Grundwissen: Mathematik (6. Jahrgangsstufe)

CJT-Gymnasium Lauf  Grundwissen (& Aufgaben) Jahrgangsstufe 9 (7/2008)
Wissen / Können
Beispiele
1. Reelle Zahlen
Für a  0 ist
a diejenige nicht negative
Zahl, deren Quadrat a ergibt.
16  4 , denn 4 2  16 und 4  0 ;
 16 hingegen ist nicht definiert, da  16  0 .
a selbst
heißt Quadratwurzel, a ist ihr Radikand.
All diejenigen Zahlen, die sich nicht durch
Brüche darstellen lassen, wie z.B.
2
Gib die jeweils „kleinstmögliche“ Menge an, welche die Zahl
oder  , heißen irrationale Zahlen.
Zusammen mit den rationalen Zahlen
bilden diese die Menge R der reellen
Zahlen.
[
75 
Radiziere teilweise wie im Beispiel:
2646 ;
8a 5 ;
7 R;
7;
9 ; 1, 3 ;
2
;  5 oder
5
9  3  N; 1, 3  Q ;
2
5
11 enthält?
 Q;  5 Z;
11  R ]
25  3  5 3
[ 21 6 ; 2a 2 2a ; 20 a b 5b
2000a 2 b 3
]
48a : 6  5 2a  8a  5 2a  2 2a  5 2a  3 2a
Vereinfache wie im Beispiel:
14x  42x  (5 2 x ) 2 ;
Es gilt für alle a  R :
a2  a .
1
16
Weitere Rechenregeln ( a , b  0 ) :
Mache den Nenner rational:
a  b  ab

a : b  a : b für b  0

Aber i.A.:
a  b  ab !
Verfahre ebenso:
35 7
7
2 a
;

[
(2  7 )  (3  5 7 )
(3  5 7 )  (3  5 7 )
b
b a
;

a  b  a  2ab  b ;
a  b  a  b  a 2  b 2 .
2
2

2p  7 ;
6  13 7  35
9  175

1
4
 2s ]
13 7  41
166
.
3
6 5
Binomische Formeln (vgl. GW 7):
2
(3 p  4q) 2  3 p  4q
 s  4s 2
2 7
a
[ x  (14 3  50) ;  a  b ; 3 10  3 ]
9 p 2  24 p q  16q 2 
Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:
4 p 2  28 p  49 ;

(a  b) 2 ; 90  9
[
a  2 7  2 a  7a
4a
;
b  ab
ba
;
3 2 5 3
 19
]
Für a  0 und n  N mit n  2 ist n a
diejenige nicht negative Zahl, deren n-te
n
Potenz a ergibt.
p
man fest: a
 a
q
Vereinfache: ( 2
8
)2

8
1
(26
)2
a heißt n-te Wurzel.
Für a  0 und p  Z sowie q N setzt
q
1
6
p

und a
Analog:
3
9 3 3  (6 3)

8 1

26 2
8
n 7
;
8
1
53
 56
 5 6  6 517
4
9  3 3 : ( 6 3 )5
2

23
5
2 ;

3
3
3
4;
5
8
6
2 x : 3 16x ; y
5
2

:y
17
4
5
;
p
q
1

q
a
[ 3  3
.

4
5
3
7n
p
; 2
;
1
2

; y
6
5
;1]
Rechenregeln ( a , b  0 , r, s  Q):
r s
r s

ar a s  a

a r  b r  ( a  b) r , a r : b r  ( a : b) r

(a r ) s  a
, a r: a s  a
r s
2. Mehrstufige Zufallsexperimente
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment
besteht aus mehreren Teilexperimenten.
Ein n-stufiges Zufallsexperiment hat als
Ergebnisse n-Tupel (a1 ; a 2 ; ...; a n ) .
Jedes n-Tupel beschreibt genau einen Pfad
im zugehörigen Baumdiagramm vom
Startpunkt bis zum Ende des zugehörigen
Astes.
1. Pfadregel
Man erhält die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades
miteinander multipliziert.
2. Pfadregel
Man erhält die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten der Pfade all derjenigen Ergebnisse aufsummiert, die zu diesem Ereignis
führen.
Eine Urne enthält zwei rote, eine blaue und fünf grüne Kugeln. Es werden nacheinander ohne Zurücklegen
zwei Kugeln gezogen. Die Ergebnisse kann man mit Hilfe eines Baumdiagramms veranschaulichen. Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment.
2
8
b
r
1
7
r
rr
1
7
b
rb
5
8
1
8
2
7
5
7
g
rg
g
5
7
2
7
1
7
4
7
r
g
r
b
g
br
bg
gr
gb
gg
Wie wahrscheinlich ist es, dass man als erstes eine blaue und dann eine grüne Kugel zieht? Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass man genau eine rote Kugel zieht?
[ P b ; g  
1 5
5
2 1 2 5 1 2 5 2 3
 
; P " genau eine rote Kugel"          ]
8 7 56
8 7 8 7 8 7 8 7 7
3. Quadratische Funktionen und Gleichungen
Eine Funktion der Form
f : x  a x 2  b x  c , a  0; D f  R ;
wird als quadratische Funktion bezeichnet; ihr Graph heißt Parabel.
Der Graph speziell zu
f x   x 2 ; D f  R ;
heißt Normalparabel. Veränderungen der
Graphen im Vergleich zur Normalparabel:
 f x   x  e in y-Richtung verschoben, Scheitelpunkt S (0 / e) ,
f x   x 2  2
f x   2 x
f x   x  1
2
f x   x 2
2
g x   1 x 2
2
h  x   2 x 2
h x   2 x 2
2
 f x   x  d  in x-Richtung verschoben, Scheitelpunkt S (d / 0) ,
2
 f x   a x , falls a  0 „nach oben
geöffnet“, falls a  0 „nach unten“, für
a  1 weiter, für a  1 enger.
f x    x  2  3
2
Bestimme die Koordinaten der Scheitel und die Nullstellen der obigen Graphen.
Gib zur verschobenen Normalparabel mit dem Scheitel S (2 /  3) den Funktionsterm an.
[ f x   x  2  3 ]
2
Jede quadratische Funktion kann durch
quadratische Ergänzung auf Scheitelpunktsform gebracht werden:
 f x   a  x  d   e heißt Scheitelpunktsform der Parabel mit S (d / e)
2
2
Beschreibe wie der Graph von f x    0,5  x  1  3 aus der Normalparabel hervorgeht.
[ weiter als die Normalparabel, Spiegelung an der x-Achse,
Verschiebung um 3 LE nach unten und 1 LE nach rechts ]
2
Bestimme die Scheitelpunktsform von f x   0,5 x 2  2,5 x 
ax 2  bx  c  0 , a  0
heißt quadratische Gleichung.


2
[ f x   0,5   x  5 x 
22 
22 
22 


2
 0,5   x 2  2 x  2,5  2,5 2  2,5 2 
 0,5   x  2,5  2,5 2 



8 
8 
8 


 0,5   x  2,52  9   0,5  x  2,5  4,5  S (2,5 /  4,5) ]


2
Gib die Gleichung einer quadratischen Funktion an, deren Graph bei x1  3 und x 2  2 Nullstellen besitzt
und nach unten geöffnet ist. Bei welcher x-Koordinate liegt ihr Scheitel?
[ z.B. f x   x  3  x  2 ; Scheitel bei x s  0,5 ]
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen:
Lösungsformel:
x1/ 2 
11
und zeichne den Graphen in ein Koordinaten8
system ein.
 f x   a  x  x1   x  x2  heißt Nullstellenform (Linearfaktorzerlegung)
Eine Gleichung der Form
[ vgl. Zeichnung ]
b
b 2  4ac
2a
a) x 2  5 x  0
b) 2 x 2  12x  3  13
[ x ausklammern, L  { 5 ; 0 } ]
[ alles auf die linke Seite: 2 x 2  12x  10  0 , dann Lösungsformel: L  {1; 5} ]
Mit den Lösungen dieser Gleichung kann
man (sofern sie existieren) die Linearfaktorzerlegung angeben:
a x 2  b x  c  a  x  x1   x  x2  .
Berechne die Nullstellen von f : x  0,2 x 2  3 x  2 ; D f  R .
x  p x  q  0 findet man die Lösungen
auch mit Hilfe des Satzes von Vieta:
x1  x2   p und x1  x2  q .
Wie viele Lösungen hat die Gleichung 16t 2  8t  1  0 ?
[ Diskriminante D  b 2  4ac  64  64  0 , daher eine Lösung L  { 0,25} ]
Gib eine Linearfaktorzerlegung (Nullstellenform) für f x   2 x 2  10x  12 an.
[ Nullstellen x1 , x 2 bestimmen, dann in f x   a  x  x1   x  x2  einsetzen: f x   2  x  2  x  3 ]
Löse x 2  x  6  0 mit Vieta.
4. Quadratische Funktionen in Anwendungen
Bestimmung des Funktionsterms
Kennt man drei verschiedene Punkte des
Graphen einer quadratischen Funktion f ,
so lässt sich mit Scheitelpunktsform,
Nullstellenform
(Linearfaktorzerlegung)
oder dem Ansatz f : x  a x 2  b x  c an
Hand eines Gleichungssystems der Funktionsterm von f bestimmen.
Gleichungssyteme mit drei Variablen
Man kann z.B. eine Gleichung nach einer
Variablen auflösen und diese in die beiden
anderen Gleichungen einsetzen. Das so
entstandene Gleichungssystem mit zwei
Gleichungen und zwei Variablen wird nach
dem bekannten (GW8) Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren gelöst.
Schnittpunkte von Funktionsgraphen
Die Funktionsterme der Graphen werden
gleichgesetzt und die dadurch entstehende
Gleichung nach x aufgelöst. Jede Lösung
ist x-Koordinate eines Schnittpunkts. Den
zugehörigen y-Wert erhält man durch
Einsetzen in einen der beiden Funktionsterme.
15  185 15  185
;
}
2
2
]
Für Gleichungen der „normierten“ Form
2
[ L  {
Bestimme jeweils einen Funktionsterm zu den rechts
gezeichneten Graphen.
Ordne rechts die Funktionsterme richtig zu:
x 2  1,5 ; 0,5  x  3  2 ; x  1,5  1 ;  x  2 .
2
2
2
Gib die Gleichung der Parabel durch die folgenden
3 Punkte an. Berechne auch die Scheitelpunktsform.
A (1 / 0) , B (2 / 1) und C (4 /  3) .
[ A (1 / 0)  G f  a  b  c  0
B (2 / 1)  G f  4a  2b  c  1
C (4 /  3)  G f  16a  4b  c  3
Gleichungssystem lösen: a  1 ; b  4 ; c  3 ;
f x    x 2  4 x  3   x  2  1 ]
2
Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der beiden Funktionen f x   x 2  2 x
und g x   x  2 zeichnerisch und rechnerisch.
[ Terme gleichsetzen und nach x auflösen, S1 (2 / 0) ; S 2 (1 / 3) ]
5. Satzgruppe des Pythagoras
Satz des Pythagoras:
Wenn ein Dreieck ABC in C rechtwinklig ist, dann sind die Flächen der Quadrate
über den beiden Katheten a, b zusammen
flächengleich zum Quadrat über seiner
Hypotenuse c :
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
a2  b2  c2 .
Auch die Umkehrung dieses Satzes ist
richtig:
Gilt in einem Dreieck ABC (mit den
Seitenlängen a, b und c ) die Gleichung
a 2  b 2  c 2 , dann ist es rechtwinklig im
Punkt C .
Kathetensatz:
 Höhe im gleichseitigen Dreieck: h 
a
2
3
 Diagonale im Quadrat: d  a 2 bzw. Raumdiagonale im Quader: e 
 Entfernung zweier Punkte A ( x / y ) und B ( x / y ) : AB 
A
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über einer Kathete flächengleich zum
Rechteck aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt:
a2  c  p ; b2  c  q .
Höhensatz:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Höhe (auf der Hypotenuse)
flächengleich zum Rechteck aus den beiden
Hypothenusenabschnitten:
h2  p  q .
A
B
l 2  b2  h2
(x A  xB ) 2  ( y A  yB ) 2
B
Konstruiere auf zwei Arten ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 15 cm 2 .
[ Kathetensatz oder Höhensatz]
Berechne die fehlenden ( zum Vergleich bereits als Lösungen in Klammern eingetragenen) Größen für ein bei
C rechtwinkliges Dreieck ABC:
a
b
c
p
q
hc
A
4 cm
3 cm
(5 cm)
(3,2 cm)
(1,8 cm)
(2,4 cm)
(6 cm2)
( 4 5 cm)
( 8 5 cm)
(20 cm)
4 cm
160 mm
(8 cm)
(80 cm2)
(12 cm)
6 cm
( 6 5 cm)
( 4,8 5 cm)
( 1,2 5 cm)
( 2,4 5 cm)
36 cm2
Berechne den Abstand der Punkte P ( 4 /  3) und Q (2 /  6) .
[ 3 5 LE ]
Ein Quadrat hat eine Diagonale der Länge 18 cm . Berechne die Seitenlänge des Quadrats.
[ 9 2 cm ]
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 10 cm . Berechne die Höhe des Dreiecks.
[ 5 3 cm ]
Berechne die Raumdiagonale eines Würfels mit 4 cm Kantenlänge.
[ 4 3 cm ]
6. Trigonometrie
Im rechtwinkligen Dreieck mit Winkel 
gilt:
Gegenkathete von 
sin  
Hypotenuse
cos 
tan 
Bestimme für ein in B rechtwinkliges Dreieck ABC mit a  5,0 cm
und AC  9,5 cm alle Seitenlängen und Winkel. Gib ferner sin  ,
cos und tan als ganzzahlige Verhältnisse von Seitenlängen an.
[   31,8 o ;   58,2 o ; c  8,1 cm ;
10
81
50
]
sin   ; cos 
; tan 
19
95
81
Ankathete von 
Hypotenuse
Gegenkathete von 
Ankathete von 
Wie lang ist der Schatten einer 35,0 m hohen Tanne, wenn die Sonnenstrahlen unter einem Winkel von 25,0 o
gegen die Senkrechte einfallen.
[
l  16,3 m ]
Am Einheitskreis:
y
In der abgebildeten nicht maßstabsgetreuen Skizze beschreibt h  50,0 m die Höhe eines Turms. Die Strecke
s  57,5 m gibt die Entfernung des Turms von einem Fluss mit der Breite b wieder. Der Winkel  beträgt
1
hierbei 7,50o . Wie breit ist der Fluss?
tan
1

0
1

sin
h
cos 
1
x
s
b
Für alle Winkel  mit 0    90 gilt:
o

[ tan 1 
sin   cos (90o   ) und
cos  sin (90o   )

(sin  ) 2  (cos ) 2  1

tan 
sin 
cos
[  90o ] .
Es ist sin  
57,5
50
;  1  49,0 o ;    1  56,5 o ; tan 56,5 o 
1
. Berechne daraus cos und tan exakt.
4
]
Vereinfache den Term sin   sin   cos  .
2
[ cos 

[ sin   1  cos 
2
bs
h
15
4
; b  18,0 m ]
; tan 
  sin   cos 
2
15
15
 cos  ]
3
7. Raumgeometrie
Für ein Prisma und einen Zylinder mit der
Grundfläche G , der Mantelfläche M und
der Höhe h gilt:
Kegel
Zylinder
V  Gh
O  2G  M
Für einen Zylinder mit dem Grundkreisradius r und Höhe h ergibt sich daraus:
VZyl  r 2  h
M Zyl  2r   h
OZyl  2r 2  2r   h  2r   (r  h)
Für ein Pyramide und einen Kegel mit der
Grundfläche G , der Mantelfläche M und
der Höhe h gilt:
1
Gh
3
OGM
V 
Für einen Kegel mit Grundkreisradius r ,
Mantellinie s und Höhe h ergibt sich somit:
1 2
r  h
3
 r  s
VKegel 
M Kegel
O Kegel  r 2  r   s  r   (r  s )
Welche Höhe hat ein Zylinder mit Radius r  5,0 cm und Volumen V  550 cm 3 ?
[ 7,0 cm ]
Berechne die Höhe h eines Zylinders mit Radius r  8,0 cm und M  298 cm 2 .
[ 5,9 cm ]
Für einen Zylinder gilt: M  460 cm 2 und die Höhe h ist doppelt so groß wie der Radius r. Berechne r.
[ 6,1 cm ]
Welche Mantelfläche M hat ein Zylinder mit r  11,0 cm und h  40,0 mm ?
[ 276 cm 2 ]
Welche Oberfläche O hat ein Zylinder mit r  1,40 cm und h  4,00 cm ?
[ 47,5 cm 2 ]
Welche Höhe h hat ein Kegel mit Radius r  4,0 cm und Volumen V  127 cm 3 ?
[ 7,6 cm ]
Berechne den Radius r eines Kegels mit s  5,4 cm und M  120 cm 2 .
[ 7,1 cm ]
Welche Mantelfläche M hat ein Kegel mit r  30,0 mm und s  6,25 cm ?
[ 58,9 cm 2 ]
Welche Oberfläche O hat ein Kegel mit r  70,0 mm und s  11,0 cm ? Wie groß ist sein Volumen in Litern?
[ 396 cm 2 ; 564 cm3  0,56 l ]