Elektrizität und Magnetismus Q1 - Q9 Q10 - Q17 Q18

Grundlagen- und Orientierungsprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik
Termin Sommersemester 2010
Elektrizität und Magnetismus
Donnerstag, 05. 08. 2010, 8:30–10:30 Uhr
Zur Beachtung:
• Zugelassene Hilfsmittel: Eine mathematische Formelsammlung.
• Bitte beantworten Sie die Kurzfragen auf diesen Klausurblättern und die
Rechenaufgaben auf dem separat ausgeteilten Papier. Verwenden Sie für
jede Rechenaufgabe jeweils einen eigenen Bogen.
• Wenn Ihnen der vorgesehene Platz zum Beantworten der Kurzfragen nicht
ausreicht, verwenden Sie auch die Rückseite der Klausurblätter.
• Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an.
• Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet.
• Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig
gelöst werden.
• Es gibt 19 Kurzfragen und 3 Rechenaufgaben.
• Diese Angabe besteht aus 17 Blättern.
Name
Vorname
Matrikelnummer
Q1 - Q9
Q10 - Q17
Q18 - Q19
1
Σ
Kurzfragen
Q1 (3 Punkte)
Geben Sie die Einheiten der elektrischen Spannung U , der elektrischen Ladung Q und der
elektrischen Kraft F~el in SI-Einheiten an.
Q2 (3 Punkte)
Geben Sie drei äquivalente Formulierungen des “Grundgesetzes der Elektrostatik” an.
Q3 (4 Punkte)
Betrachten Sie einen sehr langen zylindrischen idealen Leiter (Querschnitt siehe unten~
stehende Skizze) in einem äußeren elektrischen Feld E.
~ im Leiterinneren?
*a) Wie groß ist das elektrische Feld E
2
*b) Vervollständigen Sie in untenstehender Skizze die elektrischen Feldlinien außerhalb
des idealen zylindrischen Leiters.
Querschnitt des
idealen Leiters
E
c) Zeichnen Sie zudem die elektrische Ladungsverteilung innerhalb des Leiters in die
obenstehende Skizze ein. Wie nennt man den Effekt, der diese Ladungsumverteilung
verursacht?
Q4 (2 Punkte)
Berechnen Sie die Gesamtkapazität Cges der abgebildeten Kondensatorschaltung.
C
C
C
C
C
C
C
3
Q5 (3 Punkt)
Wie lautet das Gaußsche Gesetz in differentieller Form? Leiten Sie aus dem differentiellen
das integrale Gaußsche Gesetz ab.
Q6 (2 Punkte)
Wie ist die elektrische Stromdichte ~j definiert? Geben Sie die Einheit der Stromdichte in
SI-Einheiten an.
Q7 (3 Punkte)
Wie ist die Beweglichkeit µ von Ladungsträgern in einem Material definiert. Geben Sie
die Einheit der Beweglichkeit in SI-Einheiten an. Was lässt sich über den Wertebereich
der Beweglichkeit aussagen?
4
Q8 (3 Punkte)
Leiten Sie aus dem Zusammenhang zwischen Driftgeschwindigkeit und elektrischem Feld
das ohmsche Gesetz in differentieller (lokaler) Form her.
Q9 (1 Punkt)
Warum wirdder spezifische
elektrische Widerstand ̺ in technischen Anwendungen oft in
2
mm
der Einheit Ω
angegeben?
m
5
Q10 (5 Punkte)
Ein Elektron mit der Ladung q = −e wird in das (als homogen angenommene) elektrische
Feld eines Plattenkondensators bei x = 0 eingebracht (siehe Skizze). Das elektrische Feld
wird durch eine angelegte Spannung U zwischen der Platte bei x = L und der Platte
bei x = −L erzeugt. Welche Geschwindigkeit hat das Elektron (Anfangsgeschwindigkeit
v0 = 0), wenn es bei x = L den Konsensator durch eine dünne Blende verlässt? Leiten
Sie das Ergebnis über die Energieerhaltung her.
Hinweis: Kinetische Energie Ekin = mv 2 /2. Der Einfluss des Blendenlochs auf das elektrische Feld des Plattenkondensators kann vernachlässigt werden.
6
Q11 (3 Punkte)
Leiten Sie einen Ausdruck für die Verlustleistung Pel = U ·I her, die in einem zylindrischen
ohmschen Widerstand mit der Länge L, der Querschnittsfläche A und dem spezifischen
elektrischen Widerstand ̺ auftritt, wenn er von einem elektrischen Strom I durchflossen
wird.
Q12 (4 Punkte)
Geben Sie an, ob die in den folgenden Teilaufgaben gegebene physikalische Größe jeweils
statisch, stationär oder keines von beiden ist.
~ einer nicht bewegten Punktladung ist
*a) Das elektrische Feld E
*b) Der Stromdichte ~j eines Gleichstromkreises ist
~ eines von Wechselstrom durchflossenen Leiters ist
*c) Das Magnetfeld H
~ eines von Gleichstrom durchflossenen Leiters ist
*d) Das Magnetfeld H
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Q13 (2 Punkte)
Geben Sie das Ampèresche Durchflutungsgesetz in der von Maxwell erweiterten Form
sowohl in differentieller wie auch in integraler Formulierung an.
Q14 (2 Punkte)
In einem langen geraden Leiter (Festkörper) befinden sich Elektronen, die sich frei bewegen können und somit das Material leitfähig machen. Die positiven Ionenrümpfe des
Wirtsgitters sind ortsfest im Material fixiert. Durch eine angelegte Spannung U bewegen
sich die Elektronen mit der mittleren Driftgeschwindigkeit ~v , es fließt also ein Strom I.
Eine Hallsonde (=Magnetfeldmessgerät) bewegt sich ebenfalls mit ~v parallel zum Leiter
in konstantem Abstand. Misst die Sonde ein Magnetfeld? Begründen Sie Ihre Aussage.
8
Q15 (5 Punkte)
Ein positiv geladenes Ion der Ladung e und der Masse m tritt im Vakuum mit der An~ ein.
fangsgeschwindigkeit ~v0 in ein ausgedehntes homogenes Magnetfeld B
*a) Skizzieren Sie die Flugbahn des Ions in Abhängigkeit von den angegebenen Größen.
~ ~v0 k B,
~ allgemeiner Fall).
Hinweis: Machen Sie eine Fallunterscheidung (~v0 ⊥ B,
*b) Welche Arbeit wird dabei jeweils verrichtet? Was ergibt sich somit für die kinetische
Energie des Ions?
9
Q16 (3 Punkte)
In einem langen zylindrischen Leiter fließt ein Strom I. Durch welche Maßnahme lässt
~ im Außenraum um den Leiter kompensieren? Begründen Sie Ihre
sich das Magnetfeld H
Antwort.
Q17 (1 Punkt)
Welcher Tierart werden Sie am magnetischen Nordpol der Erde mit größerer Wahrscheinlichkeit begegnen: Eisbären, Pinguinen oder Schildkröten?
10
Q18 (3 Punkte)
Welchen grundlegenden Unterschied weisen magnetische im Gegensatz zu elektrischen
Feldlinien auf? Wie wird dieser Umstand in den Maxwellschen Gleichungen beschrieben?
Q19 (8 Punkte)
Gegeben sei folgende Parameterdarstellung des E2 in kartesischen Koordinaten:
~r(u1 , u2 ) = u1 · ~ex + (u1 − u2 ) · ~ey
Die beiden Parameter (u1 , u2 ) seien die kontravarianten Koordinaten in einem schiefwinkligen Koordinatensystem.
*a) Berechnen Sie die kontravariante Basis (~b1 , ~b2 ) zu den Koordinaten (u1 , u2 ) des
schiefwinkligen Koordinatensystems.
11
b) Berechnen Sie den inversen metrischen Tensor (g ij ) im schiefwinkligen Koordinatensystem.
Gegeben sei nun das elektrostatische Potential:
Φ(u1 , u2 ) = C · u1 − u2
c) Berechnen Sie das elektrische Feld
bezüglich der kontravarianten Basis
~ in dem schiefwinkligen Koordinatensystem
E
(~b1 , ~b2 ).
Hinweis: Für den Gradienten im E2 gilt
gradΦ =
2
X
i,j=1
12
g ji ·
∂Φ ~
· bi
∂uj
13
1. Rechenaufgabe (25 Punkte)
Gegeben ist folgende kugelsymmetrische Raumladungsverteilung ρ(r), die sich im Vakuum
(Permittivität ǫ = ǫ0 ) befindet. Verwenden Sie für Ihre Berechnungen Kugelkoordinaten.

2
 ρ0 · r
für 0 ≤ r ≤ R
R
ρ(r) =

0
für
r>R
*a) Skizzieren Sie den Verlauf von ρ(r) über dem Radius r.
*b) Berechnen Sie die Ladungsmenge Q(r), die von einer kugelförmigen Hüllfläche mit
dem Radius r eingeschlossen wird. Unterscheiden Sie hierzu die Fälle 0 ≤ r ≤ R
sowie r > R.
~
~
*c) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D(r)
und das elektrische Feld E(r)
im
gesamten Raum nach Betrag und Richtung.
d) Berechnen Sie das elektrische Potential φ(r), wenn als Bezugspunkt (Potentialnullpunkt) ein unendlich weit entfernt liegender Punkt angenommen wird. Skizzieren
sie das Potential über dem Radius r. Achten Sie dabei auf eine vollständige Beschriftung der Achsen.
Die Raumladungsverteilung werde nun durch
eine ideal leitende Kugelschale K1 mit Radius
R und Mittelpunkt im Ursprung ersetzt. Auf
ihr befindet sich die Ladung QK . Zudem wird
eine weitere Kugelschale K2 mit Radius 2R konzentrisch angebracht. Auf ihr befindet sich die
Ladung −QK . Die beiden Kugelschalen bilden
einen Kondensator (siehe Abbildung).
K2
K1
R
2R
+QK
-QK
*e) Bestimmen Sie die Ladung QK in Abhängigkeit der gegebenen Größen (d.h. ρ0
und R), so dass sich das elektrische Feld im Bereich zwischen den Kugelschalen
(R < r < 2R) nicht von dem in c) berechneten Feld unterscheidet? Begründen Sie
ihre Antwort.
~
*f) Wie groß ist das elektrische Feld E(r)
innerhalb (0 ≤ r < R) und außerhalb (r > 2R)
der Kondensatorplatten? Begründen Sie ihre Antwort.
g) Berechnen Sie die Oberflächenladungsdichten σ1 und σ2 auf den beiden Kugelschalen
K1 und K2 in Abhängigkeit von ρ0 und R.
h) Berechnen Sie die Spannung U zwischen den beiden Platten in Abhängigkeit von ρ0
und R.
i) Wie groß ist die Kapazität C des Kugelkondensators?
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2. Rechenaufgabe (20 Punkte)
Um die Geschwindigkeit v und die Masse m von unbekannten, einfach negativ geladenen
Ionen (Ladung q = −e) in einem Teilchenstrahl zu bestimmen, wird der unten skizzierte
Versuchsaufbau verwendet. Die z-Achse zeigt aus der Zeichenebene heraus. Der Ionenstrahl tritt bei x = z = 0 und y = L parallel zur x-Achse mit der Geschwindigkeit v in
das elektrische Feld eines Plattenkondensators (Länge L und Plattenabstand d) ein. Die
obere Platte liegt auf dem Potential U > 0, während die untere Platte geerdet ist. Am
Ende des Kondensators befindet sich eine Blende, so dass nur Teilchen, die innerhalb des
Kondensators keine Ablenkung erfahren, den Kondensator verlassen können. Die Anordnung befindet sich im Vakuum. Vernachlässigen Sie Streufelder des Plattenkondensators.
~ innerhalb des Platten*a) Geben Sie Richtung und Betrag des elektrischen Feldes E
kondensators an. In welche Richtung werden die Ionen abgelenkt?
b) Ab einer Spannung U = Umax werden die Ionen so stark abgelenkt, dass Sie auf einer
Platte des Plattenkondensators auftreffen. Berechnen Sie Umax in Abhängigkeit von
der Masse m und von der Geschwindigkeit v der Teilchen.
Hinweis: Aus der klassischen Mechanik folgt für eine linear in y-Richtung beschleunigte Bewegung:
1
F =m·a
und
∆y = · a · t2
2
mit der Kraft F , der Beschleunigung a in y-Richtung, der Ablenkung ∆y und der
Zeit t. Hieraus lässt sich ∆y(x) berechnen.
c) Skizzieren Sie die Bahn ∆y(x) der Ionen für U = Umax .
~ (mit
Nun wird im gesamten Halbraum x > 0 zusätzlich ein homogenes Magnetfeld B
dem Betrag B) angelegt. Dadurch soll die Ablenkung der Ionen durch das elektrische
Feld so kompensiert werden, dass Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit v den
Kondensator durch die Blende verlassen können.
~ dazu zeigen?
*d) In welche Richtung muss das Magnetfeld B
*e) Berechnen Sie für gegebenes U und B die Geschwindigkeit v derjenigen Ionen, die
den Kondensator durch die Blende verlassen können.
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*f) Die Ionen werden im Bereich x > L, in dem kein elektrisches Feld existiert, vom
~ abgelenkt. Ein auf der x-Achse verschiebbarer Ionendetektor (siehe
Magnetfeld B
obenstehende Abbildung) misst ein Intensitätsmaximum, wenn er sich bei x = 2L
befindet. Berechnen Sie die Masse m der Ionen.
Hinweis: Aus der klassischen Mechanik folgt für die Zentripetalkraft einer Kreisbahn mit dem Radius r:
m · v2
Fz =
r
~ zwig) Skizzieren Sie die gesamte Bahn der Ionen bei eingeschaltetem Magnetfeld B
schen Strahleintritt und Detektor.
*h) Warum registriert man in der Praxis auch dann noch Ionen im Detektor, wenn man
den Detektor ein kleines Stück auf der x-Achse verschiebt? Nennen Sie zwei Gründe.
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3. Rechenaufgabe (15 Punkte)
~ = B~ey . Im übrigen
Im Halbraum z ≥ 0 herrscht ein homogenes magnetisches Feld mit B
~ = 0. Eine rechteckige, offene Leiterschleife (Breite W , Länge L, Masse m)
Raum ist B
wird zum Zeitpunkt t = t0 am Rande des Magnetfeldes (Unterkante der Schleife bei z = 0,
siehe untenstehende Skizze) losgelassen. Sie befindet sich dann für t ≥ t0 im freien Fall
unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung ~g = g~ez . Zum Zeitpunkt t1 > t0 tritt auch die
obere Seite der Leiterschleife in das magnetische Feld ein. In der Leiterschleife wird für
t > t0 die Spannung Uind (t) induziert.
*a) Um welche Art der Induktion handelt es sich?
*b) Berechnen Sie die zeitabhängige Geschwindigkeit v(t) sowie die Position der Unterkante der Leiterschleife z(t).
c) Berechnen Sie für t0 < t < t1 sowie für t > t1 die in der Leiterschleife induzierte
Spannung Uind (t) (t1 braucht nicht explizit berechnet zu werden).
d) Skizzieren Sie für t > 0 den zeitlichen Verlauf der Spannung Uind (t).
Betrachten Sie jetzt eine geschlossene Leiterschleife (Länge L, Breite w, Masse m), deren
ohmscher Widerstand R beträgt. Sie wird ebenfalls zum Zeitpunkt t0 am Rande des
Magnetfeldes (Unterkante der Schleife bei z = 0) losgelassen.
e) Berechnen Sie den in der Leiterschleife induzierten Strom I(t). Geben Sie den Strom
nur als eine Funktion der momentanen Geschwindigkeit v(t) an. In welche Richtung
fließt I(t) (Uhrzeiger- oder Gegenuhrzeigersinn)?
f) Welchen Einfluss hat der induzierte Strom I(t) auf die Bewegung der Leiterschleife?
g) Wie groß ist die auf die Leiterschleife wirkende Lorentzkraft F~L (t) für t > t0 ?
Viel Erfolg!
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