Theoretische Physik (Formelsammlung)

Formelsammlung Theoretische Physik
Examensvorbereitung
Frank Reinhold
6. März 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Mechanik
Drehimpulskomponente Lz in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Langrange-Bewegungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kanonische Impulse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effektives Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hamiltonfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raumzeit-Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei-Körper-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschwindigkeit auf dem Rand einer rotierenden
Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erhaltungssätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ruhelage einer Pendelschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 Elektrodynamik
Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare, isotrope, homogene Materialien. . . . . . . . . . . . .
Transversale Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetfeld, Fluss und Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungsund Stromdichten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundgleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potential mit Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ladungsträgerdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexer Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel . . . . . .
Leitende Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maxwell-Gleichung der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geerdete Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übliche Anschlussbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3 Thermodynamik
Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Freie Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Freie Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauptsätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezifische Wäme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Temperaturunabhängige Wärmekapazität . . . . . . . . . . .
Gleichgewichtszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4 Quantenmechanik
Impulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stufenoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
2
2
2
2
2
Erwartungswert eines Zustandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswerte für bestimmte Operatoren . . . . . . . . .
Varianz eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromdichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schrödingergleichung mit konstantem Potential . . . . .
Schrödingergleichung mit Delta-Potential. . . . . . . . . . . .
Schrödingergleichung mit quadratischem Potential . .
Schrödingergleichung mit Zentralpotential. . . . . . . . . . .
Zeitentwicklung eines Zustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Störungstheorie 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ehrenfest-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pauli-Spin-Matrix in z-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1 Mechanik
Geschwindigkeit auf dem Rand einer rotierenden Kugel vom Radius R
Drehimpulskomponente Lz in R3
∂L
= m~
r×~
r˙ .
Lz = xẏ − y ẋ =
z
∂ ϕ̇
~
Vx = vx + |~
ω × R|,
(1)
d ∂L
∂L
−
.
dt ∂ ϕ̇
∂ϕ
(2)
H=
∂L
∂ ẋ
n
X
Ist die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeiten, bzw. die Zwangsbedingung skleronom, so ist die Hamiltonfunktion gleich der Energie.
Ist ϕ eine zyklische Koordinate, d. h. ∂L/∂ϕ = 0, so ist die
zugehörige Drehimpulskomponente Lz erhalten.
Kanonische Impulse
px =
mit vx der Geschwindigkeit des Schwerpunktes und ω
~ der Winkelgeschwindigkeit.
Erhaltungssätze Ist die Lagrange-Funktion nicht explizit
zeitabhängig, so ist die Hamiltonfunktion erhalten.
Langrange-Bewegungsgleichung
0=
(16)
(3)
pxj ẋj − L.
(4)
Schiefe Ebene Die Kinetische Energie ist die Translation
des Schwerpunktes plus die Rotation um den Schwerpunkt.
j=1
Ruhelage einer Pendelschwingung Die Ruhelage einer
Pendenlschwingung liegt bei z = z0 wenn sich die Energie
Epot nicht ändert, also
Leistung
P =
~ d~
F
r
dW
~ ·~
=
=F
r˙.
dt
dt
(5)
Effektives Potential Ein Teilchen beschreibt eine Kreisbahn, wenn die Energie gleich dem Minimum des effektiven
Potentials
Veff (~
r) = E(~
r) − T (~
r)
0=
Konservative Kräfte
wenn gilt
dEpot .
dz z=z0
(17)
~ heißt konservativ,
Eine Kraft F
~ ×F
~ = 0.
∇
(18)
(6)
ist.
2 Elektrodynamik
Makroskopische Maxwell-Gleichungen
Hamiltonfunktion
H=
X
j
q̇j
∂L
− L.
∂ q̇
~
~ ×E
~ = − [c] ∂ B ,
∇
c ∂t
~ ·B
~ = 0,
∇
(7)
(19)
(20)
~ ·D
~ = 4π %,
∇
[4π]
Raumzeit-Intervall
∆s2 = (c∆t)2 − (δ~
r)2 =
~ ×H
~ = [c]
∇
c
(8)
= c2 (tx − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2 . (9)
(21)
~
4π
∂D
~ +
[4π]
∂t
!
.
(22)
Lineare, isotrope, homogene Materialien
Zwei-Körper-Problem Im folgenden werden die Gleichungen zunächst im Allgemeinen Fall aufgestellt und schließlich für den Fall m1 = m2 = m näher betrachtet.
~ = ε[ε0 ]E
~ = [ε0 ]E
~ + 4π P
~,
D
[4π]
~ = 1 B
~ = 1 B
~ − 4π M
~,
H
µ[µ0 ]
[µ0 ]
[4π]
~
~ = σ E.
Schwerpunktmasse
M = m1 + m2 = 2m.
(10)
m1 m2
m
=
.
m1 + m2
2
(11)
(23)
(24)
(25)
Reduzierte Masse
µ=
Transversale Felder
~ r, t) = E
~ 0 · ei(~k~r−ωt)
E(~
Schwerpunktskoordinaten
r1 − ~
r2
~ = ~
R
.
2
i(~
k~
r −ωt)
~ r, t) = B
~0 · e
B(~
(27)
Dispersion
k2 =
(13)
Und damit gilt für die beiden einzelnen Koordinaten
2
.
(12)
Relativkoordinaten
~
r=~
r1 − ~
r2 .
(26)
ω2
.
v2
(28)
Poynting-Vektor
~ + ~r/2,
~
r1 = R
(14)
~ − ~r/2.
~
r2 = R
(15)
4π
~ × H.
~
~ = [ /c] E
S
4π/c
(29)
Magnetfeld, Fluss und Vektorpotential
Komplexer Brechungsindex
~ =∇
~ ×A
~
B
ZZ
~ · df~.
B
Φ=
Satz von Gauß
I
∂V
1
~
df~ · E(r)
=
ε0
Elektrostatische Energie
Z
1
W =
%(~
r) · φ(~
r) d3 r.
2
Z
d3 r %(r).
Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel
%(~
r) =
~
d~s · A.
dQ
Q
Q
=
=
= const.
4/3 · πR3
dV
V
Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungs- und
Stromdichten
Leitende Kugel Bei einer leitenden Kugel befinden
sich die Ladungen ausschließlich auf der Oberfläche. Die
Flächenladungsdichte σ(~
r) führt zur Raumladungsdichte %(~
r):
Q
Q
dQ
=
=
= const
dA
A
4πR2
Q
%(~
r) = σ(~
r) · δ(r − R) =
· δ(r − R).
4πR2
σ(~
r) =
~ ·E
~ =0
∇
(34)
~ ·B
~ =0
∇
(35)
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
1 ∂E
~
~
∇×B =
.
ε0 µ0 ∂t
(52)
(33)
∂F
der
(51)
(32)
V
F
Grundgleichungen
Form
(50)
(31)
Satz von Stokes
Z
Z
I
~ =
~ ×A
~ =
Φ=
df~ · B
df~ · ∇
F
ω
k = ±n .
c
(30)
(53)
(54)
(36)
Dipolmoment
(37)
Elektrostatik
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
~ ×E
~ =0
∇
Differentielle
(38)
(39)
~ = −∇φ.
~
E
bezüglich des Urpsrungs ~
r
Z
Z
d~ =
~
r dQ =
~
r · %(~
r) d3 r,
bzw. bezüglich eines beliebigen Punktes ~a
Z
Z
d~0 =
r~0 dQ = (~
r − ~a) dQ =
Z
Z
=
~
r · ρ(~
r) d3 r − a %(~
r) d3 r = d~ − aQ.
(55)
(56)
(57)
(40)
Maxwell-Gleichung der Magnetostatik
Integrale Form
I
I∂V
~ df~ = 1
E
ε0
Z
3
ρd r
~ ×B
~ = µ0~.
∇
(58)
~ = εε0 E
~ +P
~.
D
(59)
(41)
V
Polarisation
~ d~s = 0
E
dF
Z
~ d~
φ=− E
r.
(42)
(43)
Geerdete Kugel
mit Radius R
Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen
Verschiebung
ϕ(R) = 0
(60)
~2 − D
~ 1) = 0
~
n · (D
(44)
~2 − E
~ 1 ) = 0.
~t · (E
(45)
Übliche Anschlussbedingungen Stetig ist die tangentia~ und die normale Kompole Komponente des Magnetfeldes H
~
nente der magnetischen Induktion B.
und mit ~
n = (0, 0, 1) und φ1 (x, y, 0) = φ2 (x, y, 0) gilt dann
ε1
∂φ1 ∂φ2 = ε2
.
∂z z=0
∂z z=0
3 Thermodynamik
(46)
Innere Energie
Potential mit Ladungsdichte
1
4πε0
φ(~
r) =
Z
d3 r 0
%(r~0 )
.
|~
r − r~0 |
U = T S − pV
(61)
dU (T, V ) = δQ + δA = T dS − p dV.
(62)
(47)
Freie Enthalpie
Ladungsträgerdichte
~ ·E
~
%(~
r) = ε0 ∇
G = U − T S + pV
(63)
dG(S, V ) = −S dT + V dp.
(64)
F = U − TS
(65)
dF (S, p) = −S dT − p dV.
(66)
(48)
Freie Energie
Laplace-Gleichung
∆ϕ(~
r) = 0.
(49)
3
4 Quantenmechanik
Enthalpie
H = U + pV
(67)
dH(T, p) = T dS + V dp.
(68)
Impulsoperator
p̂ =
~ d
.
i dx
(83)
Hauptsätze
1.
dU = δQ = δA
(69)
2.
δQ = T dS
(70)
~ dM
~
δA = −p dV + µ dN + H
(71)
3.
lim S(T, V ) = 0
(72)
lim S(T, p) = 0.
(73)
T →0
T →0
Postulate
1. Ein Gleichgewichtszustand wird vollständig durch (extensive) U, N, X beschreiben. Dabei ist X = V für kompres~ für magnetische Systeme.
sible Systeme und X = M
2. Es existiert eine Funktion S, genannt die Entropie, der
extensiven Parameter. Die extensiven Parameter nehmen
im Gleichgewicht solche Werte an, welche S maximieren.
3. Die Entropie S ist additiv, kontinuierlich, differenzierbar
und eine monoton steigende Funktion der inneren Energie.
Kommutator
[A, B] = − [B, A] .
Stufenoperator
r
mω
ip
a=
x+
2~
mω
S=0
für
T :=
∂U
∂S
(85)
(86)
hn|a = hn + 1| und a|0i = 0.
(87)
Erwartungswert eines Zustandes
Z
hAi =
ψ ∗ Aψ dr3 .
(88)
Erwartungswerte für bestimmte Operatoren
|ψi =
= 0.
a† aa = aa† a
h0|a† = 0 und a† |ni = |n + 1i
4. Es gilt
(84)
(74)
k
X
aj |nj , lj , mj i.
Es sei
(89)
j=1
N,X
Dann sind die Erwartungswerte des Hamiltonoperators H, des
Quadrates des Drehimulsoperators L2 und der z-Komponente
des Drehimpulsoperators L3 gegeben durch:
Spezifische Wäme
CX = T ·
∂S
∂T
(75)
X
hψ|H|ψi =
k
X
|aj |2 ·
j=1
Prozesse
−R∞
n2j
(90)
k
X
|aj |2 · ~2 · lj (lj + 1)
ψ|L2 |ψ =
(91)
j=1
1. Kreisprozesse:
I
I
dS = 0,
dU = 0,
(76)
hψ|L3 |ψi =
k
X
|aj |2 · ~ · mj
(92)
j=1
I
I
δQ 6= 0,
δA 6= 0.
(77)
2. Isentrope Prozesse:
dS = 0
(78)
3. Adiabatische Prozesse, allgemein
∂S
∂S
dT +
dX = 0
δQ = 0, dS =
∂T X
∂X T
Varianz eines Operators
q
∆C = hC 2 i − hCi2 .
(93)
Stromdichte
(79)
j=<
1 ∗
ψ p̂ψ
m
=<
~ ∗ 0
ψ ψ
im
.
(94)
4. Adiabatische Expansion mit Arbeitsverrichtung
δA 6= 0.
δQ = 0,
(80)
5. Adiabatische Expansion ohne Arbeitsverrichtung
δQ = 0,
δA = 0,
dU = 0.
Gleichgewichtszustand
4
Maximum der Entropie S.
(95)
(81)
Temperaturunabhängige Wärmekapazität
dU = T dS = C dT.
Schrödingergleichung
~2 ~ 2
−
∇ + V (~
r) ψ(~
r) = Eψ(~
r).
2m
(82)
Schrödingergleichung mit konstantem Potential V0
führt zu ebenen Wellen eikx . Fallen Teilchen von links auf
eine endliche Potentialbarriere, so gilt für die Lösung der
Schrödingergleichung
(
Aeikx + Be−ikx x < 0
ϕ(x) =
.
(96)
Ceiqx
x>0
Dabei ist Aeikx die einfallende Welle, Be−ikx die reflektierte
Welle und Ceiqx die transmittierte Welle und es gilt
2mE
~2
2m(E
− V0 )
q2 =
.
~2
k2 =
(97)
(98)
Weiter sind in diesem Fall ϕ(x) und ϕ0 (x) stetig bei x = 0,
woraus sich die Koeffizienten A, B, C berechnen lassen.
Schrödingergleichung mit Delta-Potential Das δPotential bewirkt einen Sprung in der ersten Ableitung
Z ε
~2 00
dx −
ϕ (x) + δ(x)ϕ(x) = 0
(99)
lim
ε→0 −ε
2m
⇒ ϕ0> (0) − ϕ0< (0) = ϕ(0).
(100)
Schrödingergleichung mit quadratischem Potential
Der Ansatz für eine Lösung ist in diesem Fall ein Produkt
aus einer Gauß-Glocke und einem Polynom erster Ordnung
2
ϕ(x) = (a + bx) · e−cx .
Schrödingergleichung mit Zentralpotential
Potential
V (r) =
L2
2mr2
(101)
Mit dem
(102)
lautet der Ansatz für die Lösung der Schrödingergleichung
ϕnlm (r, ϑ, ϕ) = Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ).
(103)
Zeitentwicklung eines Zustandes Jeder Zustand |ϕi
lässt sich als Summe von Eigenzuständen |ψj i schreiben
|ϕi =
k
X
aj |ψj i.
(104)
j=1
Für Eigenzustände hat die Zeitentwicklung die einfache Form
iEj t
|ψj (t)i = exp −
· |ψj i
(105)
~
k
X
iEj t
|ϕ(t)i =
aj · exp −
· |ψj i.
(106)
~
j=1
Störungstheorie 1. Ordnung mit gestörtem Hamiltonoperator H 0 = H + H0 ist die Energieverschiebung der Eigenzustände von H
∆Ej = hψj |H0 |ψj i .
(107)
Ehrenfest-Theorem
hp(t)i = m ·
d
hx(t)i .
dt
Pauli-Spin-Matrix in z-Richtung
1
0
σz =
.
0 −1
(108)
(109)
5