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Physik für Mediziner und Zahnmediziner Vorlesung 07 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1 Kontrollfragen • Zeichnen Sie den typischen Verlauf einer Verformungskurve und markieren Sie den Hookschen, den elastischen und den plastischen Bereich sowie den Bruch. • Wie lautet die Definition des Elastizitätsmoduls und welche Bedeutung hat er? • Welche Arbeit muss bei Volumenänderung gegen einen Druck aufgebracht werden? • Wie hängt die mechanische Spannung eines zylindrischen Hohlraums von Radius und Wanddicke ab? • Nennen Sie 5 physikalische Größen, die zur Beschreibung einer freien, harmonischen, ungedämpften Schwingung verwendet werden können. • Skizzieren Sie den Verlauf und tragen Sie diese Größen in das Diagramm ein. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 2 ...wrap up Auslenkung Beschreibung harmonischer Schwingungen (allgemein): • Schwingungsdauer (Periode) T • Amplitude x0 • Frequenz f 1 f= ω0 1 D f = = Federpendel 0 2π 2π m x( t ) = x 0 sin ωt v( t ) = ωx 0 cos ωt • Kreisfrequenz ω 2π ω = 2πf = T a( t ) = −ω2 x 0 sin ωt Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 3 T Freie gedämpfte Schwingungen Experiment Beobachtung: Deutung: Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 4 Einhüllende Freie gedämpfte Schwingungen ungedämpft gedämpft Fällt was auf? Mal die Nulldurchgänge anschauen! Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 5 Freie gedämpfte Schwingungen mathematische Beschreibung: • die Eigenfrequenz ω‘ der gedämpften Schwingung ist kleiner als die der ungedämpften: ω‘ < ω0 • sie ändert sich nicht mit der Zeit...! • die Amplitude nimmt exponentiell mit der Zeit ab Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 6 Freie gedämpfte Schwingungen Man findet für die Eigenfrequenz ω‘ der gedämpften Schwingung: δ = 0 entspricht dem ungedämpften Fall. Kritische Dämpfung für ω0 = δ : Das System kehrt ohne zu schwingen schnellstmöglich in den Ausgangszustand zurück. Überkritische Dämpfung für ω0 < δ : Das System kehrt ohne zu schwingen jedoch langsamer in den Ausgangszustand zurück. Unterkritische Dämpfung für ω0 > δ : Das System kehrt schwingend mit abklingender Amplitude und neuer Eigenfrequenz ω‘ in den Ausgangszustand zurück. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 7 Versuch dazu: Kritische Dämpfung für ω0 = δ : Das System kehrt ohne zu schwingen schnellstmöglich in den Ausgangszustand zurück. Überkritische Dämpfung für ω0 < δ : Das System kehrt ohne zu schwingen jedoch langsamer in den Ausgangszustand zurück. Unterkritische Dämpfung für ω0 > δ : Das System kehrt schwingend mit abklingender Amplitude und neuer Eigenfrequenz ω‘ in den Ausgangszustand zurück. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 8 erzwungene Schwingung • Erregung des Systems durch eine periodische Anregung (xE(t)), im einfachsten Fall eine harmonische Schwingung x E (t ) = x E( 0 ) sin(Ωt ) • der Oszillator (das schwingende System) führt eine – im einfachsten Fall ebenfalls harmonische – Schwingung mit derselben Frequenz aus x O (t ) = x (O0 ) sin(Ωt + ϕ) • die Amplitude und Phase der Oszillatorschwingung hängen von der Frequenz des Erregers ab x (O0 ) (Ω ) und ϕ(Ω ) Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 9 Erzwungene Schwingung Experiment Bei starker Dämpfung: 1) Kleine Frequenz 2) Große Frequenz 3) Mittlere Frequenz Beobachtung: Deutung: Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 10 Erzw. Schwingung bei starker Dämpfung Relative Amplitude 0° 90° Phase 180° Ω=ω0 Frequenz Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 11 Resonanzkatastrophe Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 12 erzwungene Schwingung... die Resonanzkurven die Amplitude und Phase der Oszillatorschwingung hängen von der Frequenz des Erregers ab Resonanzkurven x O (t ) = x (0) O sin(Ωt + ϕ) x (O0 ) (Ω ) und Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 13 ϕ(Ω ) Resonanzkurven und Weg-Zeit-Diagramm Ω=0.3ω0 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 14 erzwungene Schwingung... die Resonanzkurven Ω=ω0 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 15 erzwungene Schwingung... die Resonanzkurven Ω=1.3ω0 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 16 Erzwungene Schwingung: Lautsprecher und Mikrophon Experiment Beobachtung: Deutung: Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 17 Resonanz und Dämpfung im Ohr Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 18 Resonanz und Dämpfung im Ohr Steigbügel (Stapes) Amboss Hammer Helicotrema Apex Trommelfell ReißnerMembran Base Basilarmembran Corti-Organ Scala tympani (Perilymphe) Scala media (Endolymphe) Scala vestibuli (Perilymphe) Tuba Eustacchii Mittelohr äußeres Ohr Innenohr aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“ Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 19 Prozesse der Schallwahrnehmung Basilarmembran und Corti-Organ: Erzeugung von Aktionspotentialen, Reizleitung zum Gehirn aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“ Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 20 Resonanz und Dämpfung im Ohr Die Resonanz findet abhängig von der Schallfrequenz (=Tonhöhe) an verschiedenen Stellen der Basilarmembran statt. Durch die hohe Steife der Basilarmembran in der Nähe des ovalen Fensters (Base) erzeugen hohe Frequenzen dort ein Auslenkungsmaximum, tiefe Frequenzen dagegen erst in der Nähe des Helicotrema (Apex) wo die Membran weniger steif ist. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 21 Resonanz und Dämpfung im Ohr Durch die hohe Steife der Basilarmembran in der Nähe des ovalen Fensters (Base) erzeugen hohe Frequenzen dort ein Auslenkungsmaximum, tiefe Frequenzen dagegen erst in der Nähe des Helicotrema (Apex) wo die Membran weniger steif ist. Verstehen wir das nun ?? Eigenfrequenz eines Federpendels war Ω/ω0=1 Beste Resonanz erfolgt an der Eigenfrequenz D, die Federkonstante, entspricht i.e. der Steife (Erinnerung: Herleitung Elastizitätsmodul!) Steif D groß Weich D klein Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 22 Resonanz und Dämpfung im Ohr Hinzu kommt noch ein physiologischer Verstärkungseffekt durch die äußeren Haarzellen. Dieser führt zur verbesserten Fokussierung des Signals. Das ist nicht mehr physikalisch-passiv sondern eine aktive Verstärkung. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 23 Resonanz und Dämpfung im Ohr ! Base Apex ! Dies ist eine Seitenansicht der Basilarmembran! Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 24 ...erzwungene Schwingungen: Zusammenfassung • mit zunehmender Erregerfrequenz Ω nimmt die Amplitude des Oszillators zu ... • sie erreicht ein Maximum bei der Resonanzfrequenz ωres, die für nicht zu große Dämpfung nahe der Eigenfrequenz ω0 des Oszillators liegt (immer: ωres < ω0 ). • für sehr große Erregerfrequenzen wird die Amplitude des Oszillators Null. • für kleine Erregerfrequenzen (Ω << ω0) schwingen Erreger und Oszillator gleichphasig, für sehr große Erregerfrequenzen (Ω >> ω0) gegenphasig. • bei der Eigenfrequenz ω0 (= Ω) läuft der Oszillator dem Erreger um T/4 (entsprechend π/2) hinterher. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 25 Exkurs: nicht-harmonische Schwingungen „Jedes periodische Signal kann als Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden“ Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 26 Fourier-Zerlegung Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 27 Fourier-Zerlegung Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 28 Fourier Zerlegung Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 29 Fourier-Zerlegung in eine Summe klappt immer! (für periodische Funktionen) n=1 Wie groß n wird hängt von den steilen Flanken in der periodischen Funktion ab. Viele sehr scharfe, steile Flanken bedeuten hohe Frequenzanteile und damit braucht man große n. n=4 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 30 Fourier Zerlegung Amplitude „Spektrum“: Anteil verschiedener Frequenzen am Signal Frequenz [Hz] Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 31 Fourier Zerlegung EKG Signal ??? Die Grundfrequenz ist hier! Spektrum Das Signal ist gestört! EKG Gerät defekt! Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 32 Zu jedem Zeitschritt wird entlang dieser Achse ein Fourier Spectrum aufgetragen Sonogramm na:in ti:n ss ss en schu ri Sonogram of a male voice saying: „nineteenth century“ Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 33 Schwebung : Lautsprecher und Mikrophon Experiment Beobachtung: Deutung: Und nun die Frage: Wie pflanzt sich Schall eigentlich fort…………? Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 34 Schwebung • Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Amplitude und verschiedener Kreisfrequenzen: • Interpretation: – Resultat ist eine Sinus-Schwingung mit der mittleren Kreisfrequenz (halbe Summe der Grundfrequenzen) und variabler Amplitude. – Amplitudenänderung folgt einer Cosinus-Funktion mit der halben Differenz der Grundfrequenzen. • Anwendung: Stimmen von Instrumenten. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 35 Beispiel sin(15t), sin(16t) Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 36 Schwebung : Lautsprecher und Mikrophon Experiment Beobachtung: Deutung: Und nun die Frage: Wie pflanzt sich Schall eigentlich fort…………? Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 37 ein einfaches Bild... Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 38 Beschreibung von Wellen Von der Schwingung zur Welle Ein Schlitz - Zwei Schlitze Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 40 Beschreibung von Wellen Eine Welle ist eine Schwingung in Zeit und Raum. Wellen sind harmlos !? Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 41 Beschreibung von Wellen Bei allen Wellen findet in x-Richtung keine Netto-Bewegung statt. Idealerweise nur rauf und runter y0 sin(2ù T t) Wir hatten (time only): y(t) = Analog können wir definieren (space only): y(x) = y0 sin(2ù õ x) T= Periodendauer λ= Wellenlänge Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 42 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 43
