Zusammenfassung Kapitel 2 - Meranier

Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen
Das solltest du können:
Um rationale Zahlen, d.h. positive und negative Zahlen addieren und subtrahieren zu
können, sollten die beiden folgenden Regeln beachtet werden:
1.Vorzeichenregeln
Stehen zwei Vor- bzw. Rechenzeichen ( + oder - ) nur durch eine Klammer getrennt
direkt hintereinander, wird diese Kombination zunächst durch nur ein Rechenzeichen
ersetzt:
5 + (+4) = 5 + 4
5 + (-4) = 5 - 4
5 - (+4) = 5 - 4
5 - (-4) = 5 + 4
Merke:
Zwei gleiche Rechenzeichen werden durch ein + ersetzt,
zwei verschiedene Rechenzeichen durch ein - !
2.Addition & Subtraktion
a) Addiert man zwei positive Zahlen, so wird die Addition einfach ausgeführt
b) Addiert man zu einer negativen Zahl1 ein positive Zahl2, bzw. subtrahiert man von
einer positiven Zahl1 eine Zahl2 so bildet man die Differenz der absoluten Beträge
beider Zahlen; das Ergebnis erhält dann das Vorzeichen derjenigen Zahl, die den
größeren absoluten Betrag hat
Bsp:
-13+18
⇒ Differenz der Beträge = 18-13=5
⇒ Ergebnis ist positiv ⇒
⇒ Differenz der Beträge = 23-19=4
⇒ Ergebnis ist negativ ⇒
⇒ Differenz der Beträge = 34-25=9
⇒ Ergebnis ist negativ ⇒
⇒ Differenz der Beträge = 42-18=24
⇒ Ergebnis ist positiv ⇒
-13+18 = 5
-23+19
-23+19 = -4
25-34
25-34 = -9
42-18
42-18 = 24
c) Subtrahiert man von einer negativen Zahl eine weitere Zahl, so bildet man die
Summe der absoluten Beträge und gibt dem Ergebnis ein negatives Vorzeichen
Bsp:
-34 - 45
⇒ Summer der Beträge = 78
⇒ -34 - 45= -78
Um Zahlen, Bruchzahlen wie Dezimalzahlen, ordnen zu können, muss man wissen,
welche von zwei Zahlen die größere ist; dazu gibt es mehrere Möglichkeiten:
a) rechnerische Lösung bei positiven Bruchzahlen
Beispiel:
3
5
5
6
3 5
< , da bei der zweiten Bruchzahl mehr Felder schraffiert sind. Dabei hat man die
5 6
Brüche in eine Tabelle mit insgesamt 30 Felder eingetragen, d.h. die Brüche kann man
auf einen gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner erweitern:
3 18
=
5 30
5 25
=
6 30
Der Hauptnenner von zwei oder mehreren Bruchzahlen ist der Nenner, auf den alle
einzelnen Nenner erweiterbar sein müssen, dabei sollte der Hauptnenner möglichst klein
gehalten werden.
Beispiel:
a)
3 17 49
90 102 98
; ;
⇒
;
;
5 25 75
150 150 150
b)
5 7 13
15 14 13
; ; ⇒ ; ;
6 9 18
18 18 18
c)
2 2 2
20 12 10
; ; ⇒
; ;
3 5 6
30 30 30
aus dem dritten Beispiel folgt übrigens: bei zwei Brüchen mit
gleichem Zähler ist derjenige der größere, der den kleineren Nenner
besitzt
Merke:
-
Bei zwei positiven Bruchzahlen mit gleichem Nenner ist diejenige größer, die den
größeren Zähler besitzt
-
Bei zwei positiven Bruchzahlen mit verschiedenem Nenner muss man die beiden
Bruchzahlen zunächst auf einen gemeinsamen Nenner erweitern
b) Vergleich von Dezimalzahlen
Bei zwei oder mehreren Dezimalzahlen ist diejenige die größere, die zuerst die größere
Ziffer in einer Dezimale aufweist, z.B.
8,2468<8,2478,
da sich die beiden Dezimalzahlen in der dritten Dezimale unterscheiden
Liegen mehrere Zahlen vor, die sowohl als Dezimalzahl als auch als Bruchzahl angegeben
sind, muss man sich für eine Darstellung entscheiden, dabei ist zu beachten, dass sich
nur Bruchzahlen, deren Nenner ein Produkt von ausschließlich 2-en und 5-en ist, in
Dezimalzahlen verwandeln lassen.
c) positive und negative Bruchzahlen / Dezimalzahlen
Grundsätzlich gilt: je weiter rechts die Zahl am Zahlenstrahl steht, desto größer ist sie !
-0,35
-0,25
0,25
0,35
Für negative Zahlen, Bruchzahlen wie Dezimalzahlen, gilt: je größer der absolute
Betrag einer Zahl, desto weiter links steht sie am Zahlenstrahl, desto kleiner ist sie !
Der absolute Betrag einer Zahl ist dabei der Abstand der Zahl zur „Null“ und wird mit
zwei senkrechten Strichen bezeichnet:
4=4,
d.h. der absolute Betrag der Zahl 4 ist 4
-2,5=2,5, d.h. der absolute Betrag der Zahl –2,5 ist 2,5
-
1
1
=
3
3
0=0
Beispiel: ordne die Zahlen aufsteigend. d.h. von klein nach groß :
3 2
4 5
12 45 40 10 48 50
− 0,2;− ;− ;−0,1, ;− ⇒ − ;− ;− ;− ; ;−
4 3
5 6
60 60 60 60 60 60
geordnet: −
50 45 40 12 10 48
;− ;− ; − ;− ;
60 60 60 60 60 60