Präsentation

OBERSTUFE STOCHASTIK
PLANUNG EINER UNTERRICHTSSTUNDE
04.02.2011
Dozentin: StDin Claudia Homberg-Halter
Referenten: Steffen Wind, Karsten Schellenbach
Überblick
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Stochastik im Alltag
Einordnung in den Lehrplan
Längsschnitt und Lernvorraussetzungen
Begriffserklährung
ƒ Zufallsexperiment
ƒ Zufallsvariable
ƒ Erwartungswert
ƒ Varianz & Standartabweichung
Beispiel Stundeneinstieg
Gruppenarbeit & Präsentation
Beispiele Stundenentwurf
04.02.2011
Warum Stochastik?
Stochastische Beispiele aus dem Alltag
04.02.2011
Stochastik im Alltag
Beispiel 1:
Du fährst jeden morgen mit dem Bus zur Uni. Der Bus
kommt allerdings in der Regel immer etwas zu spät,
da du aber in der Kälte nicht warten willst,
kalkulierst du das mit ein und gehst etwas später
aus dem Haus.
Wann musst du an der Haltestelle stehen, um ihn mit
einer gewissen Sicherheit nicht zu verpassen?
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Stochastik im Alltag
Beispiel 2:
Pokernacht, Jimmy hat ein ♥Ass und eine ♠9 auf der
Hand, auf dem Flop liegen ♥Königin, ♣7 und ♦9.
Es kommen noch die Turn und die River Karten.
Wie hoch ist Jimmys Chance auf einen Sieg gegen
♦König und ♠7? (Rein statistisch, keine Bluffs)
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Stochastik im Alltag
Weitere Beispiele:
ƒ Risikoberechnung bei Versicherungen und Banken
ƒ Gewinnwahrscheinlichkeiten bei Lotto und im Casino
ƒ Überbuchung von Flugzeugen
ƒ Quantenmechanik
ƒ Aktienmarkt
04.02.2011
Einordnung in den Lehrplan
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Einordnung in den Lehrplan
04.02.2011
Längsschnitt
Klasse 7:
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Laplace Wahrscheinlichkeiten
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Prozentrechnung
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Zufallsexperimente
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Ereignisse
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Wahrscheinlichkeitsverteilung
Klasse 9:
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Mehrstufige Zufallsexperimente
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Klasse 12:
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Umgang mit Symbolik
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Kombinatorik
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Modellieren mit Zufallsexperimenten
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Diskrete Zufallsgrößen
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Lernvoraussetzungen
Klasse 5:
ƒ Zählen und Darstellen
Klasse 6:
ƒ Mittelwert
ƒ Bruchdarstellung
Klasse 7:
ƒ Prozentrechnung
Klasse 8:
ƒ Terme
ƒ Reelle Zahlen
Klasse 10:
ƒ Summenformalismus
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Begriffserklährung
Zufallsexperiment
ƒZufallsvariable
ƒErwartungswert
ƒVarianz & Standartabweichung
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Zufallsexperiment
Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, muss es
folgende Eigenschaften aufweisen:
ƒ Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab
bekannt.
ƒ Das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht
vorhergesagt werden (Zufälligkeit).
ƒ Das Experiment kann unter identischen Bedingungen
beliebig oft wiederholt werden.
Beispiele:
ƒ Werfen eines Würfels oder einer Münze.
ƒ Ziehen einer Karte aus einem gemischten Stapel.
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Zufallsvariable
Die interessierenden Größen eines
Zufallsexperimentes nennt man Zufallsvariablen.
Zufallsvariablen können auch Funktionen sein die den
Ergebnissen eines Zufallsexperiments (reelle)
Werte zuordnen (Schreibweise: X(ω) wobei ω das
Ergebnis ist).
Beispiel Münzwurf:
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Erwartungswert
(…einer diskreten reellen Zufallsvariable)
Sei E(X) eine Zufallsvariable, die die Werte xi mit
den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten pi annimmt, so
errechnet sich der Erwartungswert E(X) im Falle
seiner Existenz mit:
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Varianz
Die Varianz einer Zufallsvariable X ist ein
Streuungsmaß von X, d. h. ein Maß für die
(quadratische) Abweichung um μ einer
Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert
(Schreibweise: V(X), Var(X) oder σ2 notiert).
Sie ist im Eindimensionalen definiert als:
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Standartabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß für die
Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um
ihren Mittelwert. Sie ist für eine Zufallsvariable X
definiert als die positive Quadratwurzel aus deren
Varianz (Schreibweise σ(X)).
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Beispiel Stundeneinstieg
04.02.2011
Beispiel Stundeneinstieg
Snorre und Tjure haben sich ein neues Spiel
ausgedacht, sie fragen immer fünf Dorfbewohner
wann sie Geburtstag haben. Wenn alle in
unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben,
bekommt Snorre 10 Silbertaler von Tjure wenn
nicht, Tjure 10 Silbertaler von Snorre.
Wer wird wohl auf Dauer bei diesem Spiel mehr Geld
gewinnen?
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Beispiel Stundeneinstieg
Lösung:
Gewinnwahrscheinlichkeit Snorre:
Gewinnwahrscheinlichkeit Tjure:
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Beispiel Stundeneinstieg
Gewinnerwartung Snorre:
Ergebnis:
+10 Silbertaler
-10 Silbertaler
Wahrscheinlichkeit
0,382
0,618
Produkt
3,82
-6,18
Insgesamt:
Snorre verliert also 2,36 Silbertaler pro Spiel.
(Gesetz der Großen Zahlen)
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Beispiel Stundeneinstieg
Gewinnerwartung Tjure:
Ergebnis:
+10 Silbertaler
-10 Silbertaler
Wahrscheinlichkeit
0,618
0,382
Produkt
6,18
-3,82
Insgesamt:
Snorre gewinnt dagegen also 2,36 Silbertaler pro
Spiel.
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Gruppenarbeit
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Gruppenarbeit
Jetzt seid ihr dran…
Erstellt in Gruppenarbeit einen Grobentwurf einer
Unterrichtsstunde zu folgenden Themen
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Einstieg Erwartungswert (2 Gruppen)
Anwendungsbeispiele „Spiele“ (2 Gruppen)
Anwendungsbeispiel „Alltag“ (1 Gruppe)
Zeit: 35min
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Ergebnispräsentation
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Beispiele Stundenentwurf
Roulette
ƒKeno
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Roulette
OHP Folien:
Roulette Tisch
Roulette Rad
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Roulette
Aufgaben:
i)
Berechne den Erwartungswert bei beliebigem
Einsatz für die verschiedenen Arten von
Setzmöglichkeiten.
ii)
Berechne den Erwartungswert beim MartingaleSpiel auf Impair bei 12 Spielen.
iii)
Berechne den Erwartungswert beim MartingaleSpiel auf Impair, wenn man bei Zero die Hälfte
des Einsatzes zurückbekommt (siehe Prison).
04.02.2011
Roulette
Musterlösung: (mit den Schülern erarbeitet)
i) z.B.: einfache Chance: Gewinn:
Verlust:
⇒E=
ii) P(12 Spiele verloren)=
=0,0336%
P(1 Spiel gewonnen) = 1- P(12 Spiele verloren)
=99,9664%
Gewinn: X
Verlust:
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Roulette
E = P(1 Spiel gewonnen)·X
– P(12 Spiele Verloren)·
= -0,376256·X
iii) Änderung der Wahrscheinlichkeiten für Gewinn
und Verlust:
P(12 Spiele verloren) = 0,028681%
P(1 Spiel gewonnen) = 99,971319%
⇒ E = … ≈ -0,1748·X
04.02.2011
ENDE
VIELEN DANK FÜR DIE
AUFMERKSAMKEIT
04.02.2011