QM1 Kapitel 7

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einem Impulsphasenraum P. Dieser ist mit einer weiteren Struktur ausgestattet, der sogenannten symplektischen Struktur, die zum Beispiel über die Poisson–
Klammer charakterisiert werden kann: {◦, ◦} : O(P) ×
O(P) −→ O(P). Auch diese Struktur wird von der Quantisierung respektiert, in folgendem Sinne:
Vereinbarung VII.2 (Kanonische Quantisierung)
Sei (P, H) ein Hamilton–System gegeben durch einen
Phasenraum P ∼
= Q × Rn , n ∈ N für eine offene Menge Q ⊂ Rn , oder durch eine symplektische Mannigfaltigkeit P, zusammen mit einer Hamilton–Funktion H. Die
geometrische Struktur von P liefert die Poissonklammer,
{◦, ◦} : O(P) × O(P) −→ O(P), die O(P) zu einer Lie–
Algebra macht.
Zu einer kanonischen Quantisierung gehört die Quantisierungsvorschrift VII.1 und eine Auswahl A ⊂ O(P)
von klassischen Observablen, die quantisiert werden sollen. Eine kanonische Quantisierung von (P, H, A) ist
dann eine Abbildung ρ : A −→ O(Z) mit den folgenden
Bedingungen:
(1): Für alle B1 , B2 ∈ A mit {B1 , B2 } ∈ A gilt
[ρ (B1 ) , ρ (B2 )] = iρ ({B1 , B2 }) .
(120)
(3): Mit Oq := ρ(BOrt ) und Op := ρ(BImp ) liefert (1),
[Oqa , Opb ] = iδba , a, b ∈ {1, 2, 3} .
(121)
Bsp. VII.1 (Der 1–d harmonische Oszillator) Der
Phasenraum ist P = R2 . Als Menge der zu quantisierenden Observablen wählen wir A = {q, p, H, idP }, wobei
die Hamiltonfunktion durch H = (p2 + m2 ω 2 q 2 )/(2m)
gegeben ist. Als Hilbert–Raum wird L2 (R) genommen.
Durch ρ(q) := Oq , ρ(p) := Op , ρ(idP ) := idZ und
ρ(H) := OH = (Op ◦ Op + m2 ω 2 Oq ◦ Oq )/(2m) ist dann
eine kanonische Quantisierung gegeben, wobei OH folgendermaßen definiert ist: Der Definitionsbereich D(OH )
enthält den linearen Unterraum
�
�
df
D = ψ ∈ L2 (R) :
dq |q|4 |ψ(q)|2 < ∞ ,
R
�
�
∃∆f ∈ L2 (R) :
dq g∆f =
dq (∆g)f ,
R
R
�
∀g ∈ E(R) : Träger(g) kompakt in R , (122)
wobei E(R) die Menge der differenzierbaren Funktionen
auf R bezeichne. Die Wirkung von OH auf D ist folgendermaßen definiert: Für |ψ� ∈ Z , ψ(q) ∈ D ist
�q|OH |ψ� ≡ OH ψ(q)
�
�
= −�2 ∆ + m2 ω 2 q 2 ψ(q) .
Deibei ist ∆ := ∂ 2 /∂q 2 .
a∈I
(124)
eine kanonische Quantisierung von A = {q a , pa , H, idP }
liefern. Dabei ist ∆ der klassische Laplace–Operator.
Bsp. VII.3 (Das freie nicht–relativistische Teilchen) Der Phasenraum ist P ∼
= R3 × R3 , die Hamilton–
Funktion H(q, p) = p2 /2m. Die zu quantisierenden Observablen sind A = {q a , pa , H, idP }. Als Hilbert–Raum
dient L2 (R3 ). Wie im vorherigen Beispiel wählen wir
Oqa , OPa und OH := −�2 ∆/2m. Damit ist die kanonische Quantisierung spezifiziert.
(119)
(2): Ist die konstante Funktion idP ∈ A, so ist
ρ (idP ) = idZ .
Bsp. VII.2 (Der n–d harmonische Oszillator)
Verläuft ganz analog zum 1 − −d harmonischen Oszillator, allerdings ist die Buchhaltung aufwendiger. Zunächst
ist der Hilbert–Raum L2 (Rn ) , n ∈ N. Wir gehen hier
nicht explizit auf die Definitionsbereiche der Operatoren
ein, sondern notieren lediglich, daß die Festsetzungen
Oqa ψ = q a ψ, OPa ψ = −i�∂ψ/∂q a , a ∈ I := {1, 2, 3}
und
�
�
�
1
OH ψ(q) =
−�2 ∆ + m2 ω 2
Oqa ◦ Oqa ψ(q)
2m
(123)
Bsp. VII.4 (Kanonische Quantisierung in Algebraischer Manier) Wir diskutieren diese Konstruktion wieder am Beispiel des 1–d harmonischen Oszillators.
Unter der Annahme, daß eine kanonische Quantisierung
bereits gegeben ist, gelten folgende algebraische Relationen für die Observablen:
[Oq , Op ] = i� ,
[Oq , OH , ] = i(�/m)Op ,
[OH , Op ] = i(m2 ω 2 /2)Oq .
(125)
In der Klassischen Mechanik haben wir den harmonischen Oszillator auch qualitativ untersucht. Da die Energie R+ � E = const. eine Bewegunsinvariante ist, gilt
H(q(t), p(t)) = E ∀t ∈ R. Dies führt zum Konzept der
2 2 2
Energieniveauflächen, H −1
√(E) = {(q, p ∈ P : m ω q +
2
1
p = 2mE} = Sr mit r = 2mE. Eine übersicht über alle Bahnen zu einer festen Energie E > 0 erhalten wir, indem wir auf H −1 folgende Äquivalenzrelation einführen:
Für a, b ∈ H −1 (E) sei a ∼ b, wenn es eine Bahn mit
Energie E im Phasenraum P gibt, die a und b miteinander verbindet. Der Quotient BE := H −1 / ∼ ist dann
der Bahnenraum zur Energie E und parametrisiert offenbar alle möglichen Bahnen des Systems mit Energie E.
In dieser Situation lassen sich die Bahnen mit Hilfe der
komplexen Struktur auf R2 besonders einfach beschreiben: Für (q, p) ∈ P schreiben wir z := mωq + ip ∈ C.
Auf diese Weise ist R2 mit C identifiziert. Zeigen Sie,
daß folgendes gilt: a ∼ b genau dann, wenn es φ ∈ R gibt
mit a = exp (iφ)b. In der Mechanik haben wir an dieser Stelle an den komplex–projektiven Raum P0 (C) erinnert, nämlich P0 (C) := S1r / ∼ mit der Äquivalenzrelation
a ∼ b, wenn es ein λ ∈ U (1) := {λ ∈ C : |λ| = 1} gibt mit
a = λb. Als Resultat erhalten wir so: Der Bahnenraum
BE für den (1 − d) harmonischen Oszillator zur Energie
43
E > 0 ist der komplex–projektive Raum P0 (C), und die
Quotientenabbildung ϕ : H −1 (E) −→ BE = P0 (C) hat
als Fasern ϕ−1 (x) gerade die Bahnen zur Energie E.
Salopp gesprochen versucht die algebraische Methode, die Quantisierung auf obiger qualitativer Beschreibung aufzubauen, natürlich im
Al√ Einklang mit (125).
∗
so, ρ(z) := (mωO
+
iO
)/
2m�ω
=:
a
und
ρ(z
)
:=
q
p
√
(mωOq − iOp )/ 2m�ω =: a† auf dem noch zu bestimmenden Hilbert–Raum. Die Operatoren a und a† sind
nicht selbstadjungiert. Es gilt OH = (a◦a† −1/2)�ω. Wir
bemerken, daß E0 := �ω die Einheit einer Energie hat.
Somit wird OH in Vielfachen von E0 gemessen (relativ
zur Grundzustandsenergie). Der Operator On := a ◦ a†
ist selbstadjungiert und dimensionslos.
Die algebraischen Relationen (125) liefern:
�
�
a, a† = 1 .
(126)
Offenbar ist OH = (On − 1/2)E0 , also M(OH ) =
M(On ) − 1/2. Wir nsetzen voraus, daß es einen Eigenvektor |n� ∈ Z gibt mit On |n� = n|n� , n ∈ R. Offenbar
ist dann OH |n� = (n − 1/2)�ω|n�.
Wir definieren |n − 1� := a|n�. Der Bezeichner des
neuen Zustandes ist schon sinnvoll, denn mit (126) ist:
On |n − 1� = On a|n� = a(On − 1)|n� = (n − 1)|n − 1�.
Genauso gilt mit der Definition |n + 1� := a† |n� und wegen (126): On |n + 1� = On a† |n� = (1 + On )a† |n� =
a† (1 + On )|n� = (1 + n)|n + 1�. Außerdem ist für jedes Z � |ψ� =
� 0 auch a† |ψ� =
� 0, denn �a† |ψ��2 =
†
�ψ|On |ψ� = �ψ|a a|ψ� + �ψ|ψ� = �a|ψ��2 + �|ψ��2 > 0.
Wir setzen |n−k� := (a)k |n� , k ∈ N, wobei (a)k die k–
fache Komposition von a mit sich selbst bezeichne. Offenbar ist On |n−k� = (n−k)|n−k� und �a† |n−k��2 = �k −
n|On |k−n� = (n−k)�n−k|n−k� = (n−k)�|n−k��2 ∀k ∈
N. Folglich ist (n − k) ≥ 0 oder �n − k|n − k� = 0 ∀k ∈ N.
Daher gibt es ein N � k : |n − k� =
� 0 und a|n − k� = 0.
Für diesen Zustand ist n − k − 1 = 0 � n = k + 1 ∈ N,
also n ∈ N.
Mit all diesen Informationen können wir nun
tatsächlich explizit einen geeigneten Hilbert–Raum mit
den Operatoren Oq , Op , OH konstruieren. Sei |z� ein
Zustand
mit Wellenfunktion Z(n) := �n|z� und
�∞
2
< ∞. Dann können wir so vorgehen:
n=1 |Z(n)|
Es sei H = �2 der Hilbert–Raum der komplexen, quadratsummierbaren
Folgen, �2 := {(Z(n))n∈N : Z(n) ∈
�∞
C , n=1 |Z(n)|2 < ∞} mit dem Skalarprodukt �z|w� :=
�∞
n=1 Z(n)W (n) und den Einheitsvektoren {en }n∈N =
(0, . . . , 1, . . . , 0), wobei die Eins an der Position n ∈ N
der Folge steht. Wir finden
a† en =
√
n en+1 ,
√
a en = n − 1 en−1 , n ∈ N/{0, 1} ,
a e1 = 0 .
(127)
Und weiter folgt für alle |z� mit: ∀n ∈ N ist Z(n) ∈ �2 :
On e n = n e n �
OH en = (n − 1/2)E0 en ,
�n|OH |z� ≡ OH Z(n)
= (n − 1/2)E0 Z(n) .
(128)
Geeignete Fortsetzungen von Oq , Op , OH sind dann
selbstadjungierte Operatoren auf H, also Observablen,
die den gewünschen Kommutator–Beziehungen (125)
genügen.
Der Zusammenhang zu den Zuständen �
|n� , n ∈ N/{0}
ist schnell hergestellt: en ↔ |n� := |n�/ �n|n�. In der
Tat ist dann, a† |n� = N(+) |n + 1� , N(+) ∈ C. Wegen der
√
Definition |n + 1� = a† |n� folgt N(+) = n. Genauso
√
sehen wir ein, daß a|n� = n − 1|n − 1�.
Die algebraische Behandlung des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik heisst auch Besetzungszahldarstellung des harmonischen Oszillators.
Der Name stammt von folgender Überlegung: Aufgrund
der Wirkung von a und a† liegt es nahe, diese als
Vernichtungs– und Erzeugungsoperatoren zu bezeichnen. Was in dieser Sprache etws irreführend vernichtet und erzeugt wird sind Anregungen des Oszillators relativ zu seinem Grundzustand mit der Energie
−E0 /2 �= 0. Da diese Anregungen immer in natürlichen
Portionen kommen, die wir mit n ∈ M(On ) = N parametrisiert haben, scheint diese Sprache sinvoll zu sein.
Allerdings ist es wichtig zu betonen, daß eine solche Anregung mittels Operation von a und a† nicht wirklich vernichtet oder erzeugt werden kann, denn diese Operatoren
sind ja nicht selbstadjungiert und folglich kann ihre Wirkung auf einen Zustand keinen physikalischen Prozess
beschreiben. Vielmehr erlaubt uns On zu zählen, wieviel
Anregunsenergie in Portionen E0 relativ zur Grundzustandsenergie E0 /2 in diesem System steckt. Wir notieren auch, daß der Grundzustand nicht zu einem Teilchen
mit verschwindender Energie korrespondiert!
Eine analoge Konstruktion funktioniert sogar für ein
System von unendlich vielen harmonischen Oszillatoren,
was zur üblichen Interpretation der Quantentheorie von
Feldern führt. Bemerkenswert an dem 1-d Fall ist einerseits, daß es nicht möglich ist, die so einfach strukturierte Menge A = {q, p, H, idP } von klassischen Observablen auf dem Phasenraum P = R2 unter Vewendung eines endlich–dimensionalen Hilbert–Raumes zu quantisieren. Andererseits ist in der Besetzungszahldarstellung die
Konstruktion des wichtigsten Operators, OH , der ja die
Dynamik es quantenmechanischen Systems als selbstadjungierter Generator der unitären Darstellung von Zeittranslationen auf dem entsprechenden Hilbert–Raum hervorbringt, von vornherein als in seine Eigenräume zerlegt
gegeben.
44
VIII.
ELEMENTARE ANWENDUNGEN
In diesem Kapitel betrachten wir einfache Systeme, die
immer durch ein einzelnes Teilchen in einem von außen
vorgegebenen klassischen Potentialfeld gegeben sind, und
die wir quantenmechanisch beschreiben wollen. Dazu bedarf es ab und an einer ausführlicheren Vorbereitung, in
der wir unsere algebraischen Einsichten um analytische
Resultate aufstocken, etwa beim harmonischen Oszillator
oder beim quantenmechanischen Drehimpuls.
A.
Harmonischer Oszillator in einer Dimension
Bei der algebraischen Behandlung des harmonischen
Oszillators in der Quantenmechanik haben wir uns ausschließlich für kinematische Informationen interessiert,
die rein algebraisch abgerufen werden konnten. Die explizite Berechnung von Wellenfunktionen war hierfür nicht
erforderlich, beschäftigt uns aber im Folgenden.
Eine zentrale Rolle bei der algebraischen Behandlung
kam den Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren zu,
a† und a, die eine Besetzungszahldarstellung |n� , n ∈
M(On := aa† ) des Oszillators erlaubten. Gewissermaßen interessieren wir uns für die Anzahl der elementaren Anregungen im Oszillator relativ zum nicht–trivialen
Grundzustand, wobei jede Anregung die gleiche Energie E0 = �ω trägt. Die Gesamtenergie des harmonischen
Oszillators ergibt sich wegen der Additivität der Energie einfach aus der Anzahl der Anregungen mit Energie
E0 zuzüglich der Grundzustandsenergie E0 /2. Die Besetzungszahldarstellung ist salopp geschrieben ein Anregungsportrait des Oszillators.
Um ein wenig gelenkiger mit den algebraischen Relationen zu werden, nutzen wir sogleich die zentrale Relation
[a, a† ] = 1 und redefinieren damit den Besetzungszahl–
Operator On . Es gilt ja: On = 1 + a† a. Dies zeigt, daß
auch N := a† a als Besetzungszahl–Operator fungieren
darf. Damit gilt OH = (N + 1/2)E0 . Beim Übergang von
On nach N wird also lediglich die Grundzustandsenergie
verschoben, und zwar wird sie um E0 erhöht. Mathematisch haben wir hier sicher alles richtig gemacht, aber
verzerrt diese Energieverschiebung nicht unser physikalisches Verständnis? Dies wäre sicherlich der Fall, wenn
die Energiemessung absolut wäre. Ist sie aber nicht, wir
messen in der Physik immer relative Energien, also Energiedifferenzen!
Die algebraischen nützlichen Relationen sind jetzt:
�
�
�
�
a, a† = 1 , [N, a] = −a , N, a† = a† .
(129)
Mit der Wahl von ON als Besetzungszahl ändert sich
auch die Normierung der entsprechenden Zustände. Wir
finden:
√
a|0� = 0 , a|n� = n|n − 1� , N � n ≥ 1 , (130)
√
a† |n� = n + 1|n + 1� ,
(131)
was konsistent mit (127) ist, wenn wir bedenken, daß
jetzt n ∈ M(N ) ist.
Wir wollen nun die Energie–Eigenfunktionen im Ortsraum berechnen. Wie gehen wir geschickt vor? Geleitet
von unseren algebraischen Einsichten fragen wir zunächst
nach der Wellenfunktion des Grundzustandes |0�. Dieser war definiert als der Besetzungszahl–Zustand für den
a|0� = 0 gilt, also von dem aus der Oszillator nicht weiter
abgeregt werden kann. Um eine Differentialgleichung für
die Grundzustandswellenfunktion zu erhalten, bietet es
sich nun an, diese Definition in den Ortsraum zu bringen. Sei x ∈ M(Oq ). Dann gilt
�
�
�x|a|0� = x + x02 ∂x �x|0� = 0 ,
(132)
�
wobei wir x0 :=
�/mω eingeführt haben. Bemerken
Sie, daß [x0 ] = L, also setzt x0 eine durch die Kreisfrequenz und die Masse des Oszillators gegebene charakteristische Längenskala. Es ist leicht zu sehen, daß für ein
Teilchen im Grundzustand x0 gerade der klassische Umkehrpunkt der Bewegung ist.
Die Gleichung (132) ist rasch gelöst, Z0 (x) :=
�x|a|0� ∝ exp [−(x/x0 )2 /2]. Mit der korrekten Normierung finden wir explizit:
�
� �2 �
1
1 x
Z0 (x) = �√
exp −
.
(133)
2 x0
πx0
Die Grundzustandswellenfunktion Z0 (x) ist modulo einer multiplikativen Konstante die eindeutige Lösung von
(132), es liegt also keine Entartung des Grundzustandes
vor. Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist die Energie des Grundzustandes von Null verschieden und der
Oszillator braucht sich nicht an der Stelle des Potentialminimums befinden, was durch die endliche räumliche
Ausdehnung der zugehörgen Wellenfunktion Z0 (x) zum
Ausdruck gibt, die ja wiederum durch x0 charakterisiert
ist.
Es ist instruktiv, sich die Erwartungswerte für die kinetische und potentielle Energie des harmonischen Oszillators im Grundzustand zu beschaffen. Wir benötigen
also E(Op �
◦ Op , |0�) und E(Oq ◦ Oq , |0�). Zunächst einmal
ist Op = i mE0 /2(a† − a) und daher
� †
�
0
Op ◦ Op = − mE
a ◦ a† + a ◦ a − a† ◦ a − a ◦ a† .
2
Wenn wir den Erwartungswert von Op ◦ Op bezüglich des
Grundzustandes bilden, dann tragen nur die letzten beiden Summanden bei. Daher finden wir E(Op ◦ Op , |0�) =
mE0 /2. Genauso finden wir, daß E(Oq ◦ Oq , |0�) = x02 /2
ist. Der Erwartungswert der kinetischen Energie OT :=
Op ◦ Op /2m im Grundzustand des harmonischen Oszillators ist somit E(OT , |0�) = E0 /4. Im Grundzustand erwarten wir außerdem für die potentielle Energie OV := mω 2 Oq ◦ Oq /2 des harmonischen Oszillators ebenfalls E(OV , |0�) = E0 /4. Mit anderen Worten:
E(OT , |0�) = E(OV , |0�) = E(OH , |0�)/2.
Weiterhin ist E(Op , |0�) = 0 und E(OV , |0�) = 0. Folglich gilt:
Streu|0� (q) · Streu|0� (p) = �/2 .
(134)
45
Damit ist die Unschärferelation zwischen dem quantenmechanischen Ort und Impuls im Grundzustand des harmonischen Oszillators saturiert, das heißt, der minimal
mögliche Wert für die Unschärfe wird angenommen.
Für beliebige Anregungszustände des harmonischen
Oszillators finden folgenden konstruktiven Ausdruck zur
Berechnung der zugehörigen
Wellenfunktionen im Orts√
raum: Es sei Nn := 1/ 2n n!. Dann gilt
�
�n
Zn (x) ≡ �x|n� = Nn x−n
x − x02 ∂x Z0 (x) . (135)
0
Für diese Wellenfunktionen des angeregten harmonischen
Oszillators ist die prinzipielle Unschärfe in Ort und Impuls größer als im Grundzustand. Es ist
Streu|0� (q) · Streu|0� (p) = (n + 1/2)� .
(136)
Die Energie–Eigenzustände des harmonischen Oszillators sind natürlich stationär. Folglich oszillieren auch
nicht die Erwartungswerte E(q, |n�) , E(p, |n�), sie verschwinden sogar unbhängig vom Anregungszustand. Wir
können aber umgekehrt fragen, ob es Linearkombinationen von Energie–Eigenzuständen gibt, die den klassischen harmonischen Oszillator möglichst treu imitieren?
Die Antwort hierauf ist ja und führt auf das Konzept
der kohärenten Zustände, welches leider jenseits dieser
Einführung liegt.
B.
Bahndrehimpuls und Kugelflächenfunktionen
Kanonische Quantisierung der kinetischen Energie eines Teilchens liefert nach Beispiel VII.3 den selbstadjungierten Operator T := Op ◦ Op /2m = −�2 ∆/2m auf dem
Hilbert–Raum L2 (Rd ). Der Laplace–Operator ∆ kann
folgendermaßen zerlegt werden:
∆ = ∆r + ∆Ω /r2 ,
df
∆r =
∂2
d−1 ∂
+
,
∂r2
r ∂r
�2
d �
1 �
∂
∂
xj k − xk j
,
2
∂x
∂x
j,k=1
�2
� �
∂
∂
.
=
xj k − xk j
∂x
∂x
df
∆Ω =
Der Vektor xab beschreibt eine Tangente an die Kugel
K(0, |x|) mit Mittelpunkt 0 und Radius |x| im Punkt x,
die parallel zur (xa , xb )–Ebene verläuft. ∆Ω ist also gewissermaßen ein Differentialausdruck auf der Sphäre, den
wir insbesondere auch auf der Einheitssphäre S d−1 :=
{y ∈ Rd : |y| = 1} ⊂ Rd untersuchen können.
Für f ∈ C 2 (S d−1 ) können wir den sogenannten
Laplace–Beltrami –Differentialausdruck Bf folgendermaßen erklären: (Bf )(ω) := ∆Ω f (x/|x|)|x=ω , ω ∈
S d−1 . Mit anderen Worten, wir setzen erst f radial konstant fort, wenden dann den Differentialausdruck ∆Ω an,
und schränken anschließend wieder auf S d−1 ein.
Damit ist auch klar, warum Kugelflächenfunktionen eine wichtige Rolle spielen — wie wir weiter unten sehen werden, bilden sie eine ONB von Eigenfunktionen zu B, denn Kugelflächenfunktionen erhalten wir
durch Einschränkung harmonischer Polynome in Rd auf
die Einheitssphäre S d−1 .
Zur Notation: Ein Multi–Index der Dimension d ∈ N
ist ein d–Tupel α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Nd . Für einen Multiindex α definieren wir:
|α| :=
(137)
Hierbei bezeichnet r den euklidischen Abstand vom Koordinatenursprung, und Ω soll an den Raumwinkel erinnern. Letztere Bezeichnung ist sinnvoll, weil ∆Ω ein von
r unabhängiger Differentialausdruck ist, und insbesondere in Kugelkoordinaten lediglich vom Azimuth– und
Polarwinkel abhängt. Dabei sind die Richtungsableitungen ∇ab ≡ xab · ∇ , a, b ∈ {1, . . . , d}, wobei die Vektoren xab := (0, . . . , 0, −xb , 0, . . . , xa , 0 . . . , 0) , (xab )a =
−xb , (xjk )b = xa , a, b ∈ {1, . . . , d}, bis auf den Faktor −i� gerade die Komponenten des Bahndrehimpulses,
üblicherweise folgendermaßen bezeichnet: La = −i�∇bc .
Tatsächlich gilt [La , Lb ] = iεabc �Lc .
a=1
αa ,
xα :=
d
�
a=1
(xa )αa , x ∈ Rd . (138)
Für ein beliebiges Polynom P vom Grad k ∈ N in d
Variablen schreiben wir also
�
P(x) =
c α xα .
(139)
|α|≤k
Es genügt hier homogene harmonische Polynome zu
betrachten:
Lemma VIII.1 Sei P ein harmonisches Polynom vom
Grad k in d Variablen. Dann läßt sich P in der Form
�k
P =
q=0 Pq schreiben mit homogenen harmonischen
Polynomen vom Grad q.
�
Beweis VIII.1 Wir wählen Pq = |α|≤q cα xα als homogene Polynome vom Grad q. Dann gilt offenbar
P(x) =
1≤j<k≤d
d
�
k
�
q=0
Pq (x) , und 0 = ∆P(x) =
k
�
∆Pq (x) .
q=0
Für jedes q ∈ {0, . . . , k} ist ∆Pq (x) entweder ein homogenes Polynom vom Grad q − 2, oder ∆Pq = 0, wobei letzteres insbesondere für q < 2 gilt. Also muß auch
∆Pq = 0 , ∀q ∈ {1, . . . , k} gelten. ∗–< [{; 0)
Für niedrige Grade können die harmonischen Polynome
explizit angegeben werden: Jedes Polynom von Grad 0
und 1 ist harmonisch. Linear unabhängige Systeme harmonischer Polynome sind zum Beispiel: P0 (x) = 1(1
Funktion),P1 (x) = xa , a ∈ {1, . . . , m}(m Funktionen),
P2 (x) = xa xb , 1 ≤ a < b ≤ d und (x1 )2 − (xj )2 , j ∈
{2, . . . , d}. Für diesen Grad haben wir 0 Funktionen für
d = 1, 2 Funktionen für d = 2, 5 Funktionen für d = 3,
und allgemein: (d+2)(d−1)/2–Funktionen. Weiter unten