l(d)
Jf(x)dx= J f(g(t))·g'(t) dt
g- l(C)
C
-
Ableitung f; f = F"
Funktion f; f = F'
eine Stammfunktion F zuf
J' (x)
f(x)
F (x)
o
a (konsta nt)
a·x
x' (rElR)
1
1
- (x;o<O)
x
_1· X ' +1
r+1
(r;o<-l)
Inlxl
u'(x) (u(x);o< 0)
u(x)
Inlu(x)1
Inx (x>O)
x·lnx-x
log (x) (x>O)
-·(x'lnx-x)
Inb
cosx
sin x
- cos x
- sin x
cosx
sin x
1
x
1
1
x'lnb
b
I
6. LINEARE ALGEBRA
6.1 Matrizen
Eine Anordnung von n . m Zahlen in n
Spalten und m Zeilen heißt Matri x.a)st
die Zahl in der ;-ten Zeile und k-ten Spal -
A=(a)=
,k
te (Beachten : Erster Index kennzeichnet
die Zeile, zweiter die Spalte). "Quadra-
a11 a12 ···aIn )
a a · ··a
.21
?n
22
.
..
( .
aml am2 ··· amn
tische Matri x" bei n = m.
Matrizenmultiplikation:
C
ik
= 1. Zahl der ;-ten Zeile mall. Zahl der k-ten Spalte plus 2. Zahl der ;-te n Zeile
mal2. Zahl der k-ten Spalte usw.
AoB= C
(
~.:
:
11
. .. a
) ( ...bb .. .b) ( ~:
In
lk
Ir
...
=
2k
0
... C
Ik
:
)
IR
:
a
b
cmk
ml
nk
cik =ai1 b1 k +a;2 b2k + ··· +ain bnk
A: m X n-Matri x; B: n X r-Matri x
= AoB : m Xr-Matri x
a C)o( r u ) = ( ar +cs au+cv ) ;
(b d
5 V
br+ds bu+dv
Aox~ = ( a11 a12 ) 0 ( X1 ) = ( a11 X1 +a12 X2 )
a
6.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
a11 X1 +a12 X2 + ··· + aIn Xn =b1
a2x1 1+a
x +···+a2nn
X =b
222
2
kurz
aml X1 +am2 X2 + ···+amn Xn =bm
X2
a
2122
f)
(Q,.If)
a
X +a X
211222
I
Eigenschaften von LGS
LGS werden mit dem Gaußschen Verfahren gelöst (siehe hierzu auch Kapitel 2.1).
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems erkennt man erst, nachdem das LGS in Dreiecksform umgewandelt wurde (siehe hierzu Kapitel 2.1).
Hat ein LGS weniger Gleichungen als Unbekannte, so ist das LGS mehrdeutig lösbar (unendlich viele Lösungen) .
Hat ein LGS mehr Gleichung als Unbekannte, so ist das LGS unlösbar.
Hat ein LGS die gleiche Anzahl von Gleichungen wie Unbekannte, so ist das LGS
eindeutig lösbar (eine Lösungfür jede Unbekannte) .
7. STOCHASTIK [WAHRSCHEINliCHKEITSRECHNUNG)
7.1 Kombinatorik
Die Anzahl der Elemente der endlichen Mengen Al' A2 ,
...
An sei lA l l,
IA2 1, .·.IAJ
Summenregel:
IA1UA2 1= IA1I+IA2 I-l A1nA2I
IAl UA2UA31= IA1I+IA21+1 A31-IAl nA21-IA2n A31-IA3nA11+ IAl nA2nA31
U ... UAn 1= IA12
I+IA 1+ ···+IAn I,
IA1UA
2
Produktregel:
IA·A
· ... ·An 1=
1
2
IA1 I·IA2 I·····IAn I
falls Ai nAk für alle
; .. k
•
0
tr
'"~
~
'"
Urnen modell:
Aus einer Urne mit
n Kugeln werden
k Kugeln gezogen
Alphabet:
n Buchstaben
und k Plätze
AnzahlA
Ziehen mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
k-Tupel mit
Wiederholung
A = nk
Ziehen ohne Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
k-Tupelohne
Wiederholung
A=_n_!_
(n-k)!
Sonderfall:
Vollerhebu ng
n-Tupelohne
Wiederholung
A =n!
Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfo lge
k-elementige Teilmenge
A=(~)
Ziehen mit Zurücklegen
ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
Anordnung auf k Plätzen mit
Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
A=
n!
k!·(n-k)!
n-l+k
n-l
7.2 Ereignisse
Wahrscheinlichkeitssprache
Symbol
Mengensprache
Ergebnisraum
5 (auch Q)
Grundmenge
Ereignis
A
Teilmenge
Elementarereignis
{aJ
einelementige Teilmenge
Ereignisraum
~ (5)
Potenzmenge
sicheres Ereignis,
unmögliches Ereignis
5,
0
Grundmenge,
leere Menge
A oder B
AUB
Vereinigung
A und B
AnB
Durchschnitt
Gegenereignis
,Li;
Komplement
A und B sind unvereinbar
AnB=rjJ
A und B sind elementefremd
I
7.3 Wahrscheinlichkeiten
5 = {al' a 2, ... , a) sei die endliche Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.
Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen: Die Funktion P: 5 ~ IR mit
n
1) P(a):<?O für alle ai
2) 2:P(a)=l
heißt Wahrscheinlichkeitsjunktion auf 5.
P(a) ist die Wahrsche inlichkeit des Ergebnisses ai"
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen : Die Funktion P:
s.p (5) ~ IR
mit
n
1) P({a}):<?O für alle ai
I
4) P(0 )=O
2) 2: P({a)) = 1
heißt Wahrscheinlichkeitsjunktion auf der Potenzmenge
s.p (5).
P(A) ist die Wahrscheinlichke it des Ereignisses A.
Eigenschaften:
P(A):<?O (Nichtnegativität)
P(AUB)=P(A)+P(B), falls AnB=0 (Additivität)
P(5)
= 1 (Normiertheit)
Diese drei Eigenschaften (auch Kolmogoroff-Axomie genannt) kennzeichnen
nach Kolmogoroff eine Wahrscheinlichkeitsfunktion . Die Wahrscheinlichkeiten
von Ereignissen sind damit nicht festgelegt.
WEITERE EIGENSCHAFTEN
.....................................
P(AUB)=P(A)+P(B)-p(AnB) (allgemeine Additivität)
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-p(AnB)-p(BnC)-p(CnA)+p(AnBnC)
P(A)=l-P(A) (Satz vom Gegenereignis)
A ~B=P(A)$P(B) (Monotonie)
P(A)=p(AnB)+p(AnB") (Wahrscheinlichkeit bei einer Zerlegung)
P(A)=p(AnB1 )+ .. . +p(AnBn ),falis B1 , ... , Beine
Zerlegung von 5 ist.
n
Laplace-Experiment:
Alle n Ergebnisse haben die gleiche Wahrsche inlichkeit
.!
(Laplace-Wahrscheinlichkeit) .
n
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A:
P(A)=~=~
151 n
Pi A) ist für
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
P(B) .. O die Wah rsc heinlichkeit
von A unter der Bedingung B.
P (A)= p(AnB)
B
P(B)
Multiplikationssatz:
p(AnB)=p(A) 'P (B)=P(B) 'P (A)
Unabhängigie Ereignisse A und B:
p(AnB)=p(A)'P(B)
B
A
Satz von Bayes für B, B: P (B)=
A
P(B)'P (A)
B
P(B) 'P (A)+P(B) 'P_(A)
B
B
P(B ).p (A)
bzw.füreineZerlegungBl , .. . ,Bn von5: PA(B )=
k
k
B,
P(B ).p (A)+ ... +P(B ).p (A)
1
B
1
n
B
n
7.4 Verteilungen
Es sei 5 = {a l ' a2, .. . , a) die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments, P eine
Wahrscheinlichkeitsfunktion aufs:p (5).
Zufallsvariable (Zufallsgröße) ist eine Funktion X:5 ~ lR ; Wertemenge
X(S)= {Xl' X 2, ... ,xm }·
Das Ereignis "X = x k " ist die Teilmenge der Ergebnisse von 5, die durch X auf x k
abgebildet werden:"X = x k " = {a I X (a) = x k mit AES }
•
Wah rsehei n lieh keitsfu n ktion
Verteil u ngsfun ktion
einer Zufallsvariablen X:
einer Zufallsvariablen X bei Xl < x 2 < ... <x m :
F: IR ~ IR mit
f:{x , ... ,xm }~ IR
1
X
f--+ pk mit pk = P (X = x)k
k
:
11
1
+p2 +. .. +pk
Erwartungswert einer Zufallsvariablen X:
für
für
x<x
1
X s x<x
für
X sx
k
k+l
m
Statt E (X) auch J.1 oder J.1 x '
E (X) = Xl ' P1 + X2 ' P2 + ... + Xm ' Pm
Linearität des Erwartungswertes: E (a· X + b· Y)
=
a· E (X) + b· E (Y)
Produktregel, nur für unabhängige X, Y: E (X' Y) = E (X)· E (Y)
Varianz einer Zufallsvariablen X: Statt Var (X) auch V (x),
0
2
oder 0 x2
Var(X)=(x 1 -,.I.j2.p1 +(x2
-f.l.?·P
+.... +(x -f.l.f-p
2m
m
Var(X)=E((X -,.Iy); Var(X)=E(X 2 )-f.I. 2;
Var( X )=x 2 .p + ... +X 2 .p _f.l.2; Var(a'X+b)=a 2 -Var(X)
11
m
m
7.5 Spezielle Verteilung
Binomialverteilung
n-gliedrige Bernoullikette: n-malige Durchführung des Bernoulliexperimentes
mit der Trefferwahrscheinlichkeit p unter gleichen Bedingungen :
~ RN ~.~.M9.Q.~~·J. MI.T.!.: ~ RO.~.~.~~.(j.~.~.
Urne mit K roten und N - K schwarzen Kugeln. Es wird n-mal mit Zurücklegen
gezogen. Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl k der gezogenen roten Ku geln beschreibt, ist binomial-verteilt mit:
K
p=-.
N
•
k
Summe: P( X sk)=Fn;p(k)=
I
k-l
Bn;p(i); P(X <k)=Fn;p (k-1)=
1=0
I
Bn;p (i)
1-0
b
P(as X sb)=Fn;p (b)-Fn;p (a-1)=
I
Bn;p (i)
i=Q
Geometrische Verteilung
Ein Bernoulliexperiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit p wird genau so lange
wiederholt, bis der erste Treffer eintritt: P (k Versuche) = q k - l . P
Geometrisch-verteilte Zufallsvariable X mit den Werten 1,2,3, ...
1
E(X)=-;
P
Urnen modell
Urne mit K roten und N - K schwarzen Kugeln. Man zieht so lange mit Zurücklegen, bis man eine rote Kugel erhält. Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl k
o
der Ziehungen beschreibt, ist geometrisch-verteilt mit p = K. N
tr
",
~
~
Hypergeometrische Verteilung (ohne Zurücklegen)
Hypergeometrisch-verteilte Zufallsvariable X mit den Werten 0, 1,2, ... , Min (n, K) :
(;). (~~kK)
E(X)=n·p
P(X =k)
(~ )
Var(X) (N-n)(l-p)p·n
N-1
mit
K
p=N
~ RN~N ~.9.p.~J~ .9.H N~..+.ll.~.Q.C;.IS~~.<:1.~N.
Urne mit K roten und N - K schwarzen Kugeln . Man zieht n-mal ohne Zurücklegen. Es ist k die Anzahl der gezogenen roten Kugeln, n - k ist die Anzahl der
gezogenen schwarzen Kugeln . Die Zufallsvariable X, welche die Anzahl k der
gezogenen roten Kugeln beschreibt, ist hypergeometrisch-verteilt.
8. WIRTSCHAfTSMATRITZEN
Anwendung von Wirtschaftsmatritzen:
Eine Firma wandelt Rohstoffe in Zwischenprodukte um und diese wiederum
in Endprodukte.
Abkürzungen für Wirtschaftsmatritzen
R
Rohstoffe
Z
Zwischenprodukte
E
Endprodukte
A
RZ-Matri x. Sie gibt an, wie viel R man je ME der Z braucht.
B
ZE-Matri x. Sie gibt an, wie viel Z man je ME der E braucht.
c
RE-Matri x. Sie gibt an, wie viel R man je ME der E braucht.
Rohstoff-Vektor
Zwischen prod ukt-Vektor
Endprodukt-Vektor
K
Gesamte Herstell kosten der Produktion
KR
Kosten fü ralle Roh stoffe
Kz
Kosten für alle Zwischenprodukte
KE
Kosten für all e Endprodukte
K
Fi xkosten
f
r:
Variable Herstellkosten
PR
Rohstoffkosten
k;
ZWischenproduktkosten
r;
Endproduktkosten
Pz.v
Gesamte Zwischenproduktkosten
•
Zusammenhänge:
A·B=C,
r=A-z,
FORMELN ZUR KOSTENBERECHNUNG
....................................................
K= K +K +K +K
R
Z
E
f
bzw.
~T
~
K = k .P+ K
v
f
8.1 LfONTlfff-MOl>fLL (fIRMfNVfRfLfCHTUNGfN)
Anwendung des Leontief-Modells:
Mehrere Firmen beliefern sich gegenseitig, sowie den Markt, mit Produkten.
A-x=T
0
<:>-
'"01
~
'"
y=x - T
x
Gesa mtprod u ktion
y
Marktabgabe, Marktvektor, Konsumvektor
y=(E - A)'x
T
A
Inputmatrix
x=(E-At1.y
E
Einheitsmatrix
innerer Verbra uch
Jed e beliebige Nachfrage vom Markt kann befriedigt werden, falls die Matrix
(E-A)-l existiert und nur positive Einträge enthält.
11
9. ANALYTISCHE GEOMETRIE (VEKTORIEllE GEOMETRIE)
Die vektorielle Geometrie führt viele Berechnungen aus dem Alltag auf
Berechnung von Schnittpunkten und Abständen von Produkten, Geraden und
Ebenen zu rück.
AB=b-o
Berechnung von Vektoren:
Aufstellen einer Geraden durch zwei Punkte A und B: g:x=(OA)+t·(AB)
Aufstellen einer Ebene durch drei Punkte A, B und C:
Parametergleichung:
E: x =(OA)+r·(AB)+s·(AC)
Normalengleichung:
E:n o[x -o]=O
Hierbei kann n über noAB=O und no AC =0 berechnet werden .
Koordinatengleichung:
n·x +n ·x +n ·x =k
1
1
2
2
3
3
Hierbei sind n 1, n 2 und n 3 die Vektoreinträge von
n.
~ 1 ( 0+
~ b~ )
m=-·
Mittelpunkt Meiner Strecke AB:
2
~
1 ( ~ ~ ~)
5=-· o +b+ c
3
Sc hwerpun kt SeinesDreiec ksABC:
Länge einer Strecke AB oder Betrag eines Vektors AB oder Abstand der Punkte A und B:
-
b1 -01
d(A,B)=IABI= b
- 0
b
-0
2
3
2
. - - - - --
=
I(b
i/
1
-0
1
------
)2+(b
2
-0
2
r+(b
3
-0
3
r
3
Winkel zwischen Gerade und Gerade:
U,
v sind die Richtungsvektoren der beiden Geraden
Winkel zwischen Ebene und Ebene:
U,
v sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen
uovl
lul·lvl
l -cosa =
uov l
lul·l vl
l
cosa=--
•
Winkel zwischen Gerade und Ebene:
Ü,
v sind die Richtungsve ktoren der Geraden
bzw. Normalvektoren der Ebene
üovl
lül·lvl
l sin a = -
Lage zweier Geraden g und h:
Erster Schritt:
Sind die Richtungsvektoren der beiden Geraden Vielfache voneinander, so sind 9
und h entweder parallel oder identisch . Sind die Richtungsvektoren keine Vielfache, so sind 9 und h entweder windschief oder haben einen Schnittpunkt.
Zweiter Schritt:
Gleichsetzen beider Geraden liefert ein lineares Gleichungssystem, dessen
Lösungsmenge betrachtet werden muss:
GLEICHSETZEN ZWEIER GERADEN
ot:r-
~
~
...
- Erhält man zweimal eine wahre Aussage (0 = 0), so sind 9 und h identisch .
- Erhält man mindestens einmal einen Widerspruch (0 = 1), so sind 9 und h
entweder parallel oder windschief (hängt vom ersten Schritt ab).
- Erhält man je eine Lösung für beide Parameter der Geraden
(sowie eine wahre Aussage) haben beide Geraden einen Schnittpunkt.
Lage einer Geraden und einer Ebene zueinander:
Gleich setzen von Geraden mit der Ebene oder Einsetzen der Geraden in die Ebene (je nachdem in welcher Form die Ebene vorliegt) liefert:
GLEICHSETZEN VON GERADEN MIT DER EBENE
- eine wahre Aussage (0 = 0), dann liegt die Gerade in der Ebene.
- einen Widerspruch (0 = 1), dann sind Gerade und Ebene parallel.
- eine Lösung, dann schneiden sich Gerade und Ebene in einem Punkt.