ÜBERSICHT INHALTSVERZEICHNIS Übersicht
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ÜBERSICHT
INHALTSVERZEICHNIS
Übersicht ................................................................................................................................................................................................... 1
Übersicht Inhaltsverzeichnis ............................................................................................................................................................ 1
Übersicht Vorwort ............................................................................................................................................................................ 3
Allgemeines (Einheiten, Konstanten, Umrechnungen) .............................................................................................................................. 4
Allgemeines Einheiten ..................................................................................................................................................................... 4
Allgemeines Konstanten :: Allgemein .............................................................................................................................................. 5
Allgemeines Konstanten :: Wichtige Konstanten in der physikalischen Chemie.............................................................................. 6
Allgemeines Umrechnungen............................................................................................................................................................ 7
Mathematische Grundlagen ...................................................................................................................................................................... 7
Mathematische Grundlagen Bemerkungen ..................................................................................................................................... 7
Mathematische Grundlagen Ableitungsregeln (wichtige)................................................................................................................. 8
Mathematische Grundlagen Laplace-Operator (in kartesischen und Kugel-Koordinaten) ............................................................... 8
Mathematische Grundlagen Differentialgleichungen (Beschrieb von 2 einfachen Methoden) ......................................................... 8
Mathematische Grundlagen Vektoren (Skalar- und Vektorprodukt) und Vektor-Räume.................................................................. 9
Mathematische Grundlagen Matrizen ............................................................................................................................................ 10
Mathematische Grundlagen Eigenwerte........................................................................................................................................ 11
Mathematische Grundlagen Eigenvektoren................................................................................................................................... 11
Mathematische Grundlagen Polarkoordinaten............................................................................................................................... 11
Mathematische Grundlagen Komplexe Zahlen.............................................................................................................................. 12
Mathematische Grundlagen Separationsansatz ............................................................................................................................ 13
Mathematische Grundlagen Half-width und Full-width von peakförmigen Kurven......................................................................... 13
Mathematische Grundlagen Nützliche Formeln und Zusammenhänge ......................................................................................... 14
Konzepte der klassischen Physik (Mechanik) ......................................................................................................................................... 14
Klassische Physik Ausblick auf Quantenmechanik........................................................................................................................ 14
Klassische Physik Harmonischer Oszillator :: Charakterisierung durch V(x) [einfache Sichtweise]............................................... 14
Klassische Physik Harmonischer Oszillator :: Ungedämpft ........................................................................................................... 15
Klassische Physik Harmonischer Oszillator :: Gedämpft ............................................................................................................... 15
Klassische Physik Wellen :: Allgemeine Definitionen..................................................................................................................... 16
Klassische Physik Wellen :: Stehende Wellen (standing waves) ................................................................................................... 16
Klassische Physik Wellen :: Fortpflanzende Wellen (traveling waves) .......................................................................................... 17
Klassische Physik Wellen :: Reflexion von Wellen......................................................................................................................... 17
Klassische Physik Wellen :: Reflexion und Transmission bei miteinander verbundenen Saiten.................................................... 18
Klassische Physik Wellen :: Entwicklung in Fourier-Reihe ............................................................................................................ 19
Klassische Physik Wellen :: Fourier-Transformation für allgemeine Umwandlung x-Raum k-Raum .......................................... 20
Klassische Physik Wellen :: Fourier-Transformation für Umwandlung Zeit- Frequenz-Bereich .................................................. 20
Klassische Physik Wellen :: Superposition von Wellen.................................................................................................................. 21
Klassische Physik Wellen :: Wellenpakete .................................................................................................................................... 21
Klassische Physik Wellen :: Pulse ................................................................................................................................................. 22
Klassische Physik Wellen :: Dreidimensionale (3D) Wellen........................................................................................................... 23
Wellen in der Quantenmechanik (De Broglie, Bohr, Born) ...................................................................................................................... 24
Wellen in QM Welleneigenschaften von Materie (de Broglie’s Idee der Phasen-Wellen) .............................................................. 24
Wellen in QM Bohr’sches Atommodell (Anwendung der de-Broglie-Gleichungen auf H-Atom)..................................................... 25
Wellen in QM Wahrscheinlichkeitswellen (Definition von Max Born) und Wahrscheinlichkeit allg................................................. 26
Schrödinger-Gleichung im Einsatz .......................................................................................................................................................... 26
Schrödinger-Gleichung Allgemeine Form ...................................................................................................................................... 26
Schrödinger-Gleichung Zeit-unabhängige Schrödinger-Gleichung................................................................................................ 26
Schrödinger-Gleichung Zusätzliche Bedingungen für Lsg. der zeitunabhängigen Schrödinger-Gl................................................ 27
Schrödinger-Gleichung Bewegung eines freien Materie-Teilchens ............................................................................................... 28
Schrödinger-Gleichung Teilchen im Kasten (1D)........................................................................................................................... 28
Schrödinger-Gleichung Reflexion und Transmission eines Teilchens an einer Potential-Barriere ................................................ 29
Schrödinger-Gleichung Partikel in einem begrenzten Potentialtopf :: E < 0 .................................................................................. 31
Schrödinger-Gleichung Partikel in einem begrenzten Potentialtopf :: E > 0 .................................................................................. 32
Schrödinger-Gleichung Quantenmechanischer harmonischer Oszillator....................................................................................... 33
Schrödinger-Gleichung Zusammengesetztes Potential :: Modifizierter Potential-Topf .................................................................. 35
Schrödinger-Gleichung Zusammengesetztes Potential :: 2-dimensionales Potential, d.h. V(x,y).................................................. 35
Schrödinger-Gleichung Tunneln von Elektronen durch eine Potentialbarriere V0 .......................................................................... 36
Schrödinger-Gleichung Material-Wellen-Pakete............................................................................................................................ 37
Operatoren, Eigenwerte, Eigenfunktionen und Eigenzustände ............................................................................................................... 37
Operatoren & Co. Grundsatz von Operatoren ............................................................................................................................... 37
Operatoren & Co. Operatoren, Eigenwerte und Eigenfunktionen / Eigenzustände (Grunddefinition) ............................................ 38
Operatoren & Co. Operatoren in der Schrödinger-Gleichung und bei Hamilton-Operatoren ......................................................... 38
Hilbert-Raum ........................................................................................................................................................................................... 39
Hilbert-Raum Beschrieb (nice to know) ......................................................................................................................................... 39
Hilbert-Raum Mathematische Beschreibung ................................................................................................................................. 39
Postulate der Quantenmechanik ............................................................................................................................................................. 40
Postulate der QM Bemerkung ....................................................................................................................................................... 40
Postulate der QM Postulat I........................................................................................................................................................... 40
Postulate der QM Postulat II.......................................................................................................................................................... 40
Postulate der QM Postulat III......................................................................................................................................................... 40
Postulate der QM Postulat IV ........................................................................................................................................................ 41
Wahrscheinlichkeiten in Hilbert-Räumen und Erwartungswerte (allgemein und für Hilbert-Räume) ....................................................... 41
Wahrscheinlichkeit und Erwartungswerte Wahrscheinlichkeit, dass ψ(x) im Zustand ϕ i(x) vorliegt .............................................. 41
Wahrscheinlichkeit und Erwartungswerte Erwartungswert  ...................................................................................................... 41
Dirac-Schreibweise für Operatoren und Eigenfunktionen / Eigenzustände, sog. Bra(c)ket-Notation ...................................................... 42
Bra(c)ket-Notation Prinzip und Grundbegriffe (Ket-Vektor, Bra-Vektor und Skalarprodukt)........................................................... 42
Bra(c)ket-Notation Eigenschaften (Rechenregeln und Schreibweisen) von Ket- und Bra-Vektoren.............................................. 42
Bra(c)ket-Notation Skalarprodukt (Definitionen und Eigenschaften).............................................................................................. 43
Bra(c)ket-Notation Operatoren ...................................................................................................................................................... 43
Bra(c)ket-Notation Orthonormalbasis ψ mit Spalten |ψn und Transformation durch Operatoren .................................................. 44
Anwendungen der Bra(c)ket-Schreibweise (Observablen, Erwartungswerte, Hermitian, Normierung, Operator-Gleichung, u.a.).......... 45
Bra(c)ket-Anwendungen Physikalische Observablen und Erwartungswerte ................................................................................. 45
Bra(c)ket-Anwendungen Hermitesche Operatoren (Hermitian-Operator) ...................................................................................... 45
Bra(c)ket-Anwendungen Normierung ............................................................................................................................................ 46
Bra(c)ket-Anwendungen Operator-Gleichung................................................................................................................................ 46
Bra(c)ket-Anwendungen Eigenwerte und Eigenfunktionen bei Operatoren in Matrix-Form........................................................... 46
Messprozess ........................................................................................................................................................................................... 47
Messprozess Situation................................................................................................................................................................... 47
Messprozess Grundregeln und Prinzipien (nice to know).............................................................................................................. 47
Messprozess Wahrscheinlichkeit, dass System von Zustand ϕ in Zustand ψ übergeht ................................................................ 47
Messprozess Analyse einer Wellenfunktion, die sich aus mehreren Eigenzuständen zusammensetzt......................................... 48
Kommutatoren......................................................................................................................................................................................... 49
Kommutatoren Kommutator, Anti-Kommutator, (Nicht-) kommutierende Operatoren ................................................................... 49
Kommutatoren Kommutierende Operatoren und deren Eigenfunktionen ...................................................................................... 50
Unbestimmtheitsrelation (Unschärferelation)........................................................................................................................................... 50
Unbestimmtheitsrelation Dirac Delta Funktion (als Grundlage für Unbestimmtheitsrelation)......................................................... 50
Unbestimmtheitsrelation Definitionen und alternative Schreiweisen der Unbestimmtheitsrelation ................................................ 51
Drehimpuls in der Quantenmechanik (allgemeine Definitionen, Messungen, Starrer Rotor mit einem oder mehreren Teilchen) ........... 51
Drehimpuls Grunddefinition ........................................................................................................................................................... 51
Drehimpuls Operator der kartesischen Komponenten ................................................................................................................... 52
2
Drehimpuls Drehimpuls-Operator L , d.h. quadrierte Länge des Drehimpuls-Operators ............................................................... 52
Drehimpuls Allgemeine Lösung (Eigenfunktion, Eigenwerte = Messwerte, Grafische Darstellung)............................................... 53
Drehimpuls Starrer Rotor (rigid rotor) :: Grundlagen...................................................................................................................... 54
Drehimpuls Starrer Rotor (rigid rotor) :: Mit einem Partikel ............................................................................................................ 54
Drehimpuls Starrer Rotor (rigid rotor) :: Mit zwei Partikeln............................................................................................................. 55
Drehimpuls Eigenwerte bei Anwendung von Operator Lx2 + Ly2 auf Kugelflächenfunktion Ylm(θ,ϕ)............................................... 56
Drehimpuls Analyse einer Wellenfunktion, welche durch Kugelflächenfunktion definiert ist .......................................................... 56
Drehimpuls Addition des Drehimpulses von zwei Elektronen ........................................................................................................ 57
Drehimpuls Quantenzahlen i, und mi und m ............................................................................................................................... 57
Spin ......................................................................................................................................................................................................... 58
Spin Grunddefinitionen und allgemeine Eigenschaften ................................................................................................................. 58
Spin Matrix-Darstellung (Pauli Matrizen) ....................................................................................................................................... 59
Elektron e- und magnetisches Feld B ...................................................................................................................................................... 60
e und B-Feld Magnetisches Moment eines Elektrons ................................................................................................................... 60
e und B-Feld Zeeman-Effekt (Elektron in einem magnetischen Feld)........................................................................................... 60
2
e und B-Feld Spin (Messung von Si und S ) ................................................................................................................................. 61
e und B-Feld Zeit-Entwicklung des Spins in einem konstanten magnetischen Feld ..................................................................... 61
Störungstheorie (perturbation theory)...................................................................................................................................................... 62
Störungstheorie Grundlagen.......................................................................................................................................................... 62
Störungstheorie Energie-Korrekturen 1. und 2. Ordnung .............................................................................................................. 63
Störungstheorie Wellenfunktions-Korrektur 1. Ordnung ................................................................................................................ 63
Wasserstoff-Atom und Ein-Elektronen-Systeme (Wasserstoff-ähnliche Atome) ..................................................................................... 64
Wasserstoff-ähnliche Atome Grunddefinitionen (Schrödinger-Gleichung, wichtige Grössen) ....................................................... 64
Wasserstoff-ähnliche Atome Lösungen (allgemein) der Schrödinger-Gleichung........................................................................... 65
Wasserstoff-ähnliche Atome Erste Lösungen für Kugelflächenfunktionen..................................................................................... 66
Wasserstoff-ähnliche Atome Erste Lösungen für gesamte Wellenfunktion.................................................................................... 66
Wasserstoff-ähnliche Atome Wahrscheinlichkeitsdichte................................................................................................................ 66
Wasserstoff-ähnliche Atome s-Orbitale ......................................................................................................................................... 67
Wasserstoff-ähnliche Atome p-Orbitale ......................................................................................................................................... 67
Wasserstoff-ähnliche Atome d-Orbitale ......................................................................................................................................... 68
Wasserstoff-ähnliche Atome Messprozess, Erwartungswerte, Analyse von Wellenfunktionen ..................................................... 68
2
Wasserstoff-ähnliche Atome Messung :: Drehimpuls (Messung von Li und L ) ............................................................................. 69
2
Wasserstoff-ähnliche Atome Messung :: Spin (Messung von Si und S ) ....................................................................................... 69
Wasserstoff-ähnliche Atome Messung :: Totaler Drehimpuls J (Messung von Ji) ......................................................................... 69
Wasserstoff-ähnliche Atome Kommutierende Operatoren bei einem Wasserstoff-Atom (Hinweis)............................................... 70
Wasserstoff-ähnliche Atome Beseitigung einer zufälligen Entartung :: Störungstheorie ............................................................... 70
Wasserstoff-ähnliche Atome Beseitigung einer zufälligen Entartung :: Spin-Bahn-Kopplung........................................................ 71
PC - Quantenmechanik
- Seite 2 -
by Thomi Albrecht
Mehr-Elektronen-Atome .......................................................................................................................................................................... 72
Mehr-Elektronen-Atome Hamilton-Operator .................................................................................................................................. 72
Mehr-Elektronen-Atome Approximation bezüglich unabhängiger Elektronen................................................................................ 72
Mehr-Elektronen-Atome Elektronen-Austausch-Symmetrie (Beispiel mit Helium-Atom) ............................................................... 73
Mehr-Elektronen-Atome Ausschluss-Prinzip ................................................................................................................................. 73
Mehr-Elektronen-Atome Wellenfunktionen (allgemeine Form) und Zustände ............................................................................... 74
Helium-Atom (Beispiel für Mehr-Elektronen-Atom).................................................................................................................................. 75
Helium-Atom Energien................................................................................................................................................................... 75
Helium-Atom Grundzustand .......................................................................................................................................................... 75
Helium-Atom Erster (tiefster) angereger Zustand .......................................................................................................................... 76
Helium-Atom Weitere angerege Zustände..................................................................................................................................... 76
Helium-Atom Energien (Singlet- und Triplett-Zustände im Vergleich und Angabe dieser Werte) .................................................. 77
Helium-Atom Anwendung der Störungstheorie.............................................................................................................................. 77
H2+ - Molekül (Elektronische Struktur, Anwendung der linearen Variations-Methode, Energien, Wellenfunktionen) ............................... 78
H2+-Molekül Situation und Grundlagen .......................................................................................................................................... 78
+
H2 -Molekül Hamilton-Operator und Schrödinger-Gleichung (mittels Born-Oppenheimer)............................................................ 78
+
H2 -Molekül Energien und Wellenfunktionen des Grundzustandes ............................................................................................... 79
+
H2 -Molekül Bewegung der Atomkerne ......................................................................................................................................... 80
2+
HeH - Molekül (Hamilton-Operator, Born-Oppenheimer-Näherung, Grenzfälle)................................................................................... 80
HeH2+-Molekül Hamilton-Operator :: Ohne Born-Oppenheimer-Näherung.................................................................................... 80
HeH2+-Molekül Hamilton-Operator :: Mit Born-Oppenheimer-Näherung........................................................................................ 80
2+
HeH -Molekül Grenzfälle.............................................................................................................................................................. 80
Zusatz...................................................................................................................................................................................................... 81
Zusatz 01: Graphische Darstellung von stehender und fortpflanzender Welle .................................................................................. 81
Zusatz 02: Lagrangian-Funktion und Hamiltonian ............................................................................................................................. 82
Zusatz 03: Schwarzsche Ungleichung ............................................................................................................................................... 82
Zusatz 04: Legendre-Polynome......................................................................................................................................................... 83
Zusatz 05: Spin-Matrizen eines Teilchens mit Gesamt-Spin 1........................................................................................................... 83
Zusatz 06: Quantenzahlen (Kurze Übersicht) .................................................................................................................................... 84
Zusatz 07: Termsymbole zur Charakterisierung des Zustandes eines Atoms ................................................................................... 85
Zusatz 08: Energetische Reigenfolge von Orbitalen .......................................................................................................................... 85
Zusatz 09: Störungstheorie (Ausführliche Auflistung einiger Formeln gemäss Zusatz-Skript)........................................................... 86
Zusatz 10: Wellenfunktionen für 2px-, 2py- und 2pz-Orbitale in Kugelkoordinaten ............................................................................. 90
Zusatz 11: Fermionen und Bosonen .................................................................................................................................................. 91
Zusatz 12: Einige wichtige Formeln zum Stern-Gerlach-Experiment................................................................................................. 91
Zusatz 13: Hamilton-Operatoren, Wellenfunktionen und Energien wichtiger Systeme im Überblick ................................................. 92
Zusatz 14: Messung von Drehimpuls (Li und L2), Spin (Si und S2) und totalem Drehimpuls (Ji) ...................................................... 96
Zusatz 15: Periodensystem ............................................................................................................................................................... 97
Allg emei nes (Einh eit en , Ko nst an ten, Umrec hn ung e n)
ALLGEMEINES
EINHEITEN
Es gilt:
Physikalische Grösse = Zahlenwert x Einheit
[Grösse] = [Beliebige Einheit der Grösse]
Dimension ( […] ) der Grösse = Dimension
einer (beliebigen) Einheit der Grösse
SI-Einheiten:
Präfixe:
ÜBERSICHT
VORWORT
Diese Zusammenfassung und Formelsammlung fasst die wichtigsten Konzepte und Formeln zur Vorlesung „Quantenmechanik“ aus dem 4. Semester zusammen. Beachte jedoch, dass die Formelsammlung sehr ausführlich gehalten ist und
somit nur an der Prüfung verwendet werden sollte, falls man sich vorher ausführlich einen Überblick verschafft hat, welche Informationen wo zu finden sind.
Bei den meisten Themen findet man jeweils einen Abschnitt mit der Überschrift „Nice to know“. Dabei handelt es sich um
grundlegende Informationen und Verweise zu den entsprechenden Themen. Diese sind als eine Art Zusammenfassung
gedacht, um sich vor der Prüfung einen Überblick über den Stoff zu verschaffen.
Besonders wichtige Formeln (Hamilton-Operatoren mit entsprechenden Wellenfunktionen und Energien, sowie Angaben
über bestimmte Messwerte) findet man unter anderem auch im Anhang auf den letzten Seiten dieser Formelsammlung.
Keine SI-E.:
Zudem empfiehlt es sich, noch folgende Hilfsmittel an die Prüfung mitzunehmen:
• Taschenrechner
• Allgemeine Formelsammlung mit Integraltafeln, z.B. „Mathematische Formelsammlung“ von Lothar Papula
• Formelsammlung zum Prüfungsstoff Physikalische Chemie aus dem 1. Semester für allfällige Ergänzungen. Eine entsprechende Formelsammlung ist beispielsweise unter http://www.thomi.ch.tt verfügbar.
• Glücksbringer und sonstiges Voodoo-Zeugs ;-)
Have fun and enjoy the world of quantummechanics…
PC - Quantenmechanik
- Seite 3 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 4 -
by Thomi Albrecht
ALLGEMEINES
KONSTANTEN :: ALLGEMEIN
ALLGEMEINES
KONSTANTEN :: WICHTIGE KONSTANTEN IN DER PHYSIKALISCHEN CHEMIE
Grösse
c
Elementarladung
e
by Thomi Albrecht
.
-19
1.602177 10
.
.
C
F = e NA
9.6485 10 C . mol-1
Boltzmann-Konstante
k
1.38066 . 10-23 J . K-1
Gaskonstante
R = k NA
8.31451 J K mol
.
-2
.
. -1 .
-1
8.20578 10 L atm K mol
62.364 L . Torr . K-1 . mol-1
Plancksche Konstante
h
6.62608 10 J s
.
-34 .
1.05457 10 J s
Avogadro Konstante
NA
.
4
.
.
.
= h / 2π
-1 .
-1
-34
.
6.02214 . 1023 mol-1
g
.
amu, u ( /mol)
-27
1.66054 10
kg
Masse des Elektrons
me
9.10939 10-31 kg
5.48579903 . 10-4 u
Masse des Protons
mp
1.67262 10 kg
1.007276470 u
Masse des Neutrons
mn
1.67493 10 kg
1.008664904 u
Ladung des Elektrons
qe = -e
-1.602177 10
Ladung des Protons
- Seite 5 -
Zahlenwerte
2.99792458 . 108 m . s-1
≈ 3 . 108 m . s-1
Faraday-Konstante
Atomare Masseneinheit
PC - Quantenmechanik
Symbol
Lichtgeschwindigkeit
.
.
-27
.
-27
.
-19
.
-19
C
qp = e
1.602177 10
Ladung des Neutrons
qn
0
Spin des Elektrons
s
½ (ms = ½, -½)
Spin des Protons
sp
½ (ms = ½, -½)
Spin des Neutrons
sn
½ (ms = ½, -½)
g-Wert des Elektrons
ge
2.00232
g-Wert des Kerns, bzw. Protons
gp
5.58569
Permeabilität des Vakuums
µ0
4 π 10 J s C m
4 . π . 10-7 T2 . J-1 . m3
Dielektrizitätskonstante ( = Elektrische
Feldkonstante) des Vakuums
4.
Bohrsches Magneton
µB = (e
Kernmagneton
µN = (e . ) / (2 . mp)
Bohrscher Radius
a0 = (4
0
.
2.
= l / (c µ0)
.
.
) / (2 me)
.
.
.
0
4
.
-7
.
2.
-2 .
.
-12
-1 .
.
-24
J T
-1
2.
-1
8.85419 10 J C m
1.11265 . 10-10 J-1 . C2 . m-1
0
.
.
C
9.27402 10
.
2
2
) / (me e )
.
.
-1
5.05079 . 10-27 J . T-1
3.
.
2
0 )
.
-11
5.29177 10
m
.
1.09737 105 cm-1
-1
109737.3 cm
Rydberg-Konstante
R = (me e ) / (8 h c
Rydberg-Konstante für H-Atom:
RH
1.09677 . 105 cm-1
109677 cm-1
Feinstrukturkonstante
a = (µ0 . e2 . c) / (2 . h)
7.29735 . 10-3
Gravitationskonstante
G
6.672 59 10
Beschleunigung des freien Falls
(a ist die geografische Breite)
g / (m . s-2)
9.8064 – 0.0259 . cos(2 . a)
PC - Quantenmechanik
.
- Seite 6 -
-11
.
2.
-2
N m kg
by Thomi Albrecht
ALLGEMEINES
Temperatur:
UMRECHNUNGEN
Celsius
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Kelvin
t °C =
Druck:
TK =
-5
Pascal
Bar
Pascal
Atmosphäre
-6
.
-1
°C
+ 273.15 K
5
1 Pa = 10 bar
.
t °C
1 bar = 10 Pa
1 Pa = 9.86923 10 atm
.
5
1 atm = 1.01325 10 Pa
Bar
Atmosphäre
1 bar = 9.86923 10 atm
1 atm = 1.01325 bar
Torr
Pascal
1 Torr = 1.33322 . 102 Pa
1 Pa = 7.50062 . 10-3 Torr
1 Å = 100 pm = 10-10 m
1 m = 1010 Å
Meter:
Längenmass:
Ångstrom
Volumen:
Kubikmeter
Liter
3
-3
1 L = 10 m
3
1 L = 1 dm
1 dm = 1 L
-19
1 eV = 1.6022 10
Joule
3
.
J
18
1 J = 6.2414 10
eV
1 cal = 4.184 J
1 J = 0.239 cal
Kilowattstunde
Joule
1 kWh = 3600 kJ
1 kJ = 0.000278 kWh
Kilowattstunde
Kalorie
1 kWh = 860 kcal
1 kcal = 0.001163 kWh
Kilowattstunde
Kalorie
1 kWh = 860 kcal
1 kcal = 0.001163 kWh
1 u = 1.6605402 . 10-24 g
1 g = 6.022 . 1023 u
Masse:
Atomare Massein.
Nützliches:
u
.
eV (für Massendefekt):
Debye
ln x
Gramm
(Coulomb . Meter)
6
.
1 u = 931 10 eV
.
log x
1 C . m = 2.99793 . 1029 D
f 'x
( ) = g 'x
( ) + h 'x
( )
Konstanter Faktor
f ( x) = c ⋅ g (x)
f 'x
( ) = c ⋅ g 'x
( )
Produkt
f ( x) = g ( x) ⋅ h ( x)
f 'x
( ) = g 'x
( ) ⋅ h ( x ) + g ( x ) ⋅ h 'x
( )
Quotient
f (x) =
Kettenregel
f ( x) = g h ( x)
ln x = (ln 10) (lg x) = 2.302585 lg x
2-dimensional
2D
∇n =
3-dimensional
3D
∇n =
Kugelkoordinaten:
∇2 =
- Seite 7 -
∂2
∂r 2
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
g 'x
( ) ⋅ h ( x ) − g ( x ) ⋅ h 'x
( )
h (x)
2
f 'x
( ) = h 'x
( ) ⋅ g 'h ( x )
LAPLACE-OPERATOR (IN KARTESISCHEN UND KUGEL-KOORDINATEN)
∇n =
Methode 2:
Allgemeiner
Ansatz
BEMERKUNGEN
f 'x
( )=
1D
Beachte folgende Punkte bezüglich der mathematischen Grundlagen:
Die wichtigsten mathematischen Grundlagen wurden in der Aufgabenserie 1 behandelt. Siehe in der Musterlösung für
entsprechende Beispiele.
Die meisten Regeln und Verfahren, die in den folgenden Abschnitten aufgeführt sind, befinden sich auch in einer entsprechenden Formelsammlung (z.B. Formeln und Tafeln oder Papula).
Zur Ergänzung lohnt es sich eventuell auch eine Analysis-Formelsammlung bezüglich dem 1. und 2. Semester an die
Prüfung mitzunehmen.
PC - Quantenmechanik
g(x)
h (x)
1-dimensional
Methode 1:
Separation der
Variablen
.
Mat hematisc he Gr undlag en
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
f ( x) = g (x) + h (x)
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
-9
1 eV = 1.07411 10 u
1 D = 3.33564 . 10-30 C . m
Summe
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
3
1 m = 10 L
.
Joule
Elektrovolt
Kalorie
3
Liter
Kubikdezimeter
Energie:
TK
− 273.15 °C
K
ABLEITUNGSREGELN (WICHTIGE)
+
∂n
∂n
∂ xn
∂ xn
∂n
∂ xn
∂n
∂ xn
+
+
∂n
∂n
∂ yn
∂ xn
∂n
∂ yn
+
∂n
∂n
∂ zn
∂ xn
= n-te Ableitung nach x (partielle Ableitung)
= n-te Ableitung nach x ,
,
∂n
∂ yn
bzw.
∂n
∂ zn
∂n
∂ yn
= n-te Ableitung nach y
= n-te Ableitung nach x, y bzw. z
2 ∂
1
∂2
cos θ ∂
1
∂2
⋅
+ 2 ⋅
+
⋅
+
⋅
r ∂r
sin θ ∂ θ sin2 θ ∂ ϕ2
∂ θ2
r
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (BESCHRIEB VON 2 EINFACHEN METHODEN)
.
Voraussetzung: Differentialgleichung erster Ordnung, Form y’ = r(y) s(x) oder y’ = r(y)
• Bringe alle Ausdrücke, die nur von einer bestimmten Variable abhängen, auf eine Seite
• Bringe falls vorhanden alle Ausdrücke, die von zweiter Variablen aufhängen, auf andere Seite
• Integriere beide Seiten (Integrationskonstante nicht vergessen, auf einer Seite genügt jedoch)
• Löse Gleichung nach gewünschter Variablen auf, bestimme Integrationskonstante falls möglich
Voraussetzung: Differentialgleichung beliebiger Ordnung
• Wähle einen allgemeinen Lösungsansatz (wird z.T. aus der Physik hinter der Dgl. vereinfacht)
• Berechne alle benötigten Ableitungen (alle Ableitungen, die in der Diffgleichung vorkommen)
• Setze die Ausdrücke des Ansatzes und der Ableitungen in die Differentialgleichung ein.
• Löse Gleichung nach gewünschter Variablen auf, bestimme unbekannte Parameter falls möglich
- Seite 8 -
by Thomi Albrecht
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Betrag
a1
a2
a3
VEKTOREN (SKALAR- UND VEKTORPRODUKT) UND VEKTOR-RÄUME
Indizes:
a12 + a22 + a32
=
Vektorprodukt
(cross product)
a1
b1
a2 × b2 =
a3
Skalarprodukt
(inner product)
Vektorraum
(hier immer in 3D)
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
b3
a2
b2
a3
b3
a3
a1
b3
b1
a1
a2
b1
b2
Eine (m x n) – Matrix hat m Zeilen und n Spalten
Analog ist aij das Element a in der i-ten Zeile und j-ten Spalte
Merke (Eselsbrücke): Zuerst Zeile, Später Spalte
Multiplikation von
Matrizen:
a 2 b3 − a3 b2
= a3 b1 − a1b3
a1b2 − a2 b1
A ⋅ B = A x ⋅ B x + A y ⋅ B y + A z ⋅ Bz
a3
Schreibweise mit Dimensionen
b3
Allgemeine
Rechenregeln:
Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl
Determinanten:
• î
•
ĵ
• k̂
Der Vektorraum wird dabei durch die Einheitsvektoren aufgespannt.
(
Transponierte
t
Matrix A :
)
Beliebiger Vektor:
V = Vx , Vy , Vz
Linear-Kombination:
V = Vx ⋅ ˆi + Vy ⋅ ˆj + Vz ⋅ kˆ
mit
Voraussetzung: Anzahl Spalten von A = Anzahl Zeilen von B
(m x n) . (n x p) = (m x p)
„Zeilen von A werden multipliziert mit Spalten von B:
Das Kreuzprodukt
ergibt einen Vektor
a1
b1
a2 ⋅ b2 = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3
Einheitsvektoren:
MATRIZEN
b1
= a1 ⋅ b2 − a2 ⋅ b1
b2
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
b
c 2 = a1 ⋅ 2
b3
c3
a1
b1
c1
A ij = a2
a3
b2
b3
c2
c3
Dabei gelten folgende Rechenregeln:
ˆi ⊥ ˆj ⊥ kˆ
Komplex konjugierte
der transponierten
t
Matrix, d.h. A *:
• V ⋅ ˆi = Vx
Komponenten:
• V ⋅ ˆj = Vy
• V ⋅ kˆ = Vz
Wendet man also die Einheitsvektoren als Operatoren (bezüglich Operatoren siehe Seite 37) auf einen
beliebigen Vektor V an, erhält man die Komponenten der einzelnen Dimensionen.
Orthonormalitätsbedingung für zwei
Spaltenvektoren W
und V (gemäss
Skript Seite 42)
(
W t∗ ⋅ V = w1∗
w ∗2
... w n∗
)
v1
v
⋅ 2 = δij =
...
Orthogonale
Matrix:
- Seite 9 -
a1
b1
c1
A ij = a2
a3
b2
b3
c2
c3
A t ⋅ A = In
(A ) = A
−1
b
c1
+ a3 ⋅ 2
b3
c3
b
c2
− a2 ⋅ 1
b3
c3
A
(A )
(A )
t
ij
t
A
t
ji
a1 a2
a3
= b1 b2
c1 c 2
b3
c3
= ( A ) ji
( A + B ) t = A t + Bt
( A ⋅ B ) t = Bt ⋅ A t
=A
t∗
ji
=
c2
c3
a1∗
b1∗
c1∗
a∗2
a∗3
b∗2
b∗3
c ∗2
c ∗3
A ⋅ B ist orthogonal
(!)
In ist orthogonal
t
At heisst Transponierte von A
Dabei werden die Spalten
von A die Zeilen der Transponierten At.
Man kann sich auch eine
Spiegelung an der Diagonalen vorstellen, wobei die Diagonale selbst natürlich unverändert bleibt.
t
A * heisst komplex konjugierte Transponierte von A.
Der Stern bedeutet dabei
jeweils konjugiert komplex.
Eine (n x n) – Matrix A (bzw.
B) heisst orthogonal, falls
At . A = I n
Für eine orthonormierte Basis gilt, dass At . A = In, d.h. es ist:
a(j)
für Diagonal-Elemente
sonst
= 1 für alle i = j,
a(j) = 0 für alle i ≠ j
und somit
vn
PC - Quantenmechanik
A ⋅ B ≠ B ⋅ A (!!!)
A −1 ist orthogonal
Orthonormierte
Matrix
1
0
A ⋅ In = A
t
Jeder beliebiger Vektor kann aus einer Linearkombination der drei Einheitsvektoren erhalten werden
“
( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C
A +B =B+ A
( A + B ) + C = A + (B + C )
( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C )
a1
a2
.
Nebenbei:
Bei Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl wird einfach jedes Element der Matrix mit der Zahl multipliziert.
(A
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
t
⋅A
) = (a )
( j)
ij
t
⋅ a( j) =
1, i = j
0, i ≠ j
t.
also gilt A A = In
- Seite 10 -
by Thomi Albrecht
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Definition:
Vorgehen:
Hinweis für Diagonalmatrizen
det ( A − λ ⋅ In ) = 0
( A − λ ⋅ In ) ⋅
EIGENVEKTOREN
x1
0
x2
0
=
...
...
xn
0
Hinweis für Diagonalmatrizen
PC - Quantenmechanik
x1
mit k ∉
x2
Setze einen gefundenen Eigenwert λ in die Gleichung (A - λ . In) . x = 0 ein.
Drücke den Eigenvektor x durch seine Komponenten x1, x2, .. aus
Führe alle Rechenoperationen aus und löse die Gleichung nach den Eigenvektor-Komponenten
x1, x2, .. auf. Meist erhält man dabei einen Ausdruck, bei welchem ein Parameter von einem anderen Parameter abhängig ist. Wähle in diesem Fall für einen Parameter einfach einen beliebigen Wert aus (meist 1) und berechne anschliessend die anderen Parameter. Beachte, dass es
unendlich viele Lösungen gibt, falls ein Parameter frei gewählt werden kann (vgl. auch oben bei
„Vielfache“)
Wiederhole das durchgeführte Verfahren für alle erhaltenen Eigenwerte
Die Eigenfunktionen einer Diagonalmatrix (nur die Elemente aii auf der Haupt-Diagonalen sind ungleich Null) sind jeweils die Einheitsvektoren (1 0 0)t, (0 1 0)t und (0 0 1)t.
y
= tan ( ϕ )
x
x2 + y2 = r 2
r=
y = r ⋅ sin ( ϕ )
Komplexe Zahl z
Betrag | z |
Polarwinkel θ
i=
KOMPLEXE ZAHLEN
Die komplexe Variable i wird in dieser Formelsammlung immer durch ein normales, fett geschriebenes i bezeichnet!
i 2 = −1
−1
a = Realteil der komplexen Zahl z, d.h. a = Re(z)
b = Imaginärteil der komplexen Zahl z, d.h. b = Im(z)
z = Re ( z ) + i ⋅ Im ( z ) = a + i ⋅ b
Der Betrage | z | der komplexen Zahl z wird auch mit r bezeichnet (siehe Formel links)
a 2 + b2
z =r =
θ = arctan
Im ( z )
Re ( z )
= arctan
b
a
Euler’sche
Beziehung
exp (i ⋅ θ ) = cos ( θ ) + i ⋅ sin ( θ )
z mit Betrag | z |
und Polarwinkel θ
z = z ⋅ exp (i ⋅ θ ) = r ⋅ exp (i ⋅ θ )
Konjugiert komplexe Zahl z*
z* = a − i ⋅ b = r ⋅ exp ( − i ⋅ θ )
Es gilt:
( z1 + z2 ) * = z1 * +
Komplex konjugiert ist lineare Operation und somit kann Konjugation von zwei Termen separat vorgenommen werden.
| z | mit z und konj.
komplexer Zahl z*
Sinus und Cosinus
mit komplexen Z.
z
2
= z⋅z*
sin ( θ ) =
cos ( θ ) =
Nebenbei:
z2 *
z =
z⋅z*
exp (i ⋅ θ ) − exp ( − i ⋅ θ )
Beachte, dass sich die beiden Ausdrücke für Sinus und Cosinus nur in zwei Punkten unterscheiden:
2⋅i
exp (i ⋅ θ ) + exp ( − i ⋅ θ )
Im ( z ⋅ z * ) = 0
Re(z*) = Re(z)
Im(z*) = - Im(z)
2
- Vorzeichen zwischen den exp - Ausdrücken im Zähler
- Nenner: Bei Sinus 2 . i, bei Cosinus nur 2
für alle z ∈
Koordinatensystem:
POLARKOORDINATEN
x
r
y
sin ( ϕ ) =
r
y
tan ( ϕ ) =
x
x = r ⋅ cos ( ϕ )
Komplexe Variable i
Ist λ ein Eigenwert der Matrix A, dann ist x ein Eigenvektor dieser Matrix
.
.
A, falls A x = λ x gilt.
Es gibt meist für die Eigenwerte jeweils mehrere Möglichkeiten, bzw. Vielfache! Führe deshalb einen
beliebigen Parameter ein, durch welchen alle Lösungen berücksichtigt werden können, z.B.
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Von kartesischen
Koordinaten in
Polarkoordinaten
(um umgekehrt)
Ist λ ein Eigenwert der Matrix A, dann ist x ein Eigenvektor dieser Matrix
A, falls (A - λ . In) . x = 0 gilt.
A⋅x = λ⋅x
Eigenvektor x = k ⋅
Vorgehen:
.
Zahl λ ist dann Eigenwert der Matrix A, wenn det(A - λ In) = 0 gilt.
Die Werte aii auf der Diagonalen einer Diagonalmatrix (nur die Elemente aii auf der Haupt-Diagonalen
sind ungleich Null) entsprechen gerade den ges. Eigenwerten (siehe Übung 7, Aufgabe 1, Teil iii)
Definition 1:
Vielfache:
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Schreibe Matrix A, wobei aber bei jedem Element in der Diagonalen noch der Summand „ - λ“
hinzugefügt werden muss, es wird also aus den Elementen „aii“ neu der Ausdruck „aii - λ“
Berechne die Determinante dieser Matrix und setze diese gleich Null
Löse die erhaltene Gleichung nach den Eigenwerten λ auf. Beachte, dass diese z.T. auch komplex sein können.
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Definition 2:
EIGENWERTE
cos ( ϕ ) =
x2 + y2
- Seite 11 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 12 -
by Thomi Albrecht
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Nice to know:
Prinzip:
Beispiel:
SEPARATIONSANSATZ
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Ein oft verwendetes Verfahren ist der Separations-Ansatz
Für weitergehende Informationen: Vergleiche Analysis III
Integral über zwei
Sinus-Funktionen
Es wird für die Lösung einer Differentialgleichung angenommen, dass diese in Terme (Faktoren)
aufgeteilt werden kann, die jeweils nur von einer Variablen abhängen. Durch Anwenden des Separationsansatzes kann die ursprüngliche Differentialgleichung in mehrere Teil-Probleme aufgeteilt
werden, für welche sich die Lösungen relativ leicht bestimmen lassen. Die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung erhält man schlussendlich durch Multiplikation der Teil-Lösungen und
allfälliges Bestimmen von Parametern durch Einsetzen in Anfangsbedingungen.
Gegeben sei folgende Differentialgleichung (vgl. Wellen nach klassischer Physik, Seite 16):
∂ ψ ( x, t )
∂ x2
2
ρ ∂ ψ ( x, t )
=
⋅
T0
∂ t2
sin ( m ⋅ x ) ⋅ sin ( n ⋅ x ) ⋅ dx =
0
Integral über zwei
Cosinus-Funkt.
π
0
für n ≠ m
π2
für n = m
cos (m ⋅ x ) ⋅ cos ( n ⋅ x ) ⋅ dx =
0
Integral über Cosinus und Sinus-F.
π
für n ≠ m
0
π2
für n = m
π
für n = m = 0
sin ( m ⋅ x ) ⋅ cos ( n ⋅ x ) ⋅ dx = 0
für alle n und m
0
Für die Lösung ψ(x,t) wird folgender Ansatz gemäss der Separation der Variablen gewählt:
Gerade und ungerade Funktionen
ψ ( x, t ) = X ( x ) ⋅ τ ( t )
Nützliche Formeln
zur Berechnung
des Maximums
der Wahrscheinlichkeitsdichte
Die ursprüngliche Differentialgleichung wird in Teilprobleme aufgeteilt. Man erhält:
d2 X ( x )
1
⋅
X (x)
dx 2
π
NÜTZLICHE FORMELN UND ZUSAMMENHÄNGE
= const. = C
2
ρ
1 d τ (t)
⋅
⋅
= const. = C
T0 τ ( t )
d t2
Lösen der Teilprobleme liefert:
fgerade ( t ) = fgerade ( −t )
Multiplikation mit ungerader Funkt. ergibt ungerade Gesamt-Funktion
fungerade ( t ) = − fungerade ( −t )
Integration von -
(
d
a ⋅ exp b ⋅ x 2
dx
)
(
!
2
d
a ⋅ x ⋅ exp b ⋅ x 2
dx
=0
)
2
!
=0
bis +
ergibt wegen Symmetrie gleich Null
(
)
(
)
d 2 2
a ⋅ x ⋅ exp 2 ⋅ b ⋅ x 2
dx
d 2 2
a ⋅ x ⋅ exp 2 ⋅ b ⋅ x 2
dx
!
=0
!
=0
x=0
x=±
−
1
und x = 0
2⋅b
Konz ep te der klassisc hen Physi k (Me ch a ni k)
KLASSISCHE PHYSIK
X ( x ) = A ⋅ cos ( k ⋅ x + α )
τ ( t ) = B ⋅ cos ( ω ⋅ t + β )
Somit ergibt sich für die Lösung ψ(x,t) der ursprünglichen Differentialgleichungssystem:
ψ ( x, t ) = A ⋅ cos ( k ⋅ x + α ) ⋅ B ⋅ cos ( ω ⋅ t + β )
AUSBLICK AUF QUANTENMECHANIK
Gemäss dem Korrespondenzprinzip ist die klassische Mechanik als Grenzfall der Quantenmechanik aufzufassen. Mathematisch wird dies ausgedrückt, indem man sagt, dass für den Fall → 0 die Observablen des quantenmechanischen
Systems die gleichen Werte annehmen müssen wie diejenigen des klassischen Systems, wobei natürlich angenommen
wird, dass es sich beim Planck’schen Wirkungsquantum h um eine Variable und nicht um eine Naturkonstante handelt.
Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass für grosse Quantenzahlen die quantenmechanischen Observablen durch ihre
klassischen Gegenstücke angenähert werden können.
Die noch unbekannten Parameter A und B könnte man dabei aus den gegebenen Anfangsbedingungen berechnen.
KLASSISCHE PHYSIK
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Nice to know:
Half-width:
Full-width:
PC - Quantenmechanik
Nice to know:
HALF-WIDTH UND FULL-WIDTH VON PEAKFÖRMIGEN KURVEN
Zur Charakterisierung von Peaks können die Half-width und die Full-width berechnet werden.
Da die englischen Ausdrücke wesentlich mehr eingesetzt werden als die deutschen, wurden
diese Begriffe nicht übersetzt, sondern werden in der Formelsammlung in der englischen Version verwendet.
Half-width ist die Distanz zwischen dem Wert x0, bei welchem das Peak-Maximum
-1
ist und dem Wert x, bei welchem die Funktion auf einen Wert von e abgesunken ist
Full-width ist die Distanz zwischen dem Wert x0, bei welchem das Peak-Maximum
ist und dem Wert x, bei welchem die Funktion auf einen Wert von ½ abgesunken ist
- Seite 13 -
by Thomi Albrecht
HARMONISCHER OSZILLATOR :: CHARAKTERISIERUNG DURCH V(X) [EINFACHE SICHTWEISE]
Das typische Beispiel für einen harmonischen Oszillator nach klassischer Physik ist eine Masse
m, die mit einer masselosen Feder verbunden ist, wobei d. Feder eine Federkonstante k aufweist.
Ein harmonischer Oszillator kann grundsätzlich durch eine potentielle Energie V(x) charakterisiert
werden (siehe unten). Daraus kann dann beispielsweise die maximale positive Auslenkung xk
berechnet werden
Bei dieser Sichtweise handelt es sich um eine sehr vereinfachende Betrachtung des harmonischen Oszillators. Für eine genauere Betrachtung des harmonischen Oszillator siehe Seite 15,
wobei man zwischen den beiden Fällen „gedämpft“, bzw. „ungedämpft“ unterscheiden kann.
Ein Beispiel findet man in der Übungsserie 6, Aufgabe 1
Charakteristisches Potential:
V (x) =
Maximale Aus
lenkung xk:
xk = ±
PC - Quantenmechanik
1
⋅ k ⋅ x2
2
2⋅E
=±
k
mit k = µ ⋅ ω2
2⋅E
µ ⋅ ω2
Das Potential eines harmonischen Oszillator zeigt einen quadratischen Verlauf, wobei das Minimum im Koordinatenursprung
liegt. Dabei ist µ die reduzierte Masse und ω die Kreisfrequenz
Diese Ausdruck wird erhalten, wenn man berücksichtigt, dass
bei der maximalen Auslenkung die Gesamtenergie gerade der
potentiellen Energie entspricht, also E = V0 = ½ . k . x2
- Seite 14 -
by Thomi Albrecht
KLASSISCHE PHYSIK
Nice to know:
HARMONISCHER OSZILLATOR :: UNGEDÄMPFT
KLASSISCHE PHYSIK
Das typische Beispiel für einen harmonischen Oszillator nach klassischer Physik ist eine Masse
m, die mit einer masselosen Feder verbunden ist, wobei d. Feder eine Federkonstante k aufweist.
Beachte, dass die potentielle Energie einem quadratischen Kurvenverlauf folgt
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 12 - 13
Differentialgleichung (Newton):
m⋅
Allgemeine Lsg:
x ( t ) = a ⋅ sin ( ω ⋅ t ) + b ⋅ cos ( ω ⋅ t )
Potentielle
Energie:
T (t) =
d2 x
d t2
x + ω2 ⋅ x = 0 mit ω2 =
+k⋅x = 0
1
1
V ( t ) = − F ⋅ dx = k ⋅ x ⋅ dx = ⋅ k ⋅ x 2 = ⋅ k ⋅ A ⋅ cos ( ω ⋅ t + ϕ )
2
2
Gesamte
Energie:
E = T (t) + V (t) =
KLASSISCHE PHYSIK
Nice to know:
+
1
⋅ k ⋅ A ⋅ cos ( ω ⋅ t + ϕ )
2
2
=
1
1
⋅ k ⋅ A 2 = ⋅ m ⋅ ω2 ⋅ A 2
2
2
Das typische Beispiel für einen harmonischen Oszillator nach klassischer Physik ist eine Masse
m, die mit einer masselosen Feder verbunden ist, wobei d. Feder eine Federkonstante k aufweist.
Weitere Informationen (Beispiel) findet man in der Übungsserie 2, Aufgabe 3
m⋅
Allgemeine Lsg:
x ( t ) = exp (i ⋅ λ ⋅ t )
d2 x
d t2
β entspricht dabei der Stärke der Dämpfung. β ist dabei
die Zeit, nach der die Oszillation einer Funktion x(t) mit
Anfangswert x0 den Wert | x0 | . e-1 erreicht hat.
dx
+ 2⋅m⋅β⋅
+k⋅x = 0
dt
Parameter λ:
λ1,2 = βi ±
Fall 2: ω0 > β
2
2
HARMONISCHER OSZILLATOR :: GEDÄMPFT
Differentialgleichung:
Fall 1: β = 0
A entspricht Periode der Oszillation
ω entspricht der Kreisfrequenz
2
Kinetische
Energie:
1
⋅ m ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ )
2
λ1,2 = ±ω0
λ1,2 = βi ±
.
Man könnte dies auch schreiben als x(t) = exp(λ t) wobei λ komplex wäre
k
− β2 = βi ±
m
ω02 − β2
x ± = exp ± i ⋅ ω0 ⋅ t
ω02 − β2
>0
Man erhält diesen Ausdruck, indem die Ableitungen der
allg. Lösung in die Diffgleichung eingesetzt werden. Der
Wurzelausdruck entspricht dabei gerade der ResonanzFrequenz der gedämpften Oszillation.
Da die Lösung für λ real ist, erhält man ein ungedämpftes
System. x(t) wird unendlich lang oszillieren Siehe oben
x ± = exp −β ⋅ t ⋅ exp ± i ⋅
Differentialgleichung (Herleitung
auf Seite 14):
∂ ψ ( x, t )
Allgemeine Lsg:
ψ ( x, t ) = A ⋅ cos ( k ⋅ x + α ) ⋅ B ⋅ cos ( ω ⋅ t + β )
Wellenzahl k:
k=
2⋅π
λ
Winkelgeschwindigkeit ω:
ω=
2⋅π
= 2⋅π⋅ν
τ
ω = Winkelgeschwindigkeit
τ = Schwingungsdauer (Periode in Zeit-Einheit)
Frequenz ν:
ν=
1
ω
=
τ 2⋅π
ν = Frequenz
τ = Schwingungsdauer (Periode in Zeit-Einheit)
DispersionsRelation:
k2 =
Kompl. Schreibweise für ψ:
ψ ( x, t ) = Re exp i ⋅ (k ⋅ x + ω ⋅ t + ϕ )
λ1,2 = βi
Nice to know:
ω02 − β2 ⋅ t
real
x = exp i ⋅ βi ⋅ t
Die Dämpfung ist so stark, dass es keine Oszillation mehr gibt. Das
System zeigt lediglich einen exponentiellen Zerfall.
Fall 4: ω0 < β
ω02
λ1,2 = βi ±
<0
2
ρ ∂ ψ ( x, t )
⋅
T0
∂ t2
T ist die sogenannte Spannkraft eines schwingenden Seils. Da diese
konstant bleibt in x-Richtung kann man T0 schreiben.
ψ ( x, t ) ∝ cos (k ⋅ x + α ) ⋅ cos ( ω ⋅ t + β )
k = Wellenzahl / Kreiszahl
λ = Wellenlänge (Periode in Längenmass)
ρ
⋅ ω2
T0
k=±
Die sogenannte Dispersions-Relation zeigt die Beziehung
der beiden Parameter ω und τ auf. Dies ist eigentlich analog
.
dem einfachen, linearen Ausdruck ν = λ v
ρ
⋅ω
T0
{
}
{
+ Re exp i ⋅ ( k ⋅ x − ω ⋅ t + δ )
}
WELLEN :: STEHENDE WELLEN (STANDING WAVES)
Jedes Segment einer stehende Welle vibriert nur senkrecht entlang der Welle.
Als Veranschaulichung dient eine Saite, die an beiden Enden befestigt ist. Die Saite vibriert
schliesslich nur senkrecht zur Spann-Richtung.
Jede stehende Welle, die einem Wert von n entspricht, stellt einen Modus oder einen Eigenfunktion des Systems her.
Stehende Wellen bilden sich durch Überlagerung zweier gegenläufiger, harmonischer Wellen
(fortpflanzende Wellen, siehe unten) gleicher Frequenz und Amplitude.
Siehe Seite 81, um Unterschied zw. stehender und fortpflanzender Welle graphisch zu betrachten.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 18 - 19
ψ ( 0, t ) = ψ (L, t ) = 0
Gleichungen für
stehende Welle:
kn ⋅ L = n ⋅ π
−β
λn =
L ist dabei die Länge zwischen den beiden fixierten Punkten
2 ⋅L
mit n = 1, 2, 3, ...
n
Darstellung der
ersten 3 grundlegenden Modi zu
bestimmter Zeit
imaginär
- Seite 15 -
=
Randbedingungen:
2
Das System zeigt wiederum keine Oszillation sondern nur einen exponentiellen Zerfall.
PC - Quantenmechanik
∂ x2
KLASSISCHE PHYSIK
Erster Faktor entspricht exponentiell wachsender Funktion (Form,
Umschlag), während zweiter Term der Oszillation entspricht.
Fall 3: ω0 = β
Es gibt verschiedene Arten von Wellen (Schallwellen, Elektromagnetische Wellen, Wasserwellen,
Wahrscheinlichkeitswellen), bei denen die mathematischen Grundlagen jeweils gleich sind.
Zur Lösung der Differentialgleichung wird das Verfahren mit dem Separationsansatz gewählt
(vergleiche dazu Hinweis auf Seite 13)
Wellen können reell oder komplex beschrieben werden.
In der komplexen Schreibweise erhält man zwei Summanden (siehe unten). Der erste Summand
beschreibt eine fortpflanzende Welle in positive x-Richtung, der zweite Summand beschreibt eine
fortpflanzende Welle in negative x-Richtung.
Je nach gegebenen Randbedingungen erhält man unterschiedliche Arten von Wellen.
.
Die Dispersionsrelation für Photonen lautet ω(k) = c k
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 13 - 28
k
m
x ( t ) = A ⋅ cos ( ω ⋅ t + ϕ )
1
1
⋅ m ⋅ v 2 = ⋅ m ⋅ A ⋅ ω ⋅ sin ( ω ⋅ t + ϕ )
2
2
Nice to know:
WELLEN :: ALLGEMEINE DEFINITIONEN
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 16 -
by Thomi Albrecht
KLASSISCHE PHYSIK
Nice to know:
WELLEN :: FORTPFLANZENDE WELLEN (TRAVELING WAVES)
KLASSISCHE PHYSIK
Jedes Segment einer fortpflanzenden Welle bewegt sich entlang der Wellenlänge.
Als Veranschaulichung dient eine Saite, die an einem Ende festgehalten und dabei periodisch
bewegt wird.
Siehe Seite 81, um Unterschied zw. fortpflanzender und stehender Welle graphisch zu betrachten.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 18 und 20.
Randbedingungen:
ψ ( 0, t ) = A ⋅ cos ( ω ⋅ t )
L ist dabei die Länge zwischen den beiden fixierten Punkten
Gleichungen für
stehende Welle:
ψ ( x, t ) = A ⋅ exp i ⋅ k ⋅ x −
ω
⋅t
k
Phasen-Geschwindigkeit vp
(pase velocity)
vp =
λ
ω
= λ⋅ν = =
τ
k
(
= A ⋅ exp i ⋅ k ⋅ x − vp ⋅ t
)
A = Amplitude der Welle
k = Wellenzahl (2 . π) / λ
vp = Phasen-Geschwindigkeit
Phasen-Geschwindigkeit ist Geschw., mit welcher sich Phase der
fortpflanzenden Welle ausbreitet. Letzter Term der Gleichung links
(mit Wurzel) bezieht sich auf Saite mit Dichte ρ und Spannkraft T0
T0
ρ
Graphische Darstellung der Oszillation:
Nice to know:
Fortpflanzende
Welle (analog zu
Seite 17)
Annahmen:
Fall 1: ρ1 > ρ2
WELLEN :: REFLEXION UND TRANSMISSION BEI MITEINANDER VERBUNDENEN SAITEN
Die folgenden Formeln und Zusammenhänge beziehen sich nur auf fortpflanzende Wellen, da
Reflexion bei stehenden Wellen nicht auftritt.
Als Veranschaulichung dienen jeweils Saiten mit entsprechenden Eigenschaften. Für die Saiten
muss jeweils auch deren Dichte ρ und die Spannkraft T0 berücksichtigt werden.
Umso grösser die Dichte einer Saite ist, desto kleiner ist die Phasen-Geschwindigkeit der Welle
Dieses Prinzip aus der klassischen Physik kann auch auf die Transmission und Reflektion eines
Teilchens an Potential übertragen werden. Vergleiche Übungsserie 4, Aufgabe 3 und Seite 29.
Weitere Informationen findet man in Übungsserie 2, Aufgabe 1
ψ ( x, t ) = A ⋅ exp i ⋅ k ⋅ x −
ω
⋅t
k
(
= A ⋅ exp i ⋅ k ⋅ x − vp ⋅ t
Die einfallende und die reflektierte Wellen haben die gleiche Geschwindigkeit und die gleiche Polarität, jedoch eine unterschiedliche Amplitude (die Amplitude der reflektieren Welle ist kleiner). Die
transmittierte Welle hat die gleiche Polarität wie die einfallende Welle, jedoch eine höhere Geschwindigkeit und eine grössere Amplitude als diese.
ψ einfallend ( x, t ) = A einfallend ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ ( x − v1 ⋅ t )
für x < 0
= A reflektiert ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ ( x − v1 ⋅ t )
ψ transmittiert ( x, t ) = A transmittiert ⋅ exp i ⋅ k 2 ⋅ ( x − v 2 ⋅ t )
Nice to know:
für x > 0
Graphische Darstellung:
Die folgenden Formeln und Zusammenhänge beziehen sich nur auf fortpflanzende Wellen, da
Reflexion bei stehenden Wellen nicht auftritt.
Als Veranschaulichung dienen jeweils Saiten mit entsprechenden Eigenschaften. Für die Saiten
muss jeweils auch deren Dichte ρ und die Spannkraft T0 berücksichtigt werden.
ψ ( x, t ) = A ⋅ exp i ⋅ k ⋅ x −
Reflexion der
Welle an einem
festen Ende
Reflexion einer Welle an einem fixierten (harten) Rand führt zu
Welle mit entgegengesetzter Polarität. Phase ändert sich um 180°
ω
⋅t
k
(
= A ⋅ exp i ⋅ k ⋅ x − vp ⋅ t
)
A = Amplitude der Welle
k = Wellenzahl (2 . π) / λ
vp = Phasen-Geschwindigkeit
Fall 2: ρ1 < ρ2
Die Gleichung der reflektierten Welle sieht eigentlich gleich aus wie die ursprüngliche, nur steht im
exponentiellen Ausdruck
zuerst ein Minus-Zeichen,
wodurch der Phasenwechsel berücksichtigt werden
kann.
Die einfallende und die reflektierte Wellen haben die gleiche Geschwindigkeit, jedoch eine umgekehrte Polarität und eine unterschiedliche Amplitude (die Amplitude der reflektieren Welle ist kleiner). Die transmittierte Welle hat die gleiche Polarität wie die einfallende Welle, jedoch eine niedrigere Geschwindigkeit und eine kleinere Amplitude als diese.
ψ einfallend ( x, t )
= A einfallend ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ ( x − v1 ⋅ t )
für x < 0
ψ reflektiert ( x, t )
= A reflektiert ⋅ exp - i ⋅ k1 ⋅ ( x + v1 ⋅ t )
für x < 0
ψ transmittiert ( x, t ) = A transmittiert ⋅ exp i ⋅ k 2 ⋅ ( x − v 2 ⋅ t )
für x > 0
Graphische Darstellung:
Reflexion einer Welle an einem beweglichen (weichen) Rand führt zu einer Welle mit der gleichen
Polarität wie die einfallende Welle, die Phase ändert sich also nicht.
Fall 3: ρ1 <<< ρ2
PC - Quantenmechanik
für x < 0
WELLEN :: REFLEXION VON WELLEN
Fortpflanzende
Welle (analog zu
Seite 17)
Reflexion der
Welle an einem
losen Ende
A = Amplitude der Welle
k = Wellenzahl (2 . π) / λ
vp = Phasen-Geschwindigkeit
Beide Saiten haben die gleiche Spannkraft T0
Die Dichten der beiden Saiten sind unterschiedlich, d.h. ρ1 ≠ ρ2. Dabei gilt ρ1 sowohl für die einfallende, als auch die reflektierte Welle. ρ2 bezieht sich auf die transmittierte Welle.
Die Saiten sind an der Stelle x = 0 miteinander verbunden
ψ reflektiert ( x, t )
KLASSISCHE PHYSIK
)
- Seite 17 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
Unter Annahme, die zweite Saite hätte eine unendlich grosse Dichte, kann keine transmittierte Welle mehr entstehen und man erhält eine Reflektion an einem festen Ende (siehe Seite 17)
- Seite 18 -
by Thomi Albrecht
Randbedingungen:
ψ einfallend ( 0 − ε , t ) + ψreflektiert ( 0 − ε , t ) = ψ transmittiert ( 0 + ε , t )
ε steht in der ersten Formel für eine
infinitesimale Einheit
ψ einfallend ( x , t ) + ψreflektiert ( x , t ) = ψ transmittiert ( x , t )
∂ ψ einfallend ( x, t )
∂x
Amplituden der
reflektieren und
transmittierten
Wellen in Bezug
auf die Eingangsamplitude:
Fourier-Reihe
(reelle Schreibw.)
=
∂ ψ transmittiert ( x, t )
∂x
A tranmittiert
A reflektiert
Fall 2 (ρ1 < ρ2)
mit Wellenzahlen
A tranmittiert
2 ⋅ k1
=
⋅ A einfallend
k 2 + k1
und
A reflektiert =
k1 − k 2
⋅ A einfallend
k 2 + k1
Fall 1 (ρ1 > ρ2)
mit Geschwindig.
A tranmittiert =
2 ⋅ v2
⋅ A einfallend und
v1 − v 2
A reflektiert =
v 2 − v1
⋅ A einfallend
v1 − v 2
Fall 2 (ρ1 < ρ2)
mit Geschwindig.
A tranmittiert =
Fall 1 (ρ1 > ρ2)
mit Wellenzahlen
2 ⋅ v2
v1 + v 2
⋅ A einfallend
und
k − k2
= 1
⋅ A einfallend
k 2 − k1
A reflektiert =
v 2 − v1
v1 + v 2
Wobei
ω
k=
v
verwendet wurde.
⋅ A einfallend
Eine abschnittsweise stetige und monotone, periodische Funktion f (mit Periode τ > 0 ) lässt sich
durch eine Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen mit unterschiedl. Frequenzen darstellen.
In der praktischen Anwendung wird man die Reihe häufig nach endlich vielen Reihengliedern
abbrechen. Man erhält dann nur eine Approximation von f.
Die Entwicklung in Fourier-Reihen kann entweder reell oder komplex vorgenommen werden.
Anstatt der Periode τ kann in den Gleichungen auch mit der Periodizität l gerechnet werden, die
zum Beispiel bei einer Saite deren Länge entspricht).
Beachte, dass die Entwicklung in Fourier-Reihen nicht für jede beliebige Funktion möglich ist.
Jedoch lassen sich die meisten für die Physik wichtigen Formen in Fourier-Reihen umschreiben.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 21 - 22
f ( x) =
n =1
2
⋅
τ
kn = n ⋅
f ( x) =
Cn =
A n ⋅ sin n ⋅
x1+ τ
1
wobei B0 = ⋅
τ
f ( x ) ⋅ cos (k n ⋅ x ) ⋅ dx
x1
x1 + τ
f ( x ) ⋅ dx
∞
1
⋅
τ
Gilt für eine periodische Funktion mit Periode τ > 0 im
Bereich x1 ≤ x ≤ x1 + τ
Cn ⋅ exp (i ⋅ k n ⋅ x )
x1+ τ
f ( x ) ⋅ exp (i ⋅ k n ⋅ x ) ⋅ dx
F (k ) =
Inverse FourierTransformation
f ( x) =
Nice to know:
Dies sind die Parameter der Fourier-Reihe in der
komplexen Schreibweise
x1
2⋅π
τ
by Thomi Albrecht
2⋅π
−∞
∞
1
F ( k ) ⋅ exp (i ⋅ k ⋅ x ) ⋅ dk
⋅
2⋅π
−∞
FREQUENZ-BEREICH
Mit Hilfe der Fourier-Transformation kann eine zeitabhängige Funktion f(t) in einen frequenzabhängigen Bereich transformiert werden. Analog kann natürlich auch eine frequenzabhängige
Funktion f(ω) in einen zeitabhängigen Bereich transformiert werden.
Die allgemeine Definition der Fourier-Transformation ist im Abschnitt direkt oben aufgeführt.
Die Funktion F(ω) wird oft auch als Spektrum der Funktion f(t) bezeichnet.
Gerade, reelle Funktionen haben reelle Spektren F(ω). Ungerade, reelle Funktionen hingegen
haben komplexe Spektren F(ω), die nur aus imaginärem Teil bestehen (siehe Formeln unten)
Das Integral kann jeweils in mehrere Teilbereiche aufgeteilt werden, um die Integrationen zu erleichtern. Dies wird unter anderem bei Betragfunktionen oder bei symmetrischen Funktionen (gerade und ungerade) angewandt. Bei Betragsfunktionen wird beispielsweise die Transformation in
zwei Summanden (x ≥ 0 und x < 0) aufgeteilt.
Soll die Fourier-Transformierte einer Funktion f(x) berechnet werden, welche nur im Intervall von
a bis b ungleich null ist (oder nur in diesem Gebiet definiert ist), ersetzt man die Grenzen - und
durch a und b und f(x) wird durch die gegebene Funktion ersetzt.
Für sämtliche Berechnungen kann (falls nützlich) auch das Linearitätsgesetz angewandt werden
(vergleiche entsprechenden Gleichungen unten).
Beispiele findet man in der Übungsserie 2, Aufgabe 2 und Übungsserie 3, Aufgabe 1
Inverse FourierTransformation
f (t) =
Spektrum einer
geraden Funktion
F ( ω) =
Spektrum einer
ungeraden Funkt.
F ( ω) =
PC - Quantenmechanik
k-RAUM
f ( x ) ⋅ exp ( - i ⋅ k ⋅ x ) ⋅ dx
⋅
WELLEN :: FOURIER-TRANSFORMATION FÜR UMWANDLUNG ZEIT-
Fourier-TransforF ( ω) =
mation (Spektrum)
Linearitätsgesetz
- Seite 19 -
∞
1
∞
1
2⋅π
x1
2⋅π
τ
n=−∞
kn = n ⋅
Dies sind die Parameter der
Fourier-Reihe in der reellen
Schreibweise
f ( x ) ⋅ sin ( k n ⋅ x ) ⋅ dx
x1
x1+ τ
FourierTransformation
Gilt für eine periodische Funktion mit Periode τ > 0 im Bereich x1 ≤ x ≤ x1 + τ
2⋅π
2⋅π
⋅x +
Bn ⋅ cos n ⋅
⋅x
τ
τ
n =0
WELLEN :: FOURIER-TRANSFORMATION FÜR ALLGEMEINE UMWANDLUNG x-RAUM
Die Fourier-Transformation geht aus von der Entwicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe
(siehe Seite 19). Dabei lässt man das Intervall (den Gültigkeitsbereich) gegen unendlich streben,
wodurch die Differenz zwischen kn und kn+1 unendlich klein wird und vernachlässigt werden kann.
Man bezeichnet die Funktion F(k) als die Fourier-Transformierte der Funktion F(x) und dementsprechend ist f(x) die inverse Fourier-Transformierte der Funktion F(k).
Analog kann man aber auch die Funktion f(x) als die Fourier-Transformierte der Funktion F(k)
bezeichnen und damit wird F(k) die inverse Fourier-Transformierte der Funktion f(x).
Für eine Funktion im x-Raum gibt es jeweils ein Gegenstück im k-Raum (dieser hat die Dimension
1/x). Analog gibt es für jede Funktion im k-Raum auch jeweils ein Gegenstück im x-Raum.
Siehe auch „Nice to know“ des folgenden Abschnittes (weiter unten)
Beispiele findet man in der Übungsserie 2, Aufgabe 2 und Übungsserie 3, Aufgabe 1
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 23 - 24
KLASSISCHE PHYSIK
WELLEN :: ENTWICKLUNG IN FOURIER-REIHE
2
Bn = ⋅
τ
PC - Quantenmechanik
∂x
2 ⋅ k1
=
⋅ A einfallend und
k 2 − k1
An =
Fourier-Reihe
(komplexe Schr.)
∂ ψreflektiert ( x, t )
Nice to know:
In der Ursprungsgleichung wurde
für x = 0 eingesetzt, da die beiden
Saiten an der Stelle x = 0 miteinander verbunden sind.
A einfallend + A reflektiert = A tranmittiert
Allgemein
KLASSISCHE PHYSIK
Nice to know:
+
KLASSISCHE PHYSIK
⋅
∞
1
2⋅π
Die Funktion F(ω) wird oft auch als Spektrum der
Funktion f(t) bezeichnet.
f ( t ) ⋅ exp ( - i ⋅ ω ⋅ t ) ⋅ dt
−∞
⋅
F ( ω ) ⋅ exp (i ⋅ ω ⋅ t ) ⋅ dω
−∞
fgerade ( t ) =
fungerade ( t ) = −
a ⋅ f (t) + b ⋅ g (t) = a ⋅
∞
1
2⋅π
⋅ fgerade ( t ) ⋅ cos ( ω ⋅ t ) ⋅ dt
0
2⋅i
2⋅π
∞
⋅ fungerade ( t ) ⋅ sin ( ω ⋅ t ) ⋅ dt
0
f (t) + b ⋅
Die Herleitung findet man in
Aufgabe 1a der Übungsserie 3
Die Herleitung findet man in
Aufgabe 1a der Übungsserie 3
g ( t ) = a ⋅ F ( ω) + b ⋅ G ( ω)
- Seite 20 -
by Thomi Albrecht
KLASSISCHE PHYSIK
Nice to know:
WELLEN :: SUPERPOSITION VON WELLEN
KLASSISCHE PHYSIK
Das Superpositions-Prinzip besagt, dass wenn Sinus- und Cosinus-Funktionen mit verschiedenen Frequenzen eine Wellengleichung erfüllen, jede lineare Kombination dieser Funktionen die
Wellengleichung ebenfalls erfüllt.
Das Superpositionsprinzip bedeutet, dass Wellen sich überlagern, ohne sich gegenseitig zu
beeinflussen, wenn sie einer homogenen linearen Wellengleichung genügen oder wenn ihre
Inhomogenitäten sich addieren. Jede Einzelwelle ist eine Lösung der Differentialgleichung und
durch Summation dieser Einzelwellen entsteht die Welle, die man dann beobachtet.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 20 – 21
Beispiel anhand
Graphik:
Situation:
Fortplfanz. Welle
für getrennte
Bestandteile:
ψ ( x, t ) =
Fortplfanz. Welle
für ununterbrochene Spektren:
ψ ( x, t ) =
∞
(
A j ⋅ cos k j ⋅ x − ω j ⋅ t + ϕ j
Spektrum:
Wellenpakete ergeben sich aus der Superposition von Wellen (vergleiche oben), wobei für Wellenpakte die k’s der sich überlagernden Wellen nahe einem zentralen Wert k0 sein müssen.
Unter Dispersion versteht man die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen in
einem Medium von der Wellenlänge, bzw. von der Frequenz. Die Dispersion wird dabei als Änderung der Brechzahl n in Abhängigkeit von der Wellenlänge definiert, also n = n(λ).
Medien, in denen keine Dispersion auftritt (z.B. Vakuum), werden als nicht-dispersive Medien bezeichnet. In nicht-dispersiven Medien ist die Phasengeschwindigkeit vp gleich der Gruppengeschwindigkeit vg von Wellen, wobei beide der Lichtgeschwindigkeit entsprechen vp = ω / k = vg = c
Beispiele findet man in der Übungsserie 3, Aufgabe 3
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 24 – 26
⋅
Dispersiongleichung
ω (k ) = f (k )
Gruppen- und
Phasengeschwindigkeiten vg und vp
vg =
d ω (k )
dk
und
k =k0
vp =
Spektrum des quadratischen Puls
Hier befindet sich das System im Zeit-Bereich, also f(t)
Hier befindet sich das System
im Frequenz-Bereich, also f(ω)
Superposition von sich fortpflanzenden Wellen (traveling waves) für ununterbrochene Spektren
WELLEN :: WELLENPAKETE
ψ ( x, t ) = i exp i ⋅ ( ω0 ⋅ t − k 0 ⋅ x )
Quadratischer Puls
Superposition von sich fortpflanzenden Wellen (traveling waves) für getrennte Bestandteile
A ( k ) ⋅ exp −i ⋅ ( k ⋅ x − ω ⋅ t ) ⋅ dk
∞
A (k ) ⋅ exp i ⋅ ( k − k 0 ) ⋅ x −
−∞
Einf ache fortpflanzen−
de Welle mit der zen−
tralen Winkelgeschwin−
digkeit ω0
PC - Quantenmechanik
)
−∞
KLASSISCHE PHYSIK
Wellengleichung
für Wellenpaket
j =1
Wenn Wellenpakete (vergleiche Seite 21) in sehr kleine Regionen zusammengedrückt werden (in
Bezug auf Zeit, Raum, oder was auch immer) können sie Pulse bilden. Pulse sind dabei Signale
von sehr kurzer Dauer. Ziel ist es jeweils, das Spektrum zu einem bestimmten Puls zu finden.
Das Spektrum zu einem bestimmten Puls kann gefunden werden durch Fourier-Transformation
Angaben zur Herleitung der Formel für das Spektrum des Pulses ist auf Seite 25 des Skriptes.
Vergleiche aber auch Seite 20 der Formelsammlung.
Umso kleiner die Dauer ∆t des Pulses ist, desto grösser wird der Frequenz-Bereich ∆ν, der zur
Erzeugung des Pulses benötigt wird. Analog führt ein vernachlässigbar kleiner Frequenzbereich
∆ν zur einer langen Oszillationszeit (wie dies beispielsweise für eine einfache harmonische Welle
mit einer eindeutig definierten Frequenz ν der Fall ist).
In der Quantenmechanik wird dieser Zusammenhang durch die Heisenberg’sche Unschärferelati.
.
on wiedergegeben, welche lautet ∆k ∆x = 2 π (vergleiche Skript auf Seite 26).
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 25 – 26
Die Amplituden der Wellen können miteinander addiert werden. So erhält man aus
den beiden ursprünglichen Wellen (rot und
grün) die beobachtete Welle (blau). Beachte, dass alle drei Wellen die Wellengleichung erfüllen.
Prinzip:
Nice to know:
Nice to know:
WELLEN :: PULSE
dω
dk
⋅t
Amplitude des
Spektrum:
A ( ω) =
Wichtige
Beziehungen:
⋅ dk
k
- Seite 21 -
1
2⋅π
a ⋅ ∆t
2⋅π
∆ω ⋅ ∆t = 2 ⋅ π
∆ν ⋅ ∆t = 1
k =k0
Dieser Ausdruck führt zu einer bestimm−
ten Wellenform und wird als Wellenpaket
(wave packet) bezeichnet
ω (k )
F ( ω) =
∞
f ( t ) ⋅ exp ( - i ⋅ ω ⋅ t ) ⋅ dt
⋅
−∞
sin
⋅
Das Spektrum kann durch eine Fourier-Transformation berechnet werden (siehe Seite 20)
∆t ⋅ ω
2
∆t ⋅ ω
2
wobei ν =
ω
2⋅π
Beachte, dass die Delta-Zeichen einen bestimmten Bereich
bedeuten. Umso genauer ein solcher Bereich definiert ist, desto kleiner wird der entsprechende Ausdruck. Vergleiche auch
die dritte Bemerkung unter „Nice to know“ (siehe oben)
Nimm einfach den Ausdruck ω(k) aus der Dispersionsgleichung (siehe oben) und leite diesen nach k ab (ergibt vg) oder dividiere ihn durch k (ergibt vp)
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 22 -
by Thomi Albrecht
Well en in der Qu an te n mech ani k (De Br og lie, Bohr, Born)
KLASSISCHE PHYSIK
Nice to know:
WELLEN :: DREIDIMENSIONALE (3D) WELLEN
Wie im eindimensionalen Fall lassen sich die verschiedenen Ausdrücken und Konzepte auch
auf Schwingungen und Oszillationen im dreidimensionalen Raum ausweiten.
Die Herleitungen für entsprechende Formeln sind im Skript nicht angegeben und werden
deshalb auch in dieser Formelsammlung nicht berücksichtigt. Ziel dieses Abschnittes ist es,
verschiedene Formeln für die Charakterisierung von Wellen in dreidimensionalen Gebieten
wiederzugeben.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 26 – 27
∇ 2 ψ r ,t
Allgemeine Lösung
der Wellengleichung
ψ r , t = A 0 r , t . exp i ⋅ σ r , t
( )
∂ t2
( )
ψ r , t = exp i ⋅ k ⋅ r − ω ⋅ t
Wellengleichung für
Wellen-Ebene:
∇ 2 ψ r = −k 2 ⋅ ψ r = −
FourierTransformation
F k =
Inverse FourierTransformation
f r =
Wellen-Paket
(wave packet)
ψ r,t =
Kugelförmige
Welle:
ψ r,t =
Ausbreitungsgeschwindigkeit:
k = ∇σ
Winkelgeschwindigkeit
der Ausbreitung:
ω=−
Infinitesimale Änderung der Phase:
dσ = ∇ σ ⋅ dr +
( )
(
( )
( )
( )
( )
( )
∞
1
⋅
2⋅π
∞
1
⋅
2⋅π
∞
−∞
−∞
A 0 ( r , t) = Reelle Amplitude
= Reelle Phasen-Funktion, wobei gilt dass die
Wellenfront definiert als die Oberfläche im
Raum für welche gilt σ(r,t) = const.
( )
Harmonische, fortpflanzende Welle
(Wellenebene)
( )
Harmonische, fortpflanzende Welle wird auch Wellenebene
(plane wave) genannt. Sie bewegt sich entlang Richtung k und
breitet sich transversal aus ins Unendliche, d.h. ψ(r,t) hat überall auf einer Ebene senkrecht zum Vektor k den gleichen Wert.
)
2⋅π
λ
( )
σ(r , t)
2
(
Vergleiche Skript Seite 34
)
f r ⋅ exp - i ⋅ k ⋅ r ⋅ d3 r
()
(
)
F k ⋅ exp i ⋅ k ⋅ r ⋅ d3 k
( )
(
(
C
⋅ exp i ⋅ k ⋅ r − ω ⋅ t
r
∂σ
∂t
( )
⋅ψ r
A k ⋅ exp i ⋅ k ⋅ r − ω ⋅ t
−∞
Nice to know:
∂2 ψ r , t
∝
( )
WELLENEIGENSCHAFTEN VON MATERIE (DE BROGLIE’S IDEE DER PHASEN-WELLEN)
( )
Wellengleichung für
den dreidimensionalen Raum
PC - Quantenmechanik
WELLEN IN QM
)
)
Konstanten h und :
Seit Einsteins Erklärung des photoelektrischen Effekts weiss man, dass man Lichtwellen
auch als einen Strom von (Licht-)Teilchen, den sogenannten Photonen, betrachten kann.
Ebenso wie das Licht Wellen- oder Teilchencharakter haben kann, können Materieteilchen
wie Elektronen, Neutronen, aber auch Atome und noch grössere Objekte sich wie Wellen
verhalten. Dieser Welle-Teilchen-Dualismus für Teilchen wurde erstmals von Louis de
Broglie vorgeschlagen. Den Teilchen wird hierbei eine nach de Broglie benannte Wellenlänge zugeordnet, die umgekehrt proportional zur Masse und Geschwindigkeit der Teilchen ist.
Louis de Broglie bezeichnete die Wellen der Materie-Teilchen als sogenannte PhasenWellen (phase wave). Man bezeichnet dies zum Teil auch als die Welleneigenschaften von
Materie und die entsprechenden Wellen als Materiewellen.
Aus den Beziehungen von de Broglie kann man das Atommodell von Bohr herleiten, welches
zum Beispiel auf ein Wasserstoff-Atom oder andere Einelektronensysteme angewandt werden kann. Siehe dazu die entsprechenden Formeln auf der Seite 25
Die blau markierte Gleichung (siehe unten) wird bei den verschiedensten Problemstellungen
verwendet, um zum Beispiel die Energie eines Übergangs zu berechnen oder die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes eines Übergangs zu bestimmen. Fast überall, wo Energien im
Spiel sind, kann diese Gleichung verwendet werden.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 29 – 31
h=
=
h
= 1.05457 ⋅ 10 −34 J ⋅ s
2⋅π
De Broglie
Wellenlänge λ:
λ=
h
h
=
=
p m⋅v
De Broglie Frequenz ν
und äusserst wichtige
Umformung (!):
ν=
E
h
Quantisierung der
Wellenlänge:
2 ⋅ π ⋅ rn = n ⋅ λn = n ⋅
E = h⋅ν =
Dabei ist ν die Frequenz, E die (Photonen-) Energie, h die
Planck’sche Konstante, c die Lichtgeschwindigkeit und λ
die Wellenlänge.
h⋅c
λ
h
= n⋅
pn
h
2 ⋅ m ⋅ Tn
mit n = 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 , ...
⋅ d3 k
n⋅h
= m⋅ v ⋅r
2⋅π
Eine kugelförmige Welle ist eine Welle mit kugelförmiger Wellenfront, d.h. dass die Oberfläche, über welche
die Phase konstant ist, jeweils eine Kugel ist.
Dabei ist k der Wellenvektor und ω die Winkelgeschwindigkeit und
somit direkt proportional zur Frequenz ν.
- Seite 23 -
Dabei ist λ die Wellenlänge, h die Planck’sche Konstante,
p der Impuls, m die Masse, v die Geschwindigkeit und Tn
die kinetische Energie.
h
2 ⋅ m ⋅ Tn
mit n = 1, 2, 3, 4, 5, ...
Skizze bezüglich
Quantisierung:
Der Umfang der
Kreisbahn entspricht einem
Vielfachen der
Wellenlänge,
dadurch erhält
man eine stehende Welle.
Im Normalfall weist die Winkelgeschwindigkeit der Ausbreitung, welche direkt
proportional zur Frequenz der Ausbreitung ist, eine komplizierte Form auf. In
solchen Fällen wird sie mit der links angegebenen Formel definiert.
∂σ
⋅ dt
∂t
Dabei sind
h = Plank’sche Konstante
= Plank’sches Wirkungsquantum
⋅ 2 ⋅ π = 6.62608 ⋅ 10−34 J ⋅ s
by Thomi Albrecht
Anwendung auf Teilchen im Kasten
PC - Quantenmechanik
Länge des Kastens:
Länge der periodischen Bahn:
Quantisierungsbedingung:
L
2⋅L
n ⋅ λn = 2 ⋅ L
Man erhält somit für kn:
k=
- Seite 24 -
Alternative Gleichung für die Quantisierung
der Wellenlänge (z.T. nützlich)
k=
2⋅π n⋅π
=
λ
L
2⋅π
λ
Vergleiche diesbezüglich auch Übungsserie
4, Aufgabe 2 (iii)
mit n ∈
− {0}
by Thomi Albrecht
WELLEN IN QM
BOHR’SCHES ATOMMODELL (ANWENDUNG DER DE-BROGLIE-GLEICHUNGEN AUF H-ATOM)
Nice to know:
Niels Bohr formulierte sein Atommodell in Analogie zum Aufbau unseres Planetensystems.
Demnach würden sich alle Elektronen auf kreisförmigen Bahnen um den Atomkern herum
bewegen. Sein Modell berücksichtigte damit erstmals die verschiedenen Energiezustände
der Elektronenbahnen (= Elektronenhüllen).
Wendet man die de-Broglie-Gleichungen auf ein Wasserstoffatom an (ein Elektron kreise auf
einer Kreisbahn um das im Zentrum ruhende Proton) unter Berücksichtung der Quantisierung der Wellenlänge, erhält man das Bohr’sche Atommodell.
Vergleiche für die Variablen-Definitionen für den Bahnradius und die Energie jeweils die
Angaben bei beiden Formeln, da diese ergänzend sind.
Im Zusammenhang mit dem Bohr’schen Atommodell findet auch oft das Balmer’sche Gesetz
Anwendung. Die entsprechenden Formeln sind unten ebenfalls aufgeführt.
Im Vergleich vom Wasserstoff-Atom zu einem Einelektronen-System der Ladung Z, muss bei
2
Betrachtung von Energien und Wellenlängen jeweils ein Faktor Z hinzugefügt werden.
Im Folgenden sind nur die wichtigsten Gleichungen des Atommodells aufgeführt. Ein Herleitung ausgehend von den de-Broglie-Gleichungen findet man im Skript auf den Seiten 30 – 31
Beispiele zum Bohr’schen Atommodell findet man in der Übungsserie 4, Aufgaben 1 und 2
Situation:
WELLEN IN QM
WAHRSCHEINLICHKEITSWELLEN (DEFINITION VON MAX BORN) UND WAHRSCHEINLICHKEIT ALLG.
Nice to know:
ψ(x,t) ist die Wahrscheinlichkeits-Wellenfunktion. Idee wurde von Max Born zuerst beschrieben. Idee ist, dass das Quadrat des Betrages der Wellenfunktion einer Dichte entspricht,
welche d. Wahrscheinlichkeit, das Partikel an Position x zur best. Zeit t zu finden, wiedergibt.
Um sicherzustellen, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt t an einer bestimmten Stelle x nur
ein einzelnes Partikel vorhanden ist, wird die Wellenfunktion normiert.
Weitere Informationen sind im Skript (Seiten 31 – 32) oder in Übungsserie 6 (Aufgabe 1)
Wahrscheinlichkeitsdichte:
ρ ( x, t ) = ψ ( x, t )
Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte:
d
ψ ( x, t )
dx
Wahrscheinlichkeit,
Teilchen in Intervall
[a,b] zu finden:
p=
Normierung der
Wellenfunktion:
b
2
= ψ * ( x, t ) ⋅ ψ ( x, t )
2 !
=0
ψ ( x, t )
2
⋅ dx
a
∞
ψ ( x, t )
2
!
⋅ dx = 1
−∞
Bahnradius rn:
rnH =
me ⋅ e 2
Bohr’scher Radius
(Radius für n = 1):
a0 =
Quantisierter EnergieZustand für H-Atom:
EHn = −
Quantisierter EnergieZustand für Einelektron-Ionen:
Rydberg-Konstante
(allg. Gleichung):
2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
⋅ n2 =
2
≈
µ ⋅ e2
En = −
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
RM = R∞ ⋅
RM
R∞
me
M
M
me + M
Energie eines Rydberg-Zustandes im
Wasserstoff-Atom
En =
PC - Quantenmechanik
= 5.29177 ⋅ 10
2
⋅
1
n2
-11
=−
h ⋅ c ⋅ RH
n2
RH = 109677
1
n2f
−
1
ni2
EIonisation = h ⋅ c ⋅ RM
−1
= Gesuchte Rydbergkonstante für vorliegendes System
= Rydberg-Konstante bei schwerem Atomkern = 109737.3 cm-1
= Masse des Elektrons = 9.10939 . 10-31 kg
= Masse des Ionenrumpfes (Atomkern + alle e- ausser Rydberg - e-
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
SchrödingerGleichung:
ALLGEMEINE FORM
Im Folgenden ist die allgemeine Form der Schrödinger-Gleichung aufgeführt. Eine Herleitung
ausgehend von der de-Broglie-Gleichung findet man im Skript auf der Seite 31.
Zum Laplace-Operator: Siehe Seite 8.
Beachte: Immer wenn man die Eigenzustände eines Systems berechnen soll, darf man die
Zeitabhängigkeit der Schrödinger-Gleichung vernachlässigen!
−
2
( )
( ) ( )
⋅ ∇2 ψ r , t + V r , t ⋅ ψ r , t = i ⋅ ⋅
2⋅m
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
( )
∂ ψ r ,t
∂t
)
Gleichung dient zur Berechnung der Wellenlänge λ bei einem Übergang vom Zustand ni in den Zustand nf. Beachte:
Setze für RM die entsprechende Rydberg-Konstante ein.
Die Auflösung für Übergänge beträgt dabei ∆λ / λ
Gleichung dient zur Berechnung der Ionisationsenergie EIon
bei Übergang vom Zustand ni in den Zustand nf. Beachte:
Setze für RM die entsprechende Rydberg-Konstante ein.
by Thomi Albrecht
Es gilt (Grundlage):
i⋅ ⋅
Zeit-unabhängige
Schrödinger-Gleichung
−
PC - Quantenmechanik
ZEIT-UNABHÄNGIGE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Wird Zeit nicht berücksichtigt, kann d. Schrödinger-Gleichung vereinfacht werden. Man erhält
eine zeit-unabhängige Schrödinger-Gl., mit welcher stationäre Probleme beschrieben werden.
Bei zeit-unabhängigen Probleme bleiben die Potentiale und die auftretenden Kräfte konstant
bei einer Veränderung der Zeit, d.h. dass Gesamt-Energie während der Zeit konstant bleibt.
Wendet man die zeit-unabhängige Schrödinger-Gleichung auf Ebenen-Wellen an, erhält
h
man die de-Broglie-Gleichung λ = /p. Die Schrödinger-Gleichung ist somit eine differentielle
Schreibweise um de-Broglie-Wellen eines Systems zu beschreiben.
Beachte: Immer wenn man die Eigenzustände eines Systems berechnen soll, darf man die
Zeitabhängigkeit der Schrödinger-Gleichung vernachlässigen!
Für eindimensionale, zeit-unabhängige Schrödinger-Gleichung: Vergleiche Seite 28
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 34
Gleichung gibt die Energie eines Rydberg-Zustandes an,
wobei für n alle natürlichen positiven Zahlen (1, 2, 3, 4, 5, …)
eingesetzt werden können.
- Seite 25 -
Für die Berechnung der Normierung mittels in der Quantenmechanik
gebräuchlichen Bra(c)ket-Schreibweise siehe Seite 46
Z = Ladung
RM = Rydbergkonstante (s. unten)
R∞ = Rydberg-Konstante bei schwerem Atomkern (M →
RH = Rydberg-Konstante für Wasserstoff-Atom
cm-1
h⋅c
1
= h ⋅ c ⋅ RH ⋅ 1 −
λ
n
λ = RM ⋅
me = Masse des Elektron
e = Elementarladung
= Plancksches Wirkungsquant.
Die Zahl gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man ein Teilchen im
Intervall von a nach b findet.
Multiplikation des Resultates mit 100 ergibt jeweils die Prozentzahl an.
Schr ödi ng er-Gleich ung im Einsa tz
m
me ⋅ e 4 ⋅ Z 2
Z2 ⋅ h ⋅ c ⋅ RM
Z 2 ⋅ e2
=−
=−
8 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rn
32 ⋅ π2 ⋅ ε02 ⋅ 2 ⋅ n2
n2
R∞ = 109737.3 cm-1
Ionisationsenergie für
Übergang von Zustand ni in Zustand nf:
m e ⋅ e2
2
a0 = Bohr’scher Radius (siehe unten)
ε0 = Dielektrizitätskonstante
n = Natürliche Zahlen (1, 2, 3, 4, …)
⋅ n2 = a0 ⋅ n2
me ⋅ e 4
1
e2
⋅
=−
8 ⋅ π ⋅ ε0 rn
32 ⋅ π2 ⋅ ε20 ⋅
Rydberg-Konstante
(wichtige Werte):
Wellenlänge beim
Übergang zwischen 2
Zuständen ni und nf:
ε0 ⋅ h2
π ⋅ me ⋅ e 2
Setze einfach die Wellenfunktion ψ(x,t) ein, leite nach
x ab, setze den Ausdruck gleich Null und löse nach x
xmax imal = ...
( ) = E⋅ψ
∂ ψ r ,t
∂t
2
2⋅m
( )
( r , t)
( ) ( )
( )
⋅ ∇2 ψ r + V r ⋅ ψ r = E ⋅ ψ r
- Seite 26 -
−
2
2⋅m
( )
( )
⋅ ∇2 ψ r = E − V r
( )
⋅ψ r
by Thomi Albrecht
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
Bedingungen für
Wellenfunktionen
Bedingungen bei
Potentialen
ZUSÄTZLICHE BEDINGUNGEN FÜR LSG. DER ZEITUNABHÄNGIGEN SCHRÖDINGER-GL.
Wellenfunktionen ψ(x), welche die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllen (siehe Seite
26) müssen zudem noch weitere Bedingungen erfüllen. Diese Bedingungen sind unten aufgeführt.
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist auf der Seite 26 aufgeführt.
Weitere Informationen findet man im Quiz 1 in der Aufgabe 1
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
Man betrachtet eindimensionale, freie Bewegung eines Materie-Teilchens. Es wirken keine
Kräfte auf das Teilchen, wodurch potentielle Energie als konst. angenommen werden kann.
Die allgemeine Lösung (siehe unten) beschreibt eine Superposition von Wellen-Ebenen
(plane waves), die nach rechts und nach links wandern.
Weitere Informationen (unter anderem die exakten Berechnungen, also die Herleitungen)
findet man im Skript auf den Seiten 31 - 32
Die Wellenfunktionen ψ(x) müssen folgende Bedingungen erfüllen:
•
•
•
•
ψ(x) ist eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
ψ(x) ist eine stetige und eindeutige Funktion (keine Unterbrüche, keine Spitzen, usw.)
Die Ableitung d ψ(x) / dx kann nur unstetig sein, wenn das Potential unendlich ist.
ψ(x) muss normierbar sein. Mathematisch bedeutet dies, dass das Integral des Betragsquadrates
gleich einem endlichen Wert sein muss. Falls dies erfüllt ist, heisst die Funktion quadratintegrabel.
Somit sind Funktionen, die gegen unendlich oder minus unendlich gehen, keine gültigen Wellenfunktionen, da sie nicht normiert werden können.
Für Wellenfunktionen ψ(x) ergibt sich aus den obigen Bedingungen beim Auftreten von Potentialen:
BEWEGUNG EINES FREIEN MATERIE-TEILCHENS
SchrödingerGleichung:
−
Allgemeine Lösung:
Parameter:
2
∂ 2 ψ ( x, t )
∂x
2
= i⋅ ⋅
ψ ( x, t ) = A ⋅ exp i ⋅
∂ ψ ( x, t )
Die potentielle Energie V(x,t) kann als konstant angenommen werden. Um die Schrödinger-Gleichung zu
vereinfachen, wählt man direkt V(x,t) = 0.
∂t
2 ⋅m ⋅E
2
⋅x−
E
⋅t
2⋅m ⋅E
+ B ⋅ exp − i ⋅
2
⋅x+
E
⋅t
2⋅m ⋅E
k=
• Falls die Energie E eines Teilchens grösser ist als das Potential V tritt eine Oszillation auf.
ω=
2
E ist die totale Energie des Systems
m ist die Masse des betrachteten Teilchens
⋅ k2
=
2⋅m
E
FALSCH
oder
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
• Falls die Energie E eines Teilchens kleiner ist als das Potential V müssen die Lösungen die
Summe von exponentiell zerfallenden und steigenden Termen sein. Es tritt also keine Oszillation
mehr auf. In der Regel verläuft die Wellenfunktion innerhalb eines unendlich breiten Potentials
exponentiell hin zur ursprünglichen Energie E eines Teilchens.
• Lösungen mit endlicher Energie E müssen in Bereichen mit unendlichem Potential exakt Null sein
und nicht mit endlicher Amplitude eindringen, d.h. trifft eine Wellenfunktion mit einer Energie E auf
ein unendliches Potential, dann ist an dieser Stelle die Energie gerade E, aber die Wellenfunktion
verläuft nicht mehr weiter in das Potential hinein.
oder
FALSCH
• Nachdem eine Potential-Barriere überwunden wurde und auf der anderen Seite der PotentialBarriere die Energie E des Teilchens wieder grösser ist als das Potential, tritt wieder eine Oszillation auf. Dabei muss diese Oszillation die gleiche Wellenlänge haben wie die ursprüngliche Oszillation vor der Potential-Barriere (da die Energie überall gleich sein muss).
FALSCH
by Thomi Albrecht
−L 2 ≤ x ≤ L 2
sonst
0
∞
Der Kasten habe
die Länge L
Potential:
V (x) =
Randbedingung:
ψ ( x, t ) = 0
für x = ± L 2
Allgemeine Lösung
(Wellenfunktionen):
ψ n ( x, t ) =
E
2
n⋅π⋅x
⋅ sin
⋅ exp − i ⋅ n ⋅ t
L
L
Energie auf Niveau n
und Energie zw. verschiedenen Niveaus:
En =
Zeit-unabhängige
Schrödinger-Gleichung
(für Eigenzustände)
−
Spezifische Lösungen
(Energie-Eigenwerte
und Eigenzustände):
n = 1, 3, 5, …
Grundzustand
- Seite 27 -
TEILCHEN IM KASTEN (1D)
Ein Teilchen kann sich frei zwischen x = -L/2 und x = L/2 bewegen. Ausserhalb dieser Region
ist das Potential unendlich gross, d.h. dass das Partikel von diesem Bereich zurückprallt.
Als Analogie kann eine Saite angesehen werden, die an beiden Enden fixiert ist.
Falls nur Eigenzustände und Eigenwerte gefragt sind, kann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung verwendet werden und durch Einsetzen in die Randbedingungen erhält man
die Eigenzustände und die Energie-Eigenwerte (vergleiche die entsprechenden Formeln
unten). Dabei sind die Eigenzustände jeweils symmetrisch in Bezug auf den Punkt x = 0.
Eine Herleitung aller Gleichungen findet man in der Übungsserie 4, Aufgabe 2!
Man kann die Elektronen im π-System eines Moleküls auch als Teilchen im Kasten betrachten und z.B. so das Absorptionsmaximum bestimmen Siehe Übungsserie 5, Aufgabe 1
Weitere Infos sind im Skript auf den Seiten 33 - 34 oder v.a. in der Übungsserie 4, Aufgabe 1
Nice to know:
FALSCH
oder
PC - Quantenmechanik
⋅
2⋅m
n=1
PC - Quantenmechanik
n2 ⋅ π 2 ⋅
2
2⋅m
2
2
2⋅m⋅L
⋅
∂2 φ ( x )
∂x
2
n = 2, 4, 6, …
∆E =
= E ⋅ φ (x)
h⋅c
λ
(n
2
f
Exp-Term wird weggelassen falls Probl.
zeitunabhängig ist
)
− ni2 ⋅ π2 ⋅
2
2⋅m ⋅L
Umformen und
Substitution
∂2 φ ( x )
∂ x2
φn ( x ) = A n ⋅ cos ( kn ⋅ x )
φn ( x ) = Bn ⋅ sin ( k n ⋅ x )
- Seite 28 -
Beachte:
= h / 2π
2
+ k2 ⋅ φ ( x ) = 0
En =
En =
2
2⋅m
2
2⋅m
mit k =
2⋅m ⋅E
⋅ k n2
k n = ( 2 ⋅ j + 1) ⋅
⋅ k n2
kn = ( 2 ⋅ j ) ⋅
π
, j∈
L
π
, j∈
L
− {0}
by Thomi Albrecht
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
Potential-Beschrieb:
Situation (Grafik) und
Fallunterscheidung
(Grenzfälle):
REFLEXION UND TRANSMISSION EINES TEILCHENS AN EINER POTENTIAL-BARRIERE
Man betrachtet ein Potential an einer Stelle x, wobei V(x) = 0 für x ≤ 0 und V(x) = V0, wobei
V0 grösser 0 null ist. Das Teilchen trifft also auf eine Potentialwand der Höhe V0.
Das betrachtete Teilchen wird anstelle eines Wellenpaketes mit einer ebenen Welle assoziiert (die entsprechende Gleichung ist unten angegeben).
Das Problem kann analog dem klassischen Problem von zwei miteinander verbundenen
Saiten gelöst werden (Übungsserie 4). Vergleiche dazu Seite 18. Es ist jedoch auch die
Lösung über einen allgemeinen Lösungsansatz möglich (Test-Prüfung SS 2004, Aufgabe 2)
Beachte, dass man hier die Quantisierungsbedingung nach de Broglie und Bohr nicht anwenden darf, weil das Teilchen keiner periodischen Funktion folgt.
Beispiele findet man in der Übungsserie 4, Aufgabe 3 und Test-Prüfung SS 2004, Aufgabe 2
V (x) =
x≤0
x>0
0
V0
Falls das Potential bei x ≤ 0 nicht genau bei 0 liegt, kann das gesamte System einfach entsprechend transformiert werden.
Energie des Teilchens ist kleiE < V0
ner als Potential
Fall II:
Energie des Teilchens ist gleich
dem Potential
E = V0
Amplituden der reflektieren und transmittierten Wellen in Bezug
auf Eingangs-Welle:
2
d
⋅
⋅ ψ (x) = E ⋅ ψ (x)
2 ⋅ m dx 2
für x ≤ 0
Ĥ ⋅ ψ ( x ) = −
2
d2
⋅
+ V0 ⋅ ψ ( x ) = E ⋅ ψ ( x )
2 ⋅ m dx 2
für x > 0
Wellenfunktionen mit
Zeit-Abhängigkeit (zur
Ergänzung, wird i.d.R.
aber nicht in dieser
Form verwendet)
ψ ( x, t ) =
Wellenfunktionen ohne Zeit-Abhängigkeit:
Die Zeit-Abhängigkeit ist gegeben durch
A e inf a. ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ x −
E
⋅t
A trans. ⋅ exp i ⋅ k 2 ⋅ x −
E
⋅t
Beachte, dass die Schrödinger-Gleichung niemals Energien erlaubt, die kleiner als
das Potential V sind.
mit k1 =
mit k 2 =
Allgemein
A einfallend + A reflektiert = A tranmittiert
Spezifisch
A tranmittiert =
ψ←
ψ→
2
=
ψnachher
→
vorher
ψ→
A reflektiert
A e inf allend
2
=
Allgemein gilt immer:
2 ⋅ k1
k1 + k 2
2
⋅ A einfallend
2
k1 − k 2
k1 + k 2
=
A transmittiert
2
A e inf allend
=
=
2 ⋅ k1
k1 + k 2
und
E−
E − V0
E+
E − V0
2
=
2⋅
E+
2⋅m
2
2⋅m
2
2⋅m
2
⋅E
⋅E
⋅ (E − V0 )
A reflektiert =
k1 − k 2
k1 + k 2
⋅ A einfallend
2
E
2
E − V0
T +R =1
Grenzfälle (analog
zur vorherigen Seite):
Somit gilt Emin = 0.
+ A refl. ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ x −
E
⋅t
k1 =
k2 =
2 ⋅m ⋅E
2
2 ⋅ m ⋅ (E − V0 )
2
⋅E
⋅t
In der Regel verwendet man für die weiteren Betrachtungen die zeit-unabhängigen Wellenfunktionen, die aufgrund der oben notierten Zeit-Abhängigkeit folgendermassen definiert sind:
A e inf allend ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ x + A reflektiert ⋅ exp - i ⋅ k1 ⋅ x
A transmittiert ⋅ exp i ⋅ k 2 ⋅ x
PC - Quantenmechanik
= A reflektiert ⋅ exp - i ⋅ k1 ⋅ x
T =
Ĥ ⋅ ψ ( x ) = −
ψ (x) =
ψ reflektiert ( x )
Transmissions-Rate:
Energie des Teilchens ist grösser als Potential
E > V0
Zeitabhängigkeit = exp − i ⋅
mit k1 =
R=
Fall I:
2
= A einfallend ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ x
ψ transmittiert ( x ) = A transmittiert ⋅ exp i ⋅ k 2 ⋅ x
Reflexions- und
Transmissions-K.:
SchrödingerGleichung
(zeit-unabhängig):
ψ einfallend ( x )
Reflexions-Rate:
Man unterscheidet 3 Grenzfälle:
Fall III:
Einfallende, reflektierte und transmittierte
Wellen (gemäss den
Wellenfunktionen):
- Seite 29 -
k1 =
k2 =
2⋅m⋅E
für x ≥ 0
2
2 ⋅ m ⋅ ( E − V0 )
2
Reflexions- und
TransmissionsKoeffizienten bei den
verschiedenen Grenzfällen:
Fall I
Fall II
Fall III
R = 1 und
R = 1 und
T=0
T=0
R = 0 und
T =1
Die entsprechenden Herleitungen findet
man in der Übungsserie 4, Aufgabe 3
für x < 0
Falls V0 →
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
V0 →
R = 1 und
T=0
- Seite 30 -
by Thomi Albrecht
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
PARTIKEL IN EINEM BEGRENZTEN POTENTIALTOPF :: E < 0
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Ein Teilchen sei in einem negativen Potential –V0 der Länge 2 L „gefangen“, wobei das
Potential ausserhalb dieses Potentials Null betrage.
Das Teilchen habe nicht mehr Energie als die Potentialtiefe, d.h. E < 0. Die Materialwellen
sind also nur unterhalb der Energie E = 0 anzutreffen, d.h. nur im Potentialtopf. Das Teilchen
kann somit den Potentialtopf nicht verlassen. Beachte jedoch, dass das Teilchen auch in der
Region ausserhalb des Topfes bestehen kann, wo es nach klassischer Physik eigentlich
nicht sein sollte (vergleiche auch Darstellung).
Man erhält grundsätzlich eine oszillierende Funktion mit der Frequenz E / , welche multipliziert wird mit der räumlichen Wellenfunktion.
Als Veranschaulichung kann man sich einen Skater in einer Half-Pipe vorstellen, der in der
Pipe hin- und herfährt. Wenn er nicht genug schnell ist, kann er nicht über den Rand hinaus
kommen. Dies stimmt mit der klass. Physik überein, jedoch nicht ganz mit der Quantenmechanik.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 35 – 36
Potential:
SchrödingerGleichung:
E<0
V (x) =
−
−
Allgemeine Lösung:
2
2⋅m
2
2⋅m
⋅
⋅
− V0 < 0
−L ≤ x ≤ L
0
sonst
∂ 2 ψ ( x, t )
∂x
2
∂ 2 ψ ( x, t )
∂x
2
− V0 ⋅ ψ ( x ) = E ⋅ ψ ( x )
für − L ≤ x ≤ L
Bereich II
= E ⋅ ψ ( x)
für x < −L und x > L
Bereiche I und III
k=
k = i⋅
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2⋅m⋅ E
ψI ( t ) = aI ⋅ exp −
ψIII ( t ) = bIII ⋅ exp
Spezifische Lösung für
Bereich innerhalb des
Topfes (Bereich II):
PC - Quantenmechanik
für − L ≤ x ≤ L
2
ψII ( x ) = aII ⋅ exp i ⋅
für x < −L und x > L
2
2⋅m⋅ E
⋅x
2
2⋅m⋅ E
für x > 0
⋅x
2
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
für x < 0
⋅ x + bII ⋅ exp - i ⋅
- Seite 31 -
Energie des Teilchens:
E>0
Spezifische Lösungen
für Bereiche ausserhalb des Topfes:
ψI ( t ) = aI ⋅ exp i ⋅
Bereich II
Reflexions- und
Transmissions-Raten
für
E > 0:
Bereiche I und III
Bereich I
Wird erhalten
unter Berücksichtigung
von E < 0.
Bereich III
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
Resonanz von Transmission und Reflexion:
by Thomi Albrecht
2
PC - Quantenmechanik
⋅ x + bI ⋅ exp - i ⋅
2⋅m ⋅E
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
R =
ψ←
4 ⋅ E ⋅ ( V0 + E )
=
ψ→
1+
ψ nachher
→
vohrer
ψ→
2
V02
4 ⋅ E ⋅ ( V0 + E )
2
⋅ sin2 2 ⋅
⋅ sin2 2 ⋅
⋅x
2⋅m⋅E
⋅x
2
⋅ x + bII ⋅ exp - i ⋅
V02
2
2⋅m⋅E
⋅ x + bIII ⋅ exp - i ⋅
2
ψII ( x ) = aII ⋅ exp i ⋅
T =
Summe von Reflexion
und Transmission:
⋅x
2⋅m⋅E
ψIII ( t ) = aIII ⋅ exp i ⋅
Spezifische Lösung für
Bereich innerhalb des
Topfes (Bereich II):
ψ ( x ) = a ⋅ exp (i ⋅ k ⋅ x ) + b ⋅ exp ( - i ⋅ k ⋅ x )
Mit:
Spezifische Lösungen
für Bereiche ausserhalb des Topfes:
Ein Teilchen sei in einem negativen Potential –V0 der Länge 2 L „gefangen“, wobei das Potential ausserhalb dieses Potentials Null betrage.
Das Teilchen habe mehr Energie als die Potentialtiefe, d.h. E > 0. Somit sind die Materialwellen des Teilchens nicht nur im Bereich des Potentialtopfes anzutreffen, sondern auch
über diesem. Dabei beobachtet man für die Material-Wellen oberhalb des Potentialtopfes,
also für die Wellen bei E > 0, Reflexionen und Transmissionen an jedem Rand. Dieser Bereich wird zudem Kontinuum genannt, da die Energie nicht quantisiert ist.
Das Potential, die Schrödinger-Gleichung und die allg. Lösung sind analog zum Potentialtopf
mit E < 0, jedoch wird anschliessend die Bedingung E > 0 (und nicht E < 0) berücksichtigt
und man erhält somit andere Lösungen. Das Potential, die Schrödinger-Gleichung und die
allgemeine Lösung sind aufgrund der Analogie hier nicht aufgeführt Siehe auf Seite 31 !!!
Wenn die Energie E grösser wird, nähert sich die Reflexionsrate dem Wert Null.
Vergleiche auch Übungsserie 4, Aufgabe 3
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 36 – 37
Darstellung / Skizze:
Darstellung / Skizze:
Energie des Teilchens:
Nice to know:
PARTIKEL IN EINEM BEGRENZTEN POTENTIALTOPF :: E > 0
für x > 0
Bereich I
für x > 0
Bereich III
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
⋅x
⋅L
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
⋅L
1
=
1+
V02
4 ⋅ E ⋅ ( V0 + E )
⋅ sin2 2 ⋅
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
⋅L
R und T entsprechenden Raten.
Will man also die
Prozentzahl der
reflektierten, bzw
transmittierten
Wellen wissen,
muss man einfach R, bzw. T
mit 100 multiplizieren.
R+T =1
2⋅
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
⋅L = n⋅ π
mit n = 0, 1, 2,3, 4, ...
- Seite 32 -
R = 0 und T = 1
by Thomi Albrecht
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
Resonanz-Frequenz:
Skalierte Koordinate:
Schrödinger-Gleichung
(zeitunabhängig):
Lösung der Gleichung
(zeitunabhängig):
Die erstes drei
Lösungen:
QUANTENMECHANISCHER HARMONISCHER OSZILLATOR
Der quantenmechanische harmonische Oszillator ist eines der wichtigsten Konzepte und
wird unter anderen in der molekularen Spektroskopie, der Festkörperphysik, in der QuantenElektrodynamik und der Quanten-Feldtheorie, sowie in der Quantenoptik und der statistischen Quantenmechanik verwendet.
Zur Lösung des Problems kann die zeit-unabhängige Schrödinger-Gleichung verwendet
werden (siehe Seite 26), da das Potential zeit-unabhängig ist.
Die Herleitung der entsprechenden Gleichungen ist mathematisch anspruchsvoll. Deshalb
sind im Skript und somit auch in dieser Formelsammlung nur die Lösungen angegeben.
Für eine klassische Beschreibung des harmonischen Oszillators siehe Seite 15
Weitere Informationen sind im Skript (Seiten 37 – 38) und in der Übungsserie 6 (Aufgabe 1)
ω2 =
−
ψ0 ( x ) =
2
2⋅m
⋅
Eigen-Energien:
Wichtig!
Diese Variable wird in den folgenden Gleichungen verwendet.
⋅x
d2 ψ ( x )
d x2
+
d2 ψ ( u )
m ⋅ ω2 ⋅ x 2
⋅ ψ ( x) = E ⋅ ψ (x)
2
ψn (u ) =
In Abhängigkeit von u
ψn ( x ) =
In Abhängigkeit von x
cn
2n 2
cn
2n 2
du2
⋅ hn ( u ) ⋅ exp −
1 2
⋅u
2
1 m⋅ω 2
⋅ hn ( x ) ⋅ exp − ⋅
⋅x
2
Wobei: • cn = Eigenfunktionen
=
( n!)−1 ⋅
1
2
µ⋅ω
⋅π
(n!)−1 ⋅
≈
+
m⋅ω
⋅π
1
2
• hn(u) = Hermitesches Polynom in Bezug auf u, d.h.
h0 ( u ) = 1
h1 ( u ) = 2 ⋅ u
h2 ( u ) = 4 ⋅ u2 − 2
h3 ( u ) = 8 ⋅ u3 − 12 ⋅ u
...
• hn(x) = Hermitesches Polynom in Bezug auf x, d.h.
2⋅E
− u2 ⋅ ψ ( u ) = 0
⋅ω
m⋅ω
h2 ( x ) = 4 ⋅ u − 2 = 4 ⋅
2
• In der Regel wird die
Lösung in Abhängigkeit von x angegeben.
Ersetze einfach alle
Ausdrücke von u
durch die entsprechenden Ausdrücke.
Man erhält dann die
links angegebene
Gleichung
• Zum Finden einer
bestimmten Lösung
müssen alle n durch
die entsprechende
Zahl (1, 2, 3, oder …)
ersetzt werden.
• Die ersten drei Lösungen in Bezug auf
die von x abhängige
Lösungsformel sind
weiter unten angegegeben.
⋅x
m⋅ω
1
4
⋅ exp −
1
4
4⋅m⋅ω
⋅π
Zustand n = 2: ψ 2 ( x ) =
2 m⋅ω
⋅
4
⋅π
En = n +
xk = ±
1
⋅ ⋅ω
2
1 m⋅ω 2
⋅
⋅x
2
Verwendet:
m⋅ω
⋅
1
4
⋅ x ⋅ exp −
1 m⋅ω 2
⋅
⋅x
2
1
2
2
= 44
Verwendet:
⋅ 4⋅
m⋅ω
⋅ x 2 − 2 ⋅ exp −
1 m⋅ω 2
⋅
⋅x
2
1
1 12
2
⋅
=
2 2
4
Damit kann die Energie des harmonischen Oszillators im Zustand n
berechnet werden.
Diesen Ausdruck erhält man, wenn man die Eigen-Energie (siehe direkt oberhalb) in die Formel für die maximale Auslenkung beim klassischen harmonischen Oszillator (siehe Seite 14) einsetzt.
( 2 ⋅ n + 1) ⋅
m⋅ω
Beachte:
h0 ( x ) = 1
h1 ( x ) = 2 ⋅ u = 2 ⋅
Maximale
Auslenkung xk:
m⋅ω
⋅π
Zustand n = 1: ψ1 ( x ) =
k
m
µ⋅ω
u=
Zustand n = 0
(Grundzust.):
Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte
xm für die ersten beiden Lösungen
Beachte:
Die Lösung x = 0 ist
für ψ1(x) keine sinnvolle Lösung, da bei
x = 0 auch die Wellenfunktion gleich Null
wird.
Mit Hilfe der auf der Seite 26 aufgeführten Formeln und unter Verwendung der Formeln auf
Seite 14 erhält man für das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichten:
d
ψ 0 ( x, t )
dx
d
ψ1 ( x, t )
dx
2 !
2 !
=0
Wahrscheinlichkeitsdichte für grosse Quanpk ( x ) = π ⋅ xk ⋅
tenzahlen:
m⋅ω
⋅π
d
dx
=0
d
dx
1−
x2
xk2
4⋅m⋅ω
⋅π
−1
1
4
1
4
2
⋅ exp −
1 m⋅ω 2
⋅
⋅x
2
=0
xm = 0
2
⋅
m⋅ω
⋅ x ⋅ exp −
1 m⋅ω 2
⋅
⋅x
2
=0
xm =
±
m⋅ω
0
Bei Zuständen mit grossen Quantenzahlen kann Wahrscheinlichkeitsdichte des quantenmechanischen harmonischen Oszillators mit der Wahrscheinlichkeitsdichte des klassischen harmonischen Oszillators angenähert werden (s. auch unten)
Wahrscheinlichkeitsdichten d. klassischen
und quantenmechanischen harmonischen
Oszillators für n = 1
n = 5 und n = 50:
⋅ x2 − 2
...
• u = Skalierte Koordinate (gemäss oben)
=
PC - Quantenmechanik
µ⋅ω
⋅x ≈
m⋅ω
⋅x
- Seite 33 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 34 -
by Thomi Albrecht
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
Potential:
ZUSAMMENGESETZTES POTENTIAL :: MODIFIZIERTER POTENTIAL-TOPF
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Gegeben sei ein Potential, bei welchem das Potential auf einer Seite unendlich beträgt, auf
der anderen Seite jedoch mit einem exponentiellen Verlauf gegen unendlich geht. Da ein
exponentieller Potentialverlauf in Analogie zum harmonischen Oszillator steht, können z.T.
die Lösungen vom harmonischen Oszillator auf das gegebene Problem übertragen werden.
Die Lösungen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators sind auf der Seite 33f.
Für dieses Problem wird wiederum die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung betrachtet.
Die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung im modifizierten Potentialtopf
werden mit φn(x) bezeichnet, während das Symbol ψn(x) jeweils für die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator verwendet werden.
Die Bedingungen im Lösungsansatz ergeben sich aus den Randbedingungen und Symmetrieüberlegungen.
Weitere Infos findet man in der Übungsserie 6, Aufgabe 2a
V (x) =
∞
x≤0
1
⋅ k ⋅ x2
2
x>0
Lösungsansatz:
φn ( x )
ψn ( x )
für φn ( x )
wobei zudem gelten muss
φn ( x ) =
x≤0
0
2 ⋅ ψ 2n+1 ( x )
x>0
Der Tunnelprozess ist ein rein quantenmechanisches Phänomen. Dabei handelt es sich
eigentlich um nichts anderes, also eine Transmission an einer Ort, bei welchem nach der
klassischen Mechanik eine 100%-ige Reflektion (also keine Transmission) stattfinden würde.
Dies trifft zu, falls ein Teilchen mit einer Energie E auf ein Potential V0 trifft, wobei gilt E < V0.
Wenn das Teilchen auf das Potential trifft, kommt es somit neben der Reflektion auch zur
Transmission, dem sogenannten Tunneln.
Das Ausmass des Tunnelns kann anhand des Transmissionskoeffizienten ermittelt werden.
Der Tunnel-Effekt wird beispielsweise beim Einsatz von Scanning Tunneling Microscopes
(STM) verwendet. Vergleiche Übungsserie 5, Aufgabe 2.
Beachte, dass jeweils die richtigen Einheiten eingesetzt werden. Sind beispielsweise bei der
Formeln für den Transmissionskoeffizienten bestimmte Werte bereits in Elektronenvolt (eV)
gegeben, lohnt es sich alle Ausdrücke in Elektronenvolt umzurechnen.
Die Transmissionsrate (und somit die Tunnel-Rate) wird verringert durch eine Erhöhung der
Teilchenmasse, durch eine Erhöhung der Potentialbarriere V0 sowie durch eine Vergrösserung des Abstandes.
Falls die Energie der getunnelten Teilchen gleich der Energie der Teilchen vor dem Tunneln
ist, spricht man von elastischem Tunneln. Die Wellenamplitude wird jedoch durch den Tunnel-Effekt verringert. Es handelt sich dabei bei den meisten Tunnel-Effekten um elastisches
Tunneln. Das Gegenteil des elastischen Tunnelns ist das inelastische Tunneln, wobei sich
die Energie der tunnelnden Teilchen über Wechselwirkungen mit anderen Atomen verändern
kann.
Falls der Tunnel-Effekt für makroskopische Elemente untersucht werden soll, können die
potentielle und die kinetische Energie nach klassischen Definitionen berechnet werden. Für
.
. 2
die kinetische Energie E erhält man E = ½ m v und für die Potentialbarriere V0 berechnet
. .
man V0 = m g h, wobei h beispielsweise die Höhe einer Wand ist, durch welche der TunnelEffekt stattfinden soll. Vergleiche dazu die letzte Teilaufgabe in Übungsserie 5, Aufgabe 2.
Im Folgenden sind nur die wichtigsten Gleichungen aufgeführt. Eine genaue Herleitung
dieser Gleichungen und weiterführende Informationen zum Tunnel-Prozess findet man aber
in der Übungsserie 5, Aufgabe 2
φn ( 0 ) = 0 da V ( 0 ) = ∞
∞
für ψn ( x )
ψn * ( x ) ⋅ ψn ( x ) ⋅ dx =
0
Lösung:
Nice to know:
TUNNELN VON ELEKTRONEN DURCH EINE POTENTIALBARRIERE V0
1
2
• Faktor „Wurzel 2“ resultiert aus Symmetrieüberlegung
für ψn (siehe Lösungsansatz), weil dadurch Funktion mit
„Wurzel 2“ skaliert werden muss für normierte φn(x).
• φn(0) = 0 gilt nur für ψ n(x) mit ungeraden n
Situation:
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
ZUSAMMENGESETZTES POTENTIAL :: 2-DIMENSIONALES POTENTIAL, D.H. V(x,y)
Gegeben sei ein 2-dimensionales Potential V(x,y), welches sich in zwei unabhängige Summanden für die beiden Variablen x und y auftrennen lässt, d.h. V(x,y) = V(x) + V(y)
Für die Lösung des Problems wird die Variablenseparabilität verwendet.
Die Wellenfunktion ergibt sich durch Multiplikation der Teil-Lösungen, während die Gesamtenergie durch Addition der Teil-Lösungen erhalten wird (Achtung: Ist nicht 100%-ig sicher ?!)
Das gleiche Verfahren könnte man natürlich auch auf 3-dimensionale Probleme anwenden.
Weitere Infos findet man im in der Übungsserie 6, Aufgabe 2b und im Quiz 1, Aufgabe 2
Potential:
V ( x, y ) = V ( x ) + V ( y )
Für den HamiltonOperator gilt:
ˆ ( x, y ) = H
ˆ (x) + H
ˆ (y)
H
x
y
Aus diesem Ausdruck kann man schliesslich die Ausdrücke für
die Wellengleichung und die Energie herleiten.
Wellenfunktion:
ψn,m ( x, y ) = Xn ( x ) ⋅ Ym ( y )
Xn(x) ist dabei die Lösung für das Potential V(x)
Ym(y) ist dabei die Lösung für das Potential V(y)
En,m = En + Em
En ist dabei die Energie des Teilsystems mit dem Potential V(x)
Em ist dabei die Energie des Teilsystems mit dem Potential V(y)
Gesamt-Energie:
Beispiel:
Gegeben:
Wellenfunktion:
PC - Quantenmechanik
V ( x, y ) = V ( x ) + V ( y )
mit
ψn,m ( x, y ) = Xn ( x ) ⋅ Ym ( y )
- Seite 35 -
V ( x) =
mit
1
⋅ k ⋅ x2
2
Xn ( x )
Yn ( y )
und
V (y) =
0
∞
0<y<L
sonst
Potentialbarriere
V (x) =
Parameter κ
κ=
Transmissionskoeffizient T
Transmissionskoeffizient T falls
κ . a >> 1
Lösung für harmonischen Oszillator
x<0<a
0
sonst
2 ⋅ m ⋅ ( V0 − E )
12
Siehe Übungsserie 5, Aufgabe 2
für die entsprechende Herleitung
2
T = 1+
T
V0
V02 ⋅ sinh2 ( κ ⋅ a )
4 ⋅ E ⋅ ( V0 − E )
16 ⋅ E ⋅ ( V0 − E )
V02
−1
Siehe Übungsserie 5, Aufgabe 2
für die entsprechende Herleitung
⋅ exp ( −2 ⋅ κ ⋅ a )
Bedingung: κ . a >> 1
a >> 1/κ
Siehe Übungsserie 5, Aufgabe 2
für die entsprechende Herleitung
Lösung für Teilchen im Kasten
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 36 -
by Thomi Albrecht
SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Nice to know:
MATERIAL-WELLEN-PAKETE
OPERATOREN & CO.
Wellenpakete werden gebraucht, um physikalische Situationen zu simulieren. Es handelt
sich dabei um Wellen, die einigermassen in Raum und Zeit lokalisiert sind. Man erhält Wellenpakete durch Addieren mehrere Ebenen-Welle, die alle einen ähnlichen Wert k nahe bei
k0 aufweisen (vergleiche auch die klassische Sichtweise auf Seite 21)
Jede Wellen-Paket enthält eine äussere Form, die durch eine Funktion beschrieben werden
kann (im Englischen als envelope bezeichnet).
Ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in Bezug auf die Material-Wellen-Pakete ist die
Fourier-Transformation (vergleiche die entsprechenden Berechnungen im Skript)
Beispiel: Ein oft verwendetes und nützliches Wellen-Paket ist das Gaussian. Dabei kann mit
Hilfe der Propagator-Funktion der Verlauf der Funktion durch Raum und Zeit untersucht
werden. Die entsprechenden Formeln findet man auf der Seite 39.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 38 – 40.
Winkelgeschwindigkeit ω:
ω=
GruppenGeschwindigkeit:
vg =
Nice to know:
Operatoren, Eigenwerte und Eigenfunktionen hängen über eine bestimmte Klassen von
Operator-Gleichungen zusammen. Es geht dabei darum, Funktionen (Eigenfunktionen,
Eigenzustände) zu finden, so dass diese durch den Operator in sich selbst multipliziert mit
einer konstanten Zahl (Eigenwert) abgebildet werden (siehe entspr. Gleichung unten)
Wendet man einen Operator auf eine Eigenfunktion d.h. ein System an (dies entspricht
eigentlich dem Durchführen einer Messung), dann liegt das System nachher im entsprechenden Eigen-Zustand vor und man kann den dazugehörigen Eigenwert (das eigentliche
Mess-Ergebnis) bestimmen. Durch Anwenden eines Energie-Operators kann z.B. die Energie E des Systems bestimmt werden, da der Eigenwert gerade der Energie entspricht (!)
Beachte, dass grundsätz. die Eigenfunktion auf beiden Seiten der Gleichung auftreten muss.
Man kann eine Eigenfunktion nehmen und dann einen entsprechenden Operator anwenden,
so dass man wieder die ursprüngliche Funktion multipliziert mit dem Eigenwert erhält.
Eigenfunktionen (eigenfunctions) entsprechen den Eigenzuständen (eigenstates)
Bei Operatoren mit Matrizen-Form können die Eigenfunktionen (Eigenzustände) und Eigenwerte auch nach der klassischen Methode (siehe Seite 11) gefunden werden.
Für Darstellung der Operator-Gleichung in Bra(c)ket-Schreibweise siehe Seite 46
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 41 - 42.
⋅ k2
2⋅m
dω
dk
=
k =k0
Propagator-Funktion
Grundlagen:
⋅ k0
m
ψ ( x, t ) =
Die Gruppen-Geschwindigkeit beschreibt die Geschwindigkeit der
äusseren Form (envelope) des Wellen-Pakets und somit auch die
Geschwindigkeit eines entsprechenden Partikels.
∞
−∞
Propagator-Funktion: Gegeben sei ein ursprüngliches
Wellen-Paket ψ0(x’) welches
zur Zeit t = 0 um x’ verteilt ist.
Mit Propagator-Funkt. kann
man herausfinden, wie das
Wellenpaket nach Ausbreitung in Raum und Zeit aussieht bei Zeit t und Position x.
ψ 0 ( x ') ⋅ G ( x '
, x ; t ) ⋅ dx '
ψ (x '
,0 ) = ψ0 ( x ')
∆x ( t ) =
i ⋅ m ⋅ ( x − x ')
m
⋅ exp
2⋅ π ⋅i⋅ ⋅ t
2⋅ ⋅t
2
G(x '
, x;t) =
Funktion:
Ausbreitung in Bezug
auf die Breite des Wellen-Paketes:
OPERATOREN, EIGENWERTE UND EIGENFUNKTIONEN / EIGENZUSTÄNDE (GRUNDDEFINITION)
2
L +
2
Das glockenförmige Paket wird
breiter und kleiner, aber der Bereich unter der Kurve wird beibehalten, weil dieser die Wahrscheinlichkeit wiedergibt, die Partikel irgendwo im Raum zu finden.
⋅ t2
m2 ⋅ L2
Operator-Gleichung:
Beispiele:
df
= 5⋅f
dx
•
3
•
OPERATOREN & CO.
 = Operator
f(x) = Eigenfunktion / Eigenzustand (meist ψ i oder ϕi)
a = Eigenwert (dies ist einfach eine Zahl)
Aˆ f ( x ) = a ⋅ f ( x )
0
8 −1
⋅
Operator =
1
2
1
= 3⋅
d
und Eigenwert = 5 und Eigenfunktion/Eigenzustand = f
dx
Operator =
2
3
Nice to know:
Grundgleichung für
Operatoren:
Beispiele für
Operatoren:
Linearität:
PC - Quantenmechanik
GRUNDSATZ VON OPERATOREN
Nice to know:
Zur Erinnerung:
Schrödinger-Gleichung
Ein Operator transformiert eine Funktion f(x) in eine Funktion g(x). Diese mathematische
Darstellungsweise wird in der Quantenmechanik häufig verwendet.
Wenn man wissen will, wie der Operator lautet, kann man die ursprüngliche Funktion f(x)
betrachten und überlegen, welche Operation(en) man anwenden muss, um zur Funktion g(x)
zu gelangen. Diese Operation(en) entsprechen gerade dem Operator.
Operatoren, die in der Quantenmechanik verwendet werden, müssen linear sein.
2
Ein typisches Beispiel für einen nicht-linearen Operator ist die Quadrat-Funktion ( ) .
Ein häufig verwendeter Operator ist der x-Operator, wobei dieser einfach gleich x ist.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 41 – 43.
f ( x)
Â
g ( x)
 f ( x ) = g ( x )
Für Aˆ f ( x ) = f 2 ( x ) ist Aˆ = ( )2
oder
Aˆ f ( x ) + g ( x ) = Aˆ f ( x ) + Aˆ g ( x )
- Seite 37 -
Für Aˆ f ( x ) =
f(x) wird in g(x) transformiert. Â wird
dabei als Operator bezeichnet.
Achtung: Â f(x) ist kein Produkt
d f (x)
dx
d
ist Aˆ =
dx
by Thomi Albrecht
−
2
2⋅m
( )
( ) ( )
⋅ ∇2 ψ r , t + V r , t ⋅ ψ r , t = i ⋅ ⋅
∂
Ê = i ⋅ ⋅
∂t
Impuls-Operator
(momentum operator):
Pˆ = −i ⋅ ⋅ ∇ =
Operator der kinetischen Energie
T̂ = −
Operator der potentiellen Energie
Aus
Hamilton-Operator:
ˆ = Tˆ + Vˆ = −
H
PC - Quantenmechanik
1
2
Die Schrödinger-Gleichung kann durch Operatoren vereinfacht geschrieben werden.
Aus der Schrödinger-Gleichung heraus können der Energie-Operator (energy operator), der
Impuls-Operator (momentum-operator) und der Operator für die kinetische Energie bestimmt
werden. Die potentielle Energie kann dabei ebenfalls als Operator geschrieben werden.
Hamilton-Operator ergibt sich aus Operator der kinet. Energie und Operator der pot. Energie.
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 43.
Energie-Operator:
Schrödinger-Gleichung
mit Operatoren:
Muss für alle Operatoren in der QM gelten!
und Eigenwert = 3 und Eigenfunktion =
OPERATOREN IN DER SCHRÖDINGER-GLEICHUNG UND BEI HAMILTON-OPERATOREN
Op erator en, Eige n werte , Eig en fu nkti o ne n un d Eig e nzu stän de
OPERATOREN & CO.
0
8 −1
2⋅m
2 ⋅ m ⋅ Tˆ
⋅ ∇2 =
( )
V r ,t
P̂2
2⋅m
wird
2⋅m
( )
∂ ψ r ,t
Vergleiche mit Seite 26
∂t
Bsp. für Anwendung von Def., welche Abhängigkeit zu Operator
der kin. Energie ausnutzt Probe-Prüfung SS 2004, Aufg. 2d
Beachte auch den Zusammenhang zwischen den beiden Operatoren für die kinetische Energie und den Impuls
Vˆ
⋅ ∇ 2 + Vˆ
( Tˆ + Vˆ ) ψ ( r , t ) = Eˆ ψ ( r , t )
Die Funktion, welche die potentielle Funktion darstellt, kann
auch als Operator geschrieben werden.
Der Hamilton-Operator kann eingeführt werden, um eine besonders einfache Form der Schrödinger-Gleichung zu erhalten.
( )
( )
ˆ ψ r , t = Eˆ ψ r , t
H
- Seite 38 -
by Thomi Albrecht
Hilbert-Ra um
HILBERT-RAUM
Pos tulat e der Qua nten mec hani k
BESCHRIEB (NICE TO KNOW)
POSTULATE DER QM
Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, für den die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten. Euklidische Räume existieren in beliebigen Dimensionen n. Algebraisch lässt sich somit ein euklidischer Raum in beliebigen
Dimensionen n (n > 0) durch das n-fache kartesische Produkt der reellen Zahlenmenge R beschreiben. Da bei dieser
Beschreibung keine Informationen verlorengehen, wird der Begriff häufig auf diesen speziellen Raum verengt, der dann
als Rn bezeichnet wird.
BEMERKUNG
Die wichtigsten Zusammenhänge der Quantenmechanik können in vier Postulaten angegeben werden. Zusammen mit
der Interpretation der Wellenfunktion von Max Born (siehe Seite 26) bilden diese Postulate die Grundregeln der Quantenmechanik.
Weitere Informationen zu den Postulaten findet man im Skript auf den Seiten 45 – 46.
n
Ein Euklidischer Raum muss nicht notwendigerweise durch R beschrieben werden: Jeder endlichdimensionale Vektorraum, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist, das je 2 Vektoren eine reelle Zahl zuordnet, ist zugleich ein Modell eines
Euklidischen Raums gleicher Dimension; man bezeichnet solche Vektorräume daher auch als Euklidische Vektorräume.
Ein Hilbert-Raum, benannt nach dem Mathematiker David Hilbert, ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums
auf unendlich viele Dimensionen. Der Hilbert-Raum ist dabei ein Spezialfall eines Innenproduktraums, d.h. ein Vektorraum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen (!) mit einem Skalarprodukt.
Der hohe Grad an mathematischer Struktur in Hilbert-Räumen vereinfacht die Analysis ungemein und so spielen sie in
der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen und damit auch der Physik eine grosse Rolle. Als Beispiel sei hier
die Quantenmechanik genannt, wo die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbert-Raum bilden.
HILBERT-RAUM
Postulat
POSTULAT I
Messung von A
a
wobei
( )
( )
Aˆ ϕa r , t = a ⋅ ϕa r , t
Beschrieb
Zu jeder eindeutig definierten Observable A gehört ein Operator Â, so dass die Messung der Observablen
A zu den Werten a führt. Dabei sind die erhaltenen Werte a die Eigenwerte des Operators Â.
Zusatz:
Beispiele für eindeutig definierte Observablen sind beispielsweise der Impuls (linear momentum), die
Energie (energy), der Drehimpuls (angular momentum), die Zahl der Partikel (number of particles), usw.
MATHEMATISCHE BESCHREIBUNG
Nice to know:
Ein 3-dimensionaler Raum kann formal durch Vektoren beschrieben werden (siehe Seite 9).
Dabei wird der Raum durch die Einheitsvektoren aufgespannt. Der Hilbert-Raum, wie er für
die in dieser Formelsammlung festgehaltenen Probleme verwendet wird, ist grundsätzlich
nichts anderes als die Erweiterung dieses Konzeptes auf komplexe Funktionen. Jede beliebige Funktion ψ kann dabei mit Hilfe der Basisfunktionen ξ i(x) konstruiert werden.
Sowohl auf Basis-, als auch auf beliebige Funktionen können Operatoren angewandet werden.
Im Hilbert-Raum müssen alle unten angegebenen Bedingungen erfüllt werden.
In der Quantenmechanik ist der Raum der Eigenzustände ψ, die mit einem bestimmten Operator verbunden sind, ein Hilbert-Raum (!)
Auf Seite 9 ist ein realer Vektorraum beschrieben. Vergleiche die Analogien zwischen diesem
Vektorraum und dem Hilbert-Raum.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 44 – 45 und auf der Seite 47.
Basisfunktionen ξ i(x)
und bel. Funktion ψ
ψ (x) =
Anwendung von
Operatoren im
Hilbert-Raum:
Aˆ f ( x ) = a ⋅ f ( x )
c i ⋅ ξi ( x )
Aˆ ξi ( x ) = ai ⋅ ξi ( x )
c i ⋅ ξi ( x ) =
i
c i ⋅ ai ⋅ ξi ( x )
=
i
Skalar-Produkt
ξi ( x ) ⋅ ψ ( x ) = c i
ψ (x) ⋅ ϕ ( x) =
∞
i
c i ⋅ Â ⋅ ξi ( x )
Postulat
POSTULAT II
Messung von A
System liegt in ϕa vor
a
wobei
( )
( )
Aˆ ϕa r , t = a ⋅ ϕa r , t
Beschrieb
Messung der Observablen A führt gemäss dem Postulat I zu den Werten a, wobei es bei diesen Werten um
Eigenwerte des Operators  handelt. Durch die Messung der Observablen wird zudem das System in den
Zustand ϕa versetzt, wobei ϕa die Eigenfunktion des Operators  ist in Bezug auf den Eigenwert a. Das
Durchführen einer Beobachtung / Messung überführt das System in einen seiner Eigenzustände.
Beispiel:
Gegeben sei folgender Zustand: ψ ( x ) =
ξ i(x) = Basisfunktionen
ψ = Beliebige Funktion
1
2
⋅ ϕ2 ( x ) +
1
2
⋅ ϕ5 ( x )
Möchte man die Energie des Systems messen, erhält man entweder den Wert E2 oder den Wert E5. Die
Wahrscheinlichkeit, dass sich ψ(x) im Zustand ϕ i(x) befindet, ist dabei gegeben durch die Gleichung
Die Basis-Funktionen ξ i(x) bilden die Eigenzustände des Operators Â.
ψ * ( x ) ⋅ ϕ ( x ) ⋅ dx
∞
1
ξ * j ( x ) ⋅ ξi ( x ) ⋅ dx = δij =
0
−∞
Länge der Vektoren
Länge = ϕ
2
b
Auf jede beliebige Funktion ψ(x) [ψ(x) gemäss
Definition oben] kann ein Operator angewandt
werden, wobei man die links angegeben Gleichung erhält.
ψ*(x) ist dabei die komplex Konjugierte der beliebigen Funktion ψ(x).
ϕ ist eine zweite, beliebige Funktion.
−∞
OrthonormalitätsBedingung
POSTULATE DER QM
Wahrscheinlichk. = c i
2
= ψi ( x ) ⋅ ϕi ( x )
2
Somit erhält man für beliebige Funktionen:
Aˆ ψ ( x ) = Aˆ ⋅
für i = j
für i ≠ j
!
= ϕ * ( x ) ⋅ ϕ ( x ) ⋅ dx < 0
a
PC - Quantenmechanik
POSTULATE DER QM
- Seite 39 -
POSTULATE DER QM
Postulat
by Thomi Albrecht
∞
ψ * ( x ) ⋅ Aˆ ⋅ ψ ( x ) ⋅ dx
−∞
Beschrieb
Der Zustand eines Systems zu jedem möglichem Augenblick der Zeit kann durch eine stetige und differenzierbare Zustands- oder Wellenfunktion ψ dargestellt werden. Alle Informationen bezüglich des Zustandes
des Systems sind in der Wellenfunktion enthalten. Durch das Durchführen von vielen, bei identischem
System durchgeführten Messungen (z.B. Anwenden des Operators  in Bezug auf eine physikalische
Observable) kann ein gewichteter Durchschnittswert A für die Messungen bestimmt werden.
Zusatz:
Siehe Seite 41 für weitere Informationen zu diesem Postulat.
Das Delta-Symbol δij wird auch als KroneckerDelta-Symbol bezeichnet.
Die Länge jeder Funktion muss einen endlichen
Wert haben.
Das Intervall von a nach b kann irgendetwas
sein zwischen - und
Aˆ =
POSTULAT III
PC - Quantenmechanik
- Seite 40 -
by Thomi Albrecht
Dirac-Sc hreib weis e f ür Op erator en u nd Eige nf un kti on e n
POSTULATE DER QM
Postulat
POSTULAT IV
( )
Ĥ ψ r , t = i ⋅ ⋅
/
Eigenzus tä nde, s og . Br a(c) ket-Not ati on
BRA(C)KET-NOTATION
( )
Nice to know:
∂
ψ r ,t
∂t
Der Physiker Paul Dirac hat eine Notation für Vektoren (Eigenvektoren, bzw. Eigenzustände)
und Operatoren eingeführt, die als Dirac-Schreibweise oder Bra-ket-Notation (oder Bra(c)ketNotation) bezeichnet wird. Die Grundidee dieser Notation ist, dass das Skalarprodukt (innere
Produkt) formal als die Anwendung eines Bra-Vektors ψ| auf den Ket-Vektor |ϕ aufgefasst
wird, wobei man eine Klammer ψ|ϕ für das Skalarprodukt schreibt (beachte, dass der senkrechte Strich in der Mitte nur einmal und nicht doppelt geschrieben wird).
Diese Schreibweise hat in der Quantenmechanik eine weite Verwendung gefunden, da der
Zustand ψ eines Systems durch einen sogenannten Ket-Vektor |ψ beschrieben werden kann
und sich von diesem Gesichtspunkt aus praktische Berechnungen durchführen lassen.
Beachte, dass es sich bei dieser Schreibweise nur um einen mathemath. Formalismus handelt,
welcher die Berechnungen erleichtern soll. Durch Betrachten der entsprechenden Analogien
(vgl. vor allem mit Vektoren) erkennt man jeweils bekannte Begriffe und Zusammenhänge.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 48 – 49.
Ê
Beschrieb
Die Zustandfunktion für ein System entwickelt sich in der Zeit entsprechend der Schrödinger-Gleichung.
Dabei wird diese in diesem Zusammenhang bevorzugt mit Operatoren geschrieben (Siehe Seite 38).
Wa hrsc h einlichkeit en i n Hilb ert-Räu men u nd Erwartu ng swer te (allg e mei n und für Hilber t-Rä ume)
WAHRSCHEINLICHKEIT UND ERWARTUNGSWERTE
Nice to know:
Wahrscheinlichkeit für
Zustand i:
Aufsummieren
aller Wahrscheinlichk.:
WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS ψ(x) IM ZUSTAND ϕ i(x) VORLIEGT
Die unten angegebenen Formeln gelten für den Hilbert-Raum (siehe Seite 39)
Diese Formeln werden zum Teil auch benötigt, um den Erwartungswert eines Operators im HilbertRaum zu beschreiben (siehe nächsten Abschnitt)
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 47.
ψ ( x ) ⋅ ξi ( x )
∞
ψ (x)
2
2
= ci
⋅ dx =
i
−∞
2
ci
Die Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass sich Eigenfunktion (Eigenzustand) ψ(x) im i-ten Eigen-Zustand ξ i(x) befindet
= ρi
2
=
i
f ( x) =
Erwartungswert für Operator  (allgemein)
Aˆ =
Erwartungswert für Operator  in Hilbert-Raum
Aˆ =
f ( x ) ⋅ ρ ( x ) ⋅ dx
Der gewichtete Durchschnitt f(x) kann nach der angegebenen Formel
berechnet werden, wenn man den Durchschnitt einer Eigenschaft
kennen möchten, die durch die Funktion f(x) dargestellt wird.
ρ = Wahrscheinlichk. bei e. Messung das System im Zustand x zu finden
ψ * ( x ) ⋅ Aˆ ψ ( x ) ⋅ dx
Für eine Berechnung wird dabei einfach die Funktion ψ(x) durch den
entsprechenden Ausdruck ersetzt, wobei ψ*(x) die komplex Konjugierte
der Funktion ψ(x) ist.
Ein entsprechendes Beispiel ist im Skript auf der Seite 48 aufgeführt.
∞
−∞
∞
−∞
PC - Quantenmechanik
∞
−∞
ψ * ( x ) ⋅ Aˆ ψ ( x ) ⋅ dx =
i
ci
= Ket-Vektor =
ψ
Alle Spalten-Vektoren |ψ werden als ket-Vektoren
geschrieben.
ψ1
ψ2
=
Jeder Zustand ψ eines quantenmechanischen System kann im komplexen Hilbert-Raum durch einen
ket-Vektor repräsentiert werden.
...
ψn
Bra-Vektor
(Zeilen-Vektor)
Konjugiert
Kombination von
Bra- und Ket-Vektoren (führt zu
Skalarprodukt)
Skalar-
ψ
komplexer = Bra-Vektor =
Ket-Vektor
=
( ψ *1
2
⋅ ai
- Seite 41 -
Zusammenhang
und Kombination
von Bra- und KetVektoren (kurze
Auflistung)
ψ *2
... ψ *n )
Zu jedem Spalten-Vektor Ket
|ψ existiert ein Zeilen-Vektor
Bra ψ|, welcher komplex konjugiert zum Ket-Vektor ist.
ϕ1
produkt
ψ ϕ
=
( ψ *1
=
ψ *2
... ψ *n ) ⋅
ϕ2
...
= ψ *1 ⋅ ϕ1 + ψ *2 ⋅ ϕ2 + ... + ψ *n ⋅ ϕn = Zahl
ϕn
ERWARTUNGSWERT Â
Fragestellung: Im Gegensatz zur klassischen Physik können in der Quantenmechanik ein Teilchen
oder eine Welle nicht mehr exakt lokalisiert werden, d.h. sie sind verteilt über einen bestimmten
Bereich und können sich zum Teil sogar im verbotenen Gebiet aufhalten. Es stellt sich deshalb die
Frage, wie man solche Teilchen und Wellen, bzw. deren Eigenschaften, messen kann.
Gewichteter Durchschnitt: Bei jeder Messung wird das System in einen bestimmten Eigenzustand
versetzt und als Resultat der Messung erhält man den entsprechenden Eigenwert (vergleiche Postulat II der Quantenmechanik auf der Seite 40). Werden die Messungen an einem identischem System
vielfach wiederholt, erhält man den gewichteten Durchschnitt (vergleiche Postulat III der Quantenmechanik auf der Seite 40).
In der Quantenmechanik bezeichnet man einen gewichteten Durchschnitt als Erwartungswert, wobei
das Symbol f(x) verwendet wird.
Konzept von Erwartungswerten kann auf Funktionen, als auch auf Operatoren angewandt werden.
Für Operatoren in Bra(c)ket-Schreibweise siehe Seite 43 und für Erwartungswerte siehe Seite 45.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 46 – 48.
Erwartungswert einer
Funktion f(x)
Eigenzustand
ρi
WAHRSCHEINLICHKEIT UND ERWARTUNGSWERTE
Nice to know:
Ket-Vektor
(Spalten-Vektor)
PRINZIP UND GRUNDBEGRIFFE (KET-VEKTOR, BRA-VEKTOR UND SKALARPRODUKT)
• Der Bra-Vektor (Zeilenvektor) ist der komplex konjugierte Vektor des Ket-Vektors (Spaltenvektor)
und umgekehrt (der Ket-Vektors ist also auch der komplex konjugierte Vektor des Bra-Vektors)
• Jedem Bra-Vektor entspricht in der Regel ein Ket-Vektor und umgekehrt (in QM immer gültig)
• Kombination von einem Bra-Vektor ψ| und Ket-Vektor |ϕ ergibt einen Klammerausdruck ψ|ϕ ,
die sogenannte Bracket. Diese entspricht dem Skalarprodukt, welches sich aus der Matrixmultiplikation des (1xn)-Zeilenvektors ψ| mit dem (nx1)-Spaltenvektor |ϕ ergibt.
BRA(C)KET-NOTATION
EIGENSCHAFTEN (RECHENREGELN UND SCHREIBWEISEN) VON KET- UND BRA-VEKTOREN
Multiplikation mit
komplexer Zahl c:
c ⋅ ϕ = c ⋅ϕ
Addition von Kets:
ϕ + ψ = ϕ+ψ
Umwandlung: Addierte Kets
Bras
c1 ⋅ ϕ1 + c 2 ⋅ ϕ2
c ist dabei eine komplexe Zahl
Achtung: Dies gilt nur für Ket’s und nicht analog für Bra’s (?)
c1∗ ⋅ ϕ1 + c ∗2 ⋅ ϕ2
(
Bra multipliziert mit
2 summierten Ket’s
ψ ⋅ c1 ⋅ ϕ1 + c 2 ⋅ ϕ2
Die entsprechende Herleitung findet man auf der Seite 47
des Skriptes.
2.
Der Erwartungswert ergibt sich aus d. Summe von | ci | ai
(siehe dabei weiter oben für die Bedeutung von | ci |2 . ai)
2 summierte Bra’s
multipliziert mit Ket
( c1 ⋅
Ket-Bra multipliziert
mit Ket-Bra
c1 ϕ1 ϕ2
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
ϕ1 + c 2 ⋅ ϕ2
)⋅
⋅ c 2 ϕ3
) = c1 ⋅
c1 und c2 sind komplexe Zahlen, c1* und c2* sind die
entsprechenden konjugiert komplex Zahlen
ψ ϕ1 + c 2 ⋅ ψ ϕ2
ψ = c1 ⋅ ϕ1 ψ + c 2 ⋅ ϕ2 ψ
ϕ4
= c1 ⋅ c 2 ⋅ ϕ1 ϕ2 ϕ3
- Seite 42 -
ϕ4
Erhält man, da Bra’s lineare Funkt. sind
c1 und c2 sind komplexe Zahlen
c1 und c2 sind komplexe Zahlen
c1 und c2 sind komplexe Zahlen
by Thomi Albrecht
BRA(C)KET-NOTATION
Nice to know:
SKALARPRODUKT (DEFINITIONEN UND EIGENSCHAFTEN)
Kombination von einem Bra-Vektor ψ| und Ket-Vektor |ϕ ergibt einen Klammerausdruck ψ|ϕ ,
die sogenannte Bracket. Diese entspricht dem Skalarprodukt, welches sich aus der Matrixmultiplikation des (1xn)-Zeilenvektors ψ| mit dem (nx1)-Spaltenvektor |ϕ ergibt (analog zu Seite 42)
In der Quantenmechanik beschreibt das Quadrat des Skalarproduktes ( ψ|ϕ )2 die Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein System, welches sich im Zustand ϕ befindet, in den Zustand ψ übergeht
Allg. Definition:
∞
ψ1 ψ 2 =
Konjugiert komplex
von Skalarprodukt
BRA(C)KET-NOTATION
ψ ϕ
( ψ *1
=
Anwenden von
Operator Aˆ
→ Aˆ
ψ
ψ *2
ϕ1
ϕ
... ψ *n ) ⋅ 2
...
ϕn
Operator auf Ket
und Bra angewendet (kombiniert):
Vergleiche unbedingt auch Seite 45
Beachte:
Erste Zeile wird
sehr oft verwendet
Für Basisfunktionen
des Hilbert-Raums
(siehe Seite 39):
Konjugiert komplex
von Op. auf Ket:
Verwendung der
Adjungierten:
PC - Quantenmechanik
Anwenden von
Operator Aˆ
ψ
∞
→
(
)
ψ
= Aˆ ψ = Aˆ ψ
(
ψ
) Aˆ =
ψ Aˆ = ψ Aˆ
ψ1∗ ( x ) Aˆ ψ 2 ( x ) ⋅ dx = ψ1 Aˆ ψ 2 = ψ1 Â ψ 2
−∞
Dabei gelten zusätzlich folgende Umformungen:
•
ψ1 Aˆ ψ 2 = Aˆ ψ 2 ψ1
•
ψ1 Aˆ ψ 2
*
*
= ψ 2 Aˆ † ψ1
= ψ 2 Aˆ † ψ1
Aˆ ξi ( x ) = ai ⋅ ξi ( x )
*
*
Aˆ ξi = Aˆ ξi = ai ⋅ ξi
Gilt allgemein für
Hilbert −Raum
( Aˆ
ψi
)
*
Bei den Grund-Gleichungen handelt es sich um Operator-Gleichungen. Vergleiche dazu auch
die Definitionen auf den Seiten 38 (Grunddefinitionen) und 46 (Anwendung auf Bra(c)ket)
Dimensionen von
Orthonormalbasis
ψ und Operator Â:
= ψ *1 ⋅ ϕ1 + ψ *2 ⋅ ϕ2 + ... + ψ *n ⋅ ϕn = Zahl
=
und analog
=
basis ψ
ψ11 ψ12
ψ 21 ψ 22
... ψ12
... ψ 2n
...
ψn1
... ...
... ψnn
...
ψn2
=
Grundgleichungen
und spalten-weise
Ermittelung des
Operator A in Matrix-Schreibweise:
a11 a12
a21 a22
... a12
... a2n
...
an1
... ...
... ann
...
an2
⋅
ψ1
ψ2
(
ψ1
ˆψ
A
j
= A† ψ j
- Seite 43 -
ψ2
...
)
ψn
Aˆ ψi = x ψ k
Aˆ =
a11 ...
a21 ...
... ...
...
...
0
0
... aki = x ...
0
...
...
...
...
→ Zeile k
Für Adjungierte (adjoint) Â
Siehe unten
Beachte:
Die wichtigste Umformung ψ1 | Â ψ2 ist in
der ersten Zeile festgehalten. Dabei bedeutet  ψ 2 nichts anderes als die Anwendung
des Operators  auf die Wellenfunktion ψ 2.
Anschliessend muss nur die Bracket (das
Skalarprodukt) von ψ 1 und  ψ 2 berechnet
werden.
• Vergleiche mit der entsprechenden Gleichung für den Hilbert-Raum auf Seite 39.
• ξ i sind Basisfunktionen des Hilbert-Raums.
• Dies ist sog. Eigenzustands-Beziehung
Operator Aˆ
n x n − Matrix
i = 1:
 ψ1
Beachte:
 ψ 2 = x 2 ψ k2
…
…
i = n:
 ψn = xn ψkn
ϕ2
• Siehe auch Übungsserie 8,
Aufgabe 1, Teil iv
Operator  in Bra(c)ket-Schreibweise
 = x1 ψ k1 ψ1 + x 2 ψk2
c1 ϕ1
• Der Index k1, k2, … ist nur
eine einzige Zahl. Die 2.
Zahl dient nur zur Unterscheidung der verschiedenen Indizes k. Dabei kann
k Werte von 1 bis n annehmen
= x1 ψ k1
i = 2:
⋅ c 2 ϕ3
ϕ4
ψ 2 + ... + xn ψ kn
= c1 ⋅ c 2 ⋅ ϕ1
• Element aik könnte auch in
ersten 2 oder letzten Zeile,
bzw. Spalte stehen
• Für x ist auch Null erlaubt
Gegeben: n Gleichungen der Form  ψi = x ψk
Gesucht:
Nützliche Formel
für weitere Berechnungen:
... ...
... ann
...
an2
• Siehe auch Übungsserie 8,
Aufgabe 1, Teil i
Operatoren können auch betrachtet werden,
indem sie auf ein Bra von rechts her wirken
Operator in
Bra(c)ket-Notation
ausgedrückt:
...
an1
• Falls i = k, ist das Element
aik ein Diagonal-Element
... ann
0
↓
Spalte i
S. Seite 45
... a12
... a2n
• aik ist Element in der k-ten
Zeile und der i-ten Spalte
... a1n
... a2n
... ...
0
an1 ...
ψ
†
a11 a12
a21 a22
Beachte:
...
ψn
Bedeutung dieser Formeln
 =
Orthonormalbasis ψ
als Spaltenvektoren
ψi geschrieben, d.h.
mittels Ket-Vektoren
 † ist die Adjungierte (adjoint), d.h. komplex
konjugierte Transponierte des Operators Â
= Aˆ ψi = ψi Aˆ †
Aˆ ψ j = ψ j Aˆ †
Ortho −
normal
Orthonormalbasis ψ
n x n − Matrix
Operator Aˆ
Operator auf Bra
angewendet:
Gegeben seien n Operator-Gleichungen, welche angeben, wie eine bestimmte Orthonormalbasis mit den Spalten |ψ n durch einen Operator transformiert wird. Dabei sind n Gleichungen
vorhanden, welche für jede Spalte der Orthonormalbasis (welche sich als Ket-Vektoren schreiben lassen) die entsprechende Transformation angeben.
Ein Beispiel zu diesen Berechnungen findet man in Übungsserie 8, Aufgabe 1, Teile i, iv und v
OPERATOREN
Operator auf Ket
angewendet:
ORTHONORMALBASIS ψ MIT SPALTEN |ψ
ψn UND TRANSFORMATION DURCH OPERATOREN
Beachte, dass die Orthonormalbasis ψ und der Operator  die gleiche Dimension haben müssen, d.h. beide habe die gleiche Anzahl Spalten und Zeilen (hier mit Index n gekennzeichnet)
ψ1 ψ 2 * = ψ 2 ψ1
Skalar=
produkt
Nice to know:
Gemäss Skript
Seite 48
ψ1∗ ( x ) ⋅ ψ 2 ( x ) ⋅ dx
−∞
Skalarprodukt als
Matrix-Multiplikation ausgeschrieben (analog S. 42)
BRA(C)KET-NOTATION
ϕ2 ϕ3
ϕ4
ψn
Formel kann nützlich sein,
falls 2 Operatoren miteinander
multipliziert werden.
Siehe Übung 8, Aufg. 1, Teil v
 † ist die Adjungierte (adjoint), d.h. komplex
konjugierte Transponierte des Operators Â
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 44 -
by Thomi Albrecht
Anwend ung en der Bra(c)ke t-Sc hrei b weis e ( Obser vabl en, Erwart ung s wert e, H er mitian, Nor mier ung , Oper at or-Gleic hu ng, u. a.)
BRA(C)KET-ANWENDUNGEN
Nice to know:
Allgemeiner (realer) Erwartungswert
einer Observablen:
In der Sprache der QM werden Operatoren, welche messbare, physikalische Menge darstellen,
Observablen genannt. Jede Observable hat einen realen (und nicht komplexen) Erwartungswert.
Operatoren, die physik. Observablen repräsentieren, müssen linear u. hermitesch sein (s. unten)
Beispiele für Observablen sind Position, Impuls, Energie oder Drehimpuls eines Teilchens.
ψ* ist komplex konjugiertes ψ, d.h. bei jeder Komponente wechselt Vorzeichen v. imaginärem Teil
Die Erwartungswerte für gerade Funktionen ψ(x) sind aus Symmetrieüberlegungen gleich Null
Ob man das Integral oder das Skalarprodukt (Bracket) berechnen will, muss von Beispiel zu
Beispiel entschieden werden, da sich je nach Situation ein anderer Weg empfiehlt.
Informationen zur „klassischen“ Schreibweise findet man auf der Seite 41.
Beispiele findet man in der Übungsserie 7, Aufgabe 1, Teil ii und Aufgabe 2, Teil i
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 49.
∞
Aˆ =
ψ * ( x ) ⋅ Aˆ ψ ( x ) ⋅ dx =
ψ Aˆ ψ = ψ Aˆ ψ = ψ Aˆ ψ
Aˆ
ψ Aˆ ψ
=
=
ψ Aˆ ψ
( ψ *1
=
... ψ *n )
ψ *2
ψ Aˆ ψ
ψ Aˆ ψ
=
=
ψ
a11 a12
a21 a22
... a12
... a2n
...
an1
... ...
... ann
...
an2
⋅
Matrix −Multiplikation
Mit HamiltonOperator:
Normierung der
Wellenfunktion:
∞
ˆ
En = H
=
BRA(C)KET-ANWENDUNGEN
⋅
ˆ ψ
ψn H
n
=
ˆ n
n H
ψ1
ψ2
...
ψn
( Aˆ ψ )
Spalten−
vektor
= ( ψ *1
 ψ bedeutet dabei,
dass der Operator Â
auf die Wellenfunktion
ψ angewandt wird.
ψ *2
... ψ *n ) ⋅ M
BRA(C)KET-ANWENDUNGEN
Nice to know:
Eigenwerte:
Dies ist eine äusserst wichtige Umformung!!! Der letzte
Term zeigt noch eine alternative Schreibweise
HERMITESCHE OPERATOREN (HERMITIAN-OPERATOR)
Ein Operator ist hermitesch, falls er die unten angegebene Bedingung erfüllt. Die Bedingung
kann dabei auf zwei verschiedene Arten (mit oder ohne Integral) geschrieben werden.
Ein hermitescher Operator ist ein Spezialfall einer Observablen (für allg. Definition von Observablen siehe oben). Dabei erfüllt ein hermitescher Operator die unten angegebene Bedingung
und es ergibt sich nach der ebenfalls unten angegeben Gleichung ein realer Erwartungswert.
Operatoren, welche die erste Ableitung nach einer kartesischen Koordinate enthalten (also dx,
dy oder dz), benötigen der imaginären Faktor i, um hermitesch zu sein.
Aˆ = Aˆ =
†
Aˆ =
∞
( Aˆ )
t
∗
∞
ψ1∗
( x ) Aˆ ψ 2 ( x ) ⋅ dx
−∞
ψ1∗ ( x ) Aˆ ψ 2 ( x ) ⋅ dx =
∞
=
Aˆ ψ1 ( x ) ⋅ ψ 2 ( x ) ⋅ dx
−∞
Eigenwerte:
N=
1
ψ ψ
=
( ψ *1
ψ *2
... ψ *n ) ⋅
ψ2
...
= ψ *1 ⋅ ϕ1 + ... + ψ *n ⋅ ϕn
ψn
Bra(c)ket-Notation
Aˆ f ( x ) = a ⋅ f ( x )
Aˆ ψi = ai ⋅ ψ i
" Alte" Schreibweise
Bra(c)ket − Notation
Die Formeln für die Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen können auch mit
Bra(c)ket-Schreibweise dargestellt werden. Die Operatoren müssen dazu aber in einer MatrixForm vorliegen.
Die Berechnung bei Bra(c)ket-Schreibweise erfolgt identisch zur klassischen Definition, da es
sich hier nur um eine alternative Schreibweise handelt. Siehe deshalb Seite 11 für Informationen über das Vorgehen beim Bestimmen von Eigenwerten und Eigenfunktionen.
Ein Beispiel findet man in der Übungsserie 7, Aufgabe 1, Teil iii
Informationen zur Bra(c)ket-Schreibweise findet man auf der Seite 43.
Informationen zur „klassischen“ Schreibweise findet man auf der Seite 11.
(
)
det ( A − λi ⋅ In ) = 0
det Aˆ − λi ⋅ In = 0
" Alte" Schreibweise
Bra(c)ket − Notation
( A − λ ⋅ In ) ⋅
x1
x2
...
xn
=
" Alte" Schreibweise
Normierung:
Bra(c)ket −Notation
by Thomi Albrecht
EIGENWERTE UND EIGENFUNKTIONEN BEI OPERATOREN IN MATRIX-FORM
( A − λ ⋅ In ) ⋅ x = 0
−∞
- Seite 45 -
OPERATOR-GLEICHUNG
Eigenfunktionen:
Zweiter Term gilt f. jede
quadratisch integrierbare Funktion ψ 1 und ψ2
ψ1 Aˆ ψ 2 = ψ1 Aˆ ψ 2 = ψ1 Aˆ † ψ 2 = Re ale Z.
" Alte" Schreibweise
PC - Quantenmechanik
!
⋅ dx = 1
Will man ermitteln, ob ein bestimmter Zustand ein Eigenzustand des Operators A ist, setzt man
einfach den ermittelten Eigenzustand und den passenden Operator in die Gleichung ein.
Ein Beispiel findet man in der Übungsserie 7, Aufgabe 2, Teil ii
Informationen zur Bra(c)ket-Schreibweise findet man auf der Seite 43. Siehe auch Seite 44
Informationen zur „klassischen“ Schreibweise findet man auf der Seite 38.
BRA(C)KET-ANWENDUNGEN
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 49
Erwartungswert
des HermitianOperators:
2
1
2
M
 † ist Adjungierte (adjoint) des Operators  und bedeutet, dass  nach Transposition und komplexer Konjugation in sich selbst übergeht. ψ 1 und ψ1 können beliebige Funktionen sein.
Beispiele findet man in der Übungsserie 8, Aufgabe 1, Teil iii und Aufgabe 2
Bedingung:
ψ ( x, t )
Klassische
Schreibweise
= ψ Aˆ † ψ
−
ψ1
−∞
Nice to know:
Nice to know:
Durch Anwendung der Normierungsbedingung kann die Normierungskonstante N einer Funktion
gefunden werden, woraus man schlussendlich die normierte Funktion schreiben kann.
In der unten geschriebenen Formel bezeichnet N die Normierungskonstante. Multiplikation der
Funktion ψ mit der Normierungskonstante N liefert die normierte Funktion ψNormiert = N . ψ
Informationen zur Bra(c)ket-Schreibweise findet man auf der Seite 43.
Informationen zur „klassischen“ Schreibweise findet man auf der Seite 26
Bra(c)ket −Notation
Zeilen-Vektor (komplex
konjugiert von ψ )
Für Operator  in
Matrizenform (unter Verwendung
der oben angeg.
Umformung):
*
Nice to know:
NORMIERUNG
−∞
" Alte" Schreibweise
Häuft verwendete
Umformung:
BRA(C)KET-ANWENDUNGEN
PHYSIKALISCHE OBSERVABLEN UND ERWARTUNGSWERTE
PC - Quantenmechanik
0
0
...
0
Anstatt der Matrix A wird einfach der Operator
 in der Gleichung geschrieben.
(
)
Aˆ − λ ⋅ In ⋅ ψ = 0
(
ψ1
0
ψ
0
Aˆ − λ ⋅ In ⋅ 2 =
...
...
ψn
0
)
Bra(c)ket − Notation
In der Regel will man als Resultat die normierten Eigenfunktionen angeben. Berechne dazu zuerst
einfach nach üblichem Verfahren die Eigenfunktion |ψ . Füge anschliessend eine Normierungskonstante in Form eines Faktors hinzu, so dass man also eine Eigenfunktion der Form a . |ψ erhält.
Berechne anschliessend die Normierungskonstante nach der entsprechenden Formel (siehe oben).
- Seite 46 -
by Thomi Albrecht
Mess proz ess
MESSPROZESS
MESSPROZESS
SITUATION
Gegeben ist jeweils ein quantenmechanisches System. Mittels verschiedener Messungen sollen Parameter (wie zum
Beispiel Energie, Impuls, Drehimpuls, usw.) des Systems gemessen werden. Da ein quantenmechanisches System jedoch in mehreren Zuständen vorliegen kann, können auch die zu messenden Grössen verschiedene Grössen annehmen.
Anhang einiger Berechnungen können Aussagen über Wahrscheinlichkeit von Zuständen, erwartete Messergebnisse,
Genauigkeit der Messungen, Reproduzierbarkeit von Messungen usw. gemacht werden.
MESSPROZESS
ANALYSE EINER WELLENFUNKTION, DIE SICH AUS MEHREREN EIGENZUSTÄNDEN ZUSAMMENSETZT
Nice to know:
Gegeben:
Variablen:
GRUNDREGELN UND PRINZIPIEN (NICE TO KNOW)
Im Folgenden sind die wichtigsten Prinzipien von Messprozessen aufgeführt. Beachte jeweils auch die entsprechenden
Seitenangaben, da sich auf den entsprechenden Seiten zum Teil weiterführende Informationen befinden.
Der Zustand eines Systems kann zu jedem möglichen Augenblick der Zeit durch eine Zustands- oder Wellenfunktion
ψ dargestellt werden. Das Durchführen einer Messung an diesem System kann mathematisch durch das Anwenden
eines Operators  auf die Wellenfunktion ψ beschrieben werden.
Durch das Durchführen der Messung wird das System in einen Zustand ψi versetzt. Meist bezeichnet man diesen
Zustand als Eigenzustand oder Eigenfunktion. Dabei gibt es für diesen Eigen-Zustand jeweils einen charakteristischen Eigenwert ai. Dieser Eigenwert ai entspricht dabei dem eigentlichen Mess-Resultat. Anders ausgedrückt kann
man sagen, dass sich das System nach der Messung im Eigenzustand ψi zum gemessenen Eigenwert ai befindet.
Man betrachte beispielsweise die Anwendung eines Energie-Operators auf ein System. Man erhält schlussendlich
den Eigenwert E, welcher der Energie des momentan vorherrschenden Zustandes ψ i entspricht.
Diese beschriebenen Zusammenhänge werden durch die ersten beiden Postulate der Quantenmechanik beschrieben. Eine mathematische Beschreibung der Zusammenhänge zwischen Operator, Eigenwert und Eigenzustand
erfolgt durch die Operator-Gleichung (siehe Seite 38).
Normierung
von ψ:
MESSPROZESS
Nice to know:
Eigenwerte:
PC - Quantenmechanik
Wahrscheinlichkeit pϕ→ψ =
(
ψ ϕ
)
ˆ φ = A⋅ a ⋅
φ H
1
φ =
ˆ 1
1H
Energie En
mit n = 1
Achtung:
Bei komplexen Eigenwerten wird
nicht einfach nur quadriert, sondern der Eigenwert wird mit dem
komplex konjugierten Eigenwert
multipliziert. Also:
A⋅ ψ
1
1
= 2
2
ψ ψ
a1 + a22 + a32 + ... + am
1
2
a12 + a22 + a32 + ... + am
ˆ 2
2 H
+ a2 ⋅
⋅ ψ
+ ... + ai ⋅
Energie En
mit n = 2
ai2 =
ˆ i
i H
ai2
falls ai = reell
ai ⋅ a∗i
falls ai = komplex
ˆ m
+ ... + an ⋅ m H
Energie En
mit n = i
Energie En
mit n = m
Beispiel für Energie En:
Für den harmonischen Oszillator (vergleiche Seite 34) beispielsweise ist
ˆ 3 = ⋅ ω ⋅ 3 + 1 = 3.5 ⋅ ⋅ ω
ˆ n = E = ⋅ω⋅ n + 1
Somit wäre z.B. 3 H
n H
n
2
2
Wahrscheinlichkeit,
bestimmte Energie
nach einer Messung zu erhalten:
Wahrscheinlichkeit,
bestimmte Energie
bei zweiter Messung zu erhalten:
2
- Seite 47 -
φ =
Normierter Zustand:
Beachte:
Energie En entspricht dem allgemeinen Ausdruck für die Energie des gegebenen Systems (z.B.
harmonischer Oszillator, starrer Rotor, Teilchen im Kasten, usw.). Der Erwartungswert für die Gesamtenergie ergibt sich durch Addition der einzelnen Energien unter Berücksichtigung der dazugehörigen Koeffizienten ai. Normierte Funktionen werden dabei schlussendlich noch mit dem Normierungsfaktor (siehe oben) multipliziert. Meist kann noch ein wesentlicher Term ausgeklammert werden, um die Gleichung zu vereinfachen.
WAHRSCHEINLICHKEIT, DASS SYSTEM VON ZUSTAND ϕ IN ZUSTAND ψ ÜBERGEHT
System liege im Zustand ϕ vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach einer Messung das System
im Eigenzustand ψ vorliegt, kann mit der unten angegebenen Gleichung berechnet werden.
Siehe auch Übungsserie 7, Aufgabe1, Teil v und Aufgabe 2, Teil iv
ψ = Wellenfunktion des vorliegenden Systems
|φ i = Eigenzustände (Eigenfunktionen) des Systems
a i = Eigenwerte zu den entsprechenden Eigenzuständen
Normierte Funktion:
Erwartungswert
(Energie) nach der
Normalisierung:
Beachte: Jedes ai kann auch gleich
Null sein (Summand fällt dann weg)
ψ = a1 ⋅ φ1 + a2 ⋅ φ2 + a3 ⋅ φ3 + ... + ai ⋅ φi + ... + am ⋅ φm
Normierungskonstante: A =
Durch das Durchführen von vielen, bei identischem System durchgeführten Messungen kann ein gewichteter Durchschnittswert A für die Messungen bestimmt werden. Dieser Durchschnittswert wird in der Regel als Erwartungswert
bezeichnet. Die Berechnung des Erwartungswertes kann dabei über eine Integral-Berechnung (siehe Seite 41) oder
einfacher durch Anwenden der Bra(c)ket-Schreibweise (siehe Seite 45) vorgenommen werden.
Falls die beiden Operatoren  und B kommutieren (siehe Seite 49), gibt es einen allgemeinen Satz von Funktionen,
die als Eigenfunktionen für beide Operatoren zulässig sind. Das heisst, dass man beim Durchführen der beiden Messungen A und B (mathematisch bedeutet dies das Anwenden der Operatoren) eine eindeutig definierte Lösung erhält.
Das heisst dass sowohl eine Messung A als auch eine Messung B zu einem eindeutig definierten Resultat führt.
Deshalb werden kommutierende Operatoren auch als kompatibel bezeichnet. Weitere Informationen findet man auf
der Seite 50 der Formelsammlung.
Falls die beiden Operatoren  und B nicht kompatibel sind (nicht kommutieren), kann man eine Messung mit  durchführen, wobei das System anschliessend im Eigen-Zustand ϕ i vorliegt. Dabei erhält man einen spezifischen Eigenwert. Da die Messung mit B nicht zum gleichen Eigenzustand und Eigenwert führt, ergibt die Messung mit B keine
eindeutig definierte Lösung. Dieses Prinzip wird durch die Unbestimmtheitsrelation (siehe Seite 51) beschrieben.
Unter einer scharfen Messung versteht man einen Messprozess, dessen Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 1
(100%) nur zu einem Ergebnis führt.
Eine Observable kann nur dann scharf gemessen werden, wenn der Zustand bereits vor der Messung ein Eigenzustand zu dem zugehörigen Operator ist.
Um zwei Observablen gemeinsam scharf messen zu können, muss es gemeinsame Eigenvektoren zu den beiden
zugehörigen Operatoren geben. Falls also die Eigenvektoren von zwei Observablen linear unabhängig sind, können
diese beiden Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.
Gegeben sei eine Wellenfunktion, die aus Summanden mit jeweils unterschiedlichen Eigenzuständen besteht. Es sollen ausgehend von dieser Wellenfunktion die Normierungskonstante,
der Erwartungswert und Wahrscheinlichkeiten von Messungen bestimmt werden.
Für ein Beispiel siehe Probeklausur, Aufgabe 7
Gesucht ist Wahrscheinlichkeit, Energie Ei zu messen. Ei bedeutet dabei die Energie En des vorliegenden Systems (z.B. harmonischer Oszillator, starrer Rotor, Teilchen im Kasten, usw.) mit n = i.
Gesucht:
ˆ i
Wahrscheinlichkeit für Ei = i H
Lösung:
Wahrscheinlichkeit pi =
ai2
a12
+
a22
+
a23
Bei 1. Messung wurde die Energie bestimmt zu
+ ... + a2i + ... + an2
Achtung:
Bei komplexen Eigenwerten wird nicht einfach quadriert, sondern
mit dem komplex konjugierten Eigenwert multipliziert. Also:
ai2 =
ai2
ai reell
ai ⋅ a∗i
ai komp.
ˆ i
Ei = i H
ˆ k
Wahrscheinlichkeit, bei 2. Messung andere Energie Ek = k H
zu messen ist gleich Null
Grund: Eigenfunktionen von H sind orthogonal!
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 48 -
by Thomi Albrecht
MESSPROZESS
VERWEISE
KOMMUTATOREN
Auf den unten aufgeführten Seiten der Formelsammlung findet man wichtige Formeln in Bezug auf Messprozesse. Die
Grundlagen für die Zusammenhänge und Formeln bezüglich Messprozessen wird dabei durch die ersten drei der vier
Postulate der Quantenmechanik gelegt.
Seitenzahl
Thema
KOMMUTIERENDE OPERATOREN UND DEREN EIGENFUNKTIONEN
Nice to know:
Bei kommutierenden Operatoren unterscheidet man zwischen nicht-entarteten (nondegenerate)
und entarteten (degenerate) Operatoren. Bei nicht-entartete Operatoren existiert zu jeder Wellenfunktion |ϕ i ein spezifischer Eigenwert ai. Entartete Operatoren weisen dagegen für verschiedene Zustände (Eigenfunktionen) |ϕ i die gleichen Eigenwerte ai auf.
Falls die beiden Operatoren  und B kommutieren, gibt es einen allgemeinen Satz von Funktionen, die als Eigenfunktionen für beide Operatoren zulässig sind. Das heisst, dass man beim
Durchführen der beiden Messungen A und B (mathematisch bedeutet dies das Anwenden der
Operatoren) eine eindeutig definierte Lösung erhält. Das heisst dass sowohl eine Messung A
als auch eine Messung B zu einem eindeutig definierten Resultat führt. Deshalb werden kommutierende Operatoren auch als kompatibel bezeichnet.
Falls die beiden Operatoren  und B nicht kompatibel sind (nicht kommutieren), kann man eine
Messung mit  durchführen, wobei das System anschliessend im Eigen-Zustand ϕ i vorliegt.
Dabei erhält man einen spezifischen Eigenwert. Da die Messung mit B nicht zum gleichen Eigenzustand und Eigenwert führt, ergibt die Messung mit B keine eindeutig definierte Lösung.
Dieses Prinzip wird durch die Unbestimmtheitsrelation (siehe Seite 51) beschrieben.
Kurz-Beschrieb / Aussage
Seite 40
Postulat I der QM
Messung der Observablen A führt zu den Eigenwerten a
Seite 40
Postulat II der QM
Durch Messung der Observablen A wird System in den Zustand ψa versetzt
Seite 40
Postulat III der QM
Durchführen von vielen Messungen an ident. System liefert Erwartungswert A
Seite 38
Operatoren
Das Anwenden von Operatoren entspricht einen Messprozess
Seite 41
Erwartungswert
Berechnung von Erwartungswerten mittels Integral
Seite 45
Erwartungswert
Berechnung von Erwartungswerten mittels Bra(c)ket-Schreibweise
Seite 50
Messgenauigkeit
Bei kommutierenden Operatoren sind zwei Messungen A und B möglich
Seite 51
Messgenauigkeit
Bei nicht-kommutierenden Operatoren gilt die Unbestimmtheitsrelation
Beispiele für kommutierende Operatoren sind beispielsweise x̂ und x̂ 2 oder auch x̂ und V̂ für
einen harmonischen Oszillator
Ein Beispiel für einen entarteten, kommutierenden Operator ist der Energie-Operator Ê im Falle
eines freien Partikels. Dabei ist der Operator zweifach entartet, da die beiden Wellenfunktionen
exp(i . k . x) und exp(-i . k . x) die gleiche Energie ( 2 . k2) / (2 . m) haben (beachte, dass die Energie
E den Eigenwert darstellt). Entartet bedeutet dabei wie in klassischen Fällen, dass zwei verschiedene Zustände die gleiche Energie haben (vgl. zum Beispiel auch Orbital-Energien).
Für die „Standard-Gleichung“ bezüglich Operatoren siehe Seite 38
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seite 50 – 51.
Kommut at ore n
KOMMUTATOREN
Nice to know:
Kommutator:
KOMMUTATOR, ANTI-KOMMUTATOR, (NICHT-) KOMMUTIERENDE OPERATOREN
Die Rechenregeln für Operatoren unterscheiden sich von der sonst gebräuchlichen Algebra.
Im Allgemeinen sind Operatoren nicht kommutativ, d.h. sie kommutieren nicht miteinander!
Falls zwei Operatoren kommutieren, sagt man auch, dass sie vertauschen.
Bezüglich der Eigenwerte und Eigenfunktionen von kommutierenden Operatoren siehe Seite 50
Für 2 beliebige Operatoren A und B (beachte, dass hier das Dächlein über den Operatoren
nicht ausgeschrieben wurde) bedeutet Ausdruck (AB) f(x), dass zuerst Operator A auf Funktion
f(x) wirkt und anschliessend Operator B, also B [ A f(x) ], und analog steht (BA) f(x) für A [ B f(x) ].
2
Vergleiche dazu das erste Beispiel im Skript auf Seite 49 (mit A = ( ) und B = d/dx)
Falls die beiden Operatoren A und B Matrizen sind, werden diese beiden Operatoren in der
Regel nicht kommutieren, da bei Matrizen gilt AB ≠ BA.
Für Umgang mit Kommutatoren („Rechenregeln“) siehe auch Übungsserie 10, Aufgabe 1.1
Für Beispiele siehe Serie 7, Aufgabe 1, Serie 8, Aufgaben 2und 3, Serie 10, Aufgabe 1, u.a.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seite 49 – 50.
Bedingungen:
!
ˆ ˆ = AB
ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ =0
A,B
Dies ist die allgemeine Bedingung für zwei kommutierende Operatoren A und B (siehe Seite 49)
auf Wellenfunk −
tionen angewandt
Aˆ f ( x ) = a ⋅ f ( x )
→ Aˆ ϕi = ai ⋅ ϕi
Grundsatz:
( )
( )
Aˆ Bˆ ϕi = Aˆ Bˆ ϕi = Bˆ Aˆ ϕi = Bˆ ( ai ⋅ ϕi ) = ai ⋅ Bˆ ϕi
Und analog
Bˆ ϕi = ai ⋅ ϕi
• Wellenfunktion ϕ i ist eine Eigenfunktion des
Operators  mit dem Eigenwert ai
• Wellenfunktion B . ϕ i ist auch e. Eigenfunktion
des Operators  mit d. gleichen Eigenwert ai
ˆ ˆ = AB
ˆ ˆ − BA
ˆˆ
A,B
Unb esti mmt h eitsrel ati on (Unsc h ärfer ela tio n)
Anti-Kommutator:
Kommutierende
Operatoren:
Berechnung eines
Kommutators bei
nicht kommutierenden Operatoren
und falls allg. Gleichung nicht einfach
angewendet werden kann:
PC - Quantenmechanik
UNBESTIMMTHEITSRELATION
{ }
ˆ ˆ = AB
ˆ ˆ + BA
ˆˆ
A,B
Nice to know:
Aˆ und Bˆ kommutieren
ˆ ˆ f ( x ) = BA
ˆ ˆ f (x)
AB
( )
ˆ ˆ = AB
ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ =0
A,B
Aˆ und Bˆ kommutieren nicht
ˆ ˆ ) f ( x ) ≠ (BA
ˆ ˆ ) f (x)
( AB
ˆ ˆ = AB
ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ ≠0
A,B
(
( )
Vorgehen:
)
• Wähle eine passende (z.T. beliebige) Funktion
(
)
ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ f (x)
• Berechne den Ausdruck AB
• Vergleiche die linke und rechte Seite der Gleichung.
Vernachlässigen von f(x) auf beiden Seiten führt zum
gesuchten Ausdruck für den Kommutator.
- Seite 49 -
Die Dirac Delta Funktion ist eine wichtige Funktion in Bezug auf die Formeln und Zusammenhänge der Unbestimmtheitsrelation (siehe Seite 51)
Die Dirac Delta Funktion ist eine Funktion, die in beliebigen Intervallen x – x0 Null beträgt, jedoch bei x = x0 gegen unendlich geht. Die Fläche unterhalb der Kurve beträgt immer 1 (dies
kann durch Integration der Funktion über den gesamten Bereich von - bis gezeigt werden).
Interessant ist vor allem der Fall, wenn eine bestimmte Funktion f(x) mit der Dirac Delta Funktiberechnet wird, wobei man den Funktionswert
on multipliziert und das Integral von - bis
f(x0) erhält, als den Funktionswert der Funktion f(x) an der Stelle x = x0.
Der Ausdruck exp[ - i . k . (x – x0) ] steht für eine oszillierende Funktion
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 53
!
ˆ ˆ f ( x ) = AB
ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ f ( x)
A,B
!
Beachte:
Zum Teil ist dieses
Vorgehen überflüssig,
(z.B. falls Matrizen vorkommen) da der Kommutator direkt nach der
allg. Formel berechnet
werden kann.
Für Beispiel nach linker
Formel vgl. Skript S. 50
by Thomi Albrecht
Dirac Delta
Funktion:
Verschachtelung
mit Funktion f(x):
DIRAC DELTA FUNKTION (ALS GRUNDLAGE FÜR UNBESTIMMTHEITSRELATION)
δ ( x − x0 ) =
∞
∞
1
⋅ exp − i ⋅ k ⋅ ( x − x 0 ) ⋅ dk
2 ⋅ π −∞
f ( x ) ⋅ δ ( x − x 0 ) ⋅ dx = f ( x 0 )
δ ( x − x0 ) = 0
δ ( x − x0 ) → ∞
Spezialfall: Für f ( x ) =1 gilt
−∞
PC - Quantenmechanik
und somit
∞
für x ≠ x0
für x = x 0
δ ( x − x0 ) ⋅ dx = 1
−∞
- Seite 50 -
by Thomi Albrecht
UNBESTIMMTHEITSRELATION
Nice to know:
Operator A, Abweichung A
A:
Unschärfe der
Observablen:
DEFINITIONEN UND ALTERNATIVE SCHREIWEISEN DER UNBESTIMMTHEITSRELATION
DREHIMPULS
Die Unbestimmtheitsrelation gilt nur für nicht-kommutierende Operatoren. Die Grundaussage
liegt darin, dass nach Messung A, bei der man einen eindeutig definierten Messwert erhält, die
Messung B nicht zu einem eindeutig definierten Wert führt.
Falls 2 Operatoren kommutieren, kann man für Messungen A und B einen eindeutig def. Messwert bestimmen und Unbestimmtheitsrelation muss nicht berücksichtigt werden (vgl. S. 50).
Der x -Operator ist definiert als x und analog kann man für x2 -Operator einfach x2 schreiben.
Für die Definition des Impuls-Operators p siehe Seite 38
In den meisten Gleichungen wird der Erwartungswert verwendet. Siehe dazu Seiten 41 und 45
Beachte, das Unbestimmtheitsrelation eine Ungleichung (und nicht etwa eine Gleichung) ist.
In den Formeln bezüglich der Unbestimmtheitsrelation wird zum Teil die Dirac Delta Funktion
verwendet, welche auf Seite 50 der Formelsammlung genauer erläutert ist.
Für die Herleitung wird die Schwarzsche Ungleichung verwendet (siehe Seite 82). Die Herleitung wird hier jedoch nicht angegeben (siehe dazu Skript Seiten 51 – 52).
Für Beispiele siehe Übungsserie 8, Aufgabe 3 und Test-Prüfung SS 2004, Aufgabe 1
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 51 – 53.
Nice to know:
δA = A − A
( δA )
2
A2 − A
=
( δA )
Nützliche Formel
für Umformungen:
( ∆A ) 2
= Aˆ 2 − Aˆ
Unbestimmtheitsrelation:
( δA )
( δB )
Alternative
Schreibweise:
= A
2
⋅
∆A ⋅ ∆B ≥
Definition der kartesischen Komponenten:
2
1
⋅
2
− A
2
1
≥ ⋅
4
A,B
2
mit ∆A =
A,B
Kommutator mit
Radius:
Diese Formel ergibt sich direkt aus der Formel für die
durchschnittliche quadratischen Abweichung (siehe oben)
2
2
=
Aˆ 2 − Aˆ
2
und ∆B =
( δB )
2
∆x ⋅ ∆p x ≥
2
∆p x =
12⋅
∆x
mit
( ∆x )
=
( ∆p x ) =
xˆ 2 − xˆ
pˆ x
2
− pˆ x
2
L = r ×P
Definition in QM:
Lˆ = rˆ × Pˆ = −i ⋅ ⋅ rˆ × ∇
PC - Quantenmechanik
Folge: Man kann nicht gleichzeitig mehrere
kartesische Komponenten messen.
2
2
= Lˆ z ,r
2
Allgemein: Lˆ i ,r 2 = 0
=0
Nice to know:
Der Grund für das Kommutieren
liegt darin, dass alle kart. Komponenten von r unabhängig sind.
Funktion f(r), die nur von r abhängt, ist automatisch Eigen2
funktion von L (mit Eigenwert 0).
Berechne x , x , px
2
und px und setze ein.
Quadrieren und Addieren der kartesischen Komponenten führt zu L2 (Dächlein wurde nicht
geschrieben). Dieser Wert kann gleichzeitig mit einer kartesischen Koordinate gemessen wer2
den. Man kann also gleichzeitig L und eine kartesische Komponente messen, die anderen
beiden kartesischen Komponenten können jedoch nicht eindeutig bestimmt werden!
Ein Beispiel zu diesen Sachverhalten findet man in der Übungsserie 10, Aufgabe 1
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 55.
Definition für L̂2
Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z
Länge des Drehimpuls-Vektors:
Lˆ =
Kommutator von
L2 mit den kartesischen Komponenten:
Lˆ2 =
Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z
Lˆ x ,Lˆ2 = 0
Lˆ y ,Lˆ2 = 0
Allgemein: Lˆ i ,Lˆ2 = 0
Lˆ z ,Lˆ2 = 0
Definition des Drehimpulses (angular momentum) in der QM
- Seite 51 -
Die Operatoren der kartesischen Komponenten
kommutieren nicht (siehe Seite 49), jedoch ergibt
der Kommutator von zwei Komponenten jeweils
die dritte Komponente.
DREHIMPULS-OPERATOR L2, D.H. QUADRIERTE LÄNGE DES DREHIMPULS-OPERATORS
2
Der Drehimpuls (angular momentum) für die Anwendungen in der Quantenmechanik kann über
die klassische Definition hergeleitet werden.
Der Drehimpuls wird zum Teil auch mit dem Symbol j anstatt L bezeichnet!
Sowohl der Drehimpuls selbst, als auch die einzelnen Komponenten wirken nur auf Winkel und
nicht auf die radiale Komponente (vergleiche Übungsserie 10, Aufgabe 1.1)
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 54.
Klassische Def.:
Allg.: Lˆ × Lˆ = i ⋅ ⋅ Lˆ
Beachte: Dächlein über Operator wurden hier
vernachlässigt.
2
GRUNDDEFINITION
Nice to know:
Lˆ z ,Lˆ x = i ⋅ ⋅ Lˆ y
Lˆ z , x + y + z
Drehi mp uls i n der Qua nte nmec h ani k (allg emei ne D efini tio ne n, Mess ung e n, St arrer Rot or mit ein em oder mehr ere n T eilch e n)
DREHIMPULS
Lˆ y ,Lˆ z = i ⋅ ⋅ Lˆ x
2
Vergleiche Übungsserie
8, Aufgabe 3, Teil 3.2
2
)
Lˆ y , x 2 + y 2 + z2 = Lˆ y ,r 2 = 0
Bˆ 2 − Bˆ
=
Lx ist die Projektion von L auf die x-Achse
Ly ist die Projektion von L auf die y-Achse
Lz ist die Projektion von L auf die z-Achse
Lˆ x , x 2 + y 2 + z2 = Lˆ x ,r 2 = 0
Mathematische Beschreibung der Unbestimmtheitsrelation in der Quantenmechanik.
( δA )
∂
∂
Lˆ y = ( zˆ ⋅ pˆ x − xˆ ⋅ pˆ z ) = − i ⋅ ⋅ z ⋅
−x⋅
∂x
∂z
)
Lˆ x ,Lˆ y = i ⋅ ⋅ Lˆ z
Mit der Gleichung kann die durchschnittliche, quadratische Abweichung von A berechnet werden. Man erhält immer reale Zahlen.
2
Die kartesischen Komponenten repräsentieren
die Projektion der Drehimpulses auf die verschiedenen Koordinatenachsen, das heisst
(
(
Kommutatoren der
versch. kartesischen Komponenten untereinander:
Mit der Gleichung kann die Unschärfe einer Observablen in einem
gegebenen Zustand bestimmt werden. Dies entspricht der Standardabweichung von A.
2
∂
∂
−z⋅
Lˆ x = yˆ ⋅ pˆ z − zˆ ⋅ pˆ y = − i ⋅ ⋅ y ⋅
∂z
∂y
∂
∂
−y⋅
Lˆ Z = xˆ ⋅ pˆ y − yˆ ⋅ pˆ x = − i ⋅ ⋅ x ⋅
∂y
∂x
DREHIMPULS
Für Position x und
Impuls px:
Der Drehimpuls kann in seine kartesischen Koordinaten „zerlegt“ werden. Bei den kartesischen
Koordinaten handelt es sich dabei um die Projektionen des Drehimpulses auf die verschiedenen Achsen x, y und z.
Es gibt keinen Zustand, der gleichzeitig die Eigenfunktion von zwei oder drei kartesischen
Komponenten des Drehimpulses ist. Dies bedeutet, dass man nicht gleichzeitig mehrere kartesische Komponenten des Drehimpulses messen kann!
Ein Beispiel zu diesen Sachverhalten findet man in der Übungsserie 10, Aufgabe 1
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seite 54 – 55.
Operator A beschreibt d. Abweichung des Operators A vom Erwartungswert A
Durchschnittliche
quadratische Abw.:
2
OPERATOR DER KARTESISCHEN KOMPONENTEN
by Thomi Albrecht
Kommutator von
2
L mit dem Radius:
PC - Quantenmechanik
Die verschiedenen Opertoren der kartesischen Komponenten kommutieren (siehe Seite 49) mit dem Operator L2, d.h. dass je ein Operator einer kartesischen
2
Komponenten und L gleichzeitig gemessen werden
können. Die Operatoren der anderen beiden kartesischen Komponenten sind jedoch nicht eindeutig.
Funktion f(r), die nur von r abhängt, ist automatisch
eine Eigenfunktion von L2 (mit Eigenwert Null).
Lˆ2 , x 2 + y 2 + z2 = Lˆ2 ,r 2 = 0
- Seite 52 -
by Thomi Albrecht
DREHIMPULS
ALLGEMEINE LÖSUNG (EIGENFUNKTION, EIGENWERTE = MESSWERTE, GRAFISCHE DARSTELLUNG)
Nice to know:
Operatoren
(OperatorGleichungen)
Eigenfunktionen
(Kugellfächenfunktionen):
Bei kartesischen Komponenten spielt Dimension keine Rolle, d.h. dass die unten angegebenen
Gleichungen sowohl für Lx, Ly als auch Lz gelten, da man Koordinatensystem nach Belieben
drehen und Achsen auch dementspr. beschriften kann. In der Regel geht man jedoch von Lz aus.
2
Die Eigenfunktionen (Eigen-Zustände) des Drehimpuls-Operators L und die Eigenfunktionen
(Eigenzustände) der Operatoren der kartesischen Komponenten (vergleiche Seite 52) sind
m
genau gleich und werden mit ψ(θ,ϕ) = Yl (θ,ϕ) bezeichnet. Allerdings sind die Eigenwerte unterschiedlich. Vergleiche dazu die entsprechenden Gleichungen unten.
Es gibt keinen Zustand, der gleichzeitig die Eigenfunktion von 2 oder 3 kartesischen Komponenten des Drehimpulses ist (man kann nicht gleichzeitig mehrere kartesische Komponenten
2
messen). Man kann aber gleichzeitig L und eine kartesische Komponente messen.
Ausnahme: Eine Funktion f(r), die nur von r abhängt, ist automatisch eine Eigenfunktion von L2
und allen kart. Komponenten (Lx, Ly und Lz), wobei der entspr. Eigenwert jeweils Null beträgt!
2
L muss grösser als Lz sein (nicht gleich gross), da sonst Lx und Ly eindeutig bestimmt wären.
Die Eigenfunktionen Ylm(θ,ϕ) werden auch als Kugelflächenfunktionen (spherical harmonics
.
solutions) bezeichnet! Diese sind (2 + 1) entartet und bilden ein Orthonormalsystem.
Falls der Zustand eines Teilchens durch eine Wellenfunktion ψ charakterisiert ist, können wichtige Werte direkt aus dieser Wellenfunktion ψ abgelesen werden Siehe dazu Seite 56.
Falls im Zusammenhang mit Drehimpulsen die Energie des Systems bestimmt werden soll,
verwendet man in der Regel die allg. Gesamtenergie des starren Rotors Siehe dazu Seite 54
Für Definition der Legendre-Polynome vergleiche Seite 83
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 55 - 57.
Operator von kartes. Komponente:
ψ ( θ , ϕ ) = Ym ( θ , ϕ ) = ( −1)
mit
Eigenwerte
(Messwerte):
Länge | L | des
Impuls-Vektors:
L̂2 Ym ( θ , ϕ ) =
Drehimpuls-Operator (insgesamt):
m+ m
)
m )!
m !
2
⋅ ⋅ ( + 1) ⋅ Ym ( θ , ϕ )
⋅ m ⋅ Ym ( θ , ϕ )
L̂2 =
Kartesische Komponente:
L̂ i =
Lˆ2 =
2
⋅ ⋅ ( + 1) =
⋅
2
⋅ ⋅ ( + 1)
⋅m
(
2) ,
(
1) ,
Nice to know:
Die Behandlung des starren Rotors für eine oder zwei Massen verläuft praktisch analog. Die
Grundgleichungen sind identisch und werden deshalb hier angegeben.
Falls im Zusammenhang mit Drehimpulsen ein Energie-Betrag gesucht ist, verwendet man in
der Regel die unten angegebene Formel für die Gesamtenergie des starren Rotors.
Die Variable I steht für das Trägheitsmoment (Achtung: Nicht mit verwechseln)
Die wichtigsten Definition nach klassischer Physik sind zur Ergänzung ebenfalls angegeben.
Ein Beispiel für die Verwendung der Energie-Formel findet man im Quiz
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 57 – 59.
Definitionen nach
klassischer Physik:
Drehimpuls und
kinetische Rotationsenergie:
Drehimpuls
(Quantenmech.):
2
Beachte: Messung von L , bzw. Li führt als Messresultat zu den angeg. Eigenwerten.
L = (I ⋅ ω )
2
L =
⋅
L2 =
2
Etotal = Trotation =
2
⋅ ( + 1)
⋅ ⋅ ( + 1)
i
L2i
ω2
=
⋅
2 ⋅ Ii
2
i
Jedes Teilchen hat Trägheitsmoment I
Die Gesamtenergie eines System
nach klassischer Physik besteht nur
aus kinetischer Rotationsenergie.
Mi ⋅ ri
Für die quantenmechanische Definition
des Drehimpulses siehe auch Seite 53
H⋅ ϕ =
Eigenwerte (Gesamtenergie) und
Eigenfunktionen:
Eigenwert E = Gesamtenergie E =
Beachte, dass die Gesamt-Energie des Systems durch den entsprechenden Eigenwert (blau markiert) gegeben ist.
.
Für d. Energie existieren (2 + 1) entartete Zustände (siehe unten)
L̂2
⋅ϕ = E⋅ϕ
2 ⋅I
Lˆ2
=
2 ⋅I
2
⋅ ⋅ ( + 1)
2 ⋅I
2
=
⋅ ⋅ ( + 1)
2⋅
i
Eigenfunktionen ϕ = ϕ
m
m (θ , ϕ) = Y (θ , ϕ)
mi ⋅ ri
Gleichungen für verschiedene Rotoren
(mit unterschiedlicher
Anzahl Teilchen) unterscheiden sich nur
in der Grösse I.
STARRER ROTOR (RIGID ROTOR) :: MIT EINEM PARTIKEL
Nice to know:
Moment I
des Teilchen
Beachte, dass sowohl Länge, als auch Projektion
des Vektors auf die z-Achse (kartesische z-Komponente Lz) klar definiert sind. Hingegen kann
man für die beiden kartesischen Komponenten
bzgl. x und y keine Angaben machen, d.h. dass
Lx und Ly nicht bestimmt werden können.
L = I⋅ ω
Zeitabhängige
SchrödingerGleichung:
DREHIMPULS
Man kann gleichzeitig L2 und eine kartesische
Komponente (Lx, Ly oder Lz) messen.
⋅ ( + 1)
Grafik:
(beispielhaft
mit = 2)
STARRER ROTOR (RIGID ROTOR) :: GRUNDLAGEN
Plm = zugehörige
Legendre-Funktion
(siehe Formelsammlung S. 83)
Erste Lösungen:
Siehe Seite 66
⋅ Pm ( θ ) ⋅ exp (i ⋅ m ⋅ ϕ )
= 0, 1, 2, 3, ... und m = − , ( − + 1) , ( − + 2 ) , ... ,
Drehimpuls:
L =
( θ , ϕ) =
2⋅ +1 ( ⋅
4⋅π ( +
⋅
2
L̂ i Y
m
Farben:
Blau = Operator
Rot = Eigenfunkt.
Grün = Eigenwert
DREHIMPULS
Energie des starren Rotors:
Situation: Ein Teilchen mit der Masse M rotiert auf einem Kreis mit konstantem Radius r um den
Nullpunkt. Das ganze System kann sich dabei frei im Raum bewegen oder um einen bestimmten Ort rotieren.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 57 – 58.
I=
i
E =
I = M ⋅ r2
mi ⋅ ri
Lˆ2
=
2 ⋅I
2
⋅ ⋅ ( + 1)
2 ⋅I
2
=
⋅ ⋅ ( + 1)
2 ⋅ M ⋅ r2
Grafik:
Es gelten somit folgende Zahlenwerte:
⋅ ( + 1)
Länge L
=
x-Komponente Lˆ x
y-Komponente Lˆ
= ? (nicht bestimmbar)
z-Komponente Lˆ z
=
y
⋅
= ? (nicht bestimmbar)
⋅m
Beachte:
Es muss immer gelten:
PC - Quantenmechanik
- Seite 53 -
⋅
⋅ ( + 1) >
⋅m
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 54 -
by Thomi Albrecht
DREHIMPULS
STARRER ROTOR (RIGID ROTOR) :: MIT ZWEI PARTIKELN
Nice to know:
Moment I
des Teilchen
Energie des starren Rotors:
DREHIMPULS
Situation: 2 Teilchen mit den Massen M1 und M2 sind starr miteinander verbunden (man stelle
sich unsichtbare Stange vor), d.h. dass Abstände zwischen den Teilchen konstant bleiben. M1
rotiert dabei auf einem Kreis mit Radius r1 um den Nullpunkt und M2 bewegt sich auf einer
Kreisbahn mit Radius r2. Die Distanz zwischen den Teilchen wird dabei mit R = r1 + r2 bezeichnet. Das ganze System kann sich frei im Raum bewegen oder um bestimmten Ort rotieren.
In Molekülen wird der Abstand R auch als internuklearer Abstand der beiden Atome bezeichnet.
Beachte, dass sich der Nullpunkt aus dem System heraus ergibt. Man geht zuerst eigentlich nur
von zwei fest miteinander verbundenen Teilchen aus, welche rotieren. Dabei kann man feststellen, dass sich beide mit unterschiedlichen Radien um einen bestimmten Nullpunkt drehen, so
dass die Gleichung M1 . r1 = M2 . r2 erfüllt ist.
Jeder Zustand weist eine Energie auf, die (2 . l + 1) entartet ist.
Beispiele für einen starren Rotor mit zwei Partikeln sind die Bewegung eines Elektrons um den
Atomkern im H-Atom, Rotation eines linearen Moleküls (z.B. H2 oder CO) oder tiefe Rotationsübergänge (d.h. Übergang aus einem Zustand mit bestimmten Drehimpuls in System mit anderem Drehimpuls, wobei die Energie entsprechend verändert wird).
Ein entsprechendes Beispiel findet man in der Aufgabenserie 9, Aufgabe 2
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 58 – 59.
I=
i
E =
I = µ ⋅ R2 =
mi ⋅ ri
2
ˆ2
L
=
2 ⋅I
⋅ ⋅ ( + 1)
M1 ⋅ M2
⋅ R2
M1 + M2
2
=
2 ⋅I
µ = Reduzierte Masse
R = Abstand zwischen den beiden Massen
⋅ ⋅ ( + 1)
2 ⋅ µ ⋅ R2
Wendet man den Operator Lx2 + Ly2 anstatt L2 auf die Kugelflächenfunktion an, erhält man leicht
modifizierte Eigenwerte. Die Eigenwerte unterscheiden sich dabei um einen Summanden
„-m2“ von den Eigenwerten des „normalen“ Drehimpulses (vergleiche mit Seite 53)
Die Herleitung der hier notierten Formeln findet man in der Aufgabenserie 10, Aufgabe 1.3
Nice to know:
Operator:
(Lˆ
2
x
) (
2
)
+ Lˆ2y = Lˆ2 + Lˆ2z =
) (
+ Lˆ2y = Lˆ2 − Lˆ2z
)
⋅ ( + 1) − m2 ⋅ Ym ( θ , ϕ )
⋅
2
⋅
Farben: Blau = Operator
Rot = Eigenfunktion
Grün = Eigenwert
⋅ ( + 1) − m2
ANALYSE EINER WELLENFUNKTION, WELCHE DURCH KUGELFLÄCHENFUNKTION DEFINIERT IST
Nice to know:
Ausgangspunkt ist ein Zustand eines Teilchens, welcher durch eine Wellenfunktion ψ charakterisiert ist. Diese Wellenfunktion besteht aus verschiedenen Termen mit Kugelflächenfunktionen
Ylm(θ,ϕ) und enthält wichtige Funktionen, die für die Berechnungen bezüglich des Drehimpulses
benötigt werden.
Aus der Wellenfunktion können sowohl die Quantenzahlen l und m des Systems, sowie Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Messergebnisse abgelesen werden. Zudem kann die Gesamtenergie (Erwartungswert) des Systems berechnet werden.
Die verschiedenen Indizes beim Symbol Ylm(θ,ϕ) der Kugelflächenfunktion entsprechen den
Quantenzahlen, wobei die tiefgestellten Indizes den möglichen Quantenzahlen l und die hochgestellten Indizes den möglichen Quantenzahlen m entsprechen.
Die Quadrate der Koeffizienten der Kugelflächenfunktion entsprechen den Wahrscheinlichkeiten
für die einzelnen Messergebnisse (Kugelflächenfunktionen).
Die Gesamtenergie für das vorliegende System erhält man durch Addition der Energien der
einzelnen Messergebnisse unter Berücksichtigung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
2
Beachte, dass Kugelflächenfunktion nur dann Eigenzustand des Drehimpulses L ist, falls nur ein
m
Wert möglich ist für Quantenzahl l, d.h. dass in Wellenfunktion bei den Symbolen Yl (θ,ϕ) für die
Kugelflächenfunktionen die tiefgestellten Indizes alle den gleichen Wert aufweisen müssen.
Die Energien der einzelnen Terme werden mit der allgemeinen Formel für die Gesamtenergie
eines starren Rotors berechnet. Siehe dazu Seite 54.
Beispiele findet man im Quiz 2, Aufgaben 2 und 3
Man betrachtet Rotationsübergänge, die in einem System stattfinden. Das System habe zu Beginn den Drehimpuls L’’ und die Energie E( ’’), wobei diese Werte durch den Parameter ’’ charakterisiert werden. Nach dem Übergang liegt das System mit Drehimpuls L’ und Energie E( ’) vor,
wobei diese Werte durch den Parameter ’ charakterisiert werden. Es gelten folgende Grundsätze:
Gegebene:
Wellenfunktion
m2
mn
ψ = a1 ⋅ Ym1
1 ( θ , ϕ ) + a2 ⋅ Y 2 ( θ , ϕ ) + ... + an ⋅ Y n ( θ , ϕ )
• Übergang:
Quantenzahlen:
Mögliche Werte für Quantenzahl
sind 1, 2, … n
Mögliche Werte für Quantenzahl m sind m1, m2, … mn
Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse:
Wahrscheinlichkeit für Zustand Ymi i ( θ , ϕ ) ist ai2
'
'→ '
'
• Energiedifferenz: ∆E = E (L ') − E (L '
)
∆E > 0
∆E < 0
wobei
falls
falls
<
Energiedifferenz zwischen zwei Zuständen ’ und ’’ aus Definition von Energie für starrer Rotor:
2
E =
⋅ ⋅ ( + 1)
I
2
−
⋅
⋅ ( + 1)
I
=
2
2 ⋅I
⋅
⋅ ( + 1) −
⋅ ( + 1) =
2
2 ⋅ µ ⋅ R2
⋅
⋅ ( + 1) −
⋅ ( + 1)
Gesamtenergie
des Systems:
Energiedifferenz zwischen benachbarten Zuständen, d.h. l’ = l’’ + 1
2
E =
PC - Quantenmechanik
)
(Lˆ
Eigenwerte:
2
x
+ L̂2y Ym ( θ , ϕ ) =
2
x
Grafik:
Rotationsübergänge:
(Lˆ
Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z
OperatorGleichung
DREHIMPULS
Der Grundzustand ist durch = 0 gegeben und die
Grundzustandsenergie beträgt E0 = 0,
Der erste angeregte Zustand ist durch = 1 gegeben.
EIGENWERTE BEI ANWENDUNG VON OPERATOR Lx2 + Ly2 AUF KUGELFLÄCHENFUNKTION Ylm(θ
θ,ϕ
ϕ)
⋅ ⋅ ( + 1)
2 ⋅I
2
−
⋅
⋅ ( + 1)
2 ⋅I
=
2
I
⋅
- Seite 55 -
+1 =
2
µ ⋅ R2
⋅
Beurteilung bezüglich Eigenzustand
von Drehimpuls L2:
+1
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
Sowohl a1, a2, … an, als auch l1, l2, … ln
und m1, m2, … mn sind natürliche Zahlen
Es gilt jeweils für ein System a12 + a22 + ... + an2 = 1
E = a12 ⋅ E 1 + a22 ⋅ E 2 + ... + an2 ⋅ Eln
Ist ψ ein Eigenzus tan d von Lˆ2 ?
mit E =
Ja
Nein
- Seite 56 -
Lˆ2
=
2 ⋅I
falls 1 =
sonst
2
⋅ ⋅ ( + 1)
2 ⋅I
2
= ... =
Ausdruck für Energie
stammt von starrem Rotor
(siehe Seite 54)
n
by Thomi Albrecht
Spi n
DREHIMPULS
ADDITION DES DREHIMPULSES VON ZWEI ELEKTRONEN
Nice to know:
SPIN
Man geht von zwei Elektronen aus, die einen Drehimpuls von L1, bzw. L2 aufweisen. Es soll nur
der Drehimpuls des gesamten Systems beschrieben werden, d.h. man sucht Ausdrücke für die
Eigenfunktionen und Eigenwerte des gesamten Drehimpulses L.
Zur Erinnerung: Falls 2 Operatoren kommutieren, haben sie einen gemeinsamen Eigenzustand.
Jede Eigenfunktion | l m l1 l2 kann durch Superposition der Wellenfunktionen der beiden Elektronen erhalten werden (für weitere Erläuterungen siehe Skript Seite 75)
Bezüglich Auswirkung auf totale Wellenzahlen: Siehe unten (direkt nächster Abschnitt)
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 74 – 76.
Drehimpulse und
Wellenfunktionen
der Elektronen:
Elektron 2
Addition von
Drehimpuls:
Lˆ2 = Lˆ 1 + Lˆ 2
Drehimpuls = Lˆ 1
Drehimpuls = Lˆ
Elektron 1
(
2
)
2
Lˆ i = Lˆ 1i + Lˆ 2 i
OperatorGleichung
Gemeinsame Eigenzustände
⋅ l ⋅ ( l + 1)
L̂i ψlm =
⋅m
Lˆ21 ,Lˆ2 = 0
Lˆ22 ,Lˆ2 = 0
Lˆ21 ,Lˆ 1i = 0
Lˆ22
,Lˆ 1i = 0
Wellenfunktion = l 2 m2
| ψ lm sind Eigenzustände für den totalen Drehimpuls
(wobei noch ermittelt wird, für welche Operatoren diese Funktionen ebenfalls Eigenzustände sind) und die
grünen Terme entsprechen den Eigenwerten.
ψlm
ψlm
Nice to know:
= Yl2m2 ( θ2 , ϕ2 )
Sowohl beim gesamten Drehimpuls L2, als auch
bei den kartesischen Komponenten Li (Lx, Ly oder Lz)
können die Operatoren nach „klassischer“ Algebra
berechnet werden.
für Lˆ i = Lˆ x , Lˆ y oder Lˆ z
2
Lˆ 1i ,Lˆ2 ≠ 0
Wellenfunktion = l 1m1 = Yl1m1 ( θ1 , ϕ1 )
= Lˆ21 + Lˆ22 + 2 ⋅ Lˆ 1 ⋅ Lˆ 2
L̂2 ψlm =
Lˆ 1i ,Lˆ2 ≠ 0
und
und
GRUNDDEFINITIONEN UND ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN
| ψlm ist nicht Eigenzustand von L1i und analog auch nicht ein Eigenzustand
von L2i (i steht dabei für x, y oder z). m1 und m2 sind nicht eindeutig definiert.
L12
Spin-Zustände:
Operator-Gleichung für Spin S2
| ψlm ist auch Eigenzustand für die kartesischen Komponenten L1i und L2i (mit i
= x, y oder z) der einzelnen Drehimpulse der Elektronen. Man erhält analog
einen Zustand, der mit | l m l1 l2 dargestellt und durch die entsprechenden vier
Quantenzahlen charakterisiert wird.
Operator-Gleichung für kartesische Komponenten
des Spins:
Kommutatoren der
versch. kartesischen Komponenten untereinander:
Kommutator mit
Radius:
DREHIMPULS
Definitionsbereiche
für Quantenzahlen:
In vielen Formeln bzgl. des Drehimpulses treten die beiden Quantenzahlen i, , mi und m auf.
i und mi beziehen sich auf einzelne Teilchen, und m auf das Gesamtsystem
Die Quantenzahl bezeichnet man als Bahndrehimpuls-Quantenzahl
In den unten angegebenen Formeln bezieht sich nur auf ein System mit 2 Teilchen!
Für jedes erhält man (2 . + 1) mögliche Werte für m. Dies gilt natürlich auch für i und mi.
Quantenzahl m des Gesamtsystems ergibt sich durch Addition der QZ mi der versch. Teilchen.
Falls Quantenzahl m gegeben ist und gesucht ist, gilt es zu beachten, dass ≥ m sein muss.
Beispiele findet man in der Übungsserie 10, Aufgabe 2
Eine Übersicht über alle Quantenzahlen findet man auf der Seite 84.
i
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
i
mi = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ...
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
PC - Quantenmechanik
=
- Seite 57 -
+
0
mi = − i , ( − i + 1) , ( − i + 2 ) , ... ,
=
m = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ...
ms = + 1 2
− = Spin down
ms = − 1 2
1 1
⋅
+1 ⋅
2 2
Ŝ2 + =
Ŝi + =
+
2
Sˆ i − = −
2
2
+
2
−
Die Operator-Gleichung für den „spin up“ – Zustand und den
2
„spin down“ – Zustand in Bezug auf den Operator S sind
identisch.
Beide Spin-Zustände haben die gleichen Eigenwerte (siehe
die grünen Terme in den Operator-Gleichungen)
1
−
2
,
1
−
2
+ 1 , ... , (
m = − , ( − + 1) , ( − + 2 ) , ... ,
1
(
(i
2) ,
2
( i 1) ,
− 1 ),
2) ,
(
(1
1) ,
Mit i = x , y oder z
Die Spin-Zustände haben unterschiedliche Eigenwerte
(siehe die grünen Terme in den Operator-Gleichungen)
Sˆ y ,Sˆ z = i ⋅ ⋅ Sˆ x
Sˆ z ,Sˆ x = i ⋅ ⋅ Sˆ y
Allgemein: Sˆ × Sˆ = i ⋅ ⋅ Sˆ
Folge: Man kann nicht gleichzeitig
mehrere kartesische Komponenten messen.
Sˆ x , x 2 + y 2 + z2 = Sˆ x ,r 2 = 0
Der Grund für das Kommutieren liegt
darin, dass alle kart. Komponenten von
r unabhängig sind.
Definition für Ŝ2
Sˆ 2 = Sˆ 2x + Sˆ 2y + Sˆ 2z
Länge des Drehimpuls-Vektors:
Sˆ =
Kommutator von
S2 mit den kartesischen Komponenten:
Allg.: Sˆ i ,r 2 = 0
Sˆ 2 =
Sˆ x ,Lˆ2 = 0
Sˆ y ,Lˆ2 = 0
mi
by Thomi Albrecht
Kommutator von
S2 mit dem Radius:
PC - Quantenmechanik
Funktion f(r), die nur von r abhängt, ist
automatisch Eigen2
funktion von S (mit Eigenwert 0).
Sˆ 2x + Sˆ 2y + Sˆ 2z
Allgemein: Sˆ i ,Sˆ 2 = 0
Sˆ z ,Lˆ2 = 0
)
Operatoren der kartesischen Komponenten kommutieren nicht (s. Seite 49),
jedoch ergibt Kommutator von 2 Komponenten jeweils die 3. Komponente.
Sˆ x ,Sˆ y = i ⋅ ⋅ Sˆ z
Sˆ z , x 2 + y 2 + z2 = Sˆ z ,r 2 = 0
i
2
=
Die Operator-Gleichung für den „spin up“ – Zustand
und den „spin down“ – Zustand in Bezug auf die Operatoren Si2 (mit i = x, y oder z) sind nicht identisch.
−
Sˆ y , x 2 + y 2 + z2 = Sˆ y ,r 2 = 0
QUANTENZAHLEN i, UND mi und m
Nice to know:
+ = Spin up
1 1
Sˆ 2 − =
⋅
+1 ⋅
2 2
L22
| ψlm ist auch Eigenzustand von
(charakterisiert durch l1) und
(charakterisiert durch l2). Der neue Zustand ist somit von l und m des gesamten Drehimpulses L2, sowie von beiden Quantenzahlen l1 und l2, abhängig. Der Zustand
wird somit als | l m l1 l2 dargestellt und durch 4 Quantenzahlen charakterisiert.
Der Spin ist spezifische Eigenschaft von Elektronen. Man kann jedoch in der Quantenmechanik
den Spin nicht mit einer bestimmten Bewegung oder Drehung des Elektrons veranschaulichen.
Der Spin befolgt genau die gleichen algebraischen Regeln wie der Drehimpuls. Deshalb können
die entsprechenden Formeln analog übernommen werden, wobei L durch S ersetzt wird.
Man unterscheidet zwischen 2 unterschiedlichen Spin-Zuständen. Der zustand | + wird als
„spin up“ und der Zustand |
wird als „spin down“ bezeichnet. Beachte, dass beide Zustände
die genau gleiche Operator-Gleichung erfüllen und somit gleiche Eigenwerte aufweisen.
Beachte, dass die Wellenfunktionen eines Systems (z.B. das 1s-Orbital des Wasserstoff-Atoms)
für komplett andere Hilbert-Räume gültig sind als die Spin-Zustände | + und |
Das „spin up“-, bzw. „spin-down“-Elektron eines Systems im Zustand | ψ wird mit | ψ | + , bzw.
| ψ | bezeichnet.
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seiten 70.
Sˆ 2 , x 2 + y 2 + z2 = Sˆ 2 ,r 2 = 0
- Seite 58 -
Die verschiedenen Opertoren der kartesischen Komponenten kommutieren (siehe Seite 49) mit dem Ope2
rator S , d.h. dass je ein Operator einer kartesischen
2
Komponenten und S gleichzeitig gemessen werden
können. Die Operatoren der anderen beiden kartesischen Komponenten sind jedoch nicht eindeutig.
Funktion f(r), die nur von r abhängt, ist automatisch
2
eine Eigenfunktion von S (mit Eigenwert Null).
by Thomi Albrecht
Ele ktron e- u nd mag ne tisch es Feld B
SPIN
e- UND B-FELD
MATRIX-DARSTELLUNG (PAULI MATRIZEN)
Nice to know:
Pauli-Matrizen:
„Spin-up“- und
„Spin-down“Zustand
Zum Teil lohnt es sich, die Berechnungen bezüglich Spin mit Matrizen durchzuführen.
Achtung: Der normalisierte Eigenzustand für Sz konnte nicht aus dem Skript übernommen werden und wurde deshalb selbst berechnet. Die Chance, dass diese Formel fehlerbehaftet ist,
liegt deshalb relativ hoch.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 71 – 72.
0 1
σˆ x =
σˆ y =
1 0
+ = Spin up
Sˆ x =
Sˆ y =
Sˆ z =
2
2
2
⋅ σˆ x =
⋅ σˆ y =
⋅ σˆ z =
2
2
1
0
0 −1
0
0
Nice to know:
Über die klassischen Definitionen (vergleiche Herleitung im Skript auf Seite 72) kann man eine
Formel für das magnetische Moment eine rotierenden Elektrons finden.
Obwohl der Spin eines Elektrons nicht mit einer Rotation oder sonst einer Bewegung gleichgesetzt werden kann, kann man ein magnetisches Moment in Bezug auf den Spin berechnen, da
sich Drehimpuls und Spin jeweils analog verhalten.
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 72.
Bohrsches
Magneton:
µB =
Magnetisches Moment in Bezug auf
Drehimpuls L:
µL = −
Gyromatisches
Verhältnis:
1
1 0
µS = −
OperatorGleichung für Sx
1
e- UND B-FELD
0
0 −1
OperatorGleichung für Sy
Ŝi +
i
= ai+ +
i
Ŝi −
i
= ai− −
i
1
Sˆ x ⋅
1
=
2
1
Sˆ x ⋅
−1
2
−i
Sˆ y ⋅
1
2
Ŝ y ⋅
OperatorGleichung für Sz
2
i
1
2
2
2
2
2
für i = x , y oder z
⋅
=−
=
=−
2
1
1
Sˆ z ⋅
= ⋅
0
2 0
1
2
1
2
2
2
0
0
Sˆ z ⋅
=− ⋅
1
2 1
PC - Quantenmechanik
µ
e
⋅L = − B ⋅L
2 ⋅ me
ge ⋅ µB
=
µs
µs = γe ⋅ S
S
2 ⋅ µB
e
⋅S = −
⋅ S = γe ⋅ S
me
0 −i
i 0
⋅
ZEEMAN-EFFEKT (ELEKTRON IN EINEM MAGNETISCHEN FELD)
Nice to know:
OperatorGleichung
e⋅
= 9.27402 ⋅ 10 −24 J ⋅ T −1
2 ⋅ me
γe = −
Magnetisches Moment in Bezug auf
Spin S:
0 1
⋅
⋅
2
σˆ z =
0
i
1
=
− = Spin down =
Komponenten des
Spins in MatrixSchreibweise:
0 −i
MAGNETISCHES MOMENT EINES ELEKTRONS
⋅
⋅
2
−1
−i
i
und −
i
sind die Eigenzustände des Operators Si
sind die Eigenwerte
des Operators Si
Bedeutung der Farben:
1
⋅
+
ai+ und ai−
• Blauer Term: Operator Sx bezüglich Spin in x-Richtung
• Rote Terme: Normierte Eigenfunktion von Sx
• Grüner Term: Eigenfunktionen von Sx
2
2
1
2
i
2
1
2
Magnet-Feld:
Bedeutung der Farben:
• Blauer Term: Operator Sy bezüglich Spin in y-Richtung
• Rote Terme: Normierte Eigenfunktion von Sy
• Grüner Term: Eigenfunktionen von Sy
Bedeutung der Farben:
• Blauer Term: Operator Sz bezüglich Spin in z-Richtung
• Rote Terme: Normierte Eigenfunktion von Sz
• Grüner Term: Eigenfunktionen von Sz
- Seite 59 -
by Thomi Albrecht
HamiltonOperator
SchrödingerGleichung allg.
(zeitunabhängig):
SchrödingerGleichung spezifisch für Problemstellung
Lösung der oben
angeg. Schrödinger-Gleichung
(Eigenfunktionen
und entsprechende
Eigenwerte):
PC - Quantenmechanik
Man geht von einem e- aus, welches sich an einer festen Position befindet (es findet also keine
Bewegung statt und somit ist auch die kin. Energie gleich Null). Anwesenheit eines magnetischen Feldes führt dazu, dass Energie-Level des Elektrons in 2 Zustände aufgespalten wird.
Grund für die Aufspaltung liegt dabei in einer Wechselwirkung des Spins mit dem Magnet-Feld.
Obwohl in einem Atom die Elektronen nicht fixiert sind (wie hier für die Rechnungen angenommen wird), können die experimentellen Daten mit diesem Modell erklärt werden. Es kann also
tatsächlich eine Aufspaltung des Energie-Levels beobachtet werden, wobei sich dies anhand
der Aufspaltung von Spektrallinien zeigen lässt (erstmals beobachtet von P. Zeeman).
Man wählt das Koordinatensystem in der Regel so, dass das B-Feld in z-Richtung orientiert ist.
Entsprechend wird auch der Spin nur für die z-Komponente betrachtet!
Die Herleitung der Eigenfunktionen und Eigenwerte ist in der Probe-Prüfung 2004, Aufgabe 4a
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seite 72 - 73.
B = Bz ⋅ zˆ
Für die unten angegeben Lösungen muss das Feld in z-Richtung verlaufen!
Kin. Energie ist gleich Null, weil
man e als im Raum fixiert betrachtet (keine Bewegung T = 0)
ˆ = Tˆ + Vˆ = Vˆ = −B ⋅ µ = −B ⋅ − 2 ⋅ µB ⋅ S = −γ ⋅ B ⋅ S
H
s
z
e
0
z
=0
−Ĥ ⋅ ψ = E ⋅ ψ
B ⋅ µs ⋅ ψ = E ⋅ ψ
− γ ⋅ B0 ⋅ S z ⋅ ψ = E ⋅ ψ
Unter Verwendung der Formeln für µs (siehe Seite 60) und für Sz (siehe Seite 59) erhält man:
B ⋅ µs ⋅ ψ = E ⋅ ψ
1. Eigenfunkt. = ψ1 =
2. Eigenfunkt. = ψ 2 =
B⋅ −
1
0
0
1
2 ⋅ µB
⋅S ⋅ψ = E⋅ψ
B⋅ −
2 ⋅ µB
1. Eigenwert = E1 = µB ⋅ B z =
2. Eigenwert = E2 = −µB ⋅ Bz =
- Seite 60 -
⋅
⋅
2
⋅
1
γ ⋅ B0
=
2
⋅−
γ ⋅ B0
2
0
0 −1
⋅
⋅ψ = E⋅ψ
Ω
2
Ω
2
=− ⋅
Ω
2
Larmor
Frequenz
Energie ist
aufgespalten
in E1 und E2
by Thomi Albrecht
Störu ng sthe orie ( pert urbati on t he or y)
e- UND B-FELD
Nice to know:
Spin (Messung von Si und S2)
Nach einer Messung von Si kann nicht direkt die Energie gemessen werden, weil nach einer
Messung von Si das System in den entsprechenden Eigenzuständen vorliegt und diese Eigenzustände einen Energie-Erwartungswert von Null haben. Misst man allerdings nicht vorgängig Si,
so ergibt eine Messung der Energie E mit gleicher Wahrscheinlichkeit E1 oder E2.
Beachte, dass bei Elektronen stets gilt ms = ± ½ und s = ½
Bezüglich der möglichen Werte für Quantenzahlen siehe Seite 84.
Ein Beispiel findet man in der Test-Prüfung 2004, Aufgabe 4f.
Messung von Si:
Messung mit Sˆ i =
2
Messung von S :
Messung mit Sˆ 2 =
e- UND B-FELD
Nice to know:
SchrödingerGleichung
(zeitabhängig!)
2
⋅ s ⋅ ( s + 1) =
2
−1
Bei vielen physikalischen und chemischen Problemen weisen die entsprechenden HamiltonOperatoren Eigenzustände und Eigenfunktionen auf, die nicht besonders einfach und kompakt
sind. Aus diesem Grund wendet man oft Näherungen an, welche den Sachverhalt vereinfachen.
Eine wichtige Methode um mit Näherungen zu Rechnen ist in der Quantenmechanik die Störungstheorie, bei welcher man Systeme betrachtet, die leicht gestört wurden. Ziel der Störungstheorie ist es dabei, die Wellenfunktionen (Zustände) und Energien des gestörten Systems zu
beschreiben. Die Eigenzustände (Eigenfunktionen) und die Eigenwerte (Energien) des gestörten
Systems erhält man dabei durch eine Superposition der Eigenzustände und Energien des ungestörten Systems, d.h. dass man die Zustände und Energien durch Addition von sogenannten
Korrekturtermen zum Zustand und der Energie des ungestörten Systems erhält.
= 2−1 = 1 2
(
⋅ 1 2 ⋅ (1 2 + 1) = 3 ⋅
W 'keit für jeden Messwert = ( Anzahl s - Werte )
−1
−1
=1
2
)
Korrekturterme bezüglich der Eigenzustände (Eigenfunktionen) bezeichnet man als Wellenfunktionskorrekturen, Korrekturterme bezüglich der Energie als Energiekorrekturen.
Mit jedem zusätzlich berücksichtigten Korrekturterm erhöht sich die Ordnung der Näherung, d.h.
dass man z.B. bei Berücksichtung von 2 Korrekturtermen eine Näherung 2. Ordnung erhält.
Hier sind nur einige spezifische Formeln und Zusammenhänge in Bezug auf die Störungstheorie (perturbation theory) angegeben, mit welchen prüfungs-relevante Aufgaben gelöst werden
können. Eine ausführlichere und allg. Auflistung von Formeln bzg. Störungstheorie findet man im
Zusatz 09 auf der Seite 86ff (zum Teil sind aber Konzepte aus dem Zusatz auch hier aufgeführt)
Beachte, dass hier nur die Formeln für die zeit-unabhängige Störungstheorie aufgeführt sind.
Die Berechnungen von Korrekturtermen bei zeit-abhängigen Störungstheorien sind wesentlich
komplizierter und wurde in den Übungen nicht behandelt und wird deshalb auch hier nicht weiter
berücksichtigt. Die entsprechenden Lösungs-Ansätze für zeit-abhängige Störungstheorien sind
aber im Zusatz 09 auf der Seite 86ff aufgeführt.
4
=1
Unter Betrachtung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung kann ermittelt werden, wie sich die
Energie-Zustände des Elektrons im Magnet-Feld mit der Zeit verändern.
Das System wechselt jeweils zwischen vier Zuständen, welche gerade den Eigenfunktionen der
Operatoren Sx und Sy entsprechen. Dies kann man veranschaulichen, indem ein Spin-Vektor eine
Kreiselbewegung über das magnetische Feld und der z-Achse vollführt (siehe Grafik)
Als Spezialfall sind die Eigenzustände ψ1 und ψ 2 zu behandeln, bei welchen die Identitäten (?)
erhalten bleiben, obwohl sich die Phase der Zustände ändert (vergleiche Skript Seite 73).
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seite 73 - 74.
Ĥ ⋅ ψ ( t ) = i ⋅ ⋅
ψ (t) =
1
2
⋅
1
2
1
1
Bei t = 0
Mögliche Energiezustände in
Bezug auf Eigenzustände von Sx
und Sy
=
Nice to know:
= ±1 2⋅
W 'keit für jeden Messwert = ( Anzahl ms -Werte )
Messwert
GRUNDLAGEN
ZEIT-ENTWICKLUNG DES SPINS IN EINEM KONSTANTEN MAGNETISCHEN FELD
Zeit-Entwicklung:
Mögliche Energiezustände
= ms ⋅
Messwert
STÖRUNGSTHEORIE
exp −
i⋅Ω⋅t
2
exp +
i⋅Ω⋅t
2
→
1 1− i
⋅
2 1+ i
Bei t = 1 4 ⋅ T
Weitere Informationen findet man im Zusatz-Skript auf den Seiten 77 - 83
Erinnerung an
Bra(c)ket-Notation
Nützliche Formel
(ebenfalls zur
Erinnerung)
∂
⋅ ψ (t)
∂t
⋅
Beispiele findet man in der Übungsserie 11 (Aufgaben 1 und 2)
Bedeutung der
Indizes bei
Symbolen:
→
1
2
⋅
−i
i
Bei t = 1 2 ⋅ T
→
1 −1 − i
⋅
2 −1 + i
Bei t = 3 4 ⋅ T
→
1
2
⋅
1
1
→ ...
Bei t = T
Eigenzustand
Eigenzustand
Eigenzustand
Eigenzustand
Eigenzustand
von Operator
von Operator
von Operator
von Operator
von Operator
→ ˆ
→ ˆ
→ ˆ
→ ˆ
→ ...
ˆ
S y bezüglich
S y bezüglich
S x bezüglich
S x bezüglich
S x bezüglich
Eigenwert 2
Eigenw. − 2
Eigenwert 2
Eigenwert 2
Eigenw. − 2
Bei t = 0
Bei t = T
Bei t = 1 2 ⋅ T
Bei t = 1 4 ⋅ T
Bei t = 3 4 ⋅ T
Korrekturterm des
Hamilton-Operat.:
Allgemeine Form
für Eigenfunktionen
und Energien des
gestörten Systems
Grafik:
PC - Quantenmechanik
- Seite 61 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
Zustand n = ψn
ψ1 Aˆ ψ 2 =
∞
und
∗
m = ψm
m A n = ψm A ψn
Falls ψ1 real
→
ψ1∗ ( x ) Aˆ ψ 2 ( x ) ⋅ dx
−∞
ψ1 Aˆ ψ 2 =
∞
ψ1 ( x ) Aˆ ψ 2 ( x ) ⋅ dx
−∞
Grösse bezieht sich auf ungestörtes System,
es gelten somit die gewöhnlichen Beziehungen
Tiefgestelltes 0 (Null)
z.B. H0
Hochgestelltes (0)
z.B. E
Grösse bezieht sich auf ungestörtes System,
es gelten somit die gewöhnlichen Beziehungen
Hochgestellte Zahl (n)
z.B. E(1)
Grösse bezieht sich auf gestörtes System,
wobei die Zahl der Ordnung entspricht. Eine
n-te Ordnung bedeutet dabei eine n-te Näherung.
(0)
ˆ =H
ˆ + κ = Tˆ ( 0 ) + Vˆ ( 0 ) + κ
H
0
0
1
2
ϕn = ϕn( ) + λ ⋅ ϕn( ) + λ 2 ⋅ ϕn( ) + ...
0
1
2
En = En( ) + λ ⋅ En( ) + λ 2 ⋅ En( ) + ...
Hamilton-Operator H des gestörten Systems unterscheidet
sich vom Hamilton-Operator H0 des ungestörten Systems
durch Korrekturfaktor, der hier allg. als κ bezeichnet wird.
Die Eigenfunktionen und Eigenwerte des gestörten Systems
entsprechen den Eigenfunktionen und Eigenwerten des ungestörten Systems, wobei aber eine endliche Anzahl an Korrekturtermen (mit hochgestellten, eingeklammerten Zahlen
gekennzeichnet, Zahlen grösser als 0) dazu addiert werden.
- Seite 62 -
by Thomi Albrecht
Wa ssers to ff-A tom und Ein-Ele ktron en-S yste me ( Wass erst of f-ä hnlic he A to me)
STÖRUNGSTHEORIE
ENERGIE-KORREKTUREN 1. UND 2. ORDNUNG
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
Die allg. Formel für die Energie-Korrekturen findet man im Zusatz 09 auf der Seite 86ff. In der
Regel werden jedoch nur spezifisch die Energie-Korrekturen 1. und 2. Ordnung berechnet
Berechnet wird jeweils die Energie-Korrektur in Bezug auf einen Zustand n. Dadurch ist die
Quantenzahl n jeweils vorgegeben und kann in allen weiteren Gleichungen eingesetzt werden.
Das Kappa (κ) in den Gleichungen steht jeweils für den Korrekturterm des Hamilton-Operators
Die Variable i stellt einen Parameter dar. Falls dieser in den Gleichungen auftritt, bleibt er im
Normalfall in den End-Gleichungen erhalten, d.h. die Lsg. ist abhängig von diesem Parameter i.
Falls ein endliches Gebiet vorliegt (z.B. beim Teilchen im Kasten) wird nur über das eingeschränkte Gebiet integriert (z.B. von 0 bis L) und nicht im gesamten Bereich von - bis . Zum
Teil lohnt es sich auch, Symmetrien zu beobachten um eine Integration zu vereinfachen.
Das sich die Energien En(0) und Ei(0) nur auf das ungestörte System beziehen (siehe den Index
oben rechts bei den Symbolen), können für die Energien die klassischen Definitionen (je nach
vorgegebenen System) verwendet werden
Form und Gleichung für die die Wellenfunktion ψn erhält man aus dem vorgegebenem System.
Beachte, dass die Wellenfunktion auch von mehreren Quantenzahlen abhängen kann.
Beispiele findet man in der Übungsserie 11 (Aufgaben 1a, 2a und 2b)
Nice to know:
Energiekorrektur
(1)
erster Ordnung E
∞
1
E( ) = n κ n = ψn κ ψn =
ψn∗ ( x ) κ ψn ( x ) ⋅ dx
Falls ψn real
→
1
E( ) =
−∞
Energiekorrektur
zweiter Ordnung
E(2)
i κ n
2
E( ) =
i≠ n
2
0
(0)
En( ) − Ei
i≠ n
2
E( ) =
ψnlm κ ψ100
(n =2 ),l,m
0
(0)
E1 − En( )
2
2
∞
=
0
(0)
En( ) − Ei
(2)
E für Wasserstoffatom im
Grundzustand
(spezifisch!)
ψn2 ( x ) ⋅ κ ⋅ dx
−∞
ψi κ ψ n
=
∞
i ≠n −∞
2
ψi∗ ( x ) κ ψn ( x ) ⋅ dx
(
0
(0)
⋅ En( ) − Ei
)
WELLENFUNKTIONS-KORREKTUR 1. ORDNUNG
Nice to know:
Die allg. Formel für die Wellenfunktions-Korrekturen findet man im Zusatz 09 auf der Seite 86ff.
In der Regel wird jedoch nur spezifisch die Energie-Korrekturen 1. Ordnung berechnet.
Berechnet wird jeweils die Wellenfunktions-Korrektur in Bezug auf einen Zustand n. Dadurch ist
die Quantenzahl n jeweils vorgegeben und kann in weiteren Gleichungen eingesetzt werden.
Beachte: Es kann sein, dass Wellenfunktions-Korrektur nicht für alle n einen gültigen Wert hat!
Der Parameter ci wird als Expansionskoeffizient bezeichnet und ist von der Variablen i abhängig. Im Normalfall berechnet man den Expansionskoeffizienten für grosse i, das heisst man
berechnet ci nach der entsprechenden Definition und ordnet schlussendlich den Ausdruck nach
den auftretenden Potenzen bezüglich i. Anschliessend kann angenommen werden, dass bei
grossen i nur der Term mit der grössten Potenz einen entscheidenden Einfluss hat. Somit kann
das Summenzeichen in der Formel für die Wellenfunktions-Korrektur vernachlässigt werden.
Das Kappa (κ) in den Gleichungen steht jeweils für den Korrekturterm des Hamilton-Operators.
Falls ein endliches Gebiet vorliegt (z.B. beim Teilchen im Kasten) wird nur über das eingeschränkte Gebiet integriert (z.B. von 0 bis L) und nicht im gesamten Bereich von - bis . Zum
Teil lohnt es sich auch, Symmetrien zu beobachten um eine Integration zu vereinfachen.
Das sich Energien En(0) und Ei(0) nur auf ungestörtes System beziehen (siehe Index oben rechts),
können für Energien die klassischen Definitionen (je nach vorgeg. System) verwendet werden
Form und Gleichung für die die Wellenfunktion ψ n erhält man aus dem vorgegebenem System
Ein Beispiel findet man in der Übungsserie 11 (Aufgaben 1b)
Wellenfunktionskorrektur erster
(1)
Ordnung E
PC - Quantenmechanik
1
n( ) =
i ≠n
ci ⋅ i
mit
ci =
i κ n
0
(0)
En( ) − Ei
- Seite 63 -
=
ψi κ ψ n
0
(0)
En( ) − Ei
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 60
SchrödingerGleichung
Ergänzungen
zur SchrödingerGleichung:
∞
=
−∞
(
0
(0)
ψi∗ ( x ) κ ψn ( x ) ⋅ dx ⋅ En( ) − Ei
)
−
2
2 ⋅ mKern
2
∇Kern
−
2
2 ⋅ me
( )
∇e2 ⋅ ψKern-Elektron r +
− Z ⋅ e2
⋅ ψKern-Elektron r = E ⋅ ⋅ψKern-Elektron r
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
( )
ψKern-Elektron r = ψ ( x e , y e , ze , xKern , y Kern , zKern )
Abstand Kern – Elektron:
AbstandKern-Elekt. = r =
Kern-Ladung:
Kern-Ladung = Z ⋅ e
H= −
2
2 ⋅ mK.
2
∇Kern
−
2
2 ⋅ me
( )
( )
Wellenfunktion ψKern-Elektron:
Hamilton-Operator:
∇e2 +
( x e − xKern )2 + ( ye − yKern )2 + ( ze − zKern )2
2
2
− Z ⋅ e2
− Z ⋅ e2
2
2
⋅ ∇Massen-Zentrum
=−
+ −
∇rel
+
2⋅M
2⋅µ
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
ˆ
ˆ
H = TˆMassen-Zentrum + Tˆrelativ + V̂relativ = H
Massen-Zentrum + Hrelativ
Ergänzungen
zum HamiltonOperator
STÖRUNGSTHEORIE
Gesamte Wellenfunktion ψKern-Elektron beschreibt Bewegung des Elektrons und des Atom-Kerns.
Das gesamte Problem wird in der Regel in Kugelkoordinaten behandelt. Siehe deshalb auf
Seite 8 bezüglich des Laplace-Operators in Kugel-Koordinaten
Der Hamilton-Operator kann grundsätzlich in zwei Terme aufgeteilt werden.
In den hier aufgeführten Zusammenhängen wird akzeptiert, dass die Energiestufen dieser Wasserstoff-ähnlichen Atome eine zufällige Entartung aufweisen. Will man diese zufällige Entartung
entfernen (da dies dem realen Atom entspricht), kann man entweder die Störungstheorie (siehe
dazu Seite 70) oder die Spin-Bahn-Kopplung (siehe Seite 71) anwenden.
−1
Diese Formel für die Energiekorrektur 2. Ordnung ergibt
(2)
sich aus der allgemeinen Definition von E , wobei sich
diese spezifische Formel auf ein Wasserstoffatom im
Grundzustand bezieht. Diese Formel soll die Definition für
(2)
die Energiekorrektur E veranschaulichen!
GRUNDDEFINITIONEN (SCHRÖDINGER-GLEICHUNG, WICHTIGE GRÖSSEN)
Gesamte Masse M:
Kin. Energie (ganzes Atom):
M = mKern + me
T̂Massen-Zentrum = Kinetische Energie für ges. Atom mit Masse M
-
T̂relativ = Kinetische Energie von e- - Bewegung in Bezug auf Kern
-
V̂relativ = Potentielle Energie von e- - Bewegung in Bezug auf Kern
Kin. Energie (e -Bewegung):
Pot. Energie (e -Bewegung):
Grafik zum Wasserstoff-Atom
−1
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 64 -
by Thomi Albrecht
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
Aufspaltung der
Wellenfunktion:
Gesuchte Wellenfunktion:
Lösung für R(r):
LÖSUNGEN (ALLGEMEIN) DER SCHRÖDINGER-GLEICHUNG
Gesamte Bewegung des System wird nur im Referenz-System berücksichtigt, da diese Bewegung nicht von Interesse ist. Lediglich relative Bewegung d. Elektrons um Kern wird betrachtet.
Die Masse des Kerns ist wesentlich grösser als diejenige des Elektrons. Man geht deshalb von
der Näherung aus, dass der Kern unendlich schwer sei und folglich dessen Bewegung vernachlässigt werden kann. Somit kann reduzierte Masse µ durch Elektronen-Masse me ersetzt werden.
Aufgrund der Aufspaltung des Hamilton-Operators in zwei Terme (siehe Seite 64) kann auch
die Wellenfunktion „aufgeteilt“ werden, nämlich in eine Funktion des Massenzentrums, also des
gesamten Atom und in eine Funktion der relativen Elektronen-Bewegung um den Kern. Da wie
bereits vermerkt nur die relative Bewegung des Elektrons um den Kern von Interesse ist, muss
nur die Lösung für die Teil-Funktion gesucht werden.
Die Teil-Funktion, welche sich auf die relative Bewegung des Elektrons um den Kern bezieht,
kann wiederum in zwei Faktoren aufgeteilt werden. Man erhält einen radialen Teil (der nur von
den Quantenzahl n und l abhängig ist) und einen winkelabhängigen Teil (der von den beiden
Quantenzahlen l um m abhängig ist). Die gesuchten Lösungen sind somit abhängig von den
drei Quantenzahlen n, l und m.
Der winkelabhängige Teil der Lsg. wird als Kugelflächenfunktion Ylm bezeichnet. Die Lsg. dieser
Funktion sind analog den Lsg. der Kugelflächenfunktionen in Bezug auf Drehimpuls (vgl. S. 53).
Die Energie eines Quantenzustands ist nur von der Hauptquantenzahl n abhängig! Alle Zustände mit gleicher Quantenzahl n haben die gleiche Energie und werden als entartet bezeichnet.
Der Grundzustand ψ100 weist eine Energie von -13.6 eV auf.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 60 – 61.
ψKern-Elektron = ψMassen-Zentrum
Lösung die−
ses Terms
ist gesucht
( )
2⋅ Z ⋅r
R ( r ) = Dn ⋅
n ⋅ a0
⋅ L2n⋅++1
2⋅ Z ⋅n
=
a0
Lqk
3
2
⋅
• a0 = Bohr-Rad. =
mit
En = −
m+ m
2
⋅
≥ 1.
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
2
µ ⋅ e2
2⋅ +1
⋅
4⋅π
((+
)
m )!
m !
≈
2
Z ⋅e
1
⋅
2 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) ⋅ a0 n2
und
Kugelflächenfunktionen Yl
= 0, m = 0
(Grundzustand)
1
Y00
( θ, ϕ ) =
= 1, m = 0
Y10
( θ, ϕ ) =
= 1, m = ±1
Y1±1 ( θ, ϕ ) = ±
= 2, m = 0
Y20 ( θ, ϕ ) =
= 2, m = ±1
Y2±1 ( θ, ϕ ) = ±
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
4⋅π
3
⋅ cos θ
4⋅π
3
⋅ sin ( θ ) ⋅ exp ( ± i ⋅ ϕ )
8⋅π
3 ⋅ cos ( θ )
5
⋅
4⋅π
2
2
−1
5
⋅ 3 ⋅ sin ( θ ) ⋅ cos ( θ ) ⋅ exp ( ± i ⋅ ϕ )
24 ⋅ π
ERSTE LÖSUNGEN FÜR GESAMTE WELLENFUNKTION
Quantenzahlen
Energie En
Wellenfunktion ψ nlm
n = 1, = 0, m = 0
(Grundzustand)
ψ100 = 2 ⋅
n = 2, = 0, m = 0
ψ 200 =
Z
2 ⋅ a0
n = 2, = 1, m = variabel
ψ 21m =
Z
2 ⋅ a0
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
q
k
d
⋅e ⋅
dz
z
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
m e ⋅ e2
2
(
k
⋅ z ⋅e
−z
)
Nice to know:
= 5.292 ⋅ 10-11 m
Plm = zugehörige
Legendre-Funktion
(siehe Formelsammlung S. 83)
⋅ Pm ( θ ) ⋅ exp (i ⋅ m ⋅ ϕ )
En − En −1 ≈
- Seite 65 -
m
Quantenzahlen
3
2
Z
a0
3
2
3
2
⋅ exp −
⋅ 2−
Z ⋅r
⋅ Y00
a0
Z ⋅r
Z ⋅r
⋅ exp −
⋅ Y00
a0
2 ⋅ a0
Z ⋅r
⋅
3 ⋅ a0
⋅ exp −
Z ⋅r
⋅ Y1m
2 ⋅ a0
E1 = −
Z 2 ⋅ e2
2 ⋅ a0 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε 0 )
E2 = −
Z 2 ⋅ e2
1
⋅
2 ⋅ a0 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε0 ) 4
E2 = −
Z 2 ⋅ e2
1
⋅
2 ⋅ a0 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε0 ) 4
3
= 0, 1, 2, 3, ... und m = − , ( − + 1) , ( − + 2 ) , ... ,
2
Radialer Teil
Winkelabh. T.
ERSTE LÖSUNGEN FÜR KUGELFLÄCHENFUNKTIONEN
1
2
( n − − 1) !
2 ⋅ n ⋅ (n + ) !
d
( z ) = Laguerre-Polynom =
dz
Ym ( θ , ϕ ) = ( −1)
Rnl
m
Yl
2⋅Z ⋅r
−Z ⋅ r
⋅
⋅ exp
n ⋅ a0
n ⋅ a0
• n = Hauptquantenzahl, wobei n = 1, 2, 3, … und (n –
Siehe auch Seite 84 bezüglich Quantenzahlen.
•
PC - Quantenmechanik
Die Wellenfunktion wird in zwei Faktoren aufgeteilt, wobei sich einer auf das gesamt Atom
(Massen-Zentrum) bezieht und der andere Faktoren hingegen lediglich die relative Bewegung des
Elektrons um den Kern beschreibt.
ψrelativ
ψ Gesucht = ψrelativ r = ψrelativ ( r , θ , ϕ ) = ψnlm (r , θ , ϕ ) = Rn ( r ) ⋅ Y m ( θ , ϕ )
• Dn
Energie für einen
bestimmten Zustand ψ nlm(r,θ,ϕ):
⋅
Nicht von
Interesse
Wobei
Lösung für Ylm:
(analog zu S. 53)
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
(
2
2) ,
2
(
1) ,
Z ⋅e
2
⋅
2 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε0 ) ⋅ a0 n3
Erste Lösungen:
Skript Seite 66
2. Gleichung bzgl.
Energieunterschied
gilt nur, falls n >> 1
by Thomi Albrecht
Wahrscheinlichkeit:
Bohr-Radius:
PC - Quantenmechanik
WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTE
|ψ|2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Integration von |ψ|2 über ein bestimmtes Gebiet gibt an,
mit welcher Wahrscheinlichkeit man ein Elektron in dieser bestimmten Region findet.
Da das gesamte Problem in Kugelkoordinaten gelöst wurde, muss die Integration ebenfalls in
Kugelkoordinaten vorgenommen werden, d.h. Integration nach r, θ und ϕ.
Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einem Intervall (r, r + dr) zu finden,
muss nur nach θ und ϕ integriert werden, d.h. dass die radiale Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ|2 . r2 beträgt.
An der Stelle r = a0 (wobei a0 den Bohr-Radius darstellt) ist die Wahrscheinlichkeit am Grössten,
das Teilchen zu finden (dies erhält man, wenn man das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte
sucht, indem wie in Extremalproblemen die Funktion abgeleitet und gleich Null gesetzt wird).
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 62 – 63.
p=
a0 =
ψ
2
⋅ dV =
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
µ⋅e
2
2
ψ
≈
2
⋅ r 2 ⋅ sin θ ⋅ dr ⋅ dθ ⋅ dϕ
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅
me ⋅ e
2
2
= 5.292 ⋅ 10-11 m
- Seite 66 -
by Thomi Albrecht
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
Definition:
Beispiel für Wellenfunktion mit n = 2:
Radiale Knoten:
Definition:
px-, py- und pz:
Allgemeine Definition und spezifische
sche Wellenfunktionen für den Fall n =
2 (in kartesischen
Koordinaten)
n ≥ 1, = 0 und m = 0
#Knoten = n − − 1 = n − 1
Z
a0
3
2
⋅
1
32 ⋅ π
⋅ 2−
Z
Z
⋅ r exp −
⋅r
a0
2 ⋅ a0
Da die Quantenzahl = 0 ist vereinfacht sich die Gleichung
Orbitale sind reale Wellenfunktionen, welche die Verteilung eines Elektrons beschreiben.
p-Orbitale haben hantel-förmige Gestalt, d.h. dass sie im Vergleich zu den s-Orbitalen nicht
m
mehr winkel-symmetrisch sind. Diese Asymmetrie wird durch die Kugelflächenfunktionen Y1
verursacht. Zudem haben p-Orbitale eine Null-Wahrscheinlichkeit (Knotenfläche) im Ursprung.
Bei allen p-Orbitalen gilt für Quantenzahlen: n ≥ 2, = 1 und m = variabel ψn1m ist (n p)-Orbital
Das Orbital mit m = 0 bezeichnet man als pz-Orbital. Die px- und py-Orbitale erhält man durch
Superposition der Orbitale mit m = +1 und m = -1 (vgl. unten die entsprechenden Formeln)
2
Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines (n p)-Orbitals wird mit (n p) bezeichnet
Der radiale Teil R(r) der Lösung weist mehrere Nullstellen auf, die als radiale Knoten bezeichnet
werden. Die Anzahl der radialen Knoten kann aus den Quantenzahlen n und berechnet werden.
Für die Fall n = 2 sind unten die entsprechenden Wellenfunktionen für die px-, py- und pzOrbitale explizit angegeben. Falls in Kugelkoordinaten gerechnet werden soll, muss man die
Wellenfunktionen in Kugelkoordinaten verwenden, wie auf Seite 90 (Zusatz 10) aufgeführt ist.
Graphische Darstellungen der Wellenfunktionen und den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichten findet man im Skript auf den Seiten 66 – 67 (Abbildungen 5.8 bis 5.12)
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 63.
px =
py =
ψn11 + ψn1−1
2
ψn11 − ψ n1−1
2⋅i
ψn1m = ( n p ) − Orbital
Für n = 2: ψ 2px ( x,r ) = ψ 21m
Z
=
2 ⋅ a0
Für n = 2: ψ 2py ( y,r ) = ψ 21m
Z
=
2 ⋅ a0
pz = ψn10
Radiale Knoten:
#Knoten = n − − 1 = n − 2
d-ORBITALE
Orbitale sind reale Wellenfunktionen, welche die Verteilung eines Elektrons beschreiben.
d-Orbitale haben Gestalten, die nicht winkel-symmetrisch sind. Diese Asymmetrie wird durch
die Kugelflächenfunktionen Y2m verursacht, wobei man mit fünf verschiedenen Kugelflächenm
funktionen Y2 rechnet.
Bei allen d-Orbitalen gilt für Quantenzahlen: n ≥ 3, = 2 und m = variabel ψn2m ist (n d)-Orbital
Die fünf verschiedenen d-Orbitale erhält man durch Linear-Kombination verschiedener Wellenfunktionen. Dabei werden bei den Orbital-Bezeichnungen die entsprechenden Kombinationen in
Form von Indizes (xy, xz, yz, x2 – y2 und z2) angegeben.
2
Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines (n d)-Orbitals wird mit (n d) bezeichnet
Der radiale Teil R(r) der Lösung weist mehrere Nullstellen auf, die als radiale Knoten bezeichnet
werden. Die Anzahl der radialen Knoten kann aus den Quantenzahlen n und berechnet werden.
Graphische Darstellungen der Wellenfunktionen und den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichten findet man im Skript auf den Seiten 67 – 69 (Abbildungen 5.13 bis 5.22)
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 63.
Definition:
n ≥ 3, = 2 und m = var iabel
Radiale Knoten:
#Knoten = n − − 1 = n − 3
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
p-ORBITALE
n ≥ 2, = 1 und m = var iabel
Nice to know:
z.B. ist ψ100 das 1s - Orbital mit
2
der Wahrscheinlichkeitsdichte (1s)
ψn00 = ( n s ) − Orbital
ψ 2s (r ) = ψ 200 =
Für n = 2
Für Funktionen mit
n = 2 in Kugelkoordinaten siehe Seite
90 (Zusatz 10)
PC - Quantenmechanik
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Orbitale sind reale Wellenfunktionen, welche die Verteilung eines Elektrons beschreiben.
s-Orbitale sind von den Winkelfunktionen unabhängig und die Wellenfunktionen haben dementsprechend kugelförmige Symmetrie. Zudem haben s-Orbitale kein Drehmoment.
Bei allen s-Orbitalen gilt für Quantenzahlen: n ≥ 1, = 0 und m = 0 ψn00 ist (n s)-Orbital
2
Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines (n s)-Orbitals wird mit (n s) bezeichnet
Der radiale Teil R(r) der Lösung weist mehrere Nullstellen auf, die als radiale Knoten bezeichnet
werden. Die Anzahl der radialen Knoten kann aus den Quantenzahlen n und berechnet werden.
Graphische Darstellungen der Wellenfunktionen und den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichten findet man im Skript auf den Seiten 64 – 66 (Abbildungen 5.2 bis 5.7)
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 62.
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
s-ORBITALE
Für n = 2: ψ 2pz ( z,r ) = ψ 21m =
Z
2 ⋅ a0
Erwartungswerte
(allgemein)
3
2
3
2
3
2
⋅
⋅
⋅
Z
3 ⋅ a0
Z
3 ⋅ a0
Z
3 ⋅ a0
Z ⋅r
⋅ exp −
⋅
2 ⋅ a0
3
⋅x
8⋅π
Z ⋅r
⋅ exp −
⋅
2 ⋅ a0
3
⋅y
8⋅π
Erwartungswerte
(nur für radialen
Teil der Wellenfu.)
Geg.: Normierte (!)
Wellenfunktion
Da die Quantenzahl = 2 ist vereinfacht sich die Gleichung
MESSPROZESS, ERWARTUNGSWERTE, ANALYSE VON WELLENFUNKTIONEN
Messung der Elektronenposition: Das Elektron eines Wasserstoff-ähnlichen Atoms befindet sich
in einem bestimmten Zustand, welcher durch die Wellenfunktion ψ charakterisiert werden kann.
Mit einer Messung wird nun die Position des Elektrons bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit, das
Elektron im entsprechenden Zustand zu finden, kann berechnet werden durch Quadrieren des
2
Betrages der Wellenfunktion, d.h. die Wahrscheinlichkeit entspricht | ψ | . Ein Beispiel findet man
in der Übungsserie 10, Aufgabe 3.2.
Für die Berechnung von Erwartungswerten gelten die allgemeinen Regeln. Da das System
jedoch in Kugelkoordinaten gegeben ist, muss eine leicht modifizierte Gleichung für die Berechnung von Erwartungswerten verwendet werden (vergleiche entsprechende Formel unten)
Will man Erwartungswerte der Operatoren r und r-1 berechnen, muss nur radialer Teil der Wellenfunktion berücksichtigt werden. Die Gleichung für Berechnung der entspr. Erwartungswerte
kann so wesentlich vereinfacht werden (für Herleitung siehe Übungsserie 10, Aufgabe 3.3)
Falls eine Wellenfunktion für den Zustand vorgegeben ist, können daraus wichtige Werte abgelesen werden (analog zur Analyse von Wellenfunktionen bei Drehimpuls, vgl. dazu Seite 56).
Die unten angegebenen Formeln gelten nur für normierte vorgegebene Gleichungen. Falls die
Wellenfunktion nicht normiert ist, müssen die Formeln gemäss Seite 48 verwendet werden!
Beispiele findet man in der Übungsserie 10, Aufgabe 3
∞
2⋅π
0
0
Aˆ = r 2 ⋅ dr ⋅
π
∗
⋅ Aˆ ⋅ ψ nlm
dϕ ⋅ dθ ⋅ sin ( θ ) ⋅ ψ nlm
0
∞
Aˆ = r 2 ⋅ dr ⋅ ψ∗nlm ⋅ Aˆ ⋅ ψnlm
0
ψ = a1 ⋅ ψnlm + a2 ⋅ ψ n 'l 'm ' + ... + an ⋅ ψn ''l ''m ''
Falls Wellenfunktion nicht normiert ist:
Siehe Seite 48 (!)
Aufgrund Normierung gilt a12 + a22 + ... + an2 = 1
⋅ exp −
Z ⋅r
⋅
2 ⋅ a0
3
⋅z
4⋅π
Da die Quantenzahl = 1 ist vereinfacht sich die Gleichung
- Seite 67 -
Nice to know:
ψ n1m = (n d ) − Orbital
by Thomi Albrecht
Wahrscheinlichk. f.
Messergebnisse:
Wahrscheinlichkeit für bel. Zustand
Gesamtenergie
des Systems:
Erwartungswert E = a12 ⋅ En + a22 ⋅ En '+ ... + ai2 ⋅ En ''
PC - Quantenmechanik
ψ nlm
- Seite 68 -
ist ai2
Falls Wellenfunktion nicht normiert ist:
Siehe Seite 48 (!)
Falls Wellenfunktion nicht normiert ist:
Siehe Seite 48 (!)
by Thomi Albrecht
MESSUNG :: Drehimpuls (Messung von Li und L2)
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Eigenfunktionen ψnlm (welche durch Lösen der Schrödinger-Gl. erhalten wurden, d.h. unter An2
wendung des Energie-Op.) sind auch Eigenzustände der Drehimpuls-Operatoren L , Lx, Ly und Lz
Bei Abwesenheit eines externen Feldes ändert der Schwerpunktsimpuls des H-Atoms, während
dies bei Anwesenheit eines externen Feldes nicht der Fall ist (vgl. Übungsserie 11, Aufgabe 2d)
Die in den Formeln angegebene Wahrscheinlichkeiten bei der Messung von Li gelten nur, falls
nicht durch eine gegebene Wellenfunktion andere Wahrscheinlichkeiten in Form von
Koeffizienten gegeben sind (vergleiche Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3).
2
2
2
2
2
2
Will man L i1 ± L i2 messen (z.B. Lx + Ly ) berechnet man die Messwerte von L
L i3 (also für
Lx2 + Ly2 rechnet man L2 – Lz2). Die Messwerte können einfach addiert, bzw. subtrahiert werden.
Bezüglich der möglichen Werte für Quantenzahlen siehe Seite 84
Beispiele findet man in der Test-Prüfung 2005, Aufgabe 4 (Messung von Li) und in der Test2
Prüfung 2004, Aufgabe 3 (Messung von L ).
Messung von Li:
Messung von L2:
Lˆ i Ylm
=
Lˆ2 ψnlm =
⋅m⋅
2
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
Messung v. Lˆ i =
Ylm
(
+ 1) ⋅ ψnlm
Messung v. Lˆ2 =
=
Messwert
=
Messwert
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
2
−1
W 'keit für jeden Messwert = ( Anz. -Werte )
−1
MESSUNG :: Spin (Messung von Si und S2)
Messung mit Sˆ i =
2
Messung von S :
Messung mit Sˆ 2 =
= ms ⋅
Messwert
=
2
Näherung:
Modifiziertes
Potential:
Nice to know:
Messung von Ji:
⋅ s ⋅ ( s + 1) =
2
−1
= 2−1 = 1 2
(
−1
2
)
PC - Quantenmechanik
exp −
0
V̂ ( ) (r ) = −
Z
⋅r
a0
b−
1
und
−
Z ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
Z
⋅r
a0
b für b > 1
Z ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
()
0
1
Vˆ r = Vˆ ( ) (r ) + Vˆ ( ) ( r ) =
−
2
für r ≥ R
2
3⋅Z⋅e
r
⋅ 1−
8 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
3 ⋅ R2
für r ≤ R
= 1−1 = 1
ˆ =H
ˆ + κ = Tˆ ( 0 ) + Vˆ ( 0 ) ( r ) + Vˆ (1) (r ) = H
ˆ +H
ˆ
H
0
0
I
= ( m + ms ) ⋅
W 'keit für jeden Messwert = ( Anz. Komb. von m & ms -Werten )
−1
by Thomi Albrecht
Energie-Verschiebung für die s- und
p-Orbitale:
ˆ = Vˆ (1) (r ) = V ( r ) − Vˆ ( 0 ) ( r )
mit H
I
Ĥ I
ˆ
H
0
Beachte, dass bei Elektronen stets gilt ms = ± ½ und s = ½
Die in den Formeln angegebene Wahrscheinlichkeiten bei der Messung von Ji gelten nur, falls
nicht durch eine gegebene Wellenfunktion andere Wahrscheinlichkeiten in Form von Koeffizienten gegeben sind.
Neben der unten aufgeführten Addition ist natürlich auch die Subtraktion möglich!
Bezüglich der möglichen Werte für Quantenzahlen siehe Seite 84.
Ein Beispiel findet man in der Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3
- Seite 69 -
Ursprüngliches Pottential (s. Seite 64)
)
4
MESSUNG :: Totaler Drehimpuls J (Messung von Ji)
Messwert
(
R
r
≤
= klein ca. 10 −4
a0
a0
Störungs-Potential:
⋅ 1 2 ⋅ (1 2 + 1) = 3 ⋅
W 'keit für jeden Messwert = ( Anzahl s - Werte )
Messung mit Jˆ i = Li + Si =
Die Energiestufen des Wasserstoff-ähnlichen Atoms weisen eine zufällige Entartung aufgrund
der speziellen Form der Coulomb-Wechselwirkung [ V(r) ≈ 1/r ] auf. In der Wirklichkeit ist diese
Entartung durch unterschiedliche Kopplungen und Störungen aufgehoben, die das reale Atom
von dem Modellsystem eines Elektrons im Zentralpotential unterscheiden.
= ±1 2⋅
Hamilton-Operator:
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
BESEITIGUNG EINER ZUFÄLLIGEN ENTARTUNG :: STÖRUNGSTHEORIE
Ein entsprechendes Beispiel findet man in der Übungsserie 12, Aufgabe 1
W 'keit für jeden Messwert = ( Anzahl ms -Werte )
Messwert
2
Um die entsprechende Entartung zu beseitigen, kann man eine bessere Näherung für die elektrostatischen Wechselwirkungen zwischen dem Elektron und dem Kern betrachten. Dabei wird
berücksichtigt, dass der Kern keine Punktladung ist, sondern eine ausgedehnte Ladungswolke.
Man nähert die Ladungsverteilung des Kerns mit einer Kugel homogener Ladungsverteilung mit
dem Radius R an. Das so erhaltene Störungspotential ist allerdings nicht von θ und φ abhängig.
Die Berechnungen erfolgen in der Regel mittels Störungsrechnung (siehe Seite 62), wobei man
von ungestörten Radialwellenfunktionen der verschiedenen Energieniveaus ausgeht und die
neuen Energiestufen in 1. Ordnung Störungsrechnung berechnet.
⋅ ⋅ ( + 1)
Beachte, dass bei Elektronen stets gilt ms = ± ½ und s = ½
Die in den Formeln angegebene Wahrscheinlichkeiten bei der Messung von Li gelten nur, falls
nicht durch eine gegebene Wellenfunktion andere Wahrscheinlichkeiten in Form von Koeffizienten gegeben sind (vergleiche Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3).
2
2
2
2
2
2
Will man S i1 ± S i2 messen (z.B. Sx + Sy ) berechnet man die Messwerte von S
S i3 (also für
2
2
2
2
Sx + Sy rechnet man S – Sz ). Die Messwerte können einfach addiert, bzw. subtrahiert werden.
Bezüglich der möglichen Werte für Quantenzahlen siehe Seite 84.
Beispiele findet man in der Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3 und der Prüfung Herbst 2004, Aufg. 5
Messung von Si:
2
In der Regel kommutiert bei wasserstoff-ähnlichen Atomen der Drehimpuls L und der Spin-Operator S mit dem Hamilton-Operator H des entsprechenden Atoms. Hingegen kommutiert der Impuls-Operator P nicht mit dem HamiltonOperator, da der Impuls-Operator nur dann kommutiert falls die Ableitung des Potentials genau Null ergibt (was bei wasserstoff-ähnlichen Atomen in der Regel nicht üblich ist).
Vergleiche diesbezüglich auch die Beispiele in der Muster-Prüfung, Aufgabe 5.
⋅m
W 'keit für jeden Messwert = ( Anz. m-Werte )
KOMMUTIERENDE OPERATOREN BEI EINEM WASSERSTOFF-ATOM (HINWEIS)
R
(1) = ψ
∗
ˆ ( 0 ) ( r ) ψ ( r ) ⋅ dx
∆Ens
ns κ ψ ns = ψ ns ( r ) V ( r ) − V
ns
0
R
(1) = ψ
∗
ˆ ( 0 ) (r ) ψ ( r ) ⋅ dx
∆Enp
np κ ψ np = ψ np ( r ) V ( r ) − V
np
0
Grössenordnung
der Aufspaltung:
PC - Quantenmechanik
(1) − ∆E(1) ≠ 0
Aufspaltung = ∆Ens
np
Für die Wellenfunktionen ψns und
ψnp müssen nur die radialen Teile
berücksichtigt werden. Faktoren
mit θ und φ können vernachlässigt
werden (siehe Übungsserie 12)
Falls die Aufspaltung 0 ergäbe, wäre die zufällige Entartung
nicht aufgehoben worden, da ja ∆Ens(1) = ∆Enp(1)
- Seite 70 -
by Thomi Albrecht
Mehr-El e ktron en-At ome
WASSERSTOFF-ÄHNLICHE ATOME
Nice to know:
BESEITIGUNG EINER ZUFÄLLIGEN ENTARTUNG :: SPIN-BAHN-KOPPLUNG
Die Energiestufen des Wasserstoff-ähnlichen Atoms weisen eine zufällige Entartung aufgrund
der speziellen Form der Coulomb-Wechselwirkung [ V(r) ≈ 1/r ] auf. In der Wirklichkeit ist diese
Entartung durch unterschiedliche Kopplungen und Störungen aufgehoben, die das reale Atom
von dem Modellsystem eines Elektrons im Zentralpotential unterscheiden.
Eine bewegliche Ladung entspricht einem Strom und somit wird ein magnetisches Feld erzeugt.
Im Bohr'
schen Atommodell kreist das Elektron um den Kern, oder wenn wir uns ins Ruhesystem
des Elektrons denken, der Kern um das Elektron. Somit befindet sich das Elektron in einem
magnetischen Feld. Gleichzeitig weist das Elektron ein magnetisches Moment aufgrund des
Elektronenspins auf, welches mit dem magnetischen Feld wechselwirkt. Diese Wechselwirkung
liegt somit in der elektrodynamischen Wechselwirkung der Elektronen mit dem Kern begründet
und wird als Spin-Bahn Kopplung bezeichnet. Auf diese Weise kann ein Wechselwirkungsterm
eingeführt werden, welcher eine zufällige Entartung entfernt.
MEHR-ELEKTRONEN-ATOME
Nice to know:
Hamilton-Operator
HAMILTON-OPERATOR
Für den Hamilton-Operator muss die kinetische Energie aller Teilchen und die potentielle Energie aller Wechselwirkungen zwischen diesen Teilchen berücksichtigt werden. Allerdings kann
man die kinetische Energie des Atom-Kerns in guter Näherung vernachlässigen, das dieser um
drei Grössenordnungen schwerer ist als ein Elektron.
Die Schrödinger-Gleichung kann für diesen Hamilton-Operator aufgrund der Komplexität (Berücksichtung sämtlicher Koordinaten und Wechselwirkungen aller Teilchen) nicht für jedes Atom
auf analytische Art gelöst werden. Man verwendet in der Regel Näherungen, welche zu wertvollen Einblicken in die quantenmechanische Natur von Mehr-Elektronen-Atomen führen.
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 77.
Hn-Elektronen =
Beachte, dass die Spin-Bahn Kopplung in S-Zuständen verschwindet, da ja L = 0 ist und somit
die gesamt Spin-Bahn Kopplung Null wird.
−
2
2⋅m
⋅
n
i =1
∇i2
−
Kinetische Energie
aller Elektronen
Die Spin-Bahn Kopplung führt zu einer Aufspaltung, wobei die beiden entsprechenden Zustände jeweils mit Termsymbolen dargestellt werden.
n
i=1
Z⋅e
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r i
+
Potential aufgrund
Anziehung von
Atomker n und
Elektronen
n−1 n
i =1 j =i+1 4 ⋅
e
π ⋅ ε0 ⋅ rij
Potential aufgrund
Abstossung von zwei
Elektronen−Paaren
im Abstandrij
Um die Grössenordnung des durch die Spin-Bahn Kopplung induzierten Magnetfeldes abzuschätzen, kann die Aufspaltungsenergie ∆E gleich einer fiktiven Zeeman-Aufspaltung (vergleiche auch Seite 60) gleichgesetzt werden.
Ein entsprechendes Beispiel findet man in der Übungsserie 12, Aufgabe 2
Spin-Bahn
Kopplung
HSpin-Bahn = A(n) ⋅ L ⋅ S
Beitrag der SpinBahn Kopplung
zum Hamilton-Op.:
HSpin-Bahn = A ⋅ L ⋅
Wichtige Grössen
und Variablen:
2⋅S+1
LJ
Termsymbol des höheren Zustandes der Aufspaltung aufgrund Spin-Bahn Kopplung
λ0
∆λ
| JLSMj
Wellenlänge des Übergangs von erstem angeregten Zustand in den Grundzustand
Änderung der Wellenlänge des Übergang in den Grundzustand wegen S-B Kopplung
Zustand (Wellenfunktion) bei den entsprechenden Quantenzahlen
∆EÜbergang = h ⋅ c ⋅
1
1
−
λ0 λ0 + ∆λ
λ0 = Wellenlänge des Übergangs von erstem angeregten
Zustand in den Grundzustand
∆λ = Änderung der Wellenlänge des Übergang in den
Grundzustand aufgrund der Spin-Bahn Kopplung
A
ˆ
ESpin-Bahn = JLSMj H
⋅ J ⋅ ( J + 1) − L ⋅ (L + 1) − S ⋅ ( S + 1)
S-B JLSM j =
2
Wechselwirkungskonstante A:
A=
PC - Quantenmechanik
Nice to know:
Termsymbol des tieferen Zustandes der Aufspaltung aufgrund Spin-Bahn Kopplung
Spin-BahnKopplungsenergie:
Grössenordnung
des magnetischen
Feldes:
MEHR-ELEKTRONEN-ATOME
Die Wechselwirkungskonstante ergibt sich in der Einheit eV.
Ist die Wechselwirkungskonstante noch von n abhängig (?)
2⋅S'1
+
L'
J'
Energie-Unterschied zwischen
den Zuständen:
S
A(n) = Wechselwirkungskonstante (nur von Quantenzahl n abhängig)
L
= Quantenzahl L, d.h. Totaler Bahn-Drehimpuls L
S = Quantenzahl S, d.h. Totaler Elektronen- Spin S
2 ⋅ ∆EÜbergang
J'
⋅ (J '
+ 1) − L '
⋅ (L '
+ 1) − S '
⋅ (S '
+ 1) − J ⋅ ( J + 1) − L ⋅ (L + 1) − S ⋅ ( S + 1)
∆E = µB ⋅ B ⋅ J ' − µB ⋅ B ⋅ ( −J)
B=
- Seite 71 -
∆EÜbergang
µB ⋅ J + J '
=
∆ESpin-Bahn
µB ⋅ J + J '
APPROXIMATION BEZÜGLICH UNABHÄNGIGER ELEKTRONEN
Die Approximation besteht darin, dass der dritte Term des Hamilton-Operators vernachlässigt
wird, d.h. dass die interelektronischen Wechselwirkungen (Abstossung der Elektronen untereinander) nicht berücksichtigt werden.
Eigenfunktionen des Mehr-Elektronen-Atoms ergeben sich aus dem Produkt der einzelnen
Atomorbitale für jedes Elektrons (siehe unten aufgeführte Formeln für Helium)
Für die spezifischen Lösungen h(i) des Wasserstoff-Atoms siehe Seite 65f.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seite 77 – 78.
Hamilton-Operator
Hn-Elektronen =
−
2
2⋅m
⋅
n
i =1
∇i2
Kinetische Energie
aller Elektronen
−
n
i=1
Z⋅e
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r i
Potential aufgrund
Anziehung von
Atomker n und
Elektronen
Wasserstoff-artiger
Ein-ElektronenHamilton-Operator
h ( i ) ⋅ ψn ( i ) = an ⋅ ψn ( i )
Beispiel: Helium
(Voraussetzung)
ψ n (1) ⋅ ψk ( 2 )
∆EÜbergang = ∆ESpin-Bahn
Beispiel: Helium
(Spezifische „Hamilton-Gleichung“)
Happrox ψn (1) ⋅ ψ k ( 2 ) = ( an + ak ) ψn (1) ⋅ ψ k ( 2 )
Für Zeeman-Effekt
siehe Seite 60
Beispiel: Helium
(Eigenfunktionen
und Eigenwerte“)
Eigenfunktion / Eigenzus tan d
Eigenwerte / Energy
Ausdruck ergibt sich
aus dem Term
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
=
n
i =1
− 2 ∇i2
Z⋅e
−
2⋅m
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ ri
=
n
i=1
h (i)
Direkter
Bezug zu
H− Atom
h(i) ist der wasserstoff-artige Ein-Elektronen-Hamilton-Operator für das
i-te Elektron. Dabei sind ψn die Eigenfunktionen (Orbitale) und an die
Energien für ein Wasserstoff-ähnliches Atom.
Erstes Elektron e- ist in n-Zustand / Zweites Elektron e- ist in k-Zustand
ψn (1) ⋅ ψ k ( 2 )
( an + ak )
- Seite 72 -
by Thomi Albrecht
MEHR-ELEKTRONEN-ATOME
Nice to know:
Zur Notation:
Beispiel mit He:
Problemsstellung
Beispiel mit He:
Symmetrische und
Antisymmetrische
Funkt. ψs und ψ a
Beispiel mit He:
Wahrscheinlichkeitsdichte
Spin eines
Elektrons:
Erweitertes Prinzip
d. Elektronen-Austausch-Symmetrie
(vgl. oben)
PC - Quantenmechanik
MEHR-ELEKTRONEN-ATOME
In der mathematischen Behandlung der Elektronen-Verteilung in einem Atom kann man die
Elektronen nummerieren und jedes e- einem ganz bestimmten Orbital zuweisen. In Wirklichkeit
jedoch sind die versch. e- ununterscheidbar, d.h. dass man bei Messungen nicht bestimmen
kann, welches e genau gemessen wurde. Führt man also eine Messung durch, um den Abstand eines e vom Kern zu bestimmen (man sucht den Erwartungswert vom Radius r), erhält
man nur einen einzigen Wert, welcher nicht einem bestimmten e- zugewiesen werden kann.
2
Da bei Messungen jeweils die Wahrscheinlichkeitsdichte | ψ | gemessen wird, muss diese
Grösse aufgrund der eben beschriebenen Ununterscheidbarkeit der Elektronen unveränderlich
sein, wenn man die Parameter r1 (Radius von Elektron Nr. 1) und r2 (Radius von Elektron Nr. 2)
austauscht. Dies wird erreicht durch Funktionen, die sich beim Austausch der Parameter entweder symmetrisch (ψs) oder antisymmetrisch (ψa) verhalten. Diese Funktionen zeigen wie
gefordert keine Veränderung der Wahrscheinlichkeitsdichte | ψ |2.
In den unten angeg. Gleichungen wird ein Helium-Atom behandelt, wobei man die Zustände
1s(1) 2s(2) und 2s(1) 1s(2) betrachtet. Man will wissen, ob sich Elektron Nr. 1 im 1s-Orbital und
Elektron Nr. 2 im 2s-Orbital befindet oder ob die Elektronen gerade umgekehrt verteilt sind, d.h.
dass sich Elektron Nr. 1 im 2s-Orbital befindet und Elektron Nr. 2 im 1s-Orbital. Da wie oben
beschrieben eine solche Unterscheidung der Elektronen nicht möglich ist, werden symmetrische und antisymmetrische Funktionen aufgestellt, welche für einen Messprozess gültig sind.
Beachte, dass für eine qualitative Beschreibung der Elektronen-Austausch-Symmetrie, wie sie
hier gegeben ist, der Spin nicht berücksichtigt wird. Siehe zur Ergänzung nächsten Abschnitt)
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 78 – 79.
1s2
1s(1) 1s(2)
1s1 2s1
1s(1) 2 s(2)
1s1 2s0 2p1
1s(1) 2 p(2)
1s(1) 2 s(2)
ψ symmetrisch
vs.
= ψs =
1
ψ s (1, 2 )
2
ψ a (1, 2 )
2
2
1
2
= ψ s ( 2,1)
2
= ψ a ( 2,1)
2
Nice to know:
Grundform der
Wellenfunktion für
zwei Elektronen:
Symmetrisch: ψ s (1, 2 ) = ψ s ( 2,1)
⋅ 1s(1) 2 s(2) − 2 s(1) 1s(2)
Antisymmetrisch: ψ a (1, 2 ) = −ψ a ( 2,1)
= ψ ( 2,1)
2
Es gilt:
Diese Bedingung muss in jedem Fall
erfüllt werden (Prinzip der ElektronenAuschluss-Symmetrie)
Ermittlung von ms,
s und Zustand
bzgl. Singlet,
Dublett, Triplett, …
Spin up
Spin down
(
(
)
)
(
(
ψ s r1 ,ms1 ; r2 ,ms2 = ψ s r2 ,ms2 ; r1 ,ms1
ψ a r1 ,ms1 ; r2 ,ms2 = −ψ a r2 ,ms2 ; r1 ,ms1
- Seite 73 -
• Zustand 1 =
• Zustand 2 =
• Spin 1
=
• Spin 2
=
⋅
( Spin 1) ⋅ ( Spin 2 )
1s(1) oder 2s(1) oder 2p(1) oder 3s(1) oder 3p(1) oder 3d(1) oder …
1s(2) oder 2s(2) oder 2p(2) oder 3s(2) oder 3p(2) oder 3d(2) oder …
α(1) oder β(1) = ½ oder –½
α(2) oder β(2) = ½ oder –½
ψ ( Zustand 1,Spin 1 ; Zustand 2,Spin 2 ) = − ψ ( Zustand 2,Spin 2 ; Zustand 1,Spin 1)
1. Setze für die Spin-Zustände α, β, γ, δ, … entweder jeweils den Wert ½ oder den Wert –½ ein.
Beachte, dass die gleichen griechischen Buchstaben jeweils den gleichen Wert erhalten müssen. Ermittle alle möglichen Kombinationen und berechne jeweils gemäss der Formel für ψ den
ms-Wert der gesamten Funktion ψ.
2. Ermittle s, wobei jeweils gelten muss:
ms entspreche den Werten von –s bis s in Schritten von 1,
d.h. ms = - s, (- s + 1), (- s + 2), (- s + 3), … , (s – 3), (s – 2), (s – 1), s
3. Ermittle, ob es sich um einen Singulet-Zustand, Dublett-Zustand, Triplett-Zustand oder … handelt. Dabei gelten folgenden Zusammenhänge:
2.s + 1 = 1
2.s + 1 = 2
2.s + 1 = 3
2.s + 1 = 4
…
Unter Betrachtung des Spins kann man das Prinzip der Elektronen-Austausch-Symmetrie
erweitern, da die Elektronen zusätzlich auch über Spin unterschieden werden können (dabei
werden die Elektronen mit ihrem entsprechendem Spin gegeneinander ausgetauscht). Man erhält wiederum eine symmetrische und eine antisymmetrische Funktion.
Wie eine Analyse der antisymmetrischen Funktion zeigt, müssen Elektronen antisymmetrische
Wellenfunktionen haben, wobei zwei Elektronen nie den gleichen Zustand haben dürfen!
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 79.
ms = −1 2
( Zustand 1) ⋅ ( Zustand 2 )
Wobei
AUSSCHLUSS-PRINZIP
ms = 1 2
ψ=
Beachte: Es ist möglich, dass es keine Kombination von Zuständen und Spin-Zuständen gibt, so
dass eine antisymmetrische Wellenfunktion ψ entsteht. In diesem Falle müssen verschiedene Funktionen ψ so kombiniert werden (durch Addition), dass eine antisymmetrische Funktion entsteht.
⋅ 1s(1) 2 s(2) + 2 s(1) 1s(2)
2
Die Wellenfunktionen von Mehr-Elektronen-Atomen setzen sich aus zwei Faktoren zusammen:
Ein Faktor bezieht sich auf die Orts-Koordinaten (Zustände, Orbitale), der andere Faktor beinhaltet den Anteil der Spin-Zustände. Die gesamte Wellenfunktion muss schlussendlich gemäss
der Elektronen-Austausch-Symmetrie (siehe Seite 73) und dem Ausschluss-Prinzip (siehe Seite
73) antisymmetrisch sein. Da der Spin und die Orts-Zustände unabhängig sind voneinander,
erhält man eine antisymmetrische Funktion, falls Faktor symmetrisch und der andere Faktor
antisymmetrisch ist.
Die Spin-Zustände bezeichnet man allgemein mit kleinen griechischen Buchstaben, also mit α,
β, γ, δ, … Jeder Zustand entspricht dabei einem Wert von ms = ½ oder von ms = -½
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 79 - 80.
Betrachte He-Atom, wobei man wissen will, wie die beiden e(Nr. 1 und Nr. 2) auf die 1s- und 2s-Orbitale aufgeteilt sind
ψ (1, 2 )
WELLENFUNKTIONEN (ALLGEMEINE FORM) UND ZUSTÄNDE
Die Elektronen werden für die mathematische Behandlung nummeriert, damit eine Unterscheidung möglich ist (beachte, dass dies nur für die Berechnungen möglich ist, in Wirklichkeit wie
z.B. bei Messungen sind die Elektronen ununterscheidbar).
Zahlen (1) und (2) bezeichnen jeweils ein bestimmtes Elektron, d.h. dass die versch. Elektronen nummeriert werden. Beachte, dass dies nur für die Berechnungen möglich ist, in Wirklichkeit (z.B. bei Messungen) sind die e- ununterscheidbar.
2 s(1) 1s(2)
ψ antisymmetrisch = ψ a =
MEHR-ELEKTRONEN-ATOME
Nice to know:
ELEKTRONEN-AUSTAUSCH-SYMMETRIE (BEISPIEL MIT HELIUM-ATOM)
)
)
mit
(
ψ r1 ,ms1 ; r2 ,ms2
)
2
(
= ψ r2 ,ms2 ; r1 ,ms1
)
Singulett (charakteristisch für antisymmetrische Spin-Zustände)
Dublett
Triplett (charakteristisch für symmetrische Spin-Zustände)
Quadruplett
…
2
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 74 -
by Thomi Albrecht
Heliu m-A tom ( Beis piel f ür Mehr-El e ktron en- At om)
HELIUM-ATOM
HELIUM-ATOM
ENERGIEN
Der Hamilton-Operator kann ausgehend von der Störungstheorie (siehe Seite 62) ermittelt
werden (vergleiche Erläuterungen im Skript) (?)
Der Hamilton-Operator ist unabhängig vom Spin, somit können sämtliche Ausdrücke bezüglich
Spin im Hamilton-Operator vernachlässigt werden.
Die Variablen J und K bezeichnet man als Coulomb-, bzw. Austauschintegrale
Die sogenannte Coulomb’sche Wechselwirkungs-Energie J entspricht dem Erwartungswert der
Abstossung (Wechselwirkung) zwischen einem Elektron im 1s-Zustand und einem Elektron im
nlm-Zustand. Der Wert für J ist dabei immer positiv.
Für die Austausch-Wechselwirkungs-Energie gibt es keine einfache physikalische Interpretation. Der Wert für K kann zudem negativ oder positiv sein. Im Falle des Helium-Atoms jedoch ist
K positiv, wodurch sich die entsprechenden Gleichungen vereinfachen lassen.
Bestimmte Probleme löst man mittels Störungstheorie (vergleiche Seite 77)
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seite 82 - 83.
Nice to know:
Erwartungswert für
Hamilton-Operator
(Energie allg.):
Ĥ = E = ψ h (1) ψ + ψ h (1) ψ + ψ
ε1
Wobei
εn
2
1s (1) ψnlm ( 2 )
∗
• K=
e2
1
⋅ ⋅
4 ⋅ π ⋅ ε0 2
1s (1) ψnlm (1)
∗
Spezifischer Ausdruck für Energie:
E = −4 ⋅ R ⋅ h ⋅ c ⋅
Coulomb’sche
WechselwirkungsEnergie J für 1sund 2p-Orbitale:
AustauschWechselwirkungsEnergie K für 1sund 2p-Orbitale:
HELIUM-ATOM
J±K
e
1
⋅ ⋅
4 ⋅ π ⋅ ε0 2
1
n12
+
1
n22
⋅
1
⋅ 1s (1) ψnlm ( 2 ) ⋅ dr1 ⋅ dr2
r12
⋅
1
⋅ 1s ( 2 ) ψnlm ( 2 ) ⋅ dr1 ⋅ dr2
r12
n1 = 2
n2 = 1
=
− 5 ⋅R ⋅h⋅c
Js = 1s (1) 2 s ( 2 )
e2
1s (1) 2 s ( 2 )
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r12
Jp = 1s (1) 2 p ( 2 )
e2
1s (1) 2 p ( 2 )
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r12
K s = 1s (1) 2 s ( 2 )
e2
1s ( 2 ) 2 s (1)
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r12
K p = 1s (1) 2 p ( 2 )
e2
1s ( 2 ) 2 p (1)
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r12
>0
Grundzustand:
R = Rydberg-Konstante, wobei
R = (me . e4) / (8 . h3 . c . 02)
= 109737.3 cm-1)
1s, 2s, 2p = Einzelelektronen-Orbitale
(1)
= Elektron Nr. 1
(2)
= Elektron Nr. 2
PC - Quantenmechanik
ψ Grund =
2
Wellenfunktion für
ersten (tiefsten) angeregten Zustand:
r12
= Abstand zwischen den e-
HELIUM-ATOM
1s, 2s, 2p = Einzelelektronen-Orbitale
(1)
= Elektron Nr. 1
(2)
= Elektron Nr. 2
r12
= Abstand zwischen den e
-
Wellenfunktionen
für weitere angeregte Zustände:
⋅ 1s(1) 2 s(2) ⋅ α (1) β ( 2 ) − β (1) α ( 2 )
- Seite 75 -
by Thomi Albrecht
1
ψ=
2
⋅ 1s(1) 2 s(2) + 2 s(1) 1s(2) ⋅
1
2
ms = 0
⋅ α (1) β ( 2 ) − β (1) α ( 2 )
S =0
α (1) ⋅ α ( 2 )
1
ψ=
1s 2s
2
1
=
±
1s 2p x
⋅ 1s(1) 2 s(2) + 2 s(1) 1s(2) ⋅
±
⋅
2
=
1
2
(
⋅
1
2
1s(1) 2s(2) ± 1s(2) 2s(1)
(
Singlet
ms = 1;0; − 1
⋅ α (1) β ( 2 ) + β (1) α ( 2 )
S =1
Triplett
β (1) ⋅ β ( 2 )
)
1s 2p y
1s(1) 2p x (2) ± 1s(2) 2p x (1)
)
1s 2p z
±
±
=
=
1
2
1
2
⋅
( 1s(1) 2p (2)
± 1s(2) 2p y (1)
)
⋅
(
1s(1) 2p z (2) ± 1s(2) 2p z (1)
)
y
WEITERE ANGEREGE ZUSTÄNDE
Nice to know:
Unter Berücksichtigung der Elektronen-Austausch-Symmetrie (siehe Seite 73) und dem Ausschluss-Prinzip (siehe Seite 73) erhält man die Wellenfunktion des Grundzustandes für Helium.
Weitere Informationen (unter anderem eine Herleitung) findet man im Skript auf der Seite 80.
1
Unter Berücksichtigung der Elektronen-Austausch-Symmetrie (siehe Seite 73) und dem Ausschluss-Prinzip (siehe Seite 73) erhält man die Wellenfunktion des ersten angeregten Zustandes (d.h. den energetisch tiefsten angeregten Zustand) eines Helium-Atoms.
In den unten angegebenen Gleichungen wurde für die Ermittlung von ms, s und des Zustandes
jeweils für α ein Wert von ½ und für β ein Wert von -½ eingesetzt. Vergleiche auch Seite 74.
Der Singlet-Zustand zeichnet sich durch antisymmetrische Spin-Zustände aus, während der
Triplett-Zustand symmetrische Spin-Zustände besitzt.
1
1
Erster angeregter Zustand eines He-Atoms weist in der Regel die elekt. Konfiguration (1s) (2s)
auf. Bei Annahme von zufälliger Entartung wären auch (1s)1(2s)0(2px,y,z)1 möglich (3 Varianten).
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 80 - 81.
8 mögliche Wellenfunktionen bei zufälliger Entartung
unter Vernachlässigung des Spins:
GRUNDZUSTAND
Nice to know:
Nice to know:
Rot markierte Ausdrücke entsprechen Wellenfunktionen bei Annahme
von nicht miteinander wechselwirkenden Elektronen
e
ψ = ε1 + εn + ( J ± K )
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rij
• J=
ERSTER (TIEFSTER) ANGEREGER ZUSTAND
Rot markierte Ausdrücke entsprechen Wellenfunktionen bei Annahme
von nicht miteinander wechselwirkenden Elektronen
PC - Quantenmechanik
Unter Berücksichtigung der Elektronen-Austausch-Symmetrie (siehe Seite 73) und dem Ausschluss-Prinzip (siehe Seite 73) erhält man die Wellenfunktionen der angeregten Zustände
eines Helium-Atoms. Dabei wurde zudem berücksichtigt, dass ein Elektron stets im 1s-Orbital
bleibt, da sonst die Energie zu hoch wäre (nur wenn schon beide Elektronen im ersten angeregten Zustand sind ist die Gesamt-Energie höher als die Ionisierungs-Energie des Helium-Atoms).
ψnlm entspricht einer allg. Wellenfunktion des H-Atoms mit Quantenzahlen n, l und m (vgl. S. 65)
In den unten angeg. Gleichungen wurde für Ermittlung von ms, s und des Zustandes für α jeweils
½ und für β jeweils -½ eingesetzt (vgl. S. 74). Da sich Spin-Terme im Vergleich zum 1. angeregten Zustand nicht unterscheiden, erhält man hier wieder Singlet- und einen Triplett-Zustände.
Der Singlet-Zustand zeichnet sich durch antisymmetrische Spin-Zustände aus, während der
Triplett-Zustand symmetrische Spin-Zustände besitzt.
Menge der Wellenfunktionen mit Singlet-Zustand bezeichnet man beim Helium-Atom als „parahelium“ und Menge der Wellenfunktionen mit Triplett-Zustand bezeichnet man als „orthohelium“
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 81.
ψ=
1
2
⋅ 1s(1) ψnlm ( 2 ) + ψ nlm (1) 1s(2) ⋅
1
⋅ 1s(1) ψnlm ( 2 ) + ψnlm (1) 1s(2) ⋅
1
2
⋅ α (1) β ( 2 ) − β (1) α ( 2 )
α (1) ⋅ α ( 2 )
ψ=
1
2
- Seite 76 -
2
⋅ α (1) β ( 2 ) + β (1) α ( 2 )
ms = 0
S =0
Singlet
ms = 1;0; − 1
S =1
Tripl.
β (1) ⋅ β ( 2 )
by Thomi Albrecht
H2+ - Mol ekül (El e ktr onisc h e Struktur , A n wen dung der line aren Variati on s-Met ho d e, E nerg ien, Welle nf un ktio n en)
HELIUM-ATOM
ENERGIEN (SINGLET- UND TRIPLETT-ZUSTÄNDE IM VERGLEICH UND ANGABE DIESER WERTE)
H2+-MOLEKÜL
Der Triplett-Zustand liegt tiefer als
Singlet-Zustand.
Nice to know:
Grund:
Die Wellenfunktion des TriplettZustandes hat im Vergleich zum
Singlet-Zustand einen asymmetrischen Orts-Zustand. Dies bedeutet, dass sich die Elektronen nie an
der gleichen Stelle aufhalten. Der
Abstand zwischen den Elektronen
ist somit im Durchschnitt grösser,
was wiederum dazu führt dass die
Abstossung der beiden Elektronen
kleiner wird somit liegt dieser Zustand energetisch tiefer.
Graphische Darstellung der vorliegenden Situation:
SITUATION UND GRUNDLAGEN
Schrödinger-Gleichung kann für Molekül mit mehreren Atomkernen nicht exakt gelöst werden.
Deshalb werden zum Bestimmen der Energien und Wellenfunktionen Näherungen angewandt.
Weitere Informationen findet man im Skript auf der Seite 85.
Variablen und
Symbole:
Atomkern A: Symbol = NA
Ladung = ZA
Position = rA
Grafik:
Darstellung der Energie-Zustände,
wobei man erkennt (vor allem bei
2s- und 2p-Zustand) dass die
Energien des Triplett-Zustandes
tiefer liegen als die Energien des
Singlet-Zustandes.
Menge aller Wellenfunktionen mit
Singlet-Zustand bezeichnet man
bei Helium-Atom allg. als „parahelium“ und die Menge der Wellenfunktionen mit dem Triplett-Zustand
bezeichnet man als „orthohelium“
Etriplett = ε1 + εn + J − K
Für Erläuterungen zu Variablen siehe Seite 75
H2+-MOLEKÜL
H= −
N
N
BornOppenheimerNäherung:
ˆ2
ˆ2
2 ⋅ e2
2 ⋅ e2
e2
ˆ =H
ˆ + κ = p1 + p2 −
ˆ +H
ˆ
H
−
+
=H
0
0
I
2 ⋅ m 2 ⋅ m 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r1 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r2 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r12
±
ˆ 1s 2p
H
I
x
= Js ± K s
±
= Jp ± K p
1s 2p y
±
ˆ 1s 2p
H
I
y
±
= Jp ± K p
1s 2p z
±
ˆ 1s 2p
H
I
z
±
= Jp ± K p
- Seite 77 -
∇2A −
2
2 ⋅ mB
∇B2 +
Z A ⋅ ZB ⋅ e 2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
+ −
Vˆ N
2
2 ⋅ me
∇2e +
− Z A ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ re − rA
+
−ZB ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ re − rB
Ĥe
-
Masse der beiden Atomkerne ist viel grösser als die Masse des e , wodurch sich die Atomkerne
viel langsamer bewegen als das Elektron. Der Abstand R zwischen den beiden Atomkernen kann
somit in Bezug auf die Zeitskala der Elektronen-Bewegung als konstant angenommen werden.
Somit kann man die Bewegung des Elektrons und die Bewegung des Kerns separat behandeln.
(
)
( )
ψ re ,rA , rB = φN (R ) ⋅ ψR re
Für die verwendeten Ausdrücke
bzgl. der angeregten Zustände
siehe Seite 76
by Thomi Albrecht
2
2 ⋅ mA
TˆN
( )
ˆ = Tˆ + Vˆ und ψ r
φN (R ) löst H
N
N
N
R e
beschreibt e- -Bewegung
Born-Oppenheimer-Näherung bedeutet schlussendlich, dass sich aufgrund der schnellen Elektronen-Bewegung (im Vergleich zur Bewegung der beiden Atomkerne) die Schrödinger-Gleichung
bezüglich der Elektronen-Bewegung für jede gegebene Atomkern-Konfiguration lösen lässt.
SchrödingerGleichung
PC - Quantenmechanik
+
Ĥ = Hamilton-Operator des H2 - Moleküls
+
Ĥ = Tˆ + Vˆ = Hamilton-Op. des H2 - Moleküls bezüglich der Atomkerne A und B
Den Hamilton-Operator erhält man, indem man die kinetischen Energien von allen drei Teilchen, die potentielle Energie aus der Abstossung der beiden Atomkerne und die pot. Energie
aufgrund der anziehenden Wechselwirkungen zwischen dem Elektron und den beiden Atomkernen berücksichtigt. Umformung führt zu unten angegebenem Term für Hamilton-Operator.
Schrödinger-Gleichung ist ziemlich ähnlich wie die Schrödinger-Gleichung des H-Atoms (siehe
Seite 64), allerdings setzt sich pot. Energie nicht nur aus Coulomb-Energie zusammen wie beim
H-Atom und Massen-Verhältnis mA zu mB ist wesentlich anders als Verhältnis mProton zu mElektron.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 85 – 86.
Hamilton-Operator:
Hamilton-Operator, Energien, usw. des ungestörten Systems sind auf den Seiten 75ff aufgeführt.
Die Anwendung der Störungstheorie wird eher nur in Ausnahmefällen benötigt.
Für weitere Informationen, Beispiel mit entsprechender graphischer Darstellung siehe Übungsserie 12, Aufgabe 3. Hier in der Formelsammlung wird nicht detailliert auf das Thema eingegangen.
±
T̂N = Kinetische Energie der beiden Atomkerne A und B
HAMILTON-OPERATOR UND SCHRÖDINGER-GLEICHUNG (MITTELS BORN-OPPENHEIMER)
Nice to know:
ANWENDUNG DER STÖRUNGSTHEORIE
1s 2p x
Energien:
N
Triplett-Zustand:
ˆ 1s 2 s
1s 2 s ± H
I
R = rA − rB = Abstand zwischen den beiden Atomkernen A und B
+
Ĥe = Elektronischer Hamilton-Operator des H2 - Moleküls
Für Erläuterungen zu Variablen siehe Seite 75
Störungsterm in
erster Ordnung für
erste angeregte
Zustände (ohne
Berücksichtigung
von Spin):
Abstand R:
Hamilton:
Esinglet = ε1 + εn + J + K
Hamilton-Operator:
Symbol = e
Ladung = -e
Position = re
V̂N = Potentielle Energie augrund der Abstossung der beiden Atomkerne
Singlet-Zustand:
Nice to know:
-
Elektron:
Ee = Elektronische Energie des H2+ - Moleküls
Ausgehend vom Hamilton-Operator erhält man folgende Gleichungen für Energien der Singlet- und Triplett-Zustände:
HELIUM-ATOM
Atomkern B: Symbol = NA
Ladung = ZA
Position = rA
PC - Quantenmechanik
T̂N φN (R ) + VN + Ee (R ) φN (R ) = E tot φN (R )
- Seite 78 -
Beachte: VN und Ee sind Zahlen (nicht Operat.)
Für Herleitung: Siehe Skript Seite 86.
by Thomi Albrecht
H2+-MOLEKÜL
H2+-MOLEKÜL
ENERGIEN UND WELLENFUNKTIONEN DES GRUNDZUSTANDES
Nice to know:
Wichtige
Parameter
Man geht von den Atom-Orbitalen aus, um eine passende Wellenfunktion für das Molekül zu
finden. Dies erreicht man mittels der linearen Variations-Methode, wobei sich die Wellenfunktion des Moleküls aus der linearen Kombination der Basis-Funktionen ergibt (siehe weiter unten)
Die Wellenfunktionen ψ+ und ψ - werden aufgrund ihrer Symmetrie in Bezug auf den MolekülMittelpunkt als gerade (ψ+), beziehungsweise als ungerade (ψ -) bezeichnet.
Alle hier gemachten Angaben beziehen sich nur auf den Grundzustand des H2+-Moleküls!
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 86 – 87.
BEWEGUNG DER ATOMKERNE
Die Bewegung der Atomkerne kann man in zwei Gruppen einteilen: Es gibt einerseits Vibrations-Bewegungen (kann man
mit harmonischem Oszillator veranschaulichen) und andererseits Rotations-Bewegungen (kann man mit starrem Rotor
veranschaulichen). Weitere Informationen zur Bewegung der Atomkerne findet man im Skript auf den Seiten 87 – 88.
HeH2+ - Mol e kül (Hamilton-Op erat or, Born-O p pe n hei mer-Näh erung , Gre nzf älle)
HeH2+-MOLEKÜL
Nice to know:
1sA = Wasserstoff-Basisfunktion in Bezug auf Atomkern A
1sB = Wasserstoff-Basisfunktion in Bezug auf Atomkern B
HAB =
(1sA )∗
ˆ (1 s ) d3 r wobei zudem gilt H = H
H
AA
BB
e
B
S AB =
(1sA )∗ (1 sB ) d3 r
Energien E±
(2 Möglichkeiten):
E± = VN + Ee (R ) ≈
HAA ± HAB
1 ± S AB
Hamilton-Operator
ohne Born-Oppenheimer-Näherung:
wobei zudem gilt S AB = SBA
E+ =
HAA + HAB
1 + S AB
E− =
HAA − HAB
1 − S AB
Die durchgezogene Linie entspricht dabei einem angenäherten potentiellen Zerfall während
die gestrichelte Linie die exakte
Berechnung wiedergibt.
Abhängigkeit der
Energien E+ und E−
vom Abstand der
beiden Atom-kerne
HeH2+-MOLEKÜL
Nice to know:
Hamilton-Operator
mit Born-Oppenheimer-Näherung:
Wellenfunktion ψ±
(2 Möglichkeiten):
ψ+ =
ψ =
C A ⋅ (1s A ) + CB ⋅ (1sB )
Gemäss linearem Varia−
tions− Ansatz , wobei die
C's komple. Zahlen sind
ψ− =
1sA + 1sB
2 ⋅ (1 + S AB )
1s A − 1sB
2 ⋅ (1 − S AB )
Man geht von Atom-Orbitalen
aus, um eine passende Wellenfunktion für Molekül zu finden.
Dies erreicht man mittels linearer Variations-Methode, wobei
sich Wellenfunktion des Moleküls aus linearer Kombination
der Basis-Funktionen ergeben
+
H2 -Molekül
Graphische Darstellung der beiden
Wellenfunktionen:
Für das
erhält man wie auch
beim Wasserstoff-Atom eine radiale Symmetrie (diese resultiert aus der angewandten Separation der Variablen)
HAMILTON-OPERATOR :: OHNE BORN-OPPENHEIMER-NÄHERUNG
Den Hamilton-Operator erhält man, indem man die kinetischen Energien von allen drei Teilchen, die potentielle Energie aufgrund der anziehenden Wechselwirkungen zwischen dem
Elektron und den beiden Atomkernen und die potentielle Energie aus der Abstossung der beiden Atomkerne berücksichtigt.
Ein Beispiel findet man in Übungsserie 13, Aufgabe 3
Ĥ = −
2
2 ⋅ me
∇2e
Ekin des
Elektrons
−
2
2 ⋅ mH
∇H2 −
Ekin des
H−Kerns
by Thomi Albrecht
Ekin des
He−Kerns
Epot des
Elektrons
im Feld des
H−Kerns
Epot aus
Abstossung
der beiden
Atomkerne
In der Born-Oppenheimer-Näherung werden die Kerne als unendlich schwer (im Vergleich zum
Elektron) und somit als stationär betrachtet. Somit fallen in der ursprünglichen Form des Hamilton-Operators (siehe oben) die Terme für die kinetische Energie der Kerne weg. Ferner ist der
letzte Term des ursprünglichen Hamilton-Operators konstant (sofern Kerne als stationär betrachtet werden) und fällt somit ebenfalls weg, da nur relative Energien berücksichtigt werden.
Ein Beispiel findet man in Übungsserie 13, Aufgabe 3
Ĥ = −
2
2 ⋅ me
∇2e
Ekin des
Elektrons
e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rH
−
2 ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rHe
−
Epot des Elektron
im Feld des H−Kerns
Epot des Elektron
im Feld des He−Kerns
GRENZFÄLLE
Grenzfall 1:
Unendlich separier)
tes Atom (R
Es gibt keine Veränderung des Hamilton-Operators.
Elektron kann sich dabei im Grundzustand entweder beim H- oder beim He-Atom aufhalten. Dabei
zeigt sich, dass sich das e- aufgrund der grösseren Kernladung bevorzugt beim He-Kern aufhält.
Energie im Grundzustand: En = −
PC - Quantenmechanik
Epot des
Elektrons
im Feld des
He−Kerns
HAMILTON-OPERATOR :: MIT BORN-OPPENHEIMER-NÄHERUNG
Neuer Hamilton-Operator:
Z 2 ⋅ e2
1
⋅
2 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε0 ) ⋅ a0 n2
Ĥ = −
2
2 ⋅ me
EGrundz. = E1He = −
∇2e
Ekin des Elektrons
Energie der elektr. Zustände:
- Seite 79 -
e2
2 ⋅ e2
2 ⋅ e2
−
+
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rH
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rHe
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
2
∇He
−
HeH2+-MOLEKÜL
Grenzfall 2:
Vereinigtes Atom
(R 0)
PC - Quantenmechanik
2
2 ⋅ mHe
−
Epot
22 ⋅ e 2
2 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε0 ) ⋅ a0
3 ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rLi
des e− im Li−Kern−Feld
Z 2 ⋅ e2
1
En = −
⋅
2 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε0 ) ⋅ a0 n2
- Seite 80 -
by Thomi Albrecht
Zus atz
ZUSATZ 01: GRAPHISCHE DARSTELLUNG VON STEHENDER UND FORTPFLANZENDER WELLE
ZUSATZ 02: LAGRANGIAN-FUNKTION UND HAMILTONIAN
Die unten dargestellten Bilder-Serien zeigen den Unterschied zwischen einer stehenden (standing) und einer fortpflanzenden (traveling) Welle. Der Unterschied ist am Besten ersichtlich, wenn man jeweils den Verlauf des grün markierten
Punktes verfolgt.
Die Bilderserien sind Zeile für Zeile zu lesen und nicht Spalte für Spalte, d.h. die erste Zeile enthält die Bilder 1 bis 5, die
zweite Zeile die Bilder 6 bis 10 und die dritte Zeile die Bilder 11 bis 15.
Nice to know:
Die Bewegung eines Systems kann durch Betrachten der entsprechenden Energien beschrieben werden. Dazu benötigt man die Lagrangian-Funktion und den Hamiltonian.
Im Folgenden sind auch Gleichungen aufgeführt, die eigentlich nur zur Herleitung benötigt
werden, aber eventuell zum Verständnis dienen können.
Weitere Informationen findet man im Skript auf den Seiten 27 – 28
Langrangian-Funktion
L=T−V
Funktion S
S=
t2
Stehende Welle (standing w ave)
L ist Langrangian-Funktion, T ist potentielle Energie, V ist kinetische Energie,
Diese Funktion berechnet jede Kurve ausgehend von der Zeit t1 zur
Zeit t2, wobei xi jeweils die Koordinaten und pi die Impulse bedeuten.
Dies wird als Einwirkung (action) bezeichnet.
L ( xi ,pi , t ) ⋅ dt
t1
∂S
∂ xi
Impuls in Bezug
auf Funktion S
pi =
Hamiltonian in Bezug
auf Funktion S
H=−
Hamiltonian des
Systems
H ( xi , pi , t ) ≡
Diese Gleichungen ergeben sich aus dem Fermat-Prinzip, welches
besagt, dass das System bei vielen möglichen Wegen immer den
Weg wählt, bei welchem die kleinste Einwirkung (action) resultiert.
p = ∇S
Dies Gleichung ergibt sich aus dem Fermat-Prinzip, welches besagt,
dass das System bei vielen möglichen Wegen immer den Weg wählt,
bei welchem die kleinste Einwirkung (action) resultiert.
∂S
∂t
i
Energie-Gleichung
mittels Hamiltonian
H=T+V =E
Energie-Gleichung
mittels Funktion S
1
⋅ ∇S
2⋅m
2
pi ⋅ xi − L ( xi , pi , t )
Allgemein ist H ≠ E, aber bei Problemen, bei welchen die potentielle Energie T nicht von der Geschwindigkeit abhängig ist, gilt H = E.
+V =−
∂S
∂t
Fortpflanzende Welle (traveling w ave)
ZUSATZ 03: SCHWARZSCHE UNGLEICHUNG
Nice to know:
Schwarzsche
Ungleichung
(x ⋅ y)
Norm
Norm = x =
Schreibweise mit
Normen:
PC - Quantenmechanik
- Seite 81 -
by Thomi Albrecht
Die Ungleichung sagt aus, dass wenn x und y Elemente eines reellen oder komplexen
Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt (x . y) die Beziehung
| (x . y) |2 ≤ (x . x) . (y . y). Bei allen Ausdrücken in den runden Klammern handelt es sich dabei
um Skalarprodukte.
Unter Verwendung der Norm wird eine einfachere Darstellung für die Schwarzsche Ungleichung gefunden.
Die Schwarzsche Ungleichung wird in vielen Bereichen der Mathematik verwendet, z.B. in
der Lineare Algebra (Vektoren), in der Analysis (unendliche Reihen), der Wahrscheinlichkeitstheorie oder zur Integration von Produkten.
Die Schwarzsche Ungleichung wird auch als Cauchy-Schwarz-Ungleichung oder als CauchyBunjakowski-Schwarz-Ungleichung bezeichnet.
Die Schwarzsche Ungleichung wird zur Herleitung der Unbestimmtheitsrelation verwendet.
PC - Quantenmechanik
(
2
(x ⋅ y)
)(
≤ x⋅x ⋅ y⋅y
2
)
Die Ausdrücke in den Klammern sind dabei Skalarprodukte
(x ⋅ x)
≤ x ⋅ y
- Seite 82 -
by Thomi Albrecht
ZUSATZ 04: LEGENDRE-POLYNOME
ZUSATZ 06: QUANTENZAHLEN (KURZE ÜBERSICHT)
Nice to know:
Hauptquantenzahl n:
Legendresche Differentialgleichung
Die Legendre-Polynome, benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre, bilden
ein orthogonales Funktionensystem.
Die Legendre-Polynome treten beispielsweise in der Eigenfunktion für den Drehimpuls nach
quantenmechanischer Definition auf (siehe Seite 53).
(
)
1 − x 2 ⋅ y ′′ − 2 ⋅ x ⋅ y ′ + n ⋅ (n + 1) ⋅ y = 0
1
n
d
Legendre-Polynome:
Pn ( x ) =
Alternative
Darstellung:
( 2 ⋅ n) !
Pn ( x ) =
2
2n ⋅ ( n!)
Die ersten LegendrePolynome lauten:
⋅
2n ⋅ n! dxn
P0 ( x ) = 1
(x
2
⋅ x −
P1 ( x ) = x
Bedeutung:
Die durch die Hauptquantenzahl festgelegten Energieniveaus werden Schalen genannt. Im PSE entspricht dies den Perioden.
Schreibweise:
n wird meist nicht als Zahl, sondern als grosser Buchstabe notiert
n ⋅ (n − 1)
2 ⋅ ( 2 ⋅ n − 1)
⋅x
P2 ( x ) =
n− 2
+
(
n ⋅ (n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ (n − 3 )
2 ⋅ 4 ⋅ ( 2 ⋅ n − 1) ⋅ ( 2 ⋅ n − 3 )
)
1
⋅ 3 ⋅ x2 − 1
2
P3 ( x ) =
(
⋅x
n− 4
...
1
⋅ 5 ⋅ x3 − 3 ⋅ x
2
)
Spin-Matrix für
x-Komponente
Spin-Matrix für
y-Komponente
Spin-Matrix für
z-Komponente
Magnetische QZ:
Sx =
2
0 −i
Sy =
2
⋅ i
0
−i
0
i
0
1 0
Sz =
8
R
9
S
Über Bahndrehimpulsqu.. werden s -, p -, d -, f -Orbitale bestimmt.
wird nicht als Zahl, sondern als kleiner Buchstabe geschrieben.
0
s
1
p
2
d
3
f
4
g
5
h
Für jeden l-Wert existieren (2 . + 1) Orbitale
m
Symbol:
Zum Teil wird nur m anstatt von m verwendet (z. T. auch px, py, pz)
Ganzzahlige Werte v. – bis + , wobei die Bahndrehimpuls-QZ ist.
m = - , (- + 1), (- + 2), (- + 3), … , ( – 3), ( – 2), ( – 1),
Anzahl d. m - Werte zeigt, wie viele s -, p -, d -, f - Zustände existieren.
Bestimmung d. Werte (Beispiel für d –
Orbitale)
0
7
Q
Bedeutung:
Bedeutung:
0 1 0
6
P
Ganzzahlige Werte von 0 bis n – 1, wobei n die Hauptquantenzahl ist:
= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, (n – 3), (n – 2), (n – 1)
Mögliche Werte:
⋅ 1 0 1
5
O
Mögliche Werte:
Zum Symbol:
0 1 0
4
N
Bahndrehimpulsquantenzahl wird z.T. Nebenquantenzahl genannt.
Orbitale:
Die Spin-Matrizen eines Teilchens mit einem Gesamt-Spin 1 wurden in mehreren Übungen
erwähnt. Deshalb werden diese Matrizen hier aufgeführt, da sie an der Prüfung eventuell als
bekannt angenommen werden.
Siehe Übung 7 (Aufgabe 1) und Übung 9 (Aufgabe 1)
3
M
Zum Namen:
Schreibweise:
ZUSATZ 05: SPIN-MATRIZEN EINES TEILCHENS MIT GESAMT-SPIN 1
2
L
Symbol:
=
Nice to know:
1
K
Legendre-Polynome heissen die partikulären Lsg. der
Legendreschen Differentialgleichung f. ganzzahlige n
n
Bahndrehimpuls-QZ :
n
n
Ganzzahlige Werte: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … ∞
n =
)
−1
Symbol:
Mögliche Werte:
Je nach Anzahl der Orbitale ergeben sich die m – Werte, z.B. für d:
d-Orbitale:
m - Werte:
2
1
0
-1
-2
Orbitale werden jeweils (gem. den Regeln) vom Orbital mit grösstem Wert für m bis zum Orbital mit kleinsten Wert für m aufgefüllt.
0
⋅ 0 0 0
0 0 −1
Spinquantenzahl s, I:
Eigenwerte und dazugehörige Eigenvektoren
Man beachte, dass sich die Eigenvektoren für die verschiedenen kartesischen Komponenten
unterscheiden, d.h. das ein in
einer bestimmten Dimension gemessener Eigenzustand kein
Eigenzustand für die anderen
beiden Dimensionen sein kann.
s/I
Symbol:
Zum Symbol:
s wird für Elementarteilchen, I für Atomkerne verwendet
Mögliche Werte:
Für s, bzw. I sind halbganzzahlige oder ganzzahlige Zahlen erlaubt:
s / I = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5, 11/2, 6, 13/2, …
-
Wichtig: Wert für e :
Magn. Spinquantenzahl:
s=½
Symbol:
ms / mI
Zum Symbol:
ms wird für Elementarteilchen, mI für Atomkerne verwendet.
Mögliche Werte:
ms: Werte von –s bis s in Schritten von 1
ms = - s, (- s + 1), (- s + 2), (- s + 3), … , (s – 3), (s – 2), (s – 1), s
mI: Werte von – I bis I in Schritten von 1
mI = - I, (-I + 1), (-I + 2), (-I + 2), … , (I – 3), (I – 2), (I – 1), I
Wichtig: Wert für e- :
PC - Quantenmechanik
- Seite 83 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
ms = ± ½
- Seite 84 -
by Thomi Albrecht
ZUSATZ 07: TERMSYMBOLE ZUR CHARAKTERISIERUNG DES ZUSTANDES EINES ATOMS
ZUSATZ 09: STÖRUNGSTHEORIE (AUSFÜHRLICHE AUFLISTUNG EINIGER FORMELN GEMÄSS ZUSATZ-SKRIPT)
Allgemeine
Form
2⋅S +1
Totaler Elektronen- Spin S
S=
Hier werden im Vergleich zur eigentlichen Formelsammlung einige weiterführende und präzisere Formeln und Zusammenhänge bezüglich der Störungstheorie (perturbation theory) angegeben. Diese Angaben dienen zur Vollständigkeit
und für ein besseres Verständnis der Störungstheorie. Spezifischere Formeln zum Lösen von bestimmten Aufgabentypen
bezüglich der Störungstheorie findet man im entsprechenden Abschnitt dieser Formelsammlung auf der Seite 62.
Weitere Informationen zur Störungstheorie findet man ausserdem im Zusatz-Skript auf den Seiten 77 – 83.
Totaler BahnDrehimpuls L
L = ( l1 + l2 ) , ( l1 + l2 − 1) , ( l1 + l2 − 2 ) , ... , l1 - l2
Das Termsymbol enthält die totale Elektronenspin-Quantenzahl S, die totale Bahndrehimpuls-Quantenzahl L und den totalen Drehimpuls J.
Linke, obere Zahl entscheidet über Zustand, d.h. Singulett (1), Dublett (2), …
LJ
i
ms
Für Elektronen hat ms den Wert ½ oder -½. Für Summe werden Vorzeichen beachtet!
Es müssen nur Valenz-Elektronen betrachtet werden (S für gefüllte Schale ergibt Null)
Beachte:
Für die Bestimmung von L verwendet man
die unten aufgeführten Beziehungen, d.h.
max
man bestimmt ML
und setzt dies mit L
gleich.
-
Meist besitzt ein Atom Valenz-e mit l = l1 = l2,
woraus L berechnet wird.
Wenn Atom mehr als 2 Valenzelektronen besitzt,
muss die oben stehende Beziehung mehrmals
nacheinander angewendet werden.
L = Mmax
L
MLmax =
i
Dabei werden die Orbitale so (korrekt) aufgefüllt, das ML so gross wie möglich wird.
Dabei müssen nur die ml-Werte aller Valenz-Elektronen betrachtet werden.
ml
Tot. Drehimpuls J
0
S
1
P
Nomenklatur: des totalen Bahndrehimpulses
2
D
3
F
4
G
5
H
6
I
7
J
8
K
…
…
(L + S ) − 1
,
(L + S ) − 2
, ... ,
Bei vielen physikalischen und chemischen Problemen weisen die entsprechenden Hamilton-Operatoren Eigenzustände
und Eigenfunktionen auf, die nicht besonders einfach und kompakt sind. Aus diesem Grund wendet man oft Näherungen
an, welche den Sachverhalt vereinfachen. Eine wichtige Methode um mit Näherungen zu Rechnen ist in der Quantenmechanik die Störungstheorie, bei welcher man Systeme betrachtet, die leicht gestört wurden. Ziel der Störungstheorie ist es
dabei, die Wellenfunktionen (Zustände) und Energien des gestörten System zu beschreiben.
(L − S ) + 1
Im Folgenden sind einige grundlegenden Definitionen, bzw. Notationen aufgeführt (insbesondere die Beschreibung des
ungestörten System und Notationen bezüglich der versch. Näherungen), welche für die Störungstheorie allg. gültig sind:
, L−S
Mögliche Werte für J
1. J ist am kleinsten im Grundzustand für weniger als halbgefüllte Unterschalen, also J = L - S
Grundregel:
Dritte Hund’sche
Regel
2. J ist am grössten im Grundzustand für mehr als halbgefüllte oder
gerade halbgefüllte Unterschalen, also J = L + S
Die 3 Hund’schen
Regeln
Sinn und Zw eck der Störungstheorie
Grunddefinitionen in der Störungstheorie
-
Bestimmung von J hängt auch von e - Konfiguration ab
J=L+S
J= L+S ,
Sinn und Zweck der Störungstheorie....................................................................................................................................................... 86
Grunddefinitionen in der Störungstheorie ................................................................................................................................................ 86
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Grundlagen........................................................................................................... 87
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Näherung 1. Ordnung ........................................................................................... 87
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Näherung 2. Ordnung........................................................................................... 87
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Stark-Effekt........................................................................................................... 88
Zeit-abhängige Störungstheorie :: Grundlagen........................................................................................................................................ 89
Zeit-abhängige Störungstheorie :: Näherung 1. Ordnung........................................................................................................................ 89
Zeit-abhängige Störungstheorie :: Angeregte Absorption und Emission ................................................................................................. 90
Für Termsymbol muss energetisch günstigster Zustand betrachtet werden (Regel 2)
Wert für totalen Bahndrehimpuls wird nicht als Zahl, sondern als Buchstabe geschrieben nach Schema:
L=
Inhalt dieses Zusatzes über Störungstheorie
1. Zustand mit grösstem S-Wert besitzt tiefste Energie
2. Bei Termen mit gleicher Multiplizität liegt derjenige mit dem grössten
L-Wert (L ist der totale Bahndrehimpuls) energetisch am tiefsten.
Ungestörter
Hamilton-Operator:
ˆ
ˆ
H
ungestört = H0
Eigenzustände und
Energien von ungestörtem System:
0
ψ ungestört = ψn( )
H
Li
2
S1/2 / He
S1/2 / Be
2
0
0
0
Ĥ0 ϕn( ) = En( ) ϕn( )
Zeit-Entwicklung des
ungestörten Systems:
0
0
ϕn( ) r = ϕn( )
für zeit-unabhängiges , ungestörtes System
0
− i ⋅ En( ) ⋅ t
0
0
ϕn( ) r , t = ϕn( ) ⋅ exp
für zeit- abhängiges , ungestörtes System
S0
S0 / B
2
P1/2 / C
3
P0 / N
3
P2 / O
4
S3/2 / F
2
P3/2 / Ne
1
S0
Beachte: Atome der gleichen Gruppe im gleichen Zustand haben auch gleiche Termsymbole!
Energetische
Reihenfolge von
Orbitalen:
PC - Quantenmechanik
,l ') falls
1. E ( n,l ) < E ( n '
,l ') falls
2. E ( n,l ) < E ( n '
( n + l) < ( n '+ l ')
( n + l) = ( n '+ l ')
- Seite 85 -
Grundsatz für Eigenzustände des gestörten System:
Die Eigenzustände (Eigenfunktionen) ϕ(r,t) des gestörten Systems erhält man
(0)
durch eine Superposition der Eigenzustände ϕn des ungestörten Systems.
Hamilton-Operator
der Störung:
ˆ
Störung (kleine Wechselwirkung) des Systems = λ ⋅ H'
Näherung k-ter
Ordnung (Notation)
ZUSATZ 08: ENERGETISCHE REIGENFOLGE VON ORBITALEN
und n < n '
PC - Quantenmechanik
ˆ
Hgestört = H'
Die Eigenzustände und Energien bei einer Näherung k-ter Ordnung werden durch
die entsprechenden hochgestellten Indizes gekennzeichnet, d.h. man erhält:
Für k-te Näherung
Vergleiche auch Zusatz bezüglich
der Quantenzahlen (Seite 84)
by Thomi Albrecht
Bei dieser Definition wird nur der zeit-unabhängige Teil der SchrödingerGleichung betrachtet. Eine allfällige Zeitabhängigkeit wird über die Wel(0)
lenfunktion ϕn eingeführt (siehe unten)
()
( )
1
1
Eigenzustände und Energien (Eigenwerte) des ungestörten Systems
Kennzeichnung durch hochgestellten Index (0)
Schrödinger-GleiGleichung des ungestörten Systems:
3. Siehe direkt oben unter „Tot. Drehimpuls J“
Termsymbole
für Grundzust.
0
Eungestört = En( )
Hamilton Operator des ungestörten Systems
Kennzeichnung mit tiefgestelltem Index 0
k
Eigenzus tan d = ϕn( )
- Seite 86 -
k
und Energie = En( )
Beachte:
k = 0 entspricht ungestörtem
System
by Thomi Albrecht
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Grundlagen
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Stark-Effekt
Geht man von eine zeit-unabhängigen Störung aus, kann man die zeit-unabhängige Schrödinger-Gleichung betrachten,
d.h. man geht von einem ungestörten, zeitunabhängigen System aus (vergleiche die entsprechenden Formeln unter
„Grunddefinitionen der Störungstheorie“ auf der Seite 86). Für das gestörte System erhält man schliesslich die unten
angegebene Schrödinger-Gleichung, sowie die entsprechenden allgemeinen Lösungen für die Eigenzustände ϕn und
Energien En des gestörten Systems. Beachte, dass für diesen zeit-unabhängigen Fall sämtliche Energien nicht-entartet
sind, d.h. jeder Eigenzustand ϕn hat eine eigene, spezifische Energie En.
Beim Stark-Effekt geht man von einem fiktiven Atom aus, welches nur zwei mögliche Energie-Zustände aufweist, d.h.
einen Grundzustand (ground state
g) und einen angeregten Zustand (excited state
e). Natürlich existiert ein solches
Atom mit nur zwei Energie-Zuständen nicht, jedoch kann der Spin analog auf diese Voraussetzung übertragen werden.
Deshalb kann man mit der Störungstheorie Berechnungen durchführen bezüglich der Eigenfunktionen und Eigenzustände eines Atoms, welches sich in einem elektrischen Feld E befindet, wobei das Feld entlang der z-Achse des Atoms verläuft. Dabei gilt es zu beachten, dass je nach Näherung unterschiedliche Auswirkungen auf die Wellenfunktionen und
Energien beobachtet werden können (so können beispielsweise die Wellenfunktionen verändert werden während die
Energien unverändert bleiben oder die Energien können sich auch entgegengesetzt erhöhen, bzw. erniedrigen, vgl. Zusatz-Skript Seite 80 oben).
SchrödingerGleichung für
gestörten Systems:
(Hˆ
Allgemeine Form für
Eigenfunktionen und
Energien des gestörten Systems:
0
1
2
ϕn = ϕn( ) + λ ⋅ ϕn( ) + λ 2 ⋅ ϕn( ) + ...
0)
1)
2
(
(
(
2
En = En + λ ⋅ En + λ ⋅ En ) + ...
0
)
ˆ ϕ = E ⋅ϕ
+ λ ⋅ H'
n
n
n
Elektrisches Feld:
Eˆ = E ⋅ zˆ
Hamilton-Operator
der Störung
ˆ = e ⋅ E ⋅ zˆ
H'
Voraussetzung
für Atom:
0
0
0
Ĥ0 g( ) = E(g ) g( )
g = ground state = Grundzustand
0
0
0
Ĥ0 e( ) = E(e ) e( )
e = excited state = angeregter Zustand
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Näherung 1. Ordnung
Im Folgenden sind die spezifische Schrödinger-Gleichung für eine Näherung 1. Ordnung und die entsprechenden Lösungen aufgeführt. Eine Herleitung der Lösungen findet man im Zusatz-Skript auf der Seite 78.
SchrödingerGleichung:
(Hˆ
0
)
(
)
0
1
1
ˆ ⋅ ϕ( 0 )
− En( ) ϕn( ) = En( ) − H'
n
Lösung:
Beachte:
0
(0) ˆ
H'
H'ϕn( )
in = ϕi
= Matrix- Elemente von
E-Feld entlang der z-Achse des betrachteten Atoms
Atom weist nur zwei
mögliche EnergieZustände auf (fiktiv!)
Lösungen für Grundzustand bezüglich
Näherung 1. Ordnung:
Lösungen für angeregten Zustand bzgl.
Näherung 1. Ordnung:
Ĥ'in ungestörter Basis
Zeit-unabhängige, nicht-entartete Störungstheorie :: Näherung 2. Ordnung
Im Folgenden sind die spezifische Schrödinger-Gleichung für eine Näherung 2. Ordnung und die entsprechenden Lösungen aufgeführt. Eine entsprechende Herleitung der Lösungen ist im Skript nicht angegeben.
SchrödingerGleichung:
(Hˆ
0
)
(
Lösungen für Grundzustand bezüglich
Näherung 2. Ordnung:
)
0
2
1
ˆ '⋅ ϕ(1) + E( 2) ⋅ ϕ( 0 )
− En( ) ϕn( ) = En( ) − H
n
n
n
Lösung:
Lösungen für angeregten Zustand bzgl.
Näherung 2. Ordnung:
PC - Quantenmechanik
- Seite 87 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
- Seite 88 -
by Thomi Albrecht
Zeit-abhängige Störungstheorie :: Grundlagen
Zeit-abhängige Störungstheorie :: Angeregte Absorption und Emission
Geht man von eine zeit-abhängigen Störung aus, muss man die zeit-abhängige Schrödinger-Gleichung betrachten, d.h.
man geht von einem ungestörten, zeitabhängigen System aus (vergleiche die entsprechenden Formeln unter „Grunddefinitionen der Störungstheorie“ auf der Seite 86). Für das gestörte System erhält man schliesslich die unten angegebene
Schrödinger-Gleichung, sowie nach Umformen eine allgemeine Differentialgleichung (mit spezifischen Parametern), aus
welcher man Lösungen ck(j)(t) bestimmen kann (siehe nächsten Abschnitt).
Man geht von einem fiktiven Atom aus, welches nur zwei mögliche Energie-Zustände aufweist, d.h. einen Grundzustand
(ground state
g) und einen angeregten Zustand (excited state
e). Natürlich existiert ein solches Atom mit nur zwei
Energie-Zuständen nicht, jedoch kann zum Beispiel der Spin analog auf diese Voraussetzung übertragen werden.
SchrödingerGleichung für
gestörtes Systems:
i⋅ ⋅
( )
∂ψ
ˆ + λ ⋅ H'r
ˆ ,t
= H
0
∂t
ψ
Das Atom werde nun mit einem Laserstrahl (dieser sei linear polarisiert in z-Richtung) bestrahlt. Dabei findet die wichtigste Wechselwirkung zwischen dem Licht und der Masse des Atoms anhand einer Kupplung des atomaren Dipol-Momentes
mit dem elektrischen Feld E statt. Dabei wird angenommen, dass ein Atom viel kleiner sei als die Wellenlänge des Lichtes, so dass man annehmen kann, dass das Feld innerhalb des Atoms konstant sei.
Mit diesen Annahmen kann man die Wahrscheinlichkeit einer Absorption berechnen, d.h. die Wahrscheinlichkeit für einen
Übergang vom Grundzustand g in den angeregten Zustand e. Zudem kann man eine Übergangswahrscheinlichkeit-Rate
bestimmen, welche mit Γ bezeichnet wird. In der Regel unterscheidet man für diese Ausdrücke (Wahrscheinlichkeit und
Wahrscheinlichkeits-Rate) bevorzugt zwischen sehr kurzen Zeiten (nur für die ersten paar 10-15 Sekunden, d.h. nur dann
wenn die benötigte Zeit für den Übergang viel kleiner ist als die Periode der Laser-Oszillation) und langen Zeiten.
Allgemeine Differentialgleichung:
Weitere Informationen zu diesem Thema findet man im Zusatz-Skript auf den Seiten 82 - 83
Wobei:
•
•
Hamilton-Operator:
ˆ '= E ⋅ cos ( ω ⋅ t ) ⋅ Dˆ
H
L
Elektrischer DipolMoment-Operator
ˆ = e ⋅ zˆ
D
Gilt für linear polarisiertes Licht in z-Richtung (Laser) bei elektrischen
Feld E. Operator D wird elektrischer Dipol-Moment-Operator genannt.
Allgemeiner Ausdruck
für Übergangswahrscheinlichkeit für Übergang von von Zustand g in Zustand e:
Übergangswahrscheinlichkeit und
Rate für Übergang
von Zustand g in
Zustand e für lange
Zeiten
Zeit-abhängige Störungstheorie :: Näherung 1. Ordnung
Die allgemeine Differentialgleichung, welche bezüglich der zeitabhängigen Störungstheorie gefunden wurde (siehe oben)
kann für eine Näherung 1. Ordnung relativ leicht gelöst werden durch Anwendung des Separationsansatzes und der Annahme, dass man das ungestörte System im j-ten Eigenzustand gemessen hatte. Weitere Informationen zu dieser Herleitung findet man im Zusatz-Skript auf der Seite 81.
Zudem kann man noch die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit welcher der Übergang vom j-ten in den k-ten Zustand innerhalb einer bestimmten Zeit t stattfindet.
( )
Dies gilt nur für kurze Zeiten, also nur
für die ersten paar 10-15 Sekunden. Die
Gleichung ist grundsätzlich nur dann
gültig, wenn die benötigte Zeit für den
Übergang viel kleiner ist als die Periode
der Laser-Oszillation
()
Separationsansatz:
ˆ , t = H'r
ˆ
H'r
⋅ f (t)
Messung des ungestörten Systems:
c n ( t ) = δ jn
Diese Gleichung bedeutet, dass das ungestörte
System im j-ten Eigenzustand gemessen werden.
ZUSATZ 10: WELLENFUNKTIONEN FÜR 2px-, 2py- UND 2pz-ORBITALE IN KUGELKOORDINATEN
Allgemeine Differentialgleichung nach Näherung 1. Ordnung:
px-, py- und pz-Orbitale:
ψn11 + ψn1−1
Allgemeine Definition
und spezifische Wellen- p x =
2
funktionen für den Fall
n = 2 in Kugelkoordinaψn11 − ψ n1−1
ten.
py =
2⋅i
Für die entsprechenden Ausdrücke in kartesischen Koord.:
pz = ψn10
Siehe Seite 67
Lösung der allgemeinen Diffgleichung für
Näherung 1. Ordnung
Wahrscheinlichkeit
für Übergang von
Zustand j in den Zustand k innerhalb t
bei Näherung 1. Ord.
PC - Quantenmechanik
Übergangswahrscheinlichkeit und
Rate für Übergang
von Zustand g in
Zustand e für kurze
Zeiten
- Seite 89 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
n = 2: ψ 2px (r, θ, φ ) =
Z
a0
n = 2: ψ 2py (r, θ, φ ) =
Z
a0
n = 2: ψ 2pz ( r, θ, φ ) =
Z
a0
- Seite 90 -
3
2
3
2
3
2
⋅
1
Z
Z
⋅
⋅ r ⋅ exp −
⋅ r ⋅ sin θ ⋅ cos φ
2 ⋅ a0
32 ⋅ π a0
⋅
1
Z
Z
⋅
⋅ r ⋅ exp −
⋅ r ⋅ sin θ ⋅ sin φ
2 ⋅ a0
32 ⋅ π a0
⋅
1
Z
Z
⋅
⋅ r ⋅ exp −
⋅ r ⋅ c os θ
2 ⋅ a0
32 ⋅ π a0
by Thomi Albrecht
ZUSATZ 11: FERMIONEN UND BOSONEN
ZUSATZ 13: HAMILTON-OPERATOREN, WELLENFUNKTIONEN UND ENERGIEN WICHTIGER SYSTEME IM ÜBERBLICK
1
3
5
Fermionen sind Elementarteilchen mit halbzahligem Spin ( /2, /2, /2, …). Zu den Fermionen gehören alle Teilchen, aus
denen sich die Materie aufbaut, somit auch Elektronen und Protonen. Fermionen gehorchen dem Pauli’schen Ausschlussprinzip, welches besagt, dass zwei Fermionen nicht gleichzeitig am gleichen Ort einen identischen Quantenzustand annehmen können. Allg. gilt, dass die quantenmechanische Wellenfunktion zweier oder mehrerer gleichartiger
Fermionen bei Vertauschung zweier Fermionen vollkommen antisymmetrisch sein muss, d.h. das Vorzeichen ändert sich.
Auf die Elektronen in einem Atom angewendet erklärt das Pauli-Prinzip, dass nicht alle Elektronen in den gleichen
Grundzustand fallen können, sondern paarweise die verschiedenen Orbitale eines Atoms auffüllen. Erst durch diese Eigenschaft erklärt sich der systematische Aufbau des Periodensystems der chemischen Elemente.
Bosonen hingegen weisen einen ganzzahligen Spin (0, 1, 2, …) auf und unterliegen nicht dem Pauli’schen Ausschlussprinzip, deshalb können viele Bosonen im gleichen quantenmechanischen Zustand sein. Bosonen kann man sich als
Quantisierungen von Kraftfeldern vorstellen. Jede bekannte Kraft bildet eine Form von Bosonen und bosonische Elementarteilchen sind somit Überträger von Kräften. Die elektrische und magnetische Kraft wird beispielsweise durch das Photon vermittelt (das Photon ist somit ein typische Beispiel für Bosonen). Für Gravitation oder Schwerkraft wird das Graviton verantwortlich gemacht, dass jedoch bisher nicht beobachtet wurde. Im Atomkern gibt es zwei weitere Wechselwirkungen (Kernkräfte). Die stärkere hiervon hält den Atomkern zusammen, heisst starke Wechselwirkung und wird durch
Gluonen vermittelt. Die schwächere schwache Wechselwirkung verursacht den Zerfall der Teilchen höherer Gruppen und
wird durch w- und z- Bosonen übertragen.
Bewegung eines freien Teilchens
Ĥ = −
2
∂2
⋅
2 ⋅ m ∂ x2
E = ω⋅
Nice to know:
Potentielle Energie
der Atome im inhomogenen Feld:
(
Kraft auf Atome im
inhomogenen Feld:
∂ Epot
F = −∇ Epot = −
∂x
∂ Epot
∂y
∂ Epot
∂z
Distanz der Auftrennung der
Atomstrahlen:
1D: En =
s=
)
Ĥ = −
∂
ge ⋅ µB ⋅ ms ⋅ B x + B y + Bz
∂x
∂
ge ⋅ µB ⋅ ms ⋅ B x + B y + Bz
=−
∂y
(
)
(
)
∂
ge ⋅ µB ⋅ ms ⋅ B x + B y + Bz
∂z
)
(
Beachte:
Je nachdem, ob für ms ein
Wert von +½ oder -½ eingesetzt wird, erhält man eine
Ablenkung in eine andere
Richtung.
a ⋅ t2
F ⋅ t2
=
2
2 ⋅ MAtom
2
∂2
⋅
2 ⋅ m ∂ x2
2
n⋅π⋅x
⋅ sin
L
L
n2 ⋅ π 2 ⋅
2
2⋅m
+ B ⋅ exp − i ⋅
2⋅m ⋅E
2
⋅x+
E
⋅t
mit k =
2⋅m⋅E
2
und ω =
⋅ k2
2⋅m
=
n2 ⋅ h2
8 ⋅ m ⋅ L2
ˆ ( x, y ) = H
ˆ (x) + H
ˆ (y)
2D: H
x
y
ˆ ( x, y ) = H
ˆ (x) + H
ˆ (y) + H
ˆ ( z)
3D: H
x
y
z
2D: ψ n,m ( x, y ) = Xn ( x ) ⋅ Ym ( y )
3D: ψ n,m,l ( x, y ) = Xn ( x ) ⋅ Ym ( y ) ⋅ Yl ( y )
2D: En,m = En + Em
3D: En,m,l = En + Em + El
2
2⋅m
Bereich I und III (rechts und links vom Potentialtopf)
∇2 − V0
Bereich II (im Potentialtopf)
ψIII ( t ) = bIII ⋅ exp
E=
by Thomi Albrecht
⋅t
∇2
ψII ( x ) = aII ⋅ exp i ⋅
- Seite 91 -
2
2 ⋅ m ⋅ L2
ψI ( t ) = aI ⋅ exp −
E=
PC - Quantenmechanik
E
Teilchen in Potentialtopf, mit E < 0
Ĥ = −
Epot = −µ e ⋅ B = ge ⋅ µB ⋅ ms ⋅ B x + B y + Bz
⋅x−
Teilchen im Kasten (1D, 2D, 3D)
1D: ψ n ( x, t ) =
Ein Strahl von Atomen wird in eine bestimmte Richtung mit einer bestimmten Geschwindigkeit
geleitet. Dabei durchqueren die Atome einen Bereich, in dem ein inhomogenes Magnetfeld
angelegt ist. Der Atomstrahl wird schliesslich im inhomogenen Feldbereich getrennt, d.h. Atome
mit Spin ms = ½ und ms = -½ werden in unterschiedliche Richtungen abgelenkt.
Magnetfeld muss inhomogen sein, da in homogenen Magnetfeldern neutrale Teilchen überall
dieselbe pot. Energie aufweisen und somit keine Auftrennung der Atomstrahlen stattfindet.
Weder dir Richtung noch der Betrag des Magnetfeldes haben einen Einfluss auf die Stärke der
Ablenkung. Hingegen kann man eine bessere Auftrennung der beiden Atomstrahlen durch
Verlängern der Flugstrecke, Verringerung der Fluggeschwindigkeit oder durch Erhöhen der
Inhomogenität erreichen.
Ein Beispiel findet man in der Übungsserie 13, Aufgabe 1
2
2
⋅ k2
2⋅m
=
1D: Ĥ = −
ZUSATZ 12: EINIGE WICHTIGE FORMELN ZUM STERN-GERLACH-EXPERIMENT
2 ⋅m ⋅E
ψ ( x, t ) = A ⋅ exp i ⋅
h2
h
λ2 ⋅ 2 ⋅ m
2
2⋅m⋅ E
2
⋅x
für x > 0
Bereich I (rechts vom Potentialtopf)
⋅x
für x < 0
Bereich III (links vom Potentialtopf)
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
⋅ x + bII ⋅ exp - i ⋅
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
⋅x
Bereich II (im Potentialtopf)
Bereich I und III (rechts und links vom Potentialtopf)
λ2 ⋅ 2 ⋅ m
2
2⋅m⋅ E
− V0
PC - Quantenmechanik
Bereich II (im Potentialtopf)
- Seite 92 -
by Thomi Albrecht
Teilchen in Potentialtopf, mit E > 0
Ĥ = −
Ĥ = −
2
2⋅m
2
2⋅m
∇
2
Starrer Rotor (rigid rotor)
Bereich I und III (rechts und links vom Potentialtopf)
∇2 − V0
ψI ( t ) = aI ⋅ exp i ⋅
Ĥ =
Bereich II (im Potentialtopf)
2⋅m ⋅E
2
⋅ x + bI ⋅ exp - i ⋅
ψ=ψ
2 ⋅m ⋅E
2
⋅x
für x > 0
Bereich I (rechts vom Potentialtopf)
E =
ψIII ( t ) = aIII ⋅ exp i ⋅
ψII ( x ) = aII ⋅ exp i ⋅
2⋅m⋅E
2
⋅ x + bIII ⋅ exp - i ⋅
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
Lˆ2
2 ⋅I
2⋅m⋅E
2
⋅ x + bII ⋅ exp - i ⋅
für x < 0
⋅x
2 ⋅ m ⋅ ( V0 + E )
2
m
I=
mit
wobei I = m ⋅ r 2 für Rotor mit 1 Teilchen und I = µ ⋅ R2 =
mi ⋅ ri
i
( θ , ϕ) = Ym ( θ , ϕ) = ( −1)
⋅ ⋅ ( + 1)
2
Lˆ2
=
2 ⋅I
2 ⋅I
2
=
2
2⋅ +1
⋅
4⋅π
⋅
((+
)
)
m !
m !
⋅ Pm ( θ ) ⋅ exp (i ⋅ m ⋅ ϕ )
⋅ ⋅ ( + 1)
2⋅
Bereich III (links vom Potentialtopf)
⋅x
m+ m
m1 ⋅ m2
⋅ R 2 bei 2 Teilchen
m1 + m2
i
mi ⋅ ri
Bereich II (im Potentialtopf)
H-Atom
E=
E=
h2
Bereich I und III (rechts und links vom Potentialtopf)
λ2 ⋅ 2 ⋅ m
h2
λ2 ⋅ 2 ⋅ m
− V0
Ĥ = −
2
2
∇Kern
−
2 ⋅ mK.
2
∇e2 +
2 ⋅ me
2
2
− Z ⋅ e2
− Z ⋅ e2
2
2
=−
⋅ ∇Massen-Zentrum
+ −
∇rel
+
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
2⋅M
2⋅µ
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r
Bereich II (im Potentialtopf)
ψ Gesucht = Rn ( r ) ⋅ Ym ( θ , ϕ ) = Dn ⋅
En = −
2Zr
n a0
⋅ L2n⋅++1 ⋅
−Z r
2Zr
⋅ exp
⋅ ( −1)
n a0
n a0
m+ m
2
⋅
2 +1
⋅
4⋅π
((+
)
)
m !
m !
⋅ Pm ( θ ) ⋅ exp (i m ϕ )
Z2 ⋅ e2
1
⋅
2 ⋅ ( 4 ⋅ π ⋅ ε0 ) ⋅ a0 n2
Teilchen bei Potentialbarriere V0
Ĥ ⋅ ψ ( x ) = −
2
d2
⋅
⋅ ψ (x) = E ⋅ ψ (x)
2 ⋅ m dx 2
für x ≤ 0
Ĥ ⋅ ψ ( x ) = −
2
d2
⋅
+ V0 ⋅ ψ ( x ) = E ⋅ ψ ( x )
2 ⋅ m dx 2
für x > 0
ψ (x) =
A e inf allend ⋅ exp i ⋅ k1 ⋅ x + A reflektiert ⋅ exp - i ⋅ k1 ⋅ x
He-Atom
k1 =
A transmittiert ⋅ exp i ⋅ k 2 ⋅ x
k2 =
Allgemeiner
Ausdruck für
für Mehr-e- Systeme
für x ≥ 0
2
2 ⋅ m ⋅ ( E − V0 )
2
für x < 0
ψ Grund =
ψ angeregt =
Quantenmech. harmon. Oszillator
Ĥ = −
2⋅m
ψn ( x ) =
⋅ ∇2 +
cn
2
n2
=
Ĥn-Elektronen
2⋅m⋅E
1
2
−
2
2⋅m
⋅
n
i =1
∇i2
Kinetische Energie
aller Elektronen
n
−
i=1
Z⋅e
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r i
1 m⋅ω 2
⋅
⋅x
2
mit
cn =
− 2 ∇i2
Z⋅e
−
2⋅m
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ ri
⋅ 1s(1) 2 s(2) ⋅ α (1) β ( 2 ) − β (1) α ( 2 )
1
2
⋅ 1s(1) ψnlm ( 2 ) + ψnlm (1) 1s(2) ⋅
1
⋅ 1s(1) ψ nlm ( 2 ) + ψnlm (1) 1s(2) ⋅
1
2
⋅ α (1) β ( 2 ) − β (1) α ( 2 )
α (1) ⋅ α ( 2 )
( n!)−1 ⋅
µ⋅ω
⋅π
1
2
≈
( n!)−1 ⋅
m⋅ω
⋅π
1
2
Hermiteund hn ( x ) = sches
Polynom
1
⋅ ⋅ω
En = n +
2
ψ angeregt =
1
2
ˆ = ψ h (1) ψ + ψ h (1) ψ + ψ
E= H
ε1
PC - Quantenmechanik
n
i =1
Potential aufgrund
Anziehung von
Atomker n und
Elektronen
1
m ⋅ ω2 2
⋅ k ⋅ x2 = −
⋅ ∇2 +
⋅x
2
2⋅m
2
⋅ hn ( x ) ⋅ exp −
=
- Seite 93 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
εn
2
⋅ α (1) β ( 2 ) + β (1) α ( 2 )
ms = 0
S =0
Singlet
ms = 1;0; − 1
S =1
Triplett
β (1) ⋅ β ( 2 )
e
ψ = ε1 + εn + ( J ± K )
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rij
J±K
- Seite 94 -
by Thomi Albrecht
ZUSATZ 14: MESSUNG VON DREHIMPULS (Li und L2), SPIN (Si und S2) UND TOTALEM DREHIMPULS (Ji)
+
H2 -Ion
Ĥ = −
2
2 ⋅ mA
∇2A −
2
∇B2 +
2 ⋅ mB
Z A ⋅ ZB ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
+ −
2
2 ⋅ me
∇ 2e +
Vˆ N
TˆN
− Z A ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ re − rA
+
− ZB ⋅ e2
Die hier aufgeführten Gleichungen und Formeln sind in der eigentlichen Formelsammlung zwar bereits aufgeführt, werden aber aufgrund ihrer Wichtigkeit hier nochmals aufgeführt. Dabei handelt es sich um die Angaben bezüglich Messwerte und Wahrscheinlichkeiten beim Messen vom Drehimpuls, dem Spin und dem totalem Drehimpuls.
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ re − rB
Ĥe
2
ψ+ =
Drehimpuls (Messung von Li und L 2)
1s A + 1sB
Nice to know:
2 ⋅ (1 + S AB )
Eigenfunktionen ψnlm (welche durch Lösen der Schrödinger-Gl. erhalten wurden, d.h. unter Anwendung des Energie-Op.) sind auch Eigenzustände der Drehimpuls-Operatoren L2, Lx, Ly und Lz
Bei Abwesenheit eines externen Feldes ändert der Schwerpunktsimpuls des H-Atoms, während
dies bei Anwesenheit eines externen Feldes nicht der Fall ist (vgl. Übungsserie 11, Aufgabe 2d)
Die in den Formeln angegebene Wahrscheinlichkeiten bei der Messung gelten nur, falls nicht
durch eine gegebene Wellenfunktion andere Wahrscheinlichkeiten in Form von Koeffizienten
gegeben sind (vergleiche Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3).
Will man L2i1 ± L2i2 messen (z.B. Lx2 + Ly2) berechnet man die Messwerte von L2 L2i3 (also für
2
2
2
2
Lx + Ly rechnet man L – Lz ). Die Messwerte können einfach addiert, bzw. subtrahiert werden.
Bezüglich der möglichen Werte für Quantenzahlen siehe Seite 84
Beispiele findet man in der Test-Prüfung 2005, Aufgabe 4 (Messung von Li) und in der TestPrüfung 2004, Aufgabe 3 (Messung von L2).
ψ =
ψ− =
1sA − 1sB
2 ⋅ (1 − S AB )
E+ =
HAA + HAB
1 + S AB
E− =
HAA − HAB
1 − S AB
E± =
Messung von Li:
Lˆ i Ylm =
Messung v. Lˆ i =
⋅ m ⋅ Ylm
2
Messung von L :
Lˆ2 ψnlm =
2
(
+ 1) ⋅ ψnlm
Messung v. Lˆ2 =
2+
HeH -Ion
Ohne Born-Oppenheimer-Näherung:
2
Ĥ = −
2 ⋅ me
∇2e −
Ekin des
Elektrons
Mit Born-Oppenheimer-Näherung:
2
Ĥ = −
2 ⋅ me
2
2 ⋅ mH
∇H2 −
Ekin des
H−Kerns
∇2e
−
Ekin des
Elektrons
2
2 ⋅ mHe
2
∇He
−
Ekin des
He−Kerns
e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rH
Epot des
Elektrons
im Feld des
H−Kerns
−
Epot des Elektron
im Feld des H−Kerns
e2
2 ⋅ e2
2 ⋅ e2
−
+
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rH
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rHe
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R
Epot des
Elektrons
im Feld des
He −Kerns
Epot aus
Abstossung
der beiden
Atomkerne
Wasserstoff-ähnliche Atome
Nice to know:
2 ⋅ e2
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ rHe
Epot des Elektron
im Feld des He−Kerns
Messung von Si:
1. Eigenfunktion = ψ1 =
⋅ Sz
1
0
1. Eigenwert = E1 = µB ⋅ B z =
⋅
γ ⋅ B0
=
2
⋅
Ω
2
und
0
2. Eigenfunktion = ψ 2 =
1
Messung mit Sˆ i =
und
2. Eigenwert = E2 = −µB ⋅ Bz = − ⋅
Wasserstoff-ähnliche Atome
Nice to know:
γ ⋅ B0
Ω
=− ⋅
2
2
Messung von Ji:
PC - Quantenmechanik
- Seite 95 -
by Thomi Albrecht
PC - Quantenmechanik
2
⋅ ⋅ ( + 1)
W 'keit für jeden Messwert = ( Anz. -Werte )
−1
Beachte, dass bei Elektronen stets gilt ms = ± ½ und s = ½
Die in den Formeln angegebene Wahrscheinlichkeiten bei der Messung von Li gelten nur, falls
nicht durch eine gegebene Wellenfunktion andere Wahrscheinlichkeiten in Form von Koeffizienten gegeben sind (vergleiche Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3).
2
2
2
2
2
2
Will man S i1 ± S i2 messen (z.B. Sx + Sy ) berechnet man die Messwerte von S
S i3 (also für
Sx2 + Sy2 rechnet man S2 – Sz2). Die Messwerte können einfach addiert, bzw. subtrahiert werden.
Bezüglich der möglichen Werte für Quantenzahlen siehe Seite 84.
Beispiele findet man in der Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3 und der Prüfung Herbst 2004, Aufg. 5
Elektron im B-Feld
Ĥ = −B ⋅ µs = −B ⋅ −
=
Messwert
−1
2
Messung mit Sˆ 2 =
1 0
= −γ ⋅ B0 ⋅ Sz = −γ ⋅ B0 ⋅ ⋅
2 0 −1
⋅m
W 'keit für jeden Messwert = ( Anz. m-Werte )
Messung :: Spin (Messung von Si und S2)
Messung von S2:
2 ⋅ µB
=
Messwert
= ms ⋅
Messwert
= ±1 2⋅
W 'keit für jeden Messwert = ( Anzahl ms -Werte )
=
Messwert
2
⋅ s ⋅ ( s + 1) =
2
−1
= 2−1 = 1 2
(
⋅ 1 2 ⋅ (1 2 + 1) = 3 ⋅
W 'keit für jeden Messwert = ( Anzahl s - Werte )
−1
−1
=1
2
)
4
=1
Messung :: Totaler Drehimpuls J (Messung von Ji)
Beachte, dass bei Elektronen stets gilt ms = ± ½ und s = ½
Die in den Formeln angegebene Wahrscheinlichkeiten bei der Messung von Ji gelten nur, falls
nicht durch eine gegebene Wellenfunktion andere Wahrscheinlichkeiten in Form von Koeffizienten gegeben sind.
Neben der unten aufgeführten Addition ist natürlich auch die Subtraktion möglich!
Bezüglich der möglichen Werte für Quantenzahlen siehe Seite 84.
Ein Beispiel findet man in der Test-Prüfung 2004, Aufgabe 3
Messung mit Jˆ i = Li + Si =
Messwert
= ( m + ms ) ⋅
W 'keit für jeden Messwert = ( Anz. Komb. von m & ms -Werten )
- Seite 96 -
−1
by Thomi Albrecht
ZUSATZ 15: PERIODENSYSTEM
PC - Quantenmechanik
- Seite 97 -
by Thomi Albrecht
