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Physik für Mediziner und Zahnmediziner
Vorlesung 21
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
Gase (insbesondere: im Körper)
aus: Klinke/Silbernagel: Lehrbuch der Physiologie
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Gase im Körper: Lernziele
• Gase: Zusammenhang der Zustandsgrößen
Druck p, Volumen V, Temperatur T
• mikroskopische Interpretation von Druck und Temperatur
• Messbedingungen: BTPS, ATPS, STPD
• Dampfdruck
• Gasgemische: Partialdrücke pi
• Lösung von Gasen in Flüssigkeiten
• O2-Bindungskurve
• die Taucherkrankheit und die Sektflasche
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Bewegung in Gasen: Impuls und Druck
Experiment
Beobachtung:
Deutung:
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Geschwindigkeitsverteilung
T[K]
<v>
[m/s]
300
476
500
614
1000
862
Die mittlere Geschwindigkeit der
Teilchen hängt auch von der
Teilchenart ab (von deren Masse)!
Die mittlere Geschwindigkeit der
Teilchen hängt von der Temperatur ab.
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Wiederholung: kinetische Energie
Wkin
m 2
= v
2
Die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens
ist proportional zur Temperatur:
Wkin
m 2
3
v = k BT
=
2
2
kB ist die Boltzmann Konstante:
1.380 . 10-23 J/K
Bem.: es ist
v
2
≠ v
2
!!
Mittelwert der Quadrate ist nicht gleich
dem Quadrat der Mittelwerte!
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Wiederholung: Energie und Impuls
Erhaltungsgrößen
Energie E

s2
 

∆E = Fp s  = ∫ Fds 
 s


 1
Energieerhaltungssatz:
In einem System, das
keinen äußeren Kräften
unterworfen ist, ist die
Gesamtenergie, d.h. die
Summe der potentiellen
und kinetischen Energie,
konstant.


Impuls p = mv
 t2 

 
∆p = F( t ) ⋅ t  = ∫ F( t )dt 
 t

 1

Impulserhaltungssatz:
Wirken keine äußeren
Kräfte, so ist die vektorielle
Summe aller Impulse
konstant
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Druck eines idealen Gases
v
Impulssatz: Bilanz eines Teilchens und
Gefäßwand
v
A
v
vorher : p T + p W = mv + 0
nachher : p T + p W = −mv + Δp W
∆s
Impulsübertrag auf die Wand:
Δp W = 2mv
… Kraftstöße … Druck
Druck durch Impulsübertrag von
Teilchen auf die Wand
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Ideales Gasgesetz
Wir haben N Teilchen. Wie viele davon treffen pro
Zeiteinheit ∆t eine Wand?
Antwort: N/6 pro ∆t
Also ist die Aufprallhäufigkeit:
Definition der Geschwindigkeit:
Damit:
ergibt Stöße pro Zeit.
Wie ist also der Impuls pro Zeit?
Erhält man durch: Stöße pro Zeit mal Einzelimpuls also:
Wir hatten (vorige Folie):
 t2 

 
Weiterhin gilt: ∆pw= F( t ) ⋅ t  = ∫ F( t )dt 
 t

 1

Damit:
Damit:
Kraft ist Impuls pro Zeit
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Ideales Gasgesetz
Von vorhin
Druck gleich Kraft pro Fläche
Volumen
Also:
Wir hatten allgemein:
Boltzmann Gleichung
Gesetz idealer Gase:


oder:
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Zustandsgleichung eines idealen Gases
Zahl der Mole
(absolute) Temperatur (in K)
Druck (in Pa)
pV = nRT
Volumen (in m3, l,ml, cm3)
allgemeine Gaskonstante
J
R = NA ⋅ k B = 8.3
K ⋅ mol
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Zustandsgleichung eines idealen Gases
Zahl der Mole
(absolute) Temperatur (in K)
Druck (in Pa)
pV = nRT
Volumen (in m3, l,ml, cm3)
allgemeine Gaskonstante
J
R = NA ⋅ k B = 8.3
K ⋅ mol
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Molvolumen
Molvolumen
V (n) = 22.4 l
Oder aber: 18g Wasser ergeben 22.4 Liter Dampfffffff
Oder aber 1l Wasser ergeben 1244l Dampffffffffffffffffffffffffff
(Sauna!)
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Ideales Gas, Spezialfälle:
konstanter Druck … Isobare
nR
V=
T = konst ⋅ T
p
p1>p2 jeweils konstant
V
p2
p1
T
Ballonversuch
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Ideales Gas, Spezialfälle:
konstantes Volumen … Isochore
nR
p=
T = konst ⋅ T
V
V1>V2 jeweils konstant
p
V2
V1
T
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Ideales Gas, Spezialfälle:
konstante Temperatur … Isotherme
nRT konst.
p=
=
V
V
T1>T2 jeweils konstant
p
T1
T2
V
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Ideales Gas, Spezialfälle:
Kein Wärmetransport: adiabatisch
Alle Größen der Gleichung ändern sich da keine Wärme an
die Umgebung abgegeben wird (kein Wärmeaustausch)
Prozesse innerhalb
einer Thermoskanne
sind adiabatisch.
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Ideales Gas, Spezialfälle:
Kein Wärmetransport: adiabatisch
Morgendliche Abkühlung!
Lufterwärmung führt zu Unterdruck
Erde
6.2. 2012
17:30 -9°C
06:45 -15.7°C
07:15 -16.2°C
Expansion
ohne Wärmeaustausch
führt zur Abkühlung!
System ist zu
groß und CLuft
zu klein.
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Zusammenfassung
pV = nRT
T1>T2 konstant
V1>V2 konstant
p
p
V2
V p1>p2 konstant
p2
T1
p1
V1
T2
T
nR
p=
T
V
1
p = nRT
V
V
T
V=
nR
T
p
Sonderfall: adiabatische Änderung: Alle Größen ändern sich relativ zueinander.
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Nicht-ideales Gas:
Van der Waals Korrektur
Butangasversuch
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Nicht-ideales Gas:
Van der Waals Korrektur
n
Butangasversuch
Druck durch Wandstöße
Echtes Raumvolumen
V
p
b
Etc.
a/V2
oder
Eigenvolumen
der
Teilchen b
Etc.
Druck durch
Eigenstöße a/V2
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Standardbedingungen
Angabe von Volumina erfordert Angabe von Druck und
Temperatur
STPD: Standard Temperature Pressure Dry
Tn =0°C, pn =101kPa, pH2O=0 (trockenes Gas)
BTPS: Body Temperature Pressure Saturated
T=37°C (310K), pH2O=6.3kPa
ATPS: Ambient Temperature Pressure Saturated
T= Umgebungstemperatur, p= Umgebungsdruck,
pH2O=pH2O(T)
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Phasendiagramm des Wassers
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Dampfdruck pH2O
Wasser (Flüssigkeit) steht im Gleichgewicht mit
Wasserdampf (Gas) mit dem Gleichgewichtsdampfdruck
(0)
, der stark temperaturabhängig ist…
pH2O
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Gasgemische: Partialdruck
Zusammensetzung der Luft
Gas
Volumenanteil
[%]
N2
78.1
O2
20.9
Ar
0.93
CO2
0.03
Rest
0.04
ideales Gas:
Zustandsgleichung gilt
für jede Komponente i
…
pi V = niRT
d.h. jede Komponente
verhält sich so, als ob
keine weiteren
Gasteilchen vorhanden
wären…
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Gasgemische: Partialdruck
niRT
pi =
V
Zusammensetzung der Luft
Gas
pi [kPa]
N2
79.7
O2
21.2
Ar
0.94
CO2
0.03
Rest
0.04
Summe
101.3
p gesamt
RT
= ∑ p i = ∑ ni
V
i
i
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Schmidt/Thews: Physiologie des
Menschen
Jedes O2- bzw. CO2- Molekül, das in der Lunge oder
den Geweben ausgetauscht wird, durchläuft den
Zustand der physikalischen Lösung.
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Lösung von Gasen in Flüssigkeiten
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Löslichkeit: Henry-Gesetz
Vi(n)
= α ⋅ pi
VLM
(n)
i
V
:
VLM :
α:
gelöstes Gasvolumen (STPD)
Flüssigkeitsvolumen
Löslichkeit (Einheit: kPa-1)
Die Konzentration des in der Flüssigkeit gelösten Gases
ist proportional zu seinem Partialdruck im umgebenden
Gasraum.
Zusammenhang von Konzentration und Partialdruck
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Gasaustausch
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Gasaustausch
Strömung/Diffusion
Plasma
Erythr.
Membran
Alveolarraum
Diffusion
O2 (Häm.)
O2 (Gas)
O2 (Plasma)
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Verlauf des O2-Partialdrucks
venös
pO2
arteriell
pO2
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O2-Bindungskurve
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Überblick
aus: Klinke/Silbernagel: Lehrbuch der Physiologie
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Löslichkeiten
α [1/kPa]
Lösungsmittel
O2
CO2
N2
H 2O
T=20°C
3.1∙10-4
88∙10-4
1.6∙10-4
H 2O
T=37°C
2.4∙10-4
57∙10-4
1.2∙10-4
Blut
T=37°C
2.4∙10-4
49∙10-4
1.2∙10-4
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Taucherkrankheit und Sektflasche
• (hydrostatischer) Druck steigt mit Tauchtiefe um ca.
100kPa/10m
• Folge: Lösung eines größeren Volumens der
Atemgase im Blut und im Gewebe
•  überschüssiges gelöstes Gas kann Blasen beim
(zu schnellen) Auftauchen bilden…
•  Dekompression
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Druck eines idealen Gases
1.) Zeigen Sie, dass für ein ideales Gas
der Zusammenhang zwischen Druck p,
Volumen V und Temperatur T gegeben ist
durch:
pV = nRT
v
v
A
v
2.) Zeichnen Sie schematisch die Verläufe
nach obigem Zusammenhang für
• p=konstant
p
∆s
p
• T= konstant
V=konstant
V
T=konstant
• V= konstant
T
p=konstant
V
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T
Aufgabe
Die mittlere kinetische Energie idealer Gase
beträgt pro Teilchen (Atom oder Molekül):
Ekin
m 2
3
=
v = k BT
2
2
wobei kB=1.38·10-23J/K (Boltzmann-Konstante) und
T die absolute Temperatur bezeichnen.
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit eines
O2-Moleküls bei Raumtemperatur, T=300K. Die
Masse eines Mols (=6·1023 Teilchen) O2 beträgt
M=32g.
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Lösung
Die mittlere kinetische Energie idealer Gase beträgt pro Teilchen (Atom oder Molekül):
Ekin =
m 2
3
v = kBT
2
2
wobei kB=1.38·10-23J/K (Boltzmann-Konstante) und T die absolute Temperatur bezeichnen.
Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit eines O2-Moleküls bei Raumtemperatur,
T=300K. Die Masse eines Mols (=6·1023 Teilchen) O2 beträgt M=32g.
v2
3k B T 3 ⋅ 1.38 ⋅ 10 −23 J / K ⋅ 300K
=
=
m
(32g / 6 ⋅ 10 23 )
2
J
kgm 2
5 m
= 232.875 = 232.875 2 = 2.32 ⋅ 10 2
g
sg
s
m
2
v = 482.6
s
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