5. Vorlesung - Fakultät Statistik (TU Dortmund)

5.2 Die Indexformel nach Laspeyres
Beispiel: Konsumausgaben eines ausgewählten Wirtschaftssubjektes
Periode 0 (=Basisperiode)
Periode 1 (=Berichtsperiode)
Preis
Menge
Preis
Menge
𝑝0
𝑞0
𝑝1
𝑞1
Zigaretten
2,-
8
4,-
4
Fertigpizza
5,-
4
3,-
9
Kino
6,-
2
11,-
1
Rotwein
3,-
4
2,-
6
𝑝0 =
16
=4
4
Gesucht: durchschnittliche Preisänderung = ?
𝑝1 =
20
=5
4
Stattdessen:
"Wieviel würde der Warenkorb der Periode 0 in
Periode t kosten?"
Definition:
𝑷𝟎𝒕 𝑳 ≔
𝒏
𝒊=𝟏 𝒑𝒕 𝒊 𝒒𝟎 (𝒊)
𝒏 𝒑 (𝒊)𝒒 (𝒊)
𝟎
𝒊=𝟏 𝟎
,
heißt Preisindex nach Laspeyres, mit der Basisperiode 0
und Berichtsperiode t (nach Etienne Laspeyres 1834-1913,
deutscher Statistiker).
Im Beispiel:
4
𝑖=1 𝑝1
𝐿
74
60
𝑖 𝑞0 𝑖 = 4 ∙ 8 + 3 ∙ 4 + 11 ∙ 2 + 2 ∙ 4 = 74
d.h. 𝑃01 = = 1,233, entsprechen einem mittleren
Preisanstieg von 23,3%.
Satz:
Sei
𝑔0 𝑖 ≔
𝑝0 𝑖 𝑞0 𝑖
𝑛
𝑗=1 𝑝0 𝑗 𝑞0 𝑗
.
Dann gilt:
𝐿
𝑃0𝑡 ≔
𝑛 𝑝𝑡 𝑖
𝑖=1 𝑝 𝑖
0
𝑔0 (𝑖),
gewogenes arithmetisches Mittel der individuellen Preisverhältnisse.
Im Beispiel:
𝐿
𝑃01 ≔
4 𝑝1 𝑖
𝑖=1 𝑝 𝑖
0
𝑔0 𝑖
4 16
= ∙
2 60
3 20
+ ∙
5 60
= 1,233
11 12
+ ∙
6 60
2 12
+ ∙
3 60
5.3. Der Preisindex nach Paasche
Definition:
𝑷𝟎𝒕 𝑷 ≔
𝒏
𝒊=𝟏 𝒑𝒕 𝒊 𝒒𝒕 (𝒊)
𝒏 𝒑 (𝒊)𝒒 (𝒊)
𝒕
𝒊=𝟏 𝟎
,
heißt Preisindex nach Paasche (nach Herrmann Paasche
1851-1922, deutscher Statistiker).
Im Beispiel:
4
𝑖=1 𝑝0
𝑃
𝑖 𝑞1 𝑖 = 2 ∙ 4 + 5 ∙ 9 + 6 ∙ 1 + 3 ∙ 6 = 77,
66
77
d.h. 𝑃01 = = 0,857, dies entspricht einer mittleren
Preissenkung um 14,3%.
→ Nach Laspeyres sind die Preise gestiegen, nach
Paasche gesunken.
Satz 5.2
Sei
𝑔𝑡 𝑖 ≔
𝑝0 𝑖 𝑞𝑡 𝑖
𝑛 𝑝 𝑗 𝑞 𝑗
𝑡
𝑗=1 0
.
Dann gilt:
𝑃
𝑃0𝑡 ≔
𝑛 𝑝𝑡 𝑖
𝑖=1 𝑝 𝑖
0
𝑔𝑡 (𝑖),
hier andere Gewichte als bei Laspeyres.
Im Beispiel:
𝑃
𝑃01 ≔
4 𝑝1 𝑖
𝑖=1 𝑝 𝑖
0
𝑔𝑡 𝑖
4 8
= ∙
2 77
3 45
+ ∙
5 77
= 0,857
11 6
+ ∙
6 77
2 18
+ ∙
3 77
Definition:
𝑃0𝑡 𝐹 ≔
𝑃0𝑡 𝐿 ∙ 𝑃0𝑡 𝑃 ,
heißt idealer Preisindex nach Fisher.
Im Beispiel:
𝑃0𝑡 𝐹 ≔
1,223 ∙ 0,857 = 1,028
5.4 Der Preisindex für die Lebenshaltung
Grundlage: Indexformel von Laspeyres
Vorteil: Verbrauchsdaten müssen nur für Basisperiode
erhoben werden!
4 Teilprobleme:
 Bestimmung des Warenkorbs (aktuell: Warenkorb von
2010 mit 𝑛 = 750 Gütern)
 Auswahl von „Preisrepräsentanten“
 Messung der Preise
 Berücksichtigung von Qualitätsänderungen
Aufteilung der Konsumausgaben auf Gütergruppen
Bestandteil
1995
2000
2005
2010
13,1
10,3
10,4
10,3
4,2
3,7
3,9
3,8
6,9
5,5
4,9
4,5
27,5
30,2
30,8
31,7
7,1
3,4
13,9
2,3
6,9
3,5
13,9
2,5
5,6
4,0
13,2
3,1
5,0
4,4
13,5
3,0
09 Freizeit, Kultur, Unterhaltung
10,4
11,0
11,6
11,5
10 Bildungswesen
11 Hotel, Restaurants
12 Andere Waren und
Dienstleistungen
0,7
4,1
0,7
4,7
0,7
4,4
0,9
4,5
6,1
7,0
7,4
7,0
01 Nahrungsmittel, alkoholfreie
Getränke
02 Tabakwaren, alkoholische
Getränke
03 Bekleidung, Schuhe
04 Wohnung, Wasser, Gas,
Brennstoffe
05 Einrichtungsgegenstände
06 Gesundheit, Pflege
07 Verkehr
08 Nachrichtenübermittlung
5.4 Der Preisindex für die Lebenshaltung
Grundlage: Indexformel von Laspeyres
Vorteil: Verbrauchsdaten müssen nur für Basisperiode
erhoben werden!
4 Teilprobleme:
 Bestimmung des Warenkorbs (aktuell: Warenkorb von
2010 mit 𝑛 = 750 Gütern)
 Auswahl von „Preisrepräsentanten“
 Messung der Preise
 Berücksichtigung von Qualitätsänderungen
Wo werden diese Güter gekauft?
Monatlich, aktueller Basismonat Januar 2010
Warenkorb enthält 750 Positionen:
2010 rein
MP3-Spieler
Autogas
Kosten für Runterladen
von Musik im Internet
Kaffeekapseln
Trockengemüse
Vitamintabletten
Kosmetikbehandlung
Strampelanzug für
Säuglinge
usw …
2010 raus
Fotofilm für
Analogkameras
Normalbenzin
Uhrenradio
Lebkuchen
Handmixer
Vorhängeschloß
Reißverschluß
usw…
6. Kap. Spezialprobleme von Aktienindices
Statistik verstehen, Kap. 7
Index
DJIA („Dow Jones
Industrial Average“)
Stand bei Börsenschluss
am 8. 11. 2013 am 24. 11. 2014
15761,78
17815,51
9078,28
9785,54
16069,35
16994,42
Tec-DAX
1134,06
1341,17
S+P 500
1770,61
2086,12
14087,65
15358,12
FTSE 100 (“Financial
Times Stock
Exchange“)
6708,42
6729,79
CAC 40 („Cotation
Assistée en continu“)
4260,44
4368,44
22744,39
23893,14
DAX
MDAX
Nikkei 225
Hang Seng
1. Fall: Dow-Jones
Charles Henry Dow
Edward Jones
Eigenheit: Was vorher grober Unfug war, ist jetzt erlaubt!
1. Fall: Dow-Jones (eigentlich D.J. Industrial Average *
26.06.1896) ist ein gewöhnliches arithmetisches Mittel
(von inzwischen 30) ausgewählten Aktienkursen.
Besonderheit: arithmetisches Mittel hier möglich, da
Problem der Maßeinheiten entfällt (immer das Stück).
Problem: Veränderung des Warenkorbs.
Dow‐Jones Konzerne Anfang 2013
Am 23. September 2013: Goldman-Sachs, Visa und Nike rein,
Alcoa, Hewlett Packard und Bank of Amerika raus
Beispiel:
Ausgangsportfolio von 3 Aktien, mit Kursen 60,70, 110.
Die Dow-Jones-Formel ergibt:
60+70+110
3
=
240
3
= 80.
Nun: Unternehmen mit Kurs 60 wird aus Index
herausgenommen und durch eines mit dem Kurs 100
ersetzt, so dass sich ein neuer Index ergibt:
100+70+110
3
=
280
3
= 93,33.
Problem: zwei Indexwerte für den gleichen Börsentag.
Ausweg: der Nenner des zweiten Indizes wird so
angepasst, dass der Bruch den gleichen Wert von 80
hat wie der Index mit dem alten Aktienkurs:
100+70+110
3,5
= 80.
Solche Bereinigungen des Dow-Jones-Index werden
auch bei Aktiensplits, Kapitalerhöhungen und
Dividendenzahlungen vorgenommen.