12. Vorlesung

Quantenmechanik I
Sommersemester 2013
QM Web–Page
http://einrichtungen.physik.tu-muenchen.de/T30e/
teaching/ss13/qm1.d.html
Hinweise
☞ 2. Quantentest vsl. am 17.6.
Hinweise
☞ 2. Quantentest vsl. am 17.6.
☞ Vorlesungsumfrage vsl. am 12.6.
Eigenwertgleichungen
☞ Zeitunabhängige Schrödinger–Gleichung
H ψ(x) = E ψ(x)
ist ein Beispiel für eine Eigenwertgleichung
A ϕ(x) = a ϕ(x)
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
☞ In praktisch allen relevanten Fällen sind die Eigenfunktionen
ψn hermitescher Operatoren vollständig, d.h. beliebige ϕ
lassen sich schreiben als
X
ϕ(~r) =
cn ψn (~r)
mit cn ∈
C
n
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
☞ In praktisch allen relevanten Fällen sind die Eigenfunktionen
ψn hermitescher Operatoren vollständig, d.h. beliebige ϕ
lassen sich schreiben als
X
ϕ(~r) =
cn ψn (~r)
mit cn ∈
C
n
mit
cm =
Z
d3 r ψ∗m (~r) ϕ(~r)
Eigenwertgleichungen für hermitesche
Operatoren
☞ Hermitesche Operatoren besitzen nur reelle Eigenwerte.
☞ Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu
verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
☞ In praktisch allen relevanten Fällen sind die Eigenfunktionen
ψn hermitescher Operatoren vollständig, d.h. beliebige ϕ
lassen sich schreiben als
X
ϕ(~r) =
cn ψn (~r)
mit cn ∈
C
n
mit
cm =
Z
d3 r ψ∗m (~r) ϕ(~r)
➥ Zweite Form der Vollständigkeitsrelation
X
ψn (x) ψ∗n (y) = δ(x − y)
n
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
A, B . . . : Satz kommutierender hermitescher Operatoren
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
A, B . . . : Satz kommutierender hermitescher Operatoren
y simultane Eigenfunktionen ψab...
A ψab...
B ψab...
=
=
..
.
a ψab...
b ψab...
Charakterisierung von Zuständen
Theorem:
Zwei untereinander kommutierende hermitesche Operatoren A und B besitzen einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen.
➥ Anwendung: Charakterisierung von Zuständen
A, B . . . : Satz kommutierender hermitescher Operatoren
y simultane Eigenfunktionen ψab...
A ψab...
B ψab...
=
=
..
.
a ψab...
b ψab...
Quantenzahlen
Unendlich hoher Potentialtopf
V(x)
x
I
a
−a
☞ Potential
0
V(x) =
∞
II
für
für
|x| ≤ a
|x| > a
III
Unendlich hoher Potentialtopf
V(x)
x
I
a
−a
☞ Potential
0
V(x) =
∞
II
für
für
|x| ≤ a
|x| > a
☞ Randbedingungen
ψ(x) = 0 für
|x| ≥ a
III
Unendlich hoher Potentialtopf: Lösungen
☞ Unterteilung gemäß Parität
(g) gerade Lösungen ψ(x) = A cos(q x)
(u) ungerade Lösungen ψ(x) = B sin(q x)
Unendlich hoher Potentialtopf: Lösungen
☞ Unterteilung gemäß Parität
(g) gerade Lösungen ψ(x) = A cos(q x)
(u) ungerade Lösungen ψ(x) = B sin(q x)
☞ Normierte Lösungen = Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
qn =
n+1
2
π
a
Unendlich hoher Potentialtopf: Lösungen
☞ Unterteilung gemäß Parität
(g) gerade Lösungen ψ(x) = A cos(q x)
(u) ungerade Lösungen ψ(x) = B sin(q x)
☞ Normierte Lösungen = Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
qn =
n+1
2
π
a
☞ Eigenfunktionen von H sind auch Eigenfunktionen zum
Paritätsoperator P, da [H, P] = 0
Unendlich hoher Potentialtopf: Spektrum
☞ Energie–Eigenwerte
En =
~2
~2 q2n
=
2m
2m
n+1
2
2
π2
a2
Unendlich hoher Potentialtopf: Spektrum
☞ Energie–Eigenwerte
En =
~2
~2 q2n
=
2m
2m
☞ Eigenschaften:
• Spektrum: diskret
• E0 > 0
n+1
2
2
π2
a2
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
n=1
mit ω = π/a
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
n=1
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
mit ω = π/a
☞ Wesentlich: ϕN konvergieren gegen ϕ für N → ∞
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
n=1
mit ω = π/a
☞ Wesentlich: ϕN konvergieren gegen ϕ für N → ∞
➥ sin(n ω x) und cos(n ω x) sind vollständig
Fourier–Reihen
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] kann approximiert werden
durch
ϕN (x) = a0 +
N
X
an cos(n ω x) + bn sin(n ω x)
n=1
mit ω = π/a
☞ Wesentlich: ϕN konvergieren gegen ϕ für N → ∞
➥ sin(n ω x) und cos(n ω x) sind vollständig
☞ Fourier–Koeffizienten ergeben sich durch Projektionen
an
bn
=
=
1
a
1
a
Za
−a
Za
−a
dx cos (n ω x) ϕ(x)
dx sin (n ω x) ϕ(x)
Vollständigkeit der Lösungen im ∞en Kasten
☞ Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
n+1 π
mit qn =
2
a
Vollständigkeit der Lösungen im ∞en Kasten
☞ Eigenfunktionen von H

1


 √ cos(qn x) für n = 0, 2, 4, . . .
a
ψn (x) =
1


 √ sin(qn x) für n = 1, 3, 5, . . .
a
n+1 π
mit qn =
2
a
☞ Stetige Funktion ϕ auf I = [−a, a] mit ϕ(±a) = 0 kann
approximiert werden durch
ϕN (x) =
N
X
cn ψn (x)
n=0
mit cn =
Za
−a
dx ψ∗n (x) ϕ(x)
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
b
E2
E1
x
E0
−a
a
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
E2
E1
x
E0
−a
a
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
E2
b
E1
x
E0
−a
a
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
2. Die Wahrscheinlichkeit, En zu messen, ist durch |cn |2
gegeben.
„Kollaps“ der Wellenfunktion
Wesentliche Axiome:
1. Die Messung kann nur einen der diskreten Eigenwerte En
liefern.
2. Die Wahrscheinlichkeit, En zu messen, ist durch |cn |2
gegeben.
3. Nach der Messung ist das System im Zustand ψn .
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
☞ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
ϕ(x, t)
=
=
=
Z
Z
dy
X
X Z
n
=:
dy δ(x − y) ϕ(y, t)
X
n
ψn (x) ψ∗n(y) ϕ(y, t)
n
dy ψ∗n (y) ϕ(y, t) · ψn (x)
cn (t) · ψn (x)
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
☞ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
ϕ(x, t) =:
X
n
cn (t) · ψn (x)
☞ Zeitabhängigkeit der cn
En t
cn (t) = cn (0) exp −i
~
Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
☞ Stationäre Systeme (d.h. H unabhängig von t)
i
Ψn (x, t) = ψn (x) exp − En t
~
☞ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
ϕ(x, t) =:
X
n
cn (t) · ψn (x)
☞ Zeitabhängigkeit der cn
En t
cn (t) = cn (0) exp −i
~
➥ Zeitliche Entwicklung beliebiger Zustände
X
En t
ϕ(x, t) =
(ψn , ϕ) exp −i
ψn (x)
~
n
t=0
Zeitentwicklungsoperator
☞ Betrachte zeitunabhängigen Hamilton–Operator H
Zeitentwicklungsoperator
☞ Betrachte zeitunabhängigen Hamilton–Operator H
i
☞ Zeitentwicklungsoperator: exp − H t
~
Zeitentwicklungsoperator
☞ Betrachte zeitunabhängigen Hamilton–Operator H
i
☞ Zeitentwicklungsoperator: exp − H t
~
i
☞ exp − H t liefert Zeitabhängigkeit, d.h.
~
i
ψ(t) = exp − H t ψ(0)
~
löst Schrödinger–Gleichung
i~
∂
ψ(t) = H ψ(t)
∂t
Erhaltungsgrößen
☞ Zeitunabhängiger Operator A mit Eigenfunktion ψ
A ψ = a ψ zur Zeit t = 0
Erhaltungsgrößen
☞ Zeitunabhängiger Operator A mit Eigenfunktion ψ
A ψ = a ψ zur Zeit t = 0
☞ Annahme: A, H
Erhaltungsgrößen
☞ Zeitunabhängiger Operator A mit Eigenfunktion ψ
A ψ = a ψ zur Zeit t = 0
☞ Annahme: A, H
i
y A, exp − H t
= 0
~
Erhaltungsgrößen
☞ Zeitunabhängiger Operator A mit Eigenfunktion ψ
A ψ = a ψ zur Zeit t = 0
☞ Annahme: A, H
i
y A, exp − H t
= 0
~
☞ ψ Eigenfunktion für alle t
A ψ(t) =
=
=
i
exp − H t A ψ(0)
~
i
exp − H t a ψ(0)
~
a ψ(t)
Erhaltungsgrößen
☞ Zeitunabhängiger Operator A mit Eigenfunktion ψ
A ψ = a ψ zur Zeit t = 0
☞ Annahme: A, H
i
y A, exp − H t
= 0
~
☞ ψ Eigenfunktion für alle t
A ψ(t) =
=
=
i
exp − H t A ψ(0)
~
i
exp − H t a ψ(0)
~
a ψ(t)
Fazit:
[H, A] = 0 y A entspricht Erhaltungsgröße
Impuls–Eigenfunktionen in einer Dimension
☞ Eigenfunktionen ϕp mit
p ϕp (x) =
~ d
!
ϕp (x) = p ϕp (x)
i dx
Impuls–Eigenfunktionen in einer Dimension
☞ Eigenfunktionen ϕp mit
~ d
!
ϕp (x) = p ϕp (x)
p ϕp (x) =
i dx
y
1
ϕp (x) = √
exp
2π ~
ipx
~
Impuls–Eigenfunktionen in einer Dimension
☞ Eigenfunktionen ϕp mit
~ d
!
ϕp (x) = p ϕp (x)
p ϕp (x) =
i dx
y
☞ Orthonormalität
(ϕp , ϕq ) =
Z∞
−∞
dx ϕ∗p (x) ϕq (x) = δ(p − q)
1
ϕp (x) = √
exp
2π ~
ipx
~
Impuls–Eigenfunktionen in einer Dimension
☞ Eigenfunktionen ϕp mit
~ d
!
ϕp (x) = p ϕp (x)
p ϕp (x) =
i dx
y
ϕp (x) = √
exp
2π ~
☞ Orthonormalität
(ϕp , ϕq ) =
Z∞
dx ϕ∗p (x) ϕq (x) = δ(p − q)
−∞
☞ Vollständigkeit
Z∞
dp ϕ∗p (y) ϕp (x)
−∞
d.h. ψ(x) =
Z
p
=
Z∞
−∞
1
dp i p (x−y)
e~
= δ(x − y)
2π ~
b(p)
(ϕp , ψ) ϕp (x) mit (ϕp , ψ) = ψ
ipx
~
Verallgemeinerte Vollständigkeitsrelationen
☞ Vollständigkeitsrelation für den allgemeinen Fall
ϕ(~r)
=
Z
X
cn ψn (~r)
n
=
 X

cn ψn (~r) ,



 n
Z




 dn c(n) ψn (~r) ,
für n diskret
für n kontinuierlich
➥ Vollständigkeitsrelation impliziert
Z
X
ψn (x) ψ∗n (y) = δ(x − y)
n
Abstrakte Zustandsvektoren und Hilbert–Raum
☞ Abstrakte Darstellung
Ket-Vektor |ψi
←→
Zustand
Abstrakte Zustandsvektoren und Hilbert–Raum
☞ Abstrakte Darstellung
Ket-Vektor |ψi
←→
Zustand
☞ Energie-Eigenzustände |ni
H |ni = En |ni
Abstrakte Zustandsvektoren und Hilbert–Raum
☞ Abstrakte Darstellung
Ket-Vektor |ψi
←→
Zustand
☞ Energie-Eigenzustände |ni
H |ni = En |ni
☞ Hilbert–Raum H: vollständiger Vektorraum mit Innenprodukt
|ψi , |ϕi 7→ hψ|ϕi
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
(ii) Linearität im zweiten Argument
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
(ii) Linearität im zweiten Argument
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
(iii) (i) + (ii) y
(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 , ψ) = c∗1 (ϕ1 , ψ) + c∗2 (ϕ2 , ψ)
Skalarprodukt in L2
☞ Definition
Z
(ϕ, ψ) :=
d3 r ϕ∗ (~r) ψ(~r)
☞ Eigenschaften:
(i) Konjugationssymmetrie
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
(ii) Linearität im zweiten Argument
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
(iii) (i) + (ii) y
(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 , ψ) = c∗1 (ϕ1 , ψ) + c∗2 (ϕ2 , ψ)
(iv) Positivität
Z
Z
(ψ, ψ) =
d3 r ψ∗ (~r) ψ(~r) =
d3 r |ψ(~r)|2 ≥ 0
wobei „=“ nur falls ψ(~r) ≡ 0.
Eigenschaften des Innenprodukts
1
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Eigenschaften des Innenprodukts
1
2
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Linearität im zweiten Argument
hϕ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i
Eigenschaften des Innenprodukts
1
2
3
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Linearität im zweiten Argument
hϕ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i
hc1 ϕ1 + c2 ϕ2 |ψi = c∗1 hϕ1 |ψi + c∗2 hϕ2 , ψi
Eigenschaften des Innenprodukts
1
2
3
4
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Linearität im zweiten Argument
hϕ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i
hc1 ϕ1 + c2 ϕ2 |ψi = c∗1 hϕ1 |ψi + c∗2 hϕ2 , ψi
Positivität
hψ|ψi ≥ 0
y Norm eines Hilbertraum–Vektors : k |ψi k :=
√
hψ|ψi
Eigenschaften des Innenprodukts
1
2
3
4
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Linearität im zweiten Argument
hϕ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i
hc1 ϕ1 + c2 ϕ2 |ψi = c∗1 hϕ1 |ψi + c∗2 hϕ2 , ψi
Positivität
hψ|ψi ≥ 0
y Norm eines Hilbertraum–Vektors : k |ψi k :=
☞ Rechenregeln (mit a, b ∈
(i) |ψ1 + ψ2 i = |ψ1 i + |ψ2 i
C):
√
hψ|ψi
Eigenschaften des Innenprodukts
1
2
3
4
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Linearität im zweiten Argument
hϕ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i
hc1 ϕ1 + c2 ϕ2 |ψi = c∗1 hϕ1 |ψi + c∗2 hϕ2 , ψi
Positivität
hψ|ψi ≥ 0
y Norm eines Hilbertraum–Vektors : k |ψi k :=
☞ Rechenregeln (mit a, b ∈
C):
(i) |ψ1 + ψ2 i = |ψ1 i + |ψ2 i
(ii) (a + b) |ψi = a |ψi + b |ψi
√
hψ|ψi
Eigenschaften des Innenprodukts
1
2
3
4
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Linearität im zweiten Argument
hϕ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i
hc1 ϕ1 + c2 ϕ2 |ψi = c∗1 hϕ1 |ψi + c∗2 hϕ2 , ψi
Positivität
hψ|ψi ≥ 0
y Norm eines Hilbertraum–Vektors : k |ψi k :=
☞ Rechenregeln (mit a, b ∈
C):
(i) |ψ1 + ψ2 i = |ψ1 i + |ψ2 i
(ii) (a + b) |ψi = a |ψi + b |ψi
(iii) hψ|a ϕi = a hψ|ϕi
√
hψ|ψi
Eigenschaften des Innenprodukts
1
2
3
4
Konjugationssymmetrie: hϕ|ψi∗ = hψ|ϕi
Linearität im zweiten Argument
hϕ|c1 ψ1 + c2 ψ2 i = c1 hϕ|ψ1 i + c2 hϕ|ψ2 i
hc1 ϕ1 + c2 ϕ2 |ψi = c∗1 hϕ1 |ψi + c∗2 hϕ2 , ψi
Positivität
hψ|ψi ≥ 0
y Norm eines Hilbertraum–Vektors : k |ψi k :=
☞ Rechenregeln (mit a, b ∈
C):
(i) |ψ1 + ψ2 i = |ψ1 i + |ψ2 i
(ii) (a + b) |ψi = a |ψi + b |ψi
(iii) hψ|a ϕi = a hψ|ϕi
(iv) ha ψ|ϕi = a∗ hψ|ϕi
√
hψ|ψi
Dualraum
☞ Allgemeine Definition
Dual-Raum = {lineare Abbildungen H →
C}
Dualraum
☞ Allgemeine Definition
Dual-Raum = {lineare Abbildungen H →
☞ Definition über Innenprodukt
hϕ| : |ψi 7→ hϕ|ψi ∈
Bra–Vektor
Ket–Vektor
C}
C
Bracket
Dualraum
☞ Allgemeine Definition
Dual-Raum = {lineare Abbildungen H →
☞ Definition über Innenprodukt
hϕ| : |ψi 7→ hϕ|ψi ∈
Bra–Vektor
Ket–Vektor
C}
C
Bracket
☞ Streng genommen keine 1:1 Korrespondenz zwischen
Hilbert–Raum Vektoren und Elementen von
Funktionenräumen möglich
Impulseigenzustände
☞ Eigenfunktionen des Impulsoperators
ipx
1
ϕp (x) = √
e~
2π ~
Impulseigenzustände
☞ Eigenfunktionen des Impulsoperators
ipx
1
ϕp (x) = √
e~
2π ~
➥ Abstrakte Eigenzustände |pi
Impulseigenzustände
☞ Eigenfunktionen des Impulsoperators
ipx
1
ϕp (x) = √
e~
2π ~
➥ Abstrakte Eigenzustände |pi
☞ Innenprodukt
hp|qi = (ϕp , ϕq )
Impulseigenzustände
☞ Eigenfunktionen des Impulsoperators
ipx
1
ϕp (x) = √
e~
2π ~
➥ Abstrakte Eigenzustände |pi
☞ Innenprodukt
hp|qi = (ϕp , ϕq )
☞ Allgemeiner Zustand |ψi
hp|ψi =
=
=
=
(ϕp , ψ)
Z
dx ϕ∗p (x) ψ(x)
Z
ipx
1
√
dx e− ~ ψ(x)
2π ~
b(p)
ψ
Orts–Eigenzustände
☞ Eigenfunktionen zum Ortsoperator
!
x ϕx′ (x) = x ϕx′ (x) = x′ · ϕx′ (x)
Orts–Eigenzustände
☞ Eigenfunktionen zum Ortsoperator
!
x ϕx′ (x) = x ϕx′ (x) = x′ · ϕx′ (x)
☞ Darstellung durch δ–Funktion
ϕx′ (x) = δ(x − x′ )
Orts–Eigenzustände
☞ Eigenfunktionen zum Ortsoperator
!
x ϕx′ (x) = x ϕx′ (x) = x′ · ϕx′ (x)
☞ Darstellung durch δ–Funktion
ϕx′ (x) = δ(x − x′ )
☞ Orthogonalität
hx′ |x′′ i =
=
Z
Z
dx ϕ∗x′ (x) ϕx′′ (x)
dx δ(x − x′ ) δ(x − x′′ ) = δ(x′ − x′′ )
Orts–Eigenzustände
☞ Eigenfunktionen zum Ortsoperator
!
x ϕx′ (x) = x ϕx′ (x) = x′ · ϕx′ (x)
☞ Darstellung durch δ–Funktion
ϕx′ (x) = δ(x − x′ )
☞ Orthogonalität
hx′ |x′′ i =
δ(x′ − x′′ )
☞ Vollständigkeit
Z
Z
X
ϕ∗x′ (x) ϕx′ (x′′ ) =
dx δ(x − x′ ) · δ(x′′ − x′ ) = δ(x − x′′ )
x′