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matheⓈkript
ANALYTISCHE GEOMETRIE
EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG
Punkte, Geraden und Ebenen
x3
11. – 12. Klasse
S
2016
H
G
D
C
x2
A
E
x1
F
B
© Jens Möller
Autor:
Jens Möller
Owingen
Tel. 07551-68289
Email: [email protected]
6. Auflage
Owingen 2016
Bestellungen bei folgender Adresse
matheⓈkript
Simon Geiger
Sonnenhalde 6
88 699 FRICKINGEN-LEUSTETTEN
Fax + Tel: 0700-53 87 83 88
Email:
[email protected]
VORWORT
Das vorliegende Skript hat sich als Einführung in die Vektorrechnung für 11./12.Klässler sehr bewährt. Die Inhalte werden in kleinen Schritten entwickelt und regen aufgrund der vielen Übungen
zu selbstständigem Lernen an. Der Stoff kann daher auch in einzelnen Fachstunden erfolgreich behandelt und erarbeitet werden.
Vom Niveau her orientieren sich die Inhalte an der Fachhochschulreife-Prüfung in BW.
Wer das ABITUR anstrebt, muss darüber hinaus in späteren Klassen noch weitere Kenntnisse erwerben, die in diesem Skript teilweise im ANHANG in den Kapiteln Bewegliche Punkte, Spatvolumen, Ebenenscharen und Geradenscharen behandelt werden.
Am Ende sollte der Schüler allein mit Hilfe der FORMELSAMMLUNG (siehe Anhang) dem Skript
entsprechende Aufgaben bewältigen können.
Viel Erfolg und Spaß beim selbstständigen Lernen.
Jens Möller,
Owingen im Mai 2013
INHALT
RÄUMLICHES KOORDINATENSYSTEM
1
EBENEN
2
Achsenabschnittsform
3
Spezielle Ebenengleichungen
4
Koordinatenebenen / Ebenen durch den Ursprung
8
Ebene, Gerade und Durchstoßpunkt (nur Konstruktion)
10
FREIE VEKTOREN
15
Addition, Subtraktion, Multiplikation mit einem Skalar
16
ORTSVEKTOREN
17
GERADENGLEICHUNG in Parameterform
17
Koordinaten zur Darstellung eines Vektors
18
Betrag eines Vektors
18
„Kopf weniger Fuß – Regel“
19
Geraden durch zwei Punkte
20
GERADE mit EBENE geschnitten
21
Konstruktion
23
ABSTAND ZWEIER PUNKTE
26
SCHNITT ZWEIER EBENEN
31
Alternative Methode
34
Punktprobe
36
SKALARPRODUKT
37
Winkel zwischen zwei Vektoren
39
Normalenvektor einer Ebene
41
Lot von einem Punkt auf eine Ebene
43
Abstand eines Punktes von einer Ebene
45
Hesse-Normal-Form
47
Abstand eines Punktes von einer Geraden
50
Alle Winkelformeln
54
INHALT
Alle Abstandsformeln
55
GESAMTWIEDERHOLUNGEN
56
EBENENGLEICHUNG in Parameterform
60
Gerade und Punkt bestimmen eine Ebene
61
KREUZPRODUKT bzw. VEKTORPRODUKT
62
Schema zur Bestimmung des Kreuzproduktes / Normalenvektors
63
EBENENGLEICHUNG AUS DREI PUNKTEN
64
Drei Punkte bestimmen eine Ebene
65
SCHNITT ZWEIER GERADEN
68
Gegenseitige Lage zweier Geraden
71
VIERTE ECKE IN EINEM PARALLELOGRAMM
73
Flächeninhalt eines Parallelogramms
75
SPIEGELUNG EINES PUNKTES an einer Ebene
77
GESAMTWIEDERHOLUNGEN
78
ANHANG
KLASSENARBEITEN
BEWEGLICHE PUNKTE
SPATVOLUMEN
EBENENSCHAREN
GERADENSCHAREN
FORMELSAMMLUNG
am ENDE
ANALYTISCHE GEOMETRIE = VEKTORRECHNUNG
x3
DAS KOORDINATENSYSTEM
z - Achse
Das räumliche (kartesische) Koordina-
5
tensystem hat drei paarweise aufeinander
4
senkrecht stehende Achsen:
3
2
1
Verkürzungsfaktor
x2
auf der x-Achse
2
135°
k  12 2  0,7
3
4
5
y - Achse
2
3
4
x - Achse
5
x1
Die drei Achsen heißen offiziell x1 Achse, x2 Achse und x3 Achse.
Die Erfassung von Punkten durch Koordinaten:
x3
Beispiel:
P (3 / 4 / 5)
5
gehe 3 nach vorne, 4 zur Seite, 5 nach oben,
4
wobei die Reihenfolge egal ist.
P(3/4/5)
3
2
allgemein: P( x1 / x2 / x3 )
5
1
x2
x1 , x2 , x3 heißen Punktkoordinaten
1
1
3
5
x1
-1-
3
4
3
2
4
2
4
5
EBENEN UND IHRE GLEICHUNGEN
Das Erfassen von Ebenen durch Achsenabschnitte:
x3
4
c=3
2
1
E
x2
b=4
1
2
3
1
2
3
4
a=5
E  5/ 4/3 
x1
allgemein: E  a / b / c 
a, b und c heißen Achsenabschnitte.
Das Erfassen aller Punkte in einer Ebene (Punktfeld) mit Hilfe einer Gleichung
x3
4
S3
2
Spurgerade
1
E
Spurgerade
1
x2
2
3
S2
1
2
Spurgerade
3
4
S1
S1 , S2 und S3 heißen Spurpunkte.
x1
-2-
MERKE
Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen, wobei die Koordinaten
folgendermaßen lauten:
S1 (a / 0 / 0) und
S2 (0 / b / 0) und
S3 (0 / 0 / c)
Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen, wobei die Gera-
dengleichungen folgendermaßen lauten:
x1 x3
 1
a c
x1 x2
 1
a b
x2 x3
 1
b c
Daraus ergibt sich die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform:
E:
x1 x2 x3
  1
a b c
Dass diese Gleichung richtig ist, sieht man daran, dass jeder der drei Spurpunkte eingesetzt werden
kann und jedes Mal die Gleichung erfüllt ist. Da eine Ebene genau durch drei Punkte bestimmt ist
und es sich bei der Ebenengleichung um eine lineare Gleichung handelt, hat man damit alles Nötige
gezeigt.
Beispiel:
E:
x1 x2 x3
   1 | Punktprobe für S2 (0 / 3/ 0)
2 3 5
E:
0 3 0
   1  0  1  0  1  1  1 stimmt.
2 3 5
Übung:
Mache ebenso die Punktprobe für die Spurpunkte S1 (2 / 0 / 0) und S3 (0 / 0 / 5) .
-3-
SPEZIELLE EBENENGLEICHUNGEN
x3
a) Parallelebenen zu den Koordinatenachsen:
4
c
E:
x1 x2 x3
  1
 b c

x2 x3
 1
b c
2
1
E:
E
b
1
2
x2
3
1
4
x1
x3
c
2
E:
x1 x2 x3

 1
a  c

E:
E
1
x2
1
2
3
4
x1 x3
 1
a c
1
a
x1
2
4
x3
4
3
E:
x1 x2 x3
 
1
a b 

E:
2
E
1
x1 x2
 1
a b
b
1
1
a
4
x1
-4-
2
2
3
x2
AUFGABE
Gegeben ist eine Pyramide durch die Punkte A(3 /  2 / 0) , B (3 / 4 / 0) , C ( 1/ 4 / 0) , D ( 1/  2 / 0)
und S (0 / 0 / 5) .
Zeichne die Pyramide.
Bestimme die Gleichungen der 4 schrägen Ebenen.
Bestimme das Volumen der Pyramide.
Wie groß sind die Dreiecksflächen?
x3
S
4
3
2
1
D
C
-1
-2
1
3
1
2
3
A
B
4
x1
-5-
4
x2
LÖSUNGEN
Ebene (ABS):
E1 :
x1 x3
  1 |  15 (HN)
3 5
 E1 : 5 x1  3x3  15
Ebene (BCS):
E2 :
x2 x3
  1 |  20
4 5
 E2 : 5 x2  4 x3  20
Ebene (CDS):
E3 :
x1 x3
  1 |  (5)
1 5
 E3 : 5 x1  x3  5
Ebene (ADS):
E4 :
x2 x3
  1 |  ( 10)
2 5
 E4 : 5 x2  2 x3  10
VPyr 
G  h 6 45

 40 VE
3
3
DREIECKSFLÄCHEN
 ABS 
 BCS 
 CDS 
 ADS 
g 1  h1
2
g 2 h2
2
g 1  h3
2
g 2 h4
2

6  32  52
 3  34  17,5 FE
2
4  42  52

 2  41  12,8 FE
2

6  12  52
 3  26  15,3 FE
2

4  2 2  52
 2  29  10, 77 FE
2
-6-
b) Ebenen, parallel zu zwei Achsen
x3
4
3
E:
E:
x
x1 x2

 3 1
a  
x1
1 
a
2
E : x1  a
1
1
2
3
x2
4
1
a
3
x1
x3
4
3
E:
E:
x1 x2 x3
1
 
 b 
x2
1 
b
2
1
E : x2  b
b
1
2
3
x2
1
2
3
x1
x3
c
5
4
E:
E:
x1 x2 x3

 1
  c
x3
1 
c
3
2
1
E : x3  c
1
1
2
3
4
5
x1
-7-
2
3
4
5
x2
c)
x3
DREI KOORDINATENEBENEN
MERKE
4
Rückwand
 E1 : x1  0
Seitenwand
 E2 : x2  0
Bodenebene
 E3 : x3  0
3
x1 = 0
2
x2 = 0
1
1
2
3
4
x2
1
2
x3 = 0
3
4
x1
d) Ebenen durch den Koordinatenursprung
x1 x2 x3
  k
a b c
Ansatz:
EO :
Bedingung:
O (o / o / o ) muss die Gleichung erfüllen. Durch Einsetzen folgt:
000  k 
Ebenengleichung:
EO :
k 0
x1 x2 x3
  0
a b c
Die Ebene EO geht durch den Ursprung und besitzt dieselbe Stellung wie
die Ebene E :
x1 x2 x3
  1.
a b c
e) Ebenengleichung in Koordinatenform
Jede Ebenengleichung kann auch in Koordinatenform geschrieben werden, indem man mit dem
Hauptnenner durchmultipliziert. Man erhält dann eine Gleichung in der Form:
E : Ax1  Bx2  Cx3  D  0
Für D = 0 geht die Ebene durch den Ursprung O.
-8-
1. Aufgabe
x3
x3
4
a)
2
b)
3
1
2
1
2
4
3
1
x2
1
x2
2,5
1
3
2
4
3
1
2
x1
x3
3
x1
x3
4
3
3
2
c)
d)
-3
2
-3
1
1
1
-3
1,5
2
x2
-2
1
2
3
4
x2
1
1
2
2
3
3
x1
4
x1
Bestimme alle Ebenengleichungen zunächst in der Achsenabschnittsform. Anschließend schreibe
die Gleichung um in die Koordinatenform.
2. Aufgabe:
Ein Körper wird durch folgende Ebenen begrenzt:
E1 : x3  0 / E2 : x1  3 / E3 : x2  4 / E4 : 4 x1  3x2  12  0 / E5 : x3  3
Zeichne den Körper.
3. Aufgabe:
Zeichne die Ebenen E1 : 12 x1  15 x2  10 x3  60  0 und E2 : 8 x1  3x2  24  0 in dasselbe Koordinatensystem ein. Zeichne jeweils die 3 Spurgeraden. Konstruiere auch die Schnittgerade der beiden Ebenen.
-9-
4. Aufgabe:
Gegeben ist die Ebene E : x1  x2  2 x3  8  0 . Eine Gerade g geht durch die Punkte A(3 / 4 / 3)
und B (5 / 8 / 5) .
Bestimme die Koordinaten der Spurpunkte von E. In welchem Punkt D durchstößt die Gerade g die
Ebene E?
Löse die Aufgabe durch Konstruktion.
E : x1  x2  2 x3  8  0 | 8 
Spurpunkte:
S1 (8 / 0 / 0)
x1  x2  2 x3  8 |: 8 
S2 (0 / 8 / 0)
E:
x1 x2 x3
  1
8 8 4
S3 (0 / 0 / 4)
x3
Hilfsebene
4
g
3
B
s
D
A
1
3
x2
4
1
2
3
A'
4
B'
g'
A und B  sind Lotfußpunkte von A und B.
x1
KONSTRUKTIONSBESCHREIBUNG
Die Punkte A, B, A’ und B’ bestimmen eine senkrecht stehende Hilfsebene H. Diese schneidet die
Ebene E in der Geraden s. g und s schneiden sich im Durchstoßpunkt D(2/2/2).
- 10 -
LÖSUNGEN
1. Aufgabe:
a)
b)
c)
Bodenfläche:
x3  0
Deckel:
x3  3
Seitenfläche:
x2  0
Rückfläche:
x1  0
Schrägfläche:
E:
Bodenfläche:
x3  0
Deckel:
x3  2
Seitenflächen:
x2  0 und x2  4
Rückfläche:
x1  0
Frontfläche:
x1  3
E:
x1 x2 x3

  1  3x1  8 x2  4 x3  12
4 1,5 3
E: 
x1 x2 x3

  1   x1  2 x2  x3  3 oder
3 1,5 3
E: 
x1 x2 x3
   1   x1  x2  x3  3 oder
3 3 3
E:
d)
x1 x2

 1  5 x1  4 x2  10
2 2,5
x1  2 x2  x3  3  0
x1  x2  x3  3  0
x1 x2 x3
   1  3 x1  4 x2  4 x3  12
4 3 3
Bodenfläche:
x3  0
Bodenfläche:
x3  0
1. Dachfläche:
E:
2. Dachfläche:
E: 
1. Schrägfläche: E :
x1 x3
  1  3 x1  2 x3  6
2 3
x1 x3
 1 
3 3
x1  x3  3  0
x1 x2 x3
   1  3 x1  3 x2  2 x3  6
2 2 3
2. Schrägfläche: E : 
x1 x2 x3
   1  2 x1  3 x2  2 x3  6  0
3 2 3
Senkrechte Fläche (rechts):
x2  4
- 11 -
2. Aufgabe:
x1 x2
 1 
3 4
E : 4 x1  3 x2  12  0  4 x1  3 x2  12 
zeichne
(= hintere schräge Fläche)
x3
3
1
1
2
3
4
x2
1
2
3
x1
3. Aufgabe:
x1 x2 x3
  1 
5 4 6
E : 12 x1  15 x2  10 x3  60  0 
E : 8 x1  3 x2  24  0 8 x1  3 x2  24 
zeichnen
x1 x2
 1 
3 8
E:
zeichnen
x3
6
4
3
2
1
s
1
2
1
2
3
4
5
x1
- 12 -
3
4
8
x2
WEITERE AUFGABE
1.
Zeichne die Ebene E1 : 2x1  3x 2  4x 3  12 und die Ebene E 2 : 3x1  x 2  x 3  6 in ein
Koordinatensystem ein. Zeichne die 3 Spurgeraden. Konstruiere die Schnittgerade der beiden
Ebenen.
2.
Zeichne einen Würfel mit der Kantenlänge a = 4 LE, so dass drei Kanten des Würfels auf den
positiven Koordinatenachsen liegen.
Die Ebene E : 2x1  x 2  4x 3  12 schneidet den Würfel. Konstruiere die Schnittfläche.
3.
Zeichne einen Würfel mit der Kantenlänge a = 4 LE, so dass drei Kanten des Würfels auf den
positiven Koordinatenachsen liegen.
Die Ebene E : 20x1  15x 2  24x 3  120 schneidet den Würfel. Konstruiere die Schnittfläche.
4.
Zeichne eine schiefe Pyramide mit den Punkten A(4/0/0), B(4/4/0), C(0/4/0), D(0/0/0) und
S(0/0/6). Schneide die Pyramide mit der Ebene E : 9x1  10x 2  30x 3  90 Konstruiere die
Schnittfigur.
LÖSUNGEN
6
x3
5
4
3
2
1
x2
-4
1
-2
1
2
-1
3
4
-2
5
x1
6
-3
- 13 -
2
3
4
5
6
x3
4
3
2
1
1
2
3
2
5
4
6
8
10
12
1
1
2
3
2
4
5
x1
3
6
x3
5
4
3
2
1
1
2
3
2
5
4
6
x2
8
1
2
1
3
2
4
5
3
6
x1
x3
6
5
4
3
2
1
4
1
2
2
4
1
2
1
3
4
2
5
x1
6
3
- 14 -
6
8
9
x2
x2
DER FREIE VEKTOR
A
a
a
a
a
a
a
Ein freier Vektor ist eine Verschiebung des ganzen Punktraumes in einer bestimmten Richtung,
wobei die Intensität der Verschiebung durch die Länge des Vektors ausgedrückt wird.
negativer Vektor


Ist a ein freier Vektor, so ist a ein freier Vektor mit entgegengesetzter Richtung und derselben
Länge.
A
-a
-a
-a
-a
-a
MERKE :
Vektoren sind Verschiebungen,
sie haben Richtung und Länge.
- 15 -
DARSTELLUNG EINES FREIEN VEKTORS
Ein freier Vektor wird nur durch einen einzelnen Pfeil dargestellt. Dieser kann jedoch beliebig
parallel verschoben werden, wobei seine Richtung unverändert bleibt. Auch ist der Ansatzpunkt
des freien Vektors frei wählbar. Nur die Länge und die Richtung dürfen nicht verändert werden.
Addition zweier Vektoren
b
a+b
a
a
Parallelogramm  Regel
b
Zwei Vektoren spannen ein Parallelogramm auf. Die Diagonale im Parallelogramm mit demselben
Ansatzpunkt ist die Summe der beiden Vektoren.
Oder man bildet aus beiden Vektoren eine Vektor-Kette. Die direkte Verbindung von Ansatzpunkt
des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten Vektors ergibt die resultierende Vektor-Summe.
-b
Subtraktion zweier Vektoren
Die Richtung des zweiten
a-b
a
Vektors wird umgekehrt, so
a
ergibt sich die andere Diagonale im Parallelogramm.
+b
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ( = Zahl)
0,5 a
a
2a
3a
Wird ein Vektor mit einem Skalar multipliziert, so bedeutet das eine Streckung oder Stauchung
seiner Länge um den entsprechenden Faktor.
- 16 -
DER ORTSVEKTOR
x3
Der Ortsvektor steht im Gegensatz zum freien Vektor.
5
Sein Ansatzpunkt ist fest an den Koordinatenursprung O
gebunden.
4
P(3/4/5)
3
Ortsvektor

OP  Verschiebung eines Punktes von O nach P.
2
5
1
Jedem Punkt des Raumes wird daher ein
ganz individueller auf den Koordinatenurs-
O
1
2
3
1
prung bezogener Ortsvektor zugeordnet.
3
x1
5
x2
3
2
Ist ein Ortsvektor bekannt, so ist auch sein
4
4
entsprechender Punkt P bekannt - und umgekehrt.
x3
GERADEN IM RAUME
4
3


x0  fester Stützvektor OP0


x  variabler Ortsvektor OP
(fest)
Po
g
P
(variabel)
t·a
a
2
x
1

a  Richtungsvektor von g
x0

 
t  a  Vielfaches von a  P0 P
1
2
4
5
x2
1
t  Parameter
2
x1
Die Gerade g wird als Punktreihe aufgefasst. P0 wird fest gedacht und heißt Stützpunkt von g,
während P beweglich gedacht wird und alle möglichen Positionen auf g einnehmen kann. Für t = 0
fällt P mit P0 zusammen.
Durchläuft t alle Werte zwischen   und   , so durchläuft P alle Punkte auf g. Die VektorGleichung lautet daher in der so genannten Parameterform:
 

g : x  x0  t  a



In dieser Gleichung sind x und t die variablen, x0 und a die festen Größen.
- 17 -
DARSTELLUNG EINES VEKTORS
MIT HILFE VON KOORDINATEN
x3
5
4
a
3
3k
2i
2
1
j
k
1
2
x1
4
i
1
2
3
j
4
5
i, j und k  Einheitsvektoren in Richtung der Achsen
Beispiel:
2i  2 

 
a  2  i  4  j  3  k  4 j   4   ( Kurzschreibweise)
3k  3 
allgemein:
a1  i  a1 

 
a  a1  i  a2  j  a3  k   a2  j   a2   ( Kurzschreibweise)
 a3  k  a3 

x2
Die drei Einheitsvektoren i, j und k bilden eine Basis, d.h. jeder Vektor kann als eine Linearkombination dieser drei Basisvektoren geschrieben werden.

Ist die Basis bekannt, so benutzt man zur Darstellung eines Vektors die Spaltenschreibweise.

Die Richtung eines Vektors ist allein gegeben durch das Verhältnis der Koordinaten a1 : a2 : a3 .
Dabei bedeutet ka1 : ka2 : ka3 dieselbe Richtung.

Die Länge (= Betrag) eines Vektors lässt sich mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes bestimmen:

| a |  a  a1 ²  a2 ²  a3 ²
- 18 -
Betrag  Länge

Die Koordinatendarstellung ist unabhängig von der Qualität des Vektors, d.h. es ist egal, ob es
sich um einen freien Vektor oder einen Ortsvektor handelt.

Besonders innig ist der Zusammenhang eines Punktes im Raume mit seinem Ortsvektor.
Punktkoordinaten und Vektorkoordinaten werden nur durch die verschiedene Schreibweise
unterschieden.
Punkt
P ( x1 / x2 / x3 )  Zeilenschreibweise
x 
  1 
Vektor OP   x2 
x 
 3
 Spaltenschreibweise
RECHENREGELN

Addition / Subtraktion von Vektoren
 
a  b  a1  i  a2  j  a3  k  (b1  i  b2  j  b3  k )
 
a  b  (a1  b1 )  i  (a2  b2 )  j  (a3  b3 )  k
| wird neu sortiert
| Zusammenfassung in Spaltenschreibweise
 a1   b1   a1  b1 
      

a  b   a2    b2    a2  b2 
a  b   a b 
 3  3  3 3
d. h. Vektoren werden komponentenweise addiert bzw. subtrahiert.

Multiplikation mit einem Skalar:
 a1   k  a1 

  

k  a  k   a2    k  a2 
a  k a 
3
 3 
d. h. ein Vektor wird komponentenweise multipliziert.
B

Kopf-weniger-Fuß-Regel
A
Sucht man zwischen zwei Punkten A
AB
und B den Richtungsvektor, so gilt die
so genannte Kopf-weniger-Fuß-Regel.
xA
  
AB  xB  x A
O
- 19 -
xB
GERADE DURCH ZWEI PUNKTE
x3
4
(variabel)
g
P
P1
t·a
P2
a
x
x2
x1
1
O
1
2
4
5
x2
2
x1
P1 , P2  feste Punkte
P  beweglicher Punkt
 

x1 , x2  feste Stützvektoren
x  variabler Ortsvektor
  
a  x2  x1  Richtungsvektor
Durch die beiden Punkte P1 und P2 wird die Gerade g im Raume festgelegt. Der Punkt P durchläuft die Gerade als variabler Punkt. Indem man die beiden festen Ortsvektoren voneinander ab
zieht, erhält man den Richtungsvektor a .
Damit lautet die Geradengleichung in der so genannten Zwei-Punkte-Form:
 
 
g : x  x1 oder 2  t  ( x2  x1 ) oder
 
 
x  x1 oder 2  t  ( x1  x2 )
ANMERKUNG


Als Stützvektor darf man sowohl x1 als auch x2 einsetzen, als Richtungsvektor sind sowohl der
 
 
Differenzvektor x1  x2 als auch x2  x1 möglich.
- 20 -
GERADE MIT EBENE GESCHNITTEN
Gegeben ist die Ebene E : x1  x2  2 x3  8  0 .
Eine Gerade g geht durch die Punkte A(3 / 4 / 3) und B (5 / 8 / 5) .
a)
Bestimme die Koordinaten der Spurpunkte von E.
b)
Stelle die Geradengleichung auf.
c)
In welchem Punkt D durchstößt die Gerade g die Ebene E?
d)
Wo durchstößt g die Koordinatenebenen?
Rechne und konstruiere.
Mache eine Konstruktionsbeschreibung.
RECHNUNG
a)
Spurpunkte von E:
E : x1  x2  2 x3  8  0 | 8 
S1 (8 / 0 / 0)
b)
S2 (0 / 8 / 0)
x1  x2  2 x3  8 |: 8 
E:
x1 x2 x3
  1
8 8 4
S3 (0 / 0 / 4)
Geradengleichung:
 3
 5  3
 3
 2
  
  


 
g : x   4  t 8  4  x   4  t  4
 3
 5  3
 3
 2
 


 
 
| Kürzen nur beim Richtungsvektor möglich
 3
1
  
 
g : x   4  t  2
 3
1
 
 
c)
Durchstoßpunkt von g mit E:
E : x1  x2  2 x3  8
 3
 2
  
 
g : x   4   t   4  oder gekürzt
 3
 2
 
 
 3
1
  
 
g : x   4   t   2  komponentenweise schreiben
 3
1
 
 
Hier die Rechnung mit der gekürzten Version:
 x1   3 
1
   
 
 x 2    4   t   2  komponentenweise in die Ebenengleichung einsetzen
 x   3
1
 3  
 
gE:
(3  t )  (4  2 t )  2 (3  t )  8  3  t  4  2 t  6  2 t  8
5 t  13  8  t  1
| in die Geradengleichung einsetzen
- 21 -
 3
 1   3 1   2 
  
  
  
 xD   4   1  2    4  2    2   D(2 / 2 / 2)
 3
 1   3 1   2 
 
  
  
d)
Durchstoßpunkt
Wo durchstößt g die Koordinatenebenen
g  x1  0
setze die x1 Zeile von der Geradengleichung gleich Null:
 3
1  0 
  
   
x1  0  3  t  0  t  3 einsetzen in g  xS   4   3   2    2 
 3
1  0 
 
   
 S1/3 (0 / 2 / 0)
g  x2  0
Kontrolle an der Zeichnung.
setze die x2 Zeile von der Geradengleichung gleich Null:
 3
1 1
  
   
x2  0  4  2t  0  t  2 einsetzen in g  xS   4   2   2    0 
 3
1 1
 
   
 S 2 (1/ 0 / 1)
Kontrolle an der Zeichnung.
Weitere Durchstoßpunkte gibt es nicht, weil zwei Punkte zusammenfallen.
x3
Hilfsebene
4
g
3
B
s
D
A
1
3
4
x2
8
1
2
3
A'
4
B'
g'
8
x1
A und B  sind Lotfußpunkte von A und B.
- 22 -
KONSTRUKTIONSBESCHREIBUNG
Die Punkte A, B, A’ und B’ bestimmen eine senkrecht stehende Hilfsebene H. Diese schneidet die
Ebene E in der Geraden s. g und s schneiden sich im Durchstoßpunkt D(2/2/2).
Das Ergebnis der Konstruktion stimmt mit dem Ergebnis der Rechnung überein.
WIEDERHOLUNGSAUFGABE
Gegeben:
Ebene E : 10 x1  15 x2  12 x3  120  0
Gerade g: mit A(3 /  3 / 7) und
Gesucht:
B (9 /13 /  1)
Spurpunkte von E, Geradengleichung
Durchstoßpunkt von g mit E
Schnittpunkte von g mit den Koordinatenebenen
Konstruiere und rechne
Rechnung:
E:
x1 x2 x3
   1  S1 (12 / 0 / 0) S 2 (0 / 8 / 0) S3 (0 / 0 / 10)
12 8 10
3
 3
  
 
g : x   3   t   8 
7
 4 
 
 
gE:
E : 10 x1  15 x2  12 x3  120
g:
 x1  3  3t

 x2  3  8t
 x  7  4t
 3
komponentenweise einsetzen in E
 10(3  3t )  15(3  8t )  12(7  4t )  120  ..... t D 
1
2
3
 3   4,5 
   1   

 xD   3   2   8    1   D(4,5 /1/ 5) Kontrolle an der Zeichnung.
7
 4   5 
 
  

3
 3  0 
  
  

g  x1  0  3  3t  0  t  1  x   3   1   8    11  S1 (0 / 11/11)
7
 4   11 
 
  

g  x2  0  ..... S2 (4 18 / 0 / 5 12 )
g  x3  0  ..... S3 (8 14 /11/ 0)
- 23 -
KONSTRUKTION DES DURCHSTOSSPUNKTES
x3
10
A
5
4
D
3
g
1
1
2
A'
3
4
5
x2
8
s
3
5
g'
B'
B
12
x1
A, B, A’ und B’ bestimmen die senkrecht stehende Hilfsebene H (gestrichelt gezeichnet). H mit E
geschnitten führt zur Schnittgeraden s.
g mit s geschnitten ergibt den Durchstoßpunkt D.
- 24 -
ÜBUNGEN I
1) Bestimme den Durchstoßpunkt der Geraden g mit der Ebenen E rechnerisch.
 3 
 2
  
 
a) g : x   1   t   0  und
1
1
 
 
Lösung : t  2 
D (1 / 1 / 3)
8
 4
  
 
b) g : x   3   t   3  und
 4
0
 
 
Lösung : t  2 
E : 2 x1  2 x2  x3  3  0
E : 6 x1  3x2  2 x3  1
D (0 / 3 / 4)
 2 
 2 
  
 
c) g : x   1   t   1  und
1,5 
 3
 
 
Lösung : t   0, 5 
x1 x2 Ebene : x3  0
D (3 / 0, 5 / 0)
2) Gegeben ist die Ebene E : 2 x1  3x2  3x3  12  0 und die Gerade g durch die beiden Punkte
A(4 / 4 / 3) und B (6 / 8 / 5) . Wo durchstößt die Gerade g die Ebene E?
Wo schneidet die Gerade g die x1 x3 Ebene ?
Löse die Aufgabe rechnerisch und konstruktiv.
Lösungen:
 4
1
  
 
5
g : x   4   t   2  g  E :  t  1 116  D(2 115 / 10
11 /1 11 )
 3
1
 
 
g  x1 x3 Ebene :  S (2 / 0 /1)
3) Gegeben ist die Ebene E : 2 x1  x2  3x3  12  0 und die Gerade g durch die beiden Punkte
A(5 / 6 / 4) und B (7 / 9 / 7) . Wo durchstößt die Gerade g die Ebene E?
Wo schneidet die Gerade g die x1 x2 Ebene ?
Löse die Aufgabe rechnerisch und konstruktiv.
Lösungen : D(3/ 3/1) und
S (2 13 / 2 / 0)
- 25 -
ABSTAND ZWEIER PUNKTE
x3
B
5
4
AB
3
A
xB
2
1
xA
O
1
2
3
4
5
x2
1
2
3
4
x1
5
 b  a  b a 
    1   1   1 1 
Bestimmung des Differenzvektors:
AB  xB  x A   b2    a2    b2  a2 
b   a   b  a 
 3  3  3 3

Abstand = Betrag des Differenzvektors: | AB |  AB  (b1  a1 )²  (b2  a2 )²  (b3  a3 )²
(zum Betrag eines Vektors siehe Seite 18 unten)
Abstandsformel : AB  (b1  a1 ) 2  (b2  a2 ) 2  (b3  a3 ) 2
Kurzform
AB  ( x ) 2  ( y ) 2  ( z ) 2
Beispiel:
A(3/5/2) und B(1/-2/6), bestimme den Abstand AB .
Lösung:
AB  ( x)²  ( y )²  ( z )²  2²  7²  4²  4  49  16  69
AB  8,3 LE
- 26 -
ÜBUNGEN II
1.
Die Grundfläche eines 4 LE hohen Quaders ist gegeben durch die Punkte A(7/5/0), B(2/5/0),
C(2/-2/0) und D(7/-2/0).
Gib die Koordinatengleichungen sämtlicher Ebenen an, in denen die Quaderflächen liegen.
Eine Gerade g durch die Punkte P(3/8/2) und Q(6/-1/5) durchstößt zwei der Quaderflächen.
Konstruiere diese Durchstoßpunkte und berechne ihre Koordinaten.
Wie lang ist das Teilstück der Geraden g, das im Inneren des Quaders liegt?
2.
Gegeben ist die Ebene E : 3x1  6 x2  2 x3  24 . Der Punkt A(6/6/9) wird mit dem Ursprung
verbunden. Wo durchstößt die Verbindungsgerade die Ebene?
Konstruiere und rechne.
3.
Gegeben ist die Ebene E : x1  x2  x3  7
und der Punkt A(6/7,5/7,5). Wo durchstößt die
Gerade AO die Ebene E?
*
4.
x3
Ein Würfel mit der Kantenlänge 4 LE wird
5
von der Ebene E : x1  x2  x3  d mit d  0
4
geschnitten.
3
Für welches d berührt die Ebene den Würfel?
Zeichne die Schnittfläche mit dem Würfel für
1
d = 6. Berechne die Schnittpunkte der Würfel-
1
3
4
5
x2
1
kanten mit der Ebene E.
2
3
4
Für welches d ist die Schnittfläche ein gleichseitiges Dreieck?
5
x1
**
5.
Eine quadratische Pyramide mit den Eckpunkten A(0/0/0), B(8/0/0), C(8/8/0), D(0/8/0) und
der Spitze S(4/4/12) wird von der Ebene E : x1  2 x2  5 x3  24 geschnitten. Berechne die
Schnittpunkte mit den Pyramidenkanten.
Fertige eine Zeichnung an.
- 27 -
LÖSUNGEN
x3
5
1.
4
3
Q
D2
2
D1
1
1
1
g
2
P
x2
5
2
3
P'
4
5
Q'
x1
Ebenengleichungen:
Grundebene:
x3  0
Deckelebene:
x3  4
Seitenebenen:
x2  2 und
Frontebenen:
x1  7 und
x2  5
x1  2
Geradengleichung:
 3
 3   3
1
  
   
 
g : x   8   t   9    8   t   3  | Richtungsvektor gekürzt
 2
 3   2
1
 
   
 
Durchstoßpunkte:
g  Seitenebene ( x2  5)  5  8  3t  t  1  D1 (4 / 5 / 3)
g  Deckelebene ( x3  4)  4  2  t  t  2  D2 (5 / 2 / 4)
Länge:
D1 D2  1²  3²  1²  11 LE
2.
0
6
 2
  

 
 
OA : x   0   t   6   ( gekürzt ) x  t   2 
0
9
 3
 
 
 
OA  E :
3  2t  6  2t  2  3t  24  24t  24  t  1  D(2 / 2 / 3)
- 28 -
(Formel auf Seite 25)
3.
0
 6 
 4
  



 
OA : x   0   t   7,5   ( gekürzt ) x  t   5 
0
 7,5 
5
 


 
OA  E :
4t  5t  5t  7  14t  7  t  0,5  D(2 / 2,5 / 2,5)
4.
A(4 / 4 / 4)
A in E einsetzen:
444  d
Für d = 6 ergibt sich:
E : x1  x2  x3  6 
Spurgerade ( x2  0) :
x1 x2 x3

 1 
6
6
6
 d  12  E : x1  x2  x3  12
x1 x2 x3
  1 
6 6 6
x1 x3
  1 und Würfelkante : x1  4
6 6
4 x3
  1  4  x3  6 
6 6
Analog ergeben sich:
P2 (2 / 0 / 4)
zeichnen
x3  2 
P1 (4 / 0 / 2)
Q1 (0 / 2 / 4) Q2 (0 / 4 / 2) R1 (2 / 4 / 0) R2 (4 / 2 / 0)
x3
12
4
1
4
1
1
4
6
8
12
x1
Gleichseitige Schnittflächen für:
0  d  4 oder 8  d  12
- 29 -
12
x2
x3
12
5.
S
4,8
1
10
B
1
D
x2
C
E : x1  2 x2  5 x3  24 
x1
12
x1 x2 x3
 
1
24 12 4,8
24
Gerade AS:
1

 
x  t   1   E  t  2 t  15 t  24  18 t  24  t 
 3
 
4
3
 A(1 13 /1 13 / 4)
Gerade BS:
8
 1
  
 
x   0   t   1   E  8  t  2 t  15 t  24  16 t  16  t  1  B(7 /1/ 3)
0
3
 
 
Gerade CS:
8
 1
  
 
x   8   t   1  E  8  t  16  2 t  15 t  24  12 t  0  t  0  C (8 / 8 / 0)
0
3
 
 
Gerade DS:
……………
- 30 -
D( 74 / 7 73 /1 75 )
SCHNITT ZWEIER EBENEN
GLEICHUNG DER SCHNITTGERADEN
Aufgabe:
Gegeben sind die beiden Ebenen E1 : 2 x1  x2  2 x3  2  0 und
E2 : 4 x1  3x2  4 x3  24  0 .
Zeichne die beiden Ebenen und konstruieren die Schnittgerade g.
Bestimme rechnerisch die Gleichung von g.
x3
6
Spurgerade
5
4
Spurgerade
x1 = 0
E2
D1
E1
3
2
1
2
4
5
8
x2
1
2
3
g
4
D3
5
6
x3 = 0
x1
Verfahren:
Man bringt jeweils zwei Spurgeraden zum Schnitt und erhält so D1 und D2 (oder D3 ). Aus D1 und
D2 (oder D3 ) kann anschließend die Gleichung der Schnittgeraden g aufgestellt werden.
E1 :
x1 x2 x3
  1 
1 2 1
zeichne
E2 :
x1 x2 x3
  1 
6 8 6
zeichne
- 31 -
Rechnung:
Um die Spurgeraden in der Koordinatenebene ( x1  0 ) zu erhalten, setzt man in beiden Ebenengleichungen die x1  Koordinate gleich Null.
Ebenengleichungen:
Setze x1  0 :
Spurgeraden:
E1 : 2 x1  x2  2 x3  2  0
E2 : 4 x1  3 x2  4 x3  24  0
2x1  x2  2 x3  2  0
4 x1  3 x2  4 x3  24  0
 x2  2 x3  2  0 | 3
3 x2  4 x3  24  0
| Spurgeraden
| Schnittpunkt berechnen
3 x2  6 x3  6  0
3 x2  4 x3  24  0
10 x3  30  0  x3  3 einsetzen  x2  4  D1 (0 / 4 / 3)
Schnittpunkt:
Ebenso erhält man
für x3  0
Spurgeraden:
2 x1  x2  2 x3  2  0
4 x1  3 x2  4 x3  24  0
2 x1  x2  2  0 | 3
4 x1  3 x2  24  0
| Schnittpunkt berechnen
6 x1  3 x2  6  0
4 x1  3 x2  24  0
Schnittpunkt:
10 x1
 30  0  x1  3 einsetzen 
x2  4  D3 (3 / 4 / 0)
Man könnte auch durch Vorgabe von x2  0 den Schnittpunkt D2 berechnen. Zum Aufstellen der
Schnittgeraden g benötigt man aber nur zwei Punkte.
Schnittgerade:
 3
30
  


g : x   4  t  4  4 
 


0
 0  3
3
 3   3
1
  
   
 
x   4  t  0    4  t  0 
 
   
 
0
 3   0 
 1 
Richtungsvektor kürzen
- 32 -
ÜBUNGEN III
1.
Stelle die Ebenen E1 und E2 mit Hilfe ihrer Spurgeraden im Koordinatensystem dar. Zeichne
ferner die Schnittgerade g ein (nur zeichnen).
a)
E1 : x1  x2  x3  4 und
E2 : 15 x1  10 x2  6 x3  30
b)
E1 : 3x1  8 x2  3x3  24  0 und
c)
Gegeben ist ein Quader durch die Punkte:
E2 : 3x1  2 x2  12  0
A(0/0/0), B(4/0/0), C(4/5/0), D(0/5/0). Die Höhe des Quaders beträgt 3LE. Zeichne den Quader und schneide ihn mit der Ebene E1 : x1  x2  x3  6 .
d)
Zeichne den Quader nochmals und bringe ihn zum Schnitt mit der Ebene E2 : 4 x1  3x2  8 .
2.
Zeichne die beiden Ebenen E1 und E2 , konstruiere die Schnittgerade g und bestimme rechnerisch die Gleichung von g.
a)
E1 : 3 x1  6 x2  4 x3  24  0
E2 : 6 x1  3 x2  8 x3  30  0
fürs Umformen beachte
b)
3.
30
8
E1 : 2 x1  3 x2  2 x3  12
E2 : 2 x1  x2
8
 4
 4 
  
 
g : x   2   t   0 
0
 3  
 
 


 Ergebnis :

 3
 1 
  
 
g : x   2   t   2  
0
 2 
 
 
Bestimme den Schnittpunkt von E : 3x1  4 x2  6 x3  24 mit der Geraden
 5 
 3
  
 
g : x   5,5   t   4  .
 8 
6
 
 
4.
 3, 75


 Ergebnis :

E1 :
x1  x2  2 x3  8  0
E2 : 2 x1  x2
2 0
Rechne und zeichne.
 Ergebnis : D (2 /1,5 / 2) 
Bestimme die Schnittgerade durch Rechnung und Zeichnung.
Beachte jeder Punkt auf g kann Stützpunkt sein, der Richtungsvektor kann gekürzt oder


 Ergebnis :

gestreckt werden.
5.
 1 
 2 
  
 
g : x   0   t   4 
 3,5 
 3  
 
 
Die beiden Punkte A(3/-3/7) und B(6/5/3) bestimmen eine Gerade g. Wo durchstößt g die
Koordinatenebenen? Rechne und zeichne.
 Ergebnisse : S1 (0 /  11/11) S 2 (4 18 / 0 / 5 12 ) S3 (8 14 /11/ 0) 
- 33 -
ALTERNATIVE METHODE
Gegeben sind zwei Ebenen
E : x1  2 x2  4 x3  12 und
F : 6 x1  3x2  4 x3  12 .
Bestimme die Schnittgerade.
Lösung:
x1
6 x1
 2 x2
 3 x2
5 x1
 5 x2
 4 x3
 4 x3
 12
 12
| ()
Lasse zunächst eine Variable herausfallen.
 0  x1  x2
Da das lineare Gleichungssystem (LGS) über 3 Variablen aber nur 2 Gleichungen verfügt, ist es
nicht vollständig bestimmt. Man kann daher über eine Variable frei verfügen und diese gleich t setzen.
Wähle z. B. x1  t  x2  t und setze in eine der beiden Gleichungen ein:
x1  2 x2  4 x3  12  t  2 t  4 x3  12  x3  3  34 t .
Die Zusammenfassung der 3 Variablen ergibt dann die Schnittgerade.
 1 
0
0
4
  
  
 
 
g : x  0  t  1   x  0  t  4 
 
 
 
 3
 3
 3
 3 
 4 
Zusammenfassung:
Weiteres Beispiel:
E1 : 2 x1  3 x2  2 x3  12
E2 : 2 x1  x2
Setze x1  t  2 t  x2  8  x2  8  2 t
8
2 t  3 (8  2 t )  2 x3  12
2 t  24  6 t  2 x3  12  x3   6  2 t
Zusammenfassung:
0
1
  
 
g : x   8   t   2 
 6 
 2
 
 
- 34 -
WEITERE ÜBUNGEN zu III
a)
E : 2x 1  3x 2  x 3  1
Lösung:
F : x 1  2x 2  x 3  1  0
und
0
 1
  
 
s : x   2  t  1 
5
1
 
 
b)
E : x1  x2  2 x3  7
Lösung:
F : 6 x1  x2  x3  7  0
und
0
 1 
  


s : x   7   t   13 
0
 7 
 


c)
E : x1  5 x3  8
Lösung:
F : x1  x2  x3  1
und
8
 5 
  
 
s : x   7   t   4 
 0
1
 
 
d)
E : 4 x2  5
Lösung:
und
F : 6 x1  5 x3  0
 0 
5
 

 
s : x  1, 25   t   0 
 0 
 6 


 
e)
E : 2 x2  3x3  12
und
F : 3x1  x2  12
x3
Bestimme die Schnittgerade zeichnerisch und rechnerisch.
4
Lösung:
0
1
  
 
s : x   12   t   3 
 4 
2
 
 
f)
E1 : 2 x1  3x2  4 x3  12 und
3
1
E2 : 5 x3  10  0 .
1
Zeichne und rechne.
Lösung:
1
2
 2
 3 
  
 
s : x   0  t  2 
 2
0
 
 
3
4
5
x1
- 35 -
2
3
4
x2
SCHNITTGERADEN UND PUNKTPROBE
AUFGABE
Gegeben sind die folgenden vier Ebenen:
E1 : x1  x2  x3  4
E2 : x1  x2  2x3  6
E3 : x1  2x2
E4 : x1
2
 2x3  6
Bestimme die Schnittgeraden:
E1  E2
E1  E3
E1  E4
 2 
 1 
4 
 
 0 , 5 


E3  E4

Bestimme die Spurpunkte der Geraden g : x   2   t   0, 5 
Bestimme den Schnittpunkt g  E2
PUNKTPROBE
Falls der Stützpunkt im Ergebnis abweichend ist ,
kann man durch Punktprobe prüfen, ob der
alternative Stützpunkt auch auf der Geraden liegt 
ERGEBNISSE
0 
 1 
2
 
0
 
2
 4 
2
 
 2 
 
  
 
E1  E2 : x   2   t   1 
wenn ja, dann sind die Geraden identisch.
Siehe auch FORMELSAMMLUNG.
  
 
E1  E3 : x   0   t   2 
x3
4
g
0 
 2 
  
 
E1  E4 : x   1   t   1 
3
 1
 
 
3
2
6 
2
  
 
E3  E4 : x   2   t   1 
 
 
0 
 1 
1
1
2
3
4
1
2
3
4
6
x1
Spurpunkte:
g  x1  0  S1 (0 / 1 / 3) ebenso S2 (2 / 0 / 2) und
Schnittpunkt:
g  E2  D(2 / 0 / 2)
- 36 -
S3 (6 / 2 / 0)
6
x2
DAS SKALARPRODUKT VON VEKTOREN
am Beispiel der Mechanik (Physik):


F  Kraftvektor
s  Wegvektor
 
Kraf t  Weg  Arbeit
Kraft und Weg sind gerichtete Größen - also Vektoren.
Die Arbeit ist ein Skalar, d.h. eine reine Zahl ohne Richtung.
Das Produkt der beiden Vektoren, Kraft und Weg, heißt daher Skalarprodukt.
Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander:
 
F s  0
F
d. h. es wird keine Arbeit geleistet.
s
F
Die Vektoren haben die gleiche Richtung:
 
 
F s  | F || s |
s
d. h. es wird die volle Arbeit geleistet.
Die Vektoren haben beliebige Richtungen:
 
 
F  s  | F |  | s |  cos 
F

| F |  cos 
d. h. es wird eine Teil-Arbeit geleistet.
s
Liegt der Kraft-Vektor schräge zum waagerechten Weg-Vektor, so wird nur der waagerechte Anteil
der Kraft wirksam. Diesen Anteil erhält man, indem man die Kraft mit dem cosinus des Winkels
zwischen Kraft- und Weg-Richtung multipliziert.
- 37 -
VERALLGEMEINERUNG
Beim so genannten Skalarprodukt von Vektoren wird die Länge des einen Vektors senkrecht auf
die Länge des anderen Vektors projiziert. Der Projektionsfaktor ist durch cos a gegeben. Dabei
sind drei Fälle zu unterscheiden:
  90
 cos 90  0
senkrecht stehen
  0
 cos 0  1
parallel sein
  beliebig

 1  cos   1
sonst
b

a
ALLGEMEIN
   
a  b  | a |  | b |  cos 
SONDERFÄLLE
 
a b  0 
 
a b
senkrecht stehen
   
 
a b  | a | | b |  a b
parallel sein
BERECHNUNG DES SKALARPRODUKTES MIT KOORDINATEN
 a1   b1 
     
a  b   a2    b2   (a1  i  a2  j  a3  k )  (b1  i  b2  j  b3  k ) 
 a  b 
 3  3
 a1b1  i 2  a2b2  j 2  a3b3  k 2  gemischte Glieder



|i j  ik  jk  0
| i i  j  j  k  k  1
0
 a1b1  a2b2  a3b3
ZUSAMMENFASSUNG
 a1   b1 


 
   
a  b   a2    b2   a1b1  a2b2  a3b3  | a |  | b |  cos 

 a   b  Skalarprodukt
 3  3
- 38 -
WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen, muss die Formel für das Skalarprodukt
umgestellt werden:
 
a1b1  a2b2  a3b3
a b
cos     
| a || b |
a1 ²  a2 ²  a3 ²  b1 ²  b2 ²  b3 ²
Beispiel:
a
b
=?
  6
  
Bestimme den Winkel zwischen den beiden Vektoren a   8  und
 0 
 


a b
cos    
Formel:
| a ||b |
Lösung:
  6  3 
  

 8   4
 0   12 
18  32  0 50
  

cos  


  0,3846 | cos
6²  8²  3²  4²  12²
100  169 10 13
  112, 6
Hinweis:
 3 
 

b    4 .
 12 


1
[TR auf DEG einstellen]
Zur Berechnung des Winkels muss man streng darauf achten, dass die beiden
Vektoren den gesuchten Winkel einschließen.
Es gelten dann folgende Regeln:
Zähler in der Formel positiv

Winkel kleiner als 90°
Zähler in der Formel negativ

Winkel größer als 90°
y
1
COSINUSKURVE,
y = cos α
+
DAS SCHAUBILD
90°
BITTE EINPRÄGEN
180°
-1
- 39 -
270°
360°
α
ÜBUNGEN IV
1.
Berechne jeweils den Winkel zwischen den Vektoren
a)
1
  
a   4  und
8
 
7
  
b   6 
6
 
7
  
a   4  und
 4 
 
b)
 Ergebnisse : a )   71, 75
b)   77, 60
2.
Berechne im Dreieck ABC alle Winkel und alle Seitenlängen:
a)
A(1/  1/ 2) ,
 a)


b)
C (4 /  3 /  4)

AB  11 , AC  7 , BC  14 ,   99, 72 ,   29,53

Den 3. Winkel  bestimme mit Hilfe der Winkelsumme :    50, 75
A( 3 /  1/  2) ,
 a)


3.
B (10 /1/ 8) und
B ( 3 /  2 / 2) und
C (1/ 2 / 3)


Den 3. Winkel  bestimme mit Hilfe der Winkelsumme :    35, 67
AB  17 ,
AC  50 , BC  33 ,   54,33 ,   90
Eine Pyramide ist gegeben durch O (0 / 0 / 0) , A(4 / 6 / 0) , B (0 / 7 / 0) , S (2 / 4 / 6) .
Zeichne die Pyramide und bestimme den Winkel
4.
 11 
  
b  2 
10 
 
ASB .
 Ergebnis :   35, 08
Ein Quader ist 8 cm lang, 5 cm breit und 3 cm hoch. A,B,C und D seien die Ecken seiner
Grundfläche, M ist der Schnittpunkt der Raumesdiagonalen.
Zeichne den Quader in ein Koordinatensystem ein.
Berechne
AMB und
 Ergebnisse : 107,83 und
BMC .
60, 67
E1 : 4 x1  6 x2  3 x3  24
5.
Gegeben sind zwei Ebenen
a)
Zeichne die beiden Ebenen in ein Koordinatensystem und konstruiere die Schnittgerade s.
E2 : 6 x1  4 x2  3 x3  24

0
 3 
  



 Ergebnis : s : x   0   t   3  
8
 10  

 


Bestimme die Gleichung von s.
b)
Eine Gerade g geht durch Q ( 2 /1/ 0, 5) und R ( 6 /  1/1) . Berechne den Schnittpunkt von g
 Ergebnis : D(2 / 3 / 0) 
mit E2 .
- 40 -
NORMALENVEKTOR EINER EBENE

gesucht ist ein Vektor n , der auf der Ebene E senkrecht steht.
normal = senkrecht
x3
 A
  
n   B
C 
 
E
F
5
x - xF
4
3
xF
P
x
2
1
1
2
3
4
x2
5
1
x1

n  Normalenvektor von E

xF  fester Stützvektor

x  variabler Vektor
P  variabler Punkt in E
 
Alle Differenzvektoren ( x  xF ) liegen in der Ebene E und stehen senkrecht auf dem Normalen
 

vektor n . Also ist das Skalarprodukt von n mit ( x  xF ) immer gleich Null.
Damit ergibt sich die Ebenengleichung in Normalform:
  
n  ( x  xF )  0
oder
   
n  x  n  xF  0
oder
   
n  x  n  xF
 A
 x1 
  
  
Setzt man für den variablen Vektor x   x2  , für den Normalenvektor n   B  und für den
C 
x 
 
 3
 f1 
  
festen Vektor xF   f 2  ein, so erhält man:
f 
 3
Skalarprodukt auflösen:
 A   x1   A   f1 
       
 B    x2    B    f 2   0
C   x  C   f 
   3    3
Ax1  Bx2  Cx3 ( Af1  Bf 2  Cf3 )  0



D
Somit ergibt sich die Ebenengleichung in Koordinatenform:
Ax1  Bx2  Cx3  D  0
- 41 -
| zusammenf.
NORMALENVEKTOR = LOT
x3
Normalenvektor
5
 A
  
n   B
C 
 
4
3
2
1
E : Ax1  Bx2  Cx3  D  0
1
2
3
4
5
x2
1
2
3
4
5
x1
Wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform gegeben ist ,
MERKE
dann ist automatisch auch der Normalenvektor der Ebene
bekannt.
- 42 -
LOT VON EINEM PUNKT AUF EINE EBENE
Aufgabe:
Fälle das Lot vom Punkt P(9/6,5/10) auf die Ebene E : 4 x1  3x2  6 x3  24  0 . Bestimme den
Lotfußpunkt F und berechne den Abstand PF . Mache eine Zeichnung.
Lösung:
E : 4 x1  3 x2  6 x3  24  0 
x3
x1 x2 x3
  1 
6 8 4
E:
zeichnen
P
5
4
3
Lot l
2
1
1
F
1
2
3
4
5
8
2
3
4
5
x1
 4
  
E : 4 x1  3x2  6 x3  24  0  n   3  = Lot-Richtung ablesen
6
 
Lot l :
 9 
 9 
 4
 
 


 
x   6,5   t  n   6,5   t   3  
 10 
 10 
6




 
x1  9  4 t
x2  6,5  3 t
x3  10  6 t


 einsetzen in E


Lot  E : 4(9  4 t )  3(6,5  3 t )  6(10  6 t )  24  0  t F  1,5
Lotfußpunkt:
 9 
 4  3
 

   
xF   6,5   1,5   3    2   F (3 / 2 /1)
 10 
6 1


   
Abstand:
PF  6²  4,5²  9²  11, 715 LE
- 43 -
x2
EIN STAB WIRFT EINEN SENKRECHTEN SCHATTEN AUF EINE EBENE
Gegeben sind die Ebenengleichung und die Koordinaten des senkrechten Stabes.
Gesucht ist der Schatten.
x3
6
5
4
3
Lot
2
S (7 / 8 / 5,5)
F
1
1
2
3
x2
4
1
K
2
3
4
L(7 / 8 / 0)
x1
3
  
x1 x2 x3
E:
   1  E : 3x1  3x2  2x3  12  n   3 
4 4 6
2
 
 7 
3
 

 
g : x   8   t  3 
 5, 5 
2


 
g  E  t  2  F  1 / 2 / 1, 5 
F0 1/ 2 / 0  mit L  7 / 8 / 0  verbinden  K
- 44 -
ÜBUNGEN V
1)
Fälle das Lot vom Punkt P (5 / 4 / 4) auf die Ebene E : 2 x1  x2  3x3  12  0 . Bestimme den
Lotfußpunkt F und den Abstand PF . Mache eine Zeichnung.
 Ergebnisse : F (3 / 3 /1) und

2)
PF  d  14 
Fälle das Lot vom Punkt P (1/ 5 / 2) auf die Ebene E : 2 x1  3x2  6 x3  20  0 . Bestimme
den Lotfußpunkt F und den Abstand PF . Ohne Zeichnung.

 Ergebnisse : F (1/ 2 / 4) und
3)
PF  d  7 
Fälle das Lot vom Ursprung auf die Ebene E : 2 x1  x2  2 x3  12  0 . Bestimme den Lotfußpunkt F und den Abstand OF . Mit Zeichnung.
8
8
4
 Ergebnisse : F ( 3 /  3 /  3 ) und
4)
d  4 
Fälle das Lot vom Punkt P (2 /  1/  4) auf die Ebene E : 2 x1  2 x2  x3  1 . Bestimme den
Lotfußpunkt F und den Abstand PF . Ohne Zeichnung.
 Ergebnisse :
5)
F (0 / 1 / 3) und
d  3
Die Punkte O(0/0/0), A(6/0/0), B(0/6/0), C(0/0/6) und E(6/6/6) sind die Eckpunkte eines
Würfels.
Außerdem ist die Ebene E : x1  x2  x3  9 gegeben. Die Ebene schneidet den Würfel in einem regelmäßigen Sechseck. Zeichne das Sechseck. Gib die Koordinaten der in der
x2 x3 Ebene liegenden Eckpunkte des Sechsecks an.
Zeige, dass das Dreieck ABC und das Sechseck den gleichen Umfang haben.
Fälle das Lot vom Ursprung auf die Sechseckfläche. Bestimme den Lotfußpunkt F.
Berechne das Volumen der Pyramide OABC.
 Ergebnisse : P1 (0 / 6 / 3) P2 (0 / 3 / 6) U  18  2

- 45 -
F (3 / 3 / 3) V  36 VE 
ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER EBENE
[MIT HILFE EINER FORMEL]
x3
P
d· no
xP
no
E
F
xF
x2
O
x1
 A
  

n   B   Normalenvektor  | n |  A²  B ²  C ²  Länge des Normalenvektors
C 
 

n0  normierter Normalenvektor mit der Länge 1
EINHEITSNORMALENVEKTOR

n

n0   
|n|

n
A2  B 2  C 2

1
A2  B 2  C 2
- 46 -

n 
 A
1
 
 B 
A2  B 2  C 2  
C 
HESSE-NORMAL-FORM
  
d  no  xP  xF
Laut Zeichnung gilt die Vektor-Gleichung:

Um diese Gleichung nach d aufzulösen, werden beide Seiten mit no multipliziert (durch einen Vektor darf man nicht teilen):
  

     

   
d  no  xP  xFo |  no  d  no  no  xP  no  xF  no | no 2  1  d  xP  no  xF  no
Herleitung der Abstandsformel:
   
d  xP  no  xF  no
 A
 x1 
 f1 
       
  B  , xP   x2  , xF   f 2  einsetzen
A2  B 2  C 2  
x 
f 
C 
 3
 3
1

| no 
d
 A   x1   A   f1  
1
        
 B  x2  B  f 2 
A²  B ²  C ²         
 C   x3   C   f3  
d
Ax  Bx2  Cx3  D
1
  Ax1  Bx2  Cx3  D   1
A²  B ²  C ²
A²  B ²  C ²
d


1
  Ax1  Bx2  Cx3 ( Af1  Bf 2  Cf3 ) 



A²  B ²  C ² 
D


| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A²  B ²  C ²
[MERKE: In der Formel setzt man Betrag-Striche, damit sich die Abstände positiv ergeben.]
HESSE – NORMAL – FORM
Man nennt die normierte Ebenengleichung
Ax1  Bx2  Cx3  D
0
A²  B ²  C ²
die Hesse-Normal-Form (kurz HNF). Diese unterscheidet sich nur wenig von der Koordinatenform. Sie benutzt statt eines beliebigen Normalenvektors stets den normierten Normalenvektor.
Deshalb wird die Koordinatenform durch die Länge des Normalenvektors geteilt.
MERKE: Setzt man in die HNF einen Punkt P ein, der auf der Ebene E liegt, so erhält man den
Wert Null. Setzt man jedoch einen Punkt P ein, der außerhalb der Ebene E liegt, so erhält man den Abstand des Punktes von der Ebene.
- 47 -
ABSTANDSFORMEL PUNKT – EBENE
d
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A²  B ²  C ²
Beispiel:
Gegeben:
P(2 /  1/  4) und
Gesucht:
Abstand d = ?
Formel:
d
E : 4 x1  4 x2  2 x3  2  0
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A²  B ²  C ²

| 4  2  4  (1)  2  (4)  2 | 18 18

  3 LE
4²  4²  2²
36 6
ABSTAND EINER EBENE VOM URSPRUNG
Die Formel vereinfacht sich, wenn der Punkt P der Ursprung O (0 / 0 / 0) ist:
| A0  B 0  C 0  D |
A²  B ²  C ²
|D|
do 
A²  B ²  C ²
do 
Beispiel:
Gegeben:
O(0 / 0 / 0) und
Gesucht:
Abstand do  ?
Formel:
do 
E : 2 x1  x2  2 x3  30
|D|
| 30 |
30 30



 10 LE
A²  B ²  C ²
2²  1²  2²
9 3
- 48 -
ÜBUNGEN VI
1)
Welchen Abstand hat die Ebene E : 2 x1  5 x2  3x3  15 vom Ursprung?
[
2)
Welchen Abstand hat der Punkt A(2/- 4/7) von der Ebene E : 3x1  x2  4 x3  12  0 ?
[
3)
d =2,43 LE]
d = 1,17 LE]
 3
1
  
 
Gegeben ist die Ebene E : x1  x2  3x3  12 und die Gerade g : x   3   t   1  .
 2
 3
 
 
Berechne den Durchstoßpunkt.
[
D(3/3/2)]
4)
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Eckpunkten A(3/1/0), B(5/7/0) und C(0/2/0).
a)
Zeige, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Bestimme den Flächeninhalt.
[    90
b)
A  10 FE ]
Auf dem Dreieck ABC wird ein Prisma mit der senkrechten Kantenlänge 6 LE errichtet.
Zeichne das Prisma in einem Koordinatensystem. Die Kanten des Prismas werden von der
Ebene E : x1  x2  4 x3  12 geschnitten. Bestimme die Schnittpunkte. Zeichne E.

5)
a)
S1 (3 /1/ 2) S2 (5 / 7 / 0) S3 (0 / 2 / 2,5)
1
  
Durch den Punkt F(4/6/0) geht eine Ebene mit dem Normalenvektor n   1  .
 2
 
Stelle die Ebenengleichung auf und verwandle diese in die Achsenabschnittsform.
   
Für den Ansatz benutze die Normalform: n  x  n  xF (siehe Seite 41)
Zeichne die Ebene.
[ E : x1  x2  2 x3  10]
b)
c)
6
1
  
 
Die Gerade g : x   9   t   2  durchstößt die Ebene E im Punkt D. Bestimme D.
8
 2
 
 
[
D (3 / 3 / 2)]
[
S (2 / 1 / 0)]
Wo durchstößt g die x1 x2 Ebene ?
- 49 -
ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN
Gerade
g
P0
F
 
na
MERKE
Punkt
a
P
Verfahren:

Zunächst stellt man eine Hilfsebene H auf mit Hilfe des Richtungsvektors a von g und dem Punkt
P, der außerhalb von g liegt.
Ansatz:
   
H : n  x  n  xP

Ax1  Bx2  Cx3  D  0
Als nächstes schneidet man g mit H und erhält den Lotfußpunkt F.
Dann bestimmt man den Abstand d  PF .
Aufgabe:
 3
 1
  
 
Gegeben ist eine Gerade g : x   1   t   2  und ein Punkt P (5 / 4, 5 / 9) außerhalb von g.
 2 
2
 
 
Bestimme den Abstand des Punktes P von g.
Lösung:
 1
   
n a  2 
2
 
Hilfsebene:
 1  x1   1  5 
      

H :  2    x2    2    4,5   H :  x1  2 x2  2 x3  5  9  18  22
 2  x   2   9 
   3   

Schnittpunkt:
H g:
Abstand:
d  PF  (5  0)²  (4,5  7)²  (9  4)²  7,5 LE
Hilfsebene
   
H : n  x  n  xP aufstellen.
1(3  t )  2(1  2t )  2(2  2t )  22  t F  3  F (0 / 7 / 4)
- 50 -
ÜBUNGEN VII
1)
2
  
Gegeben ist der Normalenvektor n   3  einer Ebene und ein fester Punkt P (1/ 4 / 2) in der
 5 
 
Ebene. Bestimme die Gleichung der Ebene.
2)
 2
2
  
 
Gegeben ist eine Gerade g : x   1   t   2  und ein Punkt P (12 / 0 / 4) außerhalb der Ge 
 
0
 1 
raden. Bestimme den Abstand des Punktes P von der Geraden g.
3)
Gegeben sind die Punkte A(1/-4/5) und B(-3/-2/7). Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
4)
Gegeben sind die Ebene E : 2 x1  3x2  4 x3  12 und der Punkt P(15/8/-3) außerhalb der
Ebene. Bestimme den Abstand des Punktes P von der Ebene E mit Hilfe der Abstandsformel.
5)
6)
 4
 3
  
 
Wie groß ist der Abstand des Punktes Q(5/1/1) von der Geraden g : x   2   t   4  .
 6 
5
 
 
C(-3/-2/1)
Bestimme  .

B(2/5/3)
A(1/1/5)
LÖSUNGEN
   
E : n  x  n  xP
1)
2)
   
H : n  x  n  xP
3)
d  AB  24
6)
 4 
  
AC   3  und
 4 
 
 E : 2 x1  3x2  5 x3  4
 H  g  F (6 / 3 / 2)  d  PF  9 LE
4)
d  10 LE
1
  
AB   4     105,8
 2 
 
- 51 -
5)
d  QF  3 LE
ÜBUNG VIII
x3
Q
S
g
5
4
S2
3
2
S1
P
D
-3
C
1
-3
1
2
3
x2
1
2
A
3
B
x1
AUFGABE
a)
Bestimme die Ebenengleichung (BCS).
b)
Bestimme die Ebenengleichung (ADS).
c)
P(0/-3,5/1) und Q(0/4/6) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Gleichung von g?
d)
Wo schneidet die Gerade g die die beiden Pyramidenebenen [siehe Teil a) und c) ]?
e)
Wie lang ist das Stück der Geraden g, das innerhalb der Pyramide verläuft?
f)
Wie groß ist der Winkel
g)
Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
h)
Wie groß ist die Fläche des Dreiecks ASB?
i)
Wie groß ist der Abstand des Punktes Q von der Ebene (BCS), siehe Teil a) ?
*j)
Welchen Abstand hat der Punkt A(3/-3/0) von der Pyramidenkante SC?
ASB ?
**k) Wo schneidet g die x3  Achse ?
- 52 -
LÖSUNGEN
a)
E1 : 2 x2  x3  6
c)
0
 0 
  


g : x   4   t   7,5  oder gekürzt
6
 5 
 


d)
S1 (0 /  2 / 2) und
e)
S1S2  13  3, 6 LE
f)
ASB    48,19
g)
h)
E2 :  2 x2  x3  6
b)
0
0
  
 
x   4  t  3
6
 2
 
 
S2 (0 /1/ 4)
V  13 G  h  72 VE
A  12 g  h  12  6  32  62  20,12 FE
A  12  AS  BS  sin
oder
ASB  12  54  54  sin 48,19  20,12 FE
8
 3,58 LE prüfe durch Nachmessen
5
i)
d
*j)
0
1
  
 
Kante SC : x   0   t   1
6
2
 
 
Hilfsebene H : x1  x2  2 x3  6
H g: 
F ( 1 / 1 / 4)
Abstand AF  6,92 LE
**k) Schneide g mit der Koordinatenebene x2  0 .
0
0
  
 
g : x   4   t   3  und
6
 2
 
 
x2  0  t  
- 53 -
4
 Y (0 / 0 / 3 13 )
3
ALLE WINKELFORMELN
(1)
Winkel zwischen zwei Geraden
g1
 
| a b |
cos    
| a ||b |
a
=?
b
(2)
g2
Winkel zwischen zwei Ebenen
n1
n2
 
| n1  n2 |
cos   

| n1 |  | n2 |

E1

E2
(3)
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene
n

a

=?
g
 
| a n |
cos    
| a || n |
außerdem gilt:
E
cos   sin 
 
| a n |
 sin    
| a || n |
g
- 54 -
ANMERKUNG
Alle drei Formeln enthalten im Zähler Betragsstriche. Dadurch werden negative Werte vermieden
und man erhält von zwei möglichen Winkeln immer den, der zwischen 0° und 90° liegt.
Die jeweils andere Lösung erhält man, indem man den gefundenen Winkel auf 180° ergänzt, d.h.
das Ergebnis von 180° abzieht.
Beispiel:
2
  
E : 2 x1  x2  4 x3  1  n   1
4
 
1
2
2
  
  
 
g : x   3   t  2   a   2 
 
 
 
 2 
 1
 1
und
Bestimme den Winkel zwischen g und E.
Formel:
2 2
   
 2    1 
 1   4 
|424|
| 2 |
   


2²  2²  1²  2²  1²  4²
9  21 3  21
 
| a n |
sin      sin  
| a || n |
sin   0,1454
| sin 1
  8,36
ALLE ABSTANDSFORMELN
P1 P2  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
(1)
Abstand zweier Punkte:
(2)
Abstand eines Punktes von einer Ebene (HNF):
d
(3)
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A²  B ²  C ²
Abstand eines Punktes P von einer Geraden g:
 
(a) a  n  Hilfsebene aufstellen mit dem Ansatz:
(b)
H g

(c)
Abstand PF , siehe Formel (1)
Lotfußpunkt F
- 55 -
   
H : n  x  n  xP
x3
ÜBUNG IX
D
8
5
TETRAEDER
g
4
R
3
S1
S2
1
-2
C
B
Q
1
2
3
4
5
8
x2
1
2
3
4
A
5
6
x1
AUFGABE
a)
Bestimme die Gleichungen von allen Tetraeder-Ebenen.
b)
Bestimme den Winkel
c)
Welchen Winkel bilden die beiden Ebenen (ABD) und (BCD) miteinander?
d)
Q(5/-2/3) und R(-4/4/1,5) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Gleichung von g?
e)
Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g die Ebene (BCD)?
f)
Wo schneidet die Gerade g die Ebene (BCD)?
ABC .
Wo schneidet die Gerade g die Ebene (ACD)?
g)
Wie lang ist das Stück der Geraden g, das innerhalb des Tetraeders verläuft?
h)
Welchen Abstand hat der Punkt P(-5/3/3) von der Ebene (BCD)?
i)
Wie groß ist das Volumen des Tetraeders?
j)
Welchen Abstand hat der Punkt A(6/0/0) von der Tetraederkante BD?
k)
Die Ebenen E1 : 4 x1  3x2  3x3  24 und
E2 :  8 x1  8 x2  x3  8 schneiden sich in
einer Geraden s. Bestimme die Gleichung der Schnittgerade s.
l)
Zeichne die beiden Ebenen und die Schnittgerade s.
- 56 -
LÖSUNGEN
a)
E ( ABC ) : x3  0
E ( ACD) : x2  0
E ( ABD) : 4 x1  3x2  3x3  24
E ( BCD) :  4 x1  x2  x3  8
b)
ABC  50, 9
c)
  66,15
d)
5
 9 
  
 
g : x   2   t   6  oder gekürzt
 3
1,5 
 
 
e)
  60, 9
f)
S1 (1/ 2 / 2) und
g)
S1S2  3, 64 LE
h)
d  18  4, 24 LE
i)
V  13 G  h  13  828  8  85 13 VE
j)
0
0
  
 
BD : x   8   t   1   H : x2  x3  0 H  g  F (0 / 4 / 4) 
0
 1
 
 
k)
 3
3
  
 
s : x   4  t  4 
0
 8 
 
 
(rechne mit dem Cosinus)
5
 3 
  


x   2   t   2 
 3
 0,5 
 


(rechne mit dem Sinus)
S2 (2 / 0 / 2,5)
Schnittgerade
l)
- 57 -
Zeichnung
AF  68
ÜBUNGEN X
x3
S
5
4
2
Q
R
g
3
C
-3
1
D
-3
1
2
3
4
5
B
x2
1
2
3
A
AUFGABE
x1
a)
Bestimme die Gleichungen von allen fünf Pyramiden-Ebenen.
b)
Bestimme den Winkel
c)
Welchen Winkel bilden die beiden Ebenen E1 : 3x1  2 x2  2 x3  12 und
ABC .
E2 :  2 x1  x2  x3  6 miteinander?
d)
Q(3/- 4/3) und R(-3/5/1,5) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Gleichung von g?
e)
Wo schneidet die Gerade g die Ebene (BCS)?
Wo schneidet die Gerade g die Ebene (ADS)?
f)
Wie lang ist das Stück der Geraden g, das innerhalb der Pyramide verläuft?
g)
Unter welchem Winkel schneidet die Gerade g die Ebene (BCS)?
h)
Welchen Abstand hat der Punkt P(-5/4/4) von der Ebene (BCS)?
i)
Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
j)
Welchen Abstand hat der Punkt D(0/-3/0) von der Tetraederkante BS?
[Stelle zunächst die Gleichung der Kante BS auf.]
k)
Die Ebenen E1 : 3x1  2 x2  2 x3  12 und
E6 : 6 x1  2 x2  x3  6 schneiden sich in einer
Geraden s. Bestimme die Gleichung der Schnittgerade s.
l)
Zeichne die beiden Ebenen und die Schnittgerade s.
m)
Von P(-5/4/4) aus wird das Lot auf die Ebene E2 :  2 x1  x2  x3  6 gefällt. Bestimme die
Koordinaten des Lotfußpunktes F.
n)
Schneidet g die x3  Achse ?
- 58 -
LÖSUNGEN
a)
E1 ( ABS ) : 3x1  2 x2  2 x3  12
E2 ( BCS ) :  2 x1  x2  x3  6
E3 ( DCS ) :  2 x1  2 x2  x3  6
E4 ( ADS ) : 3x1  4 x2  2 x3  12
E5 ( ABCD) : x3  0
b)
  60, 25
c)
  78, 57
d)
 3
 4
  
 
g : x   4   t   6  gekürzt
 3
1
 
 
e)
S1 (1/ 2 / 2) und
f)
S1S2  3, 64 LE
g)
  46,8
h)
d  4, 9 LE
i)
V  13 G  h  G  Dreieck1  Dreieck2  31,5 FE  V  63 VE
j)
d  6, 36 LE
k)
0
 2 
  
 
s : x   0   t   3 
6
6
 
 
l)
ZEICHNUNG
m)
F ( 1/ 2 / 2)
n)
Punkt auf der x3  Achse : Y (0 / 0 / z )  einsetzen in g  Punktprobe
S2 (1  1/ 2,5)
t   34 
0  3 
 4
   
 
2 
 0    4   t   6   t   3   Widerspruch  es gibt keinen Schnittpunkt.
z  3 
1
t  .... 
   
 
- 59 -
EBENENGLEICHUNG IN PARAMETERFORM
Oft sind von einer Ebene 3 Punkte gegeben, die ein Dreieck aufspannen, und die Ebenengleichung
ist gesucht. Zum Aufstellen der Ebenengleichung benutzt man die sogenannte Parameterform.
A, B und C sind feste Punkte ,
die ein Dreieck bilden.
Ebene
P
A
C
P ist variabler Punkt
in der Ebene.
B
Stützvektor
Ortsvektor, der zu P gehört
O
Koordinatensystem
DIE PARAMETERFORM LAUTET


 

 

x  xC  s  a  t  b oder x  xA  s  a  t  b oder

 

x  xB  s  a  t  b
 
 
 
x  xC  s  ( xA  xC )  t  ( xB  xC )
Anmerkung:
(1)
(2)
(3)
Jeder der 3 Punkte A, B oder C kann Stützpunkt (Stützvektor) sein.


a und b müssen verschiedene Richtung haben, d.h. sie müssen linear unabhängig sein.


Die Richtungen von a und b können durch Verwechseln von Kopf und Fuß um 180° gedreht
sein, das spielt aber für die Ebenengleichung keine Rolle, d.h. für die Bestimmung der Richtungsvektoren braucht man die Kopf-weniger-Fuß-Regel nicht zu beachten. Zwischen den 3
Punkte A, B und C kann man auf beliebige Weise zwei verschiedene Richtungsvektoren bestimmen.
- 60 -
1. Beispiel:
Gegeben: 3 Punkte
Gesucht:
A( 3 / 3 / 4)
B (3 / 2 / 2) C (6 / 4 /  4)
Ebenengleichung in Parameterform
 3 
 3  ( 3) 
 6  (3)   3 
 6
9
  



  
 
 
E : x   3   s   2  3   t   4  3    3   s   1   t   1 
4
 24 
 4  4   4 
 2 
 8 
 



  
 
 
Lösung:
Für die Parameter s und t kann man auch zwei andere Buchstaben
(z.B.  und  ) wählen.
2. Beispiel:
Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt P1 außerhalb von g
1
  4
  
 
g : x   2   s   5  und
0
 3 
 
 
P1 (6 / 3 / 2)
Ebene
P0
g
P1
O
Koordinatensystem
Aus der Geradengleichung erhält man den 1. Richtungsvektor
  4



a  t  5 
 3 


Durch Differenzbildung erhält man den 2. Richtungsvektor
6 1 5
 

     
b  xP1  xP0   3    2    1 
 2  0  2
     
Als Stützpunkt kann man P0 oder P1 wählen. Damit ergibt sich als Ebenengleichung in
1
  4
5
  


 
Parameterform: E : x   2   s   5   t   1 
0
 3 
 2
 


 
Um nun den Übergang von der Parameterform zur Koordinatenform zu finden, verfahre so wie
auf der folgenden Seite beschrieben.
- 61 -
KREUZPRODUKT – VEKTORPRODUKT
Wie findet man zu zwei gegebenen (linear unabhängigen)
Vektoren einen dazu senkrechten Vektor?
Wie bestimmt man einen Normalenvektor?
gegeben:
gesucht:
n


a und b
  
n  a b
a
b



d.h. n soll sowohl auf a als auch b
senkrecht stehen.
Man löst das Problem zunächst für die Einheitsvektoren i, j und k .
Wie das Koordinatensystem zeigt, stehen i, j und k paarweise aufeinander senkrecht.
Für die Einheitsvektoren gelten folgende Grundregeln:
vorwärts
rückwärts
sonst
i j  k
j  i  k
i i  0
jk  i
k  j  i
j j  0
k i  j
ik   j
k k  0
k
j
i
Man überträgt diese Regeln auf beliebige Vektoren:
 a1   b1 
     
a  b   a2    b2   (a1  i  a2  j  a3  k )  (b1  i  b2  j  b3  k ) 
a  b 
 3  3
 a1b1  i  i  a1b2  i  j  a1b3  i  k  a2b1  j  i  a2b2  j  j  a2b3  j  k
 a3b1  k  i  a3b2  k  j  a3b3  k  k 
| Grundregeln anwenden
 a1b2  k  a1b3  j  a2b1  k  a2b 3 i  a3b1  j  a3b2  i 
| sortieren und zusammenfassen
 a2b3  a3b2 

 (a2b3  a3b2 )  i  (a3b1  a1b3 )  j  (a1b2  a2b1 )  k ............   a3b1  a1b3   n
ab a b 
 1 2 2 1
- 62 -
BESTIMMUNG DES VEKTOR- bzw. KREUZPRODUKTES
 a1

 a2


   a3
a b  
 a1


 a2

a
 3
BEISPIEL:
3


 2




4

a  b  

3


 2


 4
b1
erste Zeile streichen
b2
b3
b1

(a2b3  b2 a3 )

(a3b1  b3 a1 )

(a1b2  b1a2 )

 a2b3  b2 a3 

 
 a b b a   n
 3 1 3 1


 a1b2  b1a2 
b2
letzte Zeile streichen
b3
 3
1
  
  
a   2  und b   3 
 4
 3
 
 
1
bestimme
  
n  a b
erste Zeile streichen
3

2  3


4 1


33

3
1
3 4
 6  12   18 

 


 
 



33 
4  9  5   n

 


 





1  (2)
 9  2   11 
3
3
letzte Zeile streichen
 18 

 


n   5  steht senkrecht (orthogonal) auf den beiden Vektoren a und b .
 11 


ZWEI PROBEN können das beweisen:
 18   3 
  
  
n  a   5    2   18  3  (5)  (2)  11 4  54  10  44  0
 11   4 

  

 18   1 
  
  
n  b   5    3   18 1  (5)  3  11  3  18  15  33  0
 11   3 

  
 
 n b
- 63 -
 
na
BESTIMMUNG EINER EBENGLEICHUNG AUS DREI PUNKTEN
n
A
E
a
b
C
Gegeben:
A(1/1/ 3)
B
B (2 / 4 /  1) C (4 /  4 /12) .
A, B und C bestimmen eine Ebene E.
Gesucht:
Ebenengleichung in Parameterform
Ebenengleichung in Koordinatenform
LÖSUNG
(1)
Bestimmung von zwei (linear unabhängigen) Richtungsvektoren:
 1   4   3 
        
a  xA  xC   1    4    5 
 3   12   9 
     
und
 2   4   2 
       

b  xB  xC   4    4    8 
 1  12   13 
    

1
 3 
 2 

 

  
 


E : x  xA  s  a  t  b  x   1   s   5   t   8 
 3
 9 
 13 
 
 


(2)
Parameterform
(3)
Bestimmung des Normalenvektors der Ebene:
 3   2 
  65  (72)   7 
1
     
  


 

39    21   n   3 
n  a  b   5    8   ..... Schema ......   18 
 9   13 
 24  (10)   14 
 2 
  


 

 
(4)
Normalform der Ebenengleichung:

   
x steht für ein
n  x  n  xA oder B oder C
en beliebigen Punkt der Ebene.
 1  x1   1   1 
       
 3    x2    3    1   x1  3x2  2 x3  11  3 1  2  3  1  3  6   8
       
 2   x3   2   3 
(5)
Koordinatenform der Ebenengleichung:
- 64 -
E : x1  3 x2  2 x3  8  0
(6)
PROBE
durch Einsetzen für die Punkte A, B und C
A(1/ 1/ 3)  1  3 1  2  3  8  0  1  3  6  8  0  0  0 stimmt
B (2 / 4 / 1)  2  3  4  2  (1)  8  0  2  12  2  8  0  0  0 stimmt
C (4 /  4 / 12) 
4  3  ( 4)  2 12  8  0 
4  12  24  8  0  0  0 stimmt
(Auf die Probe kann verzichtet werden, wenn das Ergebnis bekannt ist.)
ÜBUNGEN XI
DREI PUNKTE BESTIMMEN EINE EBENE
Finde jeweils eine Koordinatengleichung der Ebene E, wenn 3 Punkte gegeben sind.
1)
A(0 /1/ 2)
B (2 / 3 / 2) C (3 / 5 / 4)
2)
A(4 / 2 / 5)
B (1/ 3 / 3) C (2 / 2 / 3)
3)
P (6 / 6 / 0) Q (2 / 2 / 6)
4)
P1 (1/ 6 /  5) P2 (7 / 9 /1) P3 (4 / 3/ 7)
5)
X (3 / 0 /1) Y (3 / 4 /  3)
6)
A(3 /  3 / 0)
7)
P ( 2 /  2 /1) Q (3 / 2 / 3)
R (4 / 5 / 2)
Z ( 1/ 2 /  1)
B (3 / 3 / 0) C (0 / 0 / 4)
R ( 1/ 2 /  5)
LÖSUNGEN
1)
E : 2 x1  2 x2  x3  0
2)
E : x1  x2  x3  1
3)
E : x1  2 x2  2 x3  18  0
4)
E : 2 x1  2 x2  x3  5  0
5)
E : x2  x3  1
6)
E : 4 x1  3x3  12
7)
E : 2 x1  2 x2  x3  1  0
- 65 -
WEITERE ÜBUNGEN
Aufgabe 1
Ermittele eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A(2 /  1/  2) und die Gerade
 3
 3
  
 
g : x   3   t   0  enthält. Beginne zunächst mit der Parameterform.
1
1
 
 
Aufgabe 2
Gegeben sind zwei Ebenen
 0,5 
1
0
 

 
 
E1 : x   4   r   0   s   2 
 3 
 1
1


 
 
und
  2   4 
     
E2 :  x   2     2   0 .
  0    3 
a) Untersuche, ob die beiden Ebenen orthogonal zueinander sind.
b) Bestimme den Abstand des Punktes P (2 / 3 /  9) von der Ebene E2 .
Aufgabe 3
Gegeben sind die Ebenen E und F mit
1
1
 1
  
 
 
E : x   1   s   0   t   1  und F :
0
 2
0
 
 
 

 2   2 
     
 x   1  2   0
 2    1

   

Zeige, dass die Ebenen parallel sind. Bestimme den Abstand der beiden Ebenen.
Aufgabe 4
Gegeben sind zwei Geraden
2
5
  
 
g : x   1   t   2  und
 3 
8
 
 
 14 
2
  
 
h : x   8   s   5 
 17 
4
 
 
Die beiden Geraden liegen in einer Ebene. Bestimme eine Koordinatengleichung von E.
Beginne zunächst mit der Parameterform.
- 66 -
LÖSUNGEN
Lösg 1
Parameterform
 3
 3
1
  
 
 
E : x   3  t   0   s   4 
1
1
 3
 
 
 
Koordinatenform
E : x1  2 x2  3x3  6
Lösg 2
a)
 0,5 
1
0
2
 
  

 
 
E1 : x   4   r   0   s   2   n1   1
 3 
 1
1
2


 
 
 
und
4
  
n2   2 
 3 
 
2 4
     
n1  n2   1   2   0  E1  E2
 2   3 
   
b)
E2 : 4 x1  2 x2  3x3  12  0
d
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A²  B ²  C ²

| 8  6  27  12 | 29

 29
4²  2²  3²
29
Lösg 3
1
1
 1
 1   1  2 
  
 
 
     
E : x   1   s   0   t   1   nE   0    1    2 
0
 2
0
2  0   1 
 
 
 
     
F : 2 x1  2 x2  x3  8  0
2
  


nF   2   nE  1 nF
 
 1
Abstand:
d
 Parallelität q.e.d .
| Ax1  Bx2  Cx3  D |
A²  B ²  C ²

d
| 2  2 8|
4
  1,33 LE
2²  2²  1² 3
Lösg 4
2
5
2
  
 
 
E : x   1   t   2   s   5   E : 32 x1  4 x2  21x3  123
 3 
8
4
 
 
 
- 67 -
SCHNITT ZWEIER GERADEN
Gegeben ist eine Gerade g1 durch die beiden Punkte A(-2/9/3) und B(10/3/7) und eine Gerade g2
durch die beiden Punkte C(7/12/2) und D(2/2/7). Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
zeichnerisch und rechnerisch.
x3
D
5
A
4
S
g1
3
B
g2
1
A´
2
3
2
3
x2
5
1
C
D´
5
C´
x1
B´
RECHNUNG
 6 
 10 
g1: x   3   t    3 
 2 
7
 
 
Richtungsvektor gekürzt
ACHTUNG wähle verschiedene Parameter (z. B. t und r).
1
  2
g2: x   2   r   2 
  1
 7
 
 
Richtungsvektor gekürzt
Die beiden Geradengleichungen kann man komponentenweise gleichsetzen. So erhält man ein
lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten.
- 68 -
GLEICHUNGSSYSTEM MIT 2 UNBEKANNTEN
I:
10 + 6t = 2 + 1r
II:
3 – 3t = 2 + 2r
III:
7 + 2t = 7 – 1r
Wähle zwei Gleichungen aus und bestimme daraus t und r.
I:
III:
10 + 6t = 2 + 1r
7 + 2t = 7 – 1r | (+)
17 + 8t = 9
8t = -8
t = -1
I:
(einsetzen in die Gleichung I oder III)
10 + 6·(-1) = 2 + r
4=2+r
r=2
Kontrolle für die nicht benutzte Gleichung II:
II:
3 - 3·(-1) = 2 + 2·2
3+3=2+4
6=6
→
Die Probe stimmt, d.h. dass ein Schnittpunkt S existiert.
Durch Einsetzen in g1 oder g2 erhält man den Schnittpunkt:
10 
 6   4
  
   
g1: xS   3   1   3    6   S (4 / 6 / 5)
7
 2  5
 
   
[Kontrolle an der Zeichnung]
ÜBUNGEN XII
1.
Gegeben ist eine Gerade g1 durch die beiden Punkte A(2/-2/1,5) und B(8/10/6,5) und eine
Gerade g2 durch die beiden Punkte C(8/2,5/5,5) und D(-1/7/1). Bestimme den Schnittpunkt
der beiden Geraden zeichnerisch und rechnerisch.
2.
 [ S (5 / 4 / 4)]
 1
  1
1
  2
  2
  3
Gegeben: g1: x   2   t   2  , g2: x   1   s   1  , g3: x   3   r   0 
1
 0
0
 6
 5
 1
 
 
 
 
 
 
nur rechnerisch lösen:
a)
Bestimme den Schnittpunkt von g1 mit g2.
[S(2/2/1)]
b)
Bestimme den Schnittpunkt von g2 mit g3.
[S(1/3/1)]
c)
Zeige, dass g1 und g3 zueinander windschief sind, d. h. dass sie keinen Schnittpunkt besitzen.
- 69 -
3.
Gegeben sind die Punkte A( 3 / 3 / 4), B (3 / 2 / 2) und C (6 / 4 /  4) weiterhin D (4 /  5 /  1) und
P (6 / 2 / 0) . Die Ebene E enthält die Punkte A, B und C.
a)
Bestimme ein Koordinatengleichung der Ebene E. Gib die Koordinaten der Spurpunkte S1 ,
S 2 und S3 von E an. Zeichne E.
b)
Vom Punkt D aus wird das Lot auf die Ebene E gefällt. Berechne die Koordinaten des Lotfußpunktes L. Berechne den Abstand des Punktes D von E. Zeichne das Lot ein.
Zeige, dass der Punkt P ein Punkt der Ebene E ist.
c)
Unter welchem Winkel schneidet die Gerade DP die Ebene E?
d)
Die Ebene H : 24 x1  16 x2  3x3  24 schneidet die Ebene E.
Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden s. Zeichne H und s.
LÖSUNGEN
a)
E : 2 x1  6 x2  3x3  24  0
b)
L (6 /1/ 2)
S1 (12 / 0 / 0) S2 (0 / 4 / 0) S3 (0 / 0 / 8)
DL  7 LE
Punktprobe für P:

c)
Winkel:   72, 3
d)
0
3
  
 
s : x  0  t  3 
8
 8 
 
 
P in E einsetzen
 00
stimmt
x3
4
3
2
1
1
2
3
4
x1
- 70 -
x2
1
2
3
4
DIE GEGENSEITIGE LAGE ZWEIER GERADEN
Vier verschiedene Fälle sind zu unterscheiden und müssen jeweils erkannt werden:
(1)
die Geraden g1 und g 2 sind parallel
 gleiche Richtungen,
 
 P1 liegt nicht auf g 2
(2)
die Geraden g1 und g 2 sind identisch
 gleiche Richtungen,
 
 P1 liegt auf g 2
(3)
die Geraden g1 und g 2 sind windschief
 verschiedene Richtungen,
 
es existiert kein Schnittpunkt
(4)
die Geraden g1 und g 2 schneiden sich
 verschiedene Richtungen,
 
es gibt einen Schnittpunkt
BEISPIELE
(1)
1
1
  
 
g1 : x   2   s   4  und
 
 
 2
 2 
0
 2 
  
 
g 2 : x   3   t   8  sind parallel, weil die Richtungsvek 
 
1
  4
toren linear abhängig sind und der Punkt P1 (1/ 2 / 2) nicht auf g2 liegt (Nachweis durch Punktprobe).
(2)
1
1
  
 
g1 : x   7   s   4  und
 1
 2 
 
 
0
 2 
  
 
g 2 : x   3   t   8  sind identisch, weil die Richtungs1
  4
 
 
Vektoren linear abhängig sind und der Punkt P1 (1/ 7 /  1) auf g2 liegt (Nachweis durch Punktprobe).
(3)
1
 2
  
 
g1 : x   2   s   0  und
 
 
1
1
 2
0
  
 
g 2 : x   3   t   1  sind windschief, weil die Richtungsvek 
 
 4
 1
toren linear unabhängig sind und die folgende Rechnung zum Widerspruch führt:
1  2s  2
g1  g 2
 2
1 
Probe für die 3. Zeile:
 s  0,5
 3  t
s
 t  1
 4  t
1  0,5  4  (1)  1,5  5  Widerspruch !!!
Es gibt also keinen Schnittpunkt, daraus folgt, dass g1 und g 2 windschief sind.
- 71 -
ÜBUNG XIII
a)
Gegeben sind die Ecken eines Tetraeders durch die Punkte A(12/0/0), B(-3/10/0), C(-3/0/7,5)
und D(-3/0/0).
Zeichne den Tetraeder in ein Koordinatensystem ein. (Ursprung 7cm vom linken Blattrand,
12cm vom oberen Blattrand entfernt)
b)
A, B und C sind in der Ebene E1 enthalten. Bestimme die Gleichung von E1 zuerst in Parameterform, dann in Koordinatenform, anschließend in Achsenabschnittsform.
c)
Bestimme die Spurpunkte von E1.
d)
Bestimme den Winkel CAB.
e)
Vom Punkt U(5,5/9/11) aus wird das Lot auf die Ebene E1 gefällt. Bestimme den Lotfußpunkt F.
f)
Welchen Abstand hat U von E1?
g)
Die Punkte P(4/-2/5,5) und Q(0/6/1,5) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet die Geradengleichung? Wo durchstößt die Gerade die x1 x2 Ebene ?
h)
 3
1
  
Eine weitere Gerade h : x   6   t   2  schneidet die Gerade g. Bestimme S.
 
 
0
 2 
i)
Die Ebene E2: 6x1 + 3x2 + 4x3 = 36 schneidet die Ebene E1. Bestimme die Schnittgerade s.
Zeichne s.
j)
Welchen Winkel bilden die Ebenen E1 und E2 miteinander?
k)
Welchen Abstand hat der Punkt T(-1/0/6,5) von der Kante AB?
l)
Bestimme das Tetraedervolumen.
LÖSUNGEN
b)
E1: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 24
j)
 = 28,39°
c)
S1(12/0/0), S2(0/8/0), S3(0/0/6)
k)
d = 9,71 LE
d)
 = 41,91°
l)
V = 187,5 VE
e)
F(1,5/3/3)
f)
d = 10,77 LE
g)

g : x   2   t   2 
h)
S(1,5/3/3),
i)

s : x   0   t   4 
 4 
1
 5,5 
 
1
 
x3  0  R  1,5 / 9 / 0 
die rechnerische Kontrolle für die dritte Zeile nicht vergessen!!!
 3 
0
 4,5 


 3 
 
- 72 -
BESTIMMUNG DER 4. ECKE IN EINEM PARALLELOGRAMM
D=?
AD
C
A
BC
B
XA
x3
XB
XD
XC
MERKE
x2
O
 
AD  BC
x1
Gegeben:
A(1/ 3 /  2)
Gesucht:
D = 4. Ecke vom Parallelogramm

    
 
xD  xA  AD  xA  BC  xA  ( xC  xB )
Ansatz:
Verschiebung:
B (2 / 4 /  1) C ( 3 /1/ 5)
 3   2   5 
        
BC  xC  xB   1    4    3 
 5   1  6 
     
Kopf-weniger-Fuß-Regel beachten!!!
 1   5    4 

      

xD  x A  BC   3    3    0   D  ( 4 / 0 / 4)
 2   6   4 
    

PARALLELOGRAMMFLÄCHE
 
A  | a |  | b |  sin 
Winkel
ABC   :
 1
 5 
  
  
 
 
mit a  xB  xA  .....  1 und b  xD  xA  ......   3 
 1
6
 
 
 5  1
   
 3   1
 6  1
   
 
| a b |
2

cos     
2
2
2
2
2
2
| a || b |
70  3
5  3  6  1 1 1
  82, 07
Fläche:
 
A  | a |  | b | sin   70  3  sin 82,07  14,35 FE
- 73 -
ÜBUNG XIV
Gegeben sind die Punkte A(3 /1/ 3) B (1/ 3 / 3) und
a)
C ( 1/ 3 / 6) .
Ergänze die Punkte A, B und C zu einem Parallelogramm. Bestimme den 4. Eckpunkt D.
Rechne zuerst, dann zeichne.
DAB. (siehe Zeichnung)
b)
Bestimme den Winkel
c)
Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms.
d)
A, B und C bestimmen eine Ebene. Stelle zuerst eine Gleichung in Parameterform auf. Verwandle diese in eine Koordinatengleichung. Zeichne E.
e)
 0,5 
1
 

 
Wo durchstößt g : x   1   t   2  die Ebene E?
 4 
1


 
LÖSUNGEN
x3
C
D
g
S
4
3
B
2
A
1
x2
1
2
3
4
a)
D (1/1/ 6)
b)
  66, 91
c)
A  9, 38 FE
d)
E : 3x1  3x2  2 x3  18
e)
S (1/ 2 / 4, 5)
x1
- 74 -
1
2
3
4
PARALLELOGRAMMFLÄCHE – ALTERNATIVE METHODE
EIGENSCHAFTEN
des Kreuz- bzw.
Vektorproduktes
n=axb
b

|n| = |a||b|sin
a





n steht sowohl auf a als auch auf b senkrecht.



Der Betrag (Länge) von n ist so groß wie die von den beiden Vektoren a und b aufges-
pannte Parallelogrammfläche (siehe Zeichnung).

 
 
| n |  | a  b |  | a |  | b | sin 
Fläche eines Parallelogramms:
 
A  | a b |
Fläche eines Dreieckes:
 
A  12  | a  b |


[Für die Anwendung der Formeln muss der Winkel zwischen a und b nicht bekannt sein.]
BEISPIEL
B (2 / 4 / 1) C ( 3 / 1 / 5)
D   4 / 0 / 4
Parallelogramm:
A(1 / 3 / 2)
Fläche gesucht:
 5 
 1
 9 
   
   
   
a  AD   3  und b  AB   1   a  b   11 
 
 
 
6 
 1
 2 
FLÄCHE
 9 
   
A  | a  b |   11   92  112  22  14,35 FE
 2 
 
- 75 -
ÜBUNG XV
Die Ebene E1 ist gegeben durch die Punkte Q(1/1/6), R(2/2/4) und S(0/8/0).
a)
Stelle eine Ebenengleichung für E1 in Koordinatenform auf. Zeichne die Ebene.
b)
Q, R, S und T spannen ein Parallelogramm auf. Berechne den 4. Eckpunkt T.
c)
Bestimme den Flächeninhalt des Parallelogramms.
d)
Die Gerade g geht durch die Punkte A(-1/1,5/0) und B(3/7,5/5). Konstruiere den Durchstoßpunkt von g mit E1 .
e)
Berechne die Koordinaten des Durchstoßpunktes.
f)
0
0
1
  
 
 
Die Ebene E2 ist gegeben durch die Gleichung E2 : x   0   s   1   t   0  .
8
0
 2 
 
 
 
Gib die Ebenengleichung in Koordinatenform an. Zeichne E2 .
g)
Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden s von E1 und E2 . Zeichne s.
h)
Bestimme den Schnittwinkel von E1 und E2 .
i)
Fälle das Lot vom Ursprung auf E1 und bestimme den Lotfußpunkt F. Wie groß ist der
Abstand des Ursprunges von E1 ?
x3
LÖSUNGEN
a)
E1 : x1  x2  x3  8
b)
T ( 1/ 7 / 2)
c)
8
 
A  | a  b | = . . .  13,86 FE
5
g
4
d)
 1 
 4
  
 
g : x  1,5   t   6  Konstruktion von D
 0 
5
 
 
e)
g  E1  D(1/ 4,5 / 2,5)
f)
E2 : 2 x1  x3  8
3
1
h)
  39, 23
i)
F ( 83 / 83 / 83 ) und OF  4, 62 LE
A
1
2
3
4
8
1
3
4
5
g)
D
2
2
0
1
  
 
s : x  0  t  1 
8
 2 
 
 
B
s
8
x1
- 76 -
B'
x2
SPIEGELUNG EINES PUNKTES AN EINER EBENE
P (gegeben)
Lot
F
Spiegelebene
Koordinatensystem
O
P =?
E : 3x1  6 x2  4 x3  24
Gegeben:
P(5 / 8 / 5,5) und
Aufgabe:
Spiegele den Punkt P an der Ebene E.
Lösung:
(1)
Lot von P auf E:
(2)
Lot  E:
 5 
 3
  
 
x   8   t  6
 5,5 
 4
 
 
3(5  3t )  6(8  6t )  4(5, 5  4t )  24
15  9 t  48  36 t  22  16 t  24  61 t  85  24  61 t  61  t F  1
(3)
[ tF  1 einsetzen in die Lotgleichung  F (2 / 2 /1,5) ]
Schritt (3) kann weggelassen werden.
(4)
Verdoppelung des Parameters führt zum gespiegelten Punkt P :
t P  2  t F  2  (1)  2 einsetzen in Lotgleichung  P(1/ 4 / 2,5)
- 77 -
ÜBUNG XVI
Gegeben ist ein Tetraeder mit A(8/0/0), B(2/6/0), C(0/0/0) und S(2/3/6).
[Die x3 -Achse benötigt 16 LE.]
a)
Zeichne den Tetraeder.
b)
Bestimme die Gleichung der Ebene E1, die durch A, B und S geht, in Koordinatenform.
Zeichne die Ebene.
c)
Ergänze das Dreieck SCB zu einem Parallelogramm SCBD. Bestimme D. Zeichne.
d)
Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes SCB.
e)
Bestimme das Tetraedervolumen.
f)
Bestimme die Gleichung der Ebene E2, die durch A, C und S geht.
g)
Welchen Abstand hat der Punkt B von der Ebene E2?
h)
Spiegele den Punkt B an der Ebene E2 und bestimme die Koordinaten des gespiegelten
Punktes B .
i)
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g1 und g2 mit
6
 2 
  
 
g1 : x   1   s   1  und
 2
2
 
 
j)
 2
0
  
 
g 2 : x   6   t   1 .
0
2
 
 
Die Ebene E3 : 8 x1  4 x2  x3  16 schneidet die Ebene E1. Zeichne die Schnittgerade s und
bestimme die Gleichung von s.
k)
Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante (BS).
LÖSUNGEN
a) Zeichnung
b) E1 : 2 x1  2 x2  x3  16
c) D (4 / 9 / 6)
 
d) A  12  | a  b | .....  19, 20 FE
e) V  13  G  h  ...  48 VE
f) E2 : 2 x2  x3  0
g) d  5,36 LE
h) t F  2, 4 verdoppeln  B(2 / 3, 6 / 4,8)
i) g1  g 2  S (2 / 3 / 6)
0
 1 
  


j) Schnittgerade s : x   0   t   1 
16 
  4
 


k) Hilfsebene H aufstellen, H  g  t F
 F  2 / 4,8 / 2, 4   CF  5, 73 LE
- 78 -
ÜBUNG XVII [GESAMTWIEDERHOLUNG]
Gegeben ist ein Tetraeder mit A(6 /  2 / 0), B (0 / 6 / 0), C ( 2 /  2 / 0) und
S (0 /  2 / 8) .
[Die x3 -Achse benötigt 12 LE.]
a)
Zeichne den Tetraeder ABCS.
b)
Bestimme die Gleichung der Ebene E1, die durch S, A und B geht, in Koordinatenform.
[  E1 : 4 x1  3x2  3x3  18 ]
Zeichne die Ebene.
c)
Ergänze das Dreieck SAB zu einem Parallelogramm SABD. Bestimme D. Zeichne das Parallelogramm.
[  D ( 6 / 6 / 8) ]
d)
Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes SAB.
[  A  46, 64 FE ]
e)
Bestimme das Tetraedervolumen.
[  V  85 13 VE ]
f)
Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E1?
[  d  5, 48 LE ]
g)
Spiegele den Punkt Q(-2,5/-2/0) an der Ebene E1 und bestimme die Koordinaten des gespie[  Q(5,5 / 4 / 6) ]
gelten Punktes Q .
h)
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden g1 und g2 mit
6
 3
  
 
g1 : x   2   s   4  und
 
 
0
0
i)
0
0
  
 
g2 : x   0   t   1  .
 
 
6
 1
[  R (0 / 6 / 0) ]
Die Ebene E2 : 6 x1  6 x2  x3  6 schneidet die Ebene E1. Zeichne die Schnittgerade s und

0
 3 
  

 
 s : x   0   t   2 
 
 
6
 6  

bestimme die Gleichung von s.
j)
Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante (BS). [  d  6 LE ]
k)
Die Punkte B, C, D und S bilden ebenfalls ein Tetraeder.
Bestimme das Volumen auf möglichst einfache Weise.
- 79 -
[  V  85 13 VE ]
ZEICHNUNG
x3
D
S
6
4
3
2
C
3
1
2
1
x2
1
2
4
A
x1
- 80 -
3
4
B
ANHANG
KLASSENARBEITEN
BEWEGLICHE PUNKTE
SPATVOLUMEN
EBENENSCHAREN
GERADENSCHAREN
FORMELSAMMLUNG
- 81 -
x3
S
ANALYTISCHE GEOMETRIE
6
4
KLASSENARBEIT A
3
Q
S1
S2
R
2
1
g
-2
C
D
-4
1
2

B
4
x2
1
2
3
4
5
A
8
x1
a)
Bestimmen Sie die Gleichungen von allen 5 Pyramidenebenen in Koordinatenform.
b)
Bestimmen Sie den Winkel ABC.
c)
Welchen Winkel bilden die folgenden beiden Ebenen miteinander:
E1: 6x1 - 3x2 - 2x3 + 12 = 0 und E2: 3x1 - 6x2 + 4x3 - 24 = 0 ?
d)
Q(5/-3/4,5) und R(-4/3/0) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet ihre Gleichung?
e)
 6 
 2
Gegeben ist eine Gerade mit der Gleichung g: x    1  t    4  . Bestimmen Sie die
3
 3 
 
 
Schnittpunkte der Geraden mit den Ebenen E1 und E2.
f)
Wie lang ist die Strecke QR?
g)
Unter welchem Winkel schneidet g die Ebene E1?
h)
Welchen Abstand hat der Punkt A von der Ebene E1?
i)
Bestimmen Sie das Pyramidenvolumen.
j)
Wie groß ist der Abstand des Punktes P(-5/3/2) von der Geraden g?
k)
Die Ebenen E3: 3x1 + 6x2 + 4x3 – 24 = 0 und E6: 3x1 – 3x2 + x3 – 6 = 0 schneiden sich in s.
Bestimmen Sie die Gleichung von s.
l)
Vom Punkt T(5/8/5,5) aus wird das Lot auf die Ebene E3: 3x1 + 6x2 + 4x3 – 24 = 0 gefällt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes L und den Abstand d = TL.
m)
 10 
  0
Wo schneidet die Gerade h: x   0   s    6  die Gerade g (siehe Teil e)?
 6
  3
 
 
- 82 -
LÖSUNGEN A
a)
Achsenabschnitte ablesen

Achsenabschnittsform

Koordinatenform
3x1 + 6x2 + 4x3 = 24
-6x1 + 3x2 + 2x3 = 12
-6x1 - 3x2 + 2x3 = 12
3x1 - 6x2 + 4x3 = 24
x3 = 0
[4 P]
b)
α = 90°
[2 P]
c)
β = 59,19°
[2 P]
d)
 5 
6
 

 
g : x   3   t   4 
 4,5 
3


 
[2 P]
e)
S1(-1/1/1,5)
[4 P]
f)
QR  11, 71 LE
[2 P]
g)
γ = 50,19°
[2 P]
h)
d = 8,57 LE
[2 P]
i)
V  13 G  h
j)
Hilfsebene aufstellen
S2(2/-1/3)
V = 80 VE
F  4 / 3 / 0 
H : 6 x1  4 x2  3 x3   36
PF  5  2, 24LE
0
2
  
 
x   0   t   1  oder
6
 3 
 
 
k)
s:
l)
L(2/2/1,5)
m)
S(5/-3/4,5) = Q
[2 P]
 4
2
  
 
x   2  t  1 
 0
 3 
 
 
d = 7,8 LE
[4 P]
[4 P]
[2 P]
Die Kontrolle für die nicht benutzte Gleichung nicht vergessen!
[4 P]
120% = 36 P
- 83 -
x3
ANALYTISCHE GEOMETRIE
S
Q
6
KLASSENARBEIT B
4
S2
3
D
-4
2
1
-8
A
S1
C

x2
2
1
2
R
3
B
4
x1
a)
Bestimmen Sie die Gleichungen von allen 5 Pyramidenebenen in Koordinatenform.
b)
Bestimmen Sie den Winkel DAB.
c)
Welchen Winkel bilden die folgenden beiden Ebenen miteinander:
E1: 3x1 + 6x2 + 2x3 – 12 = 0 und E2: 6x1 + 3x2 – 4x3 + 24 = 0 ?
d)
Q(-3/-5/4,5) und R(3/4/0) bestimmen eine Gerade g. Wie lautet ihre Gleichung?
e)
 4 
  1
Gegeben ist eine Gerade mit der Gleichung g: x    2   t   6  . Bestimmen Sie die
 3 
  3
 
 
Schnittpunkte der Geraden mit den Ebenen E1 und E2.
f)
Wie lang ist die Strecke QR?
g)
Unter welchem Winkel schneidet g die Ebene E1?
h)
Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E2?
i)
Bestimmen Sie das Pyramidenvolumen.
j)
Wie groß ist der Abstand des Punktes P(3/6/4) von der Geraden g?
k)
Die Ebenen E3: 6x1 – 3x2 + 4x3 – 24 = 0 und E6: –3x1 – 3x2 + x3 – 6 = 0 schneiden sich in s.
Bestimmen Sie die Gleichung von s.
l)
Vom Punkt T(8/-5/5,5) aus wird das Lot auf die Ebene E3: 6x1 – 3x2 + 4x3 – 24 = 0 gefällt.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes L und d = TL.
m)
6
  0
Wo schneidet die Gerade h: x   0   s  10  die Gerade g (siehe Teil e)?
 6
3
 
 
- 84 -
LÖSUNGEN B
a)
Achsenabschnitte ablesen

Achsenabschnittsform

Koordinatenform
3x1  6 x2  2 x3  12
E1 :
E2 :  3x1  6 x2  2 x3  12
E3 :  6 x1  3x2  4 x3  24
E4 :
6 x1  3x2  4 x3  24
E5 :
x3  0
(Sonderfall)
[4 P]
b)
  53,13
[2 P]
c)
  59,19
[2 P]
 3 
 4 
 

 
x   5   t   6 
 4,5 
 3


 
d)
g:
e)
S1 (1/1/1,5) und
f)
QR  11, 71 LE
[2 P]
g)
γ = 50,19°
[2 P]
h)
d = 3,84 LE
[2 P]
i)
V  13 G  h
V = 80 VE
j)
Hilfsebene aufstellen
H : 4 x1  6 x2  3x3  36
gH

[2 P]
S2 (1/  2 / 3)
F(3/4/0)
0
1
  
 
x   0   t   2  oder
6
 3 
 
 
[4 P]
PF  20  4, 47 LE
 2 
1
 

 
x    4   t   2 
 0 
 3 


 
k)
s:
l)
L(2/-2/1,5)
d = 7,8 LE
m)
g h 
S(-3/-5/4,5) = Q
[2 P]
[4 P]
[4 P]
[2 P]
Die Kontrolle für die nicht benutzte Gleichung nicht vergessen!
[4 P]
120% = 36 P
- 85 -
ANALYTISCHE GEOMETRIE
KLASSENARBEIT C
Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken A(4/0/0), B(-4/4/0), C(-4/-5/0) und S(-2/0/6).
a)
Zeichne den Tetraeder in ein Koordinatensystem ein.
[0 P]
b)
Bestimme die Gleichung der Ebene (ABS) zuerst in Parameterform,
dann in Koordinatenform.
[4 P]
*
*
c)
Ergänze das Dreieck ABS zu einem Parallelogramm ABSS . Zeichne und berechne S . [2 P]
d)
Bestimme den Winkel  
e)
Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes ABS.
[2 P]
f)
Bestimme das Tetraedervolumen.
[2 P]
g)
Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E1: x1 + 2x2 + x3 = 4 ?
[2 P]
h)
Spiegele den Punkt C an der Ebene E1 und bestimme die Koordinaten des
SAB .
[2 P]
gespiegelten Punktes C*.
i)
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
 4
 5 
0
 
3
 

g1 : x   0   s   1  und
j)
[4 P]
 4 
1
0
 
1
 

g 2 : x   4   t   1
[4 P]
Die Ebene E2: 12x1 + 4x2  3x3 + 12 = 0 schneidet die Ebene E1.
Zeichne die Schnittgerade und bestimme deren Gleichung rechnerisch.
[4 P]
k)
Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante AS.
[4 P]
l)
Welchen Winkel bilden die Ebene (BCS) und die Kante (AS) miteinander?
[4 P]
m)
Prüfe durch Rechnung, ob der Punkt P(-2/2/2) auf der Geraden g2 liegt.
Mache die Punktprobe.
[2 P]
x3
120% = 36 P
S
4
S*
3
C
B
2
1
1
1
2
3
A
x1
- 86 -
2
3
4
5
x2
LÖSUNGEN C
x3
S
a)
C*
4
S*
s
C
2
B
1
1
2
3
4
x2
5
1
2
A
[0 P]
4
x1
b)
Ebene in Parameterform:
  
na xb
  1
  2
  4
x   0  s   0   t   1 
 0
1
 0 
 
 
 
   1   2    1 
n   0 x 1     2 
 1   0   1
     

Richtungsvektoren gekürzt.
 1
n   2
1
 
Ebene in Koordinatenform: E1 : x1  2 x2  x3  4
c)
 4  2   6 


x S*  x A  BS   0     4     4 
 0  6   6 
     
Bestimmung von S*:
  1   2 
 0  1 
1  0 
   
2
 0,6324
10
[4 P]
 S * (6 / 4 / 6)
   50, 77
[2 P]
d)
cos 
e)
A  12  72  80  sin 50, 77  29, 39 FE
[2 P]
f)
V = 13 G  h  13  928  6  13  36  6  72VE
[2 P]
g)
d
h)
 4 
1
  
 
Lot : x   5   t   2 
0
1
 
 
2 5

| 4 1  5  2  0 1  4 | | 4  10  4 | | 18 |


 7,35 LE
1²  2²  1²
6
6
Lot  E1 :  4  t  2  (5  2t )  t  4
- 87 -
[2 P]
[2 P]
4  t  10  4 t  t  4  6 t  18  tF  3
t F verdoppeln  2  t F  6  C * (2 / 7 / 6)
4  5s   4  t
I
i)
g1  g 2 : 
s  4 t
t
3s 
II
III
j)
E1 :
[4 P]
alternativ : lasse x3 herausfallen, dann setze x1  t
E2 : 12 x1  4 x2  3 x3  12
x3  0 
2 x2  x3 
4 | 3
 10 x2  0 
4 x2  3 x3   12
x1  2 x2  4 | (2)
 10 x1  20 
12 x1  4 x2   12
0
 2 
  
 
Schnittgerade : x   0   t   3  oder
 4
 4 
 
 
k)
 4s  4  s  1  t  3
SP(1/1/ 3)
x1  2 x2  x3  4
Setze x1  0 
II  III
Probe  4  5  4  3  1  1 stimmt
I
Schnittpunkt:
[4 P]
x2  0
x3  4
x1  2
x2  3
 D1 (0 / 0 / 4)
 D3 (2 / 3 / 0)
 2 
 2 
  
 
x   3   t  3 
 0
 4 
 
 
[4 P]
 4
 1
  
 
Tetraederkante k : x   0   t   0 
0
1
 
 
   
H : n  x  n  xC
 1  4 
   
  x1  x3   0    5   4  H :  x1  x3  4
1 0
   
H  k :  1(4  t )  t  4   4  t  t  4  t F  4  F (0 / 0 / 4)
d  CF  4²  5²  4²  57  7,55 LE
l)
m)
E3 :  3x1  x3  12
Punktprobe machen:
[4 P]
 1  3 
   
 0  0 
1 1
    3 1

   63, 43
sin  
2  10
20
24t
2 4t


2 0t

- 88 -
t2 

t  2   P liegt auf g 2 .
t  2 
[4 P]
[2 P]
ANALYTISCHE GEOMETRIE
KLASSENARBEIT D
Gegeben ist ein Tetraeder mit den Ecken A(4/-4/0), B(0/4/0), C(-5/-4/0) und S(0/-2/6).
a)
Zeichne den Tetraeder in ein Koordinatensystem ein.
[0 P]
b)
Bestimme die Gleichung der Ebene (ABS) zuerst in Parameterform,
dann in Koordinatenform.
[4 P]
*
*
c)
Ergänze das Dreieck ABS zu einem Parallelogramm ABSS . Zeichne und berechne S . [2 P]
d)
Bestimme den Winkel  
e)
Bestimme den Flächeninhalt des Dreieckes ABS.
[4 P]
f)
Bestimme das Tetraedervolumen.
[2 P]
g)
Welchen Abstand hat der Punkt C von der Ebene E1: 2x1 + x2 + x3 = 4 ?
[2 P]
h)
Spiegele den Punkt C an der Ebene E1. und bestimme die Koordinaten des
ABS
gespiegelten Punktes C*.
i)
[4 P]
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden
 4
2
0
0
0
 
 3 
 
0
 
1
 


g1 : x   4   s   1  und g 2 : x   4   t   1
j)
[4 P]
Die Ebene E2: 4x1 + 12x2 - 3x3 + 12 = 0 schneidet die Ebene E1.
Zeichne die Schnittgerade und bestimme deren Gleichung rechnerisch.
k)
[4 P]
Bestimme den Abstand der Tetraederecke C zur Tetraederkante BS.
[4 P]
l)
Welchen Winkel bildet die Ebene (BCS) mit der Kante (AS) ?
[4 P]
m)
Prüfe durch Rechnung, ob der Punkt P(-2/-1/9) auf der Geraden g1 liegt.
Mache die Punktprobe.
[2 P]
x3
120% = 36 P
S
S*
4
3
C
2
1
1
1
A
x1
- 89 -
B
x2
x3
LÖSUNGEN D
S
S*
4
a)
C
3
2
s
-3
1
-1
1
1
B
x2
A
x1
b)
Ebene in Parameterform:

 
na  b
 4
 2 
 1
  
 
 
x   4   s   1   t   2 
0
 3
0
 
 
 
 2   1  2 
      
n   1  2   1
 3   0  1
     
[0 P]
Richtungsvektoren gekürzt.
 2
  
 n  1
1
 
Ebene in Koordinatenform: E1 : 2 x1  x2  x3  4
c)
d)
Bestimmung von S*:
4 0  4 

      

xS *  xA  BS   4    6    10 
0 6  6 
    

0 1
   
 1   2 
1 0
2
 0, 6324
cos       
2 5
10
[4 P]
 S * (4 / 10 / 6)
   50, 77
[2 P]
[2 P]
e)
A  12  72  80  sin 50, 77  29, 39 FE
[2 P]
f)
V = 13 G  h  13  928  6  13  36  6  72VE
[2 P]
g)
d
h)
 4 
 2
  
 
Lot : x   5   t   1 
0
1
 
 
| 2  (5)  (4)  1 0  4 | | 10  4  4 | | 18 |


 7,35 LE
1²  2²  1²
6
6
Lot  E1 : 2  (5  2t )  4  t  t  4
- 90 -
[2 P]
10  4t  4  2t  4  6t  18  tF  3
t F verdoppeln  2  t F  6  C * (7 / 2 / 6)
4  2s  0
I
i)
g1  g 2 : 
II  4  s  4  t
III
 3s 
t
II
Schnittpunkt:
j)
E1 :

2s  4

s  2

t  3  (2)

t 6
Probe   4  ( 2)  4  6  2  2 stimmt
SP(0 /  2 / 6)
[4 P]
2 x1  x2  x3  4
alternativ : lasse x3 herausfallen, dann setze x1  t
E2 : 4 x1  12 x2  3 x3  12
Setze x1  0 
x3  0 
[4 P]
x 0
x2  x3  4 | 3
 15 x2  0  2
 D1 (0 / 0 / 4)
x3  4
12 x2  3 x3  12
2 x1 
x2 
4 | (2)
4 x1  12 x2   12
 10 x2  20 
x2  2
x1  3
 D3 (3 / 2 / 0)
0
 3
  
 
Schnittgerade : x   0   t   2 
 4
 4 
 
 
k)
[4 P]
0
0
  
 
Tetraederkante k : x   4   t   1
0
1
 
 
   
H : n  x  n  xC
 0   5 
   
  x2  x3   1   4   4  H :  x2  x3  4
1 0
   
H  k :  1 (4  t )  t  4   4  t  t  4  tF  4  F (0 / 0 / 4)
d  CF  5²  4²  4²  57  7,55 LE
l)
m)
E3 : 8 x1  5 x2  5 x3  60
Punktprobe machen:
[4 P]
 4 8
   
 2    5 
 6   5 
   
 ...    64,3
sin  
56  114
 2  4  2s
14 s


9  0  3s

- 91 -
s  3 

s  3   P liegt auf g1.
s  3 
[4 P]
[2 P]
ZELT UND TRAPEZ
S
ABI 2004
C
D
P
A
B
Q
Ein Zelt hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Längen der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils 2,0 m.
a)
Benachbarte Seitenflächen bilden einen stumpfen Winkel. Wie groß ist dieser?
6P
b)
In der Vorderfläche PQS befindet sich eine Einstiegsöffnung ABCD in Form eines symmetrischen Trapezes.
C und D sind die Mitten der Strecke BS bzw. der Strecke AS. Die Strecke AB hat die Länge
1,0 m. Wie viel Prozent der Vorderfläche beansprucht die Einstiegsöffnung?
5P
c)
Zur Beleuchtung wird im Zelt eine Lampe aufgehängt, die im Folgenden als punktförmige
Lichtquelle betrachtet werden soll. Ihr Licht dringt durch die Einstiegsöffnung nach außen
und erzeugt auf dem Boden vor dem Zelt das Bild ABC'D' der Einstiegsöffnung als "Lichtteppich".
Berechnen Sie die Länge der Strecke C’D’, wenn sich die Lampe 25 cm unter der Zeltspitze
befindet.
5P
16 P
- 92 -
LÖSUNGEN
x3
S
2
L
1
C
D
1
P
A
x2
B
1
D'
C'
Q
x1
a)
Ebenengleichungen für zwei benachbarte Seitenflächen:
 2
x1 x2 x3
  
E1 :

  1  2 x1  x3  2  n1   0 
1  2
1
 
(Vorderfläche)
0
x1 x2 x3
  
E2 :
   1  2 x2  x3  2  n2   2 
 1 2
1
 
(Seitenfläche rechts)
spitzer Winkel:
stumpfer Winkel:
b)
 2 0
   
 0 2
   
 1   1  0  0 1
cos  

 0, 2    78,5
5
5 5
a  180    101,5
Dreieckshöhe:
h  1²  2²  5
Dreiecksfläche:
A  12  2  5  5
Trapezhöhe:
hTrapez  12 h  12  5
(Satz des Pythagoras)
- 93 -
Trapezfläche:
ATrapez 
Prozentsatz:
p
ac
1  0,5 5 1,5
h 


 5  83  5
2
2
2
4
3 5
Trapezfläche
100%  37,5%
100% 
Dreiecksfläche
8 5
c)
Koordinaten der Lampe:
L (0 / 0 /1, 75)
C liegt in der Mitte zwischen B(1/0,5/0) und S(0/0/2). So erhält man die
Koordinaten von C:
C (0, 5 / 0, 25 /1)
Lampenstrahl LC:
 0 
 0,5 
 



x   0   t   0, 25 
1, 75 
 0, 75 




LC  x3  0  1, 75  0, 75t  0  t 
175 7

75 3
Auftreffpunkte:
C '( 76 / 127 / 0)
symmetrisch dazu:
D '( 76 /  127 / 0)
Länge der Strecke:
7
C ' D '  127  ( 127 )  14
12  6  1,17 m
Wenn es doch immer so leicht wäre . . . . . .
- 94 -
BEWEGLICHE PUNKTE
Aufgabe 1
 3 
 1
  
 
Gegeben ist die Gerade g : x   1   t   1  . Ermitteln Sie die Koordinaten der
4
2
 
 
beiden Punkte auf g, die von A(-3/1/4) den Abstand
Aufgabe 2
24 haben.
 10 
2
  
Auf der Geraden g : x   8   t   1  gibt es zwei Punkte, die vom Ursprung den
 23 
1
 
 
Abstand 21 haben. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
Aufgabe 3
5
2
  
Gegeben ist die Gerade g : x   6   t   2  .
7 
 1
 
 
Zeigen Sie, dass der Punkt P(10/11/5) nicht auf g liegt.
Welche beiden Punkte auf g haben von P den Abstand
Aufgabe 4
27 ?
0
1
  
Gegeben ist die Gerade g : x   2   t   0  .
0
0
 
 
Bestimmen Sie einen möglichen Punkt C auf g so, dass das Dreieck ABC mit
A(6/4/0) und B(1/4/0) bei C einen rechten Winkel hat.
Lösungen 1
 3 
 1
  
 
g : x   1   t   1   P  3  1 t / 1  1 t / 4  2 t  und
4
2
 
 
ABSTAND
d  1 t 2  1 t 2  4 t 2  24
A  3 / 1 / 4 
 6 t 2  24  t 2  4 | 
t   2  P1  1 / 3 / 8  und
P2  5 / 1 / 0 
Lösungen 2
 10 
2
  
 
g : x   8   t  1 
 23 
1
 
 
ABSTAND
d
P  10  2 t / 8  1 t / 23  1 t  und O  0 / 0 / 0 
10  2t    8  1 t    23  1 t 
2
2
- 95 -
2
 21 | quadrieren
10  2 t    8  1 t    23  1 t 
2
2
2
 441
100  40 t  4 t 2  64  16 t  1 t 2  529  46 t  1 t 2  441
 3
252  102 t  6 t 2  0  t 2  17 t  42  0  t1/ 2  
14
P1  4 / 5 / 20  und
P2  18 / 6 / 9 
Lösungen 3
PUNKTPROBE für P  10 / 11 / 5 
t  2, 5
 10   5 
2
   
 
 11    6   t   2   t  2, 5  Widerspruch  P  g
 5  7 
 1
t  2
   
 
5
2
  
 
g : x  6   t  2 
7 
1
 
 
ABSTAND
d
P  5  2 t / 6  2 t / 7  1 t  und
 5  2t    5  2 t    2  1 t 
2
2
 5  2t    5  2 t    2  1 t 
2
2
2
2
P0  10 / 11 / 5 
 27 | quadrieren
 27
25  20 t  4 t 2  25  20 t  4 t 2  4  4 t  1 t 2  27
1
27  36 t  9 t 2  0  t 2  4 t  3  0  t1/ 2  
3
P1 7 / 8 / 8  und
P2  11 / 12 / 10 
Lösungen 4
0
1
  
 
g : x   2   t   0   C (t / 2 / 0) beweglicher Punkt
0
0
 
 
 t  6   t  1
 

 

AC  BC  0   2    2   0  (t  6)(t  1)  4  0  t 2  7 t  10  0
 0   0 

 

t1  2  C1 (2 / 2 / 0) und
t2  5  C2 (5 / 2 / 0)
- 96 -
SPATVOLUMEN / SPATPRODUKT
 

Drei Vektoren a , b und c spannen einen Spat auf, sofern die 3 Vektoren nicht in einer Ebene liegen. Die Winkel zwischen den Vektoren sind beliebig.
c
SPAT
b
a
Das Spatvolumen ist sehr leicht zu berechnen:
  
VSpat  | (a  b )  c |
[Der Beweis erfolgt später.]
S
Aus dem Spatvolumen ergibt sich
das entsprechende Pyramidenvolumen:
VPyr
c
  
 13  | (a  b )  c |
D
b
A
C
a
B
- 97 -
Durch Halbierung der Grundfläche erhält man wiederum das entsprechende Tetraedervolumen:
S
  
VTetra  16  | (a  b )  c |
c
D
b
A
a
B
Eigenschaften des Kreuz- bzw. Vektorproduktes
n=axb
b

|n| = |a||b|sin
a


Eigenschaften:



n steht sowohl auf a als auch auf b senkrecht.



Der Betrag (Länge) von n ist so groß wie die von den beiden Vektoren a und b aufges-
pannte Parallelogrammfläche (siehe Zeichnung).

 
 
| n |  | a  b |  | a |  | b | sin 
- 98 -
Damit ergibt sich eine einfache Möglichkeit, die Fläche eines Parallelogramms zu bestimmen:
 
A  | a b |
Ebenso gibt es eine einfache Möglichkeit, die Fläche eines Dreieckes (= halbes Parallelogramms)
zu bestimmen:
 
A  12  | a  b |


[Für die Formeln muss der Winkel zwischen a und b nicht bekannt sein.]

 
Beim Spatvolumen ist also | n |  | a  b | die Grundfläche des Spates.
Eigenschaften des Skalarproduktes
n
   
n  c  | n |  | c |  cos 

d.h. der Vektor c wird senkrecht auf den Vektor

n projiziert.

Dabei erhält man die Höhe h  | c |  cos  , die
senkrecht auf der Grundfläche G steht.
c
h = |c|  cos 

 

 
n  c  | n | h  | a  b | h  G  h
Grundfläche G
Damit gilt fürs Spatvolumen:
 
  
VSpat  | n  c |  | (a  b )  c |

q.e.d.
- 99 -
ÜBUNGEN
1.
Berechne das Spatvolumen V, wenn folgende Vektoren bekannt sind:
  4
  2
     
a   0  , b    5  und
 2 
 0 
 
 
 2
  
c   2
 3
 
Ergebnis: V = 72 VE
2.
Berechne das Spatvolumen V, wenn folgende Vektoren bekannt sind:
1
 4
     
a   2  , b   5  und
 3
 4
 
 
 3
  
c   2
1
 
Ergebnis: V = 8 VE
3.
Berechne das Volumen des Tetraeders ABCD, wenn folgende Punkte gegeben sind:
A(1/1/1)
B (1/ 4 / 4) C (4 /1/ 4)
D (4 / 4 /1)
Ergebnis: V = 9 VE
4.
Berechne das Volumen des Tetraeders ABCD, wenn folgende Punkte gegeben sind:
A(0 / 0 / 0)
B (1/ 2 / 3) C (4 / 5 / 6)
D (7 / 8 / 9)
Rechne und interpretiere das Ergebnis.
Ergebnis: V = 0 VE, die Vektoren sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
5.
Berechne das Volumen des Tetraeders ABCD, wenn folgende Punkte gegeben sind:
A(4 /  4 / 0)
B (0 / 4 / 0) C ( 5 /  4 / 0)
D (0 /  2 / 6)
Zeichne und rechne auf möglichst einfache Weise. [Sonderfall]
Ergebnis: V = 72 VE
6.
Gegeben ist ein Dreieck ABC mit folgenden Eckpunkten:
A(4 / 0 / 0)
B ( 4 / 4 / 0) C ( 2 / 0 / 6)
Bestimme den Flächeninhalt.
Ergebnis:
7.
A  29,39 FE
Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS mit
A(1/1/ 5)
B (5 /1/ 5) C (2 / 5 / 5)
D (0 / 3 / 5)
S (4 /1/  1)
Zuerst zeichne die Pyramide, dann überlege, wie man am besten rechnet.
Ergebnis: V = 22 VE
- 100 -
EBENENSCHAREN
BEISPIEL
Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung
Ea : (a  4)  x1  a  x2  4 x3  4a
Bestimme die gemeinsame Gerade der Schar.
Zeichne die Ebenenschar für die Parameterwerte a  4 ; 6 und 10
RECHNUNG
Wähle a  4
4 x2  4 x3  16
Wähle a  0
4 x1  4 x3  0
Setze x3  t
4 x2  16  4 t  x2  4  t
 4 x1  4t  0  x1  t
Zusammenfassung:
PROBE
0
1
  
 
g : x   4   t   1 (ist die gemeinsame Gerade)
0
1
 
 
darf nicht fehlen
g in Ea einsetzen
x3
(a  4)  (0  t )  a  (4  t )  4  t  4a
at  4t  4a  at  4t  4a  4a  4a
Weil die Probe stimmt, enthalten
alle Ebenen der Schar die Gerade g.
4
Die Gerade g ist also die Träger-
3
gerade der Ebenenschar.
2
1
3
4
x1
- 101 -
2
1
1
2
3
4
x2
ÜBUNGEN
1.
Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung Et : (4  2t )  x1  8  x2  (2  t )  x3  3t  10
a)
Ermittle die Schnittpunkte der Ebene E2 mit den Koordinatenachsen.
b)
Welche Ebene der Schar geht durch den Punkt P (4 /  4 / 7) ?
c)
Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen E2 und E2 .
d)
Zeige, dass die gemeinsame Gerade von E2 und E2 auch in Et liegt.
Ergebnisse:
S1 (2 / 0 / 0) S2 (0 / 2 / 0) S3 ist der Fernpunkt auf der x3  Achse . Die Ebene E2 ist parallel zur
x3  Achse .
E6 : x1  x2  x3  1 enthält den Punkt P.
Schnittgerade:
0
1
  
 
g : x   2   t   1
 3 
2
 
 
Probe: g in Et einsetzen

die Probe stimmt.
2.
Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung Et : 2  x1  (t  3)  x2  t  x3  0
a)
Bestimme die Schnittgerade der beiden Ebenen E0 und E3 .
b)
Zeige, dass die gemeinsame Gerade von E0 und E3 auch in Et liegt.
 3 

 
Ergebnis: g : x  t   2 
 2
 
3.
Gegeben ist die Ebenenschar mit der Gleichung Et : 2 t  x1  4  x2  (13  3 t )  x3  81
a)
Welche Ebene der Schar geht durch den Punkt P (6 / 6 / 9) ?
b)
Zeige, dass es eine Gerade g gibt, die in jeder Ebene Et liegt.
c)
Welchen Abstand hat die Ebene E2 vom Ursprung?
d)
Welche Scharebenen haben vom Ursprung den Abstand 9?
e)
Gibt es unter den Scharebenen eine Ebene, die vom Ursprung einen größten Abstand hat?
(schwer)
- 102 -
Ergebnisse:
a)
t 4
b)
 0 
 6 
 



g : x   20, 25   t   13 
 0 
 4 




c)
d 9
d)
| 2t  0  4  0  (13  3t )  0  81|
4t 2  16  9t 2  78t  169
9
| 81| 9  13t 2  78t  185  | 9 | 13t 2  78t  185
| quadrieren
13 t 2  78 t  185  81  13 t 2  78 t  104  0  t 2  6 t  8  0
t1  4 und
t2  2
E2 und E4 sind also die beiden Ebenen, die vom Ursprung den Abstand 9 haben.
e)
d(t ) 
| 81|
4t  16  9t  78t  169
2
2

| 81|
13t  78t  185
2
Der Funktionswert d ( t ) soll maximal werden. Dieser ist genau dann maximal, wenn das
Quadrat D(t )  (d(t ) )2 maximal ist.
| 81|2
D(t ) 
ist genau dann maximal, wenn der Nenner minimal ist.
13t 2  78t  185
N(t )  13 t 2  78 t  185  N(t )  26 t  78  N(t )  26  0
N (t )  0  26 t  78  0  t  3
Die gesuchte Ebene mit maximalem Abstand ist E3 .
- 103 -
GERADENSCHAREN
BEISPIEL
6
 3 
  


Gegeben ist die Geradenschar g a : x   0   t   4a 
0
 2  2a 
 


Zeige, dass alle Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bestimme die Ebenengleichung.
Zeichne die Geraden für a  0 und
a  1 .
x3
4
3
2
1
1
2
3
4
x2
1
2
3
4
LÖSUNG
x1
Gemeinsamer Stützpunkt
S (6 / 0 / 0)
Zwei Richtungsvektoren:
 3
  
a   0  und
 2 
 
 3
  
b   4 
0
 
 4
  
 
Normalenvektor von E: n  a  b  ....   3 
6
 
E : 4 x1  3x2  6 x3  24
PROBE
g a in E einsetzen :
4(6  3t )  3  4 at  6( 2  2 a )t  24
24  12 t  12a t  12 t  12a t  24  24  24
- 104 -
stimmt
ÜBUNGEN
1.
4
 a 
  


Gegeben ist die Geradenschar g a : x  10   t   2a  2 
0
 1 
 


a)
Ermittle die Schargerade, die den Punkt P (6 / 4 /  1) enthält.
b)
Zeige, dass alle Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bestimme die Ebenengleichung.
c)
Jede Schargerade hat vom Ursprung einen Abstand. Welche Gerade hat den kleinsten Abstand
vom Ursprung?
2.
1
 2 
  
 
Gegeben ist die Geradenschar g a : x   2   t   4  .
 
 
a
 a 
a)
Bestimme den gemeinsamen Punkt all dieser Geraden.
b)
Zeige, dass alle Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen. Bestimme die Ebenengleichung.
c)
Auf welcher Ortslinie liegen alle Punkt H (1/ 2 / t ) ?
3.
a
 3a 
  
 
Gegeben ist die Geradenschar g a : x   1   t   a  .
1
2
 
 
Die Ebene E enthält die Punkte A( 3 / 0 / 0), B (0 / 3 / 0) und C (0 / 0 / 3) .
a)
Gibt es Schargeraden, die zur Ebene E parallel sind?
b)
Gibt es Schargeraden, die zur Ebene E orthogonal sind?
c)
Gibt es in der Geradenschar zwei zueinander orthogonale Geraden?
d)
Gibt es einen gemeinsamen Punkt aller Geraden?
LÖSUNGEN
1.
4
 2 
  
 
g 2 : x  10   t   6  enthält den Punkt P (6 / 4 /  1) .
0
1
 
 
E : 2 x1  x2  2 x3  18
Kleinster Abstand

unbedingt die Probe machen!!!
Lot vom Ursprung auf die Ebene E
- 105 -

F (4 / 2 /  4)
F (4 / 2 /  4) einsetzen in die Geradenschar
4
0
  
 
g 0 : x  10   t   2 
0
1
 
 

Die Gerade g 0 hat vom Ursprung den kleinsten Abstand.
2.
a)
Wähle zwei verschiedene Parameter und schneide die beiden Geraden. Man erhält S (3 / 6 / 0) .
Anschließend muss für S noch die Punktprobe mit der Geradenschar gemacht werden. Wenn
die Probe aufgeht, dann ist S (3 / 6 / 0) der gemeinsame Punkt von allen Geraden der Schar.
b)
E : 2 x1  x2  0
c)
1
0
  
 
Es handelt sich um die Gerade h : x   2   t   0  .
0
1
 
 
3.
E :  x1  x2  x3  3
a)
 1  3a 
   
 1    a   0  a  1  g1 ist parallel zu E.
1 2
   
b)
1  3 a
 1
 3a 
 
 
 1      a   1  a
1
2
1  2
 
 
1  3 Widerspruch
1  0,5a
   0,5
 a2
Es existiert keine Gerade, die zu E orthogonal ist.
c)
Wähle zwei verschiedene Geraden mit verschiedenen Parametern a und b:
 3a   3b 
2
   
 a    b   0  9ab  ab  4  0  10 ab   4  a   5b
2 2
   
Für jeden Parameter b  0 gibt es also einen dazugehörigen Parameter a, so dass die
Geraden ga und gb aufeinander senkrecht stehen.
d)
a
 3a 
b
 3b 
  
  
 
 
Schneide x   1   t   a  mit x   1   s   b 
1
2
1
2
 
 
 
 

a  3at  b  3bs
1  at  1  bs
1  2t  1  2 s  s  t
Aus s = t folgt auch a = b, was aber nicht sein darf, weil die beiden Geraden verschieden sein
sollen. Die Geradenschar besitzt also keine gemeinsamen Punkte. (keine gemeinsame Ebene)
- 106 -
FORMELSAMMLUNG
ANALYTISCHE GEOMETRIE
- 107 -
EBENENGLEICHUNGEN
GERADENGLEICHUNGEN
Koordinatenebenen und Parallelebenen
Parameterform
 


g : x  x0  t   x0  x1 

 
a
Den Richtungsvektor darf man kürzen.
x1 x2 Ebene : x3  0 und
x3  c
x2 x3 Ebene : x1  0 und
x1  a
x1 x3 Ebene : x2  0 und
x2  b
Achsenabschnittsform
P
x
x1
x
 2  3  1 zum Zeichnen
a
b
c
 A
  
n  B
C 
 
Lot auf eine Ebene
 

Lot : x  x P  t  n
Spurpunkte
S1  a / 0 / 0 
S2 0 / b / 0 
E
S3  0 / 0 / c 
Spurgeraden
Achsenschnittpunkte werden abgelesen.
Koordinatenform
A  x1  B  x2  C  x3  D  0
für D  0
x2  0 
A  x1  C  x3  D  0
x3  0 
A  x1  B  x2  D  0
mit den Koordinatenebenen.
1

x1 Achse : x  t   0 
 
 0
Parameterform
 




x  x0  s   x0  x1   t   x0  x2 


 
 
a
b
Richtungsvektoren darf man kürzen.
 A
    
n  a  b   B
C 
 
B  x2  C  x3  D  0
Schnittgeraden einer Ebene
 Ursprungsebene
 0

x2 Achse : x  t   1 
 
 0
 0

x3 Achse : x  t   0 
 
1
Achsen
 A
  
n  B
C 
 
Normalenvektor der Ebene
x1  0 
  !
senkrecht stehen : a  b  0
 ! 
parallel sein :
a  k b
E
WINKEL
Normalform der Ebenengleichung
  
   
n  ( x  x0 )  0  n  x  n  x0
Gerade – Gerade
 A   x1 
     
 B    x2   n  x0   D
C   x 
   3
A  x1  B  x2  C  x3  D  0
Ebene - Ebene
Gerade - Ebene
Hesse-Normal-Form
A  x1  B  x2  C  x3  D
A2  B 2  C 2
 
| a b |
cos    
| a ||b |
 
| n1  n2 |
cos   

| n1 |  | n2 |
 
| a n |
sin    
| a || n |
BETRAG = Länge eines Vektors

a 
0
- 108 -
a12  a2 2  a32
ABSTÄNDE
MITTELPUNKT einer Strecke
Punkt A – Punkt B
AB 
a1  b1 2  a2  b2 2  a3  b3 2 oder
AB 
x1 2  x2 2  x3 2
 a  b1
M 1
2

a2  b2
2
M
a3  b3 

2

B
A
Punkt P – Ebene E
SCHNITTPUNKTE
(gilt auch für den Abstand zwischen
Gerade – Ebene
parallelen Ebenen)
g komponentenweise einsetzen in E (in Koor-
d
dinatenform)  t S
A  p1  B  p2  C  p3  D
A2  B 2  C 2

S
Gerade – Gerade
g1 und g2 komponentenweise gleichsetzen

Ursprung – Ebene E
System mit 3 Gleichungen und 2 Unbek.
D
d
aus 2 Zeilen berechne s und t,
A2  B 2  C 2
für die 3. Zeile mache die Probe.
Falls kein Widerspruch
windschiefe Geraden g1 und g2
 

g : x  x0  s  a
  

 n  ab
 
h : x  xP  t  b
  
Hilfsebene :  x  x0   n  0
SCHNITTGERADE
H : A x1  B x2  C x3  D  0
1.Mögl.:
d
E1 (Koordinatenform) und E2 (Koordinatenform): Je zwei entsprechende Spurgeraden
A2  B 2  C 2
schneiden 
Punkt P- Gerade g
 
 
Stelle eine Hilfsebene H : n  x  n  x P auf
und schneide die Gerade g mit H. Man erhält
und
S2

g
2.Mögl.:
Setze z.B. x1  t  x2 und x3  g
E1 (Parameterform) einsetzen in E2 (Koordi-
P0
natenform)  s  a  t  b  einsetzen in
E1
F
a
S1
3.Mögl.:
 d  PF
g
 
na
S
Ebene - Ebene
A  p1  B  p2  C  p3  D
den Lotfußpunkt F.


g in Parameterform
4. Mögl.:
  
a  n1  n 2 und S1  g
P
- 109 -
GEGENSEITIGE LAGE von Geraden
NORMIERUNG eines Vektors
windschief


a    b , d. h. verschiedene Richtungen
Wird ein Vektor durch seine Länge geteilt,
erhält man den entsprechenden Einheitsvek-
tor mit der Länge 1.
und kein Schnittpunkt
Dieser heißt normierter Vektor.
Schnitt


a    b , d. h. verschiedene Richtungen
LÄNGE
 a1 
  
a   a2 
a 
 3

a  a12  a2 2  a32
NORMIERT

a0 
VEKTOR
und ein Schnittpunkt existiert
parallel


a    b ,d. h. gleiche Richtung
und P1,2 liegt nicht auf g2,1 (Punktprobe)
identisch


a    b , d.h. gleiche Richtung
 a1 
 
  a2 
a12  a2 2  a32  
 a3 
1
PUNKTPROBE
und P1,2 liegt auf g2,1 (Punktprobe)
Beim Einsetzen eines Punktes P in eine Geradengleichung müssen sich 3 gleiche Parame-
SONSTIGE FORMELN
terwerte ergeben,, wenn P auf g liegen soll –
Flächen
sonst liegt P nicht auf g.
A  12  g  h
Sonderfall
 
A  12 | a  b | oder 12  a  b  sin 
 
A  | a  b | oder a  b  sin 
ATrapez 
ARaute 
BEWEGLICHER PUNKT
Liegt ein Punkt P auf einer Geraden g, so
ac
h
2
kann man die Koordinaten des Punktes mit
e f
ten darstellen.
Hilfe des Parameters t als variable Koordina-
2
BEISPIEL
2
3
  
 
g : x   5   t   1  
4
2
 
 
P  2  3t / 5  t / 4  2t 
AKreis    r 2 und U Kreis  2    r
Volumen
VPyramide  13 G  h oder
  
 13 | ( a  b )  c |
1   
 6 | ( a  b )  c | 
Spatvolumen
  
VSPAT  G  h oder | (a  b )  c |
- 110 -