HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik II Prof

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Wirtschaftsmathematik II
Differentialrechnung
Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 7:
Anwendung der Differentialrechnung
1. Zu den folgenden Funktionen gebe man das Differential dy und die Differenz der
Funktionswerte ∆y = f (x+dx)−f (x) an, die an der Stelle x = x0 zum angegebenen
Zuwachs dx der unabhängigen Variablen x gehören! (Erklären Sie die unterschiedlichen Abweichungen!)
(a) y = f (x) = 3(x − 1)2 ,
√
(b) y = f (x) = 2 · x7 ,
√
(c) y = f (x) = 2 · x7 ,
x0 = 1;
x0 = 25;
x0 = 0.25;
dx = 1,
dx = 1,
dx = 1,
dx = 2
dx = 2
dx = 2
2. Die Länge eines zwischen zwei gleich hohen Masten gespannten Starkstromkabels
beträgt
(
)
8h2
l =d 1+ 2 ,
3d
wobei d der Abstand zwischen den Masten und h die maximale Durchhängung des
Kabels (maximaler Abstand des Kabels von der Verbindungsgeraden zwischen den
Befestigungspunkten des Kabels) sind. Es sei d = 100m und h = 3m. Bestimmen
Sie mit Hilfe des Differentials näherungsweise, um wie viel sich die Durchhängung
vergrößert, wenn sich die Länge des Kabels durch Wärmeausdehnung um 1% vergrößert!
3. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
x2 − 8x + 12
(e)
x→2
x
−
2
√
3
1 + 5x − 1
(f)
(b) lim
x→0
2x
2xn
(c) lim
, m, n ∈ N
(g)
x→∞ 3xm
m
x
(d) lim ax , a > 0, m ∈ N (h)
x→∞ e
(a) lim
(ln x)2
x→∞
x
√
3
x−1
lim √
x→1 5 x − 1
ax−2 − bx−2
lim
x→2
x−2
lim xx
lim
x→+0
1
(i) lim x 1−x
x→1
(j)
(
)
√
lim x − x2 − x + 1
x→∞
(
)
1
1
−
(k) lim
x→0
ln(1 + x) x
x2 − x − 12
(l) lim
x→2
(x − 2)2
4. Die Ausgaben für Wohnungsmiete W [GE] in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y [GE] seien gegeben durch die Funktion
W (Y ) = 400 + 0, 05Y
,
wobei Y > 500.
(a) Ermitteln Sie die Einkommenselastizität der Mietausgaben!
(b) Um wie viel werden die Mietausgaben statistisch steigen (in %), wenn sich das
Einkommen, von einem Einkommensniveau Y0 = 5000 (Y0 = 2000) ausgehend,
um 5% erhöht?
5. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion
K(x) = 0, 08x3 − 2x2 + 50x + 300,
x ≥ 0,
wobei der Output x in MEx und die Kosten K in GE angegeben sind.
(a) Ermitteln Sie mit Hilfe des Differentials, wie sich, ausgehend von einem Outputniveau x0 = 10 eine Erhöhung des Outputs um 2 MEx (eine Senkung des
Outputs um 3 MEx ) auf die Kosten auswirkt!
(b) Wie hoch ist die Elastizität der Kosten bzgl. des Outputs an der Stelle x0 = 10?
(c) Wie hoch ist die Elastizität des Outputs bzgl. der Kosten an der Stelle x0 = 10?
(d) Bei welchem Output würde eine Output-Erhöhung um 1% eine Kostensteigerung von 3% bewirken?
(e) Bei welchem Output sind die Stückkosten minimal? Vergleichen Sie die minimalen Stückkosten mit dem Wert der Grenzkostenfunktion an dieser Stelle!
Wie ist dieser Wert der minimalen Stückkosten interpretierbar?
6. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion [Kosten in e ]
K(x) = 2 x3 − 30 x2 + 178 x + 6 000,
x≥0
und kann in Abhängigkeit vom Preis p [in e ] die in der Absatz-Preis-Funktion
angegebene Menge
25 · p
x(p) = 10 000 −
2
in MEx absetzen.
(a) Bestimmen Sie für den Fall, dass das Unternehmen seine Monopolstellung verliert, das Betriebsoptimum, d.h. die minimalen stückbezogenen Kosten. Was
gibt dieser Wert an?
(b) Bestimmen Sie, welchen Preis das monopolistische Unternehmen fordern muss,
um den maximalen Gewinn zu erzielen?
(c) Wie groß ist die Elastizität des Gewinns bezüglich des Outputs bei einem
Output von x = 20 ME? Interpretieren Sie diese Größe ökonomisch!
7. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen arbeite nach der ertragsgesetzlichen
Kostenfunktion
K(x) = 0.05x5 − x4 + 18x3 − 180x2 + 800x + 300.
Die Preis-Absatz-Funktion sei
p(x) = 400 −
100
x
3
und der ökonomische Definitionsbereich beider Funktionen sei Dök = [0; 12]
(a) Bestimmen Sie die Fixkosten und die Funktionen für die Stückkosten und für
die variablen Stückkosten!
(b) Von welchem Output xS an sind die Kosten progressiv steigend? (Verwenden
Sie gegebenenfalls das NEWTON-Verfahren.)
(c) Bestimmen Sie die Elastizität der Stückkosten bzgl. des Preises bei einem Preis
von p = 300! Was sagt dieser Wert aus?
8. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion [Kosten in e ]
K(x) = 2x3 − 90x2 + 1500x + 300.
(a) Das Unternehmen muss sich eine Marktstrategie erarbeiten und auf die Entwicklung des Marktpreises entsprechend reagieren. Dafür sind die folgenden
Größen zu berechnen:
(a1) Bestimmen Sie, von welchem Output x0 an die Kosten als Funktion des
Outputs progressiv steigen!
(a2) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum, d.h. die minimalen Stückkosten!
Welchen Preis muss das Unternehmen fordern, um die gesamten Produktionskosten decken zu können?
(a3) Bestimmen Sie das Betriebsminimum, d.h. die minimalen stückbezogenen
variablen Kosten! Welchen Preis muss das Unternehmen fordern, um wenigstens die laufenden Kosten decken zu können?
(b) Das Unternehmen hat alle Konkurrenten vom Markt verdrängt, sei nun ein
monopolistisches Unternehmen und kann in Abhängigkeit vom Preis p [in e ]
die in der Absatz-Preis-Funktion angegebene Menge
x(p) = 25 − 0, 0125 · p
in MEx absetzen.
(b1) Bestimmen Sie den erzielbaren Preis p als Funktion des Absatzes x sowie die ökonomischen Definitionsbereiche dieser Funktion und der AbsatzPreis-Funktion!
(b2) Bei welchem Preis und welchem zugehörigen Output erzielt das Unternehmen den maximalen Gewinn bzw. max. Deckungsbeitrag und wie groß sind
diese?
(b3) Bestimmen Sie näherungsweise, welchen Preis das Unternehmen mindestens fordern muss, um mit Gewinn arbeiten zu können?
Lösungen
1.
(a) für dx = 1 gilt dy = 0, ∆y = 3;
für dx = 2 gilt dy = 0, ∆y = 12
(b) für dx = 1 gilt dy = 21875, ∆y = 22990.7;
für dx = 2 gilt dy = 43750, ∆y = 48301.7
(c) für dx = 1 gilt dy = 0.21875, ∆y = 4.3517;
für dx = 2 gilt dy = 0.43750, ∆y = 34.1563
3d
· dl = 6, 25 m
2. dh = 16h
3. (a) −4
(b)
5
6

 0, n < m
2
, n=m
(c)
 3
∞, n > m
(e) 0
(i)
1
e
5
3
(j)
1
2
(g) ln a − ln b
(k)
1
2
(h) 1
(l) −∞
(f)
(d) 0
Y
4. (a) εW,Y = Y +8000
, (b) 1.923% (1%)
′
5. (a) dK = K (10) · dx = +68 bei dx = 2;
bzw. dK = K ′ (10) · dx = −102 bei dx = −3
(b) εK,x = 0.5; , (c) εx,K = 2, (d) x = 57.7872
(e) k(x) = 0.08x2 − 2x + 50 + 300
x , minimale Stückkosten bei xmin = 18.1757.
Es gilt k(xmin ) = K ′ (xmin ) = 56.5862.
6. (a) x = 14.568 kmin = 577.275 (langfristiger Mindestpreis)
(b) p = 798.694;
Gmax = 3426.59
(c) εG,x = −4.82724; Um den Gewinn um 1% zu steigern, müsste der Output um 0.2% reduziert
werden.
7. (a) Kf = 300;
1 4
k(x) = 20
x − x3 + 18x2 − 180x + 800 + 300
x ;
1 4
kv (x) = 20 x − x3 + 18x2 − 180x + 800
(b) xs = 4.920
(c) εk,p = 2.289; Bei Preisanstieg von 1% wachsen Stückkosten um ca. 2.3%.
8. (a1) x0 = 15 ME
(b1) p = 2000 − 80x,
Dx(p) = [0; 2000], Dp(x) = [0; 25]
(a2) x = 22.642 ME,
p ≥ 500.79 e/ME (b2) p = 1124.32 e/ME,
Gmax =
3748.16 e
(a3) x = 22.5 ME,
p ≥ 487.50 e/ME (b3) mindestens 540.08 e/ME
(aber höchstens 1952.50 e/ME)