Optik und Wellenmechanik - Nanophotonik

Optik und Wellenmechanik
(WS 2013/2014 - physik311)
Stefan Linden
Physikalisches Institut
Universität Bonn
Inhaltsverzeichnis
1 Geometrische Optik
1.1 Axiome der geometrischen Optik . . . . . . . . .
1.1.1 Das Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Das Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Fata Morgana . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Optische Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Matrizenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Propagation in einem homogenen Medium
1.3.2 Brechung an einer ebenen Fläche . . . . .
1.3.3 Brechung an einer sphärischen Fläche . . .
1.3.4 ABCD-Matrix einer Linse . . . . . . . . .
1.3.5 ABCD-Matrix eines abbildenden Systems
1.4 Optische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Das Auge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Die Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Das Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Das Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Die
2.1
2.2
2.3
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elektromagnetische Theorie des Lichts
Zur Erinnerung: Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
Dielektrische Medien: Das Lorentz-Oszillator Modell . . . . . . . .
Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien . . . . . . . . . .
2.3.1 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Energietransport durch elektromagnetische Felder . . . . .
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Fresnel-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Gauß-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Ein einfaches Modelsystem: Der planare Spiegelwellenleiter
2.6.2 Dielektrische Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2-17
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2-23
2-32
2-39
2-39
2-41
i
Inhaltsverzeichnis
3 Polarisation
3.1 Die Polarisationszustände von Licht . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Linear polarisierte ebene Wellen . . . . . . . . . .
3.1.2 Zirkular polarisierte ebene Wellen . . . . . . . . .
3.1.3 Elliptisch polarisierte ebene Wellen . . . . . . . .
3.2 Polarisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Wellen in anisotropen Medien . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Uniaxiale Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Doppelbrechende Polarisatoren . . . . . . . . . .
3.3.4 Verzögerungsplatten . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Spannungsdoppelbrechung . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Anwendungsbeispiel: Flüssigkristall Modulatoren
3.4 Optische Aktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3-19
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
4.1 Stehende elektromagnetische Wellen . .
4.1.1 Reflektion an einem Spiegel . .
4.1.2 Optischer Resonator . . . . . .
4.2 Schwebungen und optische Impulse . .
4.3 Zweistrahlinterferenz . . . . . . . . . .
4.4 Interferometer . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Michelson Interferometer . . . .
4.4.2 Youngscher Doppelspaltversuch
4.5 Vielstrahlinterferenz . . . . . . . . . .
4.5.1 Fabry-Perot-Etalon . . . . . . .
4.5.2 Dielektrischer Spiegel . . . . . .
4.5.3 Anti-Reflexbeschichtung . . . .
4.6 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Zeitliche Kohärenz . . . . . . .
4.6.2 Räumliche Kohärenz . . . . . .
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5 Beugung
5.1 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Brechung an einer Grenzfläche . . . . .
5.1.2 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . .
5.2 Beugung durch eine ebene Blende . . . . . . .
5.3 Fraunhofersche Näherung . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Beugung an einer rechteckigen Blende .
5.3.2 Beugung am Einzelspalt . . . . . . . .
5.3.3 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . .
5.3.4 Beugung an Gittern . . . . . . . . . .
5.3.5 Beugung an einer kreisförmigen Blende
ii
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Inhaltsverzeichnis
5.4
5.5
5.6
Auflösungsvermögen eines Mikroskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-15
Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-17
Fresnelsche Zonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-18
6 Quanteneigenschaften von Licht
6.1 Schwarzkörperstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Rayleigh-Jeans’sches Strahlungsgesetz . . . . . . .
6.1.2 Plancksches Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . .
6.1.3 Lambert-Strahler und Stefan-Boltzmann-Gesetz .
6.1.4 Kirchhoffsches Strahlungsgesetz . . . . . . . . . .
6.2 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung
6.3 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Kleinsignalverstärkung im Resonator . . . . . . .
6.3.2 Schwellenbedingung für Laseroszillation . . . . . .
6.3.3 Erzeugung der Besetzungsinversion . . . . . . . .
6.3.4 Einige Laser-Typen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Äußerer Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Eigenschaften des Photons - Zusammenfassung . . . . . .
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7 Elemente der Quantenmechanik
7.1 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 De Broglie-Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Beugung und Interferenz von Elektronen . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Beugung von Elektronen am Kristallgitter . . . . . . . . . . . . .
7.2 Quantenstruktur der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Atomspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Franck-Hertz Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Rutherfordsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Bohrsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Quantenmechanischer Doppelspaltversuch . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Potentialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Teilchen in einem Potentialkasten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.6 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7-12
7-14
7-16
7-19
7-19
7-21
iii
1 Geometrische Optik
Annahme: Wellen- und Quanteneigenschaften des Lichts können vernachlässigt werden.
1.1 Axiome der geometrischen Optik
• Licht breitet sich in Form von Strahlen aus. Lichtstrahlen werden von einer Lichtquelle emittiert und können mit einem Detektor nachgewiesen werden.
Experiment: Laserpointer.
• In einem homogenen Medium breiten sich Licht mit der Geschwindigkeit c geradlinig aus. Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der VakuumLichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m s−1 und der Lichtgeschwindigkeit im Medium c:
c0
(1.1.1)
n= .
c
Um eine Strecke d zurückzulegen benötigt Licht die Lichtlaufzeit t = d/c = nd/c0 =
Lopt /c0 .
Hierbei ist die optische Weglänge definiert als
Lopt = nd.
(1.1.2)
• In inhomogenen optischen Materialien variiert der Brechungsindex n(r) mit dem
Ort.
Die optische Weglänge für einen Weg S zwischen zwei Punkten A und B ist
Lopt =
Z
S
n(r)ds.
(1.1.3)
• Fermatsches Prinzip: Licht gelangt auf dem Weg S von A nach B, für den die
Lichtlaufzeit t = Lopt /c0 ein Extremum annimmt.
1-1
1 Geometrische Optik
dLopt =d òS n(r) ds = 0
s
ds
s
ds
A
B
n(r)
dLopt = òS n(r) ds = 0
Abbildung 1.1: Fermatsches Prinzip.
Formulierung als Variationsprinzip:
δLopt = δ
Z
S
n(r)ds = 0
(1.1.4)
Einige Folgerungen:
1.1.1 Das Reflexionsgesetz
Betrachte Reflexion an einem ebenen Spiegel.
Experiment: Strahlengang bei ebenen Spiegeln.
Optischer Weg:
Lopt = nAR + nRB
q
2
= n (x − x1 ) +
y12
q
+ n (x2 − x)2 + y22
(1.1.5)
Variation des optischen Weges:
n (x2 − x)
dLopt
n (x − x1 )
!
−q
= 0.
=q
2
2
dx
(x − x1 ) + y12
(x2 − x) + y22
Mit der Hilfe von Abbildung 1.2 folgt:
1-2
(1.1.6)
1.1 Axiome der geometrischen Optik
B(x2,y2)
A(x1,y1)
n=const
ai
ar
R(x,0)
Abbildung 1.2: Reflexionsgesetz.
sin (αi ) = sin (αr ) ⇒ αi = αr .
(1.1.7)
Relexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel!
1.1.2 Das Brechungsgesetz
Betrachte Übergang eines Lichtstrahls von einem homogenen Medium in ein anderes homogenes Medium.
Experiment: Reflexion und Brechung am Glassegment.
Brechungsgesetz:
ni sin (αi ) = nt sin (αt ) .
(1.1.8)
Beweis: Übung!
1.1.3 Totalreflexion
Betrachte Grenzfläche zwischen zwei Medien mit ni > nt .
1-3
1 Geometrische Optik
ai
ar
ni
nt
at
Abbildung 1.3: Brechungsgesetz.
Experiment: Reflexion und Brechung durch Wasser.
Aus dem Brechungsgesetz folgt:
sin (αt ) =
ni
sin (αi ) .
nt
(1.1.9)
Der Lichtstrahl kann wegen sin (αt ) ≤ 1 nur in das zweite Medium eindringen, falls der
Einfallswinkel αi kleiner ist als der Grenzwinkel der Totalreflexion αg definiert durch
sin (αg ) =
nt
.
ni
Beispiel:
BK-7 Glas: nBK7 = 1.514 für rotes Licht (λ = 656nm).
Grenzfläche BK7-Luft: αg = 41.34◦ .
Anwendung: Retroreflektor.
1.1.4 Fata Morgana
Beispiel für „krumme“ Lichtstrahlen: Fata Morgana.
1-4
(1.1.10)
1.2 Optische Abbildung
a>ag
a
Abbildung 1.4: Retroreflektor.
Zunehmender
Brechungsindex
Ein Temperaturgradient verursacht eine räumliche Variation des Brechungsindex der Luft.
Hierbei nimmt der Brechungsindex mit zunehmender Temperatur ab. An einem heißen
Tag können sehr flach einfallende Lichtstrahlen an der bodennahen Luftschicht total reflektiert werden.
Abbildung 1.5: Fata Morgana.
Experiment: Fata Morgana im Aquarium.
1.2 Optische Abbildung
Ziel: Licht, das von einem Punkt A eines Gegenstandes ausgeht, soll durch ein geeignetes
abbildendes optisches System im Bildpunkt B vereinigt werden.
1-5
1 Geometrische Optik
Nach dem Fermatschen Prinzip muss die optische Weglänge aller abgebildeten Strahlen
gleich sein.
Abbildendes
optisches
System
A
B
Abbildung 1.6: Reele Abbildung durch ein optisches System.
• Reelle Abbildung: Die Strahlen konvergieren zum Bildpunkt B und können auf
einem Schirm einen Leuchtfleck erzeugen. Beispiel: Sammellinse.
• Virtuelles Bild: Die Strahlen aus dem abbildenden optischen System sind divergent und stammen scheinbar vom Bildpunkt B. Auf einem Schirm entsteht an der
entsprechenden Stelle kein leuchtender Fleck. Beispiel: Spiegel.
1.2.1 Spiegel
Ebener Spiegel
Durch Reflexion an einem ebenen Spiegel entsteht ein virtuelles Bild des Gegenstandes.
Experiment: Virtuelles Bild, Kerze im Wasser.
Parabolspiegel
Im Folgenden wollen wir gekrümmte Spiegeloberflächen betrachten. Dabei unterscheiden
wir zwei Fälle:
• Konkave Spiegel (Hohlspiegel) weisen eine nach innen gewölbte Spiegeloberfläche auf.1
1
Eselsbrücke: konkav erinnert an das englische Wort cave (Höhle).
1-6
1.2 Optische Abbildung
A
B
Abbildung 1.7: Optische Abbildung durch einen ebenen Spiegel.
• Konvexe Spiegel besitzen dagegen eine nach außen gewölbte Spiegeloberfläche.
Wir wollen außerdem annehmen, dass die Spiegeloberflächen rotationssymmetrisch sind.
Die jeweilige Symmetrieachse wird als optische Achse bezeichnet.
Als erstes untersuchen wir einen konkaven Parabolspiegel. Dessen Form wird durch die
Gleichung y 2 = 4f x beschrieben.
Die Strahlen fallen parallel zur optischen Achse ein.
y
P(x,y)
A(a,y)
x
F(f,0)
Abbildung 1.8: Konkaver Parabolspiegel.
Betrachte optische Weglänge für Streckenzug APF (siehe Abbildung 1.8):
Lopt = a − x +
q
(f − x)2 + y 2
(1.2.1)
1-7
1 Geometrische Optik
Mit y 2 = 4f x erhalten wir Lopt = a + f = const.
Ein konkaver Parabolspiegel fokussiert somit ein Bündel paralleler Lichtstrahlen im
Brennpunkt F . Die Größe f wird als Brennweite bezeichnet.
Experiment: Streichholz im Brennpunkt eines Hohlspiegels.
Anwendungsbeispiele für konkave Parabolspiegel:
• Scheinwerferspiegel
• „Satellitenschüssel“ für TV-Empfang
• Parabolantenne zur Satellitenkommunikation.
Abbildung 1.9: Parabolantenne zur Satellitenkommunikation. Quelle: Wikipedia.
Sphärische Spiegel
Problem für die Optik: Hochqualitative Parabolspiegel sind schwierig und nur unter hohen
Kosten zu fertigen ⇒ Approximation durch sphärische Spiegel.
Gleichung für kreisförmigen Querschnitt einer Kugel:
y 2 + (x − R)2 = R2 .
(1.2.2)
Umformen liefert:
x=R−
1-8
q
R2 − y 2
(1.2.3)
1.2 Optische Abbildung
y
R
x
M
F
f
Abbildung 1.10: Vergleich eines sphärischen Spiegels mit einem Parabolspiegel.
Für achsennahe Strahlen (y 2 ≪ R2 ) gilt:
x=
y4
y2
+
+
O
y6 .
2R 8R3
(1.2.4)
Für achsennahe Strahlen wirkt ein sphärischer Spiegel mit dem Radius R wie ein Parabolspiegel mit der Brennweite f = R/2.
Mit zunehmendem Abstand der Strahlen von der Achse nimmt die Brennweite des sphärischen Spiegels ab (Beweis: Übung).
y
R
g
x A
a
a
b
d
M B
h
b
g
Abbildung 1.11: Abbildung des Achsenpunktes A auf den Bildpunkt B.
Betrachte jetzt Abbildung eines beliebigen Punktes A auf der optischen Achse durch einen
konkaven sphärischen Spiegel. Ein von A ausgehender Lichtstrahl wird an der Spiegeloberfläche reflektiert und schneidet die optische Achse im Bildpunkt B.
1-9
1 Geometrische Optik
Aufgrund des Reflexionsgesetz gilt:
!
(1.2.5)
γ + β = 2δ.
(1.2.6)
α = δ − γ = β − δ.
Damit:
Für achsennahe Strahlen (kleine Winkel!) gilt:
γ ≈ tan (γ) =
h
,
g
h
,
b
h
δ ≈ sin (δ) = ,
R
β ≈ tan (β) =
(1.2.7)
(1.2.8)
(1.2.9)
Somit erhalten wir die Spiegelformel:
2
1
1 1
+ =
= .
g b
R
f
(1.2.10)
Experiment: Zauberspiegel.
Wir betrachten jetzt die Abbildung eines endlich großen Objekts (hier: ein Pfeil), das
senkrecht zur optischen Achse steht.
Für die geometrische Konstruktion der Abbildung eignen sich die folgenden ausgezeichneten Strahlen, die von der Spitze A des Objekts aus gezeichnet werden:
• Der Strahl parallel zur optischen Achse, der nach der Reflexion durch den Brennpunkt F geht (roter Strahl).
• Der schräg laufende Strahl, der vor der Reflexion durch F geht und nach der Reflexion parallel zur optischen Achse läuft (blauer Strahl).
• Der Strahl, der durch den Kugelmittelpunkt M geht und in sich selbst reflektiert
wird (grüner Strahl).
Für kleine Abstände der Strahlen von der optischen Achse, schneiden sich die so konstruierten Strahlen in B, dem Bildpunkt von A.
Fallunterscheidung:
1-10
1.2 Optische Abbildung
y
y
A
A
F
x
F
O
M
B
x
O
M
f
f
B
b
g
b
g
y
B
A
O
F
x
M
f
g
b
Abbildung 1.12: Geometrische Konstruktion der Abbildung für konkave sphärische Spiegel.
• g > 2f : Das Bild ist reell, liegt zwischen F und M , ist verkleinert und umgekehrt.
• 2f > g > f : Das Bild ist reell, befindet sich links von M , ist vergrößert und
umgekehrt.
• f > g: Das Bild ist virtuell, befindet sich rechts von O, ist vergrößert und aufrecht.
Ein konvexer sphärischer Spiegel erzeugt immer ein virtuelles Bild.
Formal: f < 0.
1.2.2 Linsen
Experiment: Strahlengang durch Linsen.
1-11
1 Geometrische Optik
y
A
B
F
x
M
Abbildung 1.13: Abbildung mit einem konvexen sphärischen Spiegel.
Brechung an sphärischen Flächen
Um die Experimente zu analysieren, betrachten wir zunächst die Brechung von Licht an
einer konvexen sphärischen Glasfläche. Hierbei wollen wir nur achsennahe Lichtstrahlen
betrachten, die kleine Winkel mit der optischen Achse einschließen ⇒ paraxiale Näherung.
Im Folgenden wollen wir die hier angegebene Vorzeichenkonvention verwenden:
g,fg
b,fb
R
hg , hb
+
+
+
+
links von O
rechts von O
falls M rechts von O
oberhalb der optischen Achse
-
rechts von O
links von O
falls M links von O
unterhalb der optischen Achse
Sei A ein Punkt auf der optischen Achse. Ein von A ausgehender Lichtstrahl wird an der
Grenzfläche gebrochen (Brechungsgesetz!) und schneidet die optische Achse im Bildpunkt
B.
In paraxialer Näherung gilt für das Brechungsgesetz wegen sin(αi ) ≈ αi :
n1 α1 ≈ n2 α2 .
(1.2.11)
Weiterhin ist
α1 = γ + δ
(1.2.12)
α2 = δ − β.
(1.2.13)
und
1-12
1.2 Optische Abbildung
y
n1
a1
g
h
O
A
n2
R
P
d
a2
b
M
p
g
B
x
b
Abbildung 1.14: Brechung eines Lichtstrahls an einer konvexen Kugelfläche.
Für achsennahe Strahlen gilt:
h = (g + p) tan (γ) ≈ gγ
= (b − p) tan (β) ≈ bβ
= R sin (δ) ≈ Rδ.
(1.2.14)
(1.2.15)
(1.2.16)
Einsetzen und kurze Umformung liefert das Abbildungsgesetz:
n1 n2
n2 − n1
+
=
.
g
b
R
(1.2.17)
Bei Beachtung der oben angegebenen Vorzeichenkonvention erhalten wir dieses Ergebnis
auch für eine konkave sphärische Glasfläche. Beweis: Übung.
Wir betrachten jetzt zwei Spezialfälle:
• Befindet sich A im vorderen Brennpunkt Fg (g = fg ), so wird B im Unendlichen
abgebildet (b = ∞). Es gilt:
n2 − n1
n1
n1 n2
=
⇒ fg =
+
R.
fg
∞
R
n2 − n1
(1.2.18)
• Befindet sich A im Unendlichen (g = ∞), so wird B in den hinteren Brennpunkt Fb
(b = fb ) abgebildet. Somit:
n2
n2 − n1
n1 n2
+
⇒ fb =
=
R.
∞ fb
R
n2 − n1
(1.2.19)
1-13
1 Geometrische Optik
Sphärische Linsen
Wir untersuchen nun eine Linse (Brechungsindex nl ) mit zwei konvexen sphärischen
Grenzflächen in einem Medium (Brechungsindex nm ).
A
M2
B
R2
g1
M1
B1
R1
d
b2
b1
Abbildung 1.15: Dünne Linse.
Betrachte zunächst nur die Brechung an der vorderen (linken) Grenzfläche. Das Abbildungsgesetz liefert mit n1 = nm und n2 = nl :
nl − nm
nm nl
+
=
.
g1
b1
R1
(1.2.20)
Der so entstandene Bildpunkt B1 kann formal als Gegenstand für die Abbildung durch die
hintere (rechte) Grenzfläche angesehen werden. Für die zweite Abbildung gilt mit n1 = nl ,
n2 = nm und g2 = −b1 + d:
nl
nm
nm − nl
+
=
.
−b1 + d
b2
R2
(1.2.21)
Addition von Gleichung (1.2.20) und (1.2.21) ergibt:
nl d
1
nm nm
1
+
.
+
= (nl − nm )
−
g1
b2
R1 R2
b1 (b1 − d)
1-14
(1.2.22)
1.2 Optische Abbildung
Für dünne Linsen (d → 0) in Luft (nm = 1) erhalten wir schließlich die sogenannte
Linsenschleiferformel:
1 1
1
1
+ = (nl − 1)
−
g b
R1 R2
(1.2.23)
.
Wir betrachten jetzt wieder zwei Spezialfälle:
• Befindet sich A im vorderen Brennpunkt Fg (g = fg ), so wird B im Unendlichen
abgebildet (b = ∞):
1
1
1
1
= (nl − 1)
+
−
fg ∞
R1 R2
⇒ fg =
1
R1 R2
.
(nl − 1) R2 − R1
(1.2.24)
• Befindet sich A im Unendlichen (g = ∞), so wird B in den hinteren Brennpunkt Fb
(b = f ) abgebildet:
1
1
1
1
+
= (nl − 1)
−
∞ fb
R1 R2
⇒ fb =
1
R1 R2
.
(nl − 1) R2 − R1
(1.2.25)
Offensichtlich ist fb = fg . Wir erhalten somit die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse:
1
1 1
+ = .
g b
f
(1.2.26)
Wir untersuchen jetzt die Abbildung eines endlich großen Objekts (hier: ein Pfeil) durch
eine bikonvexe Linse.
Für die geometrische Konstruktion der Abbildung eignen sich die folgenden ausgezeichneten Strahlen, die von der Spitze A des Objekts aus gezeichnet werden:
• Der Strahl parallel zur optischen Achse, der nach der Linse durch den hinteren
Brennpunkt Fb geht (roter Strahl).
• Der schräg laufende Strahl, der durch den vorderen Brennpunkt Fg geht und nach
der Linse parallel zur optischen Achse läuft (blauer Strahl).
• Der Strahl, der durch die Mitte der Linse läuft und der nicht abgelenkt wird (grüner
Strahl).
Die so konstruierten Strahlen schneiden sich in B, dem Bildpunkt von A.
1-15
1 Geometrische Optik
(a)
(b)
hg
Fb
A
hb
Fg
f
f
g
hg
B
Fb
A
Fg
B
hb
f
f
b
(d)
(c)
hb
hg
Fb
A
Fg
hg
B
hb
Fb
Fg B A
Abbildung 1.16: Geometrische Konstruktion der Abbildung für eine bikonvexe dünne Linse.
Das Verhältnis von Bildgröße hb und Gegenstandsgröße hg bestimmt die transversale
Vergrößerung Vt :
Vt ≡
hb
.
hg
(1.2.27)
Anhand des Strahlensatzes finden wir:
b
Vt = − .
g
(1.2.28)
Erzeugt die Abbildung ein reales Bild, so ist Vt negativ (der Pfeil steht auf dem Kopf).
Zusammenfassend erhalten wir:
1-16
1.2 Optische Abbildung
Sammellinse (f > 0)
Gegenstandsweite
2f < g < ∞
g = 2f < ∞
f < g < 2f
g=f
g<f
Bildweite
f < b < 2f
b = 2f
2f < b < ∞
b→∞
b < −g
Abbildungstyp
reell
reell
reell
virtuell
transversale Vergrößerung
−1 < Vt < 0, verkleinert
Vt = −1
Vt < −1, vergrößert
Vt > 1, vergrößert
Bildweite
−f < b < 0
Abbildungstyp
virtuell
transversale Vergrößerung
0 < Vt < 1, verkleinert
Streulinse (f < 0)
Gegenstandsweite
0<g<∞
Linsentypen
Bikonvex
R1>0
R2<0
f>0
Plankonvex
R1=¥
R2<0
f>0
Bikonkav
R1<0
R2>0
f<0
Plankonkav
R1=¥
R2>0
f<0
Meniskus
R1>0
R2>0
Abbildung 1.17: Bezeichnung von Linsen nach Krümmung ihrer Flächen.
1-17
1 Geometrische Optik
Linsenfehler
Die bisherigen Überlegungen und Formeln sind nur im Rahmen der paraxialen Näherung streng gültig. Für achsenferne Strahlen oder für Strahlen, die die optische Achse
unter einem großen Winkel schneiden, treten Abbildungsfehler auf. Zusätzlich spielen die
Materialeigenschaften eine Rolle.
• Chromatische Aberration: Aufgrund der Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl n(λ) ist die Brennweite f (λ) einer Linse für Lichtstrahlen unterschiedlicher
Farbe verschieden groß.
Fblau Frot
Experiment: Chromatische Aberration.
• Sphärische Aberration: Aufgrund der Form der Linsenoberflächen hängt die
Brennweite einer sphärischen Linse vom Abstand der Strahlen von der optischen
Achse ab. Bei einer Sammellinse weist ein achsenferner Strahl eine kleinere Brennweite auf als ein achsennaher Strahl. Ein paralleles Strahlenbündel wird daher nicht
in einen Punkt fokussiert. Die Grenzfläche des fokussierten Strahlenbündels wird als
Kaustik bezeichnet.
Kaustik
Experiment: Sphärische Aberration.
• Koma: Bei einem Strahlenbündel, das eine Linse schief durchläuft werden die Strahlen, die unterschiedliche Bereiche der Linse durchlaufen auf verschiedene Punkte der
Bildebene abgebildet. Das Bild einer punktförmigen Lichtquelle führt zu einer „verwaschendn Bildkurve“.
1-18
1.2 Optische Abbildung
Experiment: Koma.
• Astigmatismus: Läuft ein Strahlenbündel schräg durch eine Linse, so werden die
Strahlen der Meridian-Ebene (Ebene definiert durch die optische Achse und den
Mittenstrahl des Bündels) und der Sagittal-Ebene (Ebene senkrecht zur MeridianEbene die den Mittenstrahl enthält) in unterschiedliche Bildpunkte abgebildet. Die
Querschnittsfläche des Strahlenbündels ist hinter der Linse nicht mehr konstant.
x 1 x2 x 3
y
x4
x5
Seitenansicht
x
z
Draufsicht
x
y
Strahlprofil
z
y
z
x1
y
z
x2
y
z
x3
y
z
x4
x5
Experiment: Astigmatismus.
1-19
1 Geometrische Optik
1.3 Matrizenoptik
Der Verlauf von Lichtstrahlen durch komplizierte optische Systeme kann effizient mit Hilfe
der Matrizenoptik berechnet werden. Wir nehmen hierbei an, dass die paraxiale Näherung
gültig ist.
Ein Lichtstrahl wird durch den Abstand r von der optischen Achse und den Neigungswinkel ϕ gegen die optische Achse charakterisiert. Diese Größen fassen wir zum Strahlvektor
s zusammen:
s = (r, ϕ) .
(1.3.1)
Der Einfluss eines optischen Elements auf den Lichtstrahl kann durch eine 2 × 2-Matrix
(ABCD-Matrix) beschrieben werden:
r2
ϕ2
!
=
A B
C D
!
r1
ϕ1
!
(1.3.2)
Die ABCD-Matrix einer Abfolge von j optischen Elementen kann durch einfache Matrixmultiplikation berechnet werden:
A B
C D
!
=
Aj Bj
Cj Dj
!
···
A2 B2
C2 D2
!
A1 B1
C1 D1
!
.
(1.3.3)
Wichtig: Die Reihenfolge der optischen Elemente ist bei der Matrixmultiplikation unbedingt zu beachten.
1.3.1 Propagation in einem homogenen Medium
j2
j1
r2
r1
d
Abbildung 1.18: Propagation eines Lichtstrahls in einem homogenen Medium.
Strahlvektor am Anfang der Strecke: s1 = (r1 , ϕ1 )
1-20
1.3 Matrizenoptik
Strahlvektor nachdem der Strahl die Strecke d entlang der optischen Achse zurückgelegt
hat:
r2 = r1 + ϕ 1 d
(1.3.4)
ϕ2 = ϕ1
(1.3.5)
Matrixschreibweise:
r2
α2
!
=
1 d
0 1
!
r1
α1
!
(1.3.6)
1.3.2 Brechung an einer ebenen Fläche
j2
j1
r1 r2
n1 n2
Abbildung 1.19: Brechung eines Lichtstrahls an einer ebenen Grenzfläche.
Brechungsgesetz in paraxialer Näherung [sin (ϕ) ≈ ϕ]:
n1 ϕ 1 = n2 ϕ 2
(1.3.7)
Strahlvektor in Medium 2 direkt hinter der Grenzfläche:
r2 = r1
ϕ2 =
(1.3.8)
n1
ϕ1
n2
(1.3.9)
Matrixschreibweise:
r2
ϕ2
!
=
1
0
0
n1
n2
!
r1
ϕ1
!
(1.3.10)
1-21
1 Geometrische Optik
R
a1
a2
r1 r2
j1
j2
M
n1 n2
Abbildung 1.20: Brechung eines Lichtstrahls an einer sphärischen Grenzfläche.
1.3.3 Brechung an einer sphärischen Fläche
Brechungsgesetz in paraxialer Näherung [sin (α) ≈ α]:
n1 α1 = n2 α2
(1.3.11)
Man entnimmt der Abbildung2 :
r2 = r1
(1.3.12)
α1 − ϕ1 = α2 − ϕ2 =
r1
.
R
(1.3.13)
Einsetzen liefert:
n1 − n2 r1
n1
.
ϕ2 = ϕ1 +
n2
n2 R
(1.3.14)
Matrixschreibweise:
r2
ϕ2
!
=
1
0
n1 −n2
n2 R
n1
n2
!
r1
ϕ1
!
(1.3.15)
1.3.4 ABCD-Matrix einer Linse
Für eine Linse der Dicke d mit sphärischen Grenzflächen aus einem Material mit Brechungsindex n gilt:
2
ϕ2 ist hier negativ, da der Winkel im Uhrzeigersinn von der optischen Achse aus gemessen wird.
1-22
1.3 Matrizenoptik
A B
C D
!
1
=

= 
0
n
n−1
R2
!
− (n − 1)
1 d
0 1
!
1
0
1−n
nR1
1
n
(n−1)d
nR1
(n−1)d
1
1
−
+
R1
R2
nR1 R2
1 −
Ist die Linse dünn (d → 0), so erhalten wir mit
A B
C D
!
1 0
− f1 1
=
1
f
!
1+
d
n
(n−1)d
nR2
= (n − 1)
1
R1

(1.3.16)

−
1
R2
:
!
(1.3.17)
Die Abbildung mit einer dünnen Linse kann durch die folgende Matrix beschrieben werden:
!
!
!
!
!
1 − fb g + b − bg
1 0
1 g
A B
1 b
f
=
=
.
(1.3.18)
− f1 1
C D
0 1
0 1
− f1
1 − fg
Bei der Abbildung hängt der Ort des Bildpunktes nicht vom Winkel ϕ1 des ausgehenden
Strahls ab ⇒ g + b − bg
= 0.
f
Somit erhalten wir wieder die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse:
1
1 1
+ = .
g b
f
(1.3.19)
1.3.5 ABCD-Matrix eines abbildenden Systems
Wir betrachten jetzt ein abbildendes System der Dicke d, das durch die Matrix
M̃ =
A B
C D
!
(1.3.20)
charakterisiert wird.
Analog zum Fall der dünnen Linse erhalten wir:
A B
C D
!
!
!
!
=
1 db
0 1
=
A + db C B + dg A + db D + dg db C
C
D + dg C
A B
C D
1 dg
0 1
!
.
(1.3.21)
1-23
1 Geometrische Optik
Hierbei sind dg und db die Abstände des Gegenstands und des Bildpunktes von der Vorderseite bzw. von der Rückseite des abbildenden Systems.
Ohne Beweis: Die Determinante dieser ABCD-Matrix ist 1.
Mit B = 0 folgt AD = 1 und damit
(A + db C) (D + dg C) = 1.
(1.3.22)
Kurze Umformung liefert mit f ≡ −1/C:
f 2 = (f A − db ) (f D − dg )
= (f − [db + (1 − A) f ]) (f − [dg + (1 − D) f ])
(1.3.23)
(1.3.24)
Mit den Definitionen
pg = (1 − D) f
pb = (1 − A) f
(1.3.25)
(1.3.26)
1
1
1
+
= .
dg + pg db + pb
f
(1.3.27)
folgt
Das abbildende System verhält sich exakt wie eine dünne Linse der Brennweite f wenn
wir die Gegenstandsweite g = dg + pg und Bildweite b = db + pb auf die Hauptpunkte P1
und P2 beziehen.
Dicke Linsen
Kann die Dicke d einer sphärischen Linse nicht vernachlässigt werden, so folgt mit Hilfe
von Gleichung (1.3.16):
!
1
(n − 1) d
1
1
.
= (n − 1)
−
+
f
R1 R2
nR1 R2
(1.3.28)
Für die Entfernung der Hauptpunkte von den Linsengrenzflächen erhalten wir:
1-24
(n − 1) f d
.
nR2
(n − 1) f d
=
.
nR1
pg = −
(1.3.29)
pb
(1.3.30)
1.3 Matrizenoptik
d
f
f
B
A
Fg
P2
P1
dg
pg
Fb
pb
db
g
b
Abbildung 1.21: Abbildung mit einer dicken Linse. P1 und P2 sind der vordere und hintere
Hauptpunkt der Linse .
Beispiel: Bikonvexe Linse mit R1 = 20 cm, R2 = −30 cm, d = 1 cm und n = 1.5.
Einsetzen liefert:
• f = 20 cm
• pg = 2.7 mm
• pb = 4.0 mm
Linsensysteme
Betrachte ein System aus zwei dünnen Linsen mit Brennweiten f1 und f2 im Abstand d:
A B
C D
!
=
=
1 0
− f12 1
− f11
!
1 − fd1
− f12 +
1 d
0 1
d
f1 f2
!
1 0
− f11 1
d
1 − fd2
!
.
!
(1.3.31)
1-25
1 Geometrische Optik
Die Brennweite des Linsensystems folgt aus
1
1
1
d
=
+
−
.
f
f1 f2 f1 f2
(1.3.32)
Für die geometrische Bildkonstruktion vernachlässigen wir zunächst die zweite Linse. Das
von der ersten Linse erzeugte Bild dient dann als Gegenstand für die Abbildung mit der
zweiten Linse. Für den zweiten Schritt eignen sich insbesondere die Strahlen durch das
Zentrum und den hinteren Fokus der zweiten Linse (siehe Abbildung 1.22).
d
Fb,1 B
A
Fg,1
Fg,2
B´
Fb,2
Abbildung 1.22: Geometrische Bildkonstruktion für ein System aus zwei Linsen.
1.4 Optische Systeme
1.4.1 Das Auge
Das menschliche Auge ist ein adaptives optisches Instrument. Durch den Augenmuskel
kann die bikonvexe Augenlinse verformt werden (Änderung der Brennweite), so dass Gegenstände in verschiedenen Abständen scharf auf die Netzhaut (fixe Bildweite b = 22 mm)
abgebildet werden:
• Entspanntes Auge (Blick ins Unendliche): Gegenstandsbrennweite fg = 17 mm, Bildbrennweite fb = 22 mm.
1-26
1.4 Optische Systeme
Augenmuskel
Hornhaut
Iris
Pupille
vordere
Augenkammer
Sehnerv
Linse
Netzhaut
Glaskörper
Abbildung 1.23: Schematischer Aufbau des menschlichen Auges (Quelle: Wikipedia, modifiziert).
• Betrachten eines nahen Gegenstandes in der minimale Gegenstandsweite gmin =
100 mm: fg = 14 mm und fb = 19 mm.
Ein Gegenstand kann ohne Ermüdung betrachtet werden, wenn die Gegenstandsweite
nicht kleiner als die deutliche Sehweite s0 = 25 cm ist. Die deutliche Sehweite dient in der
Mikroskopie als Bezugsgröße.
Kurz- und Weitsichtigkeit
Kann der Augenmuskel die Linse nicht hinreichend strecken, so ist fb zu klein und das
scharfe Bild des Gegenstandes liegt vor der Netzhaut ⇒ Kurzsichtigkeit.
Wird die Augenlinse nicht mehr genügend gekrümmt, so liegt das scharfe Bild des Gegenstandes hinter der Netzhaut ⇒ Weitsichtigkeit.
Kurz- und Weitsichtigkeit können durch eine geeignete Streu- bzw. Sammellinse korrigiert
werden (siehe Abbildung 1.24).
1-27
1 Geometrische Optik
Kurzsichtigkeit
mit Korrekturlinse
ohne
Weitsichtigkeit
ohne Korrekturlinse
mit
Abbildung 1.24: Kurz- und Weitsichtigkeit mit Korrektur durch eine geeignete Streu- bzw. eine
Sammellinse.
Sehwinkel
Die subjektiv wahrgenommene Größe eines Gegenstandes wird durch den Winkel β zwischen den Lichtstrahlen, die von den Randpunkten des Gegenstandes ausgehen, bestimmt.
Für einen Gegenstand mit Durchmesser D im Abstand g gilt:
β
tan
2
!
=
D
1D
⇒β≈ .
2g
g
(1.4.1)
Der kleinste vom Auge noch auflösbare Sehwinkel beträgt βmin = 1′ . Zwei Objektpunkte
können mit bloßem Auge in der deutlichen Sehweite noch aufgelöst werden, wenn ihr
Abstand größer als ∆xmin ≈ s0 βmin = 73 µm ist.
Fb
b
D
Netzhaut
g
Abbildung 1.25: Definition des Sehwinkels.
1-28
1.4 Optische Systeme
1.4.2 Die Lupe
Durch geeignete optische Instrumente kann der Sehwinkel vergrößert werden. Die Winkelvergrößerung VW ist definiert als
VW ≡
Sehwinkel mit Lupe
.
Sehwinkel ohne Lupe
(1.4.2)
Die Lupe ist eine Sammellinse mit kurzer Brennweite f die zwischen Auge und Gegenstand
gehalten wird.
Ohne Lupe
hg
b0
s0
Mit Lupe
hb
b
hg
F
g
l
f
b
L
Abbildung 1.26: Vergrößerung des Sehwinkels mit der Hilfe einer Lupe.
Ohne Lupe:
β0 ≈
hg
.
s0
(1.4.3)
Mit Lupe:
β≈
hb
.
L
(1.4.4)
1-29
1 Geometrische Optik
Damit:
VW =
hb s0
.
hg L
(1.4.5)
Mit hb /hg = −b/g (Vorzeichenkonvention!) und der Linsengleichung folgt:
VW
b
bs0
= 1−
=−
gL
f
!
L−l
s0
= 1+
L
f
!
s0
.
L
(1.4.6)
Stellt man den Gegenstand in den Brennpunkt der Linse, so erzeugt die Linse ein virtuelles
Bild im Unendlichen (L → ∞) mit
VW =
s0
.
f
(1.4.7)
Beispiel: f = 2 cm, s0 = 25 cm, Gegenstand im Brennpunkt der Linse → V = 12.5.
1.4.3 Das Mikroskop
Das Mikroskop ist ein optisches Gerät zum Betrachten kleiner Gegenstände. Es besteht
im Prinzip aus zwei Linsen. Die erste kurzbrennweitige Linse (Objektiv) bildet den Gegenstand in die Brennebene der zweiten Linse (Okular) ab. Diese erzeugt ein virtuelles
Bild des Gegenstandes im Unendlichen, das mit entspanntem Auge betrachtet werden
kann.
Linsengleichung für das Objektiv:
1
f1 g
1 1
gf1
.
= + ⇒b=
=
f1
g b
g − f1
δ
(1.4.8)
Typisch: δ ≪ f1 ⇒ hb ≫ hg .
Das Okular wird als Lupe für das Zwischenbild verwendet. Für den zugehörige Sehwinkel
folgt mit hb /hg = b/g
β≈
hg b
hb
=
.
f2
gf2
(1.4.9)
Ohne Mikroskop:
β0 ≈
1-30
hg
.
s0
(1.4.10)
1.4 Optische Systeme
Objekt Objektiv
Zwischenbild
F1
hg
Okular
f2
F2
hb
F1
d
f1
Auge
F2
b
b
b
g
d
Abbildung 1.27: Strahlengang in einem Mikroskop.
Winkelvergrößerung des Mikroskops:
VW =
bs0
hg b s0
=
.
gf2 hg
gf2
(1.4.11)
Die Tubuslänge t ist definiert als der Abstand zwischen dem bildseitigen Brennpunkt des
Objektivs und der Zwischenbildebene:
t = b − f1 .
(1.4.12)
Typischerweise ist t = 160 mm.
Mit t ≈ b und g ≈ f1 erhalten wir schließlich
VW ≈
t s0
.
f1 f2
(1.4.13)
Für Mikroskopobjektive wird normalerweise eine Maßstabszahl MObj angegeben mit
MObj =
t
.
f1
(1.4.14)
Beispiel: 20× Objektiv und Normtubus (t = 160 mm) ⇒ f1 = 8 mm.
Entsprechende Maßstabszahl MOku für das Okular:
s0
MOku = .
f2
(1.4.15)
1-31
1 Geometrische Optik
Beispiel: 10× Okular ⇒ f2 = 25 mm.
Die Winkelvergrößerung eines Mikroskops ist gegeben durch das Produkt der Maßstabszahlen von Objektiv und Okular:
(1.4.16)
VW = MObj MOku .
1.4.4 Das Fernrohr
Das Fernrohr dient zur Vergrößerung weit entfernter Objekte. Es besteht im Prinzip aus
zwei Linsen. Die erste langbrennweitige Linse erzeugt ein reelles Zwischenbild des Gegenstandes, das mit der zweiten als Lupe dienenden Linse betrachtet wird.
Keplersches Fernrohr
Wir betrachten zunächst ein Fernrohr aus zwei Sammellinsen (Keplersches Fernrohr), bei
dem der bildseitige Fokus der ersten Linse mit dem gegenstandsseitigen Fokus der zweiten
Linse zusammenfällt.
f1
b0
f2
F1=F2
b
hb
Keplersches Fernrohr
Abbildung 1.28: Strahlengang eines Keplerschen Fernrohrs.
Wir nehmen jetzt an, dass g ≫ f1 .
Sehwinkel ohne Fernrohr:
β0 ≈
1-32
hb
.
f1
(1.4.17)
1.4 Optische Systeme
Sehwinkel mit Fernrohr:
β≈
hb
.
f2
(1.4.18)
Winkelvergrößerung des Fernrohrs:
VW =
f1
.
f2
(1.4.19)
Beachte: Das Keplersche Fernrohr erzeugt ein umgekehrtes Bild des Gegenstandes.
Galileisches Fernrohr
Beim Galileischen Fernrohr wird die zweite Sammellinse durch eine Zerstreulinse ersetzt.
Die beiden Linsen werden so angeordnet, dass die bildseitigen Brennpunkte zusammenfallen. Diese Anordnung erlaubt eine aufrechte Betrachtung des Objekts.
f1
f2
b0
F1=F2
hb
b
Galileisches Fernrohr
Abbildung 1.29: Strahlengang eines Galileischen Fernrohrs.
Analoge Betrachtung ergibt für die Winkelvergrößerung:
VW =
f1
.
|f2 |
(1.4.20)
1-33
2 Die elektromagnetische Theorie des
Lichts
2.1 Zur Erinnerung: Maxwell-Gleichungen
Elektromagnetische Phänomene in Materie können durch die makroskopischen MaxwellGleichungen beschrieben werden:
∇ · D (r, t)
∇ × E (r, t)
∇ · B (r, t)
∇ × H (r, t)
=
=
=
=
̺ (r, t) ,
−Ḃ (r, t) ,
0,
j (r, t) + Ḋ (r, t) .
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
Hierbei ist:
• Elektrische Feldstärke: [E] = V m−1
• Elektrische Flußdichte: [D] = A s m−2
• Magnetische Flußdichte: [B] = V s m−2
• Magnetische Feldstärke: [H] = A m−1
• Freie Stromdichte: [j] = A m−2
• Magnetisierung: [M ] = V s m−2
• Elektrische Polarisation: [P ] = A s m−2
• Freie Ladungsdichte: [̺] = A s m−3
2-1
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Weiterhin gilt definitionsgemäß:
D (r, t) = ǫ0 E (r, t) + P (r, t) ,
(2.1.5)
B (r, t) = µ0 H (r, t) + M (r, t) ,
(2.1.6)
mit
ǫ0 = 8.8542 × 10−12 A s V−1 m−1 : Dielektrizitätskonstante des Vakuums,
µ0 = 4π × 10−7 V s A−1 m−1 : Magnetische Permeabilität des Vakuums.
Zusätzlich zu den Maxwell-Gleichungen benötigen wir noch eine Beschreibung der
materialspezifischen optischen Eigenschaften. Für kleine elektrische Feldstärken gilt (oftmals):
P (r, t) = ǫ0
Zt
−∞
χe (t − t′ ) E (r, t′ ) dt′ .
(2.1.7)
Wir nehmen hier an, dass die elektrische Suszeptibilität χe (t − t′ ) ein Skalar ist und
somit P k E. Diese Annahme gilt z.B. nicht in uniaxialen oder biaxialen Kristallen. Im
Allgemeinen ist χ̂e (t − t′ ) ein Tensor 2. Stufe und P ∦ E .
Experiment: Kristall aus Kalkspat.
Gleichung (2.1.7) kann weiter vereinfacht werden, wenn wir uns auf monochromatische
elektrische Felder der Form E (r, t) = E(r) cos(ωt + ϕ) beschränken. In diesem Fall
empfiehlt sich ein Wechsel von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne mittels FourierTransformation:
f˜(ω) = F {f (t)} =
Z∞
f (t)eıωt dt.
(2.1.8)
−∞
Die zugehörige Rücktransformation ist gegeben durch:
f (t) = F
2-2
−1
∞
o
1 Z ˜
˜
f (ω) =
f (ω)e−ıωt dω.
2π
n
−∞
(2.1.9)
2.1 Zur Erinnerung: Maxwell-Gleichungen
Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation
Wichtige Fourier-Transformations-Paare
• Zeitverschiebung:
F {f (t − t0 )} =
Z∞
ıωt
f (t−t0 ) e dt
t=t′ +t0
=
Z∞
′
f (t′ ) eıω(t +t0 ) dt′ = eıωt0 f˜(ω). (2.1.10)
−∞
−∞
• Frequenzverschiebung:
n
−ıω0 t
F e
o
f (t) =
Z∞
−ıω0 t
e
ıωt
f (t) e dt =
Z∞
−∞
−∞
f (t) eı(ω−ω0 )t dt = f˜(ω − ω0 ). (2.1.11)
• Skalierung:
F {f (at)} =
Z∞
−∞
∞
1 Z
1 ˜
′
f (at) e dt =
f (t′ ) eı(ω/a)t dt′ =
f (ω/a).
|a|
|a|
t′ =at
ıωt
(2.1.12)
−∞
Damit:
F {f (−t)} = f˜(−ω).
(2.1.13)
• Reale Funktionen
∗
f (t)
=
−ω=ω ′
=
h
F
1
2π
−1
n
Z∞
−∞
oi∗
f˜(ω)


∗
∞
Z∞
1
1 Z ˜∗
−ıωt
˜


=
f (ω)e
dω =
f (ω)eıωt dω
2π
2π
−∞
′
! 1
f˜∗ (−ω ′ )e−ıω t dω ′ =
2π
Z∞
−∞
′
f˜(ω ′ )e−ıω t dω ′ = f (t). (2.1.14)
−∞
Vergleich liefert:
f˜∗ (−ω) = f˜(ω).
(2.1.15)
δ-Funktion und Fourier-Transformation
Die δ-Funktion ist definiert durch
f (t0 ) =
Z∞
−∞
δ(t − t0 ) f (t)dt.
(2.1.16)
2-3
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Weiterhin gilt:


∞
∞
∞
1 Z ˜
1 Z Z
−ıωt0
f (t0 ) =
f (t)eıωt dt e−ıωt0 dω
f (ω) e
dω =
2π
2π
−∞
=

Z∞

−∞
1
2π
−∞
Z∞
−∞
−∞

eıω(t−t0 ) dω  f (t)dt
(2.1.17)
Der Vergleich liefert:
∞
1 Z ıω(t−t0 )
δ(t − t0 ) =
e
dω.
2π
(2.1.18)
−∞
Faltungssatz
Betrachte die Faltung h(t) =
R∞
−∞
f (t − t′ )g(t′ )dt′ .
Für h̃(ω) gilt:
h̃(ω) =
=
Z∞
−∞
Z∞
−∞
Z∞
h(t)eıωt dt =
−∞


Z∞
−∞
′


−∞
ıωt
f (t − t )e
= f˜(ω)g̃(ω).
Z∞


f (t − t′ )g(t′ )dt′  eıωt dt
dt g(t′ )dt′ =
Z∞
′
eıωt f˜(ω)g(t′ )dt′
−∞
(2.1.19)
Beispiele
• Impuls
f (t) = δ(t) ⇒ f˜(ω) =
Z∞
δ(t)eıωt dt = 1.
(2.1.20)
−∞
• Komplexe Exponentialfunktion
−ıω0 t
f (t) = e
2-4
⇒ f˜(ω) =
Z∞
−∞
eı(ω−ω0 )t dt = 2π δ(ω − ω0 ).
(2.1.21)
2.1 Zur Erinnerung: Maxwell-Gleichungen
• Gauss-Funktion
f (t) = e−
at2
2
ω2
1
⇒ f˜(ω) = √ e− 2a .
a
(2.1.22)
• Rechteck-Funktion
f (t) = rect(at) ⇒ f˜(ω) = √
1
ω
.
sinc
2πa
2π|a|
(2.1.23)
Zurück zur Physik!
Der Faltungssatz liefert für F {P (r, t)}:
P (r, ω) = ǫ0 χe (ω) E (r, ω) .
(2.1.24)
Analoge Betrachtung für die Magnetisierung M (r, ω) liefert mit der magnetischen Suszeptibilität χm (ω):
M (r, ω) = µ0 χm (ω) H (r, ω) .
(2.1.25)
Materialgleichungen in der Frequenzdomäne:
D (r, ω) = ǫ0 E (r, ω) + P (r, ω) = ǫ0 ǫ (ω) E (r, ω)
(2.1.26)
B (r, ω) = µ0 H (r, ω) + M (r, ω) = µ0 µ (ω) H (r, ω) .
(2.1.27)
Dielektrische Funktion:
ǫ (ω) = 1 + χe (ω) .
(2.1.28)
Magnetische Permeabilität:
µ (ω) = 1 + χm (ω) .
(2.1.29)
Anmerkung: Für große elektrische Feldstärken können auch Terme P ∝ E 2 , P ∝ E 3 , ...
auftreten ⇒ nichtlineare Optik.
2-5
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
2.2 Dielektrische Medien: Das Lorentz-Oszillator Modell
In diesem Abschnitt betrachten wir das Lorentz-Oszillator Modell, mit dessen Hilfe die
optischen Eigenschaften dielektrischer Materialien wie Gläsern, Ionenkristallen oder Polymeren verstanden werden können. Die Ergebnisse dieses klassischen Modells werden von
quantenmechanischen Rechnungen (im wesentlichen) bestätigt.
Alle bekannten natürlichen Substanzen haben bei optischen Frequenzen (ω > 10 THz) eine
praktisch verschwindende magnetische Antwort. Mit anderen Worten: Es gilt in exzellenter
Näherung µ = 1; die Abweichungen liegen in der Größenordnung von 10−4 .
Experiment: Dispersion mit einem Prisma.
Annahmen:
• Vernachlässige Wechselwirkung zwischen Atomen.
• Der Atomkern ist aufgrund seiner großen Masse unbeweglich.
• Die Elektronenhülle kann durch ein äußeres Feld aus der Gleichgewichtslage (x = 0)
ausgelenkt werden ⇒ elektronische Polarisierbarkeit.
• Das äußere Feld ist sehr klein im Vergleich zum inneratomaren Feld.
⇒ Rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung x.
+
Bewegungsgleichung (getriebener harmonischer Oszillator):
mẍ + γmẋ + mωe2 x = qEe−ıωt ,
(2.2.1)
wobei m die Masse der Elektonenhülle und q deren Ladung ist. γ ist eine phänomenologisch
eingeführte Dämpfungskonstante und ωe ist die Eigenfrequenz des Oszillators.
2-6
2.2 Dielektrische Medien: Das Lorentz-Oszillator Modell
Ansatz (eingeschwungener Fall):
x(t) = x0 e−ıωt .
(2.2.2)
Einsetzen in Bewegungsgleichung liefert:
qE
x0 =
m
!
1
.
2
ωe − ω 2 − ıγω
(2.2.3)
Mit der erzwungenen Schwingung der Elektronenhülle relativ zum Atomkern ist ein elektrisches Dipolmoment verknüpft:
p = qx0 .
(2.2.4)
Elektrische Polarisation für N Atome pro Einheitsvolumen:
P = N p.
(2.2.5)
Vergleich mit der Materialgleichung (2.1.24) liefert die dielektrische Funktion des LorentzOszillator Modells:
f
ǫLO (ω) = 1 + 2
(2.2.6)
ωe − ω 2 − ıγω
mit
f=
N q2
.
mǫ0
(2.2.7)
Der zugehörige Brechungsindex n(ω) berechnet sich nach
n(ω) =
q
ǫ(ω).
(2.2.8)
Auflösen nach Real- und Imaginärteil ergibt:
ǫLO (ω) = 1 +
f (ωe2 − ω 2 )
f ωγ
+
ı
.
2
(ωe2 − ω 2 ) + ω 2 γ 2
(ωe2 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
Dielektrische Funktion für mehrere Resonanzen:
X
fj
ǫLO (ω) = 1 +
2
2
j ωe,j − ω − ıγj ω
(2.2.9)
(2.2.10)
Die Resonanzen aufgrund der elektronischen Polarisierbarkeit vieler optisch relevanter
Materialien befinden sich im UV.
2-7
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Dielektrische Funktion
20
Re(ε)
Im(ε)
15
10
5
0
−5
−10
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Frequenz (ωe)
Brechungsindex
5
Re(n)
Im(n)
4
3
2
1
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Frequenz (ωe)
Abbildung 2.1: Dielektrische Funktion und Brechungsindex nach dem Lorentz-Oszillator Modell.
2-8
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Vorbemerkung: ”Licht” ist in Materie keine reine elektromagnetische Welle, sondern ein
Mischzustand aus elektromagnetischer Welle und Materialanregung (charakterisiert durch
die Polarisation, die Magnetisierung und die induzierten Ströme).
2.3.1 Wellengleichung
Experiment: Seilwelle.
Im Folgenden nehmen wir an: D (r, t) = ǫ0 ǫE (r, t) , B (r, t) = µ0 µH (r, t) , j = 0, ̺ = 0.
Damit:
∇ · E (r, t) = 0,
∇ × E (r, t) = −
(2.3.1)
∂B (r, t)
,
∂t
∇ · B (r, t) = 0,
(2.3.2)
(2.3.3)
∇ × B (r, t) = ǫ0 µ0 ǫµ
∂E (r, t)
.
∂t
(2.3.4)
Anwenden von ∇× auf Gleichung (2.3.2)
∇ × ∇ × E (r, t) = −∇ ×
∂B (r, t)
∂t
(2.3.5)
Vertauschung der Reihenfolge von ∂/∂t und ∇×
∇ × ∇ × E (r, t) = −∂/∂t (∇ × B (r, t))
(2.3.6)
Einsetzen von Gleichung (2.3.4) liefert:
∇ × ∇ × E (r, t) = −ǫ0 µ0 ǫµ
∂ 2 E (r, t)
.
∂t2
(2.3.7)
Mit der Vektoridentität ∇ × ∇× = −∇2 + ∇∇· und ∇ · E = 0 erhalten wir die Wellengleichung:
∇2 E (r, t) − µ0 ǫ0 µǫ
∂ 2 E (r, t)
= 0.
∂t2
(2.3.8)
2-9
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Eine Wellengleichung der selben Form kann auf analoge Weise (∇ × ∇ × B (r, t) = ...)
auch für das Magnetfeld hergeleitet werden.
Mathematischer Einschub
Eindimensionale Wellengleichung
Betrachte die eindimensionale homogene Wellengleichung
1 ∂ 2Ψ
∂2Ψ
=
.
∂x2
v 2 ∂t2
(2.3.9)
Die Wellenfunktion Ψ besitzt Lösungen der Form
Ψ (x, t) = f (x − vt)
(2.3.10)
Beweis:
Definiere u− = x − vt.
Damit:
∂Ψ
∂f ∂u−
∂f
=
=
∂x
∂u− ∂x
∂u−
∂2Ψ
∂
=
2
∂x
∂x
∂Ψ
∂x
!
"
∂
=
∂u−
(2.3.11)
∂f
∂x
!#
∂ 2f
∂u−
=
∂x
∂u2−
(2.3.12)
∂f ∂u−
∂f
∂Ψ
=
= −v
∂t
∂u− ∂t
∂u−
∂
∂2Ψ
=
2
∂t
∂t
∂f
∂t
!
"
∂
=
∂u−
(2.3.13)
∂f
∂t
!#
"
∂f
∂
∂u−
−v
= −v
∂t
∂u−
∂u−
!#
= v2
∂ 2f
∂u2−
(2.3.14)
Vergleich zeigt:
1 ∂ 2Ψ
∂2Ψ
=
.
∂x2
v 2 ∂t2
q.e.d.
2-10
(2.3.15)
Ψ(x,t=t0)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
f(x-vt0)
x
Ψ(x,t=t0+Dt)
Dx = v Dt
f(x-v[t0+Dt])
x0
x0+Dx
x
Analog: g (x + vt) ist ebenfalls eine Lösung der Wellengleichung.
Interpretation:
• f (x − vt) ist eine mit der Geschwindigkeit v nach rechts laufende Welle konstanter
Form.
• g (x + vt) ist eine mit der Geschwindigkeit v nach links laufende Welle konstanter
Form.
Kurze Rechnung zeigt: Sind Ψ1 und Ψ2 zwei unabhängige Lösungen der Wellengleichung,
dann ist auch (Ψ1 + Ψ2 ) eine Lösung ⇒ Superpositionsprinzip.
Wellen können also überlagert werden. Die gesamte Wellenfunktion ergibt sich aus der
algebraischen Summe aller Wellenfunktion an einem bestimmten Ort zu einem Zeitpunkt.
Das Superpositionsprinzip bildet die Grundlage vieler Wellenphänomene.
Harmonische Wellen
Wir untersuchen im Folgenden harmonische Wellen der Form
Ψ (x, t) = A sin (kx − ωt + ϕ0 ) .
(2.3.16)
2-11
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Hierbei ist
Amplitude.
Wellenzahl.
Winkelgeschwindigkeit.
Anfangsphase.
l
A
Ψ(x,t=T/2)
Ψ(x,t=T/4)
Ψ(x,t=0)
A:
k:
ω:
ϕ0 :
x
x
x
Einsetzen in Wellengleichung liefert:
v=
ω
.
k
(2.3.17)
Harmonische Wellen sind sowohl räumlich als auch zeitlich periodisch.
Die räumlich Periode wird als Wellenlänge λ bezeichnet. Aus Ψ(x, t) = Ψ(x ± λ, t) folgt:
kλ = 2π.
(2.3.18)
Für die zeitliche Periode T ergibt sich aus Ψ(x, t) = Ψ(x, t ± T ):
ωT = 2π.
2-12
(2.3.19)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Definiere Frequenz:
1
ω
ν≡ =
.
T
2π
(2.3.20)
Die mathematische Behandlung der Wellengleichung vereinfacht sich oftmals durch die
formale Einführung einer komplexen Wellenfunktion:
Ψ (x, t) = A [cos (kx − ωt + ϕ0 ) + ı sin (kx − ωt + ϕ0 )] = Ãeı(kx−ωt) .
(2.3.21)
Hierbei ist Ã = Aeıϕ0 die komplexwertige Amplitude.
Wichtig: Physikalisch relevant ist im Rahmen der Elektrodynamik nur ℜ (Ψ).
Ebene Wellen
Wir betrachte jetzt die vektorielle, dreidimensionale, homogene Wellengleichung:
1 ∂2Ψ
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
+
+
= 2 2 .
∂x2
∂y 2
∂z 2
v ∂t
(2.3.22)
Ψ ist jetzt ein Vektorfeld. Jede der drei kartesischen Komponeneten Ψj , j = x, y, z ist
eine Lösung der skalaren, dreidimensionale Wellengleichung:
∂ 2 Ψj ∂ 2 Ψj ∂ 2 Ψj
1 ∂ 2 Ψj
+
+
=
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
v 2 ∂t2
(2.3.23)
Ebene Wellen der Form
Ψ (r, t) = Ãeı(kx x+ky y+kz z−ωt) = Ãeı(k·r−ωt)
(2.3.24)
sind Lösungen der vektoriellen, dreidimensionalen Wellengleichung. Hier ist Ã der komplexwertige, konstante Amplitudenvektor und k = (kx , ky , kz ) der Wellenvektor.
Zu einem beliebigen Zeitpunkt t′ stehen die Ebenen konstanter Phase ϕ = k · r − ωt′ =
const senkrecht zu k. Die Wellenfunktion ist in einer Ebene konstanter Phase zu einem
gegebenen Zeitpunkt konstant.
Der Abstand zweier benachbarter Ebenen mit der selben Phase zu einem gegebenen Zeitpunkt definiert die Wellenlänge λ.
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich mit der Phasengeschwindigkeit
ω
ek
vPhase =
|k|
(2.3.25)
in die Richtung des Wellenvektors.
2-13
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Kugelwellen
Im Laufe der Vorlesung werden wir noch kugelsymmetrische Lösungen der skalaren, dreidimensionalen Wellengleichung benötigen, um die isotrope Abstrahlung einer punktförmigen, monochromatischen Lichtquelle zu beschreiben.
Wellengleichung in Kugelkoordinaten:
"
1 ∂
∂
r2
2
r ∂r
∂r
!
1 1 ∂
∂
+ 2
sin(θ)
r sin(θ) ∂θ
∂θ
!
#
1 1 ∂2
1 ∂2Ψ
+ 2
Ψ
=
.
r sin(θ) ∂φ2
v 2 ∂t2
(2.3.26)
Für kugelsymmetrische Lösungen vereinfacht sich die Wellengleichung zu
!
1 ∂2Ψ
1 ∂
2 ∂
r
Ψ
=
.
r2 ∂r
∂r
v 2 ∂t2
(2.3.27)
Nach einer kurzen Rechnung erhalten wir:
1 ∂2
∂2
(rΨ)
=
(rΨ) .
∂r2
v 2 ∂t2
(2.3.28)
Die Funktion rΨ ist also eine Lösung der eindimensionalen Wellengeleichung!
Damit erhalten wir für eine monochromatische Punktquelle:
Ψ(r, t) =
A ı(±kr−ωt)
e
.
r
(2.3.29)
Zurück zur Physik!
Wellengleichung für isotropes Medium:
∇2 E (r, t) − µ0 ǫ0 µǫ
∂ 2 E (r, t)
= 0.
∂t2
(2.3.30)
Wir betrachten im Folgenden harmonische ebene Wellen1 :
E (r, t) = E0 eı(k·r−ωt) ,
1
(2.3.31)
Zur Erinnerung: Physikalisch relevant ist jeweils nur der Realteil der so definierten ebenen Wellen!
2-14
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
B (r, t) = B0 eı(k·r−ωt)
(2.3.32)
mit konstanten Amplitudenvektoren E0 und B0 .
Harmonische ebene Wellen sind eine Idealisierung (unendliche räumliche und zeitliche
Ausdehnung der Welle). Sie können aber häufig zur Beschreibung von „einfarbigen“ elektromagnetischen Wellen benutzt werden, die in einem Raumgebiet annähernd konstante
Amplitudenvektoren aufweisen.
Einsetzen von E (r, t) in Gleichung (2.3.8) liefert die Dispersionsrelation
k · k = k 2 = ǫ0 µ0 ǫµ ω 2 =
ω2
ǫµ .
c20
(2.3.33)
Hierbei ist c0 die Vakuumlichtgeschwindigkeit
c0 = √
1
.
ǫ0 µ 0
(2.3.34)
Definitionsgemäß gilt: Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m s−1 .
Experiment: „Messung“ der Lichtgeschwindigkeit.
Für den Wellenvektor im Vakuum liefert die Dispersionsrelation:
ω
|k0 | = .
c0
(2.3.35)
Damit gilt im Medium:
k = nk0
(2.3.36)
n2 = ǫµ.
(2.3.37)
mit
Umformen nach dem Brechungsindex ergibt2 :
√
n = ǫµ .
(2.3.38)
In absorbierenden Medien ist der Wellenvektor komplexwertig3 und die Amplitude der
ebenen Welle fällt in Propagationsrichtung exponentiell ab:
′
′′
E (r, t) = E0 eı(k ·r−ωt) e−k ·r ,
2
3
(2.3.39)
Wir nehmen hier an, dass ǫ′ > 0, µ′ > 0.
Wir verwenden die folgende Schreibweise für eine komplexe Zahl: z = z ′ + ız ′′ .
2-15
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
′
′′
B (r, t) = B0 eı(k ·r−ωt) e−k ·r .
(2.3.40)
Der Abstand zweier benachbarter Ebenen mit identischer Phase definiert die Wellenlänge
λ=
2π
.
|k′ |
(2.3.41)
Die Ebenen konstanter Phase bewegen sich in einem Medium mit der Phasengeschwindigkeit
c=
c0
n′
(2.3.42)
in Richtung des Wellenvektors.
Wellenlänge und Frequenz sind über die Dispersionsrelation miteinander verknüpft:
λν = c.
(2.3.43)
Aus ∇ · E (r, t) = 0 folgt:
k · E0 = 0 .
(2.3.44)
Der Amplitudenvektor des elektrischen Feldes steht also senkrecht auf dem Wellenvektor.
Aus ∇ · B (r, t) = 0 folgt entsprechend, dass auch der Amplitudenvektor des Magnetfeldes
senkrecht zum Wellenvektor orientiert ist.
Aus ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) ergibt sich:
k × E0 = ωB0 .
(2.3.45)
Umformen liefert:
B0 =
1
(k × E0 ) .
ω
(2.3.46)
Somit steht der Amplitudenvektor der magnetischen Flußdichte auch senkrecht zum Amplitudenvektor der elektrischen Feldstärke. Licht ist in einem isotropen Medium also eine
transversale elektromagnetische Welle.
Ist der Brechungsindex reellwertig, so schwingen das elektrische und das magnetische Feld
gleichphasig.
2-16
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Die Impedanz4 eines Mediums mit ǫ, µ > 0 ist gegeben durch
E0
Z=
=
H0
s
µ0 µ
.
ǫ0 ǫ
(2.3.47)
Damit gilt:
H0 =
1
(êk × E0 ).
Z
(2.3.48)
Für Vakuum erhalten wir:
Z0 =
s
µ0
≈ 377Ω.
ǫ0
(2.3.49)
2.3.2 Energietransport durch elektromagnetische Felder
Experiment: Energietransport durch Licht.
Erinnerung an Physik II:
• Energiedichte des elektrischen Feldes (z.B. in einem Kondensator):
1
wel = ED.
2
(2.3.50)
• Energiedichte des magnetischen Feldes (z.B. in einer Spule):
1
wmag = HB.
2
(2.3.51)
Energiedichte einer elektromagnetischen Welle in einem transparenten, nichtdispersiven
Medium (ǫ = ǫ′ und µ = µ′ ):
1
1
wem (r, t) = E (r, t) · D (r, t) + B (r, t) · H (r, t) .
2
2
(2.3.52)
Wichtig: An dieser Stelle dürfen wir nicht einfach die komplexen Felder einsetzen, da wir
eine nichtlineare Operation durchführen!
4
Wir werden später sehen, dass Unterschiede in der Impedanz zweier Medien zur partiellen Reflexion
einer einlaufenden Welle an der Grenzfläche zwischen den Medien führt.
2-17
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Wichtig: Gleichung (2.3.52) ist für dispersive und absorbierende Medien nicht gültig!
Die Energiedichte ist eine zeitlich schnell veränderliche Größe. Wir sind im allgemeinen
aber nur am zeitlichen Mittelwert interessiert:
1ZT
< wem >=
wem (r, t) dt
(2.3.53)
T 0
Mathematischer Einschub
Im Folgenden wollen wir Ausdrücke für die zeitlich gemittelte Energiedichte und den
zeitlich gemittelten Poyntingvektor für die Felder in komplexer Schreibweise herleiten.
Seien a (r, t) = a0 (r) e−ıωt und b (r, t) = b0 (r) e−ıωt zwei komplexe Vektorfelder mit harmonischer Zeitabhängigkeit.
Skalarprodukt der Realteile:
1
1
ℜ (a) · ℜ (b) = (a + a∗ ) · (b + b∗ ) = (a · b + a · b∗ + a∗ · b + a∗ · b∗ ) . (2.3.54)
4
4
Betrachte zeitliches Mittel über eine Periode T :
Z T
1
< a · b >= a0 · b0
e−2ıωt dt = 0.
T
0
und
< a∗ · b∗ >= 0.
(2.3.55)
(2.3.56)
Aber:
< a · b∗ >=
und
Z T
1
a0 · b0 ∗
dt = a0 · b0 ∗
T
0
< a∗ · b >= a0 ∗ · b0 .
(2.3.57)
(2.3.58)
Damit:
1
< ℜ (a) · ℜ (b) >= ℜ (a0 · b∗0 ) .
2
Eine analoge Herleitung für das Vektorprodukt ergibt:
1
< ℜ (a) × ℜ (b) >= ℜ (a0 × b∗0 ) .
2
2-18
(2.3.59)
(2.3.60)
2.3 Elektromagnetische Wellen in isotropen Medien
Wir betrachten ab jetzt eine ebene Welle mit E (r, t) = E0 eı(k·r−ωt) und B (r, t) =
B0 eı(k·r−ωt) in einem nichtdispersiven, absorptionsfreien Medium.
Für den zeitlichen Mittelwert des elektrischen Anteils der Energiedichte gilt:
1
< ℜ [E (r, t)] · ℜ [D (r, t)] >
2
i
1 h
ℜ E0 eık·r · ǫ0 ǫE∗0 e−ık·r
=
4
1
ǫ0 ǫ |E0 |2 .
=
4
< we > =
(2.3.61)
Eine analoge Herleitung liefert mit k × E0 = ωB0 für den zeitlichen Mittelwert des
magnetischen Anteils der Energiedichte:
1
< ℜ [B (r, t)] · ℜ [H (r, t)] >
2
1
=
ǫ0 ǫ |E0 |2 .
4
< wm > =
(2.3.62)
Im zeitlichen Mittel ist die elektrische Energiedichte gleich der magnetischen Energiedichte. Insgesamt gilt also:
1
< wem >=< we > + < wm >= ǫ0 ǫ |E0 |2 .
2
(2.3.63)
Zur Erinnerung
Die Stromdichte einer mengenartigen Größe gibt an, welche Menge dieser Größe pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung fließt.
Dabei gilt:
Stromdichte = Dichte · Ausbreitungsgeschwindigkeit.
(2.3.64)
Beispiel elektrische Stromdichte:
j = ρv
(2.3.65)
mit der Ladungsdichte ρ und der Ausbreitungsgeschwindigkeit v.
2-19
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Der Betrag des zeitlichen Mittelwerts der elektromagnetische Energiestromdichte heißt
Intensität I. Für eine ebene Welle in einem nichtdispersiven, transparenten Medium sollte
nach den obigen Überlegungen gelten:
I = c < wem >=
1
c ǫ0 ǫ |E0 |2 .
2
(2.3.66)
Eine genaue theoretische Behandlung (Satz von Poynting) zeigt, dass die Energiestromdichte einer elektromagnetischen Welle durch den Poyntinvektor S (r, t) gegeben ist:
S (r, t) = E (r, t) × H (r, t) .
(2.3.67)
Maßeinheit des Poynting-Vektors: [S] = W m−2 .
Für µ > 0 sind der Wellenvektor und der Poyntingvektor in einem isotropen Medium
parallel orientiert.
Wir interessieren uns wieder für den zeitlichen Mittelwert. Für eine ebene Welle erhalten
wir mit H0 = Z1 (êk × E0 ):
i
1 h
′
′′
′
′′
ℜ E0 eık ·r e−k ·r × H∗0 e−ık ·r e−k ·r
2 1
1
′′
=
ℜ E0 × ∗ (êk × E∗0 ) e−2k ·r
2
Z
1 1
′′
=
|E0 |2 êk e−2k ·r .
2 ℜ (Z)
< S (r) > =
(2.3.68)
Passive Medien: < S (r) > wird in Propagationsrichtung kleiner.
Vergleich mit dem Beerschen Absorptionsgesetz
I(z) = I(0)e−αz
(2.3.69)
liefert
α=
4πn′′
.
λ0
In der Optik spielen zwei Fälle eine wichtige Rolle:
2-20
(2.3.70)
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Dielektrische Materialien
Materialparameter: µ = 1, ǫ = ǫ′ ⇒ Z =
q
µ0
,n
ǫ0 ǫ
=
√
ǫ, c =
c0
.
n
Zeitlicher Mittelwert des Poynting-Vektors.
< S (r) >=
11
1
|E0 |2 êk = cǫ0 ǫ|E0 |2 êk .
2Z
2
(2.3.71)
Vergleich mit Gleichung (2.3.66) zeigt:
| < S (r) > | = I.
(2.3.72)
Beispiel: Ein grüner Laser-Pointer mit 1 mW mittlerer Leistung fällt auf eine Fläche von
1 mm2 .
Intensität: I = 1 mW/mm2 = 1 kW/m2
Elektrische Feldstärke: E0 ≈ 870 V/m.
Metalle
Materialparameter: µ = 1, ǫ = ǫ′ + ıǫ′′ mit ǫ′ < 0 ⇒ n′′ ≫ n′ .
Das elektromagnetische Feld ist evaneszent und die Intensität der Welle nimmt im Metall
exponentiell ab.
Skintiefe δ: I(δ) = (1/e)I(0).
Für Gold findet man im sichtbaren Spektralbereich eine Skintiefe δ in der Größenordnung
von 10 nm − 20 nm.
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
2.4.1 Stetigkeitsbedingungen
Betrachte Grenzfläche zwischen zwei isotropen Medien mit ρ = 0 und j = 0.
Aus ∇ · D (r, t) = 0 folgt mit dem Gaußschen Satz für ein Gaußsche Kästchen:
Z
dV
3
∇ · D (r, t) d r =
Z
∂(dV )
!
D (r, t) · dA = 0.
(2.4.1)
2-21
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
dA=dA e^
dl=dl e||´
e^
dx
dx
(a)
(b)
dA=dA e||
Abbildung 2.2: (a) Gaußsches Kästchen und (b) Stokessche Fläche.
Im Limes dx → 0 gilt:
Z
!
dx→0
∂(dV )
D (r, t) · dA −→ dA e⊥ · (D1 (r0 , t) − D2 (r0 , t)) = 0.
(2.4.2)
⇒ D⊥ (r0 , t) ist stetig.
Analoge Betrachtung: B⊥ (r0 , t) ist stetig.
Der Stokessche Satz liefert mit ∇ × E (r, t) = −Ḃ (r, t) für eine Stokessche Fläche:
Z
dA
∇ × E (r, t) · ek dA =
Z
∂dA
E (r, t) · dr = −
Z
dA
Ḃ (r, t) · ek dA.
(2.4.3)
Für dx → 0 gilt:
Z
∂dA
dx→0
!
E (r, t) · dr −→ dl ek × e⊥ · (E1 (r0 , t) − E2 (r0 , t)) = 0.
⇒ Ek (r0 , t) ist stetig.
|
{z
ek′
}
Analoge Betrachtung: Hk (r0 , t) ist stetig.
Zusammenfassung:
Tangentialkomponente
E1,k (r0 , t) = E2,k (r0 , t)
D1,k (r0 , t) = ǫǫ12 D2,k (r0 , t)
H1,k (r0 , t) = H2,k (r0 , t)
B1,k (r0 , t) = µµ21 B2,k (r0 , t)
2-22
Normalkomponente
E1,⊥ (r0 , t) = ǫǫ21 E2,⊥ (r0 , t)
D1,⊥ (r0 , t) = D2,⊥ (r0 , t)
H1,⊥ (r0 , ) = µµ21 H2,⊥ (r0 , t)
B1,⊥ (r0 , t) = B2,⊥ (r0 , t)
(2.4.4)
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
2.4.2 Fresnel-Gleichungen
Experiment: Reflexion und Brechung am Glassegment.
Betrachte eine ebene Grenzfläche bei z = 0 zwischen zwei Medien mir Materialparametern
ǫ1 , µ1 bzw. ǫ2 , µ2 . Sei ên der Einheitsvektor senkrecht zur Grenzfläche.
Trifft eine Welle aus Medium 1 kommend auf die Grenzfläche, so wird die Welle teilweise
reflektiert und teilweise in das Medium 2 transmittiert.
Einfallende Welle (Medium 1):
Ei (r, t) = E0i eı(ki ·r−ωi t) , Bi (r, t) = B0i eı(ki ·r−ωi t) .
(2.4.5)
Reflektierte Welle (Medium 1):
Er (r, t) = E0r eı(kr ·r−ωr t) , Br (r, t) = B0r eı(kr ·r−ωr t) .
(2.4.6)
Transmittierte Welle (Medium 2):
Et (r, t) = E0t eı(kt ·r−ωt t) , Bt (r, t) = B0t eı(kt ·r−ωt t) .
(2.4.7)
ki und ên spannen die sogenannte Einfallsebene auf.
Aufgrund der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzfläche gilt:
ên × E0i eı(ki ·r−ωi t) + E0r eı(kr ·r−ωr t) = ên × E0t eı(kt ·r−ωt t) .
(2.4.8)
Diese Gleichung muss für r = 0 zu allen Zeiten erfüllt sein. Hieraus folgt:
ωi = ωr = ωt .
(2.4.9)
Ferner gilt für einen beliebigen Vektor rk der in der Grenzfläche liegt:
ki · rk = kr · rk = kt · rk .
(2.4.10)
Wir zerlegen nun die Wellenvektoren in eine Normalkomponente parallel zu ên und in
eine Tangentialkomponente, die parallel zur Grenzfläche orientiert ist:
kj = kj,n ên + kj,p êj,p
mit j = i, r, t.
(2.4.11)
2-23
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Einsetzen in Gleichung (2.4.10) zeigt:
(2.4.12)
ki,p êi,p = kr,p êr,p = kt,p êt,p .
Somit sind die Tangentialkomponenten der drei Wellenvektoren gleich und die Wellenvektoren liegen alle in der Einfallsebene.
Die einfallende und die reflektierte Welle befinden sich im selben Medium und besitzen
daher den gleichen Betrag ki = kr = k0 n1 . Zusammen mit ki,p = ki sin(θi ) und kr,p =
kr sin(θr ) ergibt sich damit das Reflexionsgesetz:
(2.4.13)
θi = θr .
Für die einfallende und die transmittierte Welle gilt:
ki sin(θi ) = kt sin(θt ).
(2.4.14)
Mit ki = k0 n1 und kt = k0 n2 folgt sofort das Brechungsgesetz:
n1 sin(θi ) = n2 sin(θt ) .
(2.4.15)
s-Polarisation
p-Polarisation
Ei
Ei
ε1, μ1 Bi
ε2, μ2
ki
Er
kr
Bi
θi θr
Br
θt
Er
kr
ε1, μ1
ε2, μ2
ki
Br
θi θr
Et
θt
Bt
Bt
kt
Et
kt
Abbildung 2.3: Reflexion und Brechung einer ebenen Welle an einer Grenzfläche für sPolarisation und p-Polarisation.
Wir wollen nun die Amplituden und Phasen der reflektierten und transmittierten Wellen
berechnen. Hierbei ist es ausreichen zwei Fälle zu betrachten, die in der Lieteratur mit
s-Polarisation und p-Polarisation bezeichnet werden5 .
5
Merkregel: „s wie senkrecht“ und „p wie parallel“ (zur Einfallsebene).
2-24
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
E senkrecht zur Einfallsebene: s-Polarisation
Aus der Stetigkeitsbedingung für Ek folgt:
E0i + E0r = E0t .
(2.4.16)
Zusätzlich ist Hk = Bk /(µ0 µ) stetig an der Grenzfläche6 :
−
B0r
B0t
B0i
cos(θi ) +
cos(θr ) = −
cos(θt ).
µ1 µ0
µ1 µ0
µ2 µ0
Mit θi = θr und B0 =
n
E
c0 0
(2.4.17)
finden wir:
n1
n2
(E0i − E0r ) cos(θi ) =
E0t cos(θt ).
µ0 µ1 c0
µ0 µ2 c0
(2.4.18)
Einsetzen von Gleichung (2.4.16) liefert zusammen mit 1/Z = n/(µ0 µc0 ) die FresnelGleichungen für s-Polarisation:
E0r
rs ≡
E0i
E0t
ts ≡
E0i
=
s
=
s
1
Z1
1
Z1
cos(θi ) −
cos(θi ) +
1
Z2
1
Z2
cos(θt )
,
cos(θt )
(2.4.19)
cos(θi )
.
cos(θi ) + Z12 cos(θt )
(2.4.20)
2
Z1
1
Z1
E in der Einfallsebene: p-Polarisation
Die Stetigkeitsbedingung für Hk ergibt unter Benutzung von Gleichung (2.3.48):
1
1
1
E0i + E0r =
E0t .
Z1
Z1
Z2
(2.4.21)
Aus der Stetigkeit von Ek an der Grenzfläche folgt:
E0i cos(θi ) − E0r cos(θr ) = E0t cos(θt ).
(2.4.22)
Mit dem Reflexionsgesetz erhalten wir nach kurzer Rechnung die Fresnel-Formeln für
p-Polarisation:
6
Die Vorzeichenwahl bezieht sich im Folgenden auf Abbildung 2.3.
2-25
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
rp ≡
E0r
E0i
E0t
tp ≡
E0i
1
Z2
1
Z1
=
p
=
p
cos(θi ) −
cos(θt ) +
1
Z1
1
Z2
cos(θt )
,
cos(θi )
(2.4.23)
cos(θi )
.
cos(θt ) + Z12 cos(θi )
(2.4.24)
2
Z1
1
Z1
Äußere Reflexion
In der Optik gilt (meistens) µ = 1, so dass 1/Z =
deshalb häufig in der folgenden Form angegeben:
rs ≡
E0t
ts ≡
E0i
Die Fresnel-Gleichungen werden
=
n1 cos(θi ) − n2 cos(θt )
,
n1 cos(θi ) + n2 cos(θt )
(2.4.25)
=
2n1 cos(θi )
,
n1 cos(θi ) + n2 cos(θt )
(2.4.26)
=
n2 cos(θi ) − n1 cos(θt )
,
n1 cos(θt ) + n2 cos(θi )
(2.4.27)
=
2n1 cos(θi )
.
n1 cos(θt ) + n2 cos(θi )
(2.4.28)
E0r
E0i
n
.
Z0
s
s
rp ≡
E0r
E0i
tp ≡
E0t
E0i
p
p
Wir betrachten nun die Grenzfläche Luft/Glas mit n1 = 1 und n2 = 1.5 bei äußerer
Reflexion, d.h, Lichteinfall von der Luftseite.
• Für senkrechten Einfall gilt |rs | = |rp | und ts = tp .
• Für s-Polarisation ist das elektrische Feld der reflektierten Welle gegenüber der
einfallenden Welle für alle Einfallswinkel um 180◦ phasenverschoben („Reflexion
am festen Ende“).
• Beim Brewster-Winkel θi = θB tritt für p-Polarisation keine reflektierte Welle auf
(rp = 0). Eine kurze Rechnung zeigt:
tan (θB ) =
n2
.
n1
(2.4.29)
und
θB + θt = 90◦ .
2-26
(2.4.30)
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Amplitudenkoeffizienten
1
tp
0.5
ts
rp
0
θB
rs
−0.5
−1
0
20
40
60
80
θ (Grad)
i
Abbildung 2.4: Amplitudenkoeffizienten als Funktion des Einfallswinkel bei äußerer Reflexion
and der Luft/Glas Grenzfläche.
Beweis: Übung!
Ei
Bi
n1
n2
ki
qi=qB
qr
Et
qt Bt
kt
Anschauliche Erklärung: Nahe der Grenzfläche werden im hochbrechenden Medium
Dipole durch das elektrische Feld zu Schwingungen angeregt. Da die Dipole nicht in
Richtung der Dipolachse abstrahlen, tritt keine reflektierte Welle auf.
Für die Luft/Glas-Grenzfläche erhalten wir θB = 56.3◦ .
2-27
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
• Für streifenden Einfall (θi → 90◦ ) wirkt die Glasscheibe wie ein Spiegel (rs,p → 1
und ts,p → 0).
Innere Reflexion und Totalreflexion
Im Folgenden wird nun der Fall der inneren Reflexion (Lichteinfall von der Glasseite)
diskutiert mit n1 > n2 . Wir betrachten hierbei zunächst den Fall θi < αg mit sin(αg ) = nn21 .
αg
2.5
Amplitudenkoeffizienten
2
tp
1.5
ts
1
0.5
rs
0
rp
−0.5
−1
0
20
θB
40
60
80
θ (Grad)
i
Abbildung 2.5: Amplitudenkoeffizienten als Funktion des Einfallswinkel bei äußerer Reflexion
and der Luft/Glas Grenzfläche.
• Für senkrechten Einfall gilt wieder |rs | = |rp | und ts = tp .
• Für s-Polarisation schwingt das elektrische Feld der reflektierten Welle für alle Einfallswinkel mit der einfallenden Welle in Phase („Reflexion am losen Ende“).
• Beim Brewster-Winkel θi = θB tritt für p-Polarisation keine reflektierte Welle auf
(rp = 0). Wieder gilt:
n2
.
n1
(2.4.31)
θB + θt = 90◦ .
(2.4.32)
tan (θB ) =
und
2-28
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Für die Luft/Glas-Grenzfläche erhalten wir bei interner Reflexion θB = 33.7◦ .
• Für θi → αg finden wir rs,p → 1 aber ts,p 6→ 0 (Widerspruch?).
Was passiert nun im Fall θi > αg ?
Tangentialkomponenten des Wellenvektors der einfallenden Welle und der transmittierten
Welle sind gleich groß:
kt,p = k0 n2 sin(θt ) = k0 n1 sin(θi ) = ki,p .
(2.4.33)
Für die Normalkomponente des Wellenvektors in Medium 2 finden wir damit:
kt,n =
q
2
k02 n22 − kt,p
.
(2.4.34)
Für θi > αg gilt offensichtlich kt,p > k0 n2 . Damit ist aber kt,n eine rein imaginäre Größe.
Die transmittierte Welle ist daher evaneszent und fällt im Medium 2 exponentiell ab. Mit
der transmittierten Welle ist kein Energietransport verknüpft. Die gesamte Intensität wird
also an der Grenzfläche reflektiert ⇒ Totalreflexion.
Transmissions- und Reflexionsgrad
Bisher haben wir uns für die Amplituden der Felder an der Grenzfläche interessiert. Im
Folgenden wollen wir die Energiestromdichten untersuchen.
Poyntingvektor der einlaufenden Welle:
Si =
1 1
ki
.
|E0 |2
2 Z1
|ki |
(2.4.35)
Poyntingvektor der reflektierten Welle:
Sr =
kr
1 1
.
|rE0 |2
2 Z1
|kr |
(2.4.36)
Poyntingvektor der transmittierte Welle:
St =
1 1
kt
|tE0 |2
.
2 Z2
|kt |
(2.4.37)
Der Reflexionsgrad R ist definiert als der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, die an
der Grenzfläche reflektiert wird:
R=
|Sr · e⊥ |
= |r|2 .
|Si · e⊥ |
(2.4.38)
2-29
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Sr
Si
A cos(qi)
qi
qr
A
n1
n2
A cos(qr)
qt
A cos(qt)
St
Abbildung 2.6: Reflexion und Transmission eines Strahlenbündels.
Der Transmissionsgrad T ist der Bruchteil der eingestrahlten Leistung, der durch die
Grenzfläche transmittiert wird:
T =
Z1 cos (θt ) 2
|St · e⊥ |
=
|t| .
|Si · e⊥ |
Z2 cos (θi )
(2.4.39)
Aus Gründen der Energieerhaltung gilt für verlustfreie Medien (reelle Impedanzen):
R+T =1.
2-30
(2.4.40)
2.4 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Äußere Reflexion
1
0.8
Rs
Rp
Ts
Tp
R,T
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
60
70
80
90
θ (Grad)
i
Innere Reflexion
1
0.8
Rs
Rp
Ts
Tp
R,T
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
θ (Grad)
i
Abbildung 2.7: Reflexions- und Transmissionsgrad für eine Luft/Glas-Grenzfläche.
2-31
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
2.5 Gauß-Strahlen
Vorbemerkung: Die bisher betrachteten ebenen Wellen weisen über das gesamte Raumgebiet eine konstante Intensität auf. Sie sind damit nicht geeignet um das Strahlprofil eines
Laserstrahls zu beschreiben.
Abbildung 2.8: Strahlprofil eines grünen Laser-Pointers. Bild: Wikipedia.
Experiment: Lasermoden.
Im Folgenden betrachten wir paraxiale Strahlen der Form:
E (r, t) = A (r) eı(kz−ωt) .
(2.5.1)
Wir gehen davon aus, dass sich die Enveloppe A (r) nur langsam in Ausbreitungsrichtung
(z-Achse) ändert, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind (slowly varying envelope
approximation):
(2.5.2)
(2.5.3)
∂A/∂z ≪ kA,
∂ A/∂z 2 ≪ k 2 A.
2
In dieser Näherung gleichen die paraxialen Strahlen lokal einer ebenen Welle.
Durch Einsetzen von E (r) in die Wellengleichung und bei Vernachlässigung von ∂ 2 A/∂z 2
gegenüber von k∂A/∂z and k 2 A erhält man die sogenannte paraxiale HelmholtzGleichung:
∇2t A (r) + ı2k
∂A (r)
= 0 mit ∇2t = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 .
∂z
(2.5.4)
Das Strahlprofil vieler Laserstrahlen wird in sehr guter Näherung durch einen sogenannten
Gauß-Strahl beschrieben:
!
!
ρ2
ρ2
W0
exp − 2
exp ık
exp (−ıη(z))
A(ρ, z) = A0
W (z)
W (z)
2R(z)
2-32
(2.5.5)
2.5 Gauß-Strahlen
mit
W0 =
s
λz0
,
π
(2.5.6)
s
W (z) = W0 1 +
z0
R(z) = z 1 +
z
z
z0
2
2 !
(2.5.7)
,
(2.5.8)
,
η(z) = arctan (z/z0 ) .
(2.5.9)
Hierbei werden die Eigenschaften des Gauß-Strahls durch die Wellenlänge λ und die sogenannte Rayleigh-Länge z0 festgelegt.
Durch Einsetzen kann man leicht zeigen, dass Gauß-Strahlen Lösungen7 der paraxialen
Helmholtz-Gleichung sind.
Intensität und Leistung
Die Intensität eines Gauß-Strahls lautet als Funktion von z und ρ :
cǫ0
W0
I (ρ, z) =
|E (ρ, z) |2 = I0
2
W (z)
!2
ρ2
exp −2 2
W (z)
!
(2.5.10)
mit
I0 =
cǫ0
|A0 |2 .
2
(2.5.11)
Der Name Gauß-Strahl nimmt Bezug auf das radiale Intensitätsprofil. Für jeden z-Wert
ist die Funktion I (ρ, z = const) eine Gauß-Funktion des radialen Abstands ρ mit Intensitätsmaximum auf der optischen Achse ρ = 0 (siehe Abbildung 2.9).
Das axiale Intensitätsprofil eines Gauß-Strahls ist gegeben durch:
I (ρ = 0, z) = I0
W0
W (z)
!2
=
I0
.
1 + (z/z0 )2
(2.5.12)
Es weist bei z = 0 ein Maximum mit I(0, 0) = I0 auf. Nach einer Rayleigh-Länge z = ±z0
fällt die Intensität auf der optische Achse auf die Hälfte des Maximalwerts ab (siehe
Abbildung 2.10).
7
Gauß-Strahlen sind allerdings keine exakte Lösung der Wellengleichung!
2-33
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
I(ρ,z) / I
0
1
z=0
z=z0
z=2z
0
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
ρ/W
0
Abbildung 2.9: Radiales Intensitätsprofil eines Gauß-Strahls für verschiedene Werte von z.
I(0,z) / I
0
1
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
z/z
0
Abbildung 2.10: Axiales Intensitätsprofil eines Gauß-Strahls.
Die Gesamtleistung des Gauß-Strahls kann durch Integartion von Gleichung (2.5.10) über
eine beliebige Querschnittsfläche berechnet werden:
Ptotal =
Z
∞
0
1 I (ρ, z) 2πρdρ = I0 πW02 .
2
(2.5.13)
Eine um die optische Achse zentrierte Kreisscheibe mit Radius ρ0 enthält den Anteil
R
ρ0
I (ρ, z) 2πρdρ
ρ2
P (ρ0 )
= R0∞
= 1 − exp −2 20
Ptotal
W (z)
0 I (ρ, z) 2πρdρ
!
(2.5.14)
der gesamten Leistung.
Strahlradius und Divergenz
Der Strahlradius W (z) ist ein übliches Mass für die Charakterisierung der Breite eines
Gauß-Strahls. Im Abstand W (z) von der Achse ist die Intensität um den Faktor 1/e2
2-34
2.5 Gauß-Strahlen
kleiner als auf der Achse (siehe Abbildung2.11). Eine Kreisscheibe mit Radius ρ0 = W (z)
enthält ∼ 87% der Gesamtleistung.
1
y/W
0
2
0
0.5
−2
1/e2
−2
0
2
0
x / W0
Abbildung 2.11: Intensitätsprofil eines Gauß-Strahls an der Taille des Strahls (z = 0). Die gepunktete weiße Linie ist ein Kreis mit Radius W (z = 0) = W0 .
Nach Gleichung (2.5.7) ist W (z) definiert als:
s
W (z) = W0 1 +
z
z0
2
.
(2.5.15)
Hierbei ist
W0 =
s
λz0
π
(2.5.16)
der minimale Strahlradius an der Strahl-Taille.
Für z ≫ z0 nimmt der Strahlradius linear mit z zu:
W (z) ≈ W0
z
= θdiv z.
z0
(2.5.17)
Hierbei ist die Divergenz θdiv gegeben durch (siehe Abbildung 2.12):
θdiv =
λ
W0
=
.
z0
πW0
(2.5.18)
Beispiel: Ein HeNe Laser emittiert Laserstrahlung mit einer Wellenlänge λ = 632 nm
und einer Strahldivergenz θdiv = 0.75 mrad.
⇒Taillienradius: W0 = λ/(πθdiv ) = 0.270 mm.
⇒Rayleigh-Länge: Z0 = W02 π/λ = 35 cm.
⇒Strahldurchmesser in 100 m: W (100 m) = 7.5 cm.
2-35
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
W(z) / W
0
4
3
2
1
qdiv
0
−2
0
2
z / z0
Abbildung 2.12: Strahlradius W (z) und Divergenz θdiv eines Gauß-Strahls.
Phase, Wellenfronten und Krümmungsradius
Die Phase des elektrischen Feldes eines Gauß-Strahls ist gegeben durch:
ϕ(ρ, z) = kz − η(z) +
kρ2
.
2R(z)
(2.5.19)
Hierbei ist
η(z) = arctan (z/z0 )
(2.5.20)
die sogenannte Gouy-Phase.
η(z) / (π/2)
1
0.5
0
−0.5
−1
−4
−2
0
2
4
z/z
0
Abbildung 2.13: Gouy-Phase als Funktion der axialen Position z.
Auf der optischen Achse (ρ = 0) vereinfacht sich Gleichung (2.5.19) zu
ϕ(0, z) = kz − η(z).
2-36
(2.5.21)
2.5 Gauß-Strahlen
Die Gouy-Phase η(z) beschreibt eine zusätzliche Retardierung des Gauß-Strahls im Vergleich zu einer ebenen Welle (kz). Diese Retardierung nimmt Werte zwischen −π/2 für
z = −∞ und π/2 für z = ∞ an.
Die Wellenfronten eines Gauß-Strahls erfüllen die Bedingung
kz − η(z) +
kρ2
= 2πp,
2R(z)
(2.5.22)
wobei R(z) der sogenannte Krümmungsradius und p eine Konstante ist.
2
ρ
1
0
−1
−2
−2
−1
0
1
2
z
Abbildung 2.14: Wellenfronten eines Gauß-Strahls (blaue Kurven) und einer ebenen Welle
(schwarze gepunktete Linien). Zwischen zwei Wellenfronten ändert sich die Phase jeweils um π/2.
In der Nähe der Strahltaille (z = 0) sind die Wellenfronten (fast) eben und R strebt gegen
unendlich. Für große z wächst der Krümmungsradius R(z) linear an und die Wellenfronten
gleichen denen einer Kugelwelle.
Fokusierung Gaußscher Strahlen
Im Folgenden wollen wir die Wirkung einer dünnen Linse mit Brennweite f auf einen
Gauß-Strahl untersuchen. Wir nehmen an, dass sich die Linse in der Taillienebne (z = 0)
befindet.
Der Gauß-Strahl wird direkt vor der Linse durch die Parameter W (0) = W0 und R = ∞
beschrieben. Beim Durchgang durch die Linse ändert sich der Strahlradius nicht (siehe
Abbildung 2.16 ). Der neue Krümmungsradius direkt hinter der Linse ist R′ = −f .
Eine kurze Rechnung zeigt, dass sich die neue Strahltaillie an der Position
|z ′ | =
f
2
1 + (λf /πW02 )
(2.5.23)
2-37
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
4
R(z) / z
0
2
0
−2
−4
−4
−2
0
2
4
z / z0
Abbildung 2.15: Krümmungsradius eines Gauß-Strahls (durchgezogene Kurve) und einer Kugelwelle (gestrichelte Linie).
w0
w0'
z‘
Abbildung 2.16: Fokussierung eines kollimierten Gauß-Strahls mit einer dünnen Linse .
hinter der Linse befindet. Der zugehörige Strahlradius in der Taillienebene ist gegeben
durch
W0
W0′ = q
.
(2.5.24)
2
1 + (πW02 /λf )
Für z0 ≫ f (kollimierter einfallender Strahl), vereinfacht sich die letzte Gleichung zu
W0′ ≈
λ
f.
πW0
(2.5.25)
Um einen möglichst kleinen Strahlradius W0′ zu erzielen, muß die Strahltallie des einlaufenden Strahls die Apertur der Linse (Durchmesser: D) vollständig ausfüllen. Mit W0 = D/2
erhalten wir:
2
′
(2.5.26)
W0,min
≈ λF# ,
π
2-38
2.6 Wellenleiter
mit der Blendenzahl
F# =
f
.
D
(2.5.27)
2.6 Wellenleiter
2.6.1 Ein einfaches Modelsystem: Der planare Spiegelwellenleiter
C
x
Spiegel
d
0
k
q
b
Spiegel
A
q
q
Ursprüngliche
Welle
kx
z
Zweimalig
reflektierte
Welle
B
Abbildung 2.17: Planarer Spiegelwellenleiter.
Wir betrachten als erstes einen planaren Spiegelwellenleiter (siehe Abbildung 2.17) als
einfaches Modelsystem.
Für große Spiegelabstände (d ≫ λ) genügt eine Betrachtung im Rahmen der geometrischen Optik. Ein Lichtstrahl wird durch wiederholte Reflektionen an den zwei planparallelen Spiegel geführt („Zig-Zag-Strahlen“).
Die Welleneigenschaften des Lichts müssen berücksichtigt werden, sobald der Spiegelabstand vergleichbar mit der Lichtwellenlänge ist (d ≈ λ). Wir wählen in diesem Fall einen
Ansatz, bei dem wir die auf- und ablaufenen Lichtstrahlen durch ebene Wellen ersetzen:
E(x, z, t) = Aêy eı(kx x+βz−ωt) + Bêy eı(−kx x+βz−ωt) .
(2.6.1)
Wir nehmen hier an, dass das elektrische Feld parallel zu den Oberflächen orientiert ist
(TE-Polarisation).
Im Folgenden suchen wir die Moden des Wellenleiters. Dies sind elektromagnetische Wellen, deren transversales Profil sich bei der Propagation entlang des Wellenleiters nicht
ändert. In den Abbildungen 2.18 (a) und (b) sind die Feldverteilung der ersten beiden
2-39
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
x (d)
(a)
x (d)
(b)
x (d)
(c)
0.5
1
0
0
−0.5
−1
0.5
1
0
0
−0.5
−1
0.5
1
0
0
−0.5
0
1
2
3
4
5
Ey
Ey
Ey
−1
z (d)
Abbildung 2.18: Elektrische Feldverteilung (a) der ersten Wellenleiter-Mode (m=1), (b) der
zweiten Wellenleiter-Mode (m=2) und (c) einer Überlagerung der ersten beiden
Wellenleiter-Moden.
Wellenleiter-Moden dargestellt. Die in Abbildung Fig. 2.18 (c) gezeigte Welle ist dagegen
keine Wellenleiter-Mode.
Eine Wellenleiter-Mode reproduziert sich nach zwei Reflektionen, d.h., die ursprüngliche Welle und die zweifach reflektierte Welle müssen sich phasengleich überlagern (siehe
Abbildung 2.17):
∆ϕ =
2π
2π
AB − 2π −
AC = 2πq,
λ
λ
(2.6.2)
mit q = 0, 1, 2, . . .. Hierbei ist zu beachten, dass die beiden Reflektionen insgesamt zu
einer Phasenänderung von 2π führen.
Aus der Abbildung ist zu entnehmen, dass
AB − AC = 2d sin(θ).
(2.6.3)
Die Kombination der letzten beiden Gleichungen erlaubt die Bestimmung der Dispersionsrelation der Wellenleiter-Moden. Der zur m-ten Wellenleiter-Mode gehörende Winkel
θm muss die folgende Bedingung erfüllen:
sin(θm ) = m
2-40
λ
, m = (1 + q) = 1, 2, 3 . . .
2d
(2.6.4)
2.6 Wellenleiter
Die êx -Komponente des Wellenvektors k der m-ten Mode ist gegeben durch:
π
kx,m = k sin(θm ) = m , m =, 1, 2, 3. . . .
d
(2.6.5)
Die êz -Komponente des Wellenvektors k wird in der Literatur häufig als Propagationskonstante βm bezeichent. Für βm gilt:
βm =
s
k2 −
m2 π 2
.
d2
(2.6.6)
Mit k = ω/c erhalten wir schließlich die Dispersionsrelation der m-ten Wellenleiter-Mode:
s
2 +
ωm (βm ) = c βm
m2 π 2
.
d2
(2.6.7)
ωm (cπ/d)
5
4
3
m=1
m=2
m=3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
βm (π/d)
Abbildung 2.19: Dispersionsrelationen der ersten drei Wellenleiter-Moden.
Für ω <
cmπ
d
besitzt die Dispersionsrelation keine Lösung!
2.6.2 Dielektrische Wellenleiter
Idee: Nutze Totalreflexion zur Wellenleitung!
Experiment: Wellenleitung durch Totalreflexion.
Im Folgenden werden wir uns auf Stufenindex-Wellenleiter konzentrieren (siehe Abbildung
2.20). Hierbei nehmen wir immer an, dass die Bedingung n1 > n2 ≥ n3 erfüllt ist.
2-41
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
n3
n3
n1
n2
n2
n3
n3
n1
n1
n1
n2
n2
Streifenwellenleiter
Schichtwellenleiter
Optische Glasfaser
Abbildung 2.20: Verschiedene Arten von Stufenindex-Wellenleitern.
Dielektrischer Schichtwellenleiter
Wir untersuchen als nächstes einen dielektrischen Schichtwellenleiter mit folgendem Aufbau:
• Substrat (Halbraum) mit Brechungsindex n2 .
• Film der Dicke d mit Brechungsindex n1 .
• Abdeckung (Halbraum) mit Brechungsindex n3 .
x
n3
0
E
k
E
B
k
B
-d
TE Mode
z
TM Mode
n1
n2
Abbildung 2.21: TE und TM Moden eines dielektrischen Schichtwellenleiters.
Wie bei der Reflexion einer ebenen Welle an einer Grenzschicht können wir wieder zwei
Polarisationszustände getrennt betrachten (siehe Abbildung 2.21):
2-42
2.6 Wellenleiter
• Tranversal elektrische Moden (TE Moden, s-pol),
• Tranversal magnetische Moden (TM Moden, p-pol).
Im Folgenden werden wir uns auf die TE Moden konzentrieren. Der Fall der TM Moden
kann analog behandelt werden.
In der Filmschicht ergeben sich die Moden aus der Überlagerung von propagierenden
ebenen Wellen (siehe vorheriger Abschnitt). Wie aber sieht die Feldverteilung im Substrat
und in der Abdeckung aus?
Wir betrachten hierzu eine s-polarisierte Welle, die auf eine Grenzfläche mit ni > nt trifft
(siehe Abbildung 2.22). Die elektrischen Felder der einfallenden, der reflektierten und der
transmittierten Welle sind geben durch:
Ei (r, t) = Ei eı(ki ·r−ωt) , (Medium 1, n = ni ),
Er (r, t) = rs Ei eı(kr ·r−ωt) , (Medium 1, n = ni ),
Et (r, t) = ts Ei eı(kt ·r−ωt) , (Medium 2, n = nt ).
kt
qt
nt
(2.6.8)
(2.6.9)
(2.6.10)
kt,^
kt,||
ni
ki
qi qr
kr
Abbildung 2.22: Grenzfläche zwischen zwei Medien mit ni > nt .
Nach Gleichung (2.4.12) sind die Tangentialkomponenten der drei Wellenvektoren gleich:
ki,k = kr,k = k0 ni sin (θi ) = k0 nt sin (θt ) = kt,k .
(2.6.11)
Die Normalkomponente des Wellenvektors in Medium 2 ergibt sich damit zu:
kt,⊥ = k0 nt
q
v
u
u
n2
2
1 − sin (θt ) = k0 nt t1 − i2 sin2 (θi ).
nt
(2.6.12)
2-43
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
Für θi > θc = arcsin(nt /ni ) wird kt,⊥ ein imaginäre Größe. Das elektrische Feld fällt
exponentiell im Medium 2 ab und die Welle wird total reflektiert.
Der folgende Ansatz für eine TE-Mode berücksichtigt unsere Überlegungen:
Ey (x, y, z, t) = Em (x) eı(βz−ωt)
(2.6.13)
mit

C exp(−px)


h

0≤x
−d ≤ x ≤ 0
Em (x) =  C hcos(hx) − sin(hx)i

 C cos(hd) + sin(hd) exp(q(x + d)) x ≤ −d
i
q
h
q
h
(2.6.14)
Hierbei sind die Größen wie folgt definiert:
• Propagationskonstante (Parallelkomponente des Wellenvektors im Film):
β = k0 n1 sin (θi )
(2.6.15)
• Normalkomponente des Wellenvektors im Film:
h = k0 nf cos (θi ) =
q
(2.6.16)
k02 n21 − β 2
• Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors im Substrat:
q=
q
(2.6.17)
β 2 − k02 n22
• Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors in der Abdeckung:
p=
q
(2.6.18)
β 2 − k02 n23
Die magnetische Flußdichte berechnet sich nach ∇ × E = −Ḃ.
Aus den Stetigkeitsbedingungen für Ey und Hz bei x = 0 und x = −d folgt:
tan (hd) =
p+q
.
h (1 − pq/h2 )
(2.6.19)
Nach kurzer Rechnung8 erhalten wir:


v
v
u 2 2
u 2 2
u k0 (n1 − n23 )
u k0 (n1 − n22 )
− 1+arctan t 2 2
− 1+mπ. (2.6.20)
d k02 n21 − β 2 = arctan t 2 2
2
2
q
2-44
k0 n1 − β
k0 n1 − β
2.6 Wellenleiter
TE0
TE1
Substrat
6
ω(c 2 π /d)
0
TE2
Abdeckung
4
2
0
Film
0
2
4
6
β (2 π /d)
8
10
Abbildung 2.23: Dispersionsrelation der der TE0 , TE1 und TE2 - Mode. Beispielparameter: n1 =
2.0, n2 = 1.5 und n3 = 1.0.
⇒ Implizite Darstellung der Dispersionsrelation ω(β) der TE-Moden.
Der obige Ansatz beschreibt nur dann eine geführte Welle, falls p und q reellwertige Größen
sind. Für β < k0 n2 wird q komplex und die Welle kann sich somit im Substrat ausbreiten.
Die Abschneidefrequenz der m-ten Mode kann daher aus der Bedingung q = 0 bestimmt
werden:
ωcut,TE =
c0 arctan
r
q
n22 −n23
n21 −n22
d n21 − n22
+ mπ
(2.6.21)
Für einen symmetrischen Wellenleiter (n2 = n3 ) ist die TE0 -Mode immer geführt, d.h.,
ωcut,TE0 = 0.
Die Dispersionsrelation kann qualitativ anhand des Moden-Profils erklärt werden:
• TEm -Mode: m Knoten des Feldes in der Filmschicht.
• Nahe Abschneidefrequenz: Starke Ausdehnung der Mode ins Substrat.
• Schneller Abfall der Feld-Amplitude in der Abdeckung.
• Konzentration der Mode in der Filmschicht mit steigender Frequenz.
Online-1-D multilayer slab waveguide mode solver:
http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/oms.html
8
arctan
x+y
1−xy
= arctan(x) + arctan(y)
2-45
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
(a)
6
Substrat
Film
Abdeckung
TE
Substrat
(b)
Film
Abdeckung
1
2
1.25ω cut
2.50ω cut
5.00ω cut
4
y
E
Ey
TE
1
2
TE
0
−4
0
0
−2
0
x(d)
2
4
−4
−2
0
x(d)
2
4
Abbildung 2.24: (a) Modenprofil der TE0 , der TE1 und der TE2 - Mode. (b) Modenprofil der
TE0 -Mode für verschiedene Frequenzen. Beispielparameter: n1 = 2, n2 = 1.5,
n3 = 1.0, λ = 2d.
Optische Glasfasern
Eine optische Glasfaser ist ein dielektrische Wellenleiter mit typischerweise zylindersymmetrischen Querschnitt. Im Folgenden konzentrieren wir uns auf Stufenindex-Glasfasern,
bei denen der lichtführende Kern in ein Material mit etwas niedrigeren Brechungsindex
(Mantel) eingebettet ist (siehe Abbildung 2.25).
Optische Glasfasern spielen eine wichtige Rolle in der modernen Telekommunikation und
bilden die „Nervenbahnen“des Internets. Charles Kuen Kao, einer der Pioniere auf diesem
Gebiet, wurde 2009 der Nobel-Preis in Physik für seine bahnbrechenden Erfolge auf dem
Gebiet der Lichtleitung mittels Fiberoptik für optische Kommunikation verliehen.
2b
n2
n1
Kern
Mantel
2a
Abbildung 2.25: Schematischer Querschnitt einer Stufenindex-Glasfaser.
Typische Parameter einer monomodigen Telekommunikations-Glasfaser
• Betriebs-Wellenlänge: λ = 1.55 µm (geringe Absorptionsverluste).
2-46
2.6 Wellenleiter
• Mantel: Ultrareines Quarz-Glas (n2 = 1.46).
• Kern: Germanium dotiertes Quarz-Glas.
• Relative Brechzahldifferenz für typische Dotierkonzentrationen:
n1 − n2
≈ 0.01 − 0.02.
∆=
n1
(2.6.22)
• Geometrische Abmessungen:
– Kern-Durchmesser: 2a = 8 µm.
– Mantel-Durchmesser: 2b = 125 µm.
Aufgrund der geringen relativen Brechzahldifferenz sind die Moden typischer Glasfasern in
sehr guter Näherung transversale Wellen, d.h., die Komponenten des elektromagnetischen
Feldes entlang der Zylinderachse können vernachlässigt werden.
Stufenindex-Glasfasern können anhand des sogenannten V -Parameters
2πa q 2
n1 − n22
V =
λ0
(2.6.23)
charakterisiert werden. Ist V < 2.405, so kann sich nur ein Mode entlang der Glasfaser
ausbreiten. Man spricht in diesem Fall von einer Monomodefaser. Für Werte von V >
2.405 werden weitere Moden geführt und man bezeichnet die Glasfaser dementsprechend
als Multimodefaser.
Absorption und Streuung in der Glasfaser führen zu einem exponentiellen Abfall der
Lichtleistung P (L) mit der Propagationslänge L. Der zugehörige Absorptionsgrad α wird
üblicherweise in dB/km angegeben:
!
1
1
,
α = 10 log10
L
T (L)
(2.6.24)
wobei T (L) = P (L)/P (0) der Transmissionsgrad der optischen Glasfaser ist.
Beispiel: Umrechnung von dB/km in T (1km)
• 0 dB/km ↔ T = 1
• 3 dB/km ↔ T ≈ 0.5
• 10 dB/km ↔ T = 0.1
• 20 dB/km ↔ T = 0.01
2-47
2 Die elektromagnetische Theorie des Lichts
LP01
LP02
LP03
0.8
0.6
LP11
LP12
LP13
0.4
0.2
Normierte Intensität
1.0
0.0
Abbildung 2.26: Intensitätsprofil einiger Glasfaser-Moden (V = 10). Die weiße Linie markiert
die Grenze zwischen dem Kern und dem Mantel.
Der Absorptionsgrad einer typischen Telekommunikations-Glasfaser ist in Abbildung 2.27
schematisch dargestellt.
α (dB/km)
3
Rayleigh
Streuung
InfrarotAbsorption
1
OH-Absorption
0.3
UV Absorption
0.1
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Wellenlänge (µm)
Abbildung 2.27: Absorptionsgrad einer typischen Telekommunikations-Glasfaser.
2-48
3 Polarisation
3.1 Die Polarisationszustände von Licht
Wir haben im vorherigen Kapitel gesehen, dass Licht in einem isotropen Medium eine
transversale elektromagnetische Welle ist, d.h., k · E = 0. Wir wollen im Folgenden ebene Wellen mit zeitlich und räumlich konstanten Amplitudenvektor E0 untersuchen und
klassifizieren.
3.1.1 Linear polarisierte ebene Wellen
Wir betrachten zunächst eine in z-Richtung propagierende ebene Welle in einem isotropen
Medium:
E (r, t) = E0 eı(kz z−ωt)
= Ex eıφx êx eı(kz z−ωt) + Ey eıφy êy eı(kz z−ωt) .
(3.1.1)
Sind die x- und die y-Komponente des elektrischen Feldes in Phase oder 180◦ außer Phase
(∆φ ≡ φy − φx = 0, ±π), so heißt die Welle linear polarisiert.
Der elektrische Feldvektor eine linear polarisierten Welle schwingt in der Richtung
E0 = Ex êx ± Ey êy .
(3.1.2)
Diese Richtung definiert die Polarisationsrichtung der linear polarisierten Welle.
Laut Gleichung (3.1.1) kann jede ebene Welle als Überlagerung von zwei orthogonalen,
linear polarisierten Wellen aufgefasst werden. Hierbei entscheiden sowohl die Amplituden
als auch der Phasenunterschied ∆φ zwischen den beiden linear polarisierten Wellen über
den Polarisationszustand der resultierenden ebenen Welle.
3-1
3 Polarisation
l
E0
k0
B0
Abbildung 3.1: Linear polarisierte ebene Welle in Vakuum.
3.1.2 Zirkular polarisierte ebene Wellen
Wir betrachten jetzt eine in z-Richtung propagierende Welle, deren x- und y-Komponente
des elektrischen Felds den selben Betrag aufweisen aber 90◦ außer Phase sind:
E (r, t) = E0 êx + êy eı∆φ eı(kz z−ωt)
mit ∆φ = ±π/2.
(3.1.3)
Rechtszirkular polarisierte Welle
Als erstes untersuchen wir eine rechtszirkular polarisierte Welle mit ∆φ = −π/2:
ER (r, t) = E0 êx cos (kz z − ωt) + E0 êy cos (kz z − ωt − π/2)
= E0 êx cos (kz z − ωt) + E0 êy sin (kz z − ωt) .
(3.1.4)
Für einen festen aber beliebigen Wert z = z0 dreht sich die Spitze des elektrischen Feldvektors mit der Winkelgeschwindigkeit ω in der xy-Ebene im Kreis. Blickt man in Richtung
der Lichtquelle (also entgegen der Propagationsrichtung), so wird der Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen.
Zu einem festen aber beliebigen Zeitpunkt t = t0 beschreibt die Spitze des elektrischen
Feldvektors eine rechtshändige Schraubenlinie, wenn man in Propagationsrichtung blickt.
Der E-Vektor macht pro Wellenlänge eine vollständige Drehung.
3-2
3.1 Die Polarisationszustände von Licht
Linkszirkular polarisierte Welle
y
Rechtszirkular polarisierte Welle
y
x
z
x
z
y
y
E(t,z = z0)
Ey
E(t,z = z0)
Ey
Ex
x
Ex(t, z = z0)=E0 cos(kzz0-wt)
Ey(t, z = z0)=-E0 sin(kzz0-wt)
Ex
x
Ex(t, z = z0)=E0 cos(kzz0-wt)
Ey(t, z = z0)=E0 sin(kzz0-wt)
Abbildung 3.2: Linkszirkular polarisierte Welle und rechtszirkular polarisierte Welle.
Linkszirkular polarisierte Welle
Für ∆φ = π/2 erhalten wir eine linkszirkular polarisierte Welle:
EL (r, t) = E0 êx cos (kz z − ωt) + E0 êy cos (kz z − ωt + π/2)
= E0 êx cos (kz z − ωt) − E0 êy sin (kz z − ωt) .
(3.1.5)
Hält man wieder den Ort fest und blickt entgegen der Ausbreitungsrichtung, so dreht sich
nun der elektrische Feldvektor im Gegenuhrzeigersinn in der xy-Ebene.
Blickt man zu einem festen Zeitpunkt t = t0 in Propagationsrichtung, so beschreibt die
Spitze des elektrischen Feldvektors eine linkshändige Schraubenlinie.
3-3
3 Polarisation
Überlagerung zirkular polarisierter Wellen
Laut Gleichungen (3.1.4) und (3.1.5) ergeben sich links- und rechtszirkular polarisierte
Wellen als Überlagerung von linear polarisierten Wellen mit einer Phasenverschiebung
von ∆φ = ±π/2. Umgekehrt erhält man durch die Überlagerung einer links- und einer
rechtszirkular polarisierten Welle mit gleicher Amplitude eine linear polarisierte Welle.
Beispiel:
ER + EL = E0 êx cos (kz z − ωt) + E0 êy sin (kz z − ωt) +
E0 êx cos (kz z − ωt) − E0 êy sin (kz z − ωt)
= 2E0 êx cos (kz z − ωt) .
(3.1.6)
3.1.3 Elliptisch polarisierte ebene Wellen
Wir untersuchen nun den allgemeinen Fall und nehmen eine beliebige Phasendifferenz
∆φ = φx − φy zwischen den beiden linear polarisierten ebenen Wellen in Gleichung (3.1.1)
an. Betrachten wir die aus der Überlagerung resultierende ebene Welle für einen festen
Wert z = z0 , so beschreibt die Spitze des zugehörigen elektrischen Feldvektors eine Ellipse,
die mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufen wird. Man spricht daher von einer elliptisch
polarisierten ebenen Welle.
Die linear polarisierte Welle und die zirkular polarisierte Welle sind Spezialfälle einer
elliptisch polarisierten Welle.
3-4
3.1 Die Polarisationszustände von Licht
∆ Φ=0
y
∆ Φ=π/8
y
x
∆ Φ=π/2
y
∆ Φ=π/4
y
x
∆ Φ=5π/8
y
∆ Φ=−π
y
∆ Φ=3π/4
y
∆ Φ=−7π/8
y
x
∆ Φ=−π/2
y
x
x
x
∆ Φ=−5π/8
y
x
∆ Φ=−π/4
y
x
x
∆ Φ=7π/8
y
∆ Φ=−3π/4
y
∆ Φ=−3π/8
y
x
x
x
x
∆ Φ=3π/8
y
x
∆ Φ=−π/8
y
x
x
Abbildung 3.3: Beispiele für elliptisch polarisierte ebene Wellen mit |Ex | = |Ey |. Die Spitze des
elektrischen Feldvektors beschreibt an einem festen Ort eine Ellipse.
3-5
3 Polarisation
3.2 Polarisatoren
Das Licht einer Glühlampe ist unpolarisiert, genauer, der Polarisationszustand der emittierten Welle ändert sich sehr schnell und statistisch. Ein Polarisator ist ein optisches
Element, dass unpolarisiertes Licht nach der Transmission/Reflexion in einen definierten
Polarisationszustand überführt.
Verschiedene optische Effekte können für die Erzeugung von polarisiertem Licht genutzt
werden, z.B.:
• Reflektion an einer dielektrischen Grenzfläche unter dem Brewsterwinkel [siehe Abschnitt (2.4.2)].
• Transmission durch ein dichroitisches („zweifarbiges“) Medium, das eine selektive
Absorption/Reflexion für Wellen mit einem bestimmten Polarisationszustand aufweist.
Experiment: Transmission durch einen Turmalin-Kristall.
Beispiel:
Drahtpolarisatoren für Mikrowellen- und Infrarotstrahlung bestehen aus einer Anordnung parallel ausgerichteter metallischer Drähte, deren Abstände kleiner als die
Wellenlänge sind. Eine parallel zu den Drähten polarisierte elektromagnetische Welle erzeugt in diesen einen oszillierenden elektrischen Strom. Dieser Strom ist die
Quelle für eine elektromagnetische Welle, die um 180◦ gegenüber der einfallenden
Welle phasenverschoben ist (Grund: Randbedingung für ein Metall). In Vorwärtsrichtung löschen sich die einfallende und die erzeugte Welle aus. Damit bleibt nur
die in Rückwärtsrichtung abgestrahlte (reflektierte) Welle übrig. Ist die einfallende
Welle dagegen senkrecht zu den Drähten polarisiert, so kann kein Strom angeregt
werden und die Welle wird transmittiert.
Abbildung 3.4: Orginal Gitterpolarisator von Heinrich Hertz. Foto: Michael Kortmann.
3-6
3.2 Polarisatoren
• Doppelbrechung [siehe Abschnitt (3.3.3)].
Unpolarisiertes
Licht
LinearPolarisator
q
Linear polarisiertes
Licht
q
Ausbreitungsrichtung
Durchlassrichtung
Abbildung 3.5: Erzeugung von linear polarisiertem Licht mit der Hilfe eines Linearpolarisators.
In der Praxis spielen vor allem Linearpolarisatoren eine große Rolle, die unpolarisiertes
Licht in linear polarisiertes Licht wandeln. Hierbei wird nur Licht, dessen elektrischer
Feldvektor in der Richtung der Durchlassachse êD des Polarisators schwingt, durchgelassen1 .
Fällt unpolarisiertes Licht der Intensität I0 auf einen idealen Linearpolarisator (keine
Verluste entlang der Durchlassrichtung), so besitzt die transmittierte linear polarisierte
Welle die Intensität 1/2I0 .
Experiment: Polarisationsfolien auf OHP.
Wir betrachten im Folgenden zwei ideale Linearpolarisatoren, deren Durchlassrichtungen
êD1 und êD2 um den Winkel θ gegeneinander verdreht sind. Damit gilt:
êD1 · êD2 = cos(θ).
(3.2.1)
Hinter dem ersten Polarisator besitzt die Welle den Amplitudenvektor:
E1 = E1 êD1 .
(3.2.2)
Der zweite Polarisator (Analysator) läßt nur die Feldkomponente in der Durchlassrichtung
êD2 passieren. Zerlegen wir nun êD1 in eine Komponente parallel und senkrecht zu êD2 ,
1
Wir nehmen hier an, dass der Polarisator in Transmission betrieben wird. Die im Folgenden abgeleiteten
Ergebnisse können aber problemlos auf einen reflektierenden Polarisator übertragen werden.
3-7
3 Polarisation
Unpolarisiertes
Licht
Polarisator
q
E1
q
Analysator
E1 cos(q)
êD1
êD2
Abbildung 3.6: Kombination von zwei Linearpolarisatoren.
so erhalten wir den Amplitudenvektor der Welle hinter dem Analysator:
E2 = (E1 · êD2 ) êD2 = E1 cos(θ) êD2 .
(3.2.3)
Die Intensität der Welle hinter dem Analysator folgt damit dem Malusschen Gesetz:
I(θ) = I1 cos2 (θ) .
(3.2.4)
120
150
90 1
0.8
0.6
0.4
0.2
60
30
180
210
0
330
I( q) = I1 cos (q)
2
240
270
300
Abbildung 3.7: Graphische Darstellung des Malusschen Gesetzes.
3-8
3.3 Wellen in anisotropen Medien
3.3 Wellen in anisotropen Medien
Experiment: Doppelbrechung an Kalkspat.
Bisher haben wir Wellen in isotropen Medien mit DkE untersucht. Wir wollen nun den Fall
untersuchen, dass ein elektrisches Feld Dipole induziert, die nicht parallel zum elektrischen
Feld orientiert sind, d.h., D 6 kE. Dieses Verhalten ergibt sich aus dem Lorentz-Oszillator
Modell, wenn in unterschiedlichen Raumrichtungen verschieden starke „Federkräfte“ wirken.
+
z
y
Dielektrische Funktion
Im(ez)
Im(ex)
Frequenz
x
Re(ez)
Re(ex)
Abbildung 3.8: Anisotroper Lorentz-Oszillator.
Im Folgenden betrachten wir ein anisotropes Medium mit:
Di =
X
(3.3.1)
ǫ0 ǫij Ej
j
Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Dielektrizitäts-Tensor ǫ nur Diagonalelemente besitzt:


ǫ11 0 0

ǫ=
 0 ǫ22 0 
0 0 ǫ33
(3.3.2)
Wir definieren jetzt die elektrische Impermeabilität:
η = ǫ−1
(3.3.3)
3-9
3 Polarisation
Damit:
η
D.
ǫ0
E=
(3.3.4)
Im gewählten Koordinatensystem ist η ebenfalls diagonal:
ηii =
1
1
= 2.
ǫii
ni
(3.3.5)
3.3.1 Uniaxiale Kristalle
Im Folgenden betrachten wir einen uniaxialen Kristall mit n1 = no , n2 = no und n3 = ne .


1
n2o
η=
 0
0
Brechzahlen
Kristall
Kalkspat
Quarz
Rutil
Turmalin

0
0

0 

1
n2o
0
einiger
no
1.6584
1.5443
2.616
1.669
(3.3.6)
1
n2e
uniaxialer Kristalle bei λ = 589 nm.
ne
1.4864
1.5534
2.903
1.638
• Negativ uniaxialer Kristall: ne < no .
• Positiver uniaxialer Kristall: ne > no .
Die Symmetrieachse (hier x3 -Achse) wird als optische Achse bezeichnet.
Aus den Maxwellgleichungen folgt für eine ebene Welle mit Wellenvektor k:
k · D = 0,
(3.3.7)
k · H = 0,
(3.3.8)
k × E = µ0 ωH,
k × H = −ωD.
(3.3.9)
(3.3.10)
Für den Poyntinvektor gilt definitionsgemäß:
S · E = 0,
3-10
(3.3.11)
3.3 Wellen in anisotropen Medien
S · H = 0,
(3.3.12)
ObdA: k · ê1 = 0 (Propagation in der x2 − x3 -Ebene)). Der Wellenvektor k schließt mit
der optischen Achse den Winkel θ ein.
Ordentliche Welle
Betrachte zunächst den Fall D = (D1 , 0, 0).
Mit den Gleichungen (3.3.4) und (3.3.6) folgt:
EkD.
(3.3.13)
Damit ist
Skk
(3.3.14)
|k| = k0 no .
(3.3.15)
und
Außerordentliche Welle
Wir untersuchen jetzt den Fall D = (0, D1 , D2 ).
Hier folgt aus Gleichung (3.3.6):
E 6 kD.
(3.3.16)
Aus S · E = 0 und k · D = 0 resultiert in dieser Situation:
S 6 k k!
(3.3.17)
Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Phasengeschwindigkeit der außerordentlichen Welle
in verschiedenen Richtungen unterschiedlich groß ist. Der Betrag des Wellenvektors der
außerordentlichen Welle ist somit von der Propagationsrichtung abhängig:
|k(θ)| = k0 n(θ)
(3.3.18)
1
cos2 (θ) sin2 (θ)
+
.
=
n2 (θ)
n2o
n2e
(3.3.19)
mit
3-11
3 Polarisation
D
E
k
S
B, H
Abbildung 3.9: Relative Orientierung der Feldvektoren, des Wellenvektors und des Poynting
Vektors für die außerordentliche Welle in einem anisotropen Medium.
Ordentliche Welle
Außerordentliche Welle
k3
k3
nok0
nok0
S
S
q
E,D
D
E
k
q
k=n(q)k0
k2
k2
nek0
Abbildung 3.10: Ordentliche und außerordentliche Welle in einem anisotropen Medium. Der Wellenvektor k schließt einen Winkel θ mit der optischen Achse ein. Der Poyntinvektor steht senkrecht auf der Kurve k(θ).
Ohne Beweis: Der Poyntingvektor S steht jeweils senkrecht auf der Kurve k(θ).
Die Ausbreitungsrichtung einer elektromagnetischen Welle wird durch den Energiefluß,
also den Poyntingvektor, bestimmt. Zeigen die Wellenvektoren von ordentlicher und außerordentlicher Welle in die selbe Richtung, so werden die zugehörigen Poyntingvektoren
im Allgemeinen nicht parallel zueinander sein. Die beiden Wellen breiten sich damit in
unterschiedliche Richtungen aus.
3-12
3.3 Wellen in anisotropen Medien
3.3.2 Doppelbrechung
Im Folgenden untersuchen wir den Übergang einer ebenen Welle von einem isotropen
Medium in einen uniaxialen Kristall. Wir beschränken uns hierbei auf senkrechten Lichteinfall. In diesem Fall ist die Normalkomponente von D in beiden Medien identisch Null
(Stetigkeitsbedingung). Aus k · D = 0 folgt, dass der Wellenvektor unabhängig von der
Polarisation parallel zur Flächennormalen steht.
Für die ordentliche Welle gilt:
ko = k0 no ên .
(3.3.20)
Für die außerordentliche Welle folgt:
ke = k0 n(θ)ên .
(3.3.21)
Hierbei ist θ der Winkel zwischen der optischen Achse und der Flächennormalen.
Nach der obigen Überlegungen ist der Poyntingvektor (und damit die Ausbreitungsrichtung) der außerordentlichen Welle im Allgemeinen nicht parallel zum Wellenvektor. Ein
unpolarisierter Lichtstrahl2 spaltet deshalb in zwei zueinander orthogonal linear polarisierte Teilstrahlen auf. Der ordentliche Strahl (E senkrecht zur optischen Achse) breitet
sich senkrecht zur Grenzfläche aus während der außerordentliche Strahl (E besitzt eine
Komponente parallel zur optischen Achse) schräg durch den Kristall läuft.
Op
t
Ac ische
hse
E
Außerordentlicher
Strahl
Ordentlicher
Strahl
E
Wellenfronten
Abbildung 3.11: Doppelbrechung eines unpolarisierten Lichtstrahls für senkrechten Einfall.
2
Wir denken uns einen Lichtstrahl als Teil einer ebenen Welle, dessen Querschnitt groß ist im Vergleich
zur Wellenlänge.
3-13
3 Polarisation
3.3.3 Doppelbrechende Polarisatoren
Doppelbrechung kann genutzt werden, um Polarisatoren für linear polarisiertes Licht zu
realisieren. Der Glan-Thompson-Polarisator ist hierbei eine in der Praxis häufig genutzte
Bauform. Er besteht aus einem Kalkspatkristall (no = 1.66, ne = 1.49) der schräg zur
optischen Achse gespalten wird. Die beiden Teilstücke werden mit einem durchsichtigen
Kleber (z.B. Kanadabalsam, nk = 1.54) wieder zusammengefügt. Die Ein- und Austrittsfläche sind beim Glan-Thompson-Polarisator parallel zur optischen Achse orientiert.
O.A.
o
a
unpol.
O.A.
Abbildung 3.12: Glan-Thompson-Polarisator zur Erzeugnung von linear polarisiertem Licht.
Für senkrechten Lichteinfall breiten sich ordentliche und außerordenliche Welle in Richtung der Flächennormalen aus. Ist der Kristall so geschnitten, dass der Einfallswinkel auf
die Spaltfläche größer ist als der Grenzwinkel αg = sin−1 (nk /no ), so wird die ordentliche
Welle total reflektiert. Damit kann nur die außerordentliche Welle in das zweite KalkspatStück übertreten und die transmittierte Welle ist entlang der optischen Achse polarisiert.
3.3.4 Verzögerungsplatten
Eine Verzögerungsplatte ist ein optischen Element, dass den Polarisationszustand einer
transmittierten elektromagnetischen Welle modifiziert. Verzögerungsplatten werden häufig aus uniaxialen Kristallen (z.B. Kalkspat) gefertigt.
Wir betrachten nun eine planparallele Platte der Dicke d eines doppelbrechenden Materials, dessen optische Achse parallel zu den Grenzflächen orientiert ist. Eine linear polarisierte ebenen Welle treffe senkrecht auf die Platte:
E (r, t) = Eo êo eı(ko ·r−ωt) + Ee êe eı(ke ·r−ωt) .
3-14
(3.3.22)
3.3 Wellen in anisotropen Medien
Aufgrund der verschiedenen Brechungsindizes für die ordentliche und die außerordentliche Welle haben die beiden Komponenten am Ende der Platte unterschiedliche optische
Weglängen zurückgelegt. Dies führt zu einer relativen Phasenverschiebung
∆ϕ = ko d − ke d =
2π
d (no − ne ) .
λ0
(3.3.23)
Durch die Wahl der Dicke d können unterschiedliche Phasenverschiebungen realisiert werden. In der Praxis spielen vor allem λ/4-Platten und λ/2-Platten eine große Rolle.
Experiment: λ/4-Platte und λ/2-Platte.
λ/4-Platte
Die Dicke der Platte sei so gewählt, dass eine Phasenverschiebung ∆ϕ = π/2 entsteht.
Dies wird gerade für d(no − ne ) = λ0 /4 erreicht.
Ist die Polarisationsrichtung der einfallenden Welle um 45◦ gegenüber der optischen Achse
gedreht (Eo = Ee ), so ist die Welle aufgrund der Phasenverzögerung ∆ϕ = π/2 zwischen
den beiden Komponenten hinter der Verzögerungsplatte zirkular polarisiert (Vergleiche
mit Abschnitt 3.1.2).
λ/2-Platte
Wir betrachten nun eine Platte mit d(no − ne ) = λ0 /2. Hierdurch entsteht eine Phasenverschiebung ∆ϕ = π zwischen den beiden Polarisationskomponenten.
Die Polarisationsrichtung der einfallenden ebenen Welle schließe mit der optischen Achse
den Winkel α ein:
Ee = E0 cos(α)
Eo = E0 sin(α)
(3.3.24)
(3.3.25)
Aufgrund der Phasenverzögerung von ∆ϕ = π zwischen den beiden Komponenten erhalten
wir hinter der λ/2-Platte:
Ee = E0 cos(α)eıke d
Eo = E0 sin(α)eıko d
= −E0 sin(α)eıke d
(3.3.26)
(3.3.27)
3-15
3 Polarisation
Die Welle ist hinter der λ/2-Platte also immer noch linear polarisiert. Allerdings wird die
Polarisationsrichtung um den Winkel 2α gedreht.
Optische
Achse
E(z=d)
E(z=0)
a
Eo=-E0 sin(a)
a
Ee=E0 cos(a)
Eo=E0 sin(a)
Abbildung 3.13: Drehung der Polarisationsrichtung durch eine λ/2-Platte.
3.3.5 Spannungsdoppelbrechung
Optisch isotrope Medien (z.B. Gläser oder Polymere) können durch mechanischen Druck
oder Zug doppelbrechend werden. Dies kann anhand eines einfachen Experiments gezeigt
werden. Das Medium wird hierzu zwischen zwei gekreuzte Polarisatoren gestellt und mit
einer Weißlichtlampe beleuchtet. Wirken keine Druck- oder Zugkräfte auf das Medium, so
verändert das isotrope Medium den Polarisationszustand der elektromagnetischen Welle
nicht. Die transmittierte Lichtwelle wird damit durch den Analysator blockiert. Durch
das Einwirken einer mechanischen Kraft wird eine Doppelbrechung im Medium induziert.
Das Medium wirkt damit als Verzögerungsplatte und die elektromagnetische Welle wird
im Allgemeinen hinter dem Medium eine elliptische Welle sein. Damit erhalten wir eine
von Null verschiedene Transmission durch den Analysator.
3.3.6 Anwendungsbeispiel: Flüssigkristall Modulatoren
Flüssigkristalle bestehen aus gestreckten Molekülen, die in der flüssigen Phase eine Orientierungsordnung aufweisen.
Flüssigkristalle treten in verschiedenen Phasen auf:
• Nematische Phase: Die Moleküle sind parallel orientiert aber zufällig angeordnet.
3-16
3.3 Wellen in anisotropen Medien
WL
P1 M
P2
Abbildung 3.14: Experiment zur Demonstration der Spannungsdoppelbrechung. Links: Experimenteller Aufbau. WL: Weißlichtlampe, P1: Polarisator, M: eingespannte Glasplatte, P2: Analysator. Rechts: Intensität hinter dem Analysator. Fotos: Michael Kortmann.
• Smektische Phase: Die Moleküle sind in Schichten angeordnet, in denen sie eine einoder zweidimensional periodische Struktur ausbilden.
• Cholesterische Phase: Die Moleküle sind in Schichten parallel angeordnet. Die einzelnen Schichten sind helixförmig verdreht.
(a)
(b)
(c)
Abbildung 3.15: Flüssigkristalline Phasen: (a) Nematische Phase. (b) Smektische Phase. (c)
Cholesterische Phase. (Quelle: Wikipedia).
Für Modulatoren ist insbesondere die nematischen Phase von großem technischem Interesse. Diese hat optische Eigenschaften wie ein uniaxialer Kristall, dessen optische Achse
parallel zu den Molekülen orientiert ist.
Flüssigkristall-Moleküle können aufgrund ihrer anisotropen dielektrischen Eigenschaften
durch ein äußeres elektrisches Feld ausgerichtet werden. Typischerweise orientieren sich
die Moleküle mit ihrer langen Achse parallel zum Feld.
Eine Nematische Drehzelle besteht aus zwei Glassplatten, die mit einer transparenten
Elektrode aus Indium-Zinn-Oxid (ITO) und einem dünnen Polymid-Film beschichtet sind.
3-17
3 Polarisation
Zwischen den Glasplatten befindet sich ein nematischer Flüssigkristall. Durch Bürsten
wird die Polymidschicht mit Rillen versehen. Die Flüssigkristall-Moleküle richten sich
ohne angelegte Spannung parallel zu den Rillen aus. Werden die Vorzugsrichtungen der
beiden Substrate um 90◦ zueinander verdreht, so ergibt sich eine kontinuierliche Drehung
der Vorzugsrichtung der Flüssigkristall-Moleküle um 90◦ entlang der Zelle.
Die Polarisation einer linear polarisierten optischen Welle folgt der Vorzugsrichtung der
Flüssigkristall-Moleküle, so dass die spannungslose Nematische Drehzelle die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90◦ dreht. Durch das Anlegen einer Spannung werden die
Flüssigkristall-Moleküle entlang der Zelle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation
der optischen Welle bleibt erhalten.
Die Anordnung einer nematischen Drehzelle zwischen zwei gekreuzten Polarisatoren bildet
das Grundelement einer Flüssigkristall-Anzeige.
(a)
Polarisator
(b)
Elektrode
mit Rillen
Verdrehter nematischer
Flüssigkristall
Elektrode
mit Rillen
Polarisator
V
Abbildung 3.16: Nematische Drehzelle: (a) Ohne angelegte Spannung wird die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90◦ gedreht. (c) Durch das Anlegen einer Spannung
werden die Flüssigkristall-Moleküle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation der optischen Welle bleibt erhalten.
3-18
3.4 Optische Aktivität
3.4 Optische Aktivität
Optische Aktivität bezeichnet die Eigenschaft bestimmter Materialien die Polarisationsrichtung einer linear polarisierten Welle beim Durchgang durch das Medium zu drehen.
Der Drehwinkel ist hierbei unabhängig von der Polarisationsrichtung der einfallenden
Welle.
Für ein optisch aktives Medium der Dicke d gilt:
α = αs d.
(3.4.1)
α ist der Drehwinkel der Polarisationsrichtung hinter dem Medium und αs das spezifische
optische Drehvermögen.
Experiment: Optische Aktivität von Zuckerlösung.
Wird die Polarisationsrichtung beim Blick in Richtung der Lichtquelle im Uhrzeigersinn
gedreht, so spricht man von einer rechtsdrehenden Substanz mit α > 0. Bei Drehung der
Polarisationsrichtung im Gegenuhrzeigersinn nennt man die Substanz linksdrehend mit
α < 0.
Optische Aktivität tritt nur in chiralen („händigen“) Medien auf. Die molekularen Bausteine eines chiralen Mediums können weder durch Rotation noch durch Translation mit
ihrem Spiegelbild in Deckung gebracht werden3 .
Ohne Beweis: Die Polarisationseigenzustände eines optisch aktiven Medium sind linksund rechtszirkular polarisiertes Licht. Aufgrund der Chiralität der molekularen Bausteine
wechselwirken diese unterschiedlich mit den beiden zirkularen Polarisationen. Die zugehörigen Phasengeschwindigkeiten im Medium sind cL = c0 /nL und cR = c0 /nRCP .
Eine linear polarisierte Welle kann als Überlagerung einer links- und rechtszirkular polarisierten Welle aufgefasst werden:
E = E0 êx eı(kz−ωt) = EL + ER
(3.4.2)
mit
E0
(êx + ıêy ) eı(kz−ωt)
2
E0
=
(êx − ıêy ) eı(kz−ωt)
2
EL =
(3.4.3)
ER
(3.4.4)
Nach der Propagation durch ein optisch aktives Medium der Dicke d erhalten wir:
E = EL eıϕL + ER eıϕR
3
(3.4.5)
Schrauben mit Links- und Rechtsgewinde sind Beispiele für chirale Objekte
3-19
3 Polarisation
mit
2π
dnL
λ0
2π
dnR .
=
λ0
ϕL =
(3.4.6)
ϕR
(3.4.7)
Eine kurze Rechnung liefert:
ı(
E = E0 e
ϕL +ϕR
2
"
!
!
#
) cos ∆ϕ ê + sin ∆ϕ ê eı(kz−ωt)
x
y
2
2
(3.4.8)
mit
∆ϕ = ϕR − ϕL =
2π
d (nR − nL ) .
λ0
(3.4.9)
Der Vergleich mit Gleichung (3.4.1) liefert4 :
αs =
4
π
(nL − nR ) .
λ0
Vorzeichenkonvention für α beachten!
3-20
(3.4.10)
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
4.1 Stehende elektromagnetische Wellen
4.1.1 Reflektion an einem Spiegel
Experiment: Stehende Mikrowelle.
Betrachte eine in x-Richtung linear polarisierte ebene Welle E (r, t) = E0i êx eı(kz z−ω0 t) ,
die bei z = 0 senkrecht auf einen ebenen, perfekten Leiter fällt.
Erinnerung an Physik II: Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes verschwindet
an der Oberfläche eines perfekten Leiters.
Um diese Randbedingung auf dem perfekten Leiter zu allen Zeiten zu erfüllen, muss die
Welle am Spiegel reflektiert werden:
E (r, t) = E0i êx eı(kz z−ω0 t) + E0r êx eı(−kz z−ω0 t) .
(4.1.1)
Mit E(z = 0, t) = 0 folgt:
E0i = −E0r .
(4.1.2)
Damit:
h
i
E (r, t) = ℜ E0i êx eı(kz z−ω0 t) − E0i êx eı(−kz z−ω0 t) = 2E0i êx sin (kz z) cos (ω0 t) . (4.1.3)
Die Reflexion einer ebenen Welle an einem Spiegel führt also zur Ausbildung einer stehenden Welle.
Mit ∂Ex /∂z = −∂By /∂t ergibt sich für die magnetische Flußdichte:
B (r, t) = −2B0i êy cos (kz z) sin (ω0 t) .
(4.1.4)
Hierbei ist B0i = E0i kz /ω0 .
4-1
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
E0i
x
z
y
B0i
Abbildung 4.1: Stehende Welle vor einem ebenen perfekten Leiter.
Das elektrische Feld und die magnetische Flußdichte einer stehenden Welle sind sowohl
räumlich als auch zeitlich jeweils um eine viertel Periode außer Phase.
Poynting-Vektor der stehenden Welle:
S (r, t) = E (r, t)×
B (r, t)
kz 2
= −4
E sin (kz z) cos (kz z) sin (ω0 t) cos (ω0 t) êz . (4.1.5)
µ0
µ0 ω0 0i
Zeitlicher Mittelwert des Poynting-Vektors1 :
< S (r, t) >= 0.
(4.1.6)
Mit einer stehenden Welle ist im zeitlichen Mittel kein Energietransport verknüpft.
4.1.2 Optischer Resonator
Experiment: Stehende Welle mit Gummiband.
Betrachte zwei parallel zueinander ausgerichtete ebene Spiegel (Fabry-Perot Resonator)
mit Abstand L. Der Zwischenraum sei mit einem Medium mit dem Brechungsindex n
gefüllt.
1
Additionstheorem: sin (ω0 t) cos (ω0 t) =
4-2
1
2
sin (2ω0 t)
4.2 Schwebungen und optische Impulse
E(z,t)
L
Abbildung 4.2: Stehende Welle in einem Resonator.
Die Reflektion an den Spiegeln führt zur Ausbildung von stehendenn Wellen. Da das
elektrische Feld an beiden Spiegeln einen Knoten aufweisen muss, passen nur stehende
Wellen in den Resonator, die die folgende Bedingung erfüllen:
L=m
λ0
2n
mit m = 1, 2, 3, . . .
(4.1.7)
Für die Frequenzen νm dieser Moden gilt:
νm = m
c
.
2L
(4.1.8)
Experiment: Resonator eines HeNe-Lasers.
4.2 Schwebungen und optische Impulse
Experiment: Schwebung mit zwei Stimmgabeln.
Betrachte jetzt die Überlagerung von zwei in x-Richtung linear polarisierten ebenen Wellen
mit Frequenzen ω1 und ω2 . Die gemeinsame Ausbreitungsrichtung sei êz :
E(z, t) = Ex [cos (k1 z − ω1 t) + cos (k2 z − ω2 t)] .
Mit der Hilfe der Beziehung cos(a) + cos(b) = 2 cos
!
(4.2.1)
a+b
2
cos
a−b
2
ergibt sich
!
(k1 − k2 )z − (ω1 − ω2 )t
(k1 + k2 )z − (ω1 + ω2 )t
cos
. (4.2.2)
E(z, t) = 2Ex cos
2
2
4-3
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Wir definieren nun die folgenden Größen:
• Mittlere Frequenz
ω̄ =
ω1 + ω2
.
2
(4.2.3)
• Mittlere Wellenzahl
k̄ =
k1 + k2
.
2
(4.2.4)
• Modulationsfrequenz
ωm =
ω1 − ω2
.
2
(4.2.5)
• Modulationswellenzahl
km =
k1 − k2
.
2
(4.2.6)
Mit den neuen Definitionen erhalten wir:
(4.2.7)
E(z, t) = 2Ex cos (km z − ωm t) cos k̄z − ω̄t .
2
2p/wm
2p/w
1.5
1
E(0,t)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−15
−10
−5
0
5
10
15
t
Abbildung 4.3: Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen.
4-4
4.2 Schwebungen und optische Impulse
Wir können die Überlagerung der beiden Wellen als eine ebene Welle mit mittlerer Frequenz ω̄ und mittlerer Wellenzahl k̄ auffassen, deren Amplitude sich zeitlich und räumlich
mit der Modulationsfrequenz ωm und der Modulationswellenzahl km ändert.
Idee: Durch die Überlagerung mehrerer ebener Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen
können wir einen optischen Impuls formen.
Beschreibung des Impulses als Wellenpaket:
∞
1 Z
E (0, t) =
E (0, ω) e−ıωt dω.
2π
(4.2.8)
−∞
E (0, ω) gibt die Amplitude und Phase der spektralen Komponente des Wellenpakets mit
der Frequenz ω an.
Gesucht wird ein optischer Impuls mit zeitlich langsam veränderlicher Enveloppe A (0, t)
und Trägerfrequenz ω0 :
E (0, t) = A (0, t) e−ıω0 t .
(4.2.9)
E (0, ω) und A (0, t) sind per Fouriertransformation miteinander verknüpft:
E (0, ω) =
Z∞
A (0, t) eı(ω−ω0 )t dt.
(4.2.10)
−∞
Beispiel: Gaußscher Impuls mit Pulslänge τp und Trägerfrequenz ω0 .
• Zeitdomäne
Elektrisches Feld:
2 ln(2)t2
E(0, t) = A0 exp −
τp2
!
exp (−ıω0 t)
(4.2.11)
Intensität:
4 ln(2)t2
I(0, t) ∝ |A0 | exp −
τp2
2
!
(4.2.12)
Damit: I(0, ±τp /2) = I(0, 0)/2.
4-5
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
• Frequenzdomäne
Elektrisches Feld:
E(0, ω) =
s
!
(ω − ω0 )2 τp2
π
τp A0 exp −
.
2 ln(2)
8 ln(2)
(4.2.13)
Spektrum:
(ω − ω0 )2 τp2
S(0, ω) ∝ |A0 | exp −
4 ln(2)
2
!
(4.2.14)
Damit S(0, ω0 ± ∆ω/2) = S(0, ω0 )/2 mit ∆ω =
4 ln(2)
.
τp
• Zeit-Bandbreite-Produkt für Gaußsche Impulse
τp ∆ω = 4 ln(2).
(4.2.15)
Kurze Pulslängen sind mit einem breiten Spektrum verknüpft.
Im Folgenden untersuchen wir die Propagation eines optischen Impulses in einem Medium.
Für jede spektrale Komponente des Impulses gilt nach einer Propagationsstrecke z:
E (z, ω) = E (0, ω) eık(ω)z
mit k(ω) = n(ω) ω/c0 .
(4.2.16)
Damit erhalten wir für den Impuls:
∞
1 Z
E (z, t) =
E (0, ω) eık(ω)z e−ıωt dω.
2π
(4.2.17)
−∞
Als nächstes entwickeln wir k(ω) in eine Taylorreihe um ω0 :
dk
k(ω) = k(ω0 ) +
dω
!
1
(ω − ω0 ) +
2
ω0
d2 k
dω 2
!
ω0
(ω − ω0 )2 + · · ·
(4.2.18)
Im Folgenden verwenden wir die Abkürzungen
′
β0 = k(ω0 ), β =
4-6
dk
dω
!
ω0
′′
,β =
d2 k
dω 2
!
ω0
.
(4.2.19)
4.2 Schwebungen und optische Impulse
1
1
0.8
|E(f)|
E(t)
2
0.5
0
-0.5
0.4
0.2
-1
-100
-50
0
t(fs)
50
0
100
1
340
360 380
f(THz)
400
420
340
360 380
f(THz)
400
420
1
0.8
|E(f)|
2
0.5
E(t)
0.6
0
-0.5
0.6
0.4
0.2
-1
-100
-50
0
t(fs)
50
100
0
Abbildung 4.4: Erste Zeile: Gaußscher Impuls mit τp = 10 fs. Zweite Zeile: Gaußscher Impuls
mit τp = 100 fs. Die Trägerfrequenz beträgt jeweils ω0 = 2π × 375 THz. Die
zugehörigen Spektren sind in der rechten Spalte abgebildet.
Wir erhalten somit:
′
eık(ω)z = eıβ0 z eıβ (ω−ω0 )z eı
β ′′
(ω−ω0 )2 z
2
(4.2.20)
′
Zunächst betrachten wir den Fall β ′′ = 0. Einsetzen von eık(ω)z = eıβ0 z eıβ (ω−ω0 )z in Gleichung (4.2.17) liefert:
∞
1 Z
′
E (0, ω) eıβ0 z eıβ (ω−ω0 )z e−ıωt dω
E (z, t) =
2π
(4.2.21)
−∞
=
ı(β0 −β ′ ω0 )z
e
2π
ı(β0 −β ′ ω0 )z
= e
Z∞
′
E (0, ω) e−ıω(t−β z) dω
(4.2.22)
−∞
E (0, t − τg ) .
(4.2.23)
Hierbei ist die Gruppenverzögerung durch τg = β ′ z definiert.
4-7
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Die Enveloppe bewegt sich ohne Formänderung mit einer konstanten Gruppengeschwindigkeit vg :
!
d
ng (ω)
1
1
n(ω) + ω n(ω) =
= β′ =
.
vg
c0
dω
c0
(4.2.24)
Die letzte Gleichung definiert den Gruppenindex ng .
Jetzt berücksichtigen wir den Fall β ′′ 6= 0. Hierzu betrachten wir den Unterschied in der
Gruppenverzögerung für zwei Frequenzen ω1 und ω0
∆τg = (β ′ (ω1 ) − β ′ (ω0 )) z
!
dβ ′
′
′
(ω1 − ω0 ) − β (ω0 ) z
≈ β (ω0 ) +
dω
= zβ ′′ (ω1 − ω0 ) .
(4.2.25)
(4.2.26)
(4.2.27)
Für β ′′ 6= 0 werden die einzelnen spektralen Komponenten des Impulses unterschiedlich
verzögert ⇒ Gruppengeschwindigkeitsdisperion (GVD: group velocity dispersion).
Definiere Dispersionskoeffizient:
D(λ) = −
2πc0 ′′
β .
λ2
(4.2.28)
Damit:
∆τg = −zD(λ)∆λ
mit
∆λ = −
∆ωλ2
2πc0
(4.2.29)
Anschauliche Bedeutung: Ein Impuls mit einer spektralen Bandbreite ∆λ wird nach der
Propagationsstrecke z in einen Medium mit Dispersionskoeffizient D(λ) um ∆τg gedehnt.
Beispiel: Propagation Gaußscher Impulse in BK7-Glas.
• Trägerfrequenz: ω0 = 2π × 375 THz⇒ Zentralwellenlänge: λ0 = 800 nm.
• Propagationslänge: z = 1 mm.
• Brechungsindex: n(800 nm) = 1.51.
• Gruppenindex: ng (800 nm) = 1.527.
⇒ Gruppenverzögerung τp = 5090 fs.
4-8
4.3 Zweistrahlinterferenz
• Dispersionskoeffizient: D(800 nm) = −128 ps/km × nm
• Impulslänge: τp = 10 fs.
⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 94 nm.
⇒ ∆τg ≈ 12 fs.
• Impulslänge: τp = 100 fs.
⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 9.4 nm.
⇒ ∆τg ≈ 1.2 fs.
Der 10-fs-Impuls ist nach 1 mm BK7 Glas bereits deutlich verformt! Beim 100-fs-Impuls
ergibt sich dagegen nur eine geringe zeitliche Verbreiterung.
4.3 Zweistrahlinterferenz
Experiment: Fresnelscher Doppelspiegel mit Laser.
Wir betrachten jetzt zwei linear polarisierte Wellen E1 (r, t) und E2 (r, t) mit
E1 (r, t) = E1 (r) ê1 e−ıωt
E2 (r, t) = E2 (r) ê2 e−ıωt .
(4.3.1)
(4.3.2)
Die zugehörigen zeitlichen Mittelwerte der Intensitäten2 sind:
I1 (r) = |E1 (r)|2
I2 (r) = |E2 (r)|2 .
(4.3.3)
(4.3.4)
Werden die beiden Wellen in einem Raumgebiet überlagert, so ist nach dem Superpositionsprinzip das resultierende elektrische Feld durch die Summe der beiden Felder gegeben:
E (r, t) = [E1 (r, t) ê1 + E2 (r, t) ê2 ] e−ıωt .
2
(4.3.5)
Wir vernachlässigen hier und im Folgenden die Konstanten
4-9
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Der zeitliche Mittelwert der Intensität der resultierenden Welle ergibt sich nach Abschnitt
2.3.2 zu:
I(r) = < ℜ [E (r, t)] · ℜ [E (r, t)] >
= < ℜ [E1 (r, t)] · ℜ [E1 (r, t)] > + < ℜ [E2 (r, t)] · ℜ [E2 (r, t)] >
+2 < ℜ [E1 (r, t)] · ℜ [E2 (r, t)] >
q
= I1 (r) + I2 (r) + 2 I1 (r) I2 (r) cos (∆φ(r)) (ê1 · ê2 ) .
(4.3.6)
(4.3.7)
(4.3.8)
Hierbei ist ∆φ(r) = φ1 (r)−φ2 (r) die Phasenverschiebung der Welle 1 gegenüber der Welle
2 am Ort r.
Die Intensität der resultierenden Welle ist also nicht einfach die Summe der Intensitäten
der beiden Wellen sondern wird durch den sogenannten Interferenzterm (dritter Term in
Gleichung (4.3.8)) modifiziert. Abhängig von der relativen Phase kann die Gesamtintensität deshalb bei konstruktiver Interferenz größer oder bei destruktiver Interferenz kleiner
als sie Summe der Einzelintensitäten sein. Der Interferenzterm verschwindet, falls die
beiden Wellen orthogonal polarisiert sind, d.h., (ê1 · ê2 ) = 0.
Wir betrachten als instruktives Beispiel die Überlagerung zweier linear polarisierter ebener
Wellen gleicher Amplitude und identischer Polarisationsrichtung (ê1 = ê2 ):
E (r, t) = E0 eı(k1 ·r−ωt) + E0 eı(k2 ·r−ωt)
(4.3.9)
Δk=k1-k2
E0
E0
k2
k1
2J
z
y
x
Abbildung 4.5: Überlagerung von zwei linear polarisierten ebenen Wellen.
Für die Intensität finden wir mit Gleichung (4.3.8):
I(r) = 2I0 [1 + cos (∆k · r)]
(4.3.10)
∆k = (k1 − k2 ) .
(4.3.11)
mit
4-10
4.3 Zweistrahlinterferenz
Abbildung 4.5 entnehmen wir, dass
|∆k| =
4π sin(θ)
.
λ
(4.3.12)
In Richtung von ∆k ist die Intensität periodisch moduliert. Es bilden sich Streifen niedriger und hoher Intensität aus, sogenannte Interferenzstreifen. Für den räumlichen Abstand
a zweier Interferenzmaxima gilt:
a=
λ
.
2| sin(θ)|
(4.3.13)
Intensität (x)
4I0
0
a
x
Abbildung 4.6: Räumliche Modulation der Intensität bei der Überlagerung zweier ebener Wellen.
Anwendungsbeispiel: Die Interferenzlithographie erlaubt die Herstellung von großflächigen periodischen Photolackstrukturen. Hierzu wird ein Laserstrahl in mehrere Teilstrahlen aufgeteilt. Die Überlagerung der Teilstrahlen führt zu einem Interferenzmuster,
mit dem ein Photolack belichtet wird. Eine 1D-periodische Struktur entsteht durch die
Interferenz von zwei Strahlen. Die Überlagerung von drei und vier Strahlen kann zur
Herstellung von periodischen 2D- und 3D-Strukturen genutzt werden.
4-11
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Die obige elektronenmikoskopische Aufnahmen zeigt eine periodische 2DPhotolackstruktur, die mit einer Überlagerung von drei ebenen Wellen belichtet
wurde. Quelle: Diplomarbeit Nils Feth.
4.4 Interferometer
Interferometer sind optische Systeme, in denen Lichtwellen so überlagert werden, dass
Interferenzeffekte auftreten. Historischen spielten Interferometer bei der Untersuchung
der Welleneigenschaften von Licht ein große Rolle. Heute werden sie in der Physik, der
Astronomie und der Messtechnik als hochpräzise Messinstrumente eingesetzt.
Interferometer werden in zwei Kategorien eingeteilt:
• Amplitudenaufspaltende Interferometer (z.B. Michelson-Interferometer)
• Wellenfrontaufspaltende Interferometer (z.B. Youngscher Doppelspalt).
4.4.1 Michelson Interferometer
Experiment: Michelson Interferometer mit Laser.
Im Michelson-Interferometer wird eine einlaufende Welle mit einem Strahlteiler in zwei
Teilwellen aufgespaltet. Nach der Weglänge L (Teilwelle 1) beziehungsweise L + ∆L (Teilwelle 2) werden die beiden Teilwellen an Spiegeln jeweils in sich zurückreflektiert. Der
4-12
4.4 Interferometer
Strahlteiler überlagert die zurücklaufenden Wellen wieder und die Intensität der Gesamtwelle wird am Ausgang des Interferometers gemessen.
L
L+ΔL
Abbildung 4.7: Michelsoninterferometer.
Die Weglängendifferenz 2∆L entspricht einer Verzögerung τ = 2∆L/c zwischen den beiden Teilwellen. Für die Gesamtwelle gilt somit:
E(r, t) = E0 (r, t) + E0 (r, t + τ ).
(4.4.1)
Im Folgenden betrachten wir eine monochromatische, linear polarisierte Welle:
E0 (r, t) = E0 eı(kr−ωt) .
(4.4.2)
Die Intensität der Gesamtwelle als Funktion der Verzögerung τ wird Interferogramm genannt. Am Ausgang des Interferometers finden wir:
I(τ ) =
=
=
=
< |E(t)|2 >=< [E0 (t) + E0 (t + τ )] [E0∗ (t) + E0∗ (t + τ )] >
< |E0 (t)|2 > + < |E0 (t + τ )|2 > + < E0 (t)E0∗ (t + τ ) > + < E0∗ (t)E0 (t + τ ) >
2I0 + I0 eıωτ + I0 e−ıωτ
2I0 [1 + cos(ωτ )] = 2I0 [1 + cos(2ω∆L/c)] .
(4.4.3)
Ein Michelson-Interferometer kann für extrem sensitive Abstandsmessungen verwendet
werden.
4-13
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
1
Intensität
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2ΔL (λ)
2
3
4
Abbildung 4.8: Intensität am Ausgang eines Michelsoninterferometer für kohärente Wellenüberlagerung .
4.4.2 Youngscher Doppelspaltversuch
Experiment: Wellenwanne mit Doppelspalt.
Im Folgenden analysieren wir den in Abbildung 4.9 dargestellten Doppelspaltversuch.
S1
S0
P
l1
y
d
S2
l2
q
D
Abbildung 4.9: Youngscher Doppelspaltversuch.
Das Licht einer weit entfernten monochromatischen Lichtquelle fällt auf einen Spalt S0 in
einem lichtundurchlässigen Schirm. S0 dient seinerseits als punktförmige Lichtquelle, die
zwei dünne Spalte S1 und S2 in einem zweiten lichtundurchlässigen Schirm beleuchtet. Das
durch S1 und S2 transmittierte Licht wird auf einem weit entfernten Schirm beobachtet.
Wir nehmen hier an, dass die Abstände S0 S1 und S0 S2 gleich groß sind. Die elektrischen
Felder in den beiden Spalten schwingen damit in Phase. Für d ≪ D können wir die
Weglängendifferenz ∆l = l1 −l2 zwischen den beiden Spalten und dem Beobachtungspunkt
4-14
4.4 Interferometer
bestimmen, in dem wir das Lot von S1 auf S2 P fällen. Wir erhalten dann:
∆l = d sin(θ) ≈ dθ.
(4.4.4)
l1
S1
d
q
S2
l2
Dl
Abbildung 4.10: Weglängendifferenz beim Youngschen Doppelspaltversuch für einen weit entfernten Beobachtungsschirm.
Den Winkel θ entnehmen wir Abbildung 4.9:
y
θ≈ .
D
(4.4.5)
Insgesamt gilt damit für die Weglängendifferenz:
dy
∆l = .
D
(4.4.6)
Die Intensität in einem Punkt P auf dem Beobachtungsschirm ergibt sich aus der kohärenten Überlagerung der von den beiden Spalten emittierten Wellen:
2
I = 2I0 [1 + cos(k∆l)] = 4I0 cos
k∆l
2
!
= 4I0 cos
2
!
πdy
.
λD
(4.4.7)
Die beiden Wellen interferieren konstruktiv, wenn die Weglängendifferenz ein vielfaches
der Wellenlänge ist:
∆l = mλ.
(4.4.8)
Die zugehörige Position ym des m-ten Interferenz-Maximums auf dem Beobachtungsschirm ist
Dmλ
ym =
.
(4.4.9)
d
Der Abstand zwischen zwei Interferenzmaxima ergibt sich zu
Dλ
ym+1 − ym =
.
d
(4.4.10)
4-15
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
4
3.5
3
I(y)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−4
−2
0
2
4
y(D λ /d)
Abbildung 4.11: Intensität auf dem Beobachtungsschirm.
4.5 Vielstrahlinterferenz
Experiment: Pohlsche Glimmerplatte.
4.5.1 Fabry-Perot-Etalon
Wir betrachten eine dielektrische Platte der Dicke d und Brechzahl ns , die nach beiden
Seiten von Luft umgeben ist.
Eine einfallende Welle wird zwischen den beiden Grenzflächen vielfach hin- und her reflektiert. Um den Transmissions- und Reflexionsgrad der Platte zu bestimmen, müssen
wir die einzelnen Partialwellen phasenrichtig aufsummieren.
Die resultierende transmittierte Welle ergibt sich aus der Superposition der transmittierten Partialwellen:
Et = E0 tt′ 1 + r′2 eiδ + r′2 eiδ
Hierbei ist:
|
2
{z
+ r′2 eiδ
GeometrischeReihe
3
+ · · · = E0 tt′
}
1
1 − r′2 eiδ
• t: Amplituden-Transmissionskoeffizient der Grenzfläche Luft/Dielektrikum.
• t′ : Amplituden-Transmissionskoeffizient der Grenzfläche Dielektrikum/Luft.
• r: Amplituden-Reflektionskoeffizient der Grenzfläche Luft/Dielektrikum.
4-16
(4.5.1)
4.5 Vielstrahlinterferenz
+
+
E0tt‘r‘7 ei4f
ns
+
E0tt‘r‘6 ei3f
E0tt‘r‘5 ei3f
+
Er
4
E0tt‘r‘ e
E0tt‘r‘3 ei2f
+
E0tt‘r‘ e
+
i2f
E0tt‘r‘2 eif
if
E0tt‘
E0r
+
+
Et
+
Jt
E0
d
Abbildung 4.12: Interferenz der verschiedenen Partialwellen führt zur Ausbildung der resultierenden reflektierten und transmittierten Welle.
• r′ : Amplituden-Reflektionskoeffizient der Grenzfläche Dielektrikum/Luft.
• δ = 2k0 ns cos(θt )d: Phasenunterschied zweier aufeinander folgender Partialwellen
aufgrund von Propagation (Beweis: Übung).
Im Folgenden gehen wir von einem verlustfreien Medium aus. Aus den Fresnel-Formeln
folgt für diesen Fall:
r′ = −r
und r2 + tt′ = 1
(4.5.2)
Der Transmissionsgrad der Platte ist damit3 :
T =
1
|Et |2
=
|E0 |2
1 + F sin2 (δ/2)
(4.5.3)
mit dem Finesse-Koeffizient
2r
F =
1 − r2
2
.
(4.5.4)
Da wir ein verlustfreies Medium betrachten gilt
T + R = 1.
3
(4.5.5)
Beachte: Die Welle bewegt sich vor und hinter der Platte im selben Medium, so dass die zugehörigen
Wellenvektoren parallel sind.
4-17
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Somit folgt:
R=
F sin2 (δ/2)
.
1 + F sin2 (δ/2)
(4.5.6)
1
1
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.8
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.8
0.6
T
R
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.5
1
1.5 2
δ (2π)
2.5
3
3.5
0
0
0.5
1
1.5 2
δ (2π)
2.5
3
3.5
Abbildung 4.13: Transmissionsgrad (links) und Reflexionsgrad (rechts) einer dielektrischen
Schicht für verschiedene Finesse-Koeffizienten F .
Transmissions-Maxima (alle transmittierten Partialwellen sind in Phase!) treten auf für
δ = 2k0 ns cos(θt )d = 2mπ, m ∈ N.
(4.5.7)
Der freie Spektralbereich ist der Frequenzabstand zweier aufeinanderfolgender Transmissionsmaxima:
∆νFSR = νm+1 − νm =
c0
.
2ns cos(θt )d
(4.5.8)
Experiment: Fabry-Perot-Interferometer.
4.5.2 Dielektrischer Spiegel
Ein dielektrischer Spiegel besteht aus einer alternierenden Abfolge von mindestens zwei
unterschiedlichen Arten von dielektrischen Schichten. Ein Lichtwelle, die auf diese Schichtfolge trifft, wird an jeder Grenzfläche gemäß den Fresnel-Formeln reflektiert. Die resultierende reflektierte Welle ergibt sich aus der Superposition aller Partialwellen.
4-18
4.5 Vielstrahlinterferenz
(b)
(a)
B
A
D
C
n2d2=l/4
n1d1=l/4
Abbildung 4.14: (a) Prinzip eines dielektrischen Spiegels. (b) Elektronenmikroskopische Aufnahme eines dielektrischen Spiegels bestehend aus alternierenden SiO2 - und
Ta2 O5 -Schichten. Quelle: Wikipedia.
Ein hoher Reflexionsgrad erfordert die konstruktive Überlagerung aller Partialwellen, d.h.,
die Phasendifferenz ∆ϕ zwischen sukzessiven Partialwellen muss ein Vielfaches von 2π
sein. Für senkrechten Lichteinfall wird diese Bedingung erfüllt, wenn jede Schicht eine
optische Weglänge S von genau einem Viertel der Vakuum-Wellenlänge λ0 aufweist:
S = ni di = λ0 /4.
(4.5.9)
Hierbei ist ni der Brechungsindex der i-ten Schicht und di die zugehörige geometrische
Dicke
Der optische Weglängenunterschied ∆S zwischen zwei sukzessiven Partialwellen beträgt
∆S = 2S = λ/2.
(4.5.10)
Dies entspricht einer Phasendifferenz aufgrund von Propagation von
∆ϕP = 2k0 ni di = π.
(4.5.11)
Zusätzlich ergibt sich noch eine Phasendifferenz von ∆ϕR = π aufgrund der Reflexion an
den zwei unterschiedlichen Grenzflächen.
Die gesamte Phasendifferenz ist damit wie gefordert:
∆ϕ = ∆ϕP + ∆ϕR = 2π.
(4.5.12)
4-19
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
4.5.3 Anti-Reflexbeschichtung
Reflexionen an der Grenzfläche zwischen zwei Medien sind für viele Anwendungen unerwünscht. Durch das Aufbringen einer geeigneten Anti-Reflexbeschichtung lassen sich
diese Reflexionen unterdrücken. Im Folgenden wollen wir die benötigten Eigenschaften
der Anti-Reflexbeschichtung herleiten.
E0r E0tt‘r‘eiφ
E0
n1
n2
d
n3
Abbildung 4.15: Prinzip einer Anti-Reflexbeschichtung.
Die einlaufende Welle habe die Amplitude E0 (siehe Abbildung 4.15). Die resultierende
reflektierte Welle ergibt sich wieder aus der Überlagerung aller reflektierten Partialwellen.
In vielen technisch wichtigen Fällen (z.B. Luft-Glas-Grenzfläche) reicht die Betrachtung
der ersten beiden Partialwellen mit den Amplituden E0 r und E0 tt′ r′ aus.
Für senkrechten Einfall gilt:
r=
n1 − n2
,
n1 + n2
r′ =
n2 − n3
,
n2 + n3
t=
2n1
,
n1 + n2
t′ =
2n2
.
n1 + n2
(4.5.13)
Üblicherweise ist n1 ≈ n2 , so dass t ≈ t′ ≈ 1 gilt.
Die Bedingung r = r′ ist erfüllt, falls
n2 − n3
n1 − n2
=
.
n1 + n2
n2 + n3
(4.5.14)
Auflösen nach n2 liefert:
n2 =
4-20
√
n1 n3 .
(4.5.15)
4.6 Kohärenz
Die beiden Partialwellen interferieren destruktiv, falls für die Phasendifferenz die Bedingung ϕ = (2m + 1)π, m = 0, 1, 2, 3, . . . gilt4 . Damit folgt für die Dicke d der AntiReflexschicht:
d=
(2m + 1)λ0
.
4n2
(4.5.16)
4.6 Kohärenz
Experiment: Überlagerung von zwei unabhängigen Lichtfeldern.
Bisher hatten wir bei der Wellenüberlagerung den Fall betrachtet, dass die Phasenverschiebung ∆φ zwischen den Wellen an einem gegebenen Ort r zeitlich konstant ist. In
diesem Fall spricht man von kohärenter Wellenüberlagerung und die Intensität am Ort r
ist gegeben durch
q
I(r) = I1 (r) + I2 (r) + 2 I1 (r) I2 (r) cos (∆φ(r)) (ê1 · ê2 ) .
(4.6.1)
Ändert sich hingegen ∆φ willkürlich und nimmt im Beobachtungszeitraum alle Werte
zwischen 0 und 2π mit gleicher Wahrscheinlichkeit an, so spricht man von inkohärenter
Wellenüberlagerung. Die zeitliche Mittlung führt zum Verschwinden des Interferenzterms,
so dass die Intensität durch
I(r) = I1 (r) + I2 (r).
(4.6.2)
gegeben ist.
Gründe für inkohärente Wellenüberlagerung:
• Die Teilwellen weisen unterschiedliche Frequenzen auf.
• Die Frequenzen der Wellen ändern sich mit der Zeit.
• Die Lichtquellen senden endliche Wellenzüge mit statistisch verteilten Phasen aus.
• Das Medium zwischen Quelle und Beobachtungsort besitzt einen zeitlich fluktuierenden Brechungsindex.
• Mechanische Vibrationen führen zu einer zeitlichen Änderung der optischen Wege.
4
Beachte: Die Reflexion an den Grenzflächen ergibt hier keine zusätzliche Phasenverschiebung zwischen
den Partialwellen.
4-21
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
4.6.1 Zeitliche Kohärenz
Experiment: Michelson Interferometer mit LED.
Um den Begriff der zeitlichen Kohärenz zu erklären betrachten wir erneut das MichelsonInterferometer. Für eine beliebige linear polarisierte Welle mit Amplitude E(r, t) als Eingangssignal erhalten wir am Ausgang des Interferometers folgende Intensität:
I(τ ) = < |E(t)|2 >=< |E0 (t) + E0 (t + τ )|2 >
= < [E0 (t) + E0 (t + τ )] [E0∗ (t) + E0∗ (t + τ )] >
= < |E0 (t)|2 > + < |E0 (t + τ )|2 >
+ < E0 (t)E0∗ (t + τ ) > + < E0∗ (t)E0 (t + τ ) >
= 2I0 + G∗ (τ ) + G(τ ).
(4.6.3)
Hierbei haben wir in der letzten Zeile die zeitliche Korrelationsfunktion
G(τ ) =< E0∗ (t)E0 (t + τ ) >
(4.6.4)
eingeführt. Anschaulich beschreibt G(τ ) das zeitliche „Gedächtnis“ der Welle.
Wir definieren nun den komplexen zeitlichen Kohärenzgrad
g(τ ) =
G(τ )
< E0∗ (t)E0 (t + τ ) >
=
.
G(0)
I0
(4.6.5)
Zusammenfassen der letzten Zeilen liefert schließlich für das Interferogramm:
I(τ ) = 2I0 [1 + ℜ [g(τ )]] = 2I0 [1 + |g(τ )| cos(ϕ(τ ))] .
(4.6.6)
Für den komplexen zeitlichen Kohärenzgrad gilt:
0 ≤ |g(τ )| ≤ 1.
(4.6.7)
Hierbei entspricht die kohärente Wellenüberlagerung dem Fall |g(τ )| = 1 während für
inkohärente Wellenüberlagerung |g(τ )| = 0 gilt.
Interferogramm einer monochromatischen Welle
Wir betrachten zunächst noch einmal den Fall einer monochromatischen Welle:
E0 (t) = A e−ıω0 t .
4-22
(4.6.8)
4.6 Kohärenz
Der zugehörige komplexe zeitliche Kohärenzgrad lautet:
g(τ ) = e−ıω0 τ .
(4.6.9)
Wir erhalten damit für das Interferogramm:
I(τ ) = 2I0 [1 + cos(ω0 τ )] .
(4.6.10)
Interferogramm einer Welle mit mehreren Frequenzkomponenten
Wir wollen nun den Fall einer Lichtquelle untersuchen, deren Spektrum S(ω) = |E(ω)|2
in einem Bereich ∆ω um die Zentralfrequenz ω0 zentriert ist. Das emittierte Licht kann
als Superposition von monochromatischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen aus
diesem Frequenzintervall aufgefasst werden.
Die Teilwellen überlagern sich inkohärent (Beweis: Übung), so dass wir die Interferogramme der einzelnen spektralen Komponenten zunächst separat betrachtet können:
Iω (τ ) = 2S(ω) [1 + cos(ωτ )] .
(4.6.11)
Das Gesamtinterferogram ergibt sich dann aus der Überlagerung der Interferogramme der
einzelnen spektralen Komponenten:
I(τ ) =
Z
Iω (τ )dω =
Z
2S(ω) [1 + cos(ωτ )] dω.
(4.6.12)
Wir betrachten jetzt als instruktives Beispiel den Fall eines „Kastenspektrums“ mit spektraler Breite ∆ω und Zentralfrequenz ω0 . Für τ = 0 überlagern sich alle Interferogramme
in Phase. Endliche Verzögerungen führen dagegen zu Phasenunterschieden zwischen den
einzelnen Teilwellen. Nach der Kohärenzzeit
2π
τc =
(4.6.13)
∆ω
erreicht der Phasenunterschied zwischen den beiden extremen Frequenzkomponenten
ω0 − ∆ω/2 und ω0 + ∆ω/2 einen Wert von 2π. Die Überlagerung der einzelnen Interferogramme führt für Verzögerungen τ > τc zur Unterdrückung des Interferenzsignals.
Die Kohärenzzeit gibt damit anschaulich an, wie lange sich die Welle an die Phase an
einem vorgegebenen Ort zu einem früheren Zeitpunkt „erinnert“.
Äquivalent zur Kohärenzzeit können wir auch eine longitudinale Kohärenzlänge lc angeben:
lc = cτc .
(4.6.14)
Die longitudinale Kohärenzlänge lc gibt anschaulich die Länge des Wellenzuges in Aubreitungsrichtung an, für den die Phase einen definierten Wert annimmt.
4-23
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
w0-0.5Dw
Iw(τ)
Frequenz
w0+0.5Dw
−1.5
−1
−0.5
0
τ/τ
0.5
1
1.5
c
1
0.8
I(τ)/I
0
0.6
0.4
0.2
0
−5
0
τ/τ
5
c
Abbildung 4.16: Oben: Interferogramme Iω (τ ) der einzelnen spektralen Komponeneten eines
„Kastenspektrums“. Unten: Zugehöriges Gesamtinterferogramm.
4.6.2 Räumliche Kohärenz
Experiment: Youngscher Doppelspaltversuch mit ausgedehnter thermischer Lichtquelle.
Im folgenden Betrachten wir erneut den Youngschen Doppelspaltversuch. Wir untersuchen
aber nun den Fall, dass die beiden Spalte S1 und S2 von einer ausgedehnten thermischen
Lichtquelle der Breite b beleuchtet werden. Die Lichtemission von verschiedenen Punkten
der Lichtquelle geschieht voneinander unabhängig mit statistisch verteilten Phasen, so
dass sich die zugehörigen Wellen inkohärent überlagern.
4-24
4.6 Kohärenz
S1
r1
f
b
Q1
O
Q2
f
d
r2
Dr
S2
R
Abbildung 4.17: Beleuchtung mit einer ausgedehneten Lichtquelle.
Die Abstände von der Mitte der Lichtquelle O zu den beiden Spalten S1 und S2 seien
gleich groß (OS1 = OS2 ). Monochromatisches Licht, das von O emittiert wird, erzeugt
damit auf dem Beobachtungsschirm ein Interferenzmuster der Form 4.4.7.
Als nächstes betrachten wir den Randpunkt Q1 der Lichtquelle. Die Entfernungen von Q1
zu den beiden Spalten S1 und S2 sind verschieden groß. Für die Weglängendifferenz gilt:
∆r = r1 − r2 = Q1 S1 − Q1 S2 = Q1 S1 − Q2 S1 .
(4.6.15)
Wir nehmen im Folgenden an, dass R ≫ b, d. In diesem Fall gilt:
∆r ≈ b sin(φ).
(4.6.16)
Abbildung 4.17 entnehmen wir
tan(φ) =
d
.
2R
(4.6.17)
Mit φ ≈ sin(φ) ≈ tan(φ) gilt:
∆r =
bd
.
2R
(4.6.18)
Aufgrund der Weglängendifferenz ∆r weisen die von Q1 ausgehenden Wellen in S1 und
S2 eine Phasendifferenz k∆r auf. Damit erhalten wir für den Punkt P auf dem Beobachtungsschirm:
2
I = 2I0 [1 + cos(k∆r + k∆l)] = 4I0 cos
k∆r + k∆l
2
!
2
= 4I0 cos
!
πbd
πdy
+
.
2λR
λD
4-25
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
(4.6.19)
Das Interferenzmuster besitzt die selbe Periode wie bei der Beleuchtung mit einer punktförmigen Lichtquelle. Allerdings sind die Positionen der Maxima im Vergleich zum vorherigen Fall um die Strecke
∆y = −
bD
2R
(4.6.20)
auf dem Schirm verschoben.
Die Gesamtintensität im Punkt P ergibt sich durch die inkohärente Überlagerung der
Interferenzmuster aller Punkte der Lichtquelle. Für ∆y = (ym+1 − ym )/2 wird das Interferenzsignals auf dem Beobachtungsschirm unterdrückt.
Zur Beobachtung von Interferenzeffekten muß der Abstand der Spalte S1 und S2 bei
Beleuchtung mit einer ausgedehnten Lichtquelle kleiner als die transversale Kohärenzlänge
lt sein. Mit Hilfe von Gleichung (4.6.20) finden wir:
lt =
λR
λ
= .
b
Φ
(4.6.21)
Hierbei ist Φ der Winkel, unter dem die Lichtquelle von den Spalten aus gesehen wird.
4-26
5 Beugung
In diesem Kapitel wollen wir Phänomene untersuchen, die sich aus der räumlichen Begrenzung einer Welle durch eine (oder mehrere) Blenden ergeben. Hierbei ist im Allgemeinen
eine direkte Untersuchung ausgehend von den Maxwell-Gleichungen nicht analytisch möglich. Wir werden deshalb das unten angegebene Huygenssche Prinzip für die anschauliche
Erklärung von Beugungsphänomenen benutzen. Dabei betrachten wir in diesem Kapitel
Licht als eine skalare Welle.
5.1 Huygenssches Prinzip
Experiment: Wellenwanne mit Kamm.
cDt
A
t1
t2=t1+Dt
Abbildung 5.1: Huygenssches Prinzip.
Huygensches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt für kugelförmige sekundäre Elementarwellen. Die Lage der Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt
ergibt durch die Tangenten an all diese sekundären Elementarwellen.
Wir wollen nun das Huygensche Prinzip auf zwei bereits behandelte Probleme anwenden.
5-1
5 Beugung
5.1.1 Brechung an einer Grenzfläche
Experiment: Wellenwanne mit Glasplatte.
Im Folgen soll das Brechungsgesetz anhand des Huygensschen Prinzips hergeleitet werden.
Hierzu betrachten wir die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes n1 und
n2 .
Im Medium 1 breiten sich die Kugelwellen mit der Geschwindigkeit c1 = c0 /n1 aus. Die
Strecke DC wird von den sekundären Elementarwellen in der Zeit ∆t zurückgelegt:
DC =
∆tc0
.
n1
(5.1.1)
In der gleichen Zeit legen die sekundären Elementarwellen im Medium 2 die Strecke AB
zurück:
AB =
∆tc0
.
n2
(5.1.2)
und sin(αt ) = AB
(die Wellenfronten stehen senkrecht zur AusbreiMit sin(αi ) = DC
AC
AC
tungsrichtung) erhalten wir wieder das Brechungsgesetz:
n1 sin(αi ) = n2 sin(αt ).
(5.1.3)
ai D
A
c2Dt
B
c1Dt
C
at
n1
n2
Abbildung 5.2: Brechung einer Welle an einer Grenzfläche.
5-2
5.2 Beugung durch eine ebene Blende
5.1.2 Doppelbrechung
In einem uniaxialen Kristall ist der Brechungsindex (und damit die Phasengeschwindigkeit) der außerordentlichen Welle eine Funktion der Ausbreitungsrichtung. Die sekundären Elementarwellen sind im Fall der außerordentlichen Welle deshalb keine Kugeln
sondern Ellipsoide. Der Brechungsindex der ordentliche Welle hängt dagegen nicht von
der Ausbreitungsrichtung ab. Dieser Fall kann deshalb analog zum vorherigen Abschnitt
behandelt werden.
Ordentlicher Strahl
ceDt
coDt
he
tisc
Op chse
A
he
tisc
Op chse
A
coDt
Außerordentlicher Strahl
Abbildung 5.3: Doppelbrechung.
Fällt eine unpolarisierte Welle senkrecht auf einen uniaxialen Kristalls, so tritt die ordentliche Welle senkrecht durch die Grenzfläche (siehe Abbildung 5.3, links). Die außerordentliche Welle wird dagegen „seitlich versetzt“ (siehe Abbildung 5.3, rechts), so dass sie
schräg durch den Kristall läuft. In Übereinstimmung mit unserer Diskussion in Kapitel
3.3.2 sind die zugehörigen Phasenfronten aber weiterhin parallel zur Grenzfläche.
5.2 Beugung durch eine ebene Blende
Im Folgenden soll eine monochromatische Welle betrachtet werden, die auf eine ebene
Blende1 Σ trifft. Die komplexe Amplitude2 der Welle in der Blendenebene sei E0 (x, y).
Hierbei hat E0 (x, y) nur innerhalb der Blende einen von null verschiedenen Wert.
Nach dem Huygenschen Prinzip hat die Welle im Punkt P = (X, Y, z) hinter der Blende
den Wert:
E(X, Y, z) =
1
2
Z Z
Σ
E0 (x, y) Q
exp (ıkr)
dx dy.
r
(5.2.1)
Als Blende bezeichnen wir eine Öffnung in einer ansonsten lichtundurchlässigen Schirm.
Wir vernachlässigen hier Polarisationseffekte und behandeln das elektrische Feld als skalare Größe.
5-3
5 Beugung
x
X
P
r
S
ep
z
O
Y
y
Abbildung 5.4: Beugung an einer ebenen Blende.
Hierbei ist r = |SP|.
Der sogenannte Neigungsfaktor Q berücksichtigt die Abhängigkeit der Amplitude der von
einem Flächenelement dσ = dx dy abgestrahlten Welle vom Winkel θ gegen die Flächennormale. Eine genaue Behandlung im Rahmen der Kirchhoffschen Beugungstheorie zeigt,
dass Q ∝ (cos(θ) + 1)/2.
Abbildung 5.4 entnehmen wir:
h
r =
h
=
(X − x)2 + (Y − y)2 + z 2
i1
2
X 2 + Y 2 + z 2 + x2 + y 2 − 2xX − 2yY
"
x2 + y 2 2xX + 2yY
= R 1+
−
R2
R2
#1
2
i1
2
(5.2.2)
mit
h
R = X 2 + Y 2 + z2
5-4
i1
2
(5.2.3)
5.3 Fraunhofersche Näherung
5.3 Fraunhofersche Näherung
In der Fraunhoferschen Näherung wird angenommen, dass der Abstand R im Vergleich zu
allen anderen Dimensionen sehr groß ist (Fernzone). In diesen Fall ist Q eine Konstante
und der Ausdruck für r kann entwickelt werden:
r ≈R 1−
xX + yY
R2
=R−
xX + yY
.
R
(5.3.1)
Für die Welle im Punkt P = (X, Y, z) ergibt sich somit3 :
E(X, Y, z) ≈
kX
kY
Q exp(ıkR) Z Z
E0 (x, y) e−ı( R x+ R y) dx dy.
R
Σ
(5.3.2)
Im Folgenden nehmen wir an, dass der Schirm mit einer ebenen Welle beleuchtet wird:
E0 (x, y) = E0 t(x, y)
(5.3.3)
(
(5.3.4)
mit
t(x, y) =
1 falls S = (x, y, 0) in der Blende
0 falls S = (x, y, 0) auf dem Schirm
Einsetzen in obige Gleichung liefert:
Z∞ Z∞
kX
kY
Q exp(ıkR)
t(x, y) e−ı( R x+ R y) dx dy.
E0
E(X, Y, z) ≈
R
(5.3.5)
−∞ −∞
Das Integral kann als die räumliche Fourier-Transformierte der Blende identifiziert werden:
F {t (x, y)} =
Z∞ Z∞
t(x, y) e−ı(
kX
x+ kY
R
R
y)
dx dy.
(5.3.6)
−∞ −∞
Für die Intensität erhalten wir somit:
Q2 |E0 |2
I(X, Y, z) =
|F {t (x, y)}|2 .
2
R
(5.3.7)
In der Fernzone ist die Intensitätsverteilung (bis auf einen konstanten Vorfaktor) durch
das Betragsquadrat der räumlichen Fourier-Transformierten der Blende gegeben.
3
Im Nenner nähern wir r ≈ R
5-5
5 Beugung
5.3.1 Beugung an einer rechteckigen Blende
Experiment: Beugung an einer rechteckigen Blende.
Als erstes Beispiel betrachten wir eine rechteckige Blende mit Seitenlängen a und b:
t(x, y) =
(
1 falls |x| ≤ a/2, |y| ≤ b/2
0 sonst
(5.3.8)
Die Welle im Punkt P = (X, Y, z) ist gegeben durch:
Z b/2
kY
Q exp(ıkR) Z a/2 −ı kX x
R
dx
E(X, Y, z) =
e−ı R y dy.
E0
e
R
−b/2
−a/2
(5.3.9)
Mit
α=
kaX
2R
und β =
kbY
2R
(5.3.10)
folgt
Q exp(ıkR)
sin(α)
E(α, β) =
E0 ab
R
α
!
!
sin(β)
.
β
(5.3.11)
Für die Intensität gilt somit:
I(α, β) = I0
sin(α)
α
!2
sin(β)
β
!2
.
(5.3.12)
I0 ist die Intensität im Punkt P0 = (0, 0, z).
Im Folgenden diskutieren wir die Intensitätsverteilung entlang der α-Richtung mit β = 0:
• Das zentrale Beugungsmaximum wird für α = 0 angenommen.
• Nebenmaxima treten für |α| = (2m − 1) π2 , m = 1, 2, 3, . . . auf.
Mit X/R = sin(θ) folgt für den Winkel θmax,m , unter dem das m-te Nebenmaximum
beobachtet werden kann:
sin(θmax,m ) =
(2m − 1) λ
.
2
a
(5.3.13)
• Die Intensität im ersten Nebenmaximum (m=1) beträgt ungefähr 5% der Intensität
des zentralen Beugungsmaximums.
5-6
5.3 Fraunhofersche Näherung
I(α,b)
3
2
0.8
0.8
1
0.6
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1
0
1
2
3
I(α,0)
β (rad)
1
1
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
α (rad)
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
α (rad)
Abbildung 5.5: Beugung an einer quadratischen Blende. Links: I(α, β). Rechts: I(α, 0).
• Die Intensität nimmt für |α| = mπ, m = 1, 2, 3, . . . den Wert null an. Nullstellen
sind somit für
sin(θ0,m ) = m
λ
a
(5.3.14)
zu beobachten.
• Das zentrale Beugungsmaximum hat damit eine Breite ∆θ = 2λ/a.
Ist eine der Dimensionen der Blende (z.B. b) viel größer als die Wellenlänge, so haben
wir es effektiv mit einem eindimensionalen Problem zu tun, einem Spalt. Das zentrale
Beugungsmaximum ist dann in β-Richtung viel schmaler als in α-Richtung.
5.3.2 Beugung am Einzelspalt
Experiment: Beugung am Einzelspalt.
Wir wollen nun für einen Spalt der Breite a die durch Beugung resultierende Intensitätsverteilung anhand eines einfachen Modells herleiten. Wir nehmen hierzu an, dass sich im
Spalt N regelmäßig angeordnete Oszillatoren mit Abstand ∆a befinden, die von einer
ebenen Welle zu erzwungenen Schwingungen angeregt werden.
Die Gesamtamplitude der in Richtung θ gestreuten Welle ergibt sich durch die Überlagerung der gestreuten Wellen der einzelnen Oszillatoren:
E = A0
N
X
eı(ϕj −ωt) .
(5.3.15)
j=1
5-7
5 Beugung
Ds
Da
q
a
q
(N-1)Ds
Abbildung 5.6: Abstrahlung von N regelmäßig angeordnete Oszillatoren.
Hierbei ist A0 die Amplitude und ϕj die Phase der vom j-ten Osillator gestreuten Welle.
Aus dem Wegunterschied ∆s = ∆a sin(θ) zwischen benachbarten Wellen resultiert die
Phasendifferenz
∆ϕ =
2π
2π
∆s =
∆a sin(θ).
λ
λ
(5.3.16)
Wir setzen die Phase der ersten Welle ϕ0 = 0 und erhalten
E = A0
N
X
eı(ϕj −ωt)
j=1
= A0 e−ıωt
N
X
eı(j−1)∆ϕ
j=1
= A0 e−ıωt
eıN ∆ϕ − 1
eı∆ϕ − 1
ı N 2−1 ∆ϕ
= A0 e−ıωt e
= A0 e−ıωt eı
5-8
N −1
∆ϕ
2
N
N

eı 2 ∆ϕ − e−ı 2 ∆ϕ 

eı∆ϕ/2 − e−ı∆ϕ/2


sin
N
∆ϕ
2

sin (∆ϕ/2)
.
(5.3.17)
5.3 Fraunhofersche Näherung
Die Intensität der Welle ergibt sich zu
I(θ) = |E|2 = I0
sin(θ)
sin2 N π ∆a
λ
.
sin2 π ∆a
sin(θ)
λ
(5.3.18)
Wir ersetzen nun die diskreten Oszillatoren durch eine kontinuierliche Verteilung von
Oszillatoren entlang der Strecke ∆a. Die zugehörige Amplitude ist proportional zur Länge
∆a:
A = A0 ∆a/a.
(5.3.19)
Mit α = π(a/λ) sin(θ) folgt:
∆a
a
I(θ) = I0
!2
sin2 (α)
.
sin2 (α/N )
(5.3.20)
Wir betrachten nun N → ∞. Mit sin2 (α/N ) → α2 /N 2 erhalten wir gerade wieder das
zuvor hergeleitete Ergebnis:
I(θ) = I0
sin2 (α)
.
α2
(5.3.21)
Im Rahmen des Oszillator-Modells können die Winkel, unter denen Nullstellen der Intensität beobachtet werden, einfach und anschaulich bestimmt werden. Wir wollen dies für
den Fall m = 1 diskutieren. Für sin(θ) = λ/a ist der Wegunterschied zwischen der ersten
und letzten Teilwelle gerade λ. Wir teilen den Spalt nun in Gedanken in zwei Hälften.
Wir finden zu jedem Oszillator in der ersten Hälfte einen Oszillator in der zweiten Hälfte,
so dass der Wegunterschied gerade λ/2 ist. Die Oszillatoren löschen sich damit paarweise
aus und die Gesamtintensität verschwindet aufgrund der destruktiven Interferenz.
5.3.3 Beugung am Doppelspalt
Experiment: Beugung am Doppelspalt.
Wir wollen nun den Youngschen Doppelspaltversuch für zwei Spalte mit endlichen Breiten
a und Abstand d analysieren. In diesem Fall gilt4 :


 1
4
für − d/2 − a/2 < x < −d/2 + a/2
t(x) =  1 für d/2 − a/2 < x < d/2 + a/2

0 sonst
(5.3.22)
Wir beschränken uns auf den eindimensionalen Fall langer Spalte.
5-9
5 Beugung
1
a/λ=1
a/λ=2
a/λ=5
a/λ=10
0.9
0.8
0.7
a
I(θ)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.5
0
θ (rad)
0.5
Abbildung 5.7: Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem einzelnen Spalt für verschiedene
Spaltbreiten.
Im Fernfeld gilt für die Welle5 :
E(X) = E0
= E0
Z
t(x)e−ı
−d/2+a/2
Z
kX
x
R
dx
−ı kX
x
R
e
kX

a
= 2aE0 cos
5
a
sin kX
R 2
kX a
R 2
dkX
2R
!
kX
dx
d/2+a/2
e−ı R x 
+ E0 
−ı kX
R
−d/2−a/2
dkX
2R
kX
x
R
d/2−a/2
−d/2+a/2
e−ı R x 
= E0 
−ı kX
R
= E0 eı
e−ı
dx + E0
−d/2−a/2

d/2+a/2
Z
d/2−a/2
+ E0 e−ı
sin
kX a
R 2
kX a
R 2
dkX
2R
a
sin
kX a
R 2
kX a
R 2
Die ganzen konstanten Vorfaktoren werden in E0 zusammengefasst.
5-10
(5.3.23)
5.3 Fraunhofersche Näherung
1
Doppelspalt
Einzelspalt
0.9
d
a
0.8
0.7
I(θ)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.5
0
0.5
θ(rad)
Abbildung 5.8: Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem Doppelspalt (a/λ = 2, d/λ = 10).
Für die Intensität erhalten wir den folgenden Ausdruck:

I(X) = 4a2 |E0 |2 
sin
kX a
R 2
kX a
R 2
2
 cos2
dkX
2R
!
.
(5.3.24)
Die Intensitätsverteilung des Doppelspaltes ist gegeben durch die Intensitätsverteilung
eines einzelnen Spalts moduliert mit dem Interferenzmuster des Doppelspaltes für punktförmige Öffnungen.
5.3.4 Beugung an Gittern
Senkrechter Lichteinfall
Experiment: Beugung am Gitter.
Ein Beugungsgitter besteht aus einer regelmäßigen Anordnung von N parallelen Spalten.
Analog zum Doppelspalt wird die Intensitätsverteilung hinter dem Gitter wird durch zwei
Faktoren bestimmt:
5-11
5 Beugung
• Beugung an den einzelnen Spalten mit Spaltbreite b.
• Interferenzmuster von N punktförmigen Oszillatoren mit Periode d.
Für senkrechten Lichteinfall ist die die Intensität:
h
i
d
2
sin [π(a/λ) sin(θ)] sin N π λ sin(θ)
h
i .
I(θ) = I0
[π(a/λ) sin(θ)]2
sin2 π λd sin(θ)
2
|
{z
„Spaltf aktor“
} |
{z
„Gitterf aktor“
(5.3.25)
}
Hierbei ist I0 die Intensität für die Vorwärtsrichtung (θ = 0) hinter einem einzelnen Spalt.
100
90
d
Gitter
Einzelspalt × N
2
a
80
70
0. Ordnung
I(θ)
60
50
1. Ordnung
40
30
20
3. Ordnung
10
0
−0.5
0
0.5
θ(rad)
Abbildung 5.9: Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem Gitter (a/λ = 2, d/λ = 4, N =
10).
Aufgrund des „Gitterfaktors“ weist I(θ) für die Richtungen ein Maximum auf, für die
der Weglängenunterschied ∆s zwischen äquivalenten Teilstrahlen aus zwei benachbarten
Spalten gerade ein Vielfaches m der Wellenlänge ist:
∆s = d sin(θmax,m ) = mλ.
(5.3.26)
Die entsprechenden Maxima heißen Beugungsmaxima m-ter Ordnung.
Die Intensität in den verschiedenen Ordnungen wird durch den „Spaltfaktor“ bestimmt.
Dies ist anschaulich verständlich, da nur durch die Beugung an den Einzelspalten Licht
in Richtungen θ 6= 0 gelangt.
5-12
5.3 Fraunhofersche Näherung
Für die 0.-Ordnung finden wir:
I(0) = N 2 I0 .
(5.3.27)
Einzelne Ordnungen können unterdrückt werden, wenn sie mit einer Nullstelle des „Spaltfaktors“ zusammenfallen. Zum Beispiel fehlt in Abbildung 5.9 aus diesem Grund die 2.Ordnung.
Zwischen je zwei Hauptmaxima treten (N − 2) Nebenmaxima auf, für die der Zähler des
„Gitterfaktors“ den Wert eins annimmt, der Nenner aber keine Nullstelle besitzt. Für die
zugehörigen Winkel gilt:
sin(θp ) =
2p + 1 λ
, p = 1, 2, . . . N − 2.
2N d
(5.3.28)
Mit wachsendem N verlieren die Nebenmaxima rasch an Bedeutung.
Schräger Lichteinfall
Experiment: Beugung am Gitter, Hg Lampe.
Experiment: Beugung an einer CD.
Bisher haben wir angenommen, dass die einzelnen Spalte alle phasengleich beleuchtet
werden. Diese Situation ergibt sich bei der Beleuchtung mit einer senkrecht einfallenden
ebenen Welle. Wir wollen nun für ein Reflexionsgitter mit Periode d den Fall untersuchen,
dass eine ebene Welle unter dem Winkel θi gegen die Gitternormale eingestrahlt wird.
GitterNormale
FurchenNormale
qi
qo
qi
Dsi
Dso
qo d
Abbildung 5.10: Reflexionsgitter bei schrägem Lichteinfall.
5-13
5 Beugung
Das Licht wird an den Furchen unter einem Winkel θo gegen die Gitternormale reflektiert6 .
Teilwellen von verschiedenen Furchen interferieren konstruktiv, wenn der Weglängenunterschied
∆s = ∆si + ∆s0 = d sin(θi ) + d sin(θo )
(5.3.29)
ein vielfaches m der Wellenlänge λ ist.
Aus dieser Bedingung erhalten wir die Gittergleichung
d [sin(θi ) + sin(θo )] = mλ.
(5.3.30)
In Abbildung 5.10 liegen der Einfallswinkel und der Reflexionswinkel auf der selben Seite
der Gitternormalen. Ist dies nicht der Fall, weisen wir θo einen negativen Wert zu. Wir
erhalten mit dieser Konvention dann wiederum die Gittergleichung (Beweis: Übung).
5.3.5 Beugung an einer kreisförmigen Blende
Experiment: Beugung an einer kreisförmigen Blende.
In der Praxis spielt die Beugung an kreisförmigen Blenden eine wichtige Rolle. Für eine
Blende mit Radius a gilt:
(
√
1 falls x2 + y 2 ≤ a
(5.3.31)
t(x, y) =
0 sonst
Durch räumliche Fouriertransformation erhalten wir:
I(u) = I0
2J1 (u)
u
!2
.
(5.3.32)
Hierbei ist J1 (x) die Besselfunktion erster Ordnung und u = ka sin(θ).
Die Beugung an einer kreisförmigen Blende führt zu einer rotationssymmetrischen
Intensitätsverteilung mit einem zentralen Maximum (Beugungsscheibchen oder AiryScheibchen), das von Ringen mit rasch abnehmender Intensität umgeben ist.
I(u) weist für u = 1.22π eine erste Nullstelle auf. Für den zugehörigen Winkel θ0,1 gilt:
λ
sin(θ0,1 ) = 0.61 .
a
6
Ein- und Ausfallswinkel des Reflexionsgesetzes beziehen sich auf die Furchennormale.
5-14
(5.3.33)
5.4 Auflösungsvermögen eines Mikroskops
1
0.9
2a
0.8
0.7
I(θ)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.5
0
0.5
θ(rad)
Abbildung 5.11: Beugung an einer kreisförmigen Blende (a/λ = 1.5).
5.4 Auflösungsvermögen eines Mikroskops
Das räumliche Auflösungsvermögen von optischen Instrumenten wird durch Beugung limitiert. Wir wollen diese Begrenzung exemplarisch für das Mikroskop diskutieren.
Ein Punkt P1 in der Objektebene wird durch das Mikroskobjektiv mit Durchmesser D
und Brennweite f in die Zwischenbildebene abgebildet. Aufgrund von Beugung an der
Fassung des Objektivs ist das Bild von P1 ein Beugungsscheibchen, dessen Durchmesser
nach Gleichung (5.3.33) durch
dBeug = 2.44λ
b
D
(5.4.1)
gegeben ist.
Wir gehen im folgenden davon aus, dass verschiedene Punkte in der Objektebene als
unabhängige Lichtquelle wirken, deren Beugungsbilder sich in der Zwischenbildebene inkohärent überlagern. Zwei benachbarte Punkte P1 und P2 erzeugen in einem Punkt der
Zwischenbildebene also die Intensitätsverteilung
I(x) = I1 (x) + I2 (x).
(5.4.2)
Hierbei sind I1 und I2 die Intensitätsverteilungen aufgrund von P1 bzw. P2 .
5-15
5 Beugung
Objektebene
Mikroskopobjektiv
Zwischenbildebene
dBeug
P1
D
Dx
d
P2
g≈f
b
Abbildung 5.12: Auflösungsvermögen eines Mikroskops.
Nach dem Rayleigh-Kriterium sind die benachbarten Punkte noch räumlich getrennt beobachtbar, wenn der Abstand d der Maxima der Beugungsscheibchen in der Zwischenbildebene mindestens so groß wie der halbe Durchmesser 12 dBeug eines Beugungsscheibchen
ist.
Mit Hilfe der Abbildungsgleichung finden wir für den zugehörigen minimalen Objektabstand
g
1
∆xmin = dBeug .
2
b
(5.4.3)
Für ein Mikroskopobjektiv ist im Allgemeinen b ≫ f , so dass g ≈ f gilt. Damit folgt
∆xmin = 1, 22λ
f
.
D
(5.4.4)
Das Mikroskopobjektiv sammelt Licht aus dem vollen Öffnungswinkel 2α auf. Mit g ≈ f
erhalten wir:
2 sin(α) =
5-16
D
.
f
(5.4.5)
5.5 Fresnel-Beugung
d=0.75 dBeug
d=0.5 dBeug
d=0.25 dBeug
dBeug
Abbildung 5.13: Berechnete Intensitätsverteilungen in der Zwischenbildebene für zwei Punktquelle in verschiedenen Abständen. Im mittleren Bild entspricht der Abstand
dem Rayleigh-Kriterium.
Durch das Einbringen eines Immersionsöls mit Brechungsindex nim zwischen Objekt und
Mikroskopobjektiv kann die räumliche Auflösung verbessert werden:
∆xmin = 1, 22
λ0
.
2nim sin(α)
(5.4.6)
Die numerische Apertur
N A = nim sin(α)
(5.4.7)
ist eine wichtige Kenngröße des Mikroskopobjektivs. Einsetzen in die obige Gleichung
liefert:
∆xmin = 0, 61
λ0
.
NA
(5.4.8)
Beispiel:
nim = 1.5; sin(α) = 0.8 (d.h. 2α ≈ 106◦ )
⇒ N A = 1.2 ⇒ ∆xmin ≈ 0.5λ0 .
5.5 Fresnel-Beugung
Mit Hilfe der Fraunhoferschen Näherung haben wir bisher Beugungseffekte ausschließlich
im Fernfeld untersucht. Wir wollen nun im Rahmen der Fresnel-Beugung unser Augenmerk
auf das Nahfeld richten.
5-17
5 Beugung
Ausgangspunkt der Untersuchungen ist wieder Gleichung (5.2.1):
E(X, Y, z) =
Z Z
Σ
E0 (x, y) Q
exp (ıkr)
dx dy.
r
Hierbei ist
r =
h
(X − x)2 + (Y − y)2 + z 2
"
i1
(X − x)2 + (Y − y)2
= z 1+
z2
2
#1
2
(5.5.1)
Wir führen nun die folgende Näherung ein
"
#
(X − x)2 + (Y − y)2
(X − x)2 + (Y − y)2
r ≈z 1+
=
z
+
.
2z 2
2z
(5.5.2)
Weiterhin nehmen wir an, dass Q konstant ist. Einsetzen liefert:
k(Y −y)2
k(X−x)2
+
−ı
Q exp(ıkz) Z Z
2z
2z
dx dy.
E0 (x, y) e
E(X, Y, z) ≈
z
Σ
(5.5.3)
Diese Gleichung kann im Allgemeinen nur noch numerisch gelöst werden.
Abbildung 5.14 zeigt die berechnete Intensitätsverteilung für verschiedene Abstände z
hinter einem 1 mm breiten Spalt, der mit Licht der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet
wird.
5.6 Fresnelsche Zonen
Im Folgenden wollen wir das Huygenssche Prinzip auf eine Kugelwelle anwenden. Wir
betrachten hierzu eine punktförmige Lichtquelle L. Für Punkte auf der Kugeloberfläche
ΣR mit Abstand R von der Lichtquelle gilt:
E(R) =
E0 ı(kR−ωt)
e
.
R
(5.6.1)
Nach dem Huygensschen Prinzip sind alle Punkte dieser Kugelfläche Quellen kugelförmiger Sekundärwellen.
Wir wollen nun die Feldstärke in einem Beobachtungspunkt P mit Abstand R + r0 von
L bestimmen. Hierzu konstruieren wir eine Reihe von konzentrischen Kugeloberflächen
5-18
5.6 Fresnelsche Zonen
5.5
z=0.01 m
z=0.1 m
z=1 m
z=2 m
5
4.5
4
I(X)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
−2
−1
0
X(m)
1
2
x 10
−3
Abbildung 5.14: Berechnete Intensitätsverteilung hinter einem 1 mm breiten Spalt, der mit Licht
der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet wird.
Σm um den Beobachtungspunkt P mit Radien rm = r0 + mλ/2, m = 1, 2, 3 · · · . Die
Kugeloberflächen Σm schneiden die Kugeloberfläche ΣR in Kreisen, die die Grenzen der
sogenannten Fresnelzonen auf der Kugeloberfläche ΣR definieren.
Wir ermitteln zunächst den Beitrag der Sekundärwellen aus der m-ten Fresnelzone zur
Feldstärke in P. Die Punkte S der m-ten Fresnelzone, die den Abtstand r zum Betrachtungspunkt P besitzen, befinden sich auf einem Kreis um die Verbindungslinie LP mit
Radius ρ = R sin(ϕ). Die Feldstärke der zugehörigen Sekundärwellen aus dem Flächenelement ds in P ist
dE = Q
ER ı[k(R+r)−ωt]
e
ds
r
(5.6.2)
mit ER = E0 /R und dem langsam veränderlichen Neigungsfaktor Q.
Der Kosinussatz liefert für das Dreieck LSP:
r2 = R2 + (R + r0 )2 − 2R(R + r0 ) cos(ϕ).
(5.6.3)
Durch Differentation nach ϕ erhalten wir:
2r dr = 2R(R + r0 ) sin(ϕ) dϕ.
(5.6.4)
5-19
5 Beugung
S
R
k
q
r
r
j
L
P
l/2
r0
Km
m-te Fresnelzone
Km+1
Abbildung 5.15: Konstruktion der Fresnelzonen.
Somit gilt:
ds = 2πρR dϕ =
2πR
r dr.
R + r0
(5.6.5)
Die m-te Fresnelzone liefert damit den Beitrag:
rm
Em
2πR Z ı[k(R+r)−ωt]
= QER
e
dr
R + r0 r
m−1
=
"
λQER R ı[k(R+r)−ωt]
e
ı(R + r0 )
= (−1)m+1
#rm
rm−1
2ıλQER R ı[k(R+r0 )−ωt]
e
.
R + r0
(5.6.6)
Die Beiträge benachbarter Fresnelzonen weisen entgegengesetzte Vorzeichen auf. Dies ist
leicht verständlich, da wir zu jedem Punkt Km der m-ten Fresnelzone einen Punkt Km+1
der (m + 1)-ten Fresnelzone finden, so dass sich die jeweiligen Abstände zu P gerade um
λ/2 unterscheiden. Somit erhalten wir:
E(P) =
N
X
m=1
5-20
Em = |E1 | − |E2 | + |E3 | − |E4 | + · · ·
(5.6.7)
5.6 Fresnelsche Zonen
Da Q eine langsam veränderliche Funktion ist, gilt:
1
(|Em−1 | + |Em+1 |) .
2
|Em | ≈
(5.6.8)
Durch Umordnen erhalten wir:
1
1
1
1
1
|E1 | +
|E1 | − |E2 | + |E3 | +
|E3 | − |E4 | + |E5 |
2
2
2
2
2
1
+ · · · + |EN |
2
1
1
|E1 | + |EN |.
≈
2
2
E(P) =
(5.6.9)
Da in Rückwärtsrichtung keine Sekundärwellen abgestrahlt werden (Q ∝ (cos(θ) − 1)),
liefert die N -te Fresnelzone keinen Beitrag und wir finden schließlich:
1
E(P) ≈ |E1 |.
2
(5.6.10)
Betrachten wir direkt die primäre Kugelwelle am Punkt P, so finden wir für deren Feldstärke:
E(P) = E0 R + r0 eı[k(R+r0 )−ωt] .
(5.6.11)
Aus dem Vergleich der letzten beiden Gleichungen folgt:
Q(0◦ ) =
−ı
.
λ
(5.6.12)
Wir wollen nun den Radius ρm der m-ten Fresnelzone berechnen. Für r0 ≫ λ gilt:
ρm ≈
q
r2 − r02 =
q
(r0 + mλ/2)2 − r02 ≈
q
mr0 λ
(5.6.13)
Beispiel:
r0 = 10 cm, λ = 500 nm ⇒ ρ1 = 0.22 mm.
Wir stellen nun zwischen L und P im Abstand r0 von P einen Schirm mit kreisförmiger
Blende, deren Durchmesser gerade 2ρ1 beträgt. Dadurch trägt nur die erste Fresnelzone
zur Feldstärke in P bei:
E(P) = E1 .
(5.6.14)
5-21
5 Beugung
Die Feldstärke mit geeigneter Blende ist also doppelt so groß wie ohne Schirm!
Die Feldstärke kann noch weiter erhöht werden, in dem wir durch einen geeigneten Schirm
alle geraden (oder alle ungeraden) Fresnelzonen ausblenden.
Experiment: Fresnel Zonenplatte.
5-22
6 Quanteneigenschaften von Licht
6.1 Schwarzkörperstrahlung
Ein schwarzer Körper ist ein ideales Material, das Strahlung bei allen Frequenzen ν vollständig absorbiert ⇒ Absorptionsgrad A(ν) = 1.
Eine kleine Öffnung in einem Hohlraum stellt eine gute Approximation eines schwarzen
Körpers dar.
Abbildung 6.1: Hohlraumstrahler (Nachbau) bei der PTB.
Experiment: Hohlraumstrahler - Platinröhrchen.
6.1.1 Rayleigh-Jeans’sches Strahlungsgesetz
Im Folgenden wollen wir die von einem schwarzen Körper der Temperatur T emittierte
Strahlung untersuchen. Hierzu verwenden wir zunächst ein klassisches Modell. Wir werden
6-1
6 Quanteneigenschaften von Licht
sehen, dass sich bei diesem Modell drastische Abweichungen von den experimentellen
Befunden ergeben.
Wir gehen von einem kubischen Hohlraum mit Seitenlänge l in einem Metallblock aus. Die
elektromagnetischen Eigenschwingungen des Hohlraums (die sogenannten Moden) sind
stehende Wellen, die an den Wänden die folgenden Randbedingungen erfüllen (Vergleiche
Abschnitt 4.1.1):
en × E = 0,
en · B = 0.
(6.1.1)
(6.1.2)
Hierbei ist en ein Normalenvektor zu einer der Wände.
Wir wählen den folgenden Ansatz für das elektrische Feld einer Mode:
Eks (r, t) = [Ekx asx (k) êx + Eky asy (k) êy + Ekz asz (k) êz ] e−ıωt
(6.1.3)
Ekx = cos(kx x) sin(ky y) sin(kz z),
Eky = sin(kx x) cos(ky y) sin(kz z),
Ekz = sin(kx x) sin(ky y) cos(kz z).
(6.1.4)
(6.1.5)
(6.1.6)
mit
Offensichtlich lassen sich die Randbedingungen mit diesem Ansatz nur erfüllen, falls für
den Wellenvektor gilt:
πnx πny πnz
,
,
,
k = (kx , ky , kz ) =
l
l
l
(6.1.7)
wobei nx , ny und nz positive ganze Zahlen sind.
Die zugehörigen Frequenzen sind somit gegeben durch:
c|k|
c
νk =
=
2π
2π
s
πnx
l
2
πny
+
l
2
πnz
+
l
2
.
(6.1.8)
Weiterhin steht der Polarisationseinheitsvektor âs senkrecht auf dem Wellenvektor k:
âs · k = 0.
(6.1.9)
Als nächstes wollen wir die Anzahl der Moden dN (ν) mit einer Frequenz im Intervall
[ν, ν +dν] bestimmen. Hierzu summieren wir zunächst über alle erlaubten Wellenvektoren,
6-2
6.1 Schwarzkörperstrahlung
deren Betrag im Intervall [2πν/c, 2π(ν + dν)/c] liegt:
X
dN (k) = 2
(6.1.10)
.
|k|∈[2πν/c,2π(ν+dν)/c]
Der Faktor 2 berücksichtigt die beiden zueinander orthogonalen Polarisationszustände pro
Wellenvektor.
Wir nehmen im Folgenden an, dass die Seitenlänge l wesentlich größer als die Wellenlänge
λ ist. In diesem Fall können wir die Summe durch ein Integral ersetzen:
2
dN (k) = 2
=
(∆k)3
|k|∈[2πν/c,2π(ν+dν)/c]
X
2 Z 2π(ν+dν)/c
(∆k) →
dk.
(∆k)3 2πν/c
|k|∈[2πν/c,2π(ν+dν)/c]
X
3
(6.1.11)
Aufgrund von Gleichung (6.1.7) gilt:
3
(∆k) =
3
π
l
.
(6.1.12)
Als nächstes führen wir die Integration in Kugelkoordinaten durch und erhalten
l3 4πk 2 dk
.
(6.1.13)
π3
8
Hierbei berücksichtigt der Faktor 1/8, dass nur Wellenvektoren mit positiven nx , ny und
nz erlaubt sind.
dN (k) = 2
Mit ν = (c/2π)k erhalten wir schließlich die elektromagnetische Zustandsdichte eines
großen Hohlraums:
Dγ (ν) =
1 dN
8πν 2
= 3 .
V dν
c
(6.1.14)
Im Rayleigh-Jeans’schen Modell werden die elektromagnetischen Eigenschwingungen des
Hohlraums wie klassische harmonische Oszillatoren behandelt, denen im thermischen
Gleichgewicht die mittlere Energie W (ν, T ) = kB T zugeordnet wird. Hierbei ist kB die
Boltzmann-Konstante.
Die Energiedichte der Hohlraumstrahlung im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν ist
damit:
8πν 2
u(ν, T )dν = Dγ (ν)W (ν, T )dν = 3 kB T dν.
(6.1.15)
c
Nach diesem Rayleigh-Jeans’schen Strahlungsgesetz sollte die Energiedichte quadratisch
mit der Frequenz ν anwachsen, d.h.,die integrierte Energiedichte würde divergieren ⇒
Ultraviolett-Katastrophe!
6-3
6 Quanteneigenschaften von Licht
6.1.2 Plancksches Strahlungsgesetz
Im Rahmen des Planckschen Modells der Schwarzkörperstrahlung wird angenommen, dass
die Energie einer Mode nur um vielfaches des Energiequantums hν ansteigen kann. Hierbei
ist ν die Frequenz der Mode und h = 6.6260693·10−34 Js das Planksche Wirkungsquantum.
Die kleinstmöglichen Energiequanten hν der Moden des elektromagnetischen Feldes heißen
Photonen.
Eine Mode der Frequenz ν mit n Photonen besitzt somit die Energie
Wν = nhν.
(6.1.16)
Im thermischen Gleichgewicht ist die Wahrscheinlichkeit p(W ) dass eine Mode mit n
Photonen besetzt ist gegeben durch
e−nhν/(kB T )
p(W ) = P
∞
n=0
(6.1.17)
.
e−nhν/(kB T )
Offensichtlich gilt
∞
X
p(nhν) = 1.
(6.1.18)
n=0
Die mittlere Energie pro Eigenschwingung folgt aus
W (ν, T ) =
=
∞
X
n=0
∞
P
p(nhν) n hν
n hν e−nhν/(kB T )
n=0
∞
P
n=0
(6.1.19)
.
e−n hν/(kB T )
Wir betrachten zunächst den Zähler von Gleichung (6.1.19). Mit der Abkürzung β =
1/(kB T ) finden wir
∞
X
n=0
6-4
−nhνβ
n hν e
!
∞
∂ X
= −
e−nhνβ
∂β n=0
1
∂
= −
∂β 1 − e−hνβ
hνe−hνβ
=
.
(1 − e−hνβ )2
(6.1.20)
6.1 Schwarzkörperstrahlung
Für den Nenner von Gleichung (6.1.19) gilt:
∞
X
e−nhνβ =
n=0
1
.
1 − e−hνβ
(6.1.21)
Einsetzen liefert die mittlere Energie pro Eigenschwingung
hν
W (ν, T ) = hν/(k T )
.
B
e
−1
(6.1.22)
Mit
u(ν, T )dν = Dγ (ν)W (ν, T )dν
(6.1.23)
erhalten wir das Plancksche Strahlungsgesetz:
u(ν, T ) =
8πh
ν3
c3 e khν
BT − 1
(6.1.24)
-15
1.6
x 10
T=5800 K
T=3000 K
T=2700 K
Plancksche Energiedichte (J s m-3 )
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
Frequenz (s-1 )
8
10
12
14
x 10
Abbildung 6.2: Graphische Darstellung des Planckschen Strahlungsgesetzes für drei verschiedene
Schwarzkörpertemperaturen.
Die Photonenergie hνm der maximalen Energiedichte ist durch das Wiensche Verschiebungsgesetz gegeben:
hνm = 2.82kB T .
(6.1.25)
6-5
6 Quanteneigenschaften von Licht
6.1.3 Lambert-Strahler und Stefan-Boltzmann-Gesetz
Die Strahlung im Hohlraum ist isotrop ⇒ Energiestromdichte pro Raumwinkel dΩ und
Frequenzintervall dν:
c ek
u(ν, T )
4π
jdΩ (ν, T ) =
(6.1.26)
Leistung, die im Frequenzintervall [ν, ν + dν] durch ein Flächenelement dA = eA dA der
Öffnung in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt wird:
dPdΩ (ν, T ) = jdΩ (ν, T ) · eA dA dΩ dν = jdΩ (ν, T ) cos(θ) dA dΩ dν.
(6.1.27)
Hierbei ist θ der Winkel zwischen der Flächennormalen eA und der Ausbreitungsrichtung
der Strahlung ek .
Die Öffnung zeigt die Charakteristik eines Lambert-Strahlers:
θ=0
dPdΩ (ν, T ) = dPdΩ
(ν, T ) cos(θ).
(6.1.28)
θ=0
Hierbei ist dPdΩ
(ν, T ) die Leistung, die in Vorwärtsrichtung (θ = 0) emittiert wird.
Wir integrieren nun die Energiedichte der Hohlraumstrahlung über alle Frequenzen:
Z∞
U (T ) =
u(ν, T )dν
ν=0
∞
8πh Z
ν3
=
dν.
hν
c3
kB T
e
−
1
ν=0
Mit der Substitution x =
kB T
h
!4 Z∞
0
hν
kB T
x3
dx =
ex − 1
(6.1.29)
kann das Integral umgeformt werden:
kB T
h
!4
π4
.
15
(6.1.30)
Wir erhalten damit für die integrierte Energiedichte:
U (T ) = aT 4
(6.1.31)
4
8π 5 kB
.
a=
15h3 c3
(6.1.32)
mit
6-6
6.1 Schwarzkörperstrahlung
Somit wird die Gesamtleistung
dPdΩ (T ) =
c ek
c
U (T ) · eA dA dΩ =
cos(θ) aT 4 dAdΩ.
4π
4π
(6.1.33)
durch das Flächenelement dA der Öffnung in den Raumwinkel dΩ abgestrahlt.
Wir integrieren nun noch über den Halbraum und die Öffnung (Gesamtfläche A):
P (T ) =
Z Z
c
cos(θ) aT 4 dAdΩ
4π
π/2 Z2π
Z
c
4
cos(θ) sin(θ)dθdϕ
= A aT
4π
θ=0 ϕ=0
c
= A aT 4 2π.
4π
(6.1.34)
Durch Zusammenfassen der Konstanten erhalten wir die Stefan-Boltzmann’sche Strahlungsformel:
P (T ) = AσT 4
(6.1.35)
mit der Stefan-Boltzmann-Konstante
4
2π 5 kB
c
= 5.67 · 10−8 W m−2 K−4 .
σ= a=
4
15c2 h3
(6.1.36)
Experiment: Hohlraumstrahler - Stefan-Boltzmann’sche Strahlungsformel.
6.1.4 Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
Im Folgenden betrachten wir einen „grauen“ Strahler mit Reflexionsgrad rg (ν), Transmissionsgrad tg (ν) und Absorptionsgrad ag (ν):
rg (ν) + tg (ν) + ag (ν) = 1.
(6.1.37)
Wir untersuchen nun den Strahlungsaustausch zwischen dem „grauen“ Strahler (Temperatur Tg ) und einem schwarzen Strahler (Temperatur Ts ) in einem Hohlraum (Temperatur
Th ) im Frequenzintervall [ν, ν + dν].
Emittierte Energiestromdichte des schwarzen Strahlers: js,dΩ (ν, Ts ).
6-7
6 Quanteneigenschaften von Licht
Filter [n, n+Dn]
eg(n) js (n,Tg )
rg(n) js(n,Ts)
t g( n) j s( n,T s)
js(n,Ts)
js(n,Th)
tg(n) js(n,Th)
Th
Tg
Ts
Abbildung 6.3: Strahlungsaustausch zwischen einem „grauen“ Strahler (Temperatur Tg ) und
einem schwarzen Strahler (Temperatur Ts ) in einem Hohlraum (Temperatur Th )
im Frequenzintervall [ν, ν + dν]
Emittierte Energiestromdichte des „grauen“ Strahlers: jg,dΩ (ν, Tg ) = eg (ν)js,dΩ (ν, Tg ) mit
dem Emissionsgrad eg (ν).
Der schwarze Strahler empfängt aus der Richtung des „grauen“ Strahlers die Energiestromdichte:
rg (ν)js,dΩ (ν, Ts ) + eg (ν)js,dΩ (ν, Tg ) + tg (ν)js,dΩ (ν, Th ).
(6.1.38)
Im thermischen Gleichgewicht gilt: Tg = Ts = Th .
Der Strahlungsaustausch darf das Temperaturgleichgewicht nicht stören ⇒ Emittierte
Energiestromdichte = absorbierte Energiestromdichte.
Damit:
eg (ν) = 1 − rg (ν) − tg (ν) = ag (ν).
(6.1.39)
Für den „grauen“ Strahler erhalten wir somit das modifizierte Planksche Strahlungsgesetz:
ug (ν, T ) =
6-8
ν3
8π h ag (ν)
.
hν
c3
e kB T − 1
(6.1.40)
6.2 Emission und Absorption elektromagnetischer Strahlung
6.2 Emission und Absorption elektromagnetischer
Strahlung
Spontane Emission
Induzierte Absorption
E2
Stimulierte Emission
E2
hn = E2-E1
hn = E2-E1
E1
E2
hn = E2-E1
E1
E1
Abbildung 6.4: Elementare Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Zweiniveau-System und
einem Strahlungsfeld.
Wir untersuchen nun die elementaren Wechselwirkungsprozesse zwischen einem Ensemble
von Zweiniveau-Systemen und einem resonantem Strahlungsfeld.
• Zweiniveau-System:
– Energie-Niveaus E1 < E2
– Besetzungszahldichten N1 , N2
– Entartungsgrade g1 ,g2
• Strahlungsfeld:
– Photonenergie hν = E2 − E1
– Energiedichte u(ν)
Zahl der Übergange 2 → 1 durch spontane Emission:
sp
dN21
= N2 A21 dt.
(6.2.1)
Zahl der Übergange 1 → 2 durch Absorption:
abs
dN12
= N1 u(ν)B12 dt.
(6.2.2)
Zahl der Übergange 2 → 1 durch stimulierte Emission:
ind
dN21
= N2 u(ν)B21 dt.
(6.2.3)
6-9
6 Quanteneigenschaften von Licht
Einsteinkoeffizienten: A21 , B12 , B21 .
Ratengleichungen für Besetzungszahldichten:
dN1
= −N1 u(ν)B12 + N2 u(ν)B21 + N2 A21 .
dt
(6.2.4)
dN2
dN1
=−
.
dt
dt
(6.2.5)
Physikalische Bedeutung: A21 = 1/τsp ist die reziproke Lebensdauer des angeregten Zustands ohne äußeres Feld (u(ν) = 0).
dN2
= −N2 A21 ⇒ N2 (t) = N2 (t = 0)e−A21 t = N2 (t = 0)e−t/τsp .
dt
(6.2.6)
Betrachte thermisches Gleichgewicht:
dN1
dN2
=−
= 0.
dt
dt
(6.2.7)
Die Besetzung der Energieniveaus ist durch die Boltzmann-Verteilung gegeben:
N2
g2 − E2 −E1
= e kb T .
N1
g1
(6.2.8)
Die spektrale Energiedichte folgt dem Planckschen Strahlungsgesetz.
Folgende Gleichung muss für alle Temperaturen erfüllt sein:
N2 A21
ν3
8πh
g1 hν
= N2 3
B12 e kb T − B21
hν
c e kB T − 1
g2
!
(6.2.9)
Damit:
g1 B12 = g2 B21
(6.2.10)
und
A21 =
8πhν 3
B21 .
c3
(6.2.11)
Diese Beziehungen gelten allgemein, nicht nur im thermodynamischen Gleichgewicht.
6-10
6.3 Laser
Umformung liefert:
A21
= B21 hν.
8πν 2 /c3
(6.2.12)
Diese Gleichung kann so interpretiert werden, dass die spontante Emissionswahrscheinlichkeit pro Mode gleich der induzierten Emissionswahrscheinlichkeit ist, wenn das Strahlungsfeld im Mittel ein Photon pro Mode enthält.
6.3 Laser
Laser= Light amplification by stimulated emission of radiation.
Der Laser feierte 2010 seinen 50. Geburtstag!
6.3.1 Kleinsignalverstärkung im Resonator
Wir betrachten wieder die Wechselwirkung zwischen einem Ensemble von ZweiniveauSystemen und einem resonantem Strahlungsfeld. Zusätzlich berücksichtigen wir jetzt die
endliche Linienbreite ∆ν der Spektrallinie über eine Linienformfunktion:
Z
0
∞
g(ν)dν = 1
(6.3.1)
mit
1
g(ν0 ) = gmax ; g(ν0 ± ∆ν/2) = gmax
2
(6.3.2)
Damit gilt für die Absorption und die stimulierte Emission:
abs
dN12
= N1 u(ν) dν g(ν) B12 dt.
(6.3.3)
ind
dN21
= N2 u(ν) dν g(ν) B21 dt.
(6.3.4)
Die zeitliche Änderung der Photonendichte nγ folgt aus
!
dnγ
g2
= A21 N2 + u(ν) dν g(ν) B21 N2 − N1 .
dt
g1
Ziel für einen Laser: Zunahme der Photonendichte, also
(6.3.5)
dnγ
dt
> 0.
6-11
6 Quanteneigenschaften von Licht
ν = ν0
Linienformfunktion g(ν)
Resonator-Moden
Δν
Spektrallinie
νR
Frequenz (ν)
Abbildung 6.5: Schematische Darstellung der Linienformfunktion g(ν).
Wir definieren nun den Besetzungsunterschied:
σ = (N2 −
g2
N1 )
g1
(6.3.6)
Die Zunahme der Photonendichte erfodert einen positiven Besetzungsunterschied σ >
0 ⇒ Besetzungsinversion! Dies erfordert eine starke Abweichung vom thermodynamischen
Gleichgewicht.
Weitere Forderung: Kohärente stimulierte Emission soll inkohärente spontante Emission
deutlich überwiegen ⇒ Rückkopplung über optischen Resonator.
Wir nehmen im Folgenden an, dass die Resonatormoden spektral viel schärfer als die
Spektrallinie sind (δνR ≪ ∆ν).
Für die Resonator-Mode mit Resonanzfrequenz νR gilt:
u(ν) dν = u(νR )δνR = hν nγ .
(6.3.7)
Die zeitliche Änderung der Photonendichte in der Resonator-Mode ist gegeben durch:
!
g2
dnγ
= A21 N2 + (hν nγ ) g(νR ) B21 N2 − N1 .
dt
g1
6-12
(6.3.8)
6.3 Laser
Änderung der Intensität IνR (z) = c hνR nγ beim Durchlaufen des Lasermediums bei Vernachlässigung der spontanen Emission:
!
hνR
g2
dIνR
= IνR (z)g(νR )
B21 N2 − N1 .
dz
c
g1
(6.3.9)
Mit den Beziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten folgt:
dIνR
= γ(νR )IνR (z)
dz
(6.3.10)
mit dem Verstärkungsfaktor
!
g2
c2
N2 − N1 .
γ(νR ) = g(νR )
2
8πνR τsp
g1
(6.3.11)
γ(ν) wird auch Kleinsignalverstärkung genannt.
Beispiel: Abschätzung des Verstärkungsfaktors für das Maximum der Emissionslinie eines
Rubinlasers
Rubin (Al2 O3 , dotiert mit Cr3+ )
ν0 = 4.326 · 1014 Hz ⇒ λ = 694.3nm
τsp = 3ms
n=1.78
−12
g(ν
s
= 5 · 10
0 ) ≈ 1/∆ν
g2
17
N2 − g1 N1 = 5 · 10 cm− 3 mit Blitzlampe als Pumpquelle.
Damit: γ(ν) = 0.05cm−1
6.3.2 Schwellenbedingung für Laseroszillation
Beschreibe Verluste (Streuung, Absorption, etc) im Lasermedium durch Verlustkonstante
α(ν)
Damit:
IνR (z) = IνR (0) exp [(γ(ν) − α(ν))z] .
(6.3.12)
Betrachte jetzt Lasermedium + Resonator:
6-13
6 Quanteneigenschaften von Licht
L
Lasermedium
R1
R2
Abbildung 6.6: Lasermedium in Fabry-Perot-Resonator.
• Länge des Laserkristalls: L.
• Reflexionsgrade der Spiegel. R1 und R2 .
Nach einem kompletten Umlauf ist die Intensität gegeben durch:
IνR (2L) = IνR (0) exp((γ(ν) − α(ν))2L)R1 R2 .
(6.3.13)
Schwellenbedingung für Lasertätigkeit:
IνR (2L) = Iν (0)
(6.3.14)
Zugehörige Schwellenverstärkung:
γthr (ν) = α(ν) −
1
ln(R1 R2 )
2L
(6.3.15)
Schwellenbedingung für Besetzungsinversion (Schawlow & Townes):
σthr
1
8πν 2 τsp
α(ν) −
ln(R1 R2 )
= 2
c g(ν)
2L
(6.3.16)
6.3.3 Erzeugung der Besetzungsinversion
Problem: Besetzungsinversion für Laserbetrieb nur schwer für 2-Niveau-System erreichbar.
Lösung: 3-Niveau-Laser und 4-Niveau-Laser.
Ziel: Besetzungsinversion zwischen oberen Laser-Niveau |2> und unterem Laser-Niveau
|1>
• Durch Energiezufuhr wird ein Teil der Atome aus dem Grundzustand |0> bzw. |1>
in das Pump-Niveau |3> angeregt.
6-14
6.3 Laser
• Schneller Übergang in das langlebige obere Laserniveau |2>.
• Laserübergang zwischen dem oberen Laser-Niveau |2> und dem unteren LaserNiveau |1>.
• 4-Niveau Laser: schneller Übergang aus dem unteren Laserniveau |1> in den Grundzustand |0>.
Vorteil 4-Niveau Laser: Besetzungsinversion zwischen Laser-Niveaus selbst für fast vollständige Besetzung des Grundzustands möglich ⇒ geringe Pumpleistung nötig.
(a)
(b)
3-Niveau-Laser
4-Niveau-Laser
|3>
Pumpen
|3>
τ32
|2>
Laser
Pumpen
τ32
|2>
τ21
Laser
τ21
τ10
|1>
τ20
|1>
|0>
Abbildung 6.7: Energieniveaus und Raten für (a) idealen 3-Niveau-Laser und (b) idealen 4Niveau-Laser.
N2-N1, Pe
Ps
sthr
R thr
2 R thr
Pumprate R
Abbildung 6.8: Differenz der Besetzungsdichten der Laserniveaus (blau) und die durch stimulierte Emission emittierte Leistung (rot) als Funktion der Pumprate.
Beispiele:
• 3-Niveau-Laser: Rubin-Laser, erste Demonstration eines Lasers, T. H. Maiman, Nature 187 493 (1960).
6-15
6 Quanteneigenschaften von Licht
• 4-Niveau-Laser: Nd:YAG-Laser, Emissionswellenlänge λ = 1064 nm.
6.3.4 Einige Laser-Typen
Helium-Neon-Laser
Helium
(a)
Neon
1
2 S0
Energie
23S1
5
2p 5s
Stöße
3.39 µm 5
2p 4p
5
2p 4s
0.63µm
2p53p
1.15 µm
2p53s
Elektron-Atom
Anregung
Rekombination
durch Stöße
Grundzustand
(b)
R=100%
R<100%
: Helium
: Neon
Brewster-Fenster
Spannungsquelle
Abbildung 6.9: (a) Schematische Darstellung der Anregungs- und Rekombinationsprozesse beim
HeNe-Laser (b) Schematische Darstellung eines HeNe-Lasers.
• Erste Publikation: A. Javan et al., Phys. Rev. Lett. 6, 106 (1961)
• Gaslaser mit Helium als Pumpgas und Neon als Lasergas.
• Druck in Laserröhre: 100 Pa; Partialdruck Helium/Neon: 10/1.
• Zündspannung: 10-15 kV; Entladungsspannung nach Zündung: 1-2 kV mit 1-30 mA
Strom.
6-16
6.3 Laser
• Pumpmechanismus: Metastabile He-Zustände werden durch Elektronenstöße angeregt; Energieübertrag auf angeregte Neon-Zustände durch Stöße 2. Art.
• Technisch ist vor allem die Laserlinie bei λ = 632.8 nm von Bedeutung: Interferometer, Justage-Laser.
Titan-Saphir-Laser
Pump Laser
HR
Ti:Sa
P2
OC
P1
Abbildung 6.10: Schematischer Aufbau eines fs-Ti:Sa-Lasers. HR: High Reflector (R ≈ 100%),
OC: Output Coupler (R ≈ 98%). Die Prismen P1 und P2 dienen zur Dispersionskontrolle.
• Erste Publikation: P. F. Moulton, J. Opt. Soc. Am. B 3, 125 (1986).
• Festkörperlaser: Ti3+ -Ionen in AL2 O3 -Wirtskristall, Kristallfeld-Effekte und Ankopplung an Phononen verbreitern Energie-Niveaus des Ti3+ -Ionen.
• Optisches Pumpen, Absorptionsbereich: 370 nm - 670 nm.
• Spektral breiter Verstärkungsbereich: 670 nm - 1100 nm; Maximum bei 800 nm.
• Wichtige Anwendung: Erzeugung von fs-Impulsen mittels Modenkopplung.
Halbleiter Dioden-Laser
• Erste Publikation: R. N. Hall et al., Phys. Rev. Lett. 9, 366 (1962).
• Prinzip: Hochdotierter p-n-Übergang; Betrieb in Durchlassrichtung; Elektrische
Bandlücke bestimmt Emissionswellenlänge. Vorteil: Elektrisches Pumpen möglich!
• Problem beim Homojunction-Laser: Großes Volumen der aktiven Zone. Daher: Hohe
Stromdichten, nur gepulster Betrieb möglich, Kühlung erforderlich!
6-17
6 Quanteneigenschaften von Licht
(a)
(b)
p
GaAs
n
GaAs
R≈0.3
EFC
EC
EC
EG
eU
EV
EFV
+U
-
p
n
EV
laktiv
Abbildung 6.11: (a) Bandstruktur eines Homojunction-Laser. Die Dicke der aktiven Schicht wird
durch die Diffussionslängen der Minoritätsladungträger bestimmt. (b) Kantenstrahler: Die Resonatorspiegel werden durch die Endfacetten des Hl-Kristalls
definiert (senkrecht zur Stromrichtung) .
p
AlxGa1-xAs
i
n
AlxGa1-xAs
GaAs
EC
EFC
EC
EV
EFV
EV
laktiv
Abbildung 6.12: (a) Bandstruktur eines Double-Heterojunction-Laser. Die Dicke der aktiven
Schicht wird durch die Dicke der mittleren HL-Schicht bestimmt.
• Double-Heterojunction Laser: Ladungsträger werden durch elektrische Bandstruktur
besser in der aktiven Zone gehalten; zusätzlich: optischer Wellenleitereffekt durch
Brechzahlprofil ⇒ niedrige Stromdichten, CW-Betrieb.
• Resonatortypen:
– Kantenemitter: Fabry-Perot Resonator, Bruchflächen dienen als Spiegel.
– Distributed feedback laser: Rückkopplung über periodische Struktur.
– Vertical cavity surface emitting laser (VCSEL): Dielektrische Spiegel (1D photonischer Kristall), Lichtemission senkrecht zu Grenzflächen.
• Zahlreiche Anwendungen: Telekommunikation, Pumplaser, DVDs, ...
6-18
6.4 Äußerer Photoeffekt
6.4 Äußerer Photoeffekt
Durch Bestrahlung mit kurzwelligem Licht können Elektronen aus einem Halbleiter
oder einem Metall herausgelöst werden. Dieses Phänomen wird äußerer Photoeffekt oder
Hallwachs-Effekt genannt.
Experiment: Äußerer Photoeffekt.
I
hn=const
hn
U0
U
-e U0
Kathode Anode
- +
U>0
0
I
Wa
hng
hn
Abbildung 6.13: Links: Experiment zum Nachweis des äußeren Photoeffekts. Rechts: Schematische Darstellung der experimentellen Ergebnisse.
Der in Abbildung 6.14 schematisch dargestellte experimentelle Aufbau eignet sich für eine
quantitative Untersuchung des Effekts. Die beleuchtete Kathode befindet sich zusammen
mit der unbeleuchteten Anode in einem evakuierten Glasgefäß. Zwischen den Elektroden wird eine Spannung U angelegt und der Strom I als Funktion der Frequenz ν und
der Leistung P des eingestrahlten Lichts gemessen. Die maximale kinetische Energie der
max
Elektronen Ekin
wird durch das Anlegen einer Gegenspannung U0 bestimmt. Folgende
Resultate können beobachtet werden:
• Um Elektronen aus der Kathode herauszulösen muss das eingestrahlte Licht eine
Frequenz besitzen, die größer als eine materialspezifische Grenzfrequenz νg ist.
6-19
6 Quanteneigenschaften von Licht
max
• Die maximale kinetische Energie der Photoelektronen Ekin
hängt nur von der
Lichtfrequenz ν ab, nicht aber von der Lichtleistung P . Experimentell findet man:
max
Ekin
∝ ν.
• Zwischen Lichteinfall und Elektronenemission gibt es keine messbare zeitliche Verzögerung.
• Die Zahl der Photoelektronen ist proportional zur Lichtleistung.
Mit Ausnahme der letzten Beobachtung sind die Befunde im Widerspruch zur klassischen
Elektrodynamik. Albert Einstein lieferte 1905 eine Erklärung auf der Basis der Lichtquanten. Hiernach gibt ein absorbiertes Photon seine gesamte Energie hν an ein Elektron ab.
Die maximale kinetische Energie des freigesetzten Elektrons folgt dann aus:
max
Ekin
= hν − Wa .
(6.4.1)
Wa ist die sogenannte Austrittsarbeit, die die Bindung des Elektrons im Kathodenmaterial
charakterisiert.
Mit1
max
Ekin
= −eU0
(6.4.2)
−eU0 = hν − Wa .
(6.4.3)
folgt:
Der äußere Photoeffekt ermöglicht also eine experimentelle Bestimmung des Planckschen
Wirkungsquantum, in dem wir die Steigung der Gerade U0 (ν) bestimmen. Aus dem Achsenabschnitt folgt die Austrittsarbeit Wa .
Abbildung 6.14: Sonderbriefmarke „Lichtelektrischer Effekt“ in Einsteins 100. Geburtsjahr.
Quelle: Wikipedia.
Anwendung: Der Photoelektronenvervielfacher (engl. Photomultiplier Tube, PMT) besteht aus einer Photokathode mit nachgeschaltetem Sekundärelektronenvervielfacher.
1
Beachte: U0 < 0!
6-20
6.4 Äußerer Photoeffekt
Abbildung 6.15: Schematischer Aufbau eines Photomultipliers (Quelle: Wikipedia).
Experiment: PMT.
• Wellenlängenbereich wird durch Kathodenmaterial (und Fenster) bestimmt. Typische Kathodenmaterialien:
– Solar blind Kathoden (nur UV): Cs-Te, Cs-I
– UV-Vis: Cs-Sb
– Vis-NIR: Ag-O-Cs, GaAs (Cs)
• Typische Quanteneffizienzen2 : η = 0.01 · · · 0.3 (abhängig von Material und Wellenlänge).
• Interner Verstärkungsfaktor G zwischen Kathodenstrom Ik und Anodenstrom Ia :
Ia = GIk
(6.4.4)
Für N Dynoden und einem Verstärkungsfaktor δ pro Dynode gilt:
G = δN .
(6.4.5)
Typische Werte: δ = 5 und N = 9 ⇒ G ≈ 2 × 106 .
• Empfindlichkeit3 :
R=
2
3
ηGe
~ω
(6.4.6)
Die Quanteneffizienz gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Photon ein Elektron freisetzt.
Die Empfindlichkeit ist das Verhältnis von gemessenem Strom und eingestrahlter Lichtleistung.
6-21
6 Quanteneigenschaften von Licht
Typische Werte: R = 1 × ×105 A/W
• Haupt-Rauschquelle: Thermionische Emission von Elektronen aus der Photokathode
oder den Dynoden.
• Betriebsmodi:
– Geringe Lichtintensität: Zählmodus (Geiger-Modus)
Sehr große Verstärkung G und kleiner Lastwiderstand RL
⇒ Einzelne Spannungsimpulse von einigen ns Länge die mit Zählelektronik
verarbeitet werden können.
⇒ Nachweis einzelner Photonen!
– Größere Lichtintensitäten: Strommodus
Geringere Verstärkung G, Lastwiderstand ist an erforderliche Bandbreite
angepasst
6.5 Compton-Effekt
Arthur Holly Compton entdeckte 1922 bei Streuexperimenten von Röntgenstrahlung an
Graphit, dass die Wellenlänge der gestreuten Strahlung größer als die der einfallenden
Strahlung ist. Zudem beobachtete er eine starke Abhängigkeit der Wellenlänge der gestreuten Strahlung vom Streuwinkel ϕ. Im Photonenmodell können diese Beobachtungen
als direkter elastischer Stoß zwischen einem Photon mit der Energie E = hν und dem
Impuls p = ~k = ek hν/c an einem schwach gebundenen Elektron verstanden werden.
Experiment: Compton-Effekt.
Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass sich das Elektron vor dem Stoß in Ruhe befindet.
Vor dem Stoß:
• Photon: Energie: Eiγ = hνi , Impuls: pγi = ~ki
• Elektron: Energie: Eie = m0 c2 , Impuls: pei = 0
Nach dem Stoß:
• Photon: Energie: Eoγ = hνo , Impuls: pγo = ~ko
• Elektron: Energie: Eoe , Impuls pe0
6-22
6.5 Compton-Effekt
ħko
ħki
φ
poe
Abbildung 6.16: Compton-Streuung eines Photons an einem Elektron.
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt:
hνi + m0 c2 = hνo + Eoe .
(6.5.1)
Die Energie-Impuls-Beziehung der speziellen Relativitätstheorie liefert für das Elektron
nach dem Stoß:
Eoe = q
m0 c2
1 − (v/c)2
(6.5.2)
.
Durch Einsetzen in Gleichung (6.5.1) und Quadrieren erhalten wir
hνi − hνo + m0 c2
2
=
m20 c4
.
1 − (v/c)2
(6.5.3)
Eine kurze Rechnung liefert schließlich:
h2
m20 v 2
=
(νi − νo )2 + 2h (νi − νo ) m0 .
2
2
1 − (v/c)
c
(6.5.4)
Anwenden des Impulserhaltungssatzes ergibt:
~ki = ~ko + peo
(6.5.5)
mit
peo = q
mo v
1 − (v/c)2
.
(6.5.6)
6-23
6 Quanteneigenschaften von Licht
Umformen nach peo und Quadrieren liefert
h2 2
m20 v 2
2
=
ν
+
ν
−
2ν
ν
cos(ϕ)
.
i 0
o
1 − (v/c)2
c2 i
(6.5.7)
Hier ist ϕ der Winkel zwischen Einfallsrichtung und Streurichtung des Photons.
Durch den Vergleich von Gleichung (6.5.4) und (6.5.7) finden wir:
(νi − νo ) =
h
νi νo [1 − cos(ϕ)] .
m0 c2
(6.5.8)
Durch Umrechnung in Wellenlängen und mit (1 − cos(ϕ)) = 2 sin2 (ϕ/2) erhalten wir
schließlich die Compton-Streuformel:
λo − λi = 2λc sin2 (ϕ/2)
(6.5.9)
mit der Compton-Wellenlänge
λc =
h
= 2.4262 × 10−12 m.
mo c
(6.5.10)
6.6 Eigenschaften des Photons - Zusammenfassung
Anhand der in diesem Kapitel vorgestellten Phänomene können wir schließen, dass Licht
Teilcheneigenschaften besitzt. Monochromatisches Licht der Frequenz ν setzt sich demnach im Teilchen-Bild aus einem Strom von Lichtquanten (Photonen) mit der Energie
hν zusammen. Experimentell können die folgenden Eigenschaften des Photons ermittelt
werden:
• Energie eines Photons:
E = hν = ~ω.
(6.6.1)
• Impuls eines Photons:
p = ~k.
(6.6.2)
• Drehimpuls des Photons (Photonen-Spin):
s = ±~
k
.
|k|
k
Linkszirkular polarisiertes Licht (σ + -Polarisation): s = ~ |k|
.
k
−
Rechtszirkular polarisiertes Licht (σ -Polarisation): s = −~ |k|
.
6-24
(6.6.3)
6.6 Eigenschaften des Photons - Zusammenfassung
Steht das Photonen-Bild im Widerspruch zum Wellencharkter des Lichts?
Experiment: Beugung an einem Spalt mit einzelnen Photonen.
Licht besitzt sowohl Teilchen als auch Wellencharakter!
Eine konsistente Beschreibung aller Lichteigenschaften ist im Rahmen der QuantenElektro-Dynamik (QED) möglich.
6-25
7 Elemente der Quantenmechanik
Das vorherige Kapitel hat gezeigt, dass Licht sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften aufweisen kann. Dieser duale Charakter tritt besonders deutlich beim Doppelspaltversuch mit einzelnen Photonen hervor. Im Folgenden werden wir sehen, dass auch Teilchen
wie etwa Elektronen Wellencharakter besitzen.
7.1 Materiewellen
7.1.1 De Broglie-Wellenlänge
Louis de Broglie machte 1924 den Vorschlag, die Beziehung p = ~k (~ = h/2π) auch auf
Teilchen mit der Masse m anzuwenden. Mit Ekin = p2 /2m (nichtrelativistisches Teilchen)
und k = 2π/λD folgt die De-Broglie Wellenlänge:
λD = √
h
.
2mEkin
(7.1.1)
Beispiel: De-Broglie Wellenlänge eines Elektrons nach der Beschleunigung durch eine
Spannung U=100 V.
• Kinetische Energie: Ekin = eU .
• Elektronenmasse: me = 9.1 × 10−31 kg
• Elementarladung: e = 1.6 × 10−19 C
• Plancksche Konstante: h = 6.63 × 10−34 Js
⇒ De-Broglie Wellenlänge: λD = 1.2 × 10−10 m
7-1
7 Elemente der Quantenmechanik
7.1.2 Beugung und Interferenz von Elektronen
Elektronen-Biprisma
Der Wellencharakter von Elektronen kann mit Hilfe eines Elektronen-Biprismas nachgewiesen werden. Hierzu wird ein metallisierter Quarzfaden mit einem Elektronenstrahl
beleuchtet. Durch das Anlegen einer positiven Spannung an den Faden werden die Elektronen, die den Faden passieren, abgelenkt. Auf einem Leuchtschirm hinter dem Faden
tritt dann im Überlappungsbereich der beiden Teilwellen ein Interferenzmuster auf.
Elektronen-Biprisma
+
Detektor
Abbildung 7.1: Elektronen-Biprisma und Interferenzmuster von Elektronen. Die Integrationszeit
des Detektors nimmt von a nach e zu. Quelle: Wikipedia, modifiziert.
7.1.3 Beugung von Elektronen am Kristallgitter
Im Folgenden wollen wir die Beugung eines Elektronenstrahls an einem Kristall betrachten. Wir nehmen hierzu an, dass wir die Elektronen durch eine ebene Welle mit der
De-Broglie Wellenlänge λD beschreiben können. Die Atome des Kristalls bilden parallele
Gitterebenen, an denen die Elektronenwelle teilweise reflektiert wird.
Die reflektierten Teilwellen interferieren genau dann konstruktiv, wenn der Weglängenunterschied zweier Teilwellen ein ganzzahliges Vielfaches n von λD ist. Mit Abbildung 7.2
folgt die Bragg-Bedingung:
2d sin(θ) = nλD .
(7.1.2)
Hierbei ist d der Abstand zweier benachbarter Gitterebenen und θ der Winkel zwischen
Einfallsrichtung und der Gitterebene.
7-2
7.1 Materiewellen
q
d
d sin(q) q
Abbildung 7.2: Bragg-Beugung einer Elektronenwelle am Kristallgitter.
Die Bragg-Bedingung wird bei einem Einkristall und einem monoenergetischen Elektronenstrahl (konstante Wellenlänge λD ) bei vorgegebener Kristallorientierung nur für ausgewählte Richtungen erfüllt. Wird der Elektronenstrahl hingegen an einer polykristallinen
Probe gebeugt, so beobachtet man konzentrische Ringe um die Einfallsrichtung mit vollem
Öffnungswinkel 4θ (Debye-Scherrer Ringe).
Graphit-Folie
Beugungsring
Leuchtschirm
Abbildung 7.3: Links: Elektronenbeugungsröhre mit dünner Graphit-Folie. Rechts: Fluoreszenzschirm mit Beugungsringen.
Experiment: Beugung von Elektronen an Graphit.
Setzt man die De-Broglie Wellenlänge der Elektronen in die Bragg-Bedingung ein, so
erhält man:
sin(θ) =
nh
√
.
2d 2meU
(7.1.3)
Der Öffnungswinkel der Debye-Scherrer Ringe nimmt also mit zunehmender Beschleunigungsspannung U ab.
7-3
7 Elemente der Quantenmechanik
7.2 Quantenstruktur der Atome
7.2.1 Atomspektren
Abbildung 7.4: Spektrallampen (Ne, Hg, Na) mit zugehörigen Spektren. Bild: Wikipedia.
Im Gegensatz zu einem schwarzen Körper emittieren viele Gasentladungslampen Licht
nur bei spezifischen Frequenzen. Aus einer Vielzahl von Untersuchungen ergeben sich die
folgenden experimentellen Befunde:
• Jede Frequenz die von einem bestimmten Gas emittiert wird kann auch von diesem
absorbiert werden. So beobachtet man etwa diskrete Linien (Fraunhoferlinien) im
kontinuierlichen Spektrum der Sonne durch Absorption der entsprechenden Gase in
der Sonnen-Photosphäre.
• Das Emissions- bzw. Absorptionsspektrum ist charakteristisch für jede Atomsorte
und kann somit als ”Fingerabdruck“ für die Elementanalyse verwendet werden.
• Die spektrale Breite der Linien ist nicht beliebig scharf.
Diese Befunde lassen sich erklären, wenn wir annehmen, dass die Atome diskrete Energieniveaus aufweisen. Durch die Emission bzw. Absorption eines Photons mit passender
Energie können Übergänge zwischen diesen Niveaus erfolgen.
Die Frequenzen ν der Emissionslinien von Wasserstoff können im sichtbaren Spektralbereich durch die folgende im Jahre 1885 von Johann Jakob Balmer empirisch gefundene
Formel beschrieben werden:
!
c
1
1
ν = = cRy
− 2 ,
2
λ
n1 n2
(7.2.1)
mit n1 = 2 und n2 = 3, 4, 5, . . .. Ry = 1.0973731534 · 107 m−1 ist die sogenannte Rydbergkonstante (in Wellenzahlen).
7-4
7.2 Quantenstruktur der Atome
Später wurden von Theodore Lymann und Friedrich Paschen weitere Wasserstoff-Linien
entdeckt, deren Frequenzen sich mit der obigen Formel und n1 = 1 (Lymann-Serie) bzw.
n1 = 3 (Paschen Serie) beschreiben lassen.
Hε Hδ Hγ
Hβ
Hα
Abbildung 7.5: Sichtbarer Bereich des Wasserstoffspektrums. Die abgebildeten Linien gehören
zur Balmer-Serie ( λHα = 656.3 nm, λHβ = 486.1 nm, λHγ = 434, 0 nm, λHδ =
410.2 nm, λHǫ = 397.0 nm ). Bild: Wikipedia (modifiziert).
7.2.2 Franck-Hertz Versuch
Atome können nicht nur durch Licht, sondern auch durch Stoßprozesse angeregt werden.
Der Franck-Hertz Versuch zeigt, dass auch in diesem Fall diskrete Energieniveaus der
Atome eine Rolle spielen.
K
G
e
A
Hg
I
- +
U
+ ΔU
Abbildung 7.6: Prinzipschaltbild des Franck-Hertz Versuchs.
7-5
7 Elemente der Quantenmechanik
Abbildung 7.6 zeigt eine schematische Darstellung des Franck-Hertz Versuchs. In einer
Glasröhre befindet sich Quecksilberdampf mit einem Druck von ca. 102 Pa. Elektronen
werden von der Glühkathode K emittiert und durch das Anlegen einer Spannung U hin
zum Gitter G beschleunigt. Die Anode A ist hinter dem Gitter angebracht und befindet
sich auf dem Potential U −∆U . Somit werden die Elektronen nach der Passage des Gitters
abgebremst und nur die Elektronen erreichen die Anode, deren kinetische Energie beim
Passieren des Gitters mindestens e∆U beträgt.
I (w. E.)
300
4.9 V
200
100
0
0
5
10
15
U (V)
Abbildung 7.7: Elektronenstrom I als Funktion der Beschleunigungsspannung U in einer Röhre
mit Quecksilberdampf. Quelle: Wikipedia.
Trägt man den Anodenstrom I als Funktion der Gitterspannung U auf, so erhält man den
in Abbildung 7.7 dargestellten Zusammenhang. Im Bereich von U = 0 V bis U ≈ 4.9 V
steigt der Strom monoton an. Anschließend fällt I in einem kleinen Spannungsbereich
wieder ab um für noch größere U wieder anzusteigen. Für U ≈ 9.8 V wird ein zweites
Maximum beobachtet, dem ein erneuter Stromabfall folgt, etc.
Die experimentellen Ergebnisse lassen sich durch inelastische Stöße der Elektronen mit den
Hg-Atomen erklären, bei denen die Hg-Atom aus dem Grundzustand in einen angeregten
Zustand übergehen. Hierbei verringert sich die kinetische Energie der Elektron gerade
um den zur Anregung notwendigen Betrag von ∆Ekin = 4.9 V. Ist die kinetische Energie
der Elektronen beim Erreichen des Gitters dann kleiner als e∆U , so kann die zwischen
Gitter und Anode angelegte Gegenspannung ∆U nicht überwunden werden und I fällt ab.
Elastische Stöße, bei denen sich der interne Zustand der Hg-Atome nicht ändert, spielen
aufgrund der großen Massendifferenz zwischen Elektron und Hg-Atom keine Rolle.
7-6
7.2 Quantenstruktur der Atome
7.2.3 Rutherfordsches Atommodell
Im Jahre 1909 führten Ernest Rutherford, Hans Geiger und Ernest Marsden Streuexperimente durch, um die Struktur der Atome zu untersuchen. Als Projektile verwendeten
sie α-Teilchen (doppelt ionisierte Heliumkerne) die beim radioaktiven Zerfall von Radium
mit einer kinetischen Energie von einigen MeV freigesetzt werden. Beim Beschuss einer
dünnen Goldfolie mit den α-Teilchen machten sie die folgenden Beobachtungen:
• Die meisten α-Teilchen können die Goldfolie ungehindert passieren.
• Bei wenigen α-Teilchen wird eine Ablenkung beobachtet. Hierbei nimmt die Wahrscheinlichkeit mit dem Streuwinkel ϑ ab.
• In extrem wenigen Fällen wird sogar eine Rückwärtsstreuung (ϑ ≈ 180◦ ) der αTeilchen beobachtet.
Eine moderne Version des Rutherford-Experiments ist in Abbildung 7.8 dargestellt.
Gold-Folie
Geiger-Müller
Zählrohr
Americium 241
α-Strahler
Abbildung 7.8: Rutherford-Experiment.
Experiment: Rutherford Streuung.
Eine genaue Analyse der Messdaten zeigt, dass die Streurate N als Funktion des Streuwinkels ϑ durch
N∝
1
sin4
ϑ
2
(7.2.2)
beschrieben werden kann.
7-7
7 Elemente der Quantenmechanik
Ereignisse
10
10
5
4
10
3
102
10
1
0
50
100
150
ϑ (°)
Abbildung 7.9: Links: Streuung von α-Teilchen an Gold Atomen. Quelle: Institute of Physics.
Rechts: Zugehörige Zählraten.
E. Rutherford schloss1 aus den Messergebnissen, dass die positive Ladung des Atoms in
einem kleinen Raumbereich im Zentrum des Atoms konzentriert sein muss. Die α-Teilchen
werden praktisch nur an diesem Atomkern abgelenkt, da ein Elektron eine viel geringere
Masse als das α-Teilchen besitzt.
7.2.4 Bohrsches Atommodell
Nils Bohr stellte im Jahr 1913 ein Modell vor, mit dem sich viele der damals bekannten
experimentellen Befunde aus dem Bereich der Atomphysik konsistent beschreiben ließen.
Er musste hierzu allerdings eine Reihe von ad-hoc Annahmen treffen, die im Widerspruch
zur klassischen Physik stehen.
Das Bohrsche Atommodell geht von einem Elektron mit Masse me aus, dass mit einer
Geschwindigkeit v auf einer kreisförmigen Bahn mit Radius r um den Kern mit Ladung
+Ze und Masse mK läuft. Aus der Bedingung Zentripetalkraft = Coulombkraft folgt:
µv 2
1 Ze2
=
.
r
4πǫ0 r2
(7.2.3)
Hierbei ist µ = (me mk )/(me + mk ) ≈ me die reduzierte Masse.
1
It was quite the most incredible event that has ever happened to me in my life. It was almost as
incredible as if you fired a 15-inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hit you. On
consideration, I realized that this scattering backward must be the result of a single collision, and when
I made calculations I saw that it was impossible to get anything of that order of magnitude unless you
took a system in which the greater part of the mass of the atom was concentrated in a minute nucleus.
It was then that I had the idea of an atom with a minute massive centre, carrying a charge.
-Ernest Rutherford
7-8
7.2 Quantenstruktur der Atome
n=2
n=1
+Ze
a0
hn
Abbildung 7.10: Bohrsches Atommodell. Das Elektron geht im hier gezeigten Fall von der zweiten Kreisbahn (n = 2) in die erste Kreisbahn (n = 1) über und sendet hierbei
ein Photon der Energie hν = En=2 − En=1 aus.
Nach den Gesetzen der klassischen Physik sind alle Kreisbahnen erlaubt, die die obige Beziehung erfüllen. Man erwartet daher aus klassischer Sicht keine diskrete atomare
Energieniveaus. Zudem bilden das umlaufende Elektron und der Kern einen zeitlich veränderlichen Dipol, der ständig Energie abstrahlen sollte. Das Elektron würde daher bereits
nach sehr kurzer Zeit in den Kern stürzen. Das Atom sollte aus klassischer Sicht also
instabil sein!
Im Bohrschen Atommodell wird nun vorausgesetzt, dass es bestimmte stationäre Elektronenbahnen gibt, auf denen die Elektronen umlaufen können ohne Energie zu verlieren.
Laut Annahme sind diese Bahnen gerade stehende Wellen, für die der Umfang der Kreisbahn ein ganzzahliges Vielfaches n der De-Broglie Wellenlänge λD ist:
2πr = nλD .
(7.2.4)
Mit λD = h/(µv) folgt daraus für die Elektronengeschwindigkeit:
v=
nh
.
2πµr
(7.2.5)
Einsetzen dieser Beziehung in Gleichung (7.2.3) liefert die Bedingung für die Radien der
erlaubten stationären Elektronenbahnen:
r=
n2
n2 h2 ǫ0
a0 .
=
πµZe2
Z
(7.2.6)
In der letzten Umformung haben wir den Bohrschen Radius
a0 =
ǫ0 h2
≈ 0.5Å
πµe2
(7.2.7)
7-9
7 Elemente der Quantenmechanik
eingeführt. a0 ist der Radius der kleinsten stationären Elektronenbahn (n = 1) des Wasserstoffatoms (Z = 1).
Die Gesamtenergie des Elektrons in einer stationären Bahn ist gegeben durch
1
Z2
Ze2
En = Ekin + Epot = µv 2 −
= −Ry∗ 2
2
4πǫ0 r
n
(7.2.8)
mit der Rydbergkonstanten (in Energieeinheiten)
Ry∗
µe4
= 2 2.
8ǫ0 h
(7.2.9)
Die stationären Elektronenzustände können im Bohrschen Atommodell also nur bestimmte diskrete Energien En annehmen, die durch die Quantenzahl n = 1, 2, 3, . . . festgelegt
sind.
Ry∗ hängt von der reduzierten Masse ab und ist daher für verschiedene Atomsorten unterschiedlich groß. Da der Atomkern aber in allen Fällen viel schwerer als das Elektron ist,
können wir in sehr guter Näherung annehmen, dass µ = me gilt. Wir erhalten dann den
Wert
R∞ = 13.61 eV.
(7.2.10)
Um die experimentelle beobachteten Linienspektren zu erklären, wird nun postuliert,
dass nur Übergänge von einem stationären Elektronenzustand mit Energie En1 zu einem
anderen stationären Elektronenzustand mit Energie En2 möglich sind (Quantensprung).
So kann das Atom von einem tieferen Energiezustand En1 in einen höheren Energiezustand
En2 durch die Absorption eines Photons mit Photonenenergie
hν = En2 − En1
(7.2.11)
übergehen. Umgekehrt wird beim Übergang von einem energetisch höheren stationären
Zustand En′1 zu einem energetisch tieferen stationären Zustand En′2 ein Photon mit der
Energie hν = En′1 − En′2 emittiert. Mit Gleichung (7.2.8) ergibt sich für die Emissionsfrequenz:
!
R∞ 2 1
1
ν=
− ′2 .
Z
′2
h
n2
n1
(7.2.12)
Insbesondere gilt für Wasserstoff (Z = 1):
R∞
ν=
h
!
1
1
− ′2 .
′2
n2
n1
(7.2.13)
Das Bohrsche Atommodell liefert also eine Erklärung für die empirisch gefundene Formel
(7.2.1). Die Balmer-Serie beinhaltet die Übergänge, bei denen das Elektronen aus einem
stationären Zustand mit n′1 = 3, 4, 5, . . . in den Zustand mit n′2 = 2 unter Emission eines
Photons wechselt.
7-10
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
n=6
n=5
n=4
n=3
0
Energie (eV)
−2
n=2
−4
BalmerSerie
−6
−8
−10
−12
−14
LymanSerie
n=1
Abbildung 7.11: Energieniveaus eines Wasserstoffatoms nach dem Bohrsches Atommodell.
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion,
Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
Zur Beschreibung eines Teilchens (z.B. eines Elektrons) mit Masse m führen wir im Rahmen der Quantenmechanik eine Wellenfunktion Ψ(r, t) ein. Die Wellenfunktion ist im
allgemeinen eine komplexe Größe.
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu einem Zeitpunkt t in einem Volumenelement dr
anzutreffen ist proportional zum Absolutquadrat der Wellenfunktion:
W (r, t) dr = |Ψ(r, t)|2 dr.
(7.3.1)
W (r, t) wird in der Literatur als Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet.
Da ein existierendes Teilchen mit Sicherheit irgendwo im Raum zu finden ist, gilt:
Z Z Z
|Ψ(r, t)|2 dr = 1
(7.3.2)
Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion für ein Teilchen der Masse m in einem
Potential V (r, t) wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
∂Ψ(r, t)
−~2 2
∇ Ψ(r, t) + V (r, t)Ψ(r, t) = ı~
.
2m
∂t
(7.3.3)
7-11
7 Elemente der Quantenmechanik
Wir betrachten im folgenden zeitlich konstante Potentiale V (r). In diesem Fall wählen
wir für die Wellenfunktion einen Produktansatz:
E
Ψ(r, t) = Ψ(r)e−ı ~ t .
(7.3.4)
Einsetzen in Gleichung (7.3.3) liefert die sogenannte stationäre Schrödingergleichung:
−~2 2
∇ Ψ(r) + V (r)Ψ(r) = EΨ(r).
2m
(7.3.5)
Wie bei der Wellengleichung der Elektrodynamik gilt auch bei der stationären Schrödingergleichung das Superpositionsprinzip. Sind Ψ1 und Ψ2 Lösungen, so ist auch aΨ1 + bΨ2
eine Lösung der stationären Schrödingergleichung. a und b sind konstante, komplexe Koeffizienten.
7.3.1 Freies Teilchen
Wir betrachten nun zuerst ein freien Teilchens mit V (r) = 0. Im eindimensionalen Fall
lautet die stationäre Schrödingergleichung:
−~2 ∂ 2 Ψ(x)
= EΨ(x).
2m ∂x2
(7.3.6)
Mit dem Ansatz einer ebenen Welle
Ψ(x) = Ceıkx
(7.3.7)
folgt aus der stationären Schrödingergleichung
(~k)2
= E.
2m
(7.3.8)
Mit der Beziehung p = ~k finden wir die Dispersionsrelation
E=
p2
.
2m
(7.3.9)
E ist also in diesem Fall die kinetische Energie des Teilchens.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer ebenen Welle ist räumlich konstant, d.h. das zugehörige Teilchen ist über den gesamten Raum „verschmiert“. Der zugehörige Impuls des
Teilchens p = ~k ist dagegen genau bekannt.
7-12
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
4
Photon
Partikel
3.5
3
Energie
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
Wellenzahl
1.5
2
Abbildung 7.12: Dispersionsrelationen für ein Photon und ein freies Teilchen der Masse m.
Das Superpositionsprinzip erlaubt es uns nun Wellenpakete zu konstruieren, die zu einer
räumlichen Lokalisierung der Materiewelle führen:
Ψ(x, t) =
Z∞
Ψ̃(k) eı(kx−
) dk.
E(k)
t
~
(7.3.10)
−∞
Hierbei beschreibt der Ψ̃(k) das Gewicht der einzelnen ebenen Wellen mit Wellenzahl k.
Ψ(x, 0) und Ψ̃(k) sind per Fourier-Transformation miteinander verknüpft.
Wir betrachten nun als instruktives Beispiel ein Gauss-Paket:
√
a −(a/2)2 (k−k0 )2
e
.
Ψ̃(k) =
(2π)3/4
(7.3.11)
Die Auswertung des Integrals liefert:
2
Ψ(x, 0) =
πa2
1/4
e−x
2 /a2
eık0 x .
(7.3.12)
Das Wellenpaket hat bei x = 0 die maximale Amplitude.√ Für x1,2 = ±a/2 fällt die
Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(x, 0)|2 auf den Wert |Ψ(0, 0)|2 / e ab. Das Intervall x1 −x2 =
7-13
7 Elemente der Quantenmechanik
∆x = a wird als räumliche Breite des Wellenpakets definiert. Analog ist ∆k = 1/a die
Breite des Wellenpakets im k-Raum.
Der Ort und der Impuls des Teilchens können nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit angegeben werden. In der Wellenmechanik (wie auch in der Optik) gilt somit die
Heisenbergsche Unschärferelation:
(7.3.13)
∆x∆p ≥ ~.
Klassische Physik
p
Quantenmechanik
p
x
x
Dx Dp=ħ
Abbildung 7.13: Bahn eines Teilchen im Phasenraum. Links: klassisches Teilchen. Rechts: quantenmechanisches Teilchen.
7.3.2 Quantenmechanischer Doppelspaltversuch
In diesem Abschnitt wollen wir die quantenmechanische Version des Doppelspaltversuchs
besprechen. Hierzu betrachten wir das folgende Gedankenexperiment: Eine Glühkathode
emittiert Elektronen, die auf eine Blende mit zwei schmalen Spalten treffen. Die durch
die Spalte transmittierten Elektronen werden in der Beobachtungsebene von einem ortssensitiven Detektor nachgewiesen. Wir nehmen im folgenden an, dass die Temperatur der
Glühkathode so gering ist, dass sich zu jedem Zeitpunkt nur ein einzelnes Elektron in
der Apparatur befindet. Durch die Wahl einer langen Detektor-Integrationszeit wird der
Doppelspaltversuch mit vielen Elektronen durchgeführt.
Zunächst wollen wir den unteren Spalt schließen (siehe Abbildung 7.14 (a)). Alle nachgewiesenen Elektronen müssen daher durch den oberen Spalt von der Quelle zum Detektor
7-14
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
x
Quelle
2
2
|Ψ2|
Detektor
Ψ1
x
(b)
|Ψ1|
Quelle
Detektor
(a)
Ψ2
x
Detektor
2
2
Quelle
|Ψ1| +|Ψ2|
Ψ2
2
Ψ1
x
(d)
|Ψ1+Ψ2|
Quelle
Detektor
(c)
Licht
Ψ2
Beobachter
Abbildung 7.14: Doppelspaltversuch mit Elektronen.
gelangt sein. Die zugehörige Wellenfunktion sei Ψ1 (x) und die Wahrscheinlichkeit ein Elektron in der Beobachtungsebene an der Position x zu finden ist durch W1 (x) = |Ψ1 (x)|2
gegeben.
Analog wird das Elektron durch die Wellenfunktion Ψ2 (x) beschrieben, wenn wir anstatt
des unteren Spalts den oberen schließen (siehe Abbildung 7.14 (b)). Die entsprechende
Nachweiswahrscheinlichkeit ist dann W2 (x) = |Ψ2 (x)|2 .
Werden beide Spalte geöffnet (siehe Abbildung 7.14 (c)), so kann das Elektron auf zwei
unterschiedliche Wegen von der Quelle zum Detektor gelangen. Nach den Regeln der
Quantenmechanik müssen in diesem Fall die Wellenfunktionen der beiden Wege kohärent
überlagert werden um die Gesamtwellenfunktion zu erhalten:
Ψ(x) = Ψ1 (x) + Ψ2 .
(7.3.14)
Die Nachweiswahrscheinlichkeit des Elektrons am Ort x lautet somit:
W (x) = |Ψ1 (x) + Ψ2 |2 = W1 (x) + W2 (x) + Ψ1 (x)Ψ∗2 (x) + Ψ∗1 (x)Ψ2 (x).
(7.3.15)
7-15
7 Elemente der Quantenmechanik
Die letzten beiden Terme führen zur Ausbildung eines Interferenzmusters!
Im letzten Schritt erweitern wir unserer Gedankenexperiment um eine sehr starke Lichtquelle (siehe Abbildung 7.14 (d)). Durch die Beobachtung des am Elektron gestreuten
Lichts kann ein Experimentator entscheiden, durch welchen Spalt das Elektron zum Detektor gelangt ist. In dem gezeigten Beispiel sieht der Experimentator, dass das Elektron
den unteren Spalt passiert hat, so dass die Nachweiswahrscheinlichkeit für dieses eine
Elektron durch W2 (x) gegeben ist. Bei der Wiederholung mit vielen Elektronen ergibt
sich die Nachweiswahrscheinlichkeit zu:
W (x) = |Ψ1 (x)|2 + |Ψ2 (x)|2 = W1 (x) + W2 (x).
(7.3.16)
Die „Welcher Weg“-Beobachtung zerstört also das Interferenzmuster!
7.3.3 Potentialstufe
Als Nächstes untersuchen wir ein Teilchen, dass auf eine eindimensionale Potentialbarriere
trifft:
V (x) =
(
0 für x < 0
E0 für x ≥ 0
(7.3.17)
Für x < 0 (Gebiet I) ist die Wellenfunktion gegeben durch:
ΨI (x) = Aeıkx + Be−ikx .
(7.3.18)
Für x ≥ 0 (Gebiet II) lautet die stationäre Schrödingergleichung:
∇2 Ψ(x) +
Mit α =
q
2m
(E − E0 )Ψ(x) = 0.
~2
(7.3.19)
2m(E0 − E)/~ lauten die zugehörigen Lösungen:
ΨII (x) = Ceαx + De−αx .
(7.3.20)
Damit
Ψ(x) =
(
ΨI (x) für x < 0
ΨII (x) für x ≥ 0
eine Lösung im gesamten Bereich ist, muss Ψ überall stetig differenzierbar sein.
7-16
(7.3.21)
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
Damit gilt:
ΨI (0) = ΨII (0) ⇒ A + B = C + D
(7.3.22)
und
"
dΨI
dx
#
0
"
dΨII
=
dx
#
0
⇒ ık(A − B) = α(C − D).
(7.3.23)
1. Fall: E < E0
Für E < E0 ist α reell. Damit ΨII normierbar bleibt, muss der Koeffizient C null sein.
Aus den Stetigkeitsbedingungen folgt:
B=
ık + α
A
ık − α
(7.3.24)
D=
2ık
A.
ık − α
(7.3.25)
und
Die Wellenfunktion im Bereich I lautet somit:
"
ıkx
ΨI (x) = A e
#
ık + α −ıkx
.
+
e
ık − α
(7.3.26)
Der Bruchteil R der reflektierten Teilchen folgt aus
2
|Be−ıkx |2
|B|2 ık + α = 1.
R=
=
=
|Aeıkx |2
|A|2 ık − α (7.3.27)
Wie in der klassischen Mechanik werden also auch in der Wellenmechanik alle Teilchen reflektiert. Allerdings kann bei der Wellenmechanischen Behandlung das Teilchen ein Stück
weit in die Potentialstufe eindringen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte für x > 0 ist gegeben durch:
W (x) = |ΨII |2 = |De−αx |2 =
4k 2
|A|2 e−2αx .
α2 + k 2
(7.3.28)
Als Eindringtiefe definieren wir den Wert x = 1/(2α), für den die Wahrscheinlichkeitsdichte um den Faktor 1/e im Vergleich zur Grenzfläche abgefallen ist.
7-17
7 Elemente der Quantenmechanik
Ψ(x)
E0
E
x=0
Abbildung 7.15: Wellenfunktion für ein Teilchen, das an einer Potentialstufe reflektiert wird.
2. Fall: E > E0
Für E < E0 ist α imaginär. Wir definieren nun die reelle Größe
k ′ = ıα =
q
2m(E − E0 )/~
(7.3.29)
Die Wellengleichung im Gebiet II lautet somit:
′
′
ΨII (x) = Ce−ık x + Deık x .
(7.3.30)
Wir nehmen an, dass das Teilchen von links (x < 0) auf die Potentialstufe trifft, so dass
C = 0 gilt.
Aus den Randbedingungen folgt:
B=
k − k′
A
k + k′
(7.3.31)
D=
2k ′
A.
k + k′
(7.3.32)
und
An der Potentialstufe wird der Bruchteil R der Teilchen reflektiert, mit
2
|B|2 k − k ′ R=
=
|A|2 k + k ′ (7.3.33)
Im Gegensatz zur klassischen Mechanik werden im Falle der Wellenmechanik ein Teil der
einfallenden Teilchen reflektiert!
7-18
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
7.3.4 Tunneleffekt
Wir betrachten betrachten im Folgenden eine rechteckige Potentialbarriere der Dicke a:


 0
für x < 0 (Gebiet I)
V (x) =  E0 für 0 ≤ x ≤ a (Gebiet II)

0 für x > a (Gebiet III)
(7.3.34)
Für die Wellenfunktion wählen wir den folgenden Ansatz:
ΨI = Aeıkx + Be−ikx ,
ΨII = Ceαx + De−αx ,
ΨIII = Eeıkx .
(7.3.35)
(7.3.36)
(7.3.37)
Die Koeffizienten A,B,C,D und E folgen aus den Steigkeitsbedingungen für x = 0 und
x = a. Man findet nach einer kurzen Rechnung für eine breite Barriere (aα ≫ 1):
T ≈
16E
(E0 − E)e−2αa .
E02
(7.3.38)
Im Gegensatz zu einem klassischen Teilchen kann ein quantenmechanischen Teilchen mit
einer endlichen Wahrscheinlichkeit durch die Barriere gelangen. Dieses Phänomen wird
Tunneleffekt genannt. Der Tunneleffekt spielt zum Beispiel beim α-Zerfall eine entscheidende Rolle. In der Optik tritt der Tunneleffekt in der Form der verhinderten Totalreflexion bei einem dünnen Luftspalt zwischen zwei Glasplatten auf.
7.3.5 Teilchen in einem Potentialkasten
Wir untersuchen nun den Fall, dass das Teilchen mit Energie E auf einen Raumbereich
0 ≤ a beschränkt wird. Hierzu betrachten wir einen „Potentialtopf“ der Form
V (x) =
(
0 für 0 ≤ x ≤ a,
∞ sonst.
(7.3.39)
Für 0 ≤ x ≤ a ist die Wellenfunktion gegeben durch
Ψ(x) = Aeıkx + Be−ıkx .
(7.3.40)
7-19
7 Elemente der Quantenmechanik
Die Wellenfunktion ist aufgrund der unendlich hohen Potentialwände für x < 0 und x > a
identisch null. Daraus ergeben sich die Randbedingungen:
A+B = 0
Aeıka + Be−ıka = 0.
(7.3.41)
(7.3.42)
Aus der ersten Randbedingung folgt:
Ψ(x) = A eıka − e−ıka = 2ıA sin(kx).
(7.3.43)
Mit Hilfe der zweiten Randbedingung finden wir:
2ıA sin(ka) = 0 ⇒ k =
nπ
(n = 1, 2, 3, · · · ).
a
(7.3.44)
Einsetzen der Wellenfunktionen
Ψn (x) = 2ıA sin
nπ
x
a
(7.3.45)
in die Schrödingergleichung liefert die möglichen Energiewerte
En =
~2 π 2 2
~2 kn2
=
n.
2m
2m a2
(7.3.46)
E3
Energie
Ψ3(x)
Ψ2(x)
E2
Ψ1(x)
E1
0
0
a
x
Abbildung 7.16: Wellenfunktionen und Energieniveaus eines Teilchen im unendlich hohen Potentialkasten.
7-20
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
Das Teilchen im Potentialkasten kann also nur diskrete Energiewerte annehmen. Die minimale Energie, die sogenannte Nullpunktsenergie, ist nicht null, sondern
E1 =
~2 π 2
.
2m a2
(7.3.47)
Die Nullpunktsenergie resultiert aus der Ortsbeschränkung und der Heisenbergschen Unschärferelation.
Halbleiter-Quantenpunkte können in erster Näherung als Realisierung eines Potentialkastens aufgefasst werden.
Abbildung 7.17: Lumineszierende CdSe-Quantenpunkte. Die Größe der Quantenpunkte nimmt
von links nach rechts zu. Quelle: Wikipedia.
7.3.6 Harmonischer Oszillator
Im Folgenden untersuchen wir die quantenmechanischen Eigenschaften eines eindimensionalen harmonischen Oszillators. Dazu betrachten wir ein Teilchen mit Masse m in einem
Potential der Form
1
V (x) = ω 2 mx2 .
2
(7.3.48)
Die stationäre Schrödingergleichung lautet somit:
−~2 d2 Ψ 1 2 2
+ ω mx Ψ = EΨ.
2m dx2
2
(7.3.49)
Wir führen nun die Variablentransformation
ξ=x
r
mω
~
(7.3.50)
7-21
7 Elemente der Quantenmechanik
und die Abkürzung
C=
2E
~ω
(7.3.51)
ein und erhalten
d2 Ψ
+ (C − ξ 2 )Ψ = 0.
dξ 2
(7.3.52)
Wir probieren nun den Lösungsansatz
Ψ(ξ) = H(ξ)e−ξ
2 /2
.
(7.3.53)
Durch Einsetzen erhalten wir für die Funktion H(ξ) die Gleichung:
dH
d2 H
+ (C − 1)H = 0.
−
2ξ
dξ 2
dξ
(7.3.54)
Dies ist die Hermite’sche Differentialgleichung, deren Lösung die Hermite’schen Polynome
Hn (ξ) vom Grade n sind. Diese lassen sich durch eine endliche Potenzreihe darstellen:
Hn (ξ) =
n
X
ai ξ i .
(7.3.55)
i=0
Einsetzen dieser Potenzreihe in die Hermite’sche Differentialgleichung liefert durch Koeffizientenvergleich die Rekursionsformel:
(i + 2)(i + 1)ai+2 = [2i − (C − 1)] ai .
(7.3.56)
Da ξ n nach Annahme die höchste Potenz in der Potenzreihe (7.3.55) ist, muss die Bedingung an+2 = 0 erfüllt sein. Aufgrund der Rekursionsformel muss daher gelten:
1
[2n − (C − 1)] = 0 ⇒ n = (C − 1).
2
Mit C =
2E
~ω
folgen schließlich die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators:
1
~ω, n = 0, 1, 2, . . . .
En = n +
2
7-22
(7.3.57)
(7.3.58)
7.3 Grundlagen der Quantenmechanik: Wellenfunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte und Schrödingergleichung
5
Energie (ħω)
V(ξ)
4
|ψ3(ξ)|2
3
|ψ2(ξ)|2
2
|ψ1(ξ)|
E3
E2
2
E1
1
ħω
2
|ψ0(ξ)|
0
−4
−2
0
ξ
E0
2
4
Abbildung 7.18: Energieniveaus und Quadrate der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators.
7-23

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