varicies

Physik für Mediziner und Zahnmediziner
Vorlesung 06
Prof. F. Wörgötter (nach M.Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
Mechanische Eigenschaften fester Körper
?
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Mechanische Eigenschaften fester Körper
• Kontrolle des Blutstroms über
Gefäßdurchmesser
• aktive und passive Reaktion
auf Blutdruckänderungen
• Wandspannung abhängig
vom Verhältnis
Radius/Wanddicke
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
• Materialien reagieren auf mechanische Spannung (Druck, Zug,
Scherung) durch Längen- und/oder Volumenänderung
• Klassifizierung der Materialien: elastisch, plastisch, hart, weich,
spröde, duktil,...
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Windkesselfunktion der Aorta
Modellversuch zum Windkesselprinzip der Aorta, er erklärt das Zustandekommen des
diastolischen Blutdrucks.
Normalerweise müsste der Blutdruck, wenn das Herz nicht schlägt, auf 0 absinken. Durch
das Zusammenziehen des elastischen Teils der Aorta wird in dieser Phase ein gewisser
Druck aufrecht erhalten.
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Elastische und plastische Verformung
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
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Elastizität: Querkontraktion und
Temperatur
Experimente
Beobachtung:
Deutung:
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Spannungs-Dehnungs-Kurve
L
L
Relative
Längenänderung
Bruch, Zerreißen
plastisch
Δl
L
σ =E L
l
E: Elastizitätsmodul
elastisch
Hookscher Bereich: E=konstant
σ
σ = Zugspannung (=Kraft/Querschnittsfläche)
...gibt die mechanische
Spannung an, die zum
erreichen einer
bestimmten relativen
Längenänderung
σ
notwendig ist
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Erläuterung: der Elastizitätsmodul
(Hook‘scher Bereich!)
F
Hook‘sches Gesetz
für Federn
F = DL
L
Grundlänge L und Querschnitt A bleiben gleich. Damit ist L/A eine Konstante.
Kraft pro Längenänderung
= Steigung der Graden
E ist im wesentlichen die Federkonstante D
(nur Hook‘scher Bereich!)
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Verformungsarten: elastisch, plastisch,
Bruch
elastisch: Verformung ist reversibel, d.h. sie geht nach Entlastung
auf Null zurück.
elastisch, Hookscher Bereich: im Hookschen Bereich sind
Spannung und Längenänderung porportional zueinander, m.a.W.
der Elastizitätsmodul ist unabhängig von der Spannung
plastisch: irreversible Verformung, m.a.W. Längenänderung geht
nach Entlastung nicht zurück; das Material „fließt“
Bruch: jenseits einer maximalen Spannung bricht das Material
Materialien unterscheiden sich in der jeweiligen Größe ihrer
elastischen und plastischen Bereiche
spröde: kleine elastischen und/oder plastischen Bereiche (Glas!)
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Verhalten verschiedener Materialien
Material
E in
GN/m2
Zugfestigkeit
in
MN/m2
Druckfestigkeit
in
MN/m2
Stahl
200
520
520
Kupfer
110
230
Aluminium
70
90
Beton
23
2
Knochen
Zug=Spannung
16
200
Blei
16
12
Knochen
Schub=Druck
9
17
270
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Spannungs-Dehnungskurve eines
menschlichen Knochens
• die Spannungs-DehnungsKurven asymmetrisch:
Stauchung und Dehnung
führen zu unterschiedliche
Ergebnisse
• dauerhafte Belastungen
führen zu plastischer
Verformung
(Verkrümmungen)
• Wechsellast:
Ermüdungsbruch
Aufgabe: legen Sie die Hookschen Bereiche fest und
vergleichen Sie die E-Module für Zug und Druck
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Wandspannung der Gefäße
Druck p im Inneren führt zur
Wandspannung σ:
σ = p⋅
p
Druck . Radius
Wanddicke
Erhöhung des Drucks führt zur Aufweitung des
Gefäßes und zur Zunahme der
Wandspannung:
Δr 1
1 ∆V
= Δσ =
r
E
2 V
δ
Wanddicke
r
δ
1
1r
ΔV
Δp
= 2 Δσ ≈ 2
Eδ
V
E
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Zusatzfolie: Herleitung
Δr 1
1 ∆V
= Δσ =
r
E
2 V
E=
F
4A
4L
L
=
4û
4r
r
σ = Zugspannung (=Kraft/Querschnittsfläche)
∆r ist klein  ∆r2 geht gegen Null
(diesen Trick verwendet man sehr oft in der Physik)
Δr 1
1 ∆V
= Δσ =
r
E
2 V
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...und nochmal Physiologie
ΔV
1
1r
= 2 Δσ ≈ 2
Δp
V
E
Eδ
die Physiologie benutzt häufig den Volumenelastizitätsmodul* E‘,
also den Zusammenhang:
1r
1
VΔ V
ΔV = 2
p = Δp
Eδ
E'
der Kehrwert von E‘ wird in der Physiologie „Compliance“
genannt:
1 ΔV
=
E' Δp
Intuitiv: Volumenänderung bei Druckänderung
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...Compliance und verrichtete Arbeit
die Fläche unter der p-V-Kurve ist die bei der Volumenänderung
verrichtet mechanische Arbeit:
V2
W = ∫ p( V )dV
V1
bei periodische Vorgängen die eingeschlossene Fläche
Beispiel: Compliance der
Lunge mit Luftfüllung und
mit Ringerlösung (Saline)
Füllung
 Compliance vor allem
durch Grenzfläche
Luft/Surfactant bestimmt
(Oberflächenspannung!)
3
1 ΔV
=
E' Δp
1: geringe
Compliance
2
2: hohe
Compliance
1
3: wieder
abnehmende
Compliance
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Hyaline Membrane Disease
Hyaline Membrane
Disease
A respiratory disease of the
newborn, especially the
premature infant, in which
a membrane composed of
proteins and dead cells
lines the alveoli (the tiny air
sacs in the lung), making
gas exchange difficult or
impossible.
Bei gleichem Druck
massiv unterschiedliche
Volumina
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Akustik und Ultraschall
Akustik... wo wollen wir hin?
• Gehör: Schallübertragung, Reizleitung,
Schallempfindung (Lautstärke, Tonhöhe),
physikalische und physiologische Größen
• Phonation: Schall- und Lauterzeugung
• Ultraschall: Erzeugung und Aufzeichung, Bildgebung
(A-Bild, B-Bild, Duplex-Sonographie)
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Akustik
• Medizin-relevantes Problem
Bsp.: auditorisches System, Phonation
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Akustik
• Relevante physikalische Größen und
physikalische Gesetze
Bsp.: Frequenz, Druck, Lautstärke
 Z − Z2 

R =  1
 Z1 + Z 2 
Reflexion
2
c = λ⋅f
sin α1 n2
=
sin α 2 n1
Schallgeschwindigkeit
Beugung
Brechung
α1
n1
L = 10 ⋅ log
I
I0
Schalldruckpegel
Lautstärke
n2
α2
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Sonographie
A-Bild eines Herzens
(Aufnahme 1954)
3D-4D
B-Bild
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Duplex-Sonographie
Halsarterie
Transvaginale Uterus
Duplex Sonographie
Nieren
gefäße
A varix (pl. varices) is an abnormally dilated vessel with a
tortuous course. Varices usually occur in the venous system, but
may also occur in arterial or lymphatic vessels.
Dopplereffekt: Rot Bewegung auf uns zu, Blau von uns weg
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Rotationen: Definitionen
Winkelbeschleunigung
Drehmoment
φ
ω = ϕ
 =ϕ

α=ω

T = θω
Trägheitsmoment θ:
θ = m⋅r2
Winkelkoordinate
Winkelgeschwindigkeit
Drehimpuls
Strecke s
.
Geschw. v = s
..
Beschl. a = s
φ
Kraft F=ma
Masse m
I = θω
Impuls p=mv
In Abwesenheit äußerer Drehmomente ist der Drehimpuls eines Systems konstant
kinetische Energie der Rotation:
T = rF sin α
Erot
θ 2
= ω
2
kinetische
Energie:
Ekin =
  
( T = r × F)
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m 2
v
2
Schwingungen (allgemein)
Schwingungen sind
zeitlich periodische Vorgänge
betrachten (einfache)
harmonische Schwingungen
• Amplitude
• Frequenz (Periode, Kreisfrequenz)
• Phase
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Versuch
• Kreisscheibenrotation
– Von oben
– Von der Seite
• Sowie normales Pendel
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Erläuterungen zum Versuch:
Kreisfrequenz, etc.
y
y
Wir erinnern uns:
Sinus = Gegenkathete
zu Hypothenuse
Cosinus = Ankathete
zu Hypothenuse
x0
x0
ϕ
ϕ
x
x
x01
0.5
00
-0.5
-x0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
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Erläuterungen zum Versuch:
Kreisfrequenz, etc.
x01
0.5
00
-0.5
-x0
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Winkelgeschwindigkeit ist der Winkel der pro Zeit überstrichen wird, also:
oder:
Damit:
Und für den Sinus gilt dasselbe
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Erläuterungen zum Versuch:
Kreisfrequenz, etc.
In sehr viele Fällen (hier auch!) ist die Winkelgeschwindigkeit konstant!
ω = const
Winkelgeschwindigkeit ist überstrichener Winkel pro Zeit!
Wenn diese konstant bleibt können wir also auch den ganzen Kreis als
den überstrichenen Winkel annehmen und fragen wie lange braucht das
System um einmal vollständig „rumzulaufen“? Der Winkel eines
gesamten Kreisumlauf ist: 2π
Der Kreisumlaufzeitraum heißt Periodendauer: T und ist invers zur
Frequenz: T = 1/f
ω heißt Winkelgeschwindigkeit
Damit:
oder Kreisfrequenz
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...zunächst: mechanische Schwingungen
zu unterscheiden sind:
• freie Schwingungen, d.h. einmalige Auslenkung des
Systems
- ungedämpft
- gedämpft
- erzwungene Schwingung, d.h. periodische Anregung
des Systems
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Freie Schwingungen
Experiment
durchführen mit gleichen Massen
aber 2x verschieden
Beobachtung:
Deutung:
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freie ungedämpfte Schwingung
Auslenkung x(t)
T
x0
• Schwingungsdauer
(Periode) T
• Amplitude x0
• Frequenz f
1
f=
• Kreisfrequenz ω
2π
ω = 2πf =
T
x( t ) = x 0 sin ωt
Bem.: die allgemeine Form einer harmonischen
Schwingung ist:
x( t ) = A sin ωt + B cos ωt = x 0 sin ωt + ϕ
(
)
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T
Geschwindigkeit und Beschleunigung
• Geschwindigkeit v(t): Änderung der Position x(t) mit der
Zeit t
v( t ) :=
dx
= x ( t )
dt
• Beschleunigung a(t): Änderung der Geschwindigkeit v(t)
mit der Zeit t
d2 x
dv
a( t ) :=
= v ( t ) = x( t ) = 2
dt
dt
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Geschwindigkeit und Beschleunigung
(anschauliche Bedeutung)
dx
v( t ) :=
= x ( t )
dt
Steigung der Positions-Zeit-Kurve
(x-t-Diagramm)
d2 x
dv
a( t ) :=
= v ( t ) = x( t ) = 2
dt
dt
Steigung der
Geschwindigkeits-Zeit-Kurve
(v-t-Diagramm)
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Geschwindigkeit und Beschleunigung
(anschauliche Bedeutung)
dx
v( t ) :=
= x ( t )
dt
Steigung der
Positions-ZeitKurve
(x-tDiagramm)
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freie ungedämpfte Schwingung
Auslenkung
x( t ) = x 0 sin ωt
Geschwindigkeit
v( t ) = ωx 0 cos ωt
Beschleunigung
a( t ) = −ω2 x 0 sin ωt
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Mal übereinandergelegt
1
sin(x)
cos(x)
-sin(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
4
6
8
10
Rot: Auslenkung sin(ωt)
Grün: Geschw. cos(ωt) = “sin(ωt + 90°)”
Blau: Beschleu. –sin(ωt) = “sin(ωt + 180°)”
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12
freie ungedämpfte Schwingung
Auslenkung
Auslenkung und
Beschleunigung (Kraft) sind
zu jedem Zeitpunkt
entgegen gesetzt!
 es gibt eine
rücktreibende Kraft
Beschleunigung
allgemein:
x( t ) = −ω02 x( t )
Erinnerung: Die zweite Ableitung des
Ortes nach der Zeit ist die
Beschleunigung: a!
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freie ungedämpfte Schwingung:
Eigenfrequenz
Wir hatten: x( t ) = −ω02 x( t )
also
2. Newton Axiom F=ma ergibt also:
Federkraft (Hook‘sches Gesetz) ist:
Gleichsetzen der Kräfte:
Umstellen:
Ergibt die Eigenfrequenz zu:
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freie ungedämpfte Schwingung:
Eigenfrequenz
Auslenkung
allgemein:
x( t ) = −ω02 x( t )
Ein Federpendel (Federkonstante D, Masse m) schwingt mit einer
Eigenfrequenz f0, die gegeben ist durch
ω0
1 D
f0 =
=
2π 2π m
Bem.: die Eigenfrequenz wird bei den erzwungenen
Schwingungen nochmals wichtig.
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...wrap up
Auslenkung
Beschreibung harmonischer
Schwingungen (allgemein):
• Schwingungsdauer
(Periode) T
• Amplitude x0
• Frequenz f
1
f=
ω0
1 D
f =
=
Federpendel 0 2π 2π m
x( t ) = x 0 sin ωt
v( t ) = ωx 0 cos ωt
• Kreisfrequenz ω
2π
ω = 2πf =
T
a( t ) = −ω2 x 0 sin ωt
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T
Kontrollfragen
• Zeichnen Sie den typischen Verlauf einer Verformungskurve und
markieren Sie den Hookschen, den elastischen und den plastischen
Bereich sowie den Bruch.
• Wie lautet die Definition des Elastizitätsmoduls und welche
Bedeutung hat er?
• Welche Arbeit muss bei Volumenänderung gegen einen Druck
aufgebracht werden?
• Wie hängt die mechanische Spannung eines zylindrischen
Hohlraums von Radius und Wanddicke ab?
• Nennen Sie 5 physikalische Größen, die zur Beschreibung einer
freien, harmonischen, ungedämpften Schwingung verwendet
werden können.
• Skizzieren Sie den Verlauf und tragen Sie diese Größen in das
Diagramm ein.
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Zusammenfassung und Ergänzungen
EH
Schwerefeld:
EH = mgh
h
Ergänzung 1:
Der Nullpunkt der potentiellen Energie ist frei wählbar.
Physikalisch relevant sind nur Differenzen der potentiellen Energie
Ergänzung 2:
Aufteilung der potentiellen Energie in Teile, die vom Schwerefeld der
Erde stammen, und solche, die den „Probekörper“ beschreiben:
EH = m ⋅ gh
VH=gh heißt Potential des Schwerefeldes ( elektrisches Potential)
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