Stochastik - Raphael Michel

Stochastik
Zusammenfassung Abitur
Raphael Michel
20. März 2013
0.1 Ereignis und Gegenereignis
Zu jedem Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p gibt es ein Gegenereignis mit der Wahrscheinlichkeit
(1 − p).
0.2 Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades in einem Baumdiagramm werden multipliziert.
0.3 Binomialkoeffizient
n
k
!
=
n · (n − 1) · · · (n − (k − 1))
k!
(1)
1 Binomialverteilung
Wenn eine Zufallsvariable X sich als Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette der Länge n und Trefferwahrscheinlichkeit p beschreiben lässt, dann heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung P
Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Die Wahrscheinlichkeit P (X = r) für r Treffer
berchenet man mit der Bernoulli-Formel:
!
P (X = r) = Bn;p (r) =
n
· pr · (1 − p)n−r
k
(2)
Der Erwartungswert von X beträgt
µ=n·p
(3)
1.1 Standardabweichung
Die Standardabweichung beträgt:
σ=
q
n · p · (1 − p)
(4)
Sie ist ein Maß für die Breite der glockenförmigen Konturkurve der zugehörigen Binomialverteilung.
Es zeigt sich:
1
Intervall
Wahrscheinlichkeit
[µ − σ; µ + σ]
[µ − 2σ; µ + 2σ]
[µ − 3σ; µ + 3σ]
≈ 68,3%
≈ 95,4%
≈ 99,7%
Tabelle 1: Wahrscheinlichkeiten der σ-Intervalle
1.2 Einseitiger Signifikanztest
Ein Signifikanztest wird eingesetzt, wenn p nicht bekannt ist, man aber eine Vermutung zum Wert von
p hat (Hypothese). Mittels einer Stichprobe möchte man ermitteln, ob die Hypothese stimmt. Hierzu
bestimmt man einen Annahmebereich, in dem das Ergebnis der Stichprobe liegen muss, damit die
Hypothese angenommen wird.
Wenn man die Hypothese aufstellt, dass p den Wert p0 hat, nennt man dies die Nullhypothese
H0 : p = p0 . Zusätzlich definiert man die Alternative, beim linksseitigen Signifikanztest H1 : p < p0
und beim rechtsseitigen H1 : p > p0 . Zusätzlich legt man den Stichprobenumfang n und das Signifikanzniveau α fest. Das Signifikanzniveau entspricht der maximalen Wahrscheinlichkeit, mit der die
Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie stimmt.
Nun bestimmt man den Annahmebereich:
Beim linksseitigen Test ist der Annahmebereich [a; n] mit dem kleinsten a, für das P (X ≤ a) > α
ist.
Beim rechtsseitigen Test ist der Annahmebereich [0; b] mit dem kleinsten b, für das P (X ≤ b) > 1−α
ist.
Nun führt man die Stichprobe durch. Liegt das Ergebnis im Annahmebereich, wird H0 akzeptiert,
andernfalls verworfen.
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