Quantenmechanik I Sommersemester 2013

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ Blatt 5 wurde am 22.5. , 23.5. , 24.5. , sowie dem 27.5. und
28.5. besprochen. Die Übungen (auch die Zentralübung)
am 29.5. und 31.5. entfallen
Hinweise
☞ Blatt 5 wurde am 22.5. , 23.5. , 24.5. , sowie dem 27.5. und
28.5. besprochen. Die Übungen (auch die Zentralübung)
am 29.5. und 31.5. entfallen
☞ Ab dem 3.6. wird der Übungsbetrieb mit Blatt 6 fortgesetzt
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden. Es gilt die
Normierungsbedingung
Z
d3 r |Ψ(~r, t)|2 = 1 = (Ψ, Ψ)
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden.
Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen
Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik
hermitesche Operatoren. Der Erwartungswert
eines Operators A im durch Ψ(~r, t) beschriebenen
Zustand ist gegeben durch
Z
hAi =
d3 r Ψ∗ (~r, t) A Ψ(~r, t) = Ψ, A Ψ
Dieser Wert ergibt sich durch Mittelung der
Messergebnisse, die man erhält, wenn man das
System sehr oft in dem durch Ψ(~r, t) beschriebenen
Zustand präpariert und die zu A assoziierte Größe
misst.
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden.
Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen
Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik
hermitesche Operatoren.
Beispiele :
Klassische Größe
Ort ~r
Impuls ~p
~ = ~r × ~p
Drehimpuls L
~p 2
2m
Potentielle Energie V(~r, ~p)
~p 2
Hamilton–Funktion H =
+V
2m
Kinetische Energie T =
QM Operator
~r = ~r
~
~ = −i ~ ∇
p
~ = −i ~ ~r × ∇
~
L
~2
~2
p
= −
∆
2m
2m
~
V(~r, −i ~ ∇)
T =
H=
p2
~2
+V =−
∆+V
2m
2m
Postulate der Quantenmechanik (I)
Postulat I: Der Zustand eines Teilchens wird durch seine
Wellenfunktion Ψ(~r, t) beschrieben. |Ψ(~r, t)|2 d3 r gibt
die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort ~r
im Volumenelement d3 r zu finden.
Postulat II: Den Messgrößen (Observablen) der klassischen
Mechanik entsprechen in der Quantenmechanik
hermitesche Operatoren.
Postulat III. Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion wird
durch die Schrödinger–Gleichung
∂
i ~ Ψ(~r, t) = H Ψ(~r, t)
∂t
beschrieben.
Ehrenfest’sches Theorem
☞ Zeitableitung von Erwartungswerten
d ∂A
i A =
H, A +
dt
~
∂t
Ehrenfest’sches Theorem
☞ Zeitableitung von Erwartungswerten
d ∂A
i A =
H, A +
dt
~
∂t
☞ Kommutator von Hamilton–Operator und Ortskoordinate


3
X
p2j
i~
[H, xi ] = 
, xi  = −
pi
2m
m
j=1
Ehrenfest’sches Theorem
☞ Zeitableitung von Erwartungswerten
d ∂A
i A =
H, A +
dt
~
∂t
☞ Kommutator von Hamilton–Operator und Ortskoordinate


3
X
p2j
i~
[H, xi ] = 
, xi  = −
pi
2m
m
j=1
➥ Zeitableitung von ~r
i d ~r =
H, ~r
=
dt
~
~
p
m
~
☞ Analog: Zeitableitung von p
D E
d i ∂V
~
~ =−
~ =
= F
H, p
p
dt
~
∂~r
Unschärferelation
☞ Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren
1 ∆A · (∆B) ≥
B, A 2
Unschärferelation
☞ Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren
1 ∆A · (∆B) ≥
B, A 2
☞ Heisenberg’sche Unschärferelation
∆p · ∆x ≥
~
2
∆x
∆p
Unschärferelation
☞ Allgemeine Relation für hermitesche Operatoren
1 ∆A · (∆B) ≥
B, A 2
☞ Heisenberg’sche Unschärferelation
∆p · ∆x ≥
~
2
☞ Energie–Zeit–Unschärfe
∆E · ∆t ≥
~
2
Eigenwertgleichungen
☞ Zeitunabhängige Schrödinger–Gleichung
H ψ(x) = E ψ(x)
ist ein Beispiel für eine Eigenwertgleichung
A ϕ(x) = a ϕ(x)
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
☞ In praktisch allen relevanten Fällen sind die Eigenfunktionen
ψn hermitescher Operatoren vollständig, d.h. beliebige ϕ
lassen sich schreiben als
X
ϕ(~r) =
cn ψn (~r)
mit cn ∈
C
n
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
☞ In praktisch allen relevanten Fällen sind die Eigenfunktionen
ψn hermitescher Operatoren vollständig, d.h. beliebige ϕ
lassen sich schreiben als
X
ϕ(~r) =
cn ψn (~r)
mit cn ∈
C
n
mit
cm =
Z
d3 r ψ∗m (~r) ϕ(~r)
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
☞ In praktisch allen relevanten Fällen sind die Eigenfunktionen
ψn hermitescher Operatoren vollständig, d.h. beliebige ϕ
lassen sich schreiben als
X
ϕ(~r) =
cn ψn (~r)
mit cn ∈
C
n
mit
cm =
Z
d3 r ψ∗m (~r) ϕ(~r)
➥ Zweite Form der Vollständigkeitsrelation
X
ψn (x) ψ∗n (y) = δ(x − y)
n
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
A, B . . . : Satz kommutierender hermitescher Operatoren
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
A, B . . . : Satz kommutierender hermitescher Operatoren
y simultane Eigenfunktionen ψab...
A ψab...
B ψab...
=
=
..
.
a ψab...
b ψab...
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
A, B . . . : Satz kommutierender hermitescher Operatoren
y simultane Eigenfunktionen ψab...
A ψab...
B ψab...
=
=
..
.
a ψab...
b ψab...
Quantenzahlen
Unendlich hoher Potentialtopf
V(x)
x
I
a
−a
☞ Potential
0
V(x) =
∞
II
für
für
|x| ≤ a
|x| > a
III
Unendlich hoher Potentialtopf
V(x)
x
I
a
−a
☞ Potential
0
V(x) =
∞
II
für
für
|x| ≤ a
|x| > a
☞ Randbedingungen
ψ(x) = 0 für
|x| ≥ a
III
Unendlich hoher Potentialtopf: Lösungen
☞ Unterteilung gemäß Parität
(g) gerade Lösungen ψ(x) = A cos(q x)
(u) ungerade Lösungen ψ(x) = B sin(q x)
Unendlich hoher Potentialtopf: Lösungen
☞ Unterteilung gemäß Parität
(g) gerade Lösungen ψ(x) = A cos(q x)
(u) ungerade Lösungen ψ(x) = B sin(q x)
☞ Normierte Lösungen = Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
qn =
n+1
2
π
a
Unendlich hoher Potentialtopf: Lösungen
☞ Unterteilung gemäß Parität
(g) gerade Lösungen ψ(x) = A cos(q x)
(u) ungerade Lösungen ψ(x) = B sin(q x)
☞ Normierte Lösungen = Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
qn =
n+1
2
π
a
☞ Eigenfunktionen von H sind auch Eigenfunktionen zum
Paritätsoperator P, da [H, P] = 0
Unendlich hoher Potentialtopf: Spektrum
☞ Energie–Eigenwerte
En =
~2
~2 q2n
=
2m
2m
n+1
2
2
π2
a2
Unendlich hoher Potentialtopf: Spektrum
☞ Energie–Eigenwerte
En =
~2
~2 q2n
=
2m
2m
☞ Eigenschaften:
• Spektrum: diskret
• E0 > 0
n+1
2
2
π2
a2
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
n=1
mit ω = π/a
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
n=1
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
mit ω = π/a
☞ Wesentlich: ϕN konvergieren gegen ϕ für N → ∞
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
n=1
mit ω = π/a
☞ Wesentlich: ϕN konvergieren gegen ϕ für N → ∞
➥ sin(n ω x) und cos(n ω x) sind vollständig
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
n=1
mit ω = π/a
☞ Wesentlich: ϕN konvergieren gegen ϕ für N → ∞
➥ sin(n ω x) und cos(n ω x) sind vollständig
☞ Fourier–Koeffizienten ergeben sich durch Projektionen
an
bn
=
=
1
a
1
a
Za
−a
Za
−a
dx cos (n ω x) ϕ(x)
dx sin (n ω x) ϕ(x)
Vollständigkeit der Lösungen im ∞en Kasten
☞ Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
n+1 π
mit qn =
2
a
Vollständigkeit der Lösungen im ∞en Kasten
☞ Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
n+1 π
mit qn =
2
a
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] mit ϕ(±a) = 0 kann
approximiert werden durch
ϕN (x) =
N
X
cn ψn (x)
n=0
mit cn =
Za
−a
dx ψ∗n (x) ϕ(x)
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
b
E2
E1
x
E0
−a
a
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
E2
E1
x
E0
−a
a
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
E2
b
E1
x
E0
−a
a
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
2. Die Wahrscheinlichkeit, En zu messen, ist durch |cn |2
gegeben.
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
2. Die Wahrscheinlichkeit, En zu messen, ist durch |cn |2
gegeben.
3. Nach der Messung ist das System im Zustand ψn .
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
☞ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
ϕ(x, t)
=
Z
dy δ(x − y) ϕ(y, t)
=
Z
dy
=
X Z
=:
X
n
n
X
ψn (x) ψ∗n(y) ϕ(y, t)
n
dy ψ∗n (y) ϕ(y, t) · ψn (x)
cn (t) · ψn (x)
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
☞ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
ϕ(x, t) =:
X
n
cn (t) · ψn (x)
☞ Zeitabhängigkeit der cn
En t
cn (t) = cn (0) exp −i
~
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
☞ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
ϕ(x, t) =:
X
n
cn (t) · ψn (x)
☞ Zeitabhängigkeit der cn
En t
cn (t) = cn (0) exp −i
~
➥ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
X
En t
ϕ(x, t) =
(ψn , ϕ) exp −i
ψn (x)
~
n
t=0