5 Analytische Geometrie

I5.1
Analytische Geometrie der Ebene
A 41
Aus Gl. (57) folgt
2
3 2
3
3 2
F0 ðuÞ T 0 0 0 0
2u3 3u2 þ 1
6 F ðuÞ 7 6 1 1 0 0 7 6 2u3 þ 3u2
7
6 1
7 6
7
7 6
xðu; uÞ ¼ 6
76
7
7 6
4 G0 ðuÞ 5 4 1 1 0 0 5 4 u3 2u2 þ u 5
3
2
1 1 0 0
G1 ðuÞ
u u
2
3T 2 3
0
2u3 3 u2 þ 1
6 2u3 þ 3 u2
7 617
6
7 6 7
¼6
7 6 7 ¼ u:
4 u3 2 u2 þ u 5 4 1 5
u3 u2
1
Analog ergeben sich
yðu; uÞ ¼ 2v3 þ 3v2 þ u
und
zðu; uÞ ¼ u3 3u2 þ u þ 5u3 10u2 þ u þ 9:
Bild 33. Bikubische Coonssche Flche Pðu; uÞ ¼ ðxðu; uÞ; yðu; uÞ;
zðu; uÞÞ
Die Randkurven sind
zðu; 0Þ ¼ u3 3u2 þ u þ 9;
Pð0;0Þ ¼ ð0; 0; 9Þ; Pu ð0;0Þ ¼ ð1; 0; 1Þ; Pv ð0;0Þ ¼ ð0; 1; 1Þ
Pð0;1Þ ¼ ð0; 2; 5Þ; Pu ð0;1Þ ¼ ð1; 0; 1Þ; Pv ð0;1Þ ¼ ð0;1; 4Þ
Pð1;0Þ ¼ ð1; 0; 8Þ; Pu ð1;0Þ ¼ ð1;0; 2Þ; Pv ð1;0Þ ¼ ð0; 1; 1Þ
Pð1;1Þ ¼ ð1; 2; 4Þ; Pu ð1;1Þ ¼ ð1;0; 2Þ; Pv ð1;1Þ ¼ ð0;1; 4Þ
zðu; 1Þ ¼ u3 3u2 þ u þ 5;
zð0; uÞ ¼ 5u3 10u2 þ u þ 9;
zð1; uÞ ¼ 5u3 10u2 þ u þ 8:
und verschwindendem Twistvektor Puv ð0; 0; 0Þ.
In entsprechender Weise knnen auch Bezier- und B-spline-Flchen
entwickelt werden.
5 Analytische Geometrie
ben Symbol bezeichnet.
U. Jarecki, Berlin
5.1.2 Strecke
5.1 Analytische Geometrie der Ebene
5.1.1 Das kartesische Koordinatensystem
Zugrunde gelegt wird ein orthogonales kartesisches Koordinatensystem (O; e1 ; e2 ) in der positiv orientierten Ebene
(Bild 1). In einem Punkt O (Ursprung, Nullpunkt oder Anfangspunkt) sind zwei Vektoren e1 und e2 der Lnge 1 (Normiertheit) senkrecht zueinander angeheftet (Orthogonalitt).
e1 wird durch eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn um
p=2 mit e2 zur Deckung gebracht (positive Orientierung). Die
durch O verlaufenden und entsprechend e1 und e2 orientierten
Geraden heißen Koordinatenachsen: die x- oder AbszissenAchse und die y- oder Ordinaten-Achse.
Jeder Vektor a der Ebene lßt sich eindeutig als Linearkombination der Vektoren e1 und e2 darstellen: a ¼ ax e1 þ
ay e2 ¼ ðax ; ay Þ, wobei ax und ay seine Koordinaten sind.
Durch die Auszeichnung eines Punkts O als Koordinatenursprung kann außerdem jedem Punkt P der Ebene (Bild 1) umkehrbar eindeutig ein geordnetes Zahlenpaar (x, y) bzw. ein
!
Ortsvektor r ¼ OP ¼ xe1 þ ye2 mit den Punktkoordinaten x
und y zugeordnet werden, wobei x Abszisse und y Ordinate
von P bzw. r heißen. Punkt und Ortsvektor werden im folgenden als synonyme Begriffe verwendet und hufig mit demsel-
Bild 1. Ebenes kartesisches Koordinatensystem
Die Punkte r1 ¼ ðx1 ; y1 Þ und r2 ¼ ðx2 ; y2 Þ seien Anfangs- und
!
Endpunkt der (gerichteten) Strecke P1 P2 (Bild 2 a) Ein
!
Punkt r ¼ ðx; yÞ liegt genau dann auf P1 P2 , wenn fr t 2 [0, 1]
gilt r ¼ r1 þ tðr2 r1 Þ oder x ¼ x1 þ tðx2 x1 Þ und
y ¼ y1 þ tðy2 y1 Þ: Wird t ¼ t2 und 1 t ¼ t1 gesetzt, so lassen sich diese Gleichungen auch schreiben
x ¼ t1 x1 þ t2 x2
t þt ¼1
r ¼ t1 r1 þ t2 r2 oder
fr 1 2
y ¼ t1 y1 þ t2 y2
0 % t1 ; t2
Lnge. Sie betrgt
!
jP1 P2 j ¼ jr2 r1 j ¼
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 ¼ l:
Richtung (Bild 2 a). Sie ist bestimmt durch den orientierten
!
Winkel a ¼ \ðe1 ; P1 P2 Þ, um den e1 gedreht werden muß, damit er die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn
!
wie P1 P2 hat. a ist bis auf Vielfache von p bestimmt durch
cos a ¼ ðx2 x1 Þ=l; sin a ¼ ðy2 y1 Þ=l:
!
Bild 2. Strecke P1 P2 . a Darstellung; b Teilung
A
A 42
A
Mathematik – 5 Analytische Geometrie
Im allgemeinen wird derjenige Winkel a gewhlt, dessen Be!
trag den kleinsten Wert hat. Die Steigung m der Strecke P1 P2
ist:
tan a ¼ m ¼ ðy2 y1 Þ=ðx2 x1 Þ; wenn x1 6¼ x2 :
Teilung (Bild 2 b). Ein Punkt P mit dem Ortsvektor r ¼ ðx; yÞ
!
teilt die Strecke P1 P2 im Verhltnis l mit 1+l 6¼ 0, wenn gilt
r r1 ¼ lðr2 rÞ bzw: r ¼ ðr1 þ lr2 Þ=ð1 þ lÞ oder
x1 þ lx2
y1 þ ly2
x¼
und y ¼
:
1þl
1þl
Der Punkt P liegt fr l ^ 0 auf und fr l<0 außerhalb der
Strecke (innere und ußere Teilung). Fr l=1 ist P Mittel!
punkt M der Strecke P1 P2 .
rM ¼ ðr1 þ r2 Þ=2 oder
xM ¼ ðx1 þ x2 Þ=2 und yM ¼ ðy1 þ y2 Þ=2:
5.1.3 Dreieck
Die Eckpunkte (Bild 3) eines Dreiecks 4ðP1 ; P2 ; P3 Þ seien
r1 ; r2 ; r3 . Ein Punkt r ist genau dann ein Punkt dieses Dreiecks, wenn
r ¼ t1 r1 þ t2 r2 þ t3 r3 oder
x ¼ t1 x1 þ t2 x2 þ t3 x3
t1 þ t2 þ t3 ¼ 1
fr
y ¼ t1 y1 þ t2 y2 þ t3 y3
0 % t1 ; t2 ; t3 :
Fr t1 ; t2 ; t3 > 0 ist r innerer Punkt des Dreiecks. Fr t1 ¼ 0 ist
!
r Randpunkt und liegt auf der Dreieckseite P2 P3 .
Der Mittelpunkt M und der Flcheninhalt A des Dreiecks sind
rM ¼ ðr1 þ r2 þ r3 Þ=3 oder
xM ¼ ðx1 þ x2 þ x3 Þ=3 und yM ¼ ðy1 þ y2 þ y3 Þ=3;
x1
x2
x3 x2 x1
x
x
3
1
¼ ð1=2Þ y1
A ¼ ð1=2Þ y2
y3 y2 y1
y3 y1 1
1
1
¼ ð1=2Þ ½x1 ðy2 y3 Þ þ x2 ðy3 y1 Þ þ x3 ðy1 y2 Þ:
Wird der Rand des Dreiecks 4ðP1 ; P2 ; P3 Þ in der Punktfolge
P1 ; P2 ; P3 durchlaufen, so ist der Flcheninhalt positiv, wenn
die Dreieckflche wie in Bild 3 zur Linken liegt, sonst negativ.
Bild 3. Dreieck mit Mittelpunkt M
Bild 4. Orientierter Winkel f
5.1.5 Gerade
Punktrichtungs- und Zweipunktegleichung. Eine Gerade g
(Bild 5 a) sei bestimmt durch einen ihrer Punkte r1 und ihren
Richtungsvektor u oder zwei ihrer Punkte r1 und r2 . Fr jeden
Punkt r von g gilt dann mit einem Parameter t 2 R
r ¼ r1 þ tu oder x ¼ x1 þ tux und y ¼ y1 þ tuy bzw:
r ¼ r1 þ tðr2 r1 Þ oder x ¼ x1 þ tðx2 x1 Þ und
y ¼ y1 þ tðy2 y1 Þ:
Parameterfreie Darstellung: Elimination von t ergibt
ðx x1 Þuy ðy y1 Þux ¼ 0 bzw:
x1
ðx x1 Þðy2 y1 Þ ðy y1 Þðx2 x1 Þ ¼ y1
1
x2
y2
1
x y ¼ 0:
1
Fr ux 6¼ 0 bzw. x2 x1 6¼ 0 liegt Gerade g nicht parallel zur
y-Achse, und es ergeben sich hieraus die expliziten Darstellungen
y2 y1
y ¼ y1 þ mðx x1 Þ bzw: y ¼ y1 þ
ðx x1 Þ:
x2 x1
uy =ux ¼ ðy2 y1 Þ=ðx2 x1 Þ ¼ m ¼ tan j heißt Steigung der
Geraden g, wobei j mit p=2 < j < p=2 den Steigungswinkel von g bedeutet.
Sonderflle: Hauptgleichung y=mx+ b. Gerade mit der
Steigung m durch (O, b); b Abschnitt auf der y-Achse.
Abschnittsgleichung x/a+y/b=1. Gerade durch (a, O) und
(O, b); a und b Abschnitte auf der x- bzw. y-Achse.
Hessesche Normalform (Bild 5 b). Eine Gerade g sei in der
Punktrichtungsdarstellung gegeben. g: r ¼ r1 þ tu; t 2 R. Normal- oder Stellungsvektor n0 von g ist ein Einheitsvektor, der
orthogonal zu u ist und der vom Ursprung O aus zur Geraden
g weist (verluft g durch O, dann ist der Richtungssinn beliebig whlbar). Mit dem orientierten Winkel j ¼ \ðe1 ; n0 Þ gilt
dann n0 ¼ e1 cos j þ e2 sin j. Skalare Multiplikation der
Punktrichtungsgleichung von g mit n0 fhrt auf die Hessesche
Normalform von g
rn0 d ¼ 0 oder x cos j þ y sin j d ¼ 0;
5.1.4 Winkel
Sind a ¼ ðax ; ay Þ und b ¼ ðbx ; by Þ zwei Vektoren, so ist der
orientierte Winkel j ¼ \ða; bÞ durch den Drehwinkel erklrt,
um den der Vektor a gedreht werden muß, damit er die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn wie b hat
(Bild 4). Er ist bis auf Vielfache von 2p durch die beiden
Gleichungen
ax bx þ ay by
cos j ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃqﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ und
a2x þ a2y b2x þ b2y
wobei d ¼ r1 n0 ^ 0 den Abstand des Ursprungs O von g angibt.
ax by ay bx
sin j ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃqﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a2x þ a2y b2x þ b2y
bestimmt. Im allgemeinen wird derjenige Winkel gewhlt,
dessen Betrag den kleinsten Wert hat, d.h. p < j % p.
Bild 5. Gerade. a allgemeine Form; b Hessesche Normalform
I5.1
Analytische Geometrie der Ebene
A 43
Allgemeine Geradengleichung. Jede Geradengleichung lßt
sich auf eine lineare Gleichung der Form
A
Ax þ Bx þ C ¼ 0 mit A2 þ B2 > 0
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
zurckfhren. Nach Division durch A2 þ B2 ergibt sich
die Hessesche Normalform, wobei
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos j ¼ A=ð A2 þ B2 Þ; sin j ¼ B=ð A2 þ B2 Þ;
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
d ¼ C=ð A2 þ B2 Þ
sowie „+“ fr C<0 und „–“ fr C>0 gilt, so daß d>0. Fr
C=0 verluft Gerade g durch den Ursprung O.
Abstand Punkt – Gerade. Er wird zweckmßig mit Hilfe
der Hesseschen Normalform bestimmt. g: rn0 d ¼ 0 oder
x cos j þ y sin j d ¼ 0: Fr einen beliebigen Punkt P0 mit
dem Ortsvektor r0 ¼ ðx0 ; y0 Þ ist sein Abstand a von g gegeben
mit
a ¼ jr0 n0 dj oder jx0 cos j þ y0 sin j dj:
Falls g nicht durch den Ursprung O verluft, gilt außerdem:
fr r0 n0 d > 0 liegen P0 und O auf verschiedenen
Seiten von g;
fr r0 n0 d < 0 liegen P0 und O auf derselben
Seite von g;
fr r0 n0 d ¼ 0 liegt P0 auf g:
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Beispiel: g: 3x+4y-10=0 und r0 ¼ ð4; 3Þ, so daß A2 þ B2 ¼ 5: –
Hessesche Normalform von g ist (3/5)x+(4/5)y-2=0, so daß
r0 n0 d ¼ ð3=5Þ 4 þ ð4=5Þ 3 2 ¼ 2;8: P0 hat von g den Abstand
2,8. P0 und O liegen auf verschiedenen Seiten von g.
Lagebeziehung zweier Geraden. Sind g1 und g2 zwei einander schneidende Geraden, so ist ihr Schnittwinkel
g ¼ \ðg1 ; g2 Þ derjenige (orientierte) Winkel, um den die Gerade g1 auf dem krzesten Weg gedreht werden muß, damit
sie mit g2 zur Deckung kommt. Dieser Winkel ist fr
p=2 < g < p=2 eindeutig durch seinen Tangens bestimmt
(Tab. 1).
Bild 6. Parallelverschiebung
tem ðO; e1 ; e2 Þ in das Koordinatensystem ðO0 ; e1 ; e2 ) bergefhrt wird. Fr einen Punkt P in der Ebene gilt dann
!
! !0 !
OP ¼ OO þ O0 P; wobei OO0 ¼ u der Verschiebungsvektor
!
!
ist.
Mit
OP ¼ xe1 þ ye2 ; OO0 ¼ u ¼ ae1 þ be2
und
!
0
0
0
O P ¼ x e1 þ y e2 lautet dann die Koordinatendarstellung der
Parallelverschiebung
x ¼ x0 þ a; y ¼ y0 þ b oder
ðx; yÞ ¼ ðx0 ; y0 Þ þ ða; bÞ ¼ ðx0 þ a; y0 þ bÞ:
Drehung (Bild 7). Das Koordinatensystem ðO; e1 ; e2 Þ wird
durch eine Drehung um den Winkel a ¼ \ðe1 ; e01 Þ in das Koordinatensystem
ðO; e01 ; e02 Þ
bergefhrt.
Dann
ist
e01 ¼ cos ae1 þ sin ae2 und e02 ¼ sin ae1 þ cos ae2 . Fr einen
!
beliebigen Punkt P=(x, y ) gilt OP ¼ xe1 þ ye2 ¼ x0 e01 þ y0 e02 .
Hieraus ergibt sich die Koordinatendarstellung der Drehung
um a bzw. ihre Matrizenform
x ¼ x0 cos a y0 sin a und
y ¼ x0 sin a þ y0 cos a bzw:
0 x
x
cos a sin a
¼
; wobei
y
sin a
cos a
y0
cos a sin a ¼ 1:
sin a
cos a Tabelle 1. Lagebeziehungen zweier Geraden in der Ebene
Bild 7. Drehung
5.1.7 Kegelschnitte
Grundbegriffe und allgemeine Eigenschaften
Schnittpunkt zweier Geraden. Der Schnittpunkt S ¼ ðxS ; yS Þ
zweier nichtparalleler Geraden in der allgemeinen Darstellung g1 : A1 x þ B1 y þ C1 ¼ 0 und g2 : A2 x þ B2 y þ C2 ¼ 0 mit
A1 B2 A2 B1 6¼ 0 ist bestimmt durch die Lsung dieses linearen Gleichungssystems, die nach der Cramer-Regel (s.
A 3.2.3) lautet
C1 B1 A1
:
xS ¼ C2 B2 A2
A1 C1 A1
:
yS ¼ A2 C2 A2
B1 und
B2 B1 :
B 2
5.1.6 Koordinatentransformationen
Parallelverschiebung (Bild 6). Sie ist gekennzeichnet durch
einen Verschiebungsvektor u, durch den das Koordinatensys-
Wird ein Kreiskegel von einer Ebene geschnitten, so werden
die Schnittkurven als Kegelschnitte bezeichnet.
Numerische Exzentrizitt. Sie ist das bei jedem echten Kegelschnitt konstante Verhltnis e= r/d. Hierbei sind r und d
die Abstnde (Bild 8 a) eines seiner Punkte vom Brennpunkt
F bzw. von der Leitlinie l. Damit ist zugleich eine Konstruktionsvorschrift gegeben: In den Abstnden d1 ; d2 ; d3 . . . werden Parallelen zur Leitlinie l gezogen, und um den Brennpunkt F werden Kreise mit den Radien ed1 ; ed2 ; ed3 . . . gezeichnet; ihre Schnittpunkte mit den entsprechenden Parallelen sind Punkte des Kegelschnitts. Die zur Leitlinie l senkrechte Gerade durch F heißt Hauptachse. Die Lnge der
Sehne durch den Brennpunkt F und senkrecht zur Hauptachse
heißt der Parameter 2p. F hat dann von l den Abstand p/e.
Polarkoordinaten (Bild 8 a). Wenn der Pol mit F zusammenfllt und die Polarachse mit der Hauptachse gleichgerichtet ist, dann gilt
A 44
Mathematik – 5 Analytische Geometrie
A
Bild 9. Kreis. a kartesische, b Polarkoordinaten; c Spiegelung; d Pol
und Polare
Bild 8. Kegelschnitte. a Polarkoordinaten; b gemeinsamer Brennpunkt; c gemeinsamer Scheitelpunkt
p
r¼
;
1 e cos j
e ¼ 0 KreisKreis; 0 < e < 1 Ellipse;
e ¼ 1 ParabelParabel; e > 1 Hyperbel:
Im Bild 8 b sind fr einen Brennpunkt F und eine Leitlinie l
jeweils eine Ellipse, eine Parabel und eine Hyperbel dargestellt. Bei einem Kreis (e=0) liegt die Leitlinie im Unendlichen, und der Brennpunkt F ist sein Mittelpunkt.
Scheitelpunktgleichung (Bild 8 c). In einem kartesischen
Koordinatensystem, dessen Ursprung mit dem linken Scheitelpunkt und dessen x-Achse mit der Hauptachse der Kegelschnitte zusammenfllt, lautet sie
y2 ¼ 2px x2 ð1 e2 Þ
p
mit dem Brennpunkt F ¼
;0 ;
1þe
p
mit der Leitliniex ¼ :
eð1 þ eÞ
hg mit dem Anfangspunkt M liegen und fr ihre Abstnde r
und r von M gilt: rr ¼ R2 .
Polare des Poles P0 bezglich des Kreises (Bild 9 d) ist eine
0 des Poles P0 verluft
Gerade, die durch den Spiegelpunkt P
0 mit dem Anund senkrecht auf der Halbgeraden hg durch P
fangspunkt M steht. Liegt der Pol P0 außerhalb des Kreises
wie auf Bild 9 d, so sind die Schnittpunkte P1 und P2 der Polaren mit dem Kreis die Berhrungspunkte der Kreistangenten
durch P0 . Mit der Kreisgleichung ðx aÞ2 þ ðy bÞ2 ¼ R2
lautet die Gleichung der Polaren des Punkts P0 ðx0 ; y0 Þ
ðx aÞðx0 aÞ þ ðy bÞðy0 bÞ ¼ R2 :
Parabel
Sie ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, deren
Abstnde von einem Punkt F, dem Brennpunkt, und einer Geraden l, der Leitlinie, gleich sind (e=1). Ihr Halbparameter p
ist der Abstand des Brennpunkts F von l.
Kreis
Er ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von
einem Punkt M, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand R haben. R heißt Radius des Kreises.
Gleichungen. Fr den Mittelpunkt M und den Radius R gelten:
Kartesische Koordinaten (Bild 9 a)
Allgemeine Form mit Mða; bÞ: ðx aÞ2 þ ðy bÞ2 ¼ R2 ;
Scheitelpunktsform mit MðR; 0Þ: x2 2Rx þ y2 ¼ 0;
Mittelpunktsform mit Mð0; 0Þ: x2 þ y2 ¼ R2 :
Polarkoordinaten (Bild 9 b)
Allgemeine Form mit Mðr0 ; j0 Þ :
r 2 2rr0 cosðj j0 Þ þ r02 ¼ R2 ,
Scheitelpunktsform mit M(R, 0):
r ¼ 2R cos j; j 2 ðp=2; p=2Þ:
Tangente und Normale (t und n; Bild 9 c). Fr den Kreis
k: ðx aÞ2 þ ðy bÞ2 ¼ R2 mit dem Kreispunkt P0 ðx0 ; y0 Þ gilt
fr t: ðx aÞðx0 aÞ þ ðy bÞðy0 bÞ ¼ R2 ;
fr n: ðy y0 Þðx0 aÞ ðx x0 Þðy0 bÞ ¼ 0:
Spiegelung an einem Kreis (Bild 9 c). Zwei Punkte P0 und
0 der Ebene heißen Spiegelpunkte des Kreises mit dem MitP
telpunkt M und dem Radius R, wenn sie auf der Halbgeraden
Bild 10. Parabel. a Konstruktion; b Koordinaten; c Tangente t und
Normale n
I5.1
Konstruktion. Fr die Parabelpunkte und ihre Tangenten
(Bild 10 a) gilt:
In einem Punkt A auf l wird das Lot und auf der Verbindungsstrecke AF die Mittelsenkrechte errichtet, die das Lot in einem Parabelpunkt P schneidet und zugleich Tangente in P ist.
Hieraus geht hervor, daß jeder parallel zur Hauptachse einfallende Strahl nach Spiegelung an der Parabel durch den Brennpunkt F geht.
Gleichungen (Bild 10 b). In Polar- bzw. kartesischen Koordinaten ist r ¼ p=ð1 cos jÞ bzw. y2 ¼ 2px mit Brennpunkt F:
(p/2, 0) und Leitlinie l: x=– p/2.
Tangente und Normale (t und n; Bild 10 c). In der Scheitelpunktdarstellung y2 ¼ 2px mit dem Parabelpunkt P0 ðx0 ; y0 Þ
gilt fr t: yy0 ¼ pðx þ x0 Þ und fr n: pðy y0 Þ þ y0 ðx x0 Þ
¼ 0. Die Tangente t schneidet die y-Achse bei y0 =2 und die xAchse bei x0 . Die Lnge der Subnormalen SN ist stets p.
Ellipse
Konstruktion. Fr die Ellipse und ihre Tangenten (Bild 11 a)
wird mit dem Radius 2 a um F1 ein Kreis, der Leitkreis, gezeichnet und einer seiner Punkte Q mit F1 und F2 verbunden.
Die Mittelsenkrechte der Strecke QF2 schneidet die Strecke
QF1 im Ellipsenpunkt P und ist zugleich Tangente in P. Hiernach geht jeder vom Brennpunkt F1 ausgehende Strahl nach
der Spiegelung an der Ellipse durch den anderen Brennpunkt
F2 .
Charakteristische Grßen (Bild 11 b). Diese sind die lineare Exzentrizitt e, die numerische Exzentrizitt e= e/a<1,
die große und die kleine Halbachse a und b sowie der Halbparameter p ¼ b2 =a. Der Brennpunkt F1 bzw. der Mittelpunkt
M hat von der Leitlinie l den Abstand p=e ¼ b2 =e bzw.
a=e ¼ a2 =e.
Gleichungen (Bild 11 c). In Polarkoordinaten (Pol fllt mit
F1 zusammen, und die Polachse geht durch F2 ) ist
p
a 2 e2
; e ¼ e=a < 1:
¼
1 e cos j a e cos j
Kartesische Koordinaten:
Scheitelpunkt S liegt im Ursprung
y2 ¼ 2px x2 ð1 e2 Þ ¼ 2
A 45
x2 y2
b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
þ ¼ 1 oder y ¼ a2 x2 :
a2 b2
a
Tangente und Normale (t und n ; Bild 11 b). In der Mittelpunktdarstellung mit dem Ellipsenpunkt P0 ðx0 ; y0 Þ gilt
xx0 yy0
fr t: 2 þ 2 ¼ 1;
a
b
ðx x0 Þy0 ðy y0 Þx0
fr n:
¼ 0:
b2
a2
Hyperbel
Sie ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene mit konstanter Differenz ihrer Abstnde von zwei Brennpunkten F1
und F2 . Der Abstand der Brennpunkte wird mit 2 e und die
Abstandsdifferenz fr einen Hyperbelpunkt P mit 2 a bezeichnet.
F1 F2 ¼ 2e; F1 P F2 P ¼ 2a; wobei e > a:
Sie ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene
(Bild 11 a) mit konstanter Summe ihrer Abstnde von zwei
Punkten F1 und F2 , den Brennpunkten. Der Abstand der beiden Brennpunkte wird mit 2 e und die Abstandssumme fr
die Ellipsenpunkte P mit 2 a bezeichnet: F1 F2 ¼ 2 e und
F1 P þ F2 P ¼ 2 a, wobei e<a.
r¼
Analytische Geometrie der Ebene
b2
b2
x 2 x2 oder
a
a
ðx aÞ2 y2
þ 2 ¼ 1;
a2
b
Mittelpunkt M liegt im Ursprung
Bild 11. Ellipse. a Konstruktion; b Grßen; c Koordinaten
Konstruktion (Bild 12 a). Hierzu wird um F1 mit dem Radius 2 a ein Kreis, der Leitkreis, gezeichnet. Ein Punkt Q auf
dem Leitkreis wird mit F2 verbunden. Die Mittelsenkrechte
auf QF2 schneidet die verlngerte Strecke F1 Q in dem Hyperbelpunkt P und ist zugleich Tangente in P. Fr diesen Punkt
P ist F1 P F2 P ¼ 2 a: Hieraus folgt, daß jeder vom Brennpunkt F1 ausgehende Strahl nach seiner Spiegelung an der
Hyperbel mit seiner rckwrtigen Verlngerung durch den
zweiten Brennpunkt F2 verluft.
Charakteristische Grßen (Bild 12 b). Diese sind die lineare Exzentrizitt e, die numerische Exzentrizitt e= e/a>1,
die reelle Halbachse a und die imaginre Halbachse
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
b ¼ e2 a2 sowie der Halbparameter p ¼ b2 =a. Der Brennpunkt F2 bzw. der Mittelpunkt M hat von der Leitlinie l den
Abstand p=e ¼ b2 =e bzw. a=e ¼ a2 =e. Die Geraden durch M,
die bezglich der Hauptachse die Steigung b/ a haben, sind
Asymptoten der Hyperbel.
Gleichungen. In Polarkoordinaten (Pol fllt mit F zusammen, und die Polarachse ist mit der Hauptachse gleichgerichtet; Bild 12 c) ist
r¼
p
e2 a2
e
; e ¼ > 1:
¼
1 e cos j a e cos j
a
Kartesische Koordinaten. Die x-Achse mit der Orientierung
von links nach rechts geht durch F1 und F2 .
Scheitelpunkt S, Bild 12 c liegt im Ursprung
y2 ¼ 2px x2 ð1 e2 Þ oder
ðx þ aÞ2 y2
2 ¼ 1;
a2
b
Mittelpunkt M, Bild 12 d liegt im Ursprung
x2 y2
b pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ 1 oder y ¼ x2 a 2 :
a2 b2
a
A
A 46
Mathematik – 5 Analytische Geometrie
A
Bild 12. Hyperbel. a Konstruktion; b Grßen; c Koordinaten; d Tangente t und Normale n
Tangente und Normale (t und n ; Bild 12 d). In der Mittelpunktdarstellung mit dem Hyperbelpunkt P0 ðx0 ; y0 Þ gilt
x0 x y0 y
fr t: 2 2 ¼ 1;
a
b
ðx x0 Þy0 ðy y0 Þx0
þ
¼ 0:
fr n:
2
b
a2
5.1.8 Allgemeine Kegelschnittgleichung
Jeder Kegelschnitt ist eine Kurve 2. Ordnung, d.h., daß er in
einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung
2. Grades darstellbar ist:
Fðx; yÞ ¼ Ax2 þ 2Bxy þ Cy2 þ 2Dx þ 2Ey þ F ¼ 0;
A2 þ B2 þ C2 > 0:
A
B D
A
D ¼ B C E ; d ¼ B
D E
F
B :
C
ð1Þ
Die Diskriminante D der Gleichung und die Diskriminante d
der quadratischen Glieder bestimmen im wesentlichen die Art
des Kegelschnitts (Tab. 2).
Transformation der allgemeinen Kegelschnittgleichung
auf Hauptachsen
Drehung des Koordinatensystems. Sie ist nur dann erforderlich, wenn in Gl. (1) B 6¼ 0. Ohne Einschrnkung wird vorausgesetzt, daß B>0 (anderenfalls Multiplikation der Gleichung
mit -1). Durch eine Drehung um den Winkel a gemß den
Transformationsgleichungen x ¼ x0 cos a y0 sin a, y ¼ x0 sin a
þy0 cos a geht Gl. (1) ber in
Tabelle 2. Kegelschnitte
A0 x02 þ 2B0 x0 y0 þ C0 y02 þ 2Dx0 þ 2Ey0 þ F 0 ¼ 0;
ð2Þ
wobei die Koeffizienten mit einem Strich durch die Matrizengleichung
0 0 0
1
A B D
B 0 0 0C
@B C E A ¼
D E0 F 0
0
10
10
1
cos a sin a 0
A B D
cos a sin a 0
B
CB
CB
C
d @ sin a cos a 0 A@ B C E A@ sin a cos a 0 A
0
0 1
D E F
0
0
1
bestimmt sind. Hierbei ist
0 0
A B D A B D
0 0 0 B C E ¼ B C E ¼ D;
D E0 F 0 D E F 0 0 A B A B B0 C0 ¼ B C ¼ d;
A0 þ C0 ¼ A þ C; F 0 ¼ F:
Der Drehwinkel a wird nun so bestimmt, daß
B0 ¼ ðC AÞ sin a cos a þ Bðcos2 a sin2 aÞ
¼ ð1=2ÞðC AÞ sin 2a þ B cos 2a ¼ 0
oder
ðA CÞ sin 2a ¼ 2B cos 2a;
woraus folgt
tan 2a ¼ 2B=ðA CÞ fr A 6¼ C oder
cos 2a ¼ 0 fr A ¼ C:
Hieraus ist a bis auf ganzzahlige Vielfache von p=2 bestimmt. Mit a 2 ð0; p=2Þ gilt
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
A0 ¼ ð1=2ÞðA þ CÞ þ ð1=2Þ ðA CÞ2 þ 4B2 ;
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
C0 ¼ ð1=2ÞðA þ CÞ ð1=2Þ ðA CÞ2 þ 4B2 oder
A0 þ C0 ¼ A þ C;
A0 C 0 ¼ AC B2 ¼ d:
A0 und C0 sind damit Lsungen der quadratischen Gleichung
I5.2
Al
B
Analytische Geometrie des Raumes
A 47
B
¼ l2 ðA þ CÞl þ AC B2 ¼ 0:
C l
A
0
Wegen B ¼ 0 lautet dann Gl. (2) im gedrehten Koordinatensystem
A0 x02 þ C0 y02 þ 2Dx0 þ 2E0 y0 þ F 0 ¼ 0:
ð3Þ
Parallelverschiebung. Gleichung (3) lßt sich durch eine
Parallelverschiebung des Koordinatensystems weiter vereinfachen. Hierbei sind im wesentlichen die Flle d 6¼ 0 und d=0
zu unterscheiden.
Fall d 6¼ 0
A B ¼ A0 C0 6¼ 0:
d ¼ B C
Wegen A0 6¼ 0 und C0 6¼ 0 kann Gl. (3) durch quadratische Ergnzung auf die Form gebracht werden:
A0 ðx0 þ D=A0 Þ2 þ C0 ðy0 þ E0 =C0 Þ2 þ D=d ¼ 0:
0
0
0
ð4Þ
0
0
Die Parallelverschiebung x ¼ x þ D=A , h ¼ y þ E =C liefert
die Hauptachsengleichung einer Hyperbel oder Ellipse
A0 x2 þ C0 h2 þ D=d ¼ 0
ð5Þ
(D=0: ausgeartete Hyperbel oder Ellipse).
Fall d ¼ 0
A
d ¼ B
Bild 13. Rumliches kartesisches Koordinatensystem
Beispiel 2: x2 4xy þ 4y2 6x þ 12y þ 8 ¼ 0: – Wegen d=0 und
D=0 ist der Kegelschnitt eine ausgeartete Parabel. Es ist tan 2a ¼ 4=3
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
oder cos a ¼ 2= 5 und sin a ¼ 1= 5: Mit den Transformationsgleichungen fr die Drehung,
pﬃﬃﬃ
x ¼ x0 cos a y0 sin a ¼ 1= 5ð2x0 y0 Þ;
pﬃﬃﬃ
0
0
y ¼ x sin a þ y cos a ¼ 1= 5ðx0 þ 2y0 Þ;
lautet die Kegelschnittgleichung im gedrehten System
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
5y02 þ 6 5y0 þ 8 ¼ 0 oder ðy0 þ 3= 5Þ2 ¼ 1=5:
pﬃﬃﬃ
Die Parallelverschiebung h ¼ y0 þ 3= 5; x ¼ x0 liefert die Hauptachpﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
sengleichung h ¼ 1=5:
Die ausgeartete Parabel ist also ein Paar von reellen parallelen
Geraden.
B ¼ A0 C0 ¼ 0:
C
5.2 Analytische Geometrie des Raumes
Es sei C 0 ¼ 0 und A0 6¼ 0 (der andere mgliche Fall, A0 ¼ 0
und C0 6¼ 0, lßt sich entsprechend behandeln). Dann ist
A
B D A0
0
D
D¼B C E ¼ 0
0
E0 ¼ A0 E02 ;
D E
F D
E0
F0 woraus folgt, daß E0 ¼ 0 genau dann, wenn D=0.
Mit C0 ¼ 0 lautet Gl. (3) A0 x02 þ 2Dx0 þ 2E0 y0 þ F 0 ¼ 0 oder
nach quadratischer Ergnzung
A0 ðx0 þ D=A0 Þ2 þ 2E0 y0 þ F ¼ 0 mit
ð6Þ
F ¼ F 0 D2 =A0 :
A0 ðx0 þ D=A0 Þ2 þ 2E0 ðy0 þ F=2E0 Þ ¼ 0:
0
0
0
Die Parallelverschiebung x ¼ x þ D=A ; h ¼ y þ F=ð2E Þ liefert die Hauptachsengleichung der Parabel
A0 x2 þ 2E0 h ¼ 0 oder x2 ¼ ð2E0 =A0 Þh ¼ ph:
ð7Þ
Unterfall E0 ¼ 0. Hier wird D=0 und
A0 ðx0 þ D=A0 Þ2 þ F ¼ 0:
Die Parallelverschiebung x ¼ x0 þ D=A0 , h ¼ y0 liefert die
Hauptachsengleichung der ausgearteten Parabel
A0 x2 þ F ¼ 0 oder x2 ¼ F=A0 :
Zugrunde gelegt wird ein rumliches Koordinatensystem
ðO; e1 ; e2 ; e3 Þ im positiv orientierten Raum (Bild 13). In einem Punkt O, dem Ursprung, Nullpunkt oder Koordinatenanfangspunkt, sind drei orthonormierte Basisvektoren e1 ; e2 ; e3
angeheftet, die in der angegebenen Reihenfolge eine Rechtsschraube bilden (positive Orientierung).
!
Jeder Vektor a des Raums bzw. jeder Ortsvektor OP ¼ r eines Raumpunkts P lßt sich eindeutig als Linearkombination
der Basisvektoren darstellen,
a ¼ ax e1 þ ay e2 þ az e3 ¼ ðax ; ay ; az Þ bzw:
!
r ¼ OP ¼ xe1 þ ye2 þ ze3 ¼ ðx; y; zÞ;
Unterfall E0 6¼ 0. Hier wird D 6¼ 0 und
0
5.2.1 Das kartesische Koordinatensystem
wobei ax ; ay ; az bzw. x, y, z Koordinaten des Vektors a bzw.
des Punkts P heißen.
5.2.2 Strecke
Die Punkte r1 und r2 seien Anfangs- und Endpunkt der
!
(orientierten) Strecke P1 P2 ¼ r2 r1 (Bild 14). Ein Punkt r
!
liegt genau dann auf der Strecke P1 P2 , wenn
r ¼ r1 þ tðr2 r1 Þ fr t 2 ½0; 1 oder
t þ t ¼ 1;
fr 1 2
0 % t1 ; t2 :
r ¼ t1 r1 þ t2 r2
ð8Þ
Beispiel 1: 3x2 2xy þ 3y2 4x 4y 12 ¼ 0: – Wegen d=8>0,
D= 128 6¼ 0 und D/d= 16 ist der Kegelschnitt eine reelle Ellipse.
Da A=C, ist cos 2a ¼ 0 oder a ¼ p=4: Mit den Transformationsgleichungen fr die Drehung,
pﬃﬃﬃ
x ¼ x0 cosðp=4Þ y0 sinðp=4Þ ¼ ð1= 2Þðx0 y0 Þ;
pﬃﬃﬃ
0
0
y ¼ x sinðp=4Þ þ y cosðp=4Þ ¼ ð1= 2Þðx0 þ y0 Þ;
lautet die Kegelschnittgleichung im gedrehten System 2x02 þ 4y02
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
4 2x0 12 ¼ 0: Die quadratische Ergnzung ergibt 2ðx0 2Þ2 þ
pﬃﬃﬃ
4y02 16 ¼ 0: Die Parallelverschiebung x ¼ x0 2; h ¼ y0 liefert die
Hauptachsengleichung x2 =8 þ h2 =4 ¼ 1:
!
Bild 14. Strecke P1 P2
A 48
A
Mathematik – 5 Analytische Geometrie
!
Lnge der Strecke P1 P2 :
!
l ¼ jP1 P2 j ¼ jr2 r1 j
qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 :
!
Richtung der Strecke P1 P2 : Sie ist bestimmt durch die Win!
kel a, b, g, die der Vektor P1 P2 ¼ r2 r1 mit den Basisvektoren einschließt, wobei ihre Kosinuswerte Richtungskosinusse
heißen. Mit dem Einheitsvektor
e0 ¼ ðr2 r1 Þ=jr2 r1 j gilt
Bild 17. Gerade
cos a ¼ e0 e1 ¼ ðx2 x1 Þ=l; cos b ¼ e0 e2 ¼ ðy2 y1 Þ=l;
cos g ¼ e0 e3 ¼ ðz2 z1 Þ=l; cos2 a þ cos2 b þ cos2 g ¼ 1:
Winkel zwischen zwei gerichteten Strecken: Der von den beiden gerichteten Strecken oder Vektoren
!
a ¼ P1 P2 ¼ r2 r1 ¼ ðax ; ay ; az Þ und
!
b ¼ P3 P4 ¼ r4 r3 ¼ ðbx ; by ; bz Þ
eingeschlossene Winkel j ð0 % j % pÞ ist bestimmt durch
ab
ax bx þ ay by þ az bz
cos j ¼
¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃqﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
jajjbj
a2 þ a2 þ a2 b2 þ b2 þ b2
x
y
z
x
y
z
¼ cos a1 cos a2 þ cos b1 cos b2 þ cos g1 cos g2 ;
wobei cos a1 ; cos b1 ; cos g1 bzw. cos a2 ; cos b2 ; cos g2 die
!
!
Richtungskosinusse von P1 P2 bzw. P3 P4 sind.
5.2.3 Dreieck und Tetraeder
Bilden die drei Punkte P1 ; P2 und P3 mit den Ortsvektoren
r1 ¼ ðx1 ; y1 ; z1 Þ; r2 ¼ ðx2 ; y2 ; z2 Þ und r3 ¼ ðx3 ; y3 ; z3 Þ die Eckpunkte eines Dreiecks (Bild 15) und ist durch die Punktfolge
P1 ; P2 ; P3 ein Umlaufsinn des Dreiecks festgelegt, so heißt
! !
das vektorielle Produkt ðP1 P2 P2 P3 Þ=2 orientierte Dreieckflche mit dem Flcheninhalt
0;5 jðr2 r1 Þ ðr3 r2 Þj ¼
vﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
ﬃ
u
u x1 x2 x3 2 y1 y2 y3 2 z1 d z2 z3 2
u
0;5u
t y1 y2 y3 þ z1 z2 z3 þ x1 x2 x3 :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Bilden die vier Punkte P0 ; P1 ; P2 und P3 mit den Ortsvektoren
r0 ; r1 ; r2 und r3 die Eckpunkte eines Tetraeders (Bild 16), so
ist dessen (orientiertes) Volumen bestimmt durch das Spatprodukt
! ! !
! ! !
ð1=6ÞðP0 P1 ; P0 P2 ; P0 P3 Þ ¼ ð1=6ÞðP0 P1 P0 P2 Þ P0 P3 bzw:
V ¼ ð1=6Þ½ðr1 r0 Þ ðr2 r0 Þ ðr3 r0 Þ
x0 y0 z0 1 x y z 1
1 1 1 ¼ 16 :
x2 y2 z2 1 x y z 1
3
3
3
!
Das Volumen hat positives Vorzeichen, wenn P0 P1 ;
! !
P0 P2 ; P0 P3 in dieser Reihenfolge positiv orientiert sind.
5.2.4 Gerade
Zweipunkte- und Punktrichtungsgleichung. Eine Gerade g
(Bild 17) sei bestimmt durch zwei ihrer Punkte r1 und r2
bzw. durch einen ihrer Punkte r1 und ihren Richtungsvektor
u ¼ ðux ; uy ; uz Þ: Fr jeden Punkt r der Geraden g gilt mit dem
Parameter t 2 R
r ¼ r1 þ tðr2 r1 Þ oder
x ¼ x1 þ tðx2 x1 Þ; y ¼ y1 þ tðy2 y1 Þ;
z ¼ z1 þ tðz2 z1 Þ
bzw.
r ¼ r1 þ tu oder
x ¼ x1 þ tux ; y ¼ y1 þ tuy ; z ¼ z1 þ tuz :
Vektorielle Multiplikation beider Gleichungen mit r2 r1
bzw. u fhrt auf die folgenden parameterfreien Darstellungen:
Zweipunktegleichung
ðr r1 Þ ðr2 r1 Þ ¼ 0;
ðx x1 Þðy2 y1 Þ ¼ ðy y1 Þðx2 x1 Þ;
ðy y1 Þðz2 z1 Þ ¼ ðz z1 Þðy2 y1 Þ;
ðz z1 Þðx2 x1 Þ ¼ ðx x1 Þðz2 z1 Þ;
Punktrichtungsgleichung
ðr r1 Þ u ¼ 0;
ðx x1 Þuy ¼ ðy y1 Þux ;
ðy y1 Þuz ¼ ðz z1 Þuy ;
ðz z1 Þux ¼ ðx x1 Þuz :
Falls die im Nenner auftretenden Grßen von Null verschieden sind, lauten diese Gleichungen in der kanonischen Form
x x1
y y1
z z1
¼
¼
bzw:
x2 x1 y2 y1 z2 z1
x x1 y y1 z z1
¼
¼
:
ux
uy
uz
Allgemeine Darstellung einer Geraden. Sie ist bestimmt
durch die Schnittgerade zweier Ebenen mit den linearen Gleichungen
A1 x þ B1 y þ C1 z þ D1 ¼ 0 und
A2 x þ B2 y þ C2 z þ D2 ¼ 0
A1 B1 C1
mit Rang
¼ 2; d.h., von
A2 B2 C2
A1 B1 A1 C1 B1 D1 A2 B2 ; A2 C2 ; B2 C2 Bild 15. Dreieck
Bild 16. Tetraeder
ist mindestens eine Determinante von Null verschieden.
Fr die Schnittgerade der beiden Ebenen ist dann nach
A 5.2.5 der Richtungsvektor
I5.2
Analytische Geometrie des Raumes
A 49
Tabelle 3. Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum
A
B C C A A B u ¼ 1 1 e1 þ 1 1 e2 þ 1 1 e3 6¼ 0:
B2 C2
C2 A2
A2 B2
Richtungssinn beliebig whlbar. Fr jeden Punkt r von E gilt
dann
Lagebeziehungen zweier Geraden. Die Geraden seien durch
ihre Punktrichtungsgleichungen gegeben.
g1 : r ¼ r1 þ t1 u 1 ; g2 : r ¼ r2 þ t2 u 2 ; t1 ; t2 2 R:
Die vier Mglichkeiten ihrer gegenseitigen Lage mit den entsprechenden Bedingungen und die Abstnde der Geraden sind
in Tab. 3 zusammengefaßt.
5.2.5 Ebene
Parameterdarstellung. Mit den Parametern l; m lautet sie
r ¼ r0 þ lðr1 r0 Þ þ mðr2 r0 Þ bzw:
r ¼ r0 þ lu þ mw:
x cos a þ y cos b þ z cos g d ¼ 0:
ðr r0 Þ½ðr1 r0 Þ ðr2 r0 Þ ¼ 0 bzw:
y y0
uy
wy
Ax þ By þ Cz ¼ 0
By þ Cz þ D ¼ 0
Cz þ D ¼ 0
z¼0
Ebene geht durch den Ursprung O;
Ebene parallel zur xAchse;
Ebene parallel zur x; yEbene;
Ebene fllt mit x; yEbene
zusammen:
Abschnittsgleichung (Ebene geht durch die Punkte ða; 0;0Þ;
(0, b, 0) und (0, 0, c)):
x=a þ y=b þ z=c ¼ 1:
E: rn0 d ¼ 0 bzw: x cos a þ y cos b þ z cos g d ¼ 0:
oder in Koordinatenschreibweise
y y0
y1 y0
y2 y0
Einige Sonderflle sind:
Abstand eines Punkts von einer Ebene. Er wird zweckmßig mit Hilfe der Hesseschen Normalform bestimmt.
ðr r0 Þðu wÞ ¼ 0
x
z z0 x
z1 z0 ¼ 0
x
z2 z0 1
x2
Ax þ By þ Cz þ D ¼ 0; wobei A2 þ B2 þ C 2 > 0:
ð9Þ
Parameterfreie Form. Skalare Multiplikation der Gl. (9) mit
ðr1 r0 Þ ðr2 r0 Þ bzw. u w ergibt
bzw.
x x0
ux
wx
wobei d ¼ n0 r0 ^ 0 der Abstand des Ursprungs O von der
Ebene E ist. Mit n0 ¼ ðcos a; cos b; cos gÞ und r ¼ ðx; y; zÞ, wobei cos a; cos b und cos g die Richtungskosinusse von n0 sind,
lautet die Koordinatendarstellung der Hesseschen Normalform
Allgemeine Ebenengleichung. Sie hat die lineare Form
Die Ebene E sei durch drei nicht auf einer Geraden liegenden
Punkte P0 ; P1 ; P2 mit den Ortsvektoren r0 ; r1 ; r2 bzw. durch
einen Punkt P0 und zwei nichtkollineare Vektoren
u ¼ r1 r0 ; w ¼ r2 r0 bestimmt (Bild 18 a), wobei
ðr1 r0 Þ ðr2 r0 Þ 6¼ 0 bzw. u w 6¼ 0:
x x0
x1 x0
x2 x0
n0 ðr r0 Þ ¼ 0 oder n0 r d ¼ 0;
y
y0
y1
y2
z
z0
z0
z2
1 1 ¼0
1 1
z z0 uz ¼ 0:
wz Hessesche Normalform. Die Ebene E sei durch einen ihrer
Punkte P0 mit dem Ortsvektor r0 und durch ihren Stellungsvektor n0 festgelegt (Bild 18 b). n0 ist ein zur Ebene E senkrechter Einheitsvektor, dessen Richtungssinn vom Ursprung
O aus zur Ebene weist, falls O nicht auf E liegt. Sonst ist sein
Fr einen beliebigen Punkt P0 mit dem Ortsvektor
r0 ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ ist der Abstand a von E gegeben durch
a ¼ jn0 r0 dj bzw:
a ¼ jx0 cos a þ y0 cos b þ z0 cos g dj:
Falls die Ebene E nicht durch den Ursprung O geht, gilt fr:
n0 r0 d > 0 P0 und O auf verschiedenen Seiten von E;
n0 r0 d < 0 P0 und O auf derselben Seite von E;
n0 r0 d ¼ 0 P0 liegt auf E:
Lagebeziehungen zweier Ebenen. Die Gleichungen zweier
Ebenen E1 und E2 seien
E1 : A1 x þ B1 y þ C1 z þ D1 ¼ 0 ðA21 þ B21 þ C12 > 0Þ bzw:
n01 r d1 ¼ 0;
E2 : A2 x þ B2 y þ C2 z þ D2 ¼ 0 ðA22 þ B22 þ C22 > 0Þ bzw:
n02 r d2 ¼ 0:
Die Ebenen schneiden einander genau dann in einer Geraden,
A1 B1
C1
wenn Rang
¼ 2 (s. A 5.2.4) bzw.
A2 B2 C2
0
0
n1 n2 6¼ 0:
Der Schnittwinkel j0 der beiden Ebenen ist durch den von
den Stellungsvektoren n01 und n02 eingeschlossenen Winkel j
erklrt.
Bild 18. Ebene. a Parameterdarstellung; b Hessesche Normalform
A 50
Mathematik – 6 Differential- und Integralrechnung
A
Bild 19. Parallelverschiebung
Bild 20. Drehung
A1 A2 þ B1 B2 þ C1 C2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos j ¼ n01 n02 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
A21 þ B21 þ C12 A22 þ B22 þ C22
5.2.6 Koordinatentransformationen
Parallelverschiebung (Bild 19). Sie ist gekennzeichnet durch
einen Verschiebungsvektor u, durch den das Koordinatensystem ðO; e1 ; e2 ; e3 Þ in das Koordinatensystem ðO0 ; e1 ; e2 ; e3 Þ
bergefhrt wird. Fr einen Punkt P des Raums gilt dann
!
! !0 !
OP ¼ OO þ O0 P mit dem Verschiebungsvektor u ¼ OO0 .
!
!0
!
Fr
OP ¼ xe1 þ ye2 þ ze3 ; OO ¼ ae1 þ be2 þ ce3 ; O0 P ¼
x0 e1 þ y0 e2 þ z0 e3 hat die Parallelverschiebung die Koordinatendarstellung
ðx; y; zÞ ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ þ ða; b; cÞ ¼ ðx0 þ a; y0 þ b; z0 þ cÞ:
Drehung (Bild 20). Durch sie wird das Koordinatensystem
ðO; e1 ; e2 ; e3 Þ in ðO; e01 ; e02 ; e03 ) bergefhrt. Fr die orthonormierten Basisvektoren e01 ; e02 ; e03 ; die in dieser Reihenfolge positiv orientiert sind, gelten die Gleichungen
e01 ¼ cos a1 e1 þ cos b1 e2 þ cos g1 e3 ;
e02 ¼ cos a2 e1 þ cos b2 e2 þ cos g2 e3 ;
e03 ¼ cos a3 e1 þ cos b3 e2 þ cos g3 e3 ;
wobei cos ai ¼ e0i e1 ; cos bi ¼ e0i e2 ; cos gi ¼ e0i e3 (i=1, 2, 3)
6 Differential- und Integralrechnung
U. Jarecki, Berlin
6.1 Reellwertige Funktionen einer reellen
Variablen
6.1.1 Grundbegriffe
Urbild- und Bildmenge. Ist D eine Teilmenge der reellen
Zahlen, D R, und ist jedem x 2 D genau eine reelle Zahl
y 2 R zugeordnet, dann ist auf D eine reellwertige Funktion f
definiert, symbolisch ausgedrckt
f : D ! R oder ¼ f ðxÞ fr x 2 D:
D heißt Definitions-, Argument- oder Urbildmenge von f. Das
dem Argument oder Urbild x 2 D zugeordnete Element
y=f(x) heißt Bild von x oder Funktionswert f(x). Die Menge
B(f) aller Bilder f(x) heißt Bildmenge:
Bðf Þ ¼ ff ðxÞjx 2 Dg ¼ fyjy ¼ f ðxÞ fr x 2 Dg:
Graph der Funktion f, in Zeichen [f], ist die Menge aller geordneten Paare (x, f(x)):
die Richtungskosinusse von e0i sind (auf Bild 20 sind nur die
Winkel a1 ; b1 ; g1 angegeben, die der Basisvektor e01 mit den
Basisvektoren e1 ; e2 ; e3 des Ausgangssystems einschließt).
Fr einen beliebigen Raumpunkt P gilt dann
!
OP ¼ r ¼ x0 e01 þ y0 e02 þ z0 e03 ¼ xe1 þ ye2 þ ze3 :
Skalare Multiplikation dieser Gleichung mit e01 ; e02 ; e03 liefert
die Transformationsgleichungen fr eine Drehung.
x0 ¼ cos a1 x þ cos b1 y þ cos g1 z;
y0 ¼ cos a2 x þ cos b2 y þ cos g2 z;
z0 ¼ cos a3 x þ cos b3 y þ cos g3 z;
0 01 0
10 1
0 1
x
cos b1
cos g1
cos a1
x
x
B 0C B
CB C
B C
cos b2
cos g2 A@ y A ¼ A@ y A:
@ y A ¼ @ cos a2
z0
cos a3
cos b3
cos g3
z
z
e01 ; e02 ; e03
T
orthonormiert sind, gilt die
Da die Basisvektoren
Matrizengleichung AA ¼ E bzw. AT ¼ A1 ; wobei AT die
transponierte und A1 die inverse Matrix von A ist (s.
A 3.2.4). Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen orthogonal.
Da außerdem die Basisvektoren e01 ; e02 ; e03 positiv orientiert
sind, gilt DetA ¼ jAj ¼ 1. Matrizen A mit den Eigenschaften
AAT ¼ E und jAj ¼ 1 heißen „eigentlich orthogonal“. Damit
ist jede Drehung durch eine eigentlich orthogonale Matrix
charakterisiert.
½f ¼ fðx; f ðxÞÞjx 2 Dg ¼ fðx; yÞjy ¼ f ðxÞ fr x 2 Dg:
Die geometrische Darstellung der geordneten Zahlenpaare (x,
f(x)) als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem
gibt das graphische Bild von f wieder. Zwei Funktionen f und
g heißen gleich, in Zeichen f=g, wenn sie die gleiche Definitionsmenge D haben und f(x)=g(x) fr alle x 2 D. Funktionen knnen durch Zahlengleichungen mit zwei Variablen x
und y, Wertetabellen, ihr graphisches Bild oder dergleichen
erklrt sein.
Beispiel 1: y=1/x (Bild 1 a). – Diese Funktion ist explizit durch eine
Gleichung erklrt mit D=R«0} und B( f )=R«0}.
Beispiel 2: Fðx; yÞ ¼ x2 þ y2 1 ¼ 0 und y ^ 0. – Diese Funktion
(Bild 1 b) ist implizit durch eine Gleichung und explizit durch eine
Ungleichung erklrt. Sie ist mit der Funktion gleich, die explizit durch
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
die Gleichung y ¼ 1 x2 erklrt ist. D=[– 1, 1], B( f )=[0, 1].
2
fr 0 % x % 1
x
– Die Funktion (Bild 1 c)
Beispiel 3: y ¼
x þ 2 fr 1 < x % 2:
ist explizit durch zwei Gleichungen erklrt. D=[0, 2], B(f)=[0, 1].
Beispiel 4: y=0, wenn x eine rationale Zahl ist, und y=1, wenn x
eine irrationale Zahl ist. – Diese Funktion, die auch Dirichlet-Funktion heißt, ist durch eine mit Worten ausgedrckte Zuordnungsvorschrift erklrt. D=R, B(f)={0, 1}. Das graphische Bild der Funktion
ist nicht darstellbar.