Aufgaben für die ¨Ubung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14

Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
1
Aufgabe 1: Zeigen Sie durch vollst. Induktion die folgende Formel für die n-te Potenz der Matrix A:
1 1
2 1
1
1
n
1 n
3
3
3 −3
2
2
⇒ A = 2 1 + −2
A =
∀ n ≥ 0.
2
1 0
− 23
3
3
3
bzw.
A =
2
1

2 −2
1
A =  0
−1
2

1 −1
1
A =  0
0
0
2
⇒ An =
3

1
0 ⇒ An =
0

0
1 ⇒ An =
1
2 · 4n − 2
∀ n ≥ 0.
2 · 4n + 1


1 + n −2n
n
 0
1
0  ∀n ≥ 0
−n
2n 1 − n


1 −n − 21 n(n − 1)
 ∀n≥0
 0
1
n
0
0
1
1
3
4n + 2
4n − 1
Summeninduktionen:
Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Für alle n ∈ N gilt:
n
X
k (k − 1) =
1
3
(n − 1) n (n + 1)
k=1
bzw.:
n
X
k3 =
k=1
n
X
k=1
n2 (n + 1)2
;
4
n
X
(4k − 3) = n (2n − 1);
k=1
k2
n2 + 4n + 6
= 6−
;
k
2
2n
n
X
k
n+2
= 2− n ;
2k
2
k=1
n
X
k 2 2k = 2+(n−1)2 2n+1 −6;
k=1
n
X
n
X
(k + 1) 2k = n 2n+1 ;
k=1
(k + 1)2 · 2k−1 = (2+n2 )·2n −2.
k=1
Ableitungsinduktionen:
Zeigen Sie durch vollständige Induktion die folgende Formel für die n-Ableitung der Funktion f (x):
f (x) = x2 e2x ⇒
f (n) (x) = 2n 41 n (n − 1) + n x + x2 e2x ∀ n ≥ 0
bzw.:
f (x) = (x + x2 ) ex
⇒
f (n) (x) = n2 + (2n + 1) x + x2 ex
f (x) = x2 e−x
⇒
f (n) (x) = (−1)n
∀ n ≥ 0.
n(n − 1) − 2n x + x2 e−x ∀ n ≥ 0.
Gegeben zwei Vektoren u, v ∈ Rm , die senkrecht zueinander stehen, bilden wir die Matrix A := I+ uv> .
a) Für das Quadrat der Matrix A ergibt sich unter der Voraussetzung ‘u⊥v’ stets A2 = I + 2 uv> .
Zeigen Sie dies, indem Sie die die begonnene Rechnung zu Ende führen (mit Begründung):
>
>
A2 = I + (uv ) I + (uv )
= I 2 + (uv ) I + I(uv ) + (uv ) (uv )
>
>
>
>
= I + (uv ) + (uv ) + u ( v u ) v
>
>
>
>
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = I + 2 uv
>
b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass sich das Ergebnis von a) wie folgt auf eine beliebige
Potenz der Matrix A überträgt:
>
An = I + n uv
für alle n ∈ N0 .
Weitere: (sehr einfach, wenn man passende Sätze aus der Matrizenalgebra anwendet!)
a) Gegeben ist eine quadratische Matrix A ∈ Rm×m . Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die
Determinante der n-ten
Potenz von A gleich der n-ten Potenz der Determinante von A ist, d.h.:
n
∀ n ∈ N : det An = det(A)
(Folgern Sie: Wenn eine quadratische Matrix A singulär ist, dann ist auch jede Potenz An von A singulär.)
b) Gegeben ist eine reguläre Matrix A ∈ Rn×n . Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die Inverse
−1
n
der n-ten Potenz von A gleich der n-ten Potenz der Inversen von A ist, d.h.: ∀ n ∈ N : An
= A−1
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2
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte (ggf. mit der Regel von l’Hospital):
x2
x2
x2 x2
2x3 − x2 und lim
.
a) lim
−
−
+
x→∞ 2 + x
x→∞ 2 + x
2−x
2−x
4 − x2
x2 + x ex + e3x /x
x2 + x ex + e3x /x
b) lim 2
und
lim
.
x→+∞ x + e2x + e4x /x2
x→−∞ x2 + e2x + e4x /x2
er T − (1 + r)T −1
r→0
r
c) lim
und
er T − (1 + r)T
r→0
r2
lim
in Abhängigkeit vom Parameter T > 1.
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte (ggf. mit der Regel von l’Hospital):
1 + x2 a) lim 1 − x −
x→∞
1−x
x/2
xe
− x1 e−x/2
x ex/2 − x1 e−x/2
b) lim x
und
lim
x→+∞ e − x ex/2 + e−x/2
x→−∞ ex − x ex/2 + e−x/2
n−1
n − n (1 + r)
1 + nr − (1 + r)n
, wobei jeweils n > 1 ein fester Parameter ist.
c) lim
und lim
r→0
r→0
2r
r2
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte (ggf. mit der Regel von l’Hospital):
x2
x3 a) lim 2x +
+
x→∞
1 − x 1 − x2
1 + x3 ex + x2 e2x
1 + x3 ex + x2 e2x
b) lim
und
lim
x→+∞ 1 + e4x + x e3x
x→−∞ 1 + e4x + x e3x
3
(1 + x) 23 − 1 (1 + x) 2 − 1
und lim exp
c) lim
x→0
x→0
x
x
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte (ggf. mit der Regel von l’Hospital):
3x3
x2 +
2
x→∞ 1 − 9x
1 + 3x
5
4
1 + x + x · ex
1 + x5 + x2 · ex
1 + x5 + x2 · ex
b) lim
, lim
und lim
.
3
2
x
3
2
x
x→∞ 1 + x + x · e
x→∞ 1 + x + x · e
x→∞ 1 + x3 + x · e2x
ax − 1
ax − 1
und lim
bei gegebenem Parameter a > 0.
c) lim
x→0
x→0
x
a
an
Wir sagen, eine Folge bn dominiert die Folge an (für n → ∞), wenn lim
= 0.
n→∞ bn
a) lim
a) Angenommen, cn dominiert bn und bn dominiert an für n → ∞.
Wie beweist man, dass die Folge cn die Folge an dominiert? (Korrektes ohne Begründung ankreuzen)
Indem man
Indem man
an
bn
an
cn
mit cn erweitert
mit bn erweitert
Indem man
Indem man
bn
cn
cn
an
mit an erweitert
mit bn erweitert
b) Gegeben sind die acht Folgen:
an = 1, bn = n5 , cn = n4 · 2n , dn = n3 · 3n , en = 4n , fn = n · 3n , gn = n2 · 2n , hn = n3
Welche ist die für n → ∞ dominanteste, zweit-dominanteste usw. dieser Folgen? (ohne Begründung)
c) Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
1 + n2 · 2n
,
n→∞ 1 + n4 · 2n
lim
1 + n3 · 3n + n2 · 2n
,
n→∞ 1 + n · 3n + n4 · 2n
lim
1 + n5 + n2 · 2n
,
n→∞ 1 + n3 + n2 · 2n
lim
1 + (n3 + n) · 3n
.
n→∞ 1 + 4n + n2 · 2n
lim
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3
Aufgabe 3:
a) Lösen Sie folgende Gleichung (bei gegebenen A, B, r1 , r2 , s und t1 ) nach t auf:
A er1 t1 er2 (t−t1 ) = B es t .
Zeigen Sie, dass man die Lösung in der folgenden Form schreiben kann:
t =
ln(A/B) + (r1 − r2 ) t1
.
s − r2
b) Das Land A hat im Jahr 0 ein fünfmal so großes BIP wie Land B. Das BIP von Land A wächst in
der Folgezeit zunächst 10 Jahre lang um 4% p.a. und dann nur noch um 2% p.a., während das Land
B ein dauerhaftes Wirtschaftswachstum von 8% p.a. hat (es wird stetiges Wachstum unterstellt).
Wann erreicht das BIP von Land B dasjenige von Land A?
(Hinweis: ln(5) ≈ 1.6)
a) Lösen Sie die folgende Gleichung nach reff auf (bei gegebenem n, n0 , r0 , r1 ):
(1 + r0 )n0 (1 + r1 )n−n0 = (1 + reff )n .
b) Für eine 10-jährige Kapitalanlage werden folgende Verzinsungsmodelle angeboten:
(1) 2 Jahre mit 10% und 8 Jahre mit 3.5%;
(2) 5 Jahre mit 7% und 5 Jahre mit 3.5%;
(3) 4 Jahre mit 8% und 6 Jahre mit 3%;
(4) 10 Jahre mit 5%.
Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeitsreihenfolge der Anlagen.
a) Lösen Sie die folgenden drei Gleichungen jeweils nach r auf (bei gegebenem n, reff , m, r0 , n0 ):
r n·m
= (1+reff )n ; (3) : (1+r0 )n0 (1+r)n−n0 = (1+reff )n .
(1) : er n = (1+reff )n ; (2) : 1+ m
[Zur Kontrolle: Lösung von
(1) : r = ln(1 + reff );
1
(2) : r = m · (1 + reff ) m − 1 ;
n0
n
(3) : r = (1 + reff ) n−n0 (1 + r0 ) n−n0 − 1.]
b) Für eine 10-jährige Kapitalanlage soll eine effektive Verzinsung von reff = 8% p.a. erreicht werden.
Bestimmen Sie den anzusetzenden jährlichen Zinssatz r bei
i) stetiger Verzinsung;
ii) monatlicher Zinszahlung;
iii) vierteljähriger Zinszahlung;
iv) ganzjähriger Zinszahlung, zunächst 2 Jahre lang mit r0 = 10%, dann 8 Jahre lang mit r.
a) Lösen Sie die folgenden drei Gleichungen jeweils nach reff auf (bei gegebenem n, r, m, r0 , r1 , n0 ):
r n·m
(1) : er n = (1+reff )n ; (2) : 1+
= (1+reff )n ; (3) : (1+r0 )n0 (1+r1 )n−n0 = (1+reff )n .
m
b) Für eine 10-jährige Kapitalanlage werden folgende Verzinsungsmodelle angeboten:
(i) stetig mit 8% Verzinsung;
(ii) monatlich mit 8.05% Verzinsung;
(iii) vierteljährig mit 8.1% Verzinsung;
(iv) zunächst drei Jahre lang ganzjährig mit 9%, dann sieben Jahre lang mit 8% Verzinsung;
(v) ganzjährig mit 8.3% Verzinsung.
Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeitsreihenfolge der Anlagen.
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4
Aufgabe 3 ( Elastizitätsvariante“):
”
Es sollen verschiedene Szenarien zum Einfluss des Einkommens auf die Konsumausgaben modelliert
werden:
1: Mit einer Erhöhung des Einkommens um 1 Tsd. Euro steigt der Konsum um 0.7 Tsd. Euro.
2: Mit einer Erhöhung des Einkommens um 1% steigt der Konsum um 0.7%.
3: Mit einer Erhöhung des Einkommens um 10% steigt der Konsum um 7 Tsd. Euro.
4: Mit einer Erhöhung des Einkommens um 100 Euro steigt der Konsum um 7%.
5: Mit einer Erhöhung des Einkommens um 2% steigt der Konsum um 14% Prozent.
6: Mit einer Erhöhung des Einkommens um 20 Euro steigt der Konsum um 14 Euro.
In der folgenden Tabelle finden Sie Modelle zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Einkommen
x = I und Konsum y = C(I), wobei sowohl Einkommen als auch Konsum in Einheiten von Tsd. Euro
gemessen werden. (a, b, c, d sind Konstanten).
a) C(I) = 0.7 I + a b) C(I) = 0.7 ln(I) + b c) C(I) = c e0.7 I
d) C(I) = d I 0.7
e) C(I) = 7.0 I + a f) C(I) = 7.0 ln(I) + b g) C(I) = c e7 I
h) C(I) = d I 7
i) C(I) = 70 I + a j) C(I) = 70 ln(I) + b k) C(I) = c e70 I l) C(I) = d I 70
Welche der Funktionen aus der Tabelle beschreibt jeweils das Szenario am besten?
Notieren Sie hinter der Nummer des Szenarios den Buchstaben der Funktion:
Szenario 1 ⇐⇒ Konsumfunktion . . .
Szenario 2 ⇐⇒ Konsumfunktion . . .
Szenario 3 ⇐⇒ Konsumfunktion . . .
Szenario 4 ⇐⇒ Konsumfunktion . . .
Szenario 5 ⇐⇒ Konsumfunktion . . .
Szenario 6 ⇐⇒ Konsumfunktion . . .
Die Konstanten a, b, c, d haben jeweils eine Bedeutung der Art Konsum bei einem Einkommen von x
”
Tsd. Euro “. Geben Sie ihre jeweilige Bedeutung an:
a = Konsum bei einem Einkommen von . . .
b = Konsum bei einem Einkommen von . . .
c = Konsum bei einem Einkommen von . . .
d = Konsum bei einem Einkommen von . . .
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5
Aufgabe 4: Herr Meyer nimmt einen Kredit in Höhe von S0 = 100 000 Euro auf, den er mit jährlichen
Zahlungen in Höhe von c = 9 600 Euro (zahlbar jeweils am Jahresende) tilgt. Der Kreditgeber verlangt
einen Zins von r = 4.8% p.a. auf die jeweils noch verbleibende Restschuld.
a) Es bezeichne Sn die nach n Jahren verbleibende Restschuld. Begründen Sie, dass
c
Sn = (1 + r)n S0 − (1 + r)n − 1)
.
r
Hinweis: Sn ergibt sich aus der aufgezinsten Initial-Schuld abzüglich dem Endwert der Tilgungen.
b) Wie groß ist die Restschuld nach 10 Jahren?
c) Wie lange dauert es, bis der Kredit vollständig getilgt ist?
d) Wie hoch müsste der jährliche Abtrag sein, damit der Kredit nach 10 Jahren vollständig getilgt ist?
[Hinweise: 1.04810 ≈ 1.6, ln(2) ≈ 0.69, ln(1.048) ≈ 0.046 ]
Ein Unternehmen hat im Jahr 0 einen CO2 -Ausstoß von 500 000 Tonnen und reduziert ihn jedes Jahr um
5%.
a) Begründen Sie, dass der über n Jahre aggregierte CO2 -Ausstoß An eines Unternehmens mit einer
Emission von a im Jahr 0 und konstanter Reduktionsrate r gegeben ist durch
An =
a
1 − (1 − r)n .
r
b) Wieviel CO2 hat das Unternehmen nach 10 Jahren insgesamt emittiert?
c) Wie groß ist auf Dauer die gesamte CO2 -Emission des Unternehmens?
d) Wann hat das Unternehmen insgesamt 7 500 000 Tonnen CO2 ausgestoßen?
[Hinweise: 0.9510 ≈ 0.6, ln(0.25) ≈ −1.35, ln(0.95) ≈ −0.05 ]
Eine Wohnung, die 25 Jahre lang Mieteinahmen von 12 · 600 Euro = 7200 Euro pro Jahr erwirtschaftet
und dann wertlos ist, kann zum Preis von 120 000 Euro erworben werden. Die Alternativanlage am
Kapitalmarkt hat einen Zins von 4% p.a. bei nachschüssiger jährlicher Verzinsung.
a) Wie groß ist der Barwert der Mieteinnahmen? Ist es ökonomisch sinnvoll, die Wohnung zu erwerben?
b) Wie groß müsste die monatl. Miete sein, damit sich die Wohnung in 25 Jahren amortisiert?
c) Wie lange dauert es bei einer monatl. Miete von 600 Euro bis sich die Wohnung amortisiert?
[Hinweise: 1.04−25 ≈ 0.375 = 38 , ln( 13 ) ≈ −1.1, ln(1.04) ≈ 0.04. ]
Ein Unternehmen kann in ein Projekt investieren, das in den nächsten 10 Jahren einen monatlichen Cash
Flow von 5 000 Euro erwirtschaftet. Dazu wäre jetzt eine Investition von 500 000 Euro zu tätigen. Die
Kapitalkosten (Zinssatz für Anleihen am Kapitalmarkt) betragen 6% pro Jahr bei unterjähriger monatlicher Verzinsung (d.h. r = 6/12 % = 0.005 pro Monat.)
a) Sollte das Unternehmen das Projekt durchführen?
b) Bei welchem monatlichen Cash Flow hätte das Projekt einen Barwert von 500 000 Euro?
c) Wie lange müsste ein monatlicher Cash Flow von 5 000 Euro laufen, damit sein Barwert gerade 500 000
Euro beträgt?
[Hinweise: 1.005−120 ≈ 0.55, ln(0.5) ≈ −0.7, ln(1.005) ≈ 0.005 .]
Herr Meyer hat im Lotto einen Betrag von K0 = 50 000 Euro gewonnen, den er mit einem Zinssatz von 3%
p.a. anlegt, wobei unterjährige monatliche Verzinsung angewandt wird (d.h. r = 3/12% = 0.25% = 0.0025
pro Monat). Beginnend mit dem ersten Monat nach dem Gewinn entnimmt Herr Meyer dem angelegten
Kapital monatlich eine Rente von c = 375 Euro.
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6
a) Es bezeichne Kn das nach n Monaten verbleibende Guthaben. Begründen Sie, dass
c
Kn = (1 + r)n K0 − (1 + r)n − 1
r
Hinweis: Kn ergibt sich aus dem verzinsten Startguthaben abzüglich dem Endwert der Entnahmen.
b) Wie hoch ist das verbleibende Guthaben nach sechs Jahren (d.h. nach n = 6 · 12 Monaten)?
c) Wie lange dauert es, bis der Gewinn vollständig aufgebraucht ist?
d) Welchen monatliche Rente könnte Herr Meyer entnehmen, wenn er den Lottogewinn nach genau
sechs Jahren aufgebraucht haben will?
[Hinweise: 1.002572 ≈ 1.2, ln(1.5) ≈ 0.405, ln(1.0025) ≈ 0.0025 .]
Ein Unternehmen kann in eine Produktionsanlage investieren, die in den nächsten 10 Jahren einen monatlichen Cash Flow von c = 2 000 Euro erwirtschaftet und dann einen Wiederverkaufswert von W = 70 000
Euro hat. Dazu wäre jetzt eine Investition von I = 200 000 Euro zu tätigen. Die Kapitalkosten (Zinssatz
für Anleihen am Kapitalmarkt) betragen 6% pro Jahr bei unterjähriger monatlicher Verzinsung (d.h.
r = 6/12 % = 0.005 pro Monat.)
Der Barwert der Cash-Flows (einschließlich Erlös aus Wiederverkauf) ist hier durch
c
1
1
W
+
V = 1−
n
(1 + r) r
(1 + r)n
gegeben, wobei n die Zahl der Monate bis zum Wiederverkauf bezeichnet.
a) Sollte das Unternehmen die Produktionsanlage finanzieren?
b) Wie hoch müsste der monatliche Cash Flow sein, damit die Anlage einen Barwert von 200 000 Euro
hat? (Annahme: Der Wiederverkaufswert hängt nicht vom erzeugten Cash Flow ab.)
c) Wie lange müsste die Anlage einen Cash Flow von 2 000 Euro generieren, damit ihr Barwert gerade
200 000 Euro beträgt? (Annahme: Der Wiederverkaufswert hängt nicht von der Betriebsdauer ab.)
[Hinweise: 1.005−120 ≈ 0.55, ln(1.65) ≈ 0.5, ln(1.005) ≈ 0.005 .]
Am Ende jedes Monats werden 1 600 Euro auf ein Konto eingezahlt. Die Zinsen werden jeweils am
Monatsende gutgeschrieben. Die Verzinsung beträgt 4.8% pro Jahr (d.h. 0.4% = 0.004 pro Monat).
a) Wie hoch ist das Guthaben am Ende des sechsten Jahres?
Wie hoch ist der Barwert dieser Zahlungen?
Wie hoch ist die Summe der geleisteten Zahlungen?
b) Nach wie vielen Monaten ist ein Guthaben von 60 000 Euro erreicht?
[Hinweise: 1.00472 ≈ 1.33 ≈ 43 , ln(1.15) ≈ 0.14, ln(1.004) ≈ 0.004. ]
Ein Unternehmen kann in ein Projekt investieren, das in den nächsten 10 Jahren einen monatlichen Cash
Flow von 5 000 Euro erwirtschaftet. Dazu wäre jetzt eine Investition von 500 000 Euro zu tätigen. Die
Kapitalkosten (Zinssatz für Kredite am Kapitalmarkt) betragen 6% pro Jahr bei unterjähriger monatlicher Verzinsung (d.h. r = 6/12 % = 0.005 pro Monat.)
a) Ist es ökonomisch sinnvoll für das Unternehmen, das Projekt durchzuführen?
b) Bei welchem monatlichen Cash Flow hätte das Projekt einen Barwert von 500 000 Euro?
c) Wie lange müsste ein monatlicher Cash Flow von 5 000 Euro laufen, damit sein Barwert gerade 500 000
Euro beträgt?
[Hinweise: 1.005−120 ≈ 0.55, ln(0.5) ≈ −0.7, ln(1.005) ≈ 0.005 .]
Ein Unternehmen kann in ein Projekt investieren, das ihm für 6 Jahre einen monatlichen Cash Flow von
1 500 e verspricht. Dazu wäre heute eine Investition in Höhe von 100 000 e erforderlich. Der Zinssatz am
Kapitalmarkt beträgt 6% pro Jahr bei unterjähriger monatlicher Verzinsung (d.h. r = 6/12 % = 0.005
pro Monat.)
a) Sollte das Unternehmen in das Projekt investieren?
b) Wie hoch müsste der monatl. Cash Flow in den 6 Jahren sein, damit sein Barwert 100 000 e beträgt?
c) Wie lange müsste ein monatl. Cash Flow von 1500 Euro fließen, damit sein Barwert 100 000 e beträgt?
[Hinweise: 1.005−72 ≈ 0.7, ln( 32 ) ≈ −0.405, ln(1.005) ≈ 0.005. ]
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Aufgabe 5: Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x =
D(p) = 900/(p + 1)2 gegeben. Die Produktionskosten K bei der Hergestellungsmenge x sind K(x) = 10 +
3
1
10 x 2 +2 x 2 . Bei welchem Preis p0 bzw. Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal? (Voraussetzung:
hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Liegt die gewinnoptimale Ausbringungsmenge im Bereich fallender oder steigender Grenzkosten?
18 2
Für ein Produkt ist die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) = p+1
√
gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind K(x) = 10 + 6 x. Bei welchem Preis p0
bzw. welcher Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal?
(Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Welche Situation hat man hier in Bezug auf die Grenzkosten GK als Funktion von x? (mit Begründung)
durchwegs steigende GK;
durchwegs fallende GK;
zunächst fallende, dann steigende GK.
900
Für ein Produkt ist die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) = p−19
√
(für p > 19) gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind K(x) = 400 + 20x − 20 x. Bei
welchem Preis p0 bzw. welcher Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal?
(Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Welche Situation hat man hier in Bezug auf die Grenzkosten GK als Funktion von x? (mit Begründung)
durchwegs steigende GK;
durchwegs fallende GK;
zunächst fallende, dann steigende GK.
Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) = 48−2 p
1 3
(für p < 24) gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind K(x) = 4x + 30
x . Bei welchem
Preis p0 bzw. Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal?
(Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Hat man bei dieser Kostenfunktion fallende oder steigende Grenzkosten?
Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) = p8 − 1
1
1
(p < 8) gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x betragen K(x) = 10
x + 120
(x + 1)3 . Bei
welchem Preis p0 bzw. Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal?
(Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
(x+1)2
8
1
2
0
[Zur Kontrolle: G0 (x) = (x+1)
2 − 10 −
40 ; Substituieren Sie z = (x + 1) zur Lösung von G (x) = 0.]
Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) =
120 2
p+3
3
gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind K(x) = 51 x 2 . Bei welchem Preis p0 bzw.
Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal?
(Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Hat man bei der vorliegenden Kostenfunktion
fallende oder steigende Grenzkosten?
√
√
3 x
60
[Zur Kontrolle: G0 (x) = √
−
3
−
.
Hinweis:
Substituieren Sie z = x zur Lösung von G0 (x) = 0.]
10
x
Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) =
64/(p − 7) gegeben. Die Kosten K bei der Herstellungsmenge x sind K(x) = 6 + 10 x − 9 x2/3 . Bei
welchem Preis p0 bzw. Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal?
(Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Hat man bei der gegebenen Kostenfunktion steigende oder fallende Grenzkosten?
Für ein Produkt sei die Nachfragemenge x in Abhängigkeit vom Verkaufspreis p durch x = D(p) = e6−0.5 p
gegeben. Die Produktionskosten K bei der Hergestellungsmenge x sind K(x) = 50 + x. Bei welchem Preis
p0 bzw. Herstellungsmenge x0 wird der Gewinn maximal?
(Voraussetzung: hergestellte Menge = nachgefragte Menge).
Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
8
1
2
Aufgabe 6: Gegeben ist die vom Parameter a ∈ R abhängige Funktion f (x) = e− 2 x
a) Zeigen Sie:
1
2
f 0 (x) = (a − x) e− 2 x
+ax
+ax
.
1 2
f 00 (x) = (a − x)2 − 1 e− 2 x +ax .
,
b) Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen die Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist. Welche
Extremstellen hat diese Funktion?
c) Bestimmen Sie die Bereiche, auf denen die Funktion konvex bzw. konkav ist.
Gleiche Aufgabenstellung mit:
⇒ f 0 (x)
f (x)
⇒ f 00 (x)
ex
2 + ex
2 ex
(2 +
(x2 − 4x) ex
(x2 − 2x − 4) ex
ln(1 + x2 ) − a x (a > 0)
2x
−a
1 + x2
(1 + x2 )
ln(ex + 2 e−x )
ex − 2 e−x
ex + 2 e−x
(ex
ln2 (x) − ln(x2 ) + 1
2
x
3
2 ex (2 − ex )
2
ex )
3
(2 + ex )
(x2 − 6) ex
2 − 2x2
2
8
ln(x) − 1
x
1 − 2x2
2
+ 2 e−x )
2 − ln(x)
x2
6x3 − 9x
2
5
7
(1 + x2 ) 2
(1 + x2 ) 2
(1 + x2 ) 2
x ln(x2 + 1)
2 x2
+ ln(x2 + 1)
x2 + 1
6x + 2x3
(x2 + 1)2
ex − e−x
√
2 ex + e−x
(ex + e−x )2 + 4
√
3
4 ex + e−x
√
ex + e−x .
2
1
1
x e− 2 x .
1
2x3 − 6x
2
3
(1 + x2 )
2
2
(x3 − 3x) e− 2 x
1 − x2
x
.
1 + x2
1
2
(1 − x2 ) e− 2 x
(1 + x2 )
1
2
1
2
x3 e− 2 x
(3 x2 − x4 ) e− 2 x
x (6 − 7x2 + x4 ) e− 2 x
p
3
(x − 1)2 + 3
2
x−1
,
3 (x − 1)2 + 3 32
2 9 − (x − 1)2
9 (x − 1)2 + 3 35
x2 + 9 ln(1 + x2 )
2 x3 + 20 x
1 + x2
2 x4 − 14 x2 + 20
1
2
(x2 + 2) e− 2 x
1
2
−x3 e− 2 x ,
2
(1 + x2 )
1
2
(x4 − 3 x2 ) e− 2 x
Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
9
Aufgabe 7 (Thema: Integralrechnung, Konsumenten- und Produzentenrente):
Für ein Produkt seien Angebots- und Nachfragefunktion durch S(p) = ln(3p + 1), D(p) = ln(12/(p + 2))
gegeben.
a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis p∗ und die Gleichgewichtsmenge x∗ des Marktes.
Zur Kontrolle: p∗ = 1, x∗ = ln(4).
b) Bestimmen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente
des Marktes.
Zur Kontrolle: pD (x) = 12 · e−x − 2, pS (x) = 31 ex − 1 .
Gleiche Aufgabenstellung mit:
S(p)
D(p)
⇒ (p∗ , x∗ ) =
⇒ pS (x) =
10 p − 10
60
p
(2, 10)
1+
8 p3/2
8 p−3
(1, 8)
1
4
30p
4+p
40
p
(2, 10)
4x
30−x
5 (p − 1)
200
p
(5, 20)
,
4 (p − 2)2
√
8 p
(48/p)2
(6, 64)
1√
2 x
256
p2
(4, 16)
1
64
8 p3/2
8 p−3
(1, 8)
1
4
40 p
2+p
50
p
(2, 20)
2x
40−x
− 20
− 10
− 20
−5
1
10
⇒ pD (x) =
60
x+20
x,
2x−1/3
x2/3 ,
=
120
30−x
− 4,
√
48/ x
+ 2,
16
√
x
x2 ,
2x−1/3
x2/3 ,
=
40
x+10
80
40−x
− 2,
50
x+5
Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
10
Aufgabe 8 (Thema: Matrizenalgebra):
Eine Schreinerei erhält den Auftrag zur Fertigung von 50 Türen (T) und 75 Fenstern (F). Dazu müssen
zunächst Holzrahmen (HR), Glasscheiben (GS) und Metallbeschläge (MB) gefertigt werden und dann
zusammenmontiert werden. Das erfolgt durch zwei Abteilungen, wobei ein Bestandteil i.d.R. beide Abteilungen durchlaufen muss. Die benötige Zahl an Arbeitsstunden (AS) zur Fertigung eines Bestandteils
und zur Montage sowie die Zahl der benötigten Bestandteile pro Tür bzw. Fenster sind dem folgenden
Diagramm zu entnehmen:
Türen
HR
2T
0.5
AS1
F
HolzRahmen
0.5
2
AS1
T
HR
1F
4 MB
T
GS
T
3 MB
F
3 GS
F
GlasScheiben
AS1
AS1
1.5
AS2
F
MetallBeschläge
Abteilung 1
1
AS2
T
1.5 AS2
MB
2 AS2
GS
1 GS
3 HR
Fenster
Abteilung 2
Wieviel Arbeitsstunden der Abteilung 1 bzw. 2 werden insgesamt benötigt?
Die Matrix A ∈ R4×4 sei darstellbar als A = L L>

1
1

L = 
1
1
mit
0
1
0
1
0
0
1
1

0
0
 .
0
1
a) Bestimmen Sie L−1 .
−1
b) Wie lautet (L> ) ?
−1
c) Bestimmen Sie A−1 aus L−1 und (L> ) .
Die Matrix A ∈ Rn×n sei darstellbar als A = L L> mit einer regulären Matrix L ∈ Rn×n .
2
a) Zeigen Sie: det(A) = det(L) .
> −1
b) Zeigen Sie: A ist regulär 
mit A−1 = L−1 L
 .
2 0 0 0
 −2 1 0 0 

c) Es sei nun speziell L = 
 2 −1 1 0 .
−2 1 −1 1
Bestimmen Sie det(A) und die Matrix A−1 unter Verwendung der Ergebnisse von a) und b).
Die Matrix A ∈ Rn×n sei darstellbar als A = U B mit



1
1
1
1
1

 −1
1 
1  1 −1 −1
, B = 
U = 2
 0
1 −1
1 −1 
1
1 −1 −1
0
0
0
1
0
0 −1
0
0

0
0 

1 
1
a) Verifizieren Sie, dass U eine orthogonale Matrix ist. Wie lautet daher U −1 ?
b) Zeigen Sie allgemein: Wenn sich A als A = U B mit orthogonalem U und regulärem B darstellen
lässt, dann ist A−1 = B −1 U >.
c) Bestimmen Sie im konkreten Fall die Matrix B −1 .
d) Bestimmen Sie im konkreten Fall die Matrix A−1 mittels der Ergebnisse von b) und c).
Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
11
Aufgabe 9 (Thema: Lineare Gleichungssysteme (teilweise: Determinanten)):
Eine Volkswirtschaft wird im Rahmen einer Input-Output-Analyse in drei Sektoren unterteilt, die jeweils
ein Gut produzieren. In der folgenden Matrix A gibt der Eintrag ai,j an, wieviel Einheiten von Gut i zur
Produktion einer Einheit von Gut j direkt benötigt werden:


0.4 0.2 0.4
A =  0.1 0.3 0.1  .
0.2 0.1 0.2


x 0.8 1.2
a) Die Matrix (I − A)−1 hat folgende Struktur: (I − A)−1 =  0.4 1.6 0.4  .
0.6 0.4 1.6
Bestimmen Sie den fehlenden Eintrag x.
b) Welche Produktion x = (x1 , x2 , x3 )> muss man ansetzen, um den Konsum
zu befriedigen?
y = (20, 50, 30)>
c) Um wieviel Einheiten muss die Produktion von Gut 3 effektiv erhöht werden, wenn die Nachfrage
nach Gut 2 um eine Einheit steigt? Wieviel davon entsteht aus dem direkten Bedarf an Sektor 3,
den Sektor 2 zur Produktion einer Einheit seines Gutes hat?
Gegeben sind die Matrizen




 
0 1 2 2
x 2 0 1
2
 2 0 1 2 




1
x
2
0
1 


 3 
A = 
 2 2 0 1 , X = 5  0 1 x 2 , b =  2 .
1 2 2 0
2 0 1 x
3
a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b durch Gauß-Elimination.
Wie lauten rang(A) und det(A)?
b) Bei geeigneter Wahl von x gilt A−1 = X. Bestimmen Sie x.
Lösen Sie dann das lineare Gleichungssystem Ax = b unter Verwendung von A−1 .
Gegeben sind die Matrizen bzw. Vektoren


1
1 −1
0
2
 −1
2 −1
0 
,
A = 
 0 −1
2 −1 
1
0 −1
1
2

4
 2
X = 
 0
−2
2
2
y
0

0 −2
x 0 
,
2 2 
2 4

0
 0 

b = 
 1 .
0

a) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b durch Gauß-Elimination.
Bestimmen Sie dabei auch rang(A) und det(A).
b) Die Inverse der Matrix A hat die Struktur der Matrix X. Bestimmen Sie x und y.
c) Ist die Matrix A positiv definit?
d) Angenommen, wir finden eine Matrix B mit B >B = A. Welche Werte kann dann det(B) annehmen?

0
1
 1 −1
Gegeben ist die Matrix A = 
 2
1
1
0
a)
b)
c)
d)
2
1
0
1

1
0 
.
1 
1


1 −1
1 −2 
. Bestimmen Sie x und y.
Die Inverse von A hat folgende Struktur: A−1
0
x 


x
y
2
 −1 

Lösen Sie mit Hilfe des Ergebnisses von a) das lineare Gl.System Ax = b mit b = 
 0 .
1
Bestimmen Sie die Determinante von A durch eine Laplace-Entwicklung nach der 4. Zeile von A.
Ermitteln Sie die folgenden Determinanten: det(−A) , det(A2 ) , det(A−1 ) , det 12 (A + A>) .
0
1
 1
0
1 
= 2
1
1
−1 −2
Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
12
Aufgabe 10 (Thema: Determinanten):
Gegeben ist die Matrix

x
 2
A = 
 0
0
2
x
3
0

0 0
3 0 
.
x 2 
2 x
a) Zeigen Sie: det(A) = x4 − 17x2 + 16
b) Bestimmen Sie alle x ∈ R, für die A singulär wird.
c) Für welche x ∈ R ist A positiv definit?
(Hinweis: x4 − 17 x2 + 16 = (x2 − 16) (x2 − 1).)
Gleiche Aufgabenstellung mit:
A

x
 1

 1
0

1
 1

 0
0

x
 1

 0
0

x
 2

 0
0

1
 x

 0
0

4
 1

 1
1

1
 x

 0
0
det(A)
Faktorisierung
x4 − 4 x2
x2 (x2 − 4)
3x2 − 8x + 4
(3x − 2)(x − 2)
3 x2 − 4x + 1
(x − 1) (3x − 1)
x4 − 17x2 + 16
(x2 − 16) (x2 − 1)
x4 − 5 x2 + 4
(x2 − 1) (x2 − 4)
4 x3 − 3 x2
x2 (4x − 3)
3 − 4x2 + x4
(x2 − 1)(x2 − 3)

1 1 0
x 0 1 

0 x 1 
1 1 x

1 0 0
x 1 0 

1 3 2 
0 2 x

1 0 0
2 1 0 

1 2 1 
0 1 x

2 0 0
x 3 0 

3 x 2 
0 2 x

x 0 0
2 x 0 

x 2 x 
0 x 1

1 1 1
x 0 0 

0 x 0 
0 0 x

x 0 0
2 1 0 

1 2 x 
0 x 1
Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
13
Aufgabe 11 (Thema: Mehrdimensionale Differentialrechnung, unrestringierte Optimierung):
Ein Unternehmen kann bei zwei Produkten, die es in den Mengen x1 bzw. x2 herstellt, die Preise p1
bzw. p2 festlegen. Die nachgefragten Mengen x1 bzw. x2 bei Preisen p1 bzw. p2 sind durch x1 = 8 − p1 ,
x2 = 8 − 2p2 gegeben. Die Produktionskosten betragen K(x1 , x2 ) = 2 x12 + 21 x22 − 2 x1 x2 .
a) Begründen Sie, dass sich der Gewinn G als Fkt. der Produktionsmengen x1 , x2 wie folgt ermittelt:
G(x1 , x2 ) = 8 x1 + 4 x2 − 3 x12 − x22 + 2 x1 x2
Hinweis: Mit den Preis-Absatz-Fktnen p1 (x1 ) bzw. p2 (x2 ) gilt G = x1 p1 (x1 )+x2 p2 (x2 )−K(x1 , x2 ).
b) Zeigen Sie, dass die Hesse-Matrix der Funktion G(x1 , x2 ) gegeben ist durch
−6
2
HG =
2 −2
Folgern Sie, dass G(x1 , x2 ) eine konkave Funktion auf R2 ist.
c) Bestimmen Sie die Produktionsmengen x1 , x2 , die das (unrestringierte) Maximum des Gewinns
realisieren. Welche Preise wird das Unternehmen festlegen, um seinen Gewinn zu maximieren?
Gegeben ist die Funktion f (x, y) = x y 3 − x2 y + x − 2y . Zeigen Sie:
3
y − 2xy + 1
a) Der Gradient der Funktion lautet: gradf (x, y) =
3 y 2 x − x2 − 2
−2y
3y 2 − 2x
b) Die Hessematrix der Funktion lautet: Hf (x, y) =
.
3y 2 − 2x
6xy
c) Die Funktion hat in (x, y) = (1, 1) einen stationären Punkt (d.h. gradf (1, 1) = 0), der jedoch kein
lokales Extremum (sondern ein Sattelpunkt) ist.
Gegeben ist die Funktion f (x, y) =
x
. Zeigen Sie:
y
a) Der Gradient der Funktion lautet: gradf (x, y) =
1
b) Die Hessematrix der Funktion lautet: Hf (x, y) = 2
y
1 y
− yx2
0 −1
.
−1 2x
y
c) Die Funktion ist nirgendwo konvex oder konkav.
1
2
Gegeben ist die Funktion f (x, y) = e 2 (x
+y 2 )
. Zeigen Sie:
a) Die Hessematrix der Funktion lautet: Hf (x, y) = e
2
2
1
2 (x +y )
1 + x2
xy
xy
.
1 + y2
2
2
b) Die Determinante der Hessematrix lautet: det Hf (x, y) = ex +y (1 + x2 + y 2 ).
c) f ist eine konvexe Funktion auf R2 .
Gegeben ist die Funktion f (x, y) = ln(x + 2y) . Zeigen Sie:
1 a) Der Gradient der Funktion lautet: gradf (x, y) = x+2y
2
x+2y
2
.
4
1
1
(1, 2)
c) Die Hessematrix lässt sich auch darstellen als: Hf (x, y) = −
(x + 2y)2 2
b) Die Hessematrix der Funktion lautet: Hf (x, y) = −
1
(x + 2y)2
1
2
d) f ist eine konkave Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich
Hinweis: Eine Matrix A ∈ Rn×n , die sich als A = −B > B mit B ∈ Rm×n darstellen lässt, ist negativ
semi-definit (denn für alle x ∈ Rn gilt: x> Ax = −x> B > Bx = −(Bx)> (Bx) = −|Bx|2 ≤ 0).
Aufgaben für die Übung in der letzen Vorlesungswoche, WS 13/14
14
Aufgabe 12 (Thema: Lagrange-Methode)
Behandeln Sie das folgende Problem mit der Lagrange-Methode:
max / min f (x, y, z) := x2 + z 2 + y (x + z) − 6x − 2z u.d. Nbd. g(x, y, z) := x − 2y + z = 0
Hinweis zur Lösung des entstehenden LGS: Unten finden Sie die Inverse der Koeffizientenmatrix.
Gleiche Aufgabenstellung:
max / min f (x, y, z) := (x−1) (y−1)+(x−2) (z−2)+(y−3)(z−3)
max / min f (x, y, z) := x2 + y 2 + z 2 + yx + yz + y
max / min f (x, y, z) := x2 +
1
2
u.d. Nbd.
u.d. Nbd.
g(x, y, z) := x+y+z = 3
g(x, y, z) := x + y + z = 3
z 2 + y x + y z − 7x − y − 4z u.d. Nbd. g(x, y, z) := x − 2y + z = −1
Tabelle einiger 4 × 4 Matrix-Inversen:
A−1
A

0
 1

 −2
1

0
 1

 −2
1

0
 1

 −2
1

0
 1

 −1
1

0
 1

 1
0

0
 1

 1
1

0
 1

 1
1

0
 1

 1
1

0
 1

 1
1
1
2
1
0
−2
1
0
1
1
2
1
0
−2
1
0
1
1
1
1
0
−2
1
0
1
1 −1
2
1
1
0
0
1
1
2
1
0
1
1
1
1
1
2
1
0
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1

1
0 

1 
2

1
0 

1 
1

1
0 

1 
1

1
0 

1 
1

0
0 

1 
2

1
0 

1 
2

1
1 

1 
2

1
0 

0 
1

1
1 

1 
0

1
1

1
3
1 
8  −3
1
1 −1

3
2

2
8
1 
20  −7
2
4 −4

1
1
 1
4
1 
6  −2
1
1 −2

3
1
 1
3
1 
8  −5
1
2 −2

0 −1
 −1
2

 2 −2
−1
1

−2
1
 1
1
1 
2 
0 −1
1
0

−4
1

1
2
1 
3 
1 −1
1 −1

−1
1

1
2
1 
3 
1 −1
1 −1

−2
1
 1 −2
1 
3 
1
1
1
1

−3
1
1 −1 

1
1 
1
3

−7
4
2 −4 

3
4 
4 12

−2
1
1 −2 

1
1 
1
4

−5
2
1 −2 

3
2 
2
4

2 −1
−2
1 

2 −1 
−1
1

0
1
−1
0 

2 −1 
−1
1

1
1
−1 −1 

2 −1 
−1
2

1
1
−1 −1 

2 −1 
−1
2

1
1
1
1 

−2
1 
1 −2