Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten
Auflagerkräfte
Es gelten die Gleichgewichtsbedingungen: H = 0, V = 0, M = 0
Bemerkung: Für die Auflagerkräfte werden statt FAx und FAy bzw. FB nun die in der Statik auch
üblichen Bezeichnungen AH und AV bzw. B verwendet.
Lösung:
= arctan 2_4 = 26,565...°
()
1) H = 0: AH – FH = 0
V = 0: AV – FV + B = 0
Ma = 0: –FH · h_2 – FV · _2 + B · = 0
= FH
I: AH
II:
AV + B = FV
III:
B · = FH · h_2 + FV · _2
( )( )
3)
|
1 0 0
0 1 1
0 0 1 0 0
0 1 1
0 0 ·
AH
AV
B
=
(
FH
FV
FH · h_2 + FV · _2
B
AV
AH
ℓ=4m
• Die Kraft F wird in ihre
FH = F · sin ≈ 1,12 kN, FV = F · cos ≈ 2,24 kN
2)
F = 2,5 kN
h=2m
Z3.4 Auf einen schrägen Träger wirkt in der Mitte eine Kraft F.
1) Stelle das Gleichungssystem zur Berechnung der
Auflagerkräfte AH, AV und B auf.
2) Gib das Gleichungssystem in Matrixschreibweise an.
3) Begründe, warum das Gleichungssystem eindeutig
lösbar ist.
4) Invertiere die Matrix und berechne die Auflagerkräfte.
horizontale und vertikale
Komponente zerlegt.
• Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingungen;
die Momente erhält man
als Produkt von Kraft mal
Normalabstand.
• Gleichungssystem
)
| = 1 · | 10 1| = 1 · = ≠ 0
Das Gleichungssystem ist lösbar, da die
Determinante der Koeffizientenmatrix ≠ 0 ist.
• Die Berechnung der inversen
4)
AH ≈ 1,118 kN, AV ≈ 0,839 kN, B ≈ 1,398 kN
Matrix und die anschließende
Multiplikation werden mithilfe
von Technologieeinsatz (zB
Mathcad) durchgeführt.
Mithilfe des Symbols
kann die Größe der Matrix
festgelegt und dann die Werte
eingegeben werden.
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Matrizen und Determinanten
Z3.5 Stelle das Gleichungssystem zur Berechnung der Auflagerkräfte auf. Gib es in
Matrixschreibweise an und berechne anschließend die Auflagerkräfte.
BH
a)
b)
F2 = 2 kN
F = 600 N
B
AH
AH
AV
1m
BV
h=2m
F1 = 1,5 kN
2m
ℓ=4m
B
30°
AV
1m
ℓ=2m
Rundschnittverfahren
Bei der Berechnung der Stabkräfte von Fachwerken wird
unter anderem das Rundschnittverfahren angewandt.
Dabei denkt man sich das Fachwerk rund um einen Knoten
aufgeschnitten. Die Stabkräfte werden als Zugkräfte angesetzt.
Das Verfahren kann angewandt werden, wenn zwei unbekannte
Stabkräfte in einem Punkt aufeinander treffen. Diese werden
dann mithilfe der Gleichgewichtsbedingungen H = 0 und
V = 0 berechnet.
F
S2
S1
F
Z3.6 In der Abbildung ist ein Knoten eines Fachwerks dargestellt.
F = 800 N
Berechne die Stabkräfte S1 und S2. Handelt es sich um ZugS1
S2
oder Druckstäbe? Berechne mithilfe einer Matrix.
= 30°
Lösung:
= 45°
S1H = S1 · cos , S1V = S1 · sin • Die Stabkräfte werden in eine
S2H = S2 · cos , S2V = S2 · sin horizontale und vertikale
H = 0: –S1H + S2H = 0
Komponente zerlegt.
V = 0: S1V + S2V + F = 0
• Aufstellen des
I: –S1 · cos + S2 · cos = 0
Gleichungssystems
II: S1 · sin + S2 · sin = –F
(
–cos cos S1
0
·
=
–F
sin sin S2
(
3 2
___
– ___
S1
0
2
2
2 · S = –800
_1 ___
2
2
2
()(
F
)( ) ( )
)( ) ( )
S1H
S1V
S1
S2H
S2
S2V
• Matrixschreibweise
)( ) (
1 – 3
3 –1
S1
0
–585,640...
= ______
=
3 – 3) · 2 ·
6 – 2 –(
_________
–800
S2
–717,260...
2
2
)•
Berechnung der Stabkräfte
mithilfe der inversen Matrix
Da die Kräfte negatives Vorzeichen haben,
handelt es sich um Druckkräfte.
S1 ≈ –586 N, S2 ≈ –717 N
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1
F = 1,2 kN
s2
s1
1,5 m
Z3.7 Berechne die Stabkräfte des Fachwerks, indem du im
gekennzeichneten Knoten 1 das Rundschnittverfahren
anwendest. Rechne mithilfe einer Matrix.
45°
2,5 m
Mithilfe des Rundschnittverfahrens können die Auflager- und Stabkräfte gleichzeitig berechnet
werden.
Z3.8 Von dem dargestellten Fachwerk sind folgende Gleichungen
AV
AH 1
der Rundschnitte in den Knoten gegeben:
Knoten 1: AH + S2 · sin = 0
s2
s3
AV + S3 + S2 · cos = 0
Knoten 2: B + S1 = 0
B
3
s1
S3 = 0
2
F
Knoten 3: S1 + S2 · cos = 0
F – S2 · sin = 0
1) Überprüfe die Gleichungen auf ihre Richtigkeit und stelle sie gegebenenfalls richtig.
2) Gib das Gleichungssystem in Matrixschreibweise an.
3) Berechne die Auflager- und Stabkräfte, wenn die Kraft F = 400 N beträgt und die Stäbe
s1 und s3 gleich lang sind. Gib an, ob es sich um Zug- oder Druckstäbe handelt.
Lösung:
1) Die Gleichungen ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen H = 0 und
V = 0.
Im Knoten 1 muss allerdings gelten:
AH + S2 · cos = 0
AV + S3 + S2 · sin = 0
2)
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
cos sin 0
0
cos sin 0
1
0
1
0
0
AH
AV
B
S1
S2
S3
0
0
0
0
0
F
( )( ) ()
( ) ( )() ( )
·
=
2
3) = 45°, cos = sin = ___
2
AH
AV
B
S1
S2
S3
=
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
–1
0
0
0
1
0
0
–1
1
0
0
–1
–1
1
–1
2
0
·
0
0
0
0
0
F
=
–F
–F
F
–F
2 · F
0
• Aufgrund der einfachen Bauart
der Matrix, kann die Inverse
mithilfe des Gauss-JordanAlgorithmus ermittelt werden.
AH = AV = –400 N, B = 400 N,
S1 = –400 N (Druckstab), S2 ≈ 567 N (Zugstab), S3 = 0 N
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Z3.9 Von dem dargestellten Fachwerk sind folgende Gleichungen
der Rundschnitte in den Knoten gegeben.
1) Überprüfe die Gleichungen auf ihre Richtigkeit und stelle
sie gegebenenfalls richtig.
2) Gib das Gleichungssystem in Matrixschreibweise an.
3) Berechne die Auflager- und Stabkräfte, wenn F = 600 N,
= 45° und = 30° betragen. Gib an, ob es sich um Zugoder Druckstäbe handelt.
3
F
s1
B
2
Knoten 3: S1 · cos + S2 · cos = 0
F – S2 · sin + S1 · sin = 0
F1
1,25 m
= 45° 1
s1
= 30°
s2
s3
F2
2
1,25 m
Z3.10 Von dem dargestellten Fachwerk sind folgende
Gleichungen der Rundschnitte in den Knoten gegeben.
1) Überprüfe diese auf ihre Richtigkeit und stelle sie
gegebenenfalls richtig.
2) Gib das Gleichungssystem in Matrixschreibweise an.
3) Berechne die Auflager- und Stabkräfte, wenn
F1 = 800 N und F2 = 1,2 kN betragen.
Knoten 1: F1H + S1H = 0
F1V + S2 + S1V = 0
Knoten 2: S4H – S1H – S3H = 0
F2 – S1V + S3V + S4V = 0
s2
s3
s4
AH 3
4
s5
AV
B
2,5 m
Knoten 3: AH + S3H + S5 = 0
AV + S2 + S3V = 0
Knoten 4: S5 + S4H = 0
B + S4V = 0
Z3.11 1) Stelle die Gleichungen in den Knoten auf.
2) Gib das Gleichungssystem in Matrixschreibweise an.
3) Berechne die Auflager- und Stabkräfte.
4) Berechne die Auflagerkräfte auf herkömmliche Weise.
Vergleiche die Ergebnisse mit Aufgabe Z3.7.
F = 1,2 kN
1
s1
1,5 m
Knoten 1: AH + S2 · cos = 0
AV + S3 + S2 · sin = 0
Knoten 2: B + S1 · sin = 0
S3 + S1 · cos = 0
AV
1
AH
A
s2
s3
45°
B
2,5 m
Dreimomentengleichung
Die Dreimomentengleichung von Clapeyron (Benoît Clapeyron, französischer Ingenieur,
1799 – 1864) bietet eine Möglichkeit, die Stützmomente Mi eines Durchlaufträgers zu bestimmen.
Durchlaufträger sind Träger, die mehr als zwei Auflager
M0
Ml
Mm
Mr
Mn
haben, sie sind daher statisch unbestimmt. Das heißt,
ℓℓ
ℓr
sie können nicht durch die Gleichgewichtsbedingungen
berechnet werden. In der einfachsten Form lautet die
Dreimomentengleichung: ∙ M + 2 ∙ ( + r) ∙ Mm + r ∙ Mr = – ∙ R – r ∙ Lr
Die Indizes bzw. r bedeuten jeweils die Stützweite bzw. das Stützmoment links bzw. rechts von
Mm. R und Lr sind Belastungsglieder, die aus Tabellen entnommen werden können. Es werden
so viele Gleichungen benötigt, wie Innenstützen vorhanden sind.
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