a(t)

Physik für Mediziner und Zahnmediziner
Vorlesung 05
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
Zusammenhang von Kraft und
Beschleunigung
Experiment
M
F=mg
m
Kraft
Masse
Beschleunigung
[m/s2]
F
M
1
2F
M
2
2F
2M
1
Deutung:
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 2
Zusammenhang von Kraft und
Beschleunigung
Kraft
Masse
Beschleunigung
[m/s2]
Rot
F
M
2
Grün
2F
M
4
(Blau)
2F
2M
2
14
M
F
solid: s [m]
dot: v [m/s]
2
dash: a [m/s ]
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
t [s]
1.5
2
2.5
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 3
Kraft = Masse × Beschleunigung
2. Newtonsches Axiom: Die auf einen Körper
ausgeübte Gesamtkraft ist gleich dem Produkt
aus der Masse und Beschleunigung des
Körpers: F=m·a
Bem.: Kraft und Beschleunigung sind Vektoren. In
vektorieller Form lautet das 2. Newtonsche Axiom:


F = m⋅a
Bem.: das 2. Newtonsche Axiom enthält offensichtlich das
1.Newtonsche Axiom, das den Spezialfall a=0 behandelt.
Einheit: Die Kraft, die einer Masse von 1kg die Beschleunigung von 1m/s2
verleiht ist 1 Newton (1N) → N = kg m / s2
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 4
Zusammenfassung: gleichförmig
beschleunigte Bewegung
s
1
2
s1 − s0 = v 0 (t1 − t 0 ) + a(t1 − t 0 )
2
s0
t0
t1
t
Steigung der
s-t-Kurve
v
Fläche unter
der v-t-Kurve
v 1 − v 0 = a ⋅ (t1 − t 0 )
v0
t0
t1
t
Steigung der
v-t-Kurve
a
Fläche unter
der a-t-Kurve
a = kons tan t
t0
t1
t
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 5
Vorgehen bei Bewegungsanalysen
• zeitlicher Verlauf der Kraft F(t) liefert die Beschleunigung a(t)
a=F/m
F
t
s
t
Fläche unter
der v-t-Kurve
t
v
Fläche unter
der a-t-Kurve
t
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 6
Vorgehen bei Bewegungsanalysen...für
Experten
• zeitlicher Verlauf der Kraft F(t) liefert die Beschleunigung a(t)
a=F/m
F
t
t
t
v( t ) = v( t 0 ) + ∫ a( t )dt
t0
s
t
v
s( t ) = s( t 0 ) + ∫ v( t )dt
t0
t
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 7
t
Vorgehen bei Bewegungsanalysen
• zeitlicher Verlauf der Beschleunigung a(t) liefert die Kraft F(t)
a=F/m
F
t
t
s
Steigung der
s-t-Kurve
t
v
Steigung der
v-t-Kurve
t
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 8
Vorgehen bei Bewegungsanalysen...für
Experten
• zeitlicher Verlauf der Beschleunigung a(t) liefert die Kraft F(t)
a=F/m
F
t
s
ds  v
v( t ) =
=s
dt
t
t
dv
d2s 
= v = 2 = s
a( t ) =
dt
dt
t
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 9
Zusammenfassung und Ergänzungen
Kinematik
geradlinig
Beschleunigung
s
v = s
a = v = s
Kraft
F = ma
Ortskoordinate (Position)
Geschwindigkeit
gleichförmige Bewegung:
a=0
gleichf. beschl. Bewegung:
a = kons tan t
allgemein

s, r
 
v=s
  
a=v=s


F = ma
v = kons tan t
Einheit
m
m/s
m/s2
N
s = s0 + v ⋅ t
v = v0 + a ⋅ t
a 2
s = s0 + v ⋅ t + t
2
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 10
Noch so ein Irrtum
• Die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers hängt von seiner
Masse ab….
• Was hier wieder vergessen wurde ist, daß dieser intuitive
Sachverhalt auch nur durch Reibung zu Stande kommt!
• In der Tat fallen alle Körper (in Vakuum, etc.) gleich schnell!
• Galilei hat das entdeckt.
• Dazu hat er jedoch nix vom schiefen Turm von Pisa geschmissen!
Er hat Experimente mit rollenden Körpern auf schiefen Ebenen
gemacht. Die damals existierenden Uhren wären für freien Fall vom
Turm niemals genau genug gewesen!
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 11
Fallturmexperiment
1 2
s = gt
2
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 12
Und hier nun in der Tat:
F=ma: freier Fall mit Reibung
FG=mg
FR=-γv
Die Reibungskraft FR an Luft nimmt
(näherungsweise) proportional zur
Geschwindigkeit v zu. Bei der
Geschwindigkeit vs sind Reibungs- und
Gewichtskraft dem Betrag nach gleich, die
Geschwindigkeit ändert sich nicht mehr.
1.) Berechnen Sie vs für a) γ=50Ns/m und
b) γ=150Ns/m und eine Masse m=70kg
2.) Welchen Fallhöhen entsprechen
diese Geschwindigkeiten für den Fall,
dass keine Reibung auftritt.
Hinweis: für den zweiten Teil der Aufgabe benötigen Sie den
Energieerhaltungssatz der Mechanik.
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 13
Actio = Reactio
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 14
actio=reactio
3. Newtonsches Axiom: Wenn zwei Körper
miteinander wechselwirken, dann besitzen die
Kräfte, welche die Körper aufeinander
ausüben, denselben Betrag und


entgegengesetzte Richtungen.
F = −F
12
Beispiel Fahrradunfall: die von der Wand auf den
Radfahrer ausgeübte Kraft ist dem Betrag nach gleich
der vom Radfahrer auf die Wand ausgeübten Kraft.
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 15
21
Nochmal Fahrradunfall:
Was passiert hier ?
s-t
v-t
m=70kg
a-t
Entspricht einer Gewichtskraft von etwa
dem 14,5fachen Körpergewicht
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 16
...der menschliche Körper und die
Erdbeschleunigung: Die Maßeinheit „g“
Angabe der Beschleunigung in Einheiten der
Erdbeschleunigung g=9.81m/s2: a=19.62m/s2 = 2g
a-: Blutstrom in Extremitäten; O2-Mangel im Gehirn;
gestörte Motorik und Sehfähigkeit; Bewusstlosigkeit
für a+>5g; kaum dauerhafte Schädigungen
a+
a+: Blutstrom in Kopf; a->5g: Bewusstlosigkeit;
Herzstillstand; erschwerte Atmung; erträglich: 5g
wenige Sekunden, 4.5g etwa 15s, 3g etwa 30s
a┴
aRichtung der
Beschleuningung
a┴: bis 6g nur erhöhter Druck auf Stützapparat
spürbar; bis 12g erschwertes Atmen, sinkender O2Gehalt; 35g sollen für t<0.2s möglich sein.
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 17
nochmal: Fahrradunfall: head injury
criterion
HIC<800:
weniger
schwere
Verletzun
gen.
HIC=1000: Bewusstlosigkeit (1h),
Gehirnerschütterung, Verlust eines Auges

 1
HIC = 
a( t )dt 
∫

 t 2 − t1 t1
t2
2 .5
a in Einheiten von g, t in
Sekunden
(t 2 − t1 )
HIC=1300: 95% schwerere Verletzungen;
55% Lebensgefahr
Erläuterungen:
Integral a / Zeit = Mittlere Geschwindigkeit!
Hoch 2.5 mal Zeit: Empirische Wichtung
Meist nimmt man 25 oder 36 msec zur Messung
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 18
Abschätzung

 1 t2
a( t )dt 
Einsetzen in: HIC = 
∫
t
t
−

 2 1 t1
2 .5
(t 2 − t1 )
Ergibt:
Fläche ca.
½ Rechteck
fläche
a=150g
HIC≈1700
t=0.035 s
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 19
Impuls: noch eine Buchhaltungsgröße
intuitiv „die Wucht“
Definition: Impuls = Masse × Geschwindigkeit


p = mv
Für den Impuls gilt – wie für die Energie – ein
Erhaltungssatz:
Impulserhaltungssatz: Wirken keine
äußeren Kräfte, so ist die vektorielle
Summe aller Impulse konstant
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 20
Impulserhaltungssatz und seine Herleitung
Impulserhaltungssatz:
Impulserhaltungssatz
(vereinfacht):
Nun Weglassen der Vektorpfeile!
0
F und a, v sind Vektoren
3. Newton Axiom
(Actio = Reactio)
2. Newton Axiom
oder:
Geschwindigkeit ist das
Integral unter der Beschleunigungskurve:
durch ausrechnen:
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 21
umstellen
Damit:
Impulssatz: Lösen einer Feder
Experiment
Beobachtung:
Deutung:
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 22
Impulserhaltung: Gleichungen
Achtung: Geschwindigkeit ist ein Vektor!
Impuls also auch!
Impulserhaltung:
v=vorher, n=nachher
Weglassen der Vektorsymbole!
Anfangsimpuls des Systems ist Null:
Massengleichheit
Damit:
Und also:
Wenn:
Dann:
„Merksatz“: Eins ist schwerer als zwei → zwei ist schneller als eins
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 23
Rakete
Größe 111m
...wie geht das?
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 24
Actio-Reactio
• Impulsversuch mit 2 Personen
– Auffahren auf einen stehenden Wagen mit einem
anderen Wagen
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 25
Herleitung: Impulsversuch mit 2 Personen
Impulserhaltung:
Vektorielle Größe
≠0
=0
Energieerhaltung der kinetischen Energien:
Energie ist eine skalare Größe
Frage: bei welchem Massenverhältnis laufen
die Körper mit gleicher Geschwindigkeit auseinander?
Nach einigem Einsetzen:
Der urspünglich
bewegte Körper
m1 > m2
m 1 = m2
m1 < m2
v1,n positiv („läuft weiter“)
v1,n = 0
(„bleibt stehen“)
v1,n negativ („läuft zurück“)
Der impulsaufnehmende Körper
Nicht grade eine intuitive
Antwort: m2 = 3m1
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 26
Versuch Ballwurf auf Wagen
B=Ball, W=Wagen
Der Fänger auf dem Wagen wird also beschleunigt!
Was ist jedoch mit dem Impuls des Fängers auf dem Boden??
Er wird durch den Boden aufgenommen!
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 27
Versuch Rakete
Wie müssen Sie also Ihre Rakete bauen?
Treibstoff schnell ausstossen, und
Masse Treibstoff sollte relativ zur Masse der Rakete groß sein.
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 28
Rakete... der Rückstoß
v
m
M
p=0
m
m m
m m
m m m
m m m
m
p = 0 = (M + 5m)V + mv ⇒ V = −
v
M + 5m
m
m m
m m m
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 29
Impuls- und Energiesatz
v1
m1
m2
v2
Im Versuch ist eine Feder (Federkonstante D=2.25kN/m) um
x=20cm gespannt worden. Nach Entspannen der Feder bewegen
sich die Wagen (Massen m1=60kg, m2=80kg) in entgegengesetzte
Richtungen. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten v1 und v2.
Hinweis: benutzen Sie Impuls- und Energieerhaltungssatz zur
Lösung.
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 30
...wrap up
Energieerhaltungssatz: In einem System, das keinen äußeren
Kräften unterworfen ist, ist die Gesamtenergie, d.h. die Summe der
potentiellen und kinetischen Energie, konstant.
2. Newtonsches Axiom: Die auf einen Körper ausgeübte
Gesamtkraft ist gleich dem Produkt aus der Masse und


Beschleunigung des Körpers: F=m·a
F = m⋅a
3. Newtonsches Axiom: Wenn zwei Körper miteinander
wechselwirken, dann besitzen die Körper, welche die
Kräfte aufeinander ausüben, denselben Betrag und

entgegengesetzte Richtungen.

F12 = −F21
Impuls


p = mv
Impulserhaltungssatz: Wirken keine äußeren Kräfte, so ist
die vektorielle Summe aller Impulse konstant
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 31
Zusammenfassung und Ergänzungen
potentielle Energien:
ED
gespannte Feder:
D 2
ED = x
2
x
EH
Schwerefeld:
EH = mgh
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 32
h
Zusammenfassung und Ergänzungen
EH
Schwerefeld:
EH = mgh
h
Ergänzung 1:
Der Nullpunkt der potentiellen Energie ist frei wählbar.
Physikalisch relevant sind nur Differenzen der potentiellen Energie
Ergänzung 2:
Aufteilung der potentiellen Energie in Teile, die vom Schwerefeld der
Erde stammen, und solche, die den „Probekörper“ beschreiben:
EH = m ⋅ gh
VH=gh heißt Potential des Schwerefeldes ( elektrisches Potential)
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 33
Rotationen: Ergänzungen und Vorgriff
Winkelbeschleunigung
Drehmoment
φ
ω = ϕ
 =ϕ

α=ω

T = θω
Trägheitsmoment θ:
θ = m⋅r2
Winkelkoordinate
Winkelgeschwindigkeit
Drehimpuls
Strecke s
.
Geschw. v = s
..
Beschl. a = s
φ
Kraft F=ma
Masse m
I = θω
Impuls p=mv
In Abwesenheit äußerer Drehmomente ist der Drehimpuls eines Systems konstant
kinetische Energie der Rotation:
T = rF sin α
Erot
θ 2
= ω
2
kinetische
Energie:
Ekin =
  
( T = r × F)
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 34
m 2
v
2
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 35
kinetische Energie: Arbeit der
Beschleunigung
Energie der gleichförmig beschleunigten Bewegung:
a 2
→ s( t ) = t
2
s0 = 0; v 0 = 0;
und
v( t ) = a ⋅ t
a 2
a2 v 2 m 2
W = F ⋅ s = ma ⋅ s = ma t = m
= v = Ekin
2
2
2 a
2
allgemein:
s2
s2
s2
s1
s1
s1
W = ∫ Fds =
v2
dv
(
)
ma
ds
m
=
∫
∫ ds
v
dt
(
)
2
ds
m 2
v 2 − v 12 = ∆Ekin
= ∫ m dv = ∫ mvdv =
dt
2
v1
v1
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 36
Kontrollfragen
• Wie lauten die Weg-Zeit- und Geschwindigkeits-ZeitGesetze für die gleichförmige und gleichf. beschleunigte
Bewegung?
• Hängt die Fallgeschwindigkeit bei Vernachlässigung der
Reibung von der Masse des Körpers ab?
• Nennen Sie zwei Erhaltungsgrößen in abgeschlossenen
Systemen!
• Formulieren Sie die Funktionsweise des
Raketenantriebs.
• Welche physikalische Größe ist für Unfallverletzungen
wesentlich?
• Beschreiben Sie die Funktion eines Sicherheitsgurtes;
welche Bewegungsgröße wird hierdurch verändert?
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 37
kinetische Energie: Arbeit der
Beschleunigung
Energie der gleichförmig beschleunigten Bewegung:
a 2
→ s( t ) = t
2
s0 = 0; v 0 = 0;
und
v( t ) = a ⋅ t
a 2
a2 v 2 m 2
W = F ⋅ s = ma ⋅ s = ma t = m
= v = Ekin
2
2
2 a
2
allgemein:
s2
s2
s2
s1
s1
s1
W = ∫ Fds =
v2
dv
(
)
ma
ds
m
=
∫
∫ ds
v
dt
(
)
2
ds
m 2
v 2 − v 12 = ∆Ekin
= ∫ m dv = ∫ mvdv =
dt
2
v1
v1
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 38
Zusammenfassung und Ergänzungen
...Statik einmal anders


F = ma


T = θω
 mechanisches System in Ruhe unterliegt keinen
Kräften und keinen Drehmomenten


Fges = ∑ Fi = 0
und


Tges = ∑ Ti = 0
Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 39