a(t) - DPI Goettingen

Experiments
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
Physik für Mediziner und Zahnmediziner
Vorlesung 04
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 2
Fangpendel
Experiment
Beobachtung:
Deutung:
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Fangpendel
1 : E ges = Epot + Ekin = mgh + 0
2 : E ges = Epot + Ekin
m 2
= 0 + v max
2
3 : E ges = Epot + Ekin = mgh + 0
1
3
h
2
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Energie in der Mechanik
In einem System, das keinen äußeren
Kräften unterworfen ist, ist die
Gesamtenergie, d.h. die Summe der
potentiellen und kinetischen Energie,
konstant: Epot+Ekin=Eges=konstant
potentielle Energie
Epot = mgh
Schwerkraft
1 2
ED = Dx
2
Federkraft
kinetische Energie
Ekin
1
= mv 2
2
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Energieerhaltung
Zwei Kugeln mit den Massen m1 und m2 starten
(nacheinander) an gegenüberliegenden Seiten einer
Bahn, auf der sie sich reibungsfrei bewegen können.
Welche der Kugeln erreicht die gegenüberliegende
Seite?
a. Kugel 1
m1=1kg
b. Kugel 2
c. beide Kugeln
d. keine der Kugeln
m2=0.1kg
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Auffahrunfälle: typische Verletzungen und
ihre Ursachen
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Auffahrunfälle: typische Verletzungen und
ihre Ursachen
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Beschreibung geradliniger Bewegungen
Zur Beschreibung geradliniger Bewegungen benötigt man
drei Größen:
• Ort, s,
• Geschwindigkeit, v,
• Beschleunigung, a,
die im Allgemeinen von der Zeit t abhängen.
Programm:
• Zusammenhang von Ort, Geschwindigkeit und
Beschleunigung
• Ursache für Bewegung: Kraft
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Zwei Jahrtausende voller Irrtum
Aristoteles (ca. 360 v.Chr.) nimmt an, dass jede Bewegung immer in einem Medium
(Luft, etc.) geschieht. Vakuum gibt es für ihn nicht (Äther!).
Das Medium wirkt der Bewegung entgegen. D.h. man muß kontinuierlich Kraft
aufwenden um die Bewegung aufrechtzuerhalten. Laut der Aristotelischen Physik sollte
diese Kraft von außen auf den Körper wirken.
Bei einer Kanonenkugel wirkt nach Abschuß definitiv keine
äußere Kraft mehr!
Flugbahn eines Geschosses
Wieso fliegt sie dann weiter und fällt nicht sofort zu Boden?
Die Impetustheorie umging dieses Problem durch die
Annahme einer inneren Kraft, die dem Geschoss beim
Abschuss aufgeprägt wird - dem Impetus.
Um die bei realen Gegenständen beobachtete stetige
Verlangsamung der Bewegung zu erklären, nahm man
weiterhin an, dass der Impetus stetig abnimmt. War der
Impetus aufgebraucht, sollte der Körper senkrecht zu
Boden fallen.
nach Avicenna
nach Albert von
Sachsen
Diskutiert im 6.-14. Jhdt.
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Unsere Intuition ist falsch!
• Untersuchungen an Studienanfängern bezüglich ihres
Verständnisses des Verhaltens bewegter Objekte
ergaben, dass die intuitiven Erklärungsansätze eines
großen Teils der Probanden auch heute noch große
Ähnlichkeit mit der Impetustheorie aufweisen.[1][2]
•
•
A. Caramazza, M. McCloskey, B. Green: Naive beliefs in "sophisticated" subjects: Misconceptions
about trajectories of objects. In: Cognition 9 (2), 1981, S. 117-123.
↑ Edgar Fieberg: Das intuitive Wissen über Bewegungsgesetze: Entwicklungspsychologische
Untersuchungen zum intuitiven Wissen im Handeln, wahrnehmen und urteilen. Waxmann Verlag,
1998, ISBN 9783893256464.
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Weg-Zeit-Diagramme
Experiment
Gleichförmige
Bewegung
Deutung:
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gleichförmige Bewegung: Einführung
t=t0
t=t1
s
s0
s1
s
‚schnell‘
s1
s( t ) = s0 + v ⋅ (t − t 0 )
‚langsam‘
s0
t0
t1
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t
gleichförmige Bewegung:
Definition der Geschwindigkeit
s
s1
s1 − s0
s0
t1 − t 0
t0
t1
t
Weg s1 − s0 Δs
Schreibweise: ∆
v
=
=
=
Geschwindigkeit:=
(‚Delta‘) für ‚Differenz‘
Zeit
t1 − t 0
Δt
geometrische Interpretation: die Geschwindigkeit ist die
Steigung der Geraden zwischen Anfangs- und Endpunkt
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gleichförmige Bewegung:
Ermittlung des Weges
v
s1 − s0
t0
t1 − t 0
t1
t
s1 − s0 = v ⋅ (t1 − t 0 )
geometrische Interpretation: der in der Zeit (t1-t0)
zurückgelegte Weg (s1-s0) ist die Fläche unter der v-t-Kurve
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Zusammenfassung: gleichförmige
Bewegung
v
v = kons tan t
t
t0
t1
a
a=0
t
t0
t1
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Kräfte bei der gleichförmigen Bewegung
Nach dem „Anschieben“ greift keine Kraft an dem
Schlitten an. Er bewegt sich gleichförmig, d.h. mit
konstanter Geschwindigkeit fort.
I. Newtonsches Axiom: ein Körper verharrt im
Zustand der Ruhe (v=0) oder der gleichförmig
geradlinigen Bewegung (v=konstant), wenn
keine Kraft auf ihn ausgeübt wird.
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Zusammenfassung: gleichförmige
Bewegung
s1 − s0 = v ⋅ (t1 − t 0 )
s
s1
s0
t0
t
t1
Fläche unter
der v-t-Kurve
Steigung der
s-t-Kurve
v
v = kons tan t
t
t0
t1
a
a=0
t
t0
t1
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Weg-Zeit-Diagramme
Experiment
(umkehrende)
ungleichförmige
Bewegung
Deutung:
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ungleichförmige Bewegung:
mittlere Geschwindigkeit
s
s1
s0 − s0
v=
=0
t1 − t 0
s0
t0
t1 − t 0
t1
t
bisherige Definition ermittelt die mittlere Geschwindigkeit v
einer Bewegung
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ungleichförmige Bewegung:
Momentangeschwindigkeit
s
s1
s0 − s0
v=
=0
t1 − t 0
s0
t0
t1 − t 0
t1
Definition: Momentangeschwindigkeit v(t) ist die
Steigung des Weg-Zeit-Diagramms im Punkt t
Schreibweise: v( t ) = ds = s
dt
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t
geometrische Interpretation
s
∆s2
∆t2
t2
v=0
∆s3
v( t ) =
∆t3
t3
ds 
=s
dt
t
v
t
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nochmal: gleichförmige Bewegung:
Ermittlung des Weges
v
Fläche = v ⋅ (t1 − t 0 )
t0
t1 − t 0
v
t1
t
s1 − s0 = v ⋅ (t1 − t 0 )
geometrische Interpretation: der in der Zeit (t1-t0)
zurückgelegte Weg (s1-s0) ist die Fläche unter der v-t-Kurve
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geometrische Interpretation:
Ermittlung des Weges
v
Ergebnis:
s 1 - s0 = 0
t
t0
t1
geometrische Interpretation: der in der Zeit (t1-t0)
zurückgelegte Weg (s1-s0) ist die Fläche unter der v-t-Kurve
t2
Schreibweise: s − s0 = v( t )dt
1
∫
t1
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Weg-Zeit-Diagramme
Experiment
gleichförmig
beschleunigte
Bewegung
Deutung:
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gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Wie sieht der Weg aus?
t=t0
t=t1
s0
s1
s
m
s1
s( t ) = ?
s0
t0
t1
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t
gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Geschwindigkeits-Zeit Abhängigkeit
t=t0
t=t1
s0
s1
v( t ) = v 0 + a ⋅ (t − t 0 )
v
m
v1
v1 − v 0
v0
t0
t1 − t 0
t1
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t
gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Definition der Beschleunigung
v
v( t ) = v 0 + a ⋅ (t − t 0 )
v1
v1 − v 0
v0
t0
t1 − t 0
t1
t
Geschwindi gkeit v 1 − v 0 ∆v
Beschleunigung :=
=
=
t1 − t 0
Zeit
∆t
geometrische Interpretation: die Beschleunigung ist die Steigung
der Geraden zwischen Anfangs- und Endgeschwindigkeit
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gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Wie ist der Weg?
v( t ) = v 0 + a ⋅ (t − t 0 )
v
v1
v1 − v 0
v0
t0
t1 − t 0
Wir erinnern uns: Der Weg ist die Fläche
unter der v-t Kurve
t1
t
t2
s1 − s0 = ∫ v( t )dt
t1
v1 - v0 = a . (t1 - t0)
Fläche des Dreiecks ist also
„Dreieck“ = ½ (t1 - t0) . a . (t1 - t0) = ½ a . (t1 – t0)2
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gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Allgemeiner Fall: v0 ≠ 0
v
v1
v0
Was fehlt?
t1
t0
geometrische Interpretation: der in der Zeit (t1-t0)
zurückgelegte Weg (s1-s0) ist die Fläche unter der
v-t-Kurve
1
2
s1 − s0 = v 0 (t1 − t 0 ) + a(t1 − t 0 )
2
Rechteck
t
t2
s1 − s0 = ∫ v( t )dt
Dreieck
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t1
gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Ermittlung des Weg-Zeit Diagrams
s
s1
s0
t1
t0
t
1
2
s1 − s0 = v 0 (t1 − t 0 ) + a(t1 − t 0 )
2
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gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Definition der Geschwindigkeit
a
t0
t1 − t 0
t1
t
v 1 − v 0 = a ⋅ (t1 − t 0 )
geometrische Interpretation: die in der Zeit (t1-t0) erfolgte
Geschwindigkeitsänderung (v1-v0) ist die Fläche unter der at-Kurve
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Zusammenfassung: gleichförmig
beschleunigte Bewegung
s
1
2
s1 − s0 = v 0 (t1 − t 0 ) + a(t1 − t 0 )
2
s0
t0
t1
t
Steigung der
s-t-Kurve
v
Fläche unter
der v-t-Kurve
v 1 − v 0 = a ⋅ (t1 − t 0 )
v0
t0
t1
t
Steigung der
v-t-Kurve
a
Fläche unter
der a-t-Kurve
a = kons tan t
t0
t1
t
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a
Sportmedizin:
Vertikaler Sprung
v
Integration
Differentiation
∫
d
dt
s
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ungleichförmig beschleunigte Bewegung
v
v1
v0
t0
t1 − t 0
t1
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t
ungleichförmig beschleunigte Bewegung
geometrische Interpretation
Ergebnis:
v1 – v0 = 0
a
t
t0
t1
geometrische Interpretation: die in der Zeit (t1-t0) erfolgte
Änderung der Geschwindigkeit (v1-v0) ist die Fläche unter
der a-t-Kurve
Schreibweise:
t2
v 1 − v 0 = ∫ a( t )dt
t1
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ungleichförmig beschleunigte Bewegung
v
v1
v0
t0
t1 − t 0
t1
t
Definition: Momentanbeschleunigung a(t) ist die Steigung
des Geschwindigkeit-Zeit-Diagramms im Punkt t
Schreibweise: a( t ) = dv = v
dt
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geometrische Interpretation
v
∆v2
∆t2
t2
v=0
∆v3
a( t ) =
∆t3
t3
dv
= v
dt
t
a
t
Negative Beschleunigung ist Abbremsung!
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ungleichförmig beschleunigte Bewegung
v
v1
v0
t0
t1 − t 0
t1
Zurückgelegte Strecke ist das Integral:
Schreibweise:
t1
s (t ) = s0 + ∫ v(t )dt
t0
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t
Example
2
Red: v(t ) ~ −t + v0
Green:
s (t ) ~ t 3
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Kinetische Energie
Herleitung
Wir hatten:
s1 − s0 = v 0 (t1 − t 0 ) +
Durch Umstellen:
1
2
a(t1 − t 0 )
2
Def. der Beschleunigung:
Einsetzen:
Durch Umstellen:
Umstellen:
Allgem. Def. der Arbeit
Einsetzen
Mit v0 = 0
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Wir hatten schon:
Ermittlung des Weg-Zeit Diagrams
s
s1
s0
t0
t1
t
1
2
s1 − s0 = v 0 (t1 − t 0 ) + a(t1 − t 0 )
2
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...Kategorien
Grundlagen:
notwendige Kenntnisse und Fähigkeiten
Wissenswertes:
Informationen jenseits des Notwendigen
Für Experten:
Medzinische Physik...
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Zusammenfassung: gleichförmige
Bewegung
s1 − s0 = v ⋅ (t1 − t 0 )
s
s1
s0
t0
t
t1
Fläche unter
der v-t-Kurve
Steigung der
s-t-Kurve
v
v = kons tan t
t
t0
t1
a
a=0
t
t0
t1
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Weg-Zeit-Diagramme
Experiment
Deutung:
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Zusammenfassung: gleichförmig
beschleunigte Bewegung
s
1
2
s1 − s0 = v 0 (t1 − t 0 ) + a(t1 − t 0 )
2
s0
t0
t1
t
Steigung der
s-t-Kurve
v
Fläche unter
der v-t-Kurve
v 1 − v 0 = a ⋅ (t1 − t 0 )
v0
t0
t1
t
Steigung der
v-t-Kurve
a
Fläche unter
der a-t-Kurve
a = kons tan t
t0
t1
t
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...wrap up
Definition der Arbeit:
Wird auf einen Körper längs des Weges s eine Kraft F

s2
ausgeübt, so wird die Arbeit
verrichtet.
 
W = ∫ F ⋅ ds

s1
Geometrische Interpretation: die Arbeit ist die Fläche unter
der Kurve, die den Verlauf der parallel zum Weg
verlaufenden Komponente der Kraft beschreibt
Epot = mgh
Ekin
1
= mv 2
2
ED =
FD
1 2
Dx
2
W
Vorgriff: in einem abgeschlossenen System bleibt die Summe
der kinetischen und potentiellen Energie konstant
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x
Energieerhaltungssatz (der Mechanik)
In einem System, das keinen äußeren
Kräften unterworfen ist, ist die
Gesamtenergie, d.h. die Summe der
potentiellen und kinetischen Energie,
konstant.
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...und noch einmal Gleichgewichte
m
FG = mg
Eine zum Hebelaufbau am 09.11.2006
analoge Anordnung ist links skizziert.
Die potentielle Energie der Masse m
kann geschrieben werden als:
α
Wpot = mgr ⋅ sin(180° − α )
r
1.) Skizzieren Sie den Verlauf der
potentiellen Energie in Abhängigkeit
vom Drehwinkel α (für 0<α<360°).
2.) Markieren Sie die Stellungen für
labiles und stabiles Gleichgewicht.
3.) Welche Gemeinsamkeit haben die
Stellungen? Worin unterscheiden sie
sich?
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 51