Einführung in die QM Kurzinhalt (WS 2015/2016)

Einführung in die QM
Kurzinhalt
(WS 2015/2016)
Armin Scrinzi
March 28, 2016
Beachten Sie die Angaben zum Umfang des Prüfungsstoffs
1
Vorlesungsinhalte, chronologisch
12. Oktober
Abstrakte Darstellung des Grundcharakters quantenmechanischer Phaenomene anhand ”roter/gruener”
bzw. ”harter/weicher” ”Elektronen” (siehe Materialien “Phaenomene.pdf”). Einige wichtige Beobachtungen: Stern-Gerlach, Stabilitaet der Materie, EPR Paradoxon, Balmer-Formel, Strahlung heisser
Koerper, photo-elektrischer Effekt (siehe “Phaenomene.pdf”)
14. Oktober
Dimension von h: Energie × Zeit = “Wirkung” / Klassische Mechanik: die zentralen Grössen
“Ort” und “Impuls” / Phasenraum: x,p / Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum / h ist sehr
b Impuls Pb, Energie Tb, Detektion eines Teilchens C
b/
klein! / Darstellung von Messgrössen (Ort X,
die Messgrösse bestimmt die möglichen Messwerte / Untergrenze für das Volumen im Phasenraum
∼ h! / Erwartungswerte realer Messungen / Effekt der Unschärfe für 1 kg Masse / Normierung von
Wahrscheinlichkeitsdichten / Addition von Wahrscheinlichkeitsdichten / Linearität von Ewartungswerten
bezüglich Wahrscheinlichkeitsdichte ρ / Konstruktion beliebiger Messgrössen: prinzipielle Möglichkeit
im Labor / Messgrössen bilden einen linearen Raum (=Vektorraum) / Konstruktion beliebiger
b[x ,xm ]×[p ,pn ] / Rolle der Messgrössen als Erzeugende
Messgrössen als Summe der Messgrössen C
m−1
n−1
von Transformationen: Energie als Erzeugende der Zeitentwicklung, Impuls als Erzeugende von Verb B}
b mit QM: [A
b(qu) , B
b (q) ] / KM: Erhaltung der Wahrscheinschiebungen im Ort / Analogie KM: {A,
lichkeit erfordert Hamilton’sche Bewegungsgleichungen / QM: Erhaltung der Wahrscheinlichkeit erfordert die Schrödingergleichung
1
19. Oktober
Resume: die Lehren aus KM am Phasenraum / Ortsmessung in der KM: “Kollaps” der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, p) → χ[x0 ,x1 ] (x)ρ(x, p)/N orm / ρ beschreibt unser Wissen über das System, bei
b2 = C;
b
Veränderung des Wissens verändert sich ρ / ideale Messungen sind Projektoren: χ2 = χ bzw. C
dies ist im Begriff einer (perfekten) Messung von vorneherein so zu verlangen / Warnung: QM ist
nicht bloss KM mit Untergrenze für das Phasenraumvolumen! / Konstruktion beliebiger Messgrössen
b[x ,xm ]×[p ,pn ] (Beispiel an der Tafel ohne p-Abhängigkeit) // Strukals Summe der Messgrössen C
m−1
n−1
tur der QM: Vollstaendige Kenntnis des Systems als eine Menge von Zahlen Ψ / Annahmen über die
Möglichkeiten von Orstmessungen / Definition einer Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort als (gedachter)
Limes von immer genaueren Ortsmessungen / Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort in der KM / Erwartungswerte als lineares Funktional der Messgrössen / Erwartungswert als Integral über Messwerte
(r)
(i)
mal Wahrscheinlichkeitsdichte µΨ (x) / Scheidepunkt zwischen KM und QM: µΨ (x) = µΨ (x)+µΨ (x)
(r)
(i)
/ Wellenfunktion (Ortsdarstellung): Ψ(x) / µΨ = |<Ψ(x)|2 , µΨ = |=Ψ(x)|2 , µΨ (x) = |Ψ|2 / Wellenfunktion (Impulsdarstellung) Ψ̃(p) : µ̃Ψ (p) = |Ψ̃(p)|2
21. Oktober
Ψ(x) und Ψ̃(p) gehen durch Fouriertransformation in einander über Ψ̃(p) = F[Ψ(x)](p) / Wellenfunkb Ψ durch Ψ b(a, λ) / Ention (Spektraldarstellung): Verallgemeinerung für beliebige Messgrössen hAi
A
tartung: λ “nummeriert” die Werte von ΨAb(a, λ) die zu gleichen Messwerten a gehören / Erläuterung
der Entartung am Beispiel kinetische Energie: die beiden Impulse ±p haben beide kinetische Energie
T = p2 /2m: ΨTb (T, λ), mit den beiden (diskreten) Werten λ = +1 und λ = −1. “Spektraldarstellung” der klassischen Mechanik: der Ort ist bez. des Impulses entartet, der Impuls ist bez. des Ortes
b (kl) , Pb(kl) ] = 0 //
entartet, Grund: [X
Impulsbegriff bei Newton: Impuls als Eigenschaft des Teilchens die durch Kraft geändert wird /
Homogenität des Raumes ⇔ Impulserhaltung (Noether-Theorem) / Verweis auf Übung: klassischer
Impuls “erzeugt” Verschiebung im Raum / Definition des Impulses durch diese Eigenschaft / QM
Messgrössen werden direkt (ohne Umweg mit Poissionklammer) als Operatoren definiert / QM Impuls
als Ableitung im Ortsraum / Wechsel in Spektraldarstellung des Impulses (=der Ableitung) durch
Fouriertransformation / Spektrum des Ableitungsoperators σ(−∂x ) = Imaginäre Achse −i(−∞, ∞)
/ Motivation des Vorfaktors −i~ / Orstdarstellung: Pb = −i~∂x .
26. Oktober
b Pb] = i~ / Unschärferelation ∆x∆p ≥ ~/2 / Bedeutung von ∆x, ∆p:
Vertauschungsrelationen [X,
Varianz / Berechnung von ∆x im Ortsraum / Berechnung von ∆p im Impulsraum und im Ortsraum
b B]i|
b (Beweis wird Übungsaufgabe) / Zusammenfassung des Bisherigen
/ Allgemein: ∆A∆B ≥ |h[A,
in 8 Punkten // Addition von Wellenfunktionen — Superpositionsprinzip / Wellfunktionen bilden
einen linearen Raum = Vektorraum / Wellenfunktion, aber NICHT Wahrscheinlichkeiten addieren
sich / elementares Beispiel für Interferenz von Ortswellenfunktionen.
2
28. Oktober
Hilbertraum: im wesentlichen die Standarddefinition: Linearität, (positives) Skalarprodukt, Separabilität, Vollständigkeit / Norm ||Ψ|| / Spezielle Variante der Definition: Annahme einer Orthonormalbasis φn / Null-Vektor des Hilbertraums: Funktionen die sich nur auf “Nullmegen” unterscheiden sind
im Hilbertraum äquivalent / Beispiel: CN mit Skalarprodukt und ON Basis / L2 (dx, R) / Erwähnung
wichtiger orthogonaler Polynome: Hn (x), Hermite — Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators
/ Pn (x), Legendre — Drehimpuls in der QM / Ln (x), Laguerre — gebundene Wellenfunktionen des
b† : Definition
Wasserstoffatoms / Linearer Operator / Hermitisch konjugiertier Operator Q
2. November
b† : Erläuterungen / Ein
“Das Buch der Natur. . . ” (Galilei) / Hermitisch konjugierter Operator Q
Operator ist vollständig bestimmt, wenn seine Wirkung auf alle Funktionen einer Basis bekannt
b† = Q
b
ist / Darstellung mittels (potentiell unendlich grosser) Matrix / Hermitischer Operator Q
b Ψ|U
b Φi = hΨ|Φi + surjektiv / Standard/ Unitärer Operator: Erhaltung des Skalarprodukts hU
bU
b† = U
b †U
b = 1 d.h. U
b −1 = U
b † / Achtung: Erhaltung des Skalarprodukts alleine
definition: U
b AΦi
b = hΨ|Φi aber
impliziert NICHT Unitarität / Gegenbeispiel im Unendlichdimensionalen: hAΨ|
b−1 / solche und ähnliche Operatoren sind wichtig: “Erzeugungsoperator” der Feldtheorie und der
6 ∃A
Festkörperphysik, bzw. “Leiteroperator” beim Drehimpuls / die Schrödingergleichung / der Zeitbt / Motiviation der Eigenschaften von U
bt : Linearität, Homogentiät der Zeit,
entwicklungsoperator U
bt ist unitär (ohne Beweis) / U
bt ist
Normerhaltung, Umkehrbarkeit / aus diesen Eigenschaften folge U
differenzierbar in der Zeit: Motivation dieser Forderung / Schrödingergleichung als Konsequenz von
bt : limτ →0 (Uτ − 1)/τ = −iH/~
b (sorry, auf der Tafel fehlte /~)
U
4. November
Lösung der Schrödinger Gleichung durch Exponentiation / Potenzreihe für die Exponentialfunktion
b=A
bA
b† / Spektralsatz
b† A
eines Operators / Verallgemeinerung von Unitarität / Normale Operatoren A
b b und eines Multiplikationsoperators
für normale Operatoren / Spektraldarstellung mittels unitärer U
A
dbAb / Warum wir “Normalität” brauchen / Spektralwerte = Eigenwerte / Mathematische Definition
b − a)−1 / Allgemeine Form von Eigenfunktionen φa (a0 ) in der Spektraldarstellung
des Spektrum 6 ∃(A
/ Eigenfunktionen des Punktspektrums sind im Hilbertraum / Eigenfunktionen des kontinuierlichen
Spektrums sind NICHT im Hilbertraum, es gilt hφa |φ0a iAb = δ(a − a0 )f (a) / Beispiel: Eigenfunktionen
von Orts- und Impulsoperator: keine sinnvollen Funktionen bzw. nicht normierbar / Terminologie:
“Eigenvektor” ∈ H, umfassenderer Begriff: “Eigenfunktion” - kann auch nicht normierbar sein /
R
b bΨ b)(x) =
Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums, für den Fall (U
b(a):
b daU (x, a)ΨA
A A
σ(A)
φa (x) := U (x, a) / Beispiel Fouriertransformation bzw. Eigenfunktionen des Impulses
3
9. November
Funktionen von Operatoren mittels Spektraldarstellung / Bedeutung der Spektraldarstellung fundamental und technisch / Eigenschaften hermitischer Operatoren / abstraktes Ψ als Äquivalenzklasse
aller seiner Realisierungen in unitär äquivalenten Hilberträumen / Bra-Ket Notation / Zerlegung der
(nach)
Einheit mittels Eigenfunktionen eines hermitischen Operators / Kollaps des Wellenpakets: ΨAb
(a) =
(vor)
(a) × (N orm) / Messung, die testet ob Wert in [a0 , a1 ] liegt: χ[a0 ,a1 ] (a) (Spektralb (allgemein) / Eigenschaft: χI (A)
b = χI (A)
b † und χI (A)
b = χI (A)
b 2 / Veralldarstellung), χ[a0 ,a1 ] (A)
b =Π
b † und Π
b =Π
b2 /
gemeinerung “Projektor”: linearer Operator auf H mit den Eigenschaften Π
Darstellung von Projektoren in Bra-Ket Noation eines hermitischen Operators
χ[a0 ,a1 ] (a)ΨAb
11. November
b b / Unendlich hoher
Anmerkungen zum Messproblem: KM, QM, Philosophie / Eigenvektoren und U
A
Potentialtopf als Grenzfall des endlichen hohen Potentialtopfs / Hamiltonoperator / Notwendige
Eigenschaften der Energieeigenfunktionen im Ortsraum: =0 ausserhalb, stetig differenzierbar /
einzelne Sprünge in den Ableitungen sind aus energetischer Sicht möglich / Korrespondenzprinzip
/ Gebundene Zustände - Energieeigenzustände haben zeitlich unveränderliche Wahrscheinlichkeitsdichten im Ort |ΦE (x, t)|2 / auch Wahrscheinlichkeitsdichten
aller anderen Observabelen sind zeitlich
P
konstant / Superpositionszustand: |Ψi = n |En icn : Wahrscheinlichkeitsdichten sind zeitlich verb invariant unter x → −x / Paritätsoperator (SΨ)(x)
b
aenderlich / Parität: H
= Ψ(−x) / Eigenvekb sind auch Eigenvektoren von S,
b wegen [H,
b S]
b = 0 / Projektoren auf Eigenzustände von
toren von H
b SbΠ
b ± Ψ = ±Π
b ± Ψ.
S:
16. November
Eigenvektoren des diskreten Spektrums sind lokalisiert / Anmerkung zur Zerlegung nach gerader
und ungerader Parität / kommensurable Energien erzeugen periodische Zeitentwicklung // Endlich
hoher Potentialtopf / qualitative Diskussion (7 Punkte): insbesondere Eindringen der Wellenfunktion
in Potentialwand, Expansion der Eigenfungktionen im Vergleich zu ∞-hohen Topf, Absenken der
Eigenenergien √
/ Eigenfunktionen ΦE (x) müssen 2mal differenzierbar sein / exponentieller Abfall bei
|x| > a: κ = 2EB / Bindungsenergie EB := V0 − E / Konstruktion der Eigenfunktionen unter
Benutzung der Stetigkeitsbedingungen / Anleitung zur graphischen Bestimmung von k
18. November
Verschiebung des Energienullpunkts / kontinuierliches Spektrum / Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums σc = [V0 , ∞) : stückweise ebene Wellen / Festlegung der 6 Konstanten durch: (1)
4 x Stetigkeit, (2) 1 x Normierung, (3) Wahl: (a) Symmetrie, oder (b) in/out oder (c) unendlich viele
andere Wahlmöglichkeiten / Bezug zu Entartung: das Entartungslabel λ ∈ {in, out} oder Symmeb λ = ±1 oder . . . : 2 Lösungen zur gleichen Energie / Wellenpakete im Energieraum Ψ b (E):
try S,
H
normiert ||ΨHb || = 1 ⇒∈ H ⇒ lokalisiert im Ortsraum / Wellenpakete des kont.Spekt. zerfliessen immer: Verweis auf mathematische Aussage für beliebiges kontinuierliches Spektrum / Illustration für
4
freie Bewegung und Potentialtopf / Freies Teilchen — Dispersion: Wellenpaket, Darstellung im Imb = F (Pb): sinnvoll frür Potentiale die langsam veränderlich
pulsraum konzentriert um p0 / Annahme H
sind auf ∆X = 2π~/p0 / Taylorentwicklung von F (p) / Approximation der Zeitentwicklung durch
die 1ten 3 Terme
23. November
Diskussion der 3 Terme: “globale Phase”, Verschiebung, Dispersion / Hinweise auf Entsprechung
in der Optik: Gruppengeschwindigkeit, Dispersion / de Broglie-Wellenlänge λ, kalte Atome haben
grosses λ // Harmonischer Oszillator (HO): Hamiltonoperator per Korrespondenzprinzip / Wahl der
b = (Pb2 +X
b 2 )/2 / HO ist ueberall: Elektromagnetisches Feld
Laengen- und Energieeinheiten so, dass H
hat Energie, die dem HO analog aufgebaut ist, Fourierraum erlaubt Identifizierung der Wellenlaenge,
Feldquantisierung [Ex (k), By (k)] = i~ / HO als Approximation in der Naehe differenzierbarer Potentialminima: Molekülschwingungen, z.B. H2 / Diskussion der Kriterien für die Anwendbarkeit der
Approximation / Spektrum des HO: reines Punktspektrum En , n = 0, 1, 2, . . . / Konstanter Abstand
En+1 − En = ~ω ∀n, Vergleich mit dem ∞-tiefen Potentialtopf / Symmetrie x → −x / Qualitative Erklaerung fuer das Verhalten bei x → ∞: Abfall stärker als exponentiell / Eigenfunktionen
im Ortsraum: Φn (x) = Hn (x) exp(−x2 /2): Hermitepolynome / Symmetrie der Hermitpolynome
b n (x) = (−1)n Hn (x) / Die Hn sind orthogonal mit Gewichtsfunktion w(x) = exp(−x2 )
SH
25. November
Kurze Wiederholung des HO im Ortsraum / Erläuterung, wie man sich Anregungen oder Energieabgabe in einem System vorstellen kann (noch ausserhalb der bisher diskutierten Modelle) //
b und Pb durch a und a†
Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren: Definition / Darstellung von X
b a] = −a etc. / Anzahloperator / Konsequenzen der Algebrais/ Kommutatoren [a, a† ] = 1, [H,
√
b
b ≥ 1/2 / a|ni = √n|n − 1i, a† |ni = n + 1|n + 1i / for H|ni
= |En i = 0
chen Eigenschaften: hHi
† b
b
⇒ Ha|ni = (En −1)a|n−1i / a|0i = 0 / En = n+1/2 // Matrixdarstellung von a, a N bezüglich Bab
sis {|ni} / Berechnung von Erwartungswerten mittels a, a† : hn|X|ni
= 0 / (Einschub: Erläuterung,
R
b
b
Erwartungswert ist hn|X|ni anhand von dxhn|X|xihx|ni )/ es folgt, dass Eigenzustände definierte
Paritaet haben / Anmerkung zur Beschreibung von Photonen im gleichen Formalismus
30. November
“Produktansatz” und “zeitunabhaengige Schrödingergleichung” / Krümmung von Eigenfunktionen:
von der Achse weg (= Ψ00 /Ψ < 0) bei E − V (x) > 0, zur Achse hin andernfalls / Mehrdimensionale
Systeme: mehrere Teilchen oder ein Teilchen in mehreren Dimensionen: mathematisch äquivalent
und in der QM begrifflich nicht zu unterscheiden / HO in 2d: Hamiltonoperator / Kommutatoren
/ alternative Interpertation als 2 1-d HOs / Hilbertraum L2 (R2 , dxdy) / Basis = Produkte der
Basen in L2 (R, dx) und L2 (R, dy) (ohne Beweis) / Interpretation der Produktbasen / Interpretation
allgemeiner Funktionen aus dem Prouktraum: “Verschränkung” (Entanglement) / Tensorprodukt
von Hilberträumen: Basis, Skalarprodukt, Rechenregeln / Tensorprodukt von Vektoren / Nicht jeder
5
Vektor aus dem Produktraum ist das Produkt von Vektoren aus dem Faktorraum / Erläuterung im
endlich-dimensionalen: die M +N Zahlen cm , dn charaktersieren ein Produkt, während ein allgemeiner
b⊗B
b:
Vektor duch die M × N Zahlen amn charakterisiert wird / Tensorprodukt von Operatoren A
(1)
(2)
b
b
b
H → H / Beispiel 2d HO: H = H ⊗ 1 + 1 ⊗ H
2. Dezember
Wiederholung Tensorprodukt / Rotationssymmetrischer HO ωx = ωy / Eigenfunktionen und Eigenwerte / Rotationssymmetrie des HO / Rotation als unitärer Operator / Präzisierung des Begriffs
b , H]
b = 0 mit U
b unitär / H
b in ebenen Polarkoordinaten / “Erhaltungsgrösse” ∂φ /
“Symmetrie”: [U
alternative Zerlegung des Hilbertraums H = L2 (R, dx) ⊗ L2 (R, dy) = L2 ([0, 2π], dφ) ⊗ L2 ([0, ∞), ρdρ)
b B]
b = 0 ⇒ [f (A),
b B]
b = 0 ⇒ [f (A),
b g(B)]
b = 0 / daher: [exp(α∂φ ), H]
b = 0 / exp(α∂φ ):
/ Einschub [A,
unitär, erzeugt “Verschiebung” des Winkels φ → φ + α = Rotation / “Erzeugende”der Rotation
bz = −i~∂φ / Eigenvektoren von L
bz : hφ|mi = (2π)−1/2 exp(imφ)
ist der Drehimpuls (bez. z) L
(units ~ = 1) / Periodizität des Winkels: ⇒ m ∈ Z / entpricht periodischen Randbedingungen /
allgemein: ohne Definition der Randbedingungen ist ein Operator undefiniert: vgl. σ(−i∂x ) = R
mit σ(−i∂φ ) = Z: unterscheiden sich nur durch Randbedingungen / Projektoren
auf EigenfunkR
tionen zu m: Πm = |mihm| / Notation im Hφ : Πm = (2π)−1 exp(imφ) dφ0 exp(−imφ0 )(·) bzw.
R
b m , H]
b = 0
b m ψ)(φ) = (2π)−1 exp(imφ) dφ0 exp(−imφ0 )ψ(φ0 ) / 1 = P Pbm = P |mihm| / [Π
(Π
m
m
b m = χ[m−,m+] (−i∂φ ) / Betrachte (Π
b m ⊗ 1)H:
b explizite Abhaengigkeit von φ verschwindet
wegen Π
7. Dezember
bz = X
b Pby − Yb Pbx = −i~∂φ / Zerlegung von H
b in Blöcke H
b m für gegebene Eigenwerte m von L
bz
L
2
/ Eigenfunktionen |mi ⊗ |ψm i / Form der radialen Eigenfunktione hρ|ψm i = Qm (ρ) exp(−ρ /2) //
3-dimensionaler HO: Hamiltonoperator in Tensorproduktform / istotroper Fall / Rotationssymmetrie / Polarkoordinaten: H = L2 ([0, 2π], dφ) ⊗ L2 ([−1, 1], dη) ⊗ L2 ([0, ∞), r2 dr) = L2 (R3 , dxdydz) /
Strategie in 3d, ganz analog zur Strategie in 2d / Laplaceoperator in Polarkoordinaten / in Tensorb2 ⊗ 1/r2 / analog zu 2d: Zerlegung nach Eigenfunktionen von L
b2 :
produktform ∆ = 1Ω ⊗ ∆r − L
Ω
Ω
Πlm ∆ = ∆r − Flm /r2
9. Dezember
~b
bx , L
by , L
bz und L
b2 = P L
b2
3d Drehimpulse L
~ und Winkel |~
α|: Uα~ = exp(−i~
α·L)
i i / Drehtung um Achse α
/ Drehungen im verschiede Achsen kommutieren nicht! / Drehimpulsalgebra / Leiteroperatoren und
ihre Kommutatorrelationen / Leiteroperator u. Symmetrie z → −z ⇒ σ(Lz ) = Z oder σ(Lz ) =
±1/2, ±3/2, . . . / Spin als neue Eigenschaft in der QM / Bosonen und Fermionen / mathematische
b2 ) = {l(l + 1)} mit l = 0, 1, 2, . . . oder l = 1/2, 3/2, 5/2, . . . / L
b2 = L
b2
Herleitung der Eigenwerte σ(L
Ω
(Polarkoordinaten)
6
14. Dezember
Eigenfunktionen des Drehimpulses: Kugelflächenfunktionen Ylm (φ, η)/ Produktform, Wiederholung
des schon aus der Abspaltung der Rotationssymmetrie bekannten Arguments für diese Form / Legendrefunktionen und assozierte Legendrefunktionen im Kontext orthogonaler Polynome // Wasserstoffatom: Abspaltung der Schwerpunktsbewegung: Massenverhältnisse mp ≈ 2000me , reduzierte
Masse / Konstanten, Einheiten / Transformation auf “atomare Einheiten”: Länge - Bohrradius a0 ,
Energie - 2× (Rydberg Energie), me = e2 = 4π0 = 1 / charakteristische Länge, Energie / Virialtheorem: Kinetische Energie ist durch Energie des Bindungszustands bestimmt / daraus Abschätzung
einer charakteristischen Geschwindigkeit v0 = αc: α = 1/137 / Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante α / Skalierung des Hamiltonoperators fuer Kernladung q = Ze: Reduktion der Groessenskala
um Z, Erhoehung der Geschwidigkeit um Z, Vergrösserung der Bindungsenergie um Z 2 !
16. Dezember
Eigenheiten des Coulombpotentials: 1/r-Singularität ist “harmlos” wegen der Dominaz der positiven kinetischen Energie (Skalierung λ2 ) über die (negative) potentielle Energie (Skalierung λ) /
Konsequenzen der “unendlichen Reichweite”: ∞-viele, sehr weit ausgedehnte gebundene Zustände,
Elektron nie “ganz frei” / Verhalten der Eigenzustände in r: Ψ(r) ∼ rl für r → 0: Drehimpulsbarriere / ∼ exp(−r/n) für r → ∞: typisches Verhalten für gebundene Zustände, vgl. Potentialtopf / explizite Form der Eigenfunktionen Ψlmn (φ, η, r) / Laguerre-Polynome, Gewichtsfunktion
w(r) = rα exp(−r) (VORSICHT: exp(−r) hat auf der Tafel gefehlt!) / Quantenzahlen n, l, m (Haupt,Drehipuls- und magnetische) und ihre Abhängigkeiten / Eigenwerte En = −1/(2n2 ) / Entartung
der Energien bezüglich m: Rotationssymmetrie, und l: Runge-Lenz Vektor / Besondere Symmetrie
des Wasserstoffs: Erhaltung der Periheliums im Coulomb/Gravitationspotential(Kepler-Ellipsen) /
Ausblick auf die Störungstheorie: Stark-Effekt.
21. Dezember
Störungstheorie: Grundidee der Entwicklung in Potentenzreihe nach in kleinen Parameter λ /
(1)
(2)
(1)
Beschraenkung auf die niedrigsten Ordnungen: En , En , Φn / 2-Niveausystem: Darstellung durch
(1)
2x2 Matrizen / Exakte Energieeigenwerte und ihre Entwicklung nach λ / En = hn|Vb |ni / auch:
(0)
(0)
(1)
(0) b
b
b
b
En ≈ En + λEn = hΦn |H|Φ
n i / alternative Wahl von H = H0 + λV = H̃0 + λṼ so, dass
(0)
(0)
hn|Ṽ |ni = 0 / “Kleinheit”: relativ zu E1 − E2 ! / Offensichtlicher Fehlschlag der Theorie falls
(0)
(0)
(0)
E1 − E2 = −λ(D1 − D2 ) (nicht klein!) / Korrektur 2ter Ordnung En : Herleitung durch En(1)
twicklung des Wurzelausdrucks / Korrekur zum Eigenvektor (Herleitung: Probeklausur) Φn i /
(2)
(0)
(1)
Darstellung der Energiekorrektur als En = hΦn |Vb |Φn i / / Allgemeiner Fall: Visualisierung durch
(0)
(1)
Matrizen / Korrektur 1ter Ordnung zur Energie - analog zu 2x2 / Orthogonalitaet hΦn |Φn i = 0:
(1)
Konsequenz der Norm-Erhaltung (Analog zum Vektor fester Laenge, Kreis) / Daher: |Φn i =
P
(0)
(0)
b
m6=n |Φm icmn / analog zu 2x2: cmn = −hΦm |V |Φn i/(Em − En ) / Beachte wieder Vorausset(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
zung |Em − En | |λhΦm |Vb |Φn i| / inbesondere Em − En 6= 0 ∀m 6= n: En darf nicht entartet
(2)
(0)
(1)
sein! / wieder: En = hΦn |Vb |Φn i / (Fortsetzung folgt)
7
23. Dezember
Weihnachtsprogramm: Quantenmechanik am Computer / Grundsätzlicher Zugang / Wasserstoffatom
im elektrischen Feld / Heliumatom / H − ion / Online-Material: Computer.pdf und python Scripte
11. Januar
Der quadratische Stark-Effekt fuer den Grundzustand des H-Atoms / Lineare Korrekturen =0 aus
Paritaetsgruenden / Abschaetzung der Korrektur 2ter Ordnung durch ersetzen der Nenner der
Stoerungsreihe: 0 < E2 − E1 ≤ Ei − E1 fuer i > 1 // Stoerungstheore 1ter Ordnung im entarteten
Fall / Illustration anhand 2x2 Matrizen / Verallgemeinerung (ohne Herleitung) / Eigenvektoren sind
Eigenvektoren des Stoerungsterms / Anwendung fuer den linearen Starkeffekt: n=2-Zustaende des
H-Atoms / Auswahlregeln - reduzieren Problem auf 2x2 / Aufspaltung in ein “Multiplett” von Linien,
Rolle der Symmetrie: verbleibende Symmetry um z-Achse belaesst 2-fache Entartung / Verweis auf
allgemeinen Charakter von Multipletts als Folge leicht gebrochener Symmetrie: Baryonen, Leptonen,
Neutrinos, etc.
13. Januar
Liste weiterer Anwendungen der Stoerungstheorie: Zeeman-Effekt, Feinstruktur, Korrekturen zu
Harmonischem Potential bei Molekuelen // Heliumatom: Definition des Systems / Hamiltonoperator
b 0 ohne und H
b mit Elektronwechselwirkung / Eigenfunktionen und Eigenwerte von H0 / Entartung
H
b / Grundzustand, einfach- und doppelt angeregte
/ Verweis auf Aufhebung der Entartung in H
b = 0:
Zustände / Auger-Zerfall von doppelt angeregten Zuständen / Austauschsymmetrie [Sb12 , H]
b± / HartreeKlassifizierung der Eigenfunktionen nach Eigenwerten von Sb12 / Projektionsoperatoren A
Fock Ansatz: symmetrisiertes oder anti-symmetrisiertes Produkt 2er 1-Teilchenfunktionen / Orthound Parahelium: 2 unabhaengige Saetze von Eigenfunktion, je nach ihrere Austauschsymmetrie
im Ortsraum / Austauschsymmetrie bei Mehrteilchensystemen: Symmetrie der Eigenfunktionen
±1 unter Vertauschung zweier beliebiger Teilchen / totale Symmetrie oder totale Anti-Symmetrie
von Systemen ununterscheidbarer Teilchen: Feststellung, dass nur diese beiden Extremfaelle in der
Natur vorkommen (und ein Gedankenspiel zur ununterscheidbarkeit verschiedener Paare) / Bosonen
(ganzzahl. Spin) und Fermionen (halbzahl. Spin)
18. Januar
Ununterscheidbarkeit: wenn 2 Teilchen in allen Eigenschaften (Gesamtspin s, Masse, Ladung, . . . )
übereinstimmen, sind sie ununterscheidbar / Zusammenfassung der Koordinaten als (~r, sz ) =: q / Vertauschung qi ↔ qj / Spin-Statistik Theorem: Bosonen - total symmetrische Ψ(q1 , . . . , qN ) / Fermionen - total ANTI-symmetrische Ψ / Notation |s, sz i = |1/2, 1/2i =: | ↑i bzw. |1/2, −1/2i =: | ↓i
Zustandsvektor eines Elektrons inklusive Spin 1/2: |Φi = |sz i ⊗ |φi ∈ C2 ⊗ L2 (d3 r, R3 ) / Wenn
Spin und Ort
Pnicht wechselwirken haben Energiezustände diese Form / Verweis auf allgemeinen
Fall: |Φi = sz =±1/2,n |sz i ⊗ |φn i: z.B. in “Spin waves” // Aufbau eines Atoms (Schalenmodel):
Näherung durch sukzessives Hinzufuegen von Elektronen - Bewegung des zusätzlichen Elektrons
8
im durch Vorgänger abgeschirmten Coulombpotential / Schalenmodell: jeweils mehrere Orbitale
bilden energetisch Multipletts mit vergleichbaren Energien, die “Schalen” / Berücksichtigen der Antisymmetrisierung ⇒ Hartree-Fock Ansatz für N -Elektron Atom: A[Ψ1 (q1 )Ψ2 (q2 ) . . . ΨN (qN )] / Realisierung von A[. . .] durch Slater-Determinante / Darstellung des Modells in den üblichen Skizzen eines
Atoms / Pauli-Prinzip als Konsequenz der Anti-Symmetrisierung // Am Beispiel Helium: Zerlegung
in (2-Teilchen Spin)⊗(2-Teilchen räumliche Funktion) mit jeweils entgegengesetzer Austauschsymmetrie: Orthohelium (symmetrisch bez. sz,1 ↔ sz,2 und anti-symmetrisch bez. ~r1 ↔ ~r2 ) und Parahelium
(anti-symmetrisch bez. sz,1 ↔ sz,2 und symmetrisch bez. ~r1 ↔ ~r2 )
20. Januar
b nicht vom Spin abhängt (Symmetrieargument)
Separation der Spin-Funktion: immer möglich, da H
1
|Φ− i tiefer (Orthohelium)
/ Φ− (~r1 , ~r2 ) hat Knoten auf ~r1 = ~r2 , daher liegt die Energie hΦ− | |~r1 −~
r2 |
/ Berechung der Terme der Abstossungsenergier im HF Ansatz: Direkter Term = Abstossung 2er
Ladungswolken / “Austauschterm” - genuin quantenmechanisch, kein klassisches Analogon / Bemerkungen zur Problematik und Bedeutung des “Austauschwechselwirkung” im Allgemeinen //
~1 ⊗ 1 + 1 ⊗ L
~ 2 als Erhaltungsgrösse bei
Addition von Drehimpulsen: Herleitung von J~ = L
gemeinsamer Rotation der Subsysteme / Verweis auf Spekrum (allgemeine algebraische Argumente)
/ Eigenfunktionen |j, jz i von Jb2 , Jbz : im Raum H = Hs ⊗ Hl , P
wenn die Drehimpulseigenfunktioen der
j,jz
/ C. . . ClebschSubsysteme |l, lz i ∈ Hl und |s, sz i ∈ Hs / Daher: |j, jz i =
|s, sz i ⊗ |l, lz iCs,s
z ,l,lz
Gordan Koeffizienten
25. Januar
b vollständige Charakterisierung durch |jjz sli / Eigenwerte s(s + 1) von
Eigenfunktionen von Jb2 , J:
b2 / Kommutativität [Jb2 , Sb2 ] = 0 und [Jb2 , Sbz ] = 0 etc. / Eigenschaften der
Sb2 ⊗1 und l(l +1) von 1⊗ L
C.G. Koeffizienten / Erläuterung: experimenteller Nachweis, dass eine Messgröse Drehimpulscharakter hat, über Transformationsverhalten under Rotationen / Beispiel Stern-Gerlach / Drehimpuls
~
bezüglich beliebiger Achse Sbâ = â · Sb (Achtung: â bezeichnet hier Einheitsvektor â = ~a/|~a| von
gewöhnlichen Zahlen, der die Achse definiert, â ist KEIN Operator.) // Konzepte der Streutheorie:
Totale und differenzielle Wirkungsquerschnitte
27. Januar
Asymptotische Form der Streulösung / Auswahl
√ aus den Funktionen zum entarteten Energiewert
E durch Festlegen der Einfallsrichtung ~kin = 2mE k̂in / 1-dim Streuung; Wahl: Einfallsrichtung
von “links”, negative x / asymptotische Form ausserhalb eines endlichen Bereichs |x| > R / Amplituden für Reflexion und Transmission r(k), t(k) / Reflexions- und Transmissionskoeffizienten =
Absolutquadrat der Amplituden/ Streutheorie in 3d / Kugelwellen: ein/auslaufend / asymptotische
Form: einlaufende ebene Welle, auslaufende Kugelwellen mit mikroskopisch unterschiedlichen Zentren / Faktorisierung in Streuamplitude f (~k0 , ~k)× Kugelwelle mit Zentrum bei ~r = 0 / Wirkungsquerschnitt = Absolutquadrat der Streuamplitude
9
1. Februar
Lippman-Schwinger(LS) Gleichung: Motivation, allgemeine Form / 1te Born’sche Naeherung / Resolvente, LS im Ortsraum: Kugelwellen! / LS und Streuamplitude / Streuung bei niedrigen Energien:
richtungs- und energieunabhängig / Streulänge / Anmerkungen zu BEC und Gross-Pitaevskii Gleichung als Anwendung für niederenergitische Streuung // Fermis Goldene Regel (letztes Thema im
Prüfungsstoff) // Weitere Bemerkungen: Heisenberg- und Schrödingerbild der QM / Dichtematrix:
statistische Beschreibung im traditionellen Sinn: jenseits des durch die Unschärferelation erzwungenen “echten” Zufalls
3. Februar
Bell’sche Ungleichung(en), Bell-Experimente: die Natur ist nicht “real-lokal”, i.e. nicht so wie wir
sie uns normalerweise vorstellen.
10
2
Notation und Symbole
KM,QM
ON
HO
b Pb, X.
b ..
O,
ρ, ρ(x, p)
Ψ
∼
≈
z∗
b†
A
b
hΦ|A|Ψi
b
σ(A)
b
σp (A)
b
σc (A)
Z
X
da f (a)
Klassische Mech./ Quantenmechanik
“Orthonormal”, orthogonal und auf 1 normiert hφm |φn i = δmn
Harmonischer Oszillator
Messgrössen, Anordnung um aus einem präparierten System Zahlen zu bestimmen
Wahrscheinlichkeitsverteilung im klassichen Phasenraum
Zahlen, die die Eigenschaften eines Quantensystem kodieren, “Wellenfunktion”
“analog” oder “entspricht ungefähr”: “ungefähr” bezieht sich auf Konzepte
“ungefähr gleich gross wie”, Zahlenwerte
für Zahlen z ∈ C: komplex konjugierte, z = x + iy ⇔ z ∗ = x − iy.
b ∈ Cn×n : hermitisch konjugierte (A
b† )ij = (A
bji )∗
für n × n Matrizen A
b = hA
b† Φ|Ψi
allgemein für Operatoren: hΦ|AΨi
b=A
b† : = hΦ|AΨi
b = hAΦ|Ψi
b
nur für hermitische A
b i.e. Menge der Eigenwerte von A
b
Spektrum von A,
Punktspektrum: abzaehlbar diskrete Menge {a0 , a1 , . . . N }, kann sein bis N = ∞
Kontinuierliches Spektrum: Kontinuierliche Teilmenge von C
P
b
ai ∈σp (A)
f (ai ) +
R
b
σc (A)
daf (a)
b
σ(A)
≡
|ai
dbAb
L2Ab
b −1
b bdbbU
U
b
A A A
b
Π
b
χI (A)
a, a†
b
N
⊗
ρ, φ
r, θ, φ, η := cos θ
L2 (dx dy, R2 )
L2 (ρdρ, [0, ∞))
Ylm (φ, η)
Plm (η)
Pl (η) ≡ Pl0 (η)
ident, überall gleich, betont die Unabhängigkeit vom Argument, f (x) ≡ 1 heisst = 1∀x
Normierte Eigenfunktion eines hermitischen Operators
b
Multiplikationsoperator mit a am Spektrum a ∈ σ(A)
b
Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen am Spektrum von A
b Spektralsatz für Operatoren
= A,
Projektor
b Projektor auf Spektralbereich I ⊂ σ(A)
b
Charakteristische Funktion von A,
Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren
Number- (Anzahl-)Operator
Tensorprodukt
Ebene Polarkoordinaten
Polarkoordianten in R3
2
Quadratintegrabel Funktionen
R ∞ auf R ,2kartesische Koor.
Quadratint. Funktionen 0 ρdρ|Ψ(ρ)| < ∞
Kugelflächenfunkunktion
Assoziierte Legendrefunktione
Legendrepolynome
11
3
Lernstoff
Diese Tabellen werden laufend ergänzt, die Inhalte sind thematisch (nicht chronologisch) angeordnet.
Grundsätzlich ist der gesamte Inhalt der Vorlesung Prüfungstoff.
Warnung Die Tabellen heben Eckpunkte hervor, jedoch müssen natürlich auch alle Inhalte, die
zum Verständnis dieser Eckpunkte nötig sind, beherrscht werden.
3.1
Wichtige Experimente und Formeln
Historisches
Balmer Formel
Strahlung heisser Körper
Photoelektrischer Effekt
Wirkungsquantum h: Dimension
Doppelspalt Experiment: Wellennatur
Doppelspalt Experiment: Teilchennatur
3.2
Quelle
Wikipedia
Phaenomene.pdf, Wikipedia
Phaenomene.pdf
Phaenomene.pdf
Phaenomene.pdf
Phaenomene.pdf
Klassische Mechanik
Stoff
Phasenraum
Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum
Messgrössen in der klassischen Mechanik
Erwartungswert
Datum
Quelle(n)
KlassMech.pdf
KlassMech.pdf
KlassMech.pdf
KlassMech.pdf
12
3.3
Quantenmechanik
Grundlegende Struktur der QM
Ortsdarstellung:Ψ(x), µΨ (x)
Impulsdarstellung:Ψ̃(p), µ̃Ψ (p)
Spektraldarstellung:ΨAb(a, λ)
Entartung: Bedeutung von λ
Impulsoperator als Erzeugende der Verschiebung
Impulsoperator im Ortsraum
Impulsoperator: Spektrum
Vertauschungsrelationen
Superpositionsprinzip = Linearität der Wellenfunktionen
Allgemeine Form der Schrödingergleichung
Allgemeine Loesung der Schrödingergleichung
Zusammensetzung des Spektrums aus σp und σc
Eigenfunktionen des Impulses
Bra-Ket Notation
“Kollaps des Wellenpakets”
“Postulate der Quantenmenchanik”
Einfache Systeme
Unendlicher Potentialtopf
Endlicher Potentialtopf
Virialsatz
Zerlegung nach Symmetrien - Pariät
Endl. Topf: gebundende Zust.
Endl. Topf: ungebundende Zust.
Wellenpakete
Dispersion
Harmonischer Osz.: Ortsraum, Impulsraum
Harmonischer Osz.: a, a†
Nullstellen von 1-dim Eigenfunktionen
Quelle
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
Vorlesung,Griffith
StrukturQM,Griffith
StrukturQM,Griffith
StrukturQM
StrukturQM,Cohen-Tannoudji
Quelle
StrukturQM,Griffith,Übungen.5
EinfacheSysteme,Übungen.6
Griffith,Übungen.6
EinfacheSysteme,Übungen.7
EinfacheSysteme,Übungen.6
EinfacheSysteme,Übungen.8
Einf.Syst.,Griffith,Übungen:4.5
EinfacheSysteme
EinfacheSysteme, Griffith
EinfacheSysteme,Cohen-Tannoudji
EinfacheSysteme,Zentralübung
13
Mehrdimensionale Systeme
2-dim HO/2-Teilchen HO
istroper 2-dim HO: Entartung
Verschränkung
Rotationssymmetrie (2d)
2-dim Rotationssymmetrie
endliche Rotation
Lz
b =0
[Lz , H]
bz
Eigenvektoren von L
Zerlegung nach 2d Rotationssymmetrie
Rotationssymmetrie (3d)
Drehimpulsoperatoren: ALLES
bi , L
b2
Definition L
bi
Kommutatorrelationen der L
Leiterooperatoren, Spektrum
Zerlegung nach 3d Rotationssymmetrie
Fermionen und Bosonen
Spin: Darstellung in C2
Drehimpuls zusammengesetzt. Syst.
Addition von Drehimpulsen
Clebsch-Gordan Koeff: Definition
Eigenfunktionen f. zusammenges. Drehimpuls
Ganz- oder Halbzahligkeit des zusammenges. Spins
14
Quelle
MehrDim
MehrDim
MehrDim,CohenTanoudjii,Aufg.12.1
Quelle
MehrDim
MehrDim
MehrDim
MehrDim,Griffith
MehrDim,Griffith
MehrDim
Quelle
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim,Griffith,Cohen-Tanoudji
MehrDim
MehrDim
Atom.pdf,Griffith
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Drehimpuls.pdf
Wasserstoffatom
Hamiltonoperator (atomare Einheiten)
Werte in SI Einheiten und eV
Virialtheorem
“Grösse” des H-Atoms
Typische Geschwindigkeit
Feinstrukturkonstante α
Skalierung mit Z
Skalierung mit Masse
Skalierung - Existenz des Grundzust.
Skalierung - ∞ viele Zustaende
Wasserstoff Eigenfunktionen
Verhalten für grosse r
Drehimpulsbarriere
Entartung mit mit l
Lenz-Runge Vektor
Relativistische Effekte, Spin-Bahn, etc.
Quelle
MehrDim
MehrDim,Griffith
Uebungen
MehrDim
MehrDim
MehrDim,Griffith
MehrDim
Übung 12.5
MehrDim
MehrDim
Quelle
MehrDim,Griffith
MehrDim
Griffith,MehrDim
MehrDim
MehrDim,Griffith
Störungstheorie
Quelle
Formel Korrektur 1te Ordnung Energie
Stoerung.pdf
Formel Korrektur 1te Ordnung Eigenvektor Stoerung.pdf
Formel Korrektur 2te Ordnung Energie
Stoerung.pdf
Starkeffekt des Grundzustands
Stoerung.pdf
Entartete Störungstheorie in 4 Schritten
Stoerung.pdf
Linearer Stark Effekt
Stoerung.pdf
Heliumatom
Spektrum ohne Wechselwirkung
Termschema des Heliumatoms
einfach u doppelt angeregte Zust.
Austaussymmetrie
Austauschterm
Direkter Term
Ortho- und Para-Helium
Fermi’s Goldene Regel
Quelle
Atom.pdf
(nur Vorlesung)
Atom.pdf
Atom.pdf
Atom.pdf,Griffith
Atom.pdf,Griffith
Atom.pdf
Ausblick.pdf
15
Mehrteilchensysteme
Ununterscheidbarkeit
Bosonen und Fermionen
Spin-Statistik Theorem
Pauli-Prinzip
Abspaltung des Spin-Anteils
Term-schema im Atom, Schalenmodell
Hartree-Fock Ansatz, Slater-Determinante
Streutheorie
Wirkungsquerschnitt
Aysmptotische Form, Entartung
1d: Transmission und Reflexionskoeff.
3d: Kugelwellen
Streuamplitude
Lippmann-Schwinger Gleichung
Streulänge
Quelle
Atom.pdf
Atom.pdf
Atom.pdf,Griffith
Atom.pdf,Griffith
Atom.pdf
Atom.pdf
Atom.pdf
Quelle
Streuung.pdf
Streung.pdf
Streuung.pdf
Streuung.pdf
Streuung.pdf
Streuung.pdf
Streuung.pdf
16
3.4 Mathematik
Matrizen u. Operatoren
Diagonalisierung (Spektraldarstellung)
Eigenvektoren
Fouriertransformation
Hermitisch konjugierter Operator
Unitärerer Operator
Satz von Stone
Spektralsatz für Operatoren
Funktionen von Operatoren
Punktspektrum und Kontinuierliches Spektrum
Eigenfunktionen eines Operators
Eigenschaften von hermitischen Operatoren
Projektionsoperator
b
Charakteristische Funktion χ[a0 ,a1 ] (A)
b B]
b = 0 ⇒ [f (A),
b g(B)]
b =0
[A,
Spezielle Funktionen
Hermitepolynome
Legendrepolynome
Assoz.Legendrefunktionen
Laguerrepolynome
Kugelflächenfunktionen
Integration, Lineare Funktionale
δ-Funktion
Vektorraum (linearer Raum)
Operatoren bilden Linearen Raum
b als P f (xn )C
b[x ,xn ] .
Approximation von f (X)
n−1
Hilbertraum (ALLES!)
Skalarprodukt
Norm
Tensorprodukt von Hilberträumen
Skalarprodukt in H = H(a) ⊗ H(b)
Tensorprodukt von Vektoren Φ ⊗ Ψ
b⊗B
b
Tensorprodukt von Operatorren A
Rechnen mit Tensorprodukten
Ableitung von Tensorprodukten
17
Quelle
Übungsblatt 0
Übungsblatt 0
Übungsblatt 1
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StrukturQM.pdf
StruktureQM.pdf,Griffith
StruktureQM.pdf, Cohen-Tanoujii 2.2.3
StructureQM.pdf
MehrDim.pdf
Quelle
Wikipedia,EinfacheSysteme,Übungen
Wikipedia,MehrDim
Wikipedia,MehrDim
Wikipedia,MehrDim
Wikipedia,MehrDim
Quelle
Übungsblatt 1
Quelle
StrukturQM.pdf, Griffith
KlassMech.pdf
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf,Griffith
StrukturQM.pdf,Griffith
MehrDim.pdf
MehrDim.pdf
MehrDim.pdf
MehrDim.pdf
vielfach, z.B. Ueb 13.1
Drehimpuls.pdf