Elektromagnetische Felder I Klausur 25. Juli 2011 1. Geben Sie die

Elektromagnetische Felder I
Klausur 25. Juli 2011
1. Geben Sie die Einheiten für folgende Ausdrücke in den Aufgabenteilen a) bis h) an.
Nutzen Sie zur Darstellung Ihrer Antworten nur die Einheiten A, V, m und s.
a) Wellenvektor ~k
b) Linienladungsdichte τ
~
c) Dielektrische Verschiebung D
~ × H)
~
d) div (E
e) Elektrische Kapazität C
~
f) rot H
~
g) rot E
h) Permittivität des Vakuums ε0 , geben Sie auch den Zahlenwert an.
i) Welchen Zahlenwert hat die Elementarladung bei Angabe in Coulomb?
j) Aus welchem Naturprinzip folgt die Kirchhoffsche Knotenregel?
k) Geben Sie den Zusammenhang zwischen dem elektrostatischen Potential ϕ und dem
~ an. Welche Einheit besitzt ϕ?
zugehörigen elektrischen Feld E
l) Was bedeutet der Operator grad anschaulich? Geben Sie ein geeignetes Beispiel an.
(8 Punkte)
~ einer Punktladung q als Funk2. a) Geben Sie das Potential ϕ und das elektrische Feld E
tion des Abstands zur Punktladung ~r an.
b) Welche Abstandsabhängigkeit hat das Potential eines elektrischen Dipols für große
Abstände, welche sein elektrisches Feld? Die Angabe der Proportionalitäten reicht.
c) Wieviel Energie wird frei bzw. ist aufzubringen (bitte eindeutig angeben), um drei
Punktladungen mit den Werten e, e und −e aus dem Unendlichen kommend an den
drei Ecken eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge a zu platzieren? Im
Unendlichen haben die Ladungen einen unendlichen Abstand voneinander. Hinweis:
Zur Lösung ist keine Integration erforderlich.
(5 Punkte)
3. a) Wie groß sind der Transmissions- und der Reflexionskoeffizient an der ebenen Grenzschicht zweier Halbräume mit den Wellenimpedanzwerten von 50 Ω und ∞, wenn
eine ebene Welle senkrecht einfällt?
b) Wieso ist dieses Ergebnis mit dem Energieerhaltungssatz kompatibel?
c) Skizzieren Sie die E-Feldverhältnisse vor der Grenzschicht für die Zeitpunkte maximaler konstruktiver und maximaler destruktiver Interferenz in ihrer räumlichen
Verteilung (d.h. es sollen die drei E-Felder der einfallenden, der reflektierten und der
Gesamtwelle skizziert werden).
d) Falls eine der Zeichnungen als Gesamtfeld überall Null ergibt: wo steckt denn dann
die Feldenergie der einfallenden Welle?
(8 Punkte)
Elektromagnetische Felder I
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4. Betrachtet wird die Grenzfläche zwischen zwei Materialien. Die Permittivitäten und Permeabilitäten der Materialien seien ε1 , ε2 sowie
µ1 und µ2 . Ein Grenzflächenstrom oder -ladungsdichte seien nicht
vorhanden.
Mat. 1 Mat. 2
ε1 , µ1 ε2 , µ2
~1
E
a) Geben Sie den Zusammenhang zwischen den elektrischen Feld~ 1 und E
~ 2 an der Grenzfläche an. Hinweis: Es ist sinnvoll
stärken E
zwischen Tangential- und Normalkomponente zu unterscheiden.
~2
E
~n
~1
B
b) Geben Sie ebenso den Zusammenhang zwischen den magneti~ 1 und B
~ 2 an der Grenzfläche an.
schen Induktionen B
~2
B
~
c) Fertigen Sie eine Zeichnung der E-Feldlinien
in Material 1 und 2 für folgenden elektrostatischen Fall: das homogene elektrische Feld in Material 1 trifft unter einem
Winkel von 45◦ auf die Grenzschicht, wobei ε1 = ε0 und ε2 = 2 · ε0 sein soll. Zeichnen Sie ebenso die Äquipotentiallinien ein.
(6 Punkte)
5. Die Anordnung in der rechten Abbildung besteht aus drei Strommessern
und zwei Widerständen. Der linke Teilraum L ist mit einem konstanten Magnetfeld vom Betrag B1 in positive zRichtung, der rechte Teilraum R mit
einem konstanten Magnetfeld vom Betrag B2 in negative z-Richtung durchsetzt. Außerhalb der beiden Teilräume
ist das Magnetfeld Null. Der Strommesser I2 liegt zu Beginn (t = 0 s) auf
der Grenze zwischen den Teilräumen.
L: B1
I1
R: B2
I2
I3
h
y
R1
R3
x
z
a
a
~v = v0 · ~ex
a) Die Anordnung wird mit der konstanten Geschwindigkeit ~v = v0 · ~ex gezogen. Berechnen Sie die Umlaufspannungen für die beiden relevanten Zeiträume. Beachten
Sie die Vorzeichenkonvention: Positive Umlaufspannungen führen zu Strömen, die
im Gegenuhrzeigersinn um die z-Achse fließen.
b) Berechnen Sie die Ströme I1 , I2 und I3 während dieser Zeiträume. Ströme mit positivem Vorzeichen fließen in die positive y-Richtung.
~ 1 (t) =
c) Im Unterschied zu a) und b) sei B1 nun ein zeitveränderliches Magnetfeld mit B
B̂1 · sin(ωt) · ~ez . Berechnen Sie nur die Spannungen und Ströme neu für welche sich
hieraus eine Änderung beim Herausziehen aus dem Magnetfeld ergibt.
(9 Punkte)
Elektromagnetische Felder I
6. a) Gegeben sei ein zunächst unendlich dünner Draht der
Länge L, welcher auf der x-Achse liegt und von einem
Strom I durchflossen wird. Dieser Draht sei Teil eines
größeren geschlossenen Stromkreises, welcher hier aber
nicht weiter betrachtet wird. Berechnen Sie mit Hilfe
des Biot-Savart-Gesetzes den Beitrag dieses Drahtes zur
~ im Punkt (0, y0 , 0).
magnetischen Induktion B
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y
y0
I
−L/2
x
L/2
b) Bilden Sie nun den Grenzübergang des Ergebnisses aus a) wenn die Länge L gegen
unendlich geht.
c) Der Leiter aus a) (also mit endlicher Länge L) habe nun zusätzlich eine Breite b in
y-Richtung (−b/2 ≤ y ≤ b/2). Der Strom I fließe wieder in x-Richtung, sei aber
homogen über die Breite b verteilt. Stellen Sie hierzu das Biot-Savart-Gesetz mit
~
geeigneter Parametrisierung auf. Die Berechnung des B-Feldes
ist nicht gefordert!
(9 Punkte)
7. Der Querschnitt eines Leiters sei eine Halbkreisfläche mit
dem Radius R. Er liegt, wie es die Abbildung zeigt, in der
x-y-Ebene. Das Magnetfeld im Inneren dieses Leiters wird
~ = H0 · (y 3, x3 , 0) beschrieben. In den folgenden
durch H
Teilaufgaben soll mittels eines Wegintegrals der Gesamtstrom berechnet werden, der durch den Leiter fließt.
y
x
−R
R
a) Wie lautet das Ampèresche Gesetz in differentieller Form?
b) Was sagt es aus?
c) Welcher Integralsatz ist nötig, um die Antwort von Teilaufgabe a) in ein Wegintegral zur Ermittlung des Gesamtstroms umzurechnen? Geben Sie das Resultat der
Umformung in allgemeiner Form an.
d) Die Berechnung des krummlinigen Anteils des Wegintegrals soll in Zylinderkoordinaten erfolgen. Geben Sie ausgehend von der Schreibweise in kartesischen Koordinaten
die entsprechenden Komponenten in Zylinderkoordinaten an, also: H̺ = ..., Hϕ = ...
und Hz = ... .
e) Geben Sie die Elemente von d~l an, die beim krummlinigen Anteil des Wegintegrals
einen Beitrag liefern.
f) Berechnen Sie den krummlinigen Anteil des Wegintegrals.
g) Berechnen Sie nun den Beitrag des geraden Abschnitts des Wegintegrals in kartesischen Koordinaten und summieren Sie den Beitrag von Teilaufgabe f) hinzu.
h) Bestimmen Sie die Stromdichte J~ an den Punkten ~r1 = (R/2, R/3, 0) und ~r2 =
(0, R/3, 0) und deuten Sie die Ergebnisse mit dem Resultat von g).
(11 Punkte)
Elektromagnetische Felder I
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Mathematische Hilfen:
Z
Z
3
1
1
cos ϕ dϕ = ϕ + sin 2ϕ +
sin 4ϕ ,
8
4
32
4
sin3 ϕ cos ϕ + cos3 ϕ sin ϕ =
Z
3
1
1
sin4 ϕ dϕ = ϕ − sin 2ϕ +
sin 4ϕ
8
4
32
1
sin 2ϕ ,
2
dx
x
= √
2
2
3/2
(x + a )
a2 x2 + a2
,
Z
cos4 ϕ − sin4 ϕ = cos 2ϕ
(x2
−1
x dx
=√
2
3/2
+a )
x2 + a2
x
~ senkrecht zur Einfallsebene
E
Erefl
Z2 cos(θeinf ) − Z1 cos(θtrans )
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
2Z2 cos(θeinf )
Etrans
=
Eeinf
Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans )
Grenzfläche
Reflexion und Brechung an Grenzflächen:
kt
Ht
qt
e
ben
lse
l
a
nf
qe
Ei
Et
qe
Hr
kr
m2
diu
Me
ke
m1
diu
Me
E r He
Ee
z
x
~ parallel zur Einfallsebene
E
Erefl
Z2 cos(θtrans ) − Z1 cos(θeinf )
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
2Z2 cos(θeinf )
Etrans
=
Eeinf
Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf )
Grenzfläche
y
Et
qe
He
Hr
kt
qt
e
ben
lse E
l
a
f
r
Ein
kr
Ht
Ee
m2
diu
e
M
qe
ke
m1
diu
Me
z
y
Elektromagnetische Felder II
Klausur 25. Juli 2011
8. a) Geben Sie den Zusammenhang zwischen der Induktivität L einer idealen Spule und
dem Spannungsabfall U über dieser Spule im allgemeinen Fall an, d.h. bei beliebiger
Zeitabhängigkeit.
b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen L und der im magnetischen Feld der idealen Spule gespeicherten Energie Wmag ?
c) Was wird vernachlässigt, wenn bei einer realen Spule nur ihre Induktivität betrachtet
wird - z.B. bei Berechnungen? Geben Sie mindestens zwei Effekte an.
d) Berechnen Sie die Induktivität L eines Koaxialkabels der Länge s mit Innenleiterradius a und Radius b bis zur Innenseite des Außenleiters. Das Innere der Leiter
sei feldfrei. Der Raum zwischen Innen- und Außenleiter sei mit einem Material der
Permeabilität µ gefüllt.
(8 Punkte)
9. Gegeben sei der rechts abgebildete Dipol der Länge L im Freiraum. Sein Mittelpunkt befinde sich im Ursprung des Koordinatensystems.
L
~
a) Geben Sie die größte Wellenlänge und zugehörige niedrigste Frequenz an, bei der
sich die Antenne in Resonanz befindet.
b) Warum werden Antennen bei einer Resonanzfrequenz betrieben?
c) Welche Bedingung muss der Abstand |~r| zur Antenne erfüllen, damit von Fernfeldbedingungen ausgegangen werden kann?
d) Geben Sie das elektrische Feld an einem entfernten Ort ~r für einen Wellenvektor ~k
~ =
und eine Frequenz f in der Näherung als ebene Welle an, also in der Form E
~ · e... . Die maximale Feldstärke sei E
~ 0 . Erklären Sie stichwortartig die Bedeutung
A
der einzelnen Terme.
e) Jetzt werden zwei gleichlange, parallele Dipole im Abstand d voneinander bei ihrer niedrigsten Resonanzfrequenz f0 betrieben: U1 (t) = U2 (t) = U0 · sin 2πf0 t.
Geben Sie den kleinsten Abstand d = d(f0 ) an, für
den kein Feld in ±x-Richtung abgestrahlt wird. Begründen Sie Ihr Ergebnis und was ist in diesem Fall
die Hauptstrahlrichtung? In welche Richtung(en) wird
außerdem kein Feld abgestrahlt?
f) Durch welche Änderung an der Speisung von Dipol 2
kann die Hauptstrahlrichtung aus dem Ergebnis von
Aufgabenteil e) um 90◦ gedreht werden?
Dipol 1
~
Dipol 2
U1 (t)
~
U2 (t)
y
x
z
d
(8 Punkte)
z
10. Für ein Übertragungssystem bei 2,4 GHz soll im Folgenden ein Rechteckhohlleiter entwickelt werden.
y
a) Erklären Sie den Begriff cut-off-Frequenz“ im Zu”
sammenhang mit Hohlleitern.
b) Welche Mode ist im skizzierten Rechteckhohlleiter
als erste ausbreitungsfähig?
a/2
εr = 4
a
x
Elektromagnetische Felder II
Klausur 25. Juli 2011
c) Der mit einem Dielektrikum (εr = 4) gefüllte Hohlleiter soll bei 2,4 GHz, dem 1,2fachen der cut-off-Frequenz, betrieben werden. Wie groß ist diese und welche Breite
a ergibt sich daraus für den gefüllten Hohlleiter?
d) Erklären Sie kurz, wodurch der nutzbare Frequenzbereich des Rechteckhohlleiters
(bei festen Abmessungen) im Allgemeinen begrenzt wird. Keine Rechnung!
e) Im Gegensatz zum Hohlleiter haben koaxiale Leiter strukturbedingt einen anderen
Frequenzbereich, in dem sie als Wellenleiter nutzbar sind. Erläutern Sie kurz die
Unterschiede.
f) Trennen Sie das vorbereitete Zeichenblatt vom Ende der Klausur und zeichnen Sie
~
die folgenden Felder für die erste ausbreitungsfähige Mode ein: elektrisches Feld E
~ Beachten Sie das angegebene Koordinatensystem und
und magnetisches Feld H.
zeichnen Sie beide Felder für die gleiche z-Koordinate und den gleichen Zeitpunkt,
wo diese selbstverständlich nicht gerade überall Null sein sollen. Zeichnen Sie nur
die Feldstärkekomponenten in der x-y-Ebene, keine dreidimensionale Darstellung!
Beachten Sie, dass sich die Welle in positiver z-Richtung ausbreiten soll. Richtung
und Stärke der Felder müssen eindeutig erkennbar sein.
(10 Punkte)
11. Gegeben sei nebenstehende Abbildung mit einer in
Richtung der 3. Raumachse unendlich ausgedehnten
Linienladung und einem dazu parallelen, ebenfalls unendlich ausgedehnten, metallischen Zylinder. Die Mittelachse des Zylinders ist also ebenfalls parallel zur
3. Raumachse und kreuzt die x-Achse bei x0 = 43 . Der
Radius des Zylinders ist r0 = 41 . Zur Berechnung des
Potentials soll diese Geometrie mit der konformen Abj·z
bildung w = 1−z
in eine einfache Struktur transformiert werden.
y
τ
z2
z3
r0 ϕ z1+
x0
3. Raum−
achse
z1−
x
z4
Hinweis: In der Abbildung wurde die 3. Raumachse nicht mit z beschriftet, um Verwirrung zu vermeiden. In dieser Aufgabe ist z = x + j · y.
a) Parametrisieren Sie die Oberfläche des Zylinders (Kreislinie) mit dem eingezeichneten Winkel ϕ und der e-Funktion in komplexer Schreibweise: zk (ϕ) = ...
Zur eigenen Überprüfung: zk (ϕ = 0) = x0 + r0 und zk (ϕ = π2 ) = x0 + j · r0 .
b) Wenden Sie die Abbildungsvorschrift auf die Kreislinie zk (ϕ) an und berechnen Sie
1
= aa−jb
Re{w(zk )} und Im{w(zk )}. Tipp: a+jb
2 +b2 für a, b ∈ R und ersetzen Sie frühzeitig
x0 und r0 durch ihre Zahlenwerte.
c) Skizzieren Sie, wie die Geometrie in die w-Ebene abgebildet wird und zeichnen Sie
dort τ , die Punkte z2 , z3 und z4 , sowie z1+ für ϕ → 0 mit ϕ > 0 und z1− für ϕ → 0
′ (ϕ)
(ϕ)
mit ϕ < 0 ein. Tipp: limϕ→0 fg(ϕ)
= limϕ→0 fg′ (ϕ)
d) Warum ist die Struktur nun einfacher geworden und wie würden weitere Berechnungsschritte aussehen? Eine kurze Antwort ohne Rechnung reicht.
(12 Punkte)
Elektromagnetische Felder II
Klausur 25. Juli 2011
12. Die Ableitung des Poynting-Theorems beginnt mit einer Formel für den integralen Leistungsumsatz im Volumen V (die Teilaufgaben e) und f) sind unabhängig von a) bis d)
beantwortbar).
a) Wie lautet diese Formel für den integralen Leistungsumsatz im Volumen V ?
b) Erläutern Sie, warum der Integrand eine Umwandlung zwischen verschiedenen Energieformen beschreiben kann.
c) Wie wird der Integrand umgeformt, um zu reinen Feldtermen übergehen zu können?
d) Formen Sie mittels der Vektoridentität ∇ · (~a ×~b) = ~b · (∇ ×~a) −~a · (∇ ×~b) und dem
Induktionsgesetz in das allgemeingültige, integrale Poynting-Theorem um.
e) Welche Felder müssen sich linear zueinander verhalten, um zur linearen Formulierung
des Poynting-Theorems überzugehen, und wie kann dieses dann in kürzester Form
differentiell formuliert werden?
f) Geben Sie eine konkrete elektrotechnische Situation an, bei der die lineare Formulierung nicht verwendet werden kann.
(8 Punkte)
13. a) Geben Sie die Formel für die Skintiefe δ an.
b) Wie hängt die Feldstärke einer in ein Material (Skintiefe δ) eindringenden ebenen
Welle vom Abstand x zur Grenzfläche ab, wo die Welle auf das Material trifft?
c) Betrachtet wird ein stromdurchflossener Draht mit Querschnittsradius r0 . Fertigen
Sie zwei Diagramme an, in denen der Verlauf der Stromdichte J(r) als Funktion des
Abstands zur Mittelachse des Drahtes aufgetragen wird. Im ersten Diagramm ist die
Stromdichte für sehr hohe Frequenzen, im zweiten für sehr niedrige Frequenzen zu
skizzieren. Zeichnen Sie im entsprechenden Diagramm den Punkt ein, bei dem die
Stromdichte auf e−1 ihres Maximalwerts abgefallen ist und beschriften Sie auch die
r-Achse zutreffend.
Für das Industriepraktikum haben Sie sich einen Platz bei einer Firma gesucht, welche Drähte herstellt. Diese mit einer Isolierung vernachlässigbarer Dicke angebotenen
Drähte haben die Radien von 0,2 , 0,5 , 1 , 5 und 10 mm. Im Folgenden gelte die
Vereinfachung π = 3.
d) Ein Kunde, der sich an Sie wendet, arbeitet mit Frequenzen bei 100 kHz und ist auf
das neue, gut leitende Kompositmaterial Aeris Falsum angewiesen. Es besitzt eine
spezifische Leitfähigkeit von 64 MS/m und die relative Permeabilität 1. Um den von
ihm benötigten Widerstand zu erreichen müsste im Gleichstromfall eine Fläche von
36 mm2 für den Stromtransport zur Verfügung stehen. Welchen Radius braucht der
Kunde aufgrund der Stromverdrängung bei 100 kHz für seinen einfachen Draht?
e) Im Gegensatz zur Konkurrenz können Sie einen entsprechendem Radius nicht anbieten. Jedoch ist es Ihnen im Gegensatz zur Konkurrenz möglich, Geflechte aus den
isolierten Einzeldrähten Ihres Sortimentes herzustellen. Ein Geflecht kann jeweils nur
aus Drähten mit gleichem Radius gefertigt werden. Bei Ihnen und der Konkurrenz
ist der Preis proportional zum Materialvolumen. Um welchen Faktor können Sie die
Konkurrenz im Preis unterbieten?
(10 Punkte)
Elektromagnetische Felder II
Klausur 25. Juli 2011
Zeichenblatt zu Aufgabe 10:
z
x
~
E-Feld:
y
~
H-Feld: