Klausur zu Grundkurs IIIb fuer Physiker und Wirtschaftsphysiker

Nachklausur
Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom
Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik
Othmar Marti, ([email protected])
10. Mai 2003
Prüfungstermin 9. 5. 2003, 14:00 bis 16:00
Name
Vorname
Matrikel-Nummer
Kennwort
Die Prüfungsresultate werden ab dem 12. 5. 2003 im Sekretariat Experimentelle
Physik, N25/540, bekanntgegeben. Dabei können Sie Ihre Klausur einsehen.
Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang vor dem Sekretariat
bekanntgegeben werden kann, müssen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.
Aufgabe
Punkte
1
Note:
Vom Korrektor auszufüllen:
2
3
4
5
6
Σ
Prüfer:
Universität Ulm
2003-05-09 Nachklausur
c
1 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
1
Matrikelnummer
2
Hinweise zur Bearbeitung der Klausur
Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollständig und aufmerksam
durch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.
1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Taschenrechner und 2 Blätter (vier Seiten) mit eigener Hand in Handschrift
verfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet in
einer geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksack
aufbewahrt werden!
2. Die Klausur umfaßt:
(a) 3 Blätter (6 Seiten) mit 6 Aufgaben.
(b) 1 Deckblatt und dieses Hinweisblatt.
3. Füllen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deckblatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer aus.
4. Jede Aufgabe ergibt 6 Punkte.
5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus der
Aufgabenstellung, soweit angegeben.
6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen und
Ihre Matrikelnummer sowie eine Seitennummer.
7. Beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufgabennummer. Schreiben Sie die zugehörigen Nebenrechnungen ebenfalls auf
dieses Blatt. Streichen Sie ungültige Lösungen deutlich durch. Sollten Sie
ausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinanderfolgende Blätter benötigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Aufgabe zu finden ist.
Viel Erfolg!
2003-05-09 Nachklausur
c
2 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
2
Matrikelnummer
3
Aufgaben
1. (a) Zeigen Sie, wie man aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichung
für ein nichtleitendes Medium mit der Ladungsdichte ρel = 0, der relativen Dielektrizitätszahl ² = 1 und der Permeabilität µ = 1 ableitet.
(1 Punkt)
(b) Zu dieser Aufgabe:
Welche dieser Feldlinien, die sich alle in einer Ebene befinden, sind
elektrische Feldlinien und welche sind magnetische Feldlinien? (0.5
Punkte)
(c) Auf welcher Erhaltungsgrösse beruht die Kirchhoffsche Knotenregel?
(0.5 Punkte)
(d) Skizzieren Sie die Feldlinien zweier elektrischer Dipole (Abstand der
Ladungen a), die im Abstand a antiparallel angeordnet sind, so dass
die Mittensenkrechten der Dipole zusammenfallen. (0.5 Punkte)
(e) Warum explodieren Spulen, durch die ein zu grosser Strom fliesst? (1
Punkt)
(f) Warum kann die Güte eines Schwingkreises mit ausgedehnten Bauelementen (Kondensator und Spule) nicht unendlich sein, auch wenn alle
Verbindungsleitungen sowie alle Metalle in den Bauelementen supraleitend sind, also ρ = 0 haben? (1 Punkt)
~ und B
~ an. (0.5
(g) Geben Sie die Lorentztransformation der Felder E
Punkte)
(h) Geben Sie die Antwort in Worten: Warum ist im Inneren eines Dielektrikums ohne spontane, permanente Polarisation das elektrische Feld
kleiner als aussen? (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
2. Es soll gezeigt werden, dass die allgemeine Formulierung des Ampèreschen
Gesetzes
ZZ
I
~
dE
dφ
e
~ · d~s = µ0 I + µ0 ²0
= µ0
(~i + ²0
)d~a
B
dt
dt
S
2003-05-09 Nachklausur
A(S)
c
3 °2003
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Nachklausur Name:
Matrikelnummer
4
und das Gesetz von Biot-Savart zum gleichen Ergebnis kommen, wenn beide
auf
angewandt werden.
Zwei Ladungen +Q und −Q befinden sich im Abstand a vom Nullpunkt auf
der x-Achse bei x = −a und x = a. Entlang der Verbindungslinie fliesst ein
Strom I = −dQ/dt. Der Punkt P befindet sich auf der y-Achse im Abstand
R.
(a) Berechnen Sie unter Verwendung des Gesetzes von Biot-Savart das
Magnetfeld am Punkt P . (1 Punkt)
(b) Ein kreisförmiger Streifen (Mittelpunkt im Ursprung) mit dem Radius
r und der Breite dr liege in der y − z-Ebene. Berechnen Sie den Fluss
des elektrischen Feldes durch diesen Streifen. (1 Punkt)
(c) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus 2b den gesamten Fluss φe durch
die kreisförmige Ebene mit dem Radius R. (1 Punkt)
(d) Berechnen Sie den Verschiebungsstrom IV . (1 Punkt)
(e) Berechnen Sie mit dem Ampèreschen Gesetz die Aufgabe 2a und zeigen
Sie, dass man für B das gleiche Ergebnis erhält. (2 Punkt)
Σ : 6 Punkte
2003-05-09 Nachklausur
c
4 °2003
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Matrikelnummer
5
3. Die folgende Schaltung soll berechnet werden:
B
L1
E
R1
G R4
R3
R2
U1
U2
L3
A
L2
C
H
R5
L4
R8
F R7
D
R6
Die Spannung am Punkt B ist UB = 0V (Erde).
(a) Formen Sie die Schaltung so um, dass sie möglichst einfach ist. (3
Punkte)
Berechnen Sie die Spannung an den folgenden Punkten:
(b) A (0.5 Punkte)
(c) D (0.5 Punkte)
(d) E (0.5 Punkte)
(e) F (0.5 Punkte)
(f) G (0.5 Punkte)
(g) H (0.5 Punkte)
Σ : 6 Punkte
4. Ein Schwingkreis wird als empfindliches Nachweissystem eines zeitlich har~
monischen E-Feldes
verwendet. Ein Plattenkondensator (Plattenabstand d,
~
Kapazität C) befindet sich im räumlich homogenen E-Feld
~
~ 0 · sin(ωt)
E(t)
=E
~ 0 senkrecht zur Fläche des Plattenkondensators orientiert ist. Eine
wobei E
Spule (Selbstinduktion L) und ein Ohmscher Widerstand R, beide ausserhalb des elektrischen Feldes, ergänzen den Plattenkondensator zu einem
Schwingkreis.
2003-05-09 Nachklausur
c
5 °2003
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Nachklausur Name:
Matrikelnummer
6
R
d
C
L
E(t)
(a) Stellen Sie die Differentialgleichung für die im Schwingkreis bewegte
Ladung Q ohne äusseres Feld auf. (1 Punkt)
(b) Modifizieren Sie diese Differentialgleichung so, dass das äussere Feld als
EM K wirkt. Schreiben Sie dazu das anregende Feld E(t) = E0 sin(ωt)
als komplexe Funktion, aber so, dass der Realteil dieser Funktion gerade der gegebenen reellen Anregung entspricht. (0.5 Punkte)
(c) Wandeln Sie die Differentialgleichung in eine Differentialgleichung für
den Strom I(t) um. (0.5 Punkte)
(d) Berechnen Sie für die Frequenz ω der Anregung den komplexen Strom
I(t, ω) = I0 (ω)eiωt . (1 Punkt)
(e) Zwischenrechnung: Wenn der Strom I(t) = I0 eiωt ist (ohne einsetzen),
und dieser Strom durch den Widerstand R fliesst, was ist dann die
über eine Anzahl n ∈ N gemittelte thermische Leistung an R? (0.5
Punkte)
(f) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Leistung P (ω), die als Joulsche
Wärme im Widerstand R deponiert wird. (0.5 Punkte)
(g) Wie gross ist die unbedämpfte Resonanzfrequenz ω0 des Schwingkreises? (0.5 Punkt)
(h) Wie gross ist P (ω0 ) ? (0.5 Punkte)
~
(i) Bestimmen Sie das E-Feld
im Inneren des Plattenkondensators für ein
~
stationäres äusseres E-Feld E0 . (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
2003-05-09 Nachklausur
c
6 °2003
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Nachklausur Name:
Matrikelnummer
7
5. Zwei Punktladungen q1 und q2 sind an der Peripherie einer mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse rotierenden Scheibe vom Radius a
diametral gegenüber befestigt. Es ist ω · a ¿ c und q1 = −q2 . Es ist
x(t) = a cos(ωt) und y(t) = a sin(ωt).
(a) Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt P (y) auf der (raumfesten) y-Achse, wobei y À a ist. (2 Punkte)
(b) Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 5a) als Funktion von
y und t an. (0.5 Punkte)
(c) Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt Q(z) auf der (raumfesten) z-Achse, wobei z À a ist. (1 Punkt)
(d) Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 5c) zu einer festen
Zeit t an. (0.5 Punkte)
(e) Berechnen Sie die Felder für die Anordnung aus der Aufgabe 5a), wenn
q1 = q2 ist. (1 Punkt)
(f) Wenn Sie eine Genauigkeit der Amplituden Ex und Ey von g verlangen,
mit 0 < g < 1, welche Bedingung muss dann z in der Aufgabe 5c)
gelten? (1 Punkt)
Σ : 6 Punkte
6. In dieser Aufgabe soll das Potential eines Dipols im Punkt P berechnet
werden.
(a) Geben Sie das Potential ϕ (x, y, z) in P in kartesischen Koordinaten
an. (1 Punkt)
(b) Geben Sie das Potential ϕ (r, θ, φ) in Kugelkoordinaten (r, Θ, φ) an.φ
ist der Winkel in der x, y-Ebene. (1 Punkt)
(c) Entwickeln Sie ϕ (r, θ, φ) unter der Annahme, dass r À a ist in zwei
signifikante (d.h. nicht konstante) Ordnungen in r. (2 Punkte)
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c
7 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
8
(d) Geben Sie das genäherte Potential aus der vorherigen Teilaufgabe an
für den Punkt S = (100a, π/6, 3π/2). (0.5 Punkte)
(e) Geben Sie das elektrische Feld im Punkt S an. (1.5 Punkte)
Σ : 6 Punkte
Gesamt-Σ : 36 Punkte
• µ0 = 4π · 10−7 N · A−2 = 4π · 10−7 T · m · A−1
−2
• ²0 = µ−1
0 c
• c = 3 · 108 m/s
• me = 9.1 · 10−31 kg
• e = 1.6 · 10−19 C
• In Kugelkoordinaten (~er , ~eΘ , ~eφ ): grad U =
2003-05-09 Nachklausur
∂U
~e
∂r r
+
1 ∂U
~e
r ∂Θ Θ
+
1
∂U
~e
r sin Θ ∂φ φ
c
8 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
3
Matrikelnummer
9
Lösung
1. Vorläufig
(a)
• 2. Maxwellgleichung
~ =−
rot E
~
∂B
∂t
• Wir nehmen die Rotation:
~
~ = −rot ∂ B = − ∂ rot B
~
rot rot E
∂t
∂t
• 4. Maxwellgleichung
mit µ0 ²0 = c−2 .
• Eingesetzt:
~
~ = 1 ∂E
rot B
c2 ∂t
2~
~
~ = − ∂ 1 ∂E = − 1 ∂ E
rot rot E
∂t c2 ∂t
c2 ∂t2
(0.5 Punkte)
• Mit
~ = grad div E
~ − div grad E
~ = grad div E
~ − 4E
~
rot rot E
bekommt man
~
∂ 2E
~
= −c2 4E
2
∂t
(0.5 Punkte)
(b) Elektrische Feldlinien haben Anfang und Ende: b), e)
Magnetische Feldlinien sind geschlossen: a), d)
Feldlinien kreuzen sich nie (Ableitungen wären nicht definiert): c) ist
keines von beiden. (0.5 Punkte)
(c) Ladungserhaltung und Kontinuitätsgleichung (0.5 Punkte)
(d)
2003-05-09 Nachklausur
c
9 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
10
(0.5 Punkte)
(e) Der Strom erzeugt nach der ,,Rechten-Hand-Regel” ein Magnetfeld.
Wenn der Strom in die Blattebene fliesst, ist ~b nach oben gerichtet.
(0.5 Punkte) Auf die fliessenden Ladungen (in die Blattebene hinein) wirkt die Lorentzkraft, die wieder nach der ,,Rechten-Hand-Regel”
nach rechts wirkt. In der zweiten Leiter der gleichen Windung der Spule links von der ersten ist die Kraft nach links gerichtet. In einer Spule
wirken die Kräfte auf die Leiter nach aussen: wenn die Struktur den
Kräften nicht mehr widerstehen kann, dann explodiert die Spule. (0.5
Punkte)
(f) Bei einer ausgedehnten Spule oder einem ausgedehnten Kondensator in
einem Schwingkreis werden Ladungen hin- und herbeschleunigt. Deshalb strahlt der Schwingkreis elektromagnetische wellen ab, er verliert
also Energie. Deshalb kann die Güte nicht unendlich sein. (1 Punkt)
(g)
Ex0 = γ (Ex + v · Bz )
Ey0 = Ey
Ez0 = γ (Ez − v · Bx )
³
v ´
Bx0 = γ Bx − 2 Ez
c
0
By = By
³
v ´
Bz0 = γ Bz + 2 Ex
c
(0.5 Punkte)
(h) Durch das elektrische Feld werden Atome polarisiert. Dabei werden
die positiven Ladungen in Richtung der negativen äusseren Ladungen
2003-05-09 Nachklausur
c
10 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
11
verschoben, und analog für die negativen Ladungen. Das durch die Ladungsverschiebung entstandene Feld ist entgegengesetzt zum äusseren
Feld gerichtet: netto ist das elektrische Feld im Inneren also kleiner.
(1 Punkt)
2. Vorläufig
(a) Das Magnetfeld, das am Punkt P von einem Teilstrom hervorgerufen
wird, ist B = [µ0 I/ (4πR)] (sin θ1 + sin θ2 ). Die Abbildung zeigt die
entsprechenden Grössen:
1/2
Hier ist sin θ1 = sin θ2 = a/ (R2 + a2 )
. (0.5 Punkte)
2 −1/2
Daher ist B = [µ0 Ia/ (2πR)] (R2 + a )
. (0.5 Punkte)
(b) Die folgende Abbildung zeigt, wie das elektrische Feld an einem Punkt
auf der y-Achse im Abstand r von der x-Achse erhalten wird.
Es ist
Ex = 2
1
1
Q
Qa
sin
θ
=
2
1
(4π²0 ) (r2 + a2 )
(4π²0 ) (r2 + a2 )3/2
(0.5 Punkte)
Die Fläche des Kreises ist dA = 2πrdr, und es folgt
Ex dA =
a
Q
rdr
²0 (r2 + a2 )3/2
. (0.5 Punkte)
2003-05-09 Nachklausur
c
11 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
12
(c) Um den elektrischen Fluss heraus, zum Radius R, zu erhalten, integrieren wir Ex dA = Ex 2πrdr von r = 0 bis r = R:
Z R
φe =
Ex 2πrdr
0
¯R
µ ¶
¯
Qa
1
¯
= −
¯
1/2
²0 (r2 + a2 ) ¯
0
#
µ ¶"
Qa
1
1
=
−
²0
a (R2 + a2 )1/2
(0.5 Punkte)
Damit ist
"
²0 φe = Q 1 −
a
#
(R2 + a2 )1/2
. (0.5 Punkte)
(d) Nach Definition ist IV = ²0 dφe /dt. Jedoch ist im Ausdruck für φe die
einzige Grösse, die von der Zeit abhängt, Q.
(0.5 Punkte)
h
i
1/2
Mit dQ/dt = −I erhalten wir IV = −I 1 − a/ (R2 + a2 )
und I +
1/2
IV = Ia/ (R2 + a2 )
. (0.5 Punkte)
~ · d~`
(e) Das Gesetz von Ampère besagt, dass das Linienintegral über B
längs eines Kreises vom Radius R in der yz-Ebene mit dem Mittelpunkt am Ursprung, das gleich B (2πR) ist, auch gleich µ0 (I + IV )
sein muss.
(0.5 Punkte)
1/2
Gemäss dem Ergebnis in 2d ist das µ0 Ia (R2 + a2 )
(0.5 Punkte)
Damit wird
µ0 Ia
1
B=
2πR (R2 + a2 )1/2
.
(1 Punkt)
in Übereinstimmung mit dem Resultat in Teil 2a, das wir nach dem
Biot-Savart-Gesetz erhielten.
3. Vorläufig
Wir haben Gleichspannungen, also kann man die Schaltung wie folgt vereinfachen:
2003-05-09 Nachklausur
c
12 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
B
E
G R4
R1
R3
U2
R2
U1
A
H
R5
R8
F
D
13
R7
R6
Die Punkte A, D und H liegen auf gleichem Potential. (0.5 Punkte)
Die Punkte E und G liegen auf gleichem Potential. (0.5 Punkte)
Die vereinfachte Schaltung ist
B
E
R4
R1
R3
U2
R2
U1
A
R5
R8
F R7
R6
Die Widerstände R5 , R6 , R7 und R8 liegen parallel und werden durch
1/Ra = 1/R5 + 1/R6 + 1/R7 + 1/R8 ersetzt. (0.5 Punkte)
R3
Ebenso sind R2 und R3 parallel und werden durch Rb = RR22+R
ersetzt. (0.5
3
Punkte)
2003-05-09 Nachklausur
c
13 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
B
E
14
R4
R1
U2
Rb
U1
A
Ra
F
Nach dieser Zeichnung ist das Potential von F gleich dem von A.
Wir berechnen die Schaltung
B
E
R4
R1
Rb
U1
U2
A
Die Maschenregel für die linke Masche ergibt: U1 = UR1 + URb
Die Maschenregel auf die rechte Masche angewandt ergibt U2 = UR4 + URb
Die Knotenregel am Punkt E ergibt UR1 /R1 + UR4 R4 = URb /Rb (0.5
Punkte)
Wir eliminieren URb = Rb (UR1 /R1 + UR4 /R4)
Also U1 = UR1 + Rb (UR1 /R1 + UR4 /R4) = UR1 (1 + Rb/R1) + UR4 · Rb/R4
und U2 = UR4 + Rb (UR1 /R1 + UR4 /R4) = UR1 · Rb/R1 + UR4 (1 + Rb/R4)
Wir multiplizieren U1 mit (1 + Rb/R4) und U2 mit Rb/R4 und subtrahieren die Gleichungen
U1 (1 + Rb/R4)−U2 ·Rb/R4 = UR1 (1 + Rb/R1) (1 + Rb/R4)−UR1 ·Rb/R1·Rb/R4
Wir erhalten
(U1 R4 + U1 Rb − U2 Rb) R1
R1 · R4 + R1 · Rb + R4 · Rb
(U2 R1 + U2 Rb − U1 Rb) R4
UR4 =
R1 · R4 + R1 · Rb + R4 · Rb
(U2 R1 + U1 R4) Rb
URb =
R1 · R4 + R1 · Rb + R4 · Rb
Wenn wir Rb ersetzen ist das Resultat
UR1 =
UR1 =
2003-05-09 Nachklausur
(U1 R4 + U1 Rb − U2 Rb) R1
R1 · R4 + R1 · Rb + R4 · Rb
c
14 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
15
(U2 R1 + U2 Rb − U1 Rb) R4
R1 · R4 + R1 · Rb + R4 · Rb
(U2 R1 + U1 R4) Rb
URb =
R1 · R4 + R1 · Rb + R4 · Rb
Wenn wir Rb zurück einsetzen, erhalten wir
UR4 =
UR1 =
R1 · (U1 · R4 · R2 + U1 · R4 · R3 + U1 · R2 · R3 − U2 · R2 · R3)
R1 · R4 · R2 + R1 · R4 · R3 + R1 · R2 · R3 + R2 · R3 · R4
(−U1 · R2 · R3 + U2 · R2 · R3 + R1 · U2 · R2 + R1 · U2 · R3) R4
R1 · R4 · R2 + R1 · R4 · R3 + R1 · R2 · R3 + R2 · R3 · R4
R2 · R3 · (R1 · U2 + U1 · R4)
URb =
R1 · R4 · R2 + R1 · R4 · R3 + R1 · R2 · R3 + R2 · R3 · R4
(0.5 Punkte)
UR4 =
(a) Bei A: UA = −U1 (0.5 Punkte)
(b) Bei D: UD = −U1 (0.5 Punkte)
1 ·R4·R2+U1 ·R4·R3+U1 ·R2·R3−U2 ·R2·R3 )
(c) Bei E: UE = −U1 +URb = − R1·(U
(0.5
R1·R4·R2+R1·R4·R3+R1·R2·R3+R2·R3·R4
Punkte)
(d) Bei F : UF = −U1 (0.5 Punkte)
1 ·R4·R2+U1 ·R4·R3+U1 ·R2·R3−U2 ·R2·R3 )
(e) Bei G: UG = −U1 +URb = − R1·(U
(0.5
R1·R4·R2+R1·R4·R3+R1·R2·R3+R2·R3·R4
Punkte)
(f) Bei H: UH = −U1 (0.5 Punkte)
4. Vorläufig
(a)
• Die Spannung am Kondensator ist UC = −Q/C
• Die Spannung am Widerstand ist UR = R · I = R · Q̇
• Die Spannung an der Spule ist UL = −L · I˙ = −L · Q̈ (0.5
Punkte)
• Maschenregel: UR = UC +UI (da nur UR Verbraucher), also R· Q̇ =
−Q/C − L · Q̈
• oder L · Q̈ + R · Q̇ + Q/C = 0 (0.5 Punkte)
(b)
• Das äussere Feld bewirkt über dem Kondensator eine EM K mit
der Grösse UEM K = E0 · d · sin(ωt)
• komplex geschrieben ist E(t) = −E0 · i · eiωt , da ja eiα = cos α +
i · sin α ist.
• Also ist L · Q̈ + R · Q̇ + Q/C = −i · E0 · d · eiωt (0.5 Punkte)
(c)
• Es ist I = Q̇, das heisst, wir leiten einmal ab
• Mit L · I˙ + R · I + Q/C = −i · E0 · d · eiωt erhalten wir
2003-05-09 Nachklausur
c
15 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
16
• L · I¨ + R · I˙ + I/C = E0 · d · ω · eiωt (0.5 Punkte)
(d)
• Wir setzen den Ansatz I(t) = I0 (ω)eiωt ein
• L · (−ω 2 )I0 (ω)eiωt + R · (iω)I0 (ω)eiωt + I0C(ω) eiωt = E0 · d · ω · eiωt
(0.5 Punkte)
£
¤
• Wir eliminieren eiωt und multiplizieren I0 aus I0 (ω) −L · ω 2 + iω · R + C1 =
E0 · d · ω
• Wir lösen nach I0 (ω) auf
I0 (ω) =
E0 · d · ω
−L · ω 2 + iω · R +
1
C
(0.5 Punkte)
• Normalerweise wird die Gleichung so geschrieben:
I0 (ω) =
(e)
L
¡
E0 · d · ω
+ iω · R
+
L
−ω 2
¢
1
CL
• Die momentane Leistung am Widerstand R ist
µ
2
P (t) = R · [Re (I(t))] = R ·
I02 cos2 (ωt)
=
RI02
1 cos(2ωt)
+
2
2
• Gemittelt über eine Anzahl Perioden n ∈ N ist hP inT =
Punkte)
(f)
RI02
2
¶
(0.5
• Mit diesem Resultat ist
R
I0 (ω)I0 (ω)
2
R
E0 · d · ω
¡
=
2
2 L −ω + iω · R
+
L
hP (ω)inT =
1
CL
R (E0 · d · ω)2
h¡
=
¢2
1
2L2 CL
− ω2 + ω2 ·
¢
L
R2
L2
¡
q
(g)
• Die ungedämpfte Resonanzfrequenz ist ω0 =
(h)
• Bei ω0 ist hP (ω0 )inT =
2
(i)
¢
1
L·C
(0.5 Punkte)
(E0 ·d)2
2R
(0.5 Punkte)
( )
• Ein statisches äusseres Feld bewirkt auf den Kondensatorplatten
eine Ladungstrennung. Da im statischen Falle der Kondensator
kurzgeschlossen ist, ist E = 0 im Inneren, wobei die Ladungen auf
den Platten das äussere Feld kompensieren. (1 Punkt)
2003-05-09 Nachklausur
2L2
1
L·C
2 R2
· 2
L
=
1
CL
i
(0.5 Punkte)
1
R(E0 ·d· L·C
)
E0 · d · ω
− iω · R
+
L
−ω 2
c
16 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
17
5. Vorläufig
(a)
~ r, t) = − q 2 ~a⊥ (t0 ) wobei t0 = t − r/c
• Das Strahlungsfeld ist E(~
4π²0 c
r
und a⊥ die Beschleunigungskomponente senkrecht zur Beobachtungsrichtung ist. (0.5 Punkte)
• Nur die x-Komponente zählt. a⊥,1 = ax,1 = −aω 2 cos(ωt) für die
erste Ladung und a⊥,2 = ax,2 = aω 2 cos(ωt) für die zweite Ladung.
(0.5 Punkte)
• Der Abstand ist r = y + a sin(ωt). Da y À a ist r = y.
•
£
¤
1
2
2
Ex (y) = −
−q
aω
cos(ω(t
−
y/c))
+
q
aω
cos(ω(t
−
y/c))
1
2
4π²0 c2 y
1
=
(q1 − q2 ) aω 2 cos(ω(t − y/c))
2
4π²0 c y
(1 Punkt)
(b)
1.5e–19
1e–19
5e–20
0
–5e–20
–1e–19
–1.5e–19
0
0.005
2e+06
4e+06
0.01
0.015
t
0.02
6e+06 y
8e+06
0.025
0.03
2003-05-09 Nachklausur
1e+07
c
17 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
18
(0.5 Punkte)
(c)
• Hier ist die wirksame Beschleunigung sowohl in der x- wie auch
in der y-Richtung.
• ax und ay sind um π/2 phasenverschoben. (0.5 Punkte)
• Da z À a ist r ≈ z
•
1
Ex (z) =
(q1 − q2 ) aω 2 cos(ω(t − z/c))
2
4π²0 c z
und
1
Ey (z) =
(q1 − q2 ) aω 2 sin(ω(t − z/c))
4π²0 c2 z
(0.5 Punkte)
• Dies ist eine zirkular polarisierte Strahlung.
(d)
25
20
15
z
10
5
0
–1
–1
–0.5
–0.5
0
y
0
0.5
0.5
x
11
(0.5 Punkte)
(e) Wenn q1 = q2 dann ist Ex (y) = 0 (1 Punkt)
(f) Da die Genauigkeit der Amplitude gefragt ist, nicht aber der Phase,
muss man nur den Vorfaktor betrachten.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
1
1
¯√
¯ < g · ¯√
¯
−
¯ z 2 + a2 ¯
¯ z 2 + a2 z ¯
(0.5 Punkte)
oder
¯
¯
√
¯
¯
¯
2 + a2 ¯
¯
¯
z
z
z
¯
¯
¯
¯
<g·¯ √
− √
¯
¯ √ 2
2
2
¯ z z + a2 z z 2 + a2 ¯
z z +a ¯
Wenn z > 0 ist, haben wir
¯
¯
√
¯
¯
¯z − z 2 + a2 ¯ < g · |z|
2003-05-09 Nachklausur
c
18 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
weiter
Matrikelnummer
19
¯
¯
p
¯
2 ¯ < g · |z|
z
−
z
1
+
(a/z)
¯
¯
und (da z > 0 angenommen)
¯
¯
p
¯
¯
2
¯1 − 1 + (a/z) ¯ < g
oder
p
1 + (a/z)2 − 1 < g
p
1 + (a/z)2 < g + 1
1 + (a/z)2 < g 2 + 2g + 1
(a/z)2 < g 2 + 2g
a2
a2
1
=
=< z 2
2
2
g + 2g
g 1 + 2/g
|z| >
a
1
a
p
≈√
g 1 + 2/g
2g
(0.5 Punkte)
6. Vorläufig
(a)
q
• ϕ (x, y, z, +q) =
1
4π²0
√
• ϕ (x, y, z, −q) =
1
4π²0
√
•
x2 +y 2 +(z−a)2
−q
x2 +y 2 +(z+a)2
(0.5 Punkte)
ϕ(x, y, z) = ϕ (x, y, z, +q) + ϕ (x, y, z, −q)
Ã
q
1
p
=
4π²0
x2 + y 2 + z 2 − 2az + a2
!
1
−p
x2 + y 2 + z 2 + 2az + a2


1
1
q
1
q

p
=
−q
2
2
2
2
4π²0 x + y + z
−2az+a
2az+a2
1 + x2 +y2 +z2
1 + x2 +y2 +z2
(0.5 Punkte)
(b)
• Wir verwenden den Cosinussatz für schiefwinklige Dreiecke (Seiten
a, b, c, gegenüberliegende Winkel A, B, C)
a2 = b2 + c2 − 2ac cos A
2003-05-09 Nachklausur
c
19 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
20
Also ist
2
r+
= r2 − 2ar cos θ + a2
2
r−
= r2 − 2ar cos(π − θ) + a2 = r2 + 2ar cos θ + a2
(0.5 Punkte)
• Der Winkel φ taucht nicht explizit auf (Zylindersymmetrie). Also
ist
ϕ(r, Θ, φ) = ϕ (r, Θ, φ, +q) + ϕ (r, Θ, φ, −q)
µ
¶
q
1
1
=
−
4π²0 r+ r−
µ
¶
q
1
1
√
=
−√
4π²0
r2 − 2ar cos θ + a2
r2 + 2ar cos θ + a2
(0.5 Punkte)
(c)
• Wir schreiben die Gleichung um

1
q 
q
ϕ(r, Θ, φ) =
¡ a ¢2 − q
4π²0 r
2a
1 − r cos θ + r
1+

1
2a
r
cos θ +
¡ a ¢2

r
(0.5 Punkte)
• Unter der Annahme, dass r À a ist (a/r) ¿ 1. Wir entwickeln
die Wurzeln bis zur zweiten Ordnung.
¡
µ 3¶
2¢
a
1
a cos (Θ) −1/2 + 3/2 (cos (Θ)) a2
q
+
+O
=
1+
¡ ¢2
r
r2
r3
1 − 2a
cos θ + ar
r
(0.5 Punkte) und
1
q
1+
2a
r
2003-05-09 Nachklausur
cos θ +
¡
µ 3¶
2¢
a
a cos (Θ) −1/2 + 3/2 (cos (Θ)) a2
+
+O
2
¡ a ¢2 = 1−
r
r
r3
r
c
20 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
Matrikelnummer
21
(0.5 Punkte)
• Zusammengesetzt ergibt sich
a cos (Θ)
qa cos (Θ)
q
2
=
4π²0 r
r
2π²0 r2
ϕ(r, Θ, φ) =
(0.5 Punkte)
√
(d) ϕ(100a, π/6, 3π/2) =
(e)
3q
40000aπ²0
(0.5 Punkte)
• Das elektrische Feld wird mit
~ Θ, φ) = −grad ϕ(r, Θ, φ)
E(r,
gegeben.
• Der Gradient in Kugelkoordinaten (~er , ~eΘ , ~eφ ) ist durch
grad U =
gegeben.
• Also ist
·
~ Θ, φ) = − ∂
E(r,
∂r
∂U
1 ∂U
1 ∂U
~er +
~eΘ +
~eφ
∂r
r ∂Θ
r sin Θ ∂φ
µ
¶
µ
¶ ¸
qa cos (Θ)
qa cos (Θ)
1 ∂
~er +
~eΘ
2π²0 r2
r ∂Θ
2π²0 r2
da φ in der Gleichung nicht explizit auftaucht. (0.5 Punkte)
•
·
¸
qa cos (Θ)
1 −1 qa sin (Θ)
~
E(r, Θ, φ) = − −
~er +
~eΘ
r3 π²0
r 2 r2 π²0
• Nun ist
·
¸
qa
sin
(Θ)
~ Θ, φ) =
E(r,
cos (Θ) ~er +
~eΘ
π²0 r3
2
(0.5 Punkte)
• Eingesetzt:
√
1
3q
1
q
~ Θ, φ) =
E(r,
~er +
~eΘ
2
2
2000000 a π ²0
4000000 a π ²0
Und damit
~ Θ, φ) =
E(r,
·
¸
√
1
1
q
3~er + ~eΘ
2000000 a2 π ²0
2
(0.5 Punkte)
2003-05-09 Nachklausur
c
21 °2003
University Ulm, Othmar Marti
Nachklausur Name:
4
Matrikelnummer
22
Notenskala
Punkte
Note
0-11,5
5
12-12,5
4
13-13,5
3,7
14-14,5
3,3
15-15,5
3
16-16,5
2,7
17-17,5
2,3
18-18,5
2
19-19,5
1,7
20-20,5
1,3
21-36
1
Anzahl
2003-05-09 Nachklausur
c
22 °2003
University Ulm, Othmar Marti