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Die Kreiszahl ē Kompetenzerwartungen – Näherungsverfahren zur Bestimmung des Flächeninhalts des Kreises entwickeln, durchführen und vergleichen (K 2, K 3) – Grundzüge historischer Näherungsverfahren für die Kreiszahl nachvollziehen und erläutern (K 6) – Phänomene zur Zahl Č kennenlernen und eigene mathematische Fragestellungen hierzu entwickeln (K 1) – Flächeninhalt von Kreis, Kreisausschnitten und Kreisringen berechnen (K 5) – Fehlende Größen an Kreisausschnitten berechnen (K 2, K 5) – Funktionale Zusammenhänge zwischen den Größen des Kreises erkunden (K 2) und beschreiben (K 1) 1 Kenntnissen befasst, die heute in jeder Schule in wenigen Stunden vermittelt werden. Um diesen „Forschergeist“ erfahrbar zu machen, sollen die Lernenden selbst eigene Verfahren zur Bestimmung der Kreisfläche entwickeln und durchführen. Die Zahl Č ist von einem „Hauch des Mystischen“ umgeben und inzwischen gibt es auch viele Clubs, deren Mitglieder einen großen Teil ihrer Freizeit damit verbringen, sich mit der Zahl Č zu beschäftigen. In den Aufgaben im Arbeitsheft geht es um Kreisberechnungen mit verschiedenen Aspekten (Kreisgrößen, Kreisteile, Kreissektoren, Mittelpunktswinkel). Dies stellt eine Wiederholung und Vertiefung von Klasse 7 dar (Lernumgebung „Kornkreise“) - als Vorbereitung auf die Kegel-Berechnungen. Zum Unterricht Einordnen Was wird benötigt? Klasse 6 36 Wir untersuchen Kreise 3 Ganz schön groß! 1 Die Kreiszahl Č Klasse 7 19 Kornkreise 23 Kugelvolumen 24 Kugeloberfläche Arbeitsmaterial: eventuell Präzisionswaagen aus der Physiksammlung für das Abwiegen von Papier Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde LU ¹ LU AH Zur Sache 1, 2 1–3 3 4 4 1 2, 3 (Training-Kreisberechnungen) 1, 2 3 bis 5 Begriffe Wie kann man vorgehen? Kreiszahl, irrationale Zahl, Kreisring, Mittelpunktswinkel, Kreisausschnitt / Kreissektor, Kreisbogen Als Einstieg in die Geschichte der Kreiszahl geht es in Aufgabe 1 zunächst um die „ägyptische Methode“. Die Kreisfläche wurde durch ein annähernd flächeninhaltsgleiches Quadrat ersetzt. Es gehört ein gewisses Abstraktionsvermögen dazu, über den Umweg der Volumenbestimmung (und der Kenntnis: gleiche Grundfläche bedeutet bei gleicher Höhe auch gleiches Volumen) zur Kreisflächenbestimmung und damit zur Ermittlung von Č zu gelangen. Weitere historische Verfahren können gut selbstständig von den Lernenden – als Hausarbeit oder als Projekt – erarbeitet werden. Merktexte – – – Die Zahl Č gibt sowohl das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser als auch das Verhältnis von Flächeninhalt des Kreises zu Flächeninhalt des Radiusquadrats an. Der Flächeninhalt A eines Kreises mit Radius r wird errechnet mit: A = Č r2 Der zum Mittelpunktswinkel ý gehörende Teil des Kreisumfangs heißt Kreisbogen b. Der entsprechende Teil der Kreisfläche heißt Kreisausschnitt / Kreissektor. ý b = 2 Č r · ___ 360° 1 Es geht um das Nachvollziehen einer historischen Flächen- berechnung und die Konkretisierung für die Kreiszahl Č. Bei Teilaufgabe c. dürfen die Schülerinnen und Schüler auch im Internet recherchieren. ý A = Č r2 · ___ 360° 2 Worum geht es? Die Zahl Č ist eigentlich seit Klasse 6 „bekannt“ in dem Sinne, als damit gerechnet wurde. Diese Lernumgebung vertieft das phänomenologische Wissen über die Kreiszahl. Die Geschichte der Kreisberechnung ist die Geschichte der Zahl Č. Die Schülerinnen und Schüler erfahren in dieser Lernumgebung, dass mathematisches Wissen über Jahrhunderte ständig erweitert wurde, und dies in der Regel ein langwieriger und schwieriger Prozess war. Generationen von Gelehrten haben sich über Jahre ihres Lebens mit der Aneignung von mathematischen a. Hier spielt die Idee des zunehmenden Verfeinerns eine zentrale Rolle. Dazu ist es nicht unbedingt erforderlich, dass die Schülerinnen und Schüler den Flächeninhalt beispielsweise mithilfe von Sechsecken berechnen, es genügt, die notwendigen Größen auszumessen und mithilfe dieser so ermittelten Maße zu rechnen. Komplizierte Rechnungen würden hier vor allem schwächere Schülerinnen und Schüler von der eigentlichen Idee ablenken. b. Die Lernenden gehen in der Regel davon aus, dass es sinnvoll ist, das arithmetische Mittel zwischen den beiden 1 Die Kreiszahl ē 1 Flächeninhalten des innen- und des außenliegenden Vielecks zu bestimmen. Schon beim Quadrat erhält man auf diese Weise für das Verhältnis der Kreisfläche zum Radiusquadrat den Mittelwert 3, beim Sechseck liegt der Mittelwert für das Verhältnis je nach Zeichengenauigkeit bei ungefähr 3,1. 2 a. Hier das eingezeichnete 12-Eck. Schon bei einer Erhöhung auf 24 Ecken könnte man in der Zeichnung das 24-Eck kaum vom Kreis unterscheiden. 3 Die Schülerinnen und Schüler vollziehen das Gedanken- experiment nach und formulieren die eigentlich bekannte Kreisflächenformel. 4 Weitere Aspekte, sich mit Č zu beschäftigen, können be- handelt werden. Erwähnenswert ist die Irrationalität von Č. Literatur – – – – b. A Eine mögliche Fortsetzung seines Gedanken: Man bildet den Mittelwert zwischen dem Flächeninhalt des Innenkreises und dem Flächeninhalt des Außenkreises und erhält einen guten Näherungswert für den Flächeninhalt. B Delahayw, J.-P.: Pi – Die Story, Basel 1999 Blatner, David: Č Magie einer Zahl, Reinbeck 2001 Beutelspacher, A., u. a.: Mathematik zum Anfassen, Gießen 2005 ML 138, Müller, Jan Henrik: Reis im Kreis Lösungen für r = 10 cm erhält man 1 a. individuelle Lösung Figuren d2 8 _ b. A = Č · __ 4 und A = 9 d Quadrate Sechsecke Achtecke ( )2 Daraus folgt für Č Inneres Vieleck 200 cm2 ≈ 260 cm2 ≈ 282,9 cm2 Äußeres Vieleck 400 cm2 ≈ 346,5 cm2 ≈ 331,5 cm2 Mittelwert 300 cm2 ≈ 303,25 cm2 ≈ 307,2 cm2 64 Č = 4 · __ 81 = 3,160 493 827 … c. A Zeichnen von verschiedenen Kreisen auf Millimeterpapier, Auszählen der mm2; Auffinden von Gesetzmäßigkeiten, wie beispielsweise der Flächeninhalt vom Radius oder vom Durchmesser abhängt. B Näherungsweises Berechnen durch Zerlegen der Kreisflächen in Dreiecke, Trapeze oder Rechtecke. Vergleich mit den jeweiligen Flächeninhalten der Radiusquadrate. Die zum Berechnen notwendigen Maße der einzelnen Figuren können ausgemessen werden. C Auswiegen von ausgeschnittenen Papier-Kreisen und Vergleich mit Papierfiguren, deren Flächeninhalt man genau kennt ( hat man eine Waage mit sehr feiner Einteilung, dann funktioniert das auch mit normalem Papier (80 g/m2) ). D Füllen von Zylindern mit Wasser (Höhe des Wasserstandes messen), das Wasser wiegen, und mit der Masse des zugehörigen Radiusquaders vergleichen (1 g/cm3 Wasser) E Füllen von Zylindern mit einer alternativen Masse (Reis, Sand, …), Herausfinden der Dichte, analog zu Punkt D verfahren. F Monte-Carlo-Methode 2 Beobachtung: Der Mittelwert verändert sich nur langsam. c. Nach Archimedes liegt die gesuchte Zahl zwischen 3,140 845… und 3,142 857… Bei den Achtecken aus Aufgabe b. ist der Kreis etwa 3,07-mal so groß wie das Radiusquadrat. 16 2 Der Wert der ägyptischen Methode liegt bei ( __ 9 ) ≈ 3,1605 3 b. | c. Teilt man den Kreis in immer mehr gleich große Kreisteile, dann ähnelt die entstehende Anordnung immer mehr einem Rechteck. Die Höhe dieses Rechtecks nähert sich immer stärker dem Kreisradius r an, die Länge des Rechtecks nähert sich immer stärker der Hälfte des Kreisumfangs an. Weil der Kreisumfang Č-mal so lang ist wie sein Durchmesser, nähert sich der Flächeninhalt der entstehenden rechtecksähnlichen Figur immer stärker an den Wert u ( d · Č) 2 ) ( A = r · _2 = r · ____ 2 = r · r · Č = Čr Also ist der Flächeninhalt des Kreises tatsächlich Č-mal so groß wie das Radiusquadrat. Der Quotient aus Flächeninhalt und Radiusquadrat hat also den gleichen Wert wie der Quotient aus Kreisumfang und Durchmesser, also Č. Die Kreiszahl ē 4 individuelle Lösung ¹ Auf den arabischen Mathematiker Al-Hwarizmi geht der Name Algorithmus zurück. Es ist nicht bekannt, ob und wie er selbst eine Näherung für Č berechnet hat. Er verwendete 62 832 22 9 10 und ____ die damals bekannten Näherungen __ 7 , 0000000 20 000 , letzteres eine offensichtlich in Vergessenheit geratene Näherung des arabischen Mathematikers Aryabhata. Dieser beschreibt sein Vorgehen so: „Addiere 4 zu 100, multipliziere mit 8, und addiere dann 62 000.“ Aryabhata kam möglicherweise schon zu der Vermutung, dass Č irrational ist. Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben 1 a. Die gültigen Stellen sind unterstrichen. Babylonier 25 __ 8 = 3,125 Ägypter ( __169 )2 = 3,160 49… Tsu Chung Chih 355 ___ 113 = 3,141 592 92 Brahmagupta 90000000 10 = 3,162 277… Al-Hwarizmi 3,1416 Vieta 3,141 592 653 6 b. Der Keilschrifttext mit der Näherung der Babylonier wurde 1936 auf einem Stück Ton in Susa entdeckt. Grundlage ihrer Berechnung war ein Sechseck. Den Umfang eines 24 regulären Sechsecks bestimmten sie als __ 25 des Umfangs des Umkreises. Wenn 1 der Radius des Sechsecks und des Kreises ist, dann ist der Umfang des Sechsecks 6 und der 24 Durchmesser des Kreises 2. Das führt zu 6 = __ 25 · Č · 2, also 25 __ zu Č = 8 = 3,125. Die ägyptische Näherung findet man im Papyrus Rhind. Der Schreiber Ahmes hat das Verfahren wie folgt beschrieben: „Nimm _91 vom Durchmesser weg und konstruiere ein Quadrat aus dem Rest; das hat die gleiche Fläche wie der Kreis.“ Was liegt diesem Verfahren zugrunde? Ahmes beginnt mit einem Quadrat der Seitenlänge 9, drittelt die Seiten jeweils und konstruiert so ein unregelmäßiges Achteck. Das Achteck besteht aus 63 Flächeneinheiten und ist offensichtlich etwas kleiner als der Inkreis des Quadrats. Ahmes nahm daher für den Flächeninhalt des Kreises 64 Flächeneinheiten an. Damit entspricht der Flächeninhalt des Kreises dem eines Quadrates mit der _89 -fachen Seitenlänge. Die Berechnung ergibt dann 9 16 2 Č r2 = Č ( _2 )2 ≈ 64, also Č ≈ ( __ 9 ) . Der Fehler beträgt weniger als 1 %. Diese Berechnung von Č war offensichtlich auch der erste Versuch einer „Quadratur des Kreises“. Der französische Anwalt und Amateurmathematiker Vieta berechnete Č anhand ein- und umbeschriebener Vielecke, wobei er aus Sechsecken durch 16-maliges Verdoppeln der Seiten die Umfänge der 393 216-Ecke bestimmte und damit für Č einen Wert zwischen 3,141 592 653 5 und 3,141 592 653 7 berechnete. Entscheidender noch als dieser auf 10 Stellen exakte Wert war, dass er als erster Č durch ein unendliches Produkt beschrieb, auch wenn die Berechnung wegen der Wurzeln sehr mühsam war. (Die Formel von Vieta ist in Aufgabe 4 in der Lernumgebung angegeben.) 2 a. 60° Č 4Č 9Č 16 Č __ ___ b. Flächeninhalte _6 ≈ 0,17 Č; __ 6 ≈ 0,67 Č; 6 = 1,5 Č; 6 25 Č 36 Č ___ ≈ 2,67 Č; ___ 6 ≈ 4,17 Č; 6 = 6 Č c. Der Flächeninhalt hängt von ý und r ab. ý 2 Formel: Sektorfläche = ___ 360 · Č· r 1 2 4 5 d. Bogenlängen: _3 Č; _3 Č; Č; _3 Č; _3 Č; 2 Č e. Der Flächeninhalt hängt quadratisch vom Radius ab, die Bogenlänge linear. Flächeninhalt Umfang Radius Tsu Chung Chi, ein großer Astronom, und sein Sohn Tsu Keng Chi gingen vermutlich von einem Sechseck aus und berechneten durch zwölfmaliges Verdoppeln der Ecken einbeschriebene n-Ecke mit bis zu 24 576 Seiten. Eine andere Vermutung besagt, dass er die damals bekannten Näherun377 22 __ gen von Ptolemäus ( __ 120 ) und Archimedes ( 7 ) subtrahier377 – 22 355 ____ __ te: 120 – 7 = 113 . Diese Näherung war etwa 800 Jahre lang die genaueste Näherung für Č und weicht nur 8 Millionstel eines Prozents vom exakten Wert ab. Brahmagupta war der bekannteste indische Mathematiker der damaligen Zeit. Von ihm stammt der früheste bekannte Text, in dem die Null behandelt wird. Zur Näherung von Č benutzte er Polygone mit 12, 24, 48 und 96 Seiten und kam damit auf Näherungswerte von 9000000000000 9,65 , 900000000000 9,81 , 9000000000000 9,86 und 900000000000 9,87 . Er nahm an, Č nähere sich immer mehr dem Wert 90000000 10 . (Tatsächlich nähert sich Č dem Wert 9000000000000000000 9,8696 .). Trotz des großen Fehlers dieser Näherung wurde sie im Mittelalter in der ganzen Welt benutzt. 1 Radius Die Kurven können z. B. durch Eintragen der Punkte mit den y-Werten aus b und d gewonnen werden. Die „Steilheit“ der Kurven hängt vom Winkel ý ab. Dies kann sichtbar gemacht werden, indem die Flächeninhalte bzw. Bogenlängen für andere Winkel berechnet und in das gleiche Koordinatensystem eingetragen werden. Werden Flächeninhalt und Bogenlänge gegen den Winkel des Sektors aufgetragen (bei konstantem Radius), so ist in beiden Fällen der Zusammenhang linear. 3 a. Flächeninhalte Č; 3 Č; 5 Č; 7 Č; 9 Č; 11 Č b. Fläche des Kreisrings = Fläche des großen Kreises minus Fläche des kleinen Kreises = Č R2 – Č r2 (wobei R der Radius des großen und r der Radius des kleinen Kreises ist) 3 Die Kreiszahl ē 1 Leistungsaufgaben Aufgabe 1 a. 1 b. 2 Kompetenz K 1, K 5 K5 K 1, K 5 3 mögliches Beispiel: Anforderungsbereich I II II, III Kreisradius: r = 6 cm; Bogenlänge: b = 10 cm Mögliche Strategie zur Erhärtung: Berechnung mit herkömmlichen Formeln: ý b = ___ 360° · 2 · Č · r; Auflösen nach ý: 95,5° 360° · b ___ 2 2 ý = _____ 2 · Č · r ≈ 95,5°; Also ist A = 360° · Čr = 30 cm Berechnung mit Hannes Methode: b · r = 60 cm2 = 2 A Seine Aussage wird durch dieses Beispiel erhärtet. b. Zu zeigen ist b · r = 2 A. Die Bogenlänge eines Kreisausschnittes berechnet sich nach der Formel: 1 Skizze ý ý ___ b = ___ 360° · 2 · Č · r = 180° · Č · r Multipliziert man diesen Term mit r, so erhält man: Leo möchte einen Kreisausschnitt konstruieren, der a. den gleichen Radius hat wie der hier skizzierte, aber einen doppelt so großen Flächeninhalt. Wie muss er den Mittelpunktswinkel wählen? b. einen halb so großen Flächeninhalt hat wie der hier skizzierte, aber den gleichen Mittelpunktswinkel. Wie groß muss er den Radius wählen? 2 Erläutere anhand eines von dir ausgewählten Verfahrens, wie man das Verhältnis von Kreisfläche zu Radiusquadrat möglichst genau bestimmen kann. (Keine Rechnungen durchführen.) 3 Hannes behauptet: „Wenn man die Bogenlänge eines Kreisausschnittes mit dem zugehörigen Radius multipliziert, dann erhält man den doppelten Flächeninhalt des entsprechenden Kreisausschnitts.“ a. Erhärte diese Aussage durch ein passendes Beispiel. b. Beweise diese Aussage algebraisch. Lösungen zu den Leistungsaufgaben 1 Möglicher Lösungsweg: 1 a. A = _9 Č · r2 = 4 Č ( cm2 ) Neuer Flächeninhalt: 8 Č ( cm2 ) 360° A Čr ý = ____ 2 = 80° (Lösung kann auch mithilfe geeigneter Begründung und Skizze erfolgen: Verdoppelt man den Winkel eines Kreisausschnittes, dann verdoppelt sich der Flächeninhalt, wenn man den Radius beibehält) 9 360° A ____ b. Neuer Flächeninhalt: 2 Č ( cm2 ) ; r = 000000000000000 ý ·Č ≈ 4,2 cm 2 Das ausgewählte Verfahren muss in sich schlüssig darge- stellt sein. Die Allgemeingültigkeit sollte erkennbar sein. 4 ý ý ___ 2 2 b · r = ___ 180° · Č · r = 2 · 360° · Č · r = 2 A Wie genau ist genau? 2 Zum Unterricht Kompetenzerwartungen – Umrechnen von Einheiten (K 5) – Meßwerte vergleichen und in geeignete Maßeinheiten angeben (K 1, K 5) – Messungenauigkeiten angeben, vergleichen und beurteilen (K 1, K 5) – Absolute und relative Fehler berechnen und angeben (K 5) – Doppelrechnungen durchführen (K 5) Was wird benötigt? Arbeitsmaterial: Lineal, Messband, Papier, Taschenrechner Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde LU ¹ Einordnen Klasse 8 20 Rekordverdächtige Geschwindigkeiten LU 1 1, 2 2 3 3 4 4 1, 2 3 4, 5 Wie kann man vorgehen? 2 Wie genau ist genau? Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler haben gute Vorstellungen von Größen / Enheiten und Größenordnungen und sind sicher im Umgang mit Größen und Zehnerpotenzen. 1 Die Kreiszahl Č Zur Sache Begriffe Absoluter und relativer Fehler, Doppelrechnung Merktexte Zur Lernumgebung Die Lernumgebung besteht aus drei Teilen: – Eine nicht angemessene Präzision bei der Zeitmessung in einem olympischen Schwimmwettbewerb im Jahr 1972 soll für das Thema sensibilisieren. – Eigene Messungen und der Austausch über Ergebnissse soll praktische Erfahrungen vermitteln. – Das „Kleine ABC der Genauigkeit“ bietet eine Übersicht über die auftretenden Begriffe und dient mit Beispielen der Begriffsbildung. (Siehe auch Randspalte bei den Ergänzenden Aufgaben) Faustregel für Punktrechnung Wenn eine Punktrechnung mit Näherungswerten durchgeführt wird, dann soll das Ergebnis nur so viele Ziffern enthalten wie der Messfaktor mit den wenigsten gültigen Ziffern. 1 Thematisiert wird die Präzision bei der Zeitmessung und Faustregel für Strichrechnung Wenn eine Strichrechnung mit verschieden genauen Summanden durchgeführt wird, dann soll das Ergebnis auf so viele Stellen (vor oder nach dem Komma) gerundet werden, wie der ungenaueste Summand aufweist. 2 An einfachen Rechtecken sammeln die Schülerinnen und Worum geht es? In der Lernumgebung „Signor Enrico lässt fragen“ in Klasse 7 und weiter in Aufgaben unter diesem Titel in verschiedenen Lernumgebungen wurden Ergebnisse auf sinnvolle Genauigkeit beurteilt. Es kann in der Mathematik sinnvoll sein, als Lösung nur eine Größenordnung anzugeben. Sowohl 6 · 108 als auch 8 · 108 kann ein „richtiges“ Ergebnis sein, denn in bestimmten Kontexten macht es keinen Sinn mehr, Ziffern anzugeben. Aufgrund einer bestimmten Informationslage ist das Ergebnis 6,874 · 108 nicht präziser, sondern schlicht „unsinnig“. In dieser Lernumgebung wird untersucht, wie sich Messungenauigkeiten fortpflanzen und auf das Ergebnis einwirken können (Doppelrechnung). dem Bau von 50-m-Schwimmbecken. Herausgearbeitet wird dabei eine „sinnvolle“ Erfassung der Zeit und der Längen. Für diese Aufgabe sollte man sich genügend Zeit lassen. Schüler eigene Erfahrungen mit Genauigkeit durch Zeichnen, Schneiden und Messen. Es werden Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten wiederholt und aufgefrischt. Es sollte angesprochen werden, dass durch Feuchtigkeit und die Beanspruchung der ausgeschnittenen Papierrechtecke (anfassen, herumreichen) sich diese in der Größe gegebenenfalls verändern können. 3 Vor der Bearbeitung der Aufgabe können exemplarisch einige Beispiele unter „Kleines ABC der Genauigkeit“ besprochen werden. Da ein zweites Durcharbeiten einer Aufgabe für die meisten Schülerinnen und Schüler eher nicht motivierend ist, könnte die Partnerarbeit oder das anschließende Gespräch mit einem Lernpartner für die nötige Durchdringung der Aufgabe hilfreich sein. 4 Durch diesen Transfer können die Schülerinnen und Schü- ler die bei der Bearbeitung von Aufgabe 2 erworbenen Kompetenzen überprüfen. Erfahrungsgemäß benötigen die Lernenden für diese Aufgabe viel Zeit. 5 2 Wie genau ist genau? 1 Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben 1 a. 400 m entsprechen etwa 270 s; 1 s entspricht also etwa 1,5 m; eine Tausendstelsekunde also etwa 1,5 mm. Der Vor2 sprung von ___ 1000 s macht also etwa 3 mm Vorsprung aus. b. McKee muss bei 8 Bahnen etwa 8 mm mehr schwimmen. McKee hätte bei gleich langen Bahnen und sonst identischer Situation 5 mm Vorsprung gehabt und so mit et3 wa ___ 1000 s Vorsprung gewonnen. c. Wenn auf Tausendstelsekunden genau gemessen wird, müssten die 50-m-Bahnen auf Zehntelmillimeter genau gebaut sein. d. Bei einer Distanz von 800 Metern addiert sich die Genauigkeit von Zehntelmillimeter auf etwa einen Millimeter, d. h. die Genauigkeit von Zehntelmillimeter reicht dann schon nicht mehr aus und es müsste auf Hundertstelmillimeter genau gebaut werden. 2 a. – g. Individuelle Lösungen. Beispiel: a = 14,7 cm (± 0,05 cm); b = 9,4 cm (± 0,05 cm); bei diesem absoluten Fehler von ± 0,5 mm spricht man von „auf Millimeter genau“. Umfang: 2 · (14,7 cm = 9,4 cm) = 48,2 cm mit einem möglichen absoluten Fehler von ± 0,2 cm, der relative Fehler beträgt etwa 0,4 %. Fläche: 14,7 cm · 9,4 cm = 138,18 cm2. Mit den oberen und unteren Werten für Länge und Breite ergeben sich die Zahlenwerte 136,98 cm2 bzw. 139,39 cm2 (Doppelrechnung), somit also 138,2 (± 1,2) cm2. Der relative Fehler beträgt etwa 0,9 %. Bemerkung: Dies heißt aber, dass schon die letzte Ziffer in 138 cm2 nicht mehr sicher, ohne die ±-Angabe 138 sogar zu optimistisch ist. Durch das Ausschneiden und Austauschen werden die gezeichneten Längen leicht um je einen Millimeter verändert, so dass bei den Umfängen eine Abweichung von 5 mm, bei den Flächen eine von 5 cm2 auftreten kann. Beim Umfang könnten das also gut 1 % und bei der Fläche etwa 3 % sein. h. Es gibt ein kleinstes und ein größtes Resultat, die beide aus Werten berechnet werden, die mit der Messung „gerade noch verträglich“ sind (Doppelrechnung). 3 Bei der Beispiellösung in Aufgabe 2 sind die entsprechen- den Begriffe kursiv gedruckt. 4 Individuelle Lösungen. Wenn ein 20-m-Messband benutzt wird, kann pro Auszug sicher ein Längenfehler von 2 cm entstehen (relativer Fehler 0,1 %). Bei jedem Anschluss können nochmals einige Zentimeter auftreten. Auf 100 m Länge wären das dann etwa 20 cm (absoluter Fehler) oder 0,2 % (relativer Fehler). Umfang: Der relative Fehler ist ebenfalls 0,2 % und damit absolut etwa 0,2 % · 2 · (105 + 65) m = 0,68 m. Fläche: Mithilfe der Doppelrechnung ergibt sich ein relativer Fehler von etwa 0,5 % und damit absolut etwa 0,5 % · 105 · 65 m2 ≈ 34 m2. 6 ¹ Lösungen a. Die Laufzeit liegt zwischen 9,775 s und 9,785 s. b. Die Laufzeit liegt zwischen 9,795 s und 9,805 s. c. Im besten Fall: Die Laufzeit liegt zwischen 9,75 s und 9,85 s. Realistischer: 9,7 s < t < 9,9 s. d. Die Höhe wurde Millimeter genau gemessen, bestenfalls 2309,5 mm < h < 2310,5 mm; realistisch 230,9 cm < h < 231,1 cm. 2 a. Mit der Doppelrechnung ergeben sich für die Fläche die drei auf zwei Nachkommastellen gerundeten Werte: 22,01 m2; 22,18 m2; 22,34 m2. Beste Angabe: A = 22,18 m2 ± 0,17 m2 Vertretbar: A = 22 m2 oder A = 22,2 m2 ± 0,2 m2 b. Nach der Faustregel für die Punktrechnung ergibt sich 22,2 m2, dies ist ohne die Angabe der Fehlerschranken zu optimistisch. c. Mit der Doppelrechnung ergeben sich für den Umfang die drei auf zwei Nachkommastellen gerundeten Werte: 23,71 m; 23,82 m; 23,93 m. Vertretbar: u = 23,8 m ± 0,1 m d. Mit der Faustregel für die Strichrechnung ergibt sich: u = 2 · (2,31 m + 9,6 m) = 23,82 m ≈ 23,8 m. Dies ist sinnvoll, da die Ungenauigkeit von 9,6 m bei 5 cm liegt. 3 Die Angabe für die Weltmeere ist auf „Millionen km3“ ge- nau angegeben, deswegen besser 1322 Mio. km3. Mit dieser Genauigkeit liefern nur noch das Polareis ( 29 Mio. km3 ) und das Grundwasser ( 9 Mio. km3 ) einen zu berücksichtigenden Beitrag für die gesamte Wassermenge ( 1360 Mio. km3 ). Die beiden anderen sind vernachlässigbar. 4 a. u = Č · d = Č · 0,63 m = 1,98 m ≈ 2 m Die Streckenlänge 10,25 km ist auf ± 5 m genau angegeben, deswegen ergeben sich mit der Doppelrechnung: 5123, 5125 bzw. 5128 Umdrehungen. Die Anzahl der Umdrehungen beträgt: 5125 ± 3. b. l = 9 · Č · (0,63 m ± 0,005 m) ergeben 17,67 m; 17,81 m bzw. 17,95 m. Also 17,81 ± 0,14 m. 5 a. Č auf 5 Dezimalstellen gerundet: 2 · 3,14159 · 6370 km = 40 023,8566 km. Č auf 10 Dezimalstellen gerundet: 2 · 3,1415926359 · 6370 km = 40 023,89017 km. Ein Unterschied macht sich erst im 10-m-Bereich bemerkbar (Differenz ca. 34 m). b. Berechnung mit Č auf 5 Dezimalstellen gerundet (Doppelrechnung): 39 992,441 km; 40 023,857 km; 40 055,273 km. Berechnung mit Č auf 10 Dezimalstellen gerundet (Doppelrechnung): 39 992,474 km; 40 023,890 km; 40 055,306 km. Die Berechnung mit Č auf 5 Dezimalstellen gerundet ist ausreichend. Wie genau ist genau? 2 Leistungsaufgabe Aufgabe 1 Kompetenz K5 Anforderungsbereich II 1 Ein Graben ist 240 m lang und 1,7 m tief. Seine Breite muss 1,25 m ± 0,05 m betragen. Das ausgehobene Material hat vermutlich eine Dichte von 1,5 bis 2,5 Tonnen pro m3. Die Lastwagen, die das Material abtransportieren, sind für eine Nutzlast von 8,0 t zugelassen. Wie viele Fuhren sind zu kalkulieren? Lösung zur Leistungsaufgabe 1 V = (240 ± 0,5) · (1,7 ± 0,05) · (1,25 ± 0,05) m3. Mit der Dop- pelrechnung ergeben sich: 474 m3; 510 m2; 547 m3. Das untere Gewicht beträgt etwa 474 m3 · 1,5 t/m3 = 711 t; das obere etwa 547 m3 · 2,5 t/m3 ≈1368 t. Damit sind zwischen 90 und 170 Fuhren nötig. 7 Ganz schön groß 3 Wie könnte es weitergehen? Kompetenzerwartungen – Informationen aus Bildern gewinnen und diese bewerten (K 3,K 6) – Realsituationen mathematisieren (K 3) – Größen abschätzen (K 2,K 3) – Lösungswege vergleichen und bewerten (K 2,K 3) – Maßstabsverhältnisse nutzen (K 4,K 5) – Oberfläche und Volumina von geometrischen Körpern berechnen (K 5) – Zylinder und Prismen in der Umwelt identifizieren (K 3,K 5) Literatur – – – – Einordnen Klasse 8 4 Verpackungen 21 Grundfläche · Höhe – 3 Ganz schön groß Lösungen Alle Lösungen beruhen auch auf Schätzungen, bei denen es auf die richtige Größenordnung ankommt. Zur Sache 1 Begriffe – Worum geht es? Diese Lernumgebung dient zum einen der Wiederholung der bereits in Klasse 8 erworbenen Kompetenzen zur Volumenberechnung von Prismen und Zylindern. Zum anderen leistet sie durch die offenen Aufgaben, bei denen aus Fotos ungefähre realitätsnahe Größen abgeschätzt werden müssen, einen wichtigen Beitrag zum Erwerb mathematischer Modellierungskompetenz. Zum Unterricht Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde LU 1 1, 2, 3 ¹ 1, 2 http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/download/artikel/ herget/messen.pdf mathematik lehren, Heft 119, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 2003 Greefahrt, G.: Modellieren lernen, Aulis, Köln 2006 Herget, W., u. a.: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht, Cornelsen, Berlin 2001 Vernay, R: Mathe mit Bildern, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 2009 21 Grundfläche · Höhe Klasse 8 21 Grundfläche · Höhe LU Motivierend und gewinnbringend ist es, ähnliche Modellierungsaufgaben selbst zu erstellen und sie den Mitschülern als Aufgabe zu stellen. Zudem findet man in der unten angeführten Literatur eine Vielzahl ähnlicher Aufgaben. 2 1, 2, 3 3 4 3, 4, 5 AH Wie kann man vorgehen? Zum Einstieg können alle die drei Aufgaben der Lernumgebung (arbeitsteilig) in Kleingruppen bearbeiten, dabei bieten sich unter anderem die Placemat- oder die Ich-Du-Wir-Methode an. Anhand der Ergänzenden Aufgaben kann die Berechnung von Zylindervolumen und Zylinderoberfläche noch einmal explizit geübt werden. Je nach Vorwissen der Schülerinnen und Schüler bietet sich auch der Einstieg über diese Aufgaben an. a. Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden Kathetenlängen von ungefähr 30 m und 57 m. Damit ist 57 die Grundfläche (in m2) A = 30 · __ 2 = 855. Die Grundfläche 2 beträgt ungefähr 825 m . Das Haus ist 21 Geschosse hoch. Daher beträgt die Gesamtgeschossfläche 855 · 21 m2 = 17 955 m2. b. Die 21 Stockwerke sind mit den Decken ungefähr 4 m hoch, also ist das Haus etwa 84 m hoch. Das Volumen beträgt daher 855 m2 · 84 m = 71 820 m3. c. Die längste Dreiecks-Seite lässt sich anhand der Draufsicht ausmessen. Der Maßstab ist angegeben. Man erhält eine Länge von ungefähr 62 m. Die Fassadengröße beträgt daher (57 m + 30 m + 62 m) · 84 m = 12 516 m2. d. Die Fensterhöhe ist in den Geschossen unterschiedlich, insgesamt erscheint aber mehr als die Hälfte der Gebäudehöhe verglast zu sein. Im Vergleich zur zuvor abgeschätzten Gesamthöhe von 84 m kann man von einer „Glashöhe“ von 48 m ausgehen. Bei einem Umfang 30 m + 57 m + 62 m = 149 m und der Annahme, dass ungefähr die Hälfte des Umfangs verglast ist, errechnet man eine „Glasbreite“ von 75 m. Die Glasfläche beträgt daher ungefähr 48 m · 75 m = 3600 m2. e. In einem vierzügigen Gymnasium werden Klassen- und Fachräume für 32 Klassen benötigt. Ein Klassenzimmer sollte mindestens 60 m2 Fläche besitzen. Würde man die Gesamtgeschossfläche mit Klassenzimmern besetzen können, so fänden im Gebäude 17 955 m2 : 60 m2 = ca. 300 Klassenzimmer Platz. Würde ein Gymnasium 32 Klassenzimmer benötigen, so könnten 9 Gymnasien im Flatiron-Gebäude untergebracht werden. Diese Zahl ist jedoch ganz sicher zu groß, da keine Flächen für Flure, Treppenhäuser, Mensen, Lehrerzimmer, Sporthallen eingerechnet sind. Geht man davon aus, dass ungefähr ein Drittel der Fläche für Klassenzimmer genutzt werden können, dann könnte man 3 Gymnasien unterbringen. 9 3 Ganz schön groß 4 In der Taucherflasche befinden sich 200 · 12 Liter 2 a. Die Höhe des Aquariums lässt sich über die Geschosse der umliegenden Hotelzimmer abschätzen. Dabei erstreckt sich das Aquarium über 5 Geschosse mit einer Höhe von ca. 3 m. Damit errechnet man die Höhe von 15 m. Durch den Aufzug und die Möblierung unter dem Aquarium lässt sich der Durchmesser von ca. 10 m abschätzen. Der Zylinder besitzt daher ein Volumen von 52 · Č · 15 m3 ≈ 1178 m3. Schätzt man für den Aufzug einen Durchmesser von 3 m so errechnet sich das Wasservolumen mit: V = 1178 m3 – 1,52 · Č · 15 m3 ≈ 1072 m3 = 1 072 000 Litern. (Das Aquarium wirbt mit einer Zylinderhöhe von 16 m, einem Durchmesser von 11,5 m und einem Wasservolumen von 1 Million Litern.) b. Anhand der Liegen kann man die Maße des Hotelpools abschätzen mit. Wasserfläche: 15 m · 11 m = 165 m2. Geht man von einer gleichmäßigen Wassertiefe von 2 m aus, dann besitzt das Becken einen Inhalt von 330 m3 Wasser. Damit befinden sich im Becken ungefähr ein Drittel der Wassermenge des Aquariums, man dürfte daher 500 Fische darin schwimmen lassen. 3 Der Leuchtturm kann als Zylinder modelliert werden, indem man den mittleren Durchmesser zugrunde legt. Für die Größenabschätzung sind die Häuser neben dem Leuchtturm geeignet. Ein Stockwerk des Hauses ist ungefähr 3 m hoch, die angestrichene Fläche des Leuchturms ist 8-mal so hoch, also etwa 24 m. Der mittlere Durchmesser ist nach gleicher Überlegung ungefähr 5 m. Ein Zylinder mit diesen Maßen besitzt die Mantelfläche von etwa 380 m2. Die Hälfte davon ist rot, die andere Hälfte weiß. = 2400 Liter Atemluft. Der Riesenreifen hat einen Radius von 1,75 m, wobei die äußeren 10 cm massiv aus Gummi bestehen. Daher erechnet man einen volumenrelevanten Radius von 1,65 m. Die Felge besitzt ungefähr einen Radius von 0,825 m. Die Breite ist schwer zu schätzen, eine Breite von 1 m erscheint aber realistisch. Damit berechnet sich das Volumen mit: V = 1,652 · Č · 1 m3 – 0,8252 · Č · 1 m ≈ 6,41 m3. Ein Kubikmeter entspricht 1000 Litern. Daher befinden sich im unaufgepumpten Riesenreifen ungefähr 6400 Liter Luft. Im Riesenreifen befindet sich also ungefähr 2,5-mal so viel Atemluft wie in der Taucherflasche. 5 Unter Betriebsdruck könnte man 6 · 6400 ø = 38 400 ø Atemluft für den Taucher speichern. Mit dem aufgepumpten Riesenreifen auf dem Rücken könnte der Taucher 38 400 ____ 2400 = 16-mal so lange unter Wasser bleiben als mit einer üblichen Tauchflasche. Er könnte also 288 Minuten tauchen. Leistungsaufgaben 1 Übernachten in einem Abwasserrohr ((Foto)) 86 mm x 57 mm ¹ Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben 1 Volumen Cremedose: V = (6,5 cm : 2)2 · Č · 1,2 cm ≈ 39,82 cm3 = 39,82 mø. Ein Milliliter entspricht einem Kubikzentimeter. 2 a. V = 4 r · 4 r · 2 r – ( r2 · Č · 4 r ) : 2 = 32 r3 – 2 r3 · Č = (32 – 2 · Č) · r3 O = 4 r · 4 r + 4 r · 2 r · 2 + r · 4 r · 2 + ( 4 r · 2 r · 2 – r2 · Č) + (2 · r · Č : 2 · 4 r) = 16 r2 + 16 r2 + 8 r2 + 16 r2 – r2 · Č + 4 · r2 · Č = 56 r2 + 3 r2 · Č b. V = ( (2 r)2 · Č · 4 r – r2 · Č · 4 r ) : 2 = ( 16 r3 · Č – 4 ·r3 · Č) : 2 = 12 r3 · Č : 2 = 6 r3 · Č O = (2 r)2 · Č – r2 · Č + r · 4 r · 2 + (2 r · Č: 2) · 4 r + (4 r · Č : 2) · 4 r = 3 r2 · Č + 8 r2 + 4 r2 · Č + 8 r2 · Č = 15 r2 · Č + 8 r2 c. V = ( (2 r)2 · Č · 4 r + r2 · Č · 4 r ) : 2 = ( 16 r3 · Č + 4 r3 · Č) : 2 = 20 r3 · Č : 2 = 10 r3 · Č O = (2 r)2 · Č + r2 · Č + r · 4 r · 2 + 4 r · Č · 4 r : 2 + 2r · Č · 4 r : 2 = 4 r2 · Č + r2 · Č + 8 r2 + 8 r2 · Č + 4 r2 · Č = 17 r2 · Č + 8 r2 3 Die Tür ist ungefähr 2 m hoch. Daher ist die Dose ca. 3 m hoch. Die Dose hat einen Durchmesser von ungefähr 1,8 m. Damit ist ihr Volumen ungefähr 7,6 m3 groß. 10 In einem zum Park umgebauten ehemaligen Klärwerk kann man in Standard-Abwasserrohren übernachten. Bei einem Innendurchmesser von 2 m und einer Länge von 2,6 m findet sich alles, was man für eine Übernachtung benötigt … a. Berechne das Volumen des etwas anderen Hotelzimmers. b. Ein Kubikzentimeter Beton wiegt 2,4 g. Wie schwer ist ein solches Hotelzimmer. Lösungen zu den Leistungsaufgaben 1 a. V = (2 m : 2)2 · Č · 2,6 m3 ≈ 8,17 m3 b. Die Wandstärke des Betonrohres beträgt ungefähr 20 cm. Daher berechnet man das Betonvolumen mit: V = (1,2)2 · Č · 2,6 m3 – 8,17 m3 ≈ 3,6 m3 Wenn 1 cm3 Beton 2,4 g wiegt, dann wiegt 1 dm3 Beton 2,4 kg. 1 m3 wiegt 2,4 t. Die Röhre hat daher ein Gewicht von 3,6 · 2,4 t = 8,64 t. Form 4 Zum Unterricht Kompetenzerwartungen – Ebene Figuren beschreiben und Zusammenhänge erläutern (K 6, K 1) – Geometrische Zusammenhänge identifizieren und begründen (K 1) – Geometrische Figuren zeichnen und konstruieren (K 5) – Berechnungen mithilfe der Ähnlichkeit zweier Figuren durchführen und geometrische Zusammenhänge algebraisieren (K 5, K 4) – Figuren vergrößern und verkleinern (K 5) Was wird benötigt? – – – – – – Gummiband, Reißzwecke Handy o. Ä. zum Filmen Fondue- oder Schaschlikstäbchen Textilklebeband (Gewebeband) Stecknadeln Kartonunterlagen Vorschlag zur Stundenverteilung Einordnen 1–2 1 bis 3 3–4 4 5 bis 7 5 bis 7 8 8 ¹ Klasse 7 23 Escher-Parkette Stunde LU 1, 2 3, 4 5 bis 9 10 1, 2 3 LU AH 4 Form Klasse 8 19 Pythagoras-Parkette Wie kann man vorgehen? Die Lernumgebung bietet einen intuitiven Zugang zur Ähnlichkeit. Mit einem selbstgebauten Pantographen werden Vergrößerungen und Verkleinerungen durchgeführt. Zur Sache 4 Der erste handelnde Zugang zum Vergrößern und Verklei- Begriffe Ähnlichkeit, Ähnlichkeitsabbildung, (zentrische) Streckung Merktexte Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in den Längenverhältnissen entsprechender Seiten oder in allen drei Winkelgrößen übereinstimmen. Worum geht es? Form ist ein wesentliches Kriterium der Wahrnehmung. In der Geometrie ist der Begriff der Form an den Begriff der Ähnlichkeit gebunden. Ähnlichkeitsabbildungen sind formtreu. Formgleiche Figuren heißen ähnlich. Bei ähnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß, entsprechende Längen sind zueinander proportional. Mithilfe der Ähnlichkeit ist es möglich Seitenlängen zu berechnen oder Winkel anzugeben. Ähnlichkeit tritt unter anderem überall dort auf, wo etwas maßstabsgetreu vergrößert oder verkleinert wird, z. B. beim Kopiergerät, bei Plänen und im Modellbau. Das maßstabsgerechte Verkleinern und Vergrößern und die damit vebundenen Probleme (Auswirkungen auf Fläche und Volumen, Interpretation von Verhältnissen) kann durchaus ein Schwerpunkt in dieser Lernumgebung sein. nern erfolgt mit einem Gummiband. Das Verfahren soll anschließend in einem kleinen selbstgedrehten Film (z. B. mit dem Handy) beschrieben und demonstriert werden. Es ist sinnvoll, für den Film die folgenden Anforderungen zu setzen: Er soll in einem Zug (ohne Schnitt) gedreht werden, und er soll maximal 90 Sekunden bis 2 Minuten dauern. Dies erfordert im Vorfeld eine sorgfältige Vorbereitung, etwa einen aufgeräumten Arbeitsplatz, ein „Drehbuch“ für den zu sprechenden Text und mehrere Probedurchläufe, um die Zeit zu testen und die Kameraführung zu verbessern. Damit ist das Drehen eines Handyfilms auch eine Form geschickten Übens. Bei der Präsentation sollten Kriterien für gute Filme zusammengestellt werden, wenn man diese Methode öfters einsetzen will. Besonders gelungene Filme können archiviert und z. B. zum Wiederholen genutzt werden. Schwache Schülerinnen und Schüler können durch mehrmaliges Abspielen die dargestellten Zusammenhänge in ihrem Lerntempo erarbeiten. 5 Anstelle von Grillstäbchen und Textilklebeband lassen sich auch folgende Werkzeuge verwenden: – Kartonstäbe und Mustertütenklammern (Vorteil: nur vier Bauteile; Gelenke einfach mit dem Locher zu erstellen / Nachteil: eher unpräzise). – Mecanostäbe, Schrauben und Muttern (Vorteil: präzise / Nachteil: Beschaffung schwierig, Schrauben sind eher hinderlich). 6 Die besten Ergebnisse erreicht man vermutlich, wenn man das Gerät unten (im Scheitel des V-Stücks) führt. Es lohnt sich, ein wenig auszuprobieren. Gerade weil das Gerät nicht allzu präzise ist, darf man ihm nicht blind vertrauen. Verlangt sind Beobachten und „Zurechtdenken“. So dient das Gerät als Krücke für ein mentales Modell. 11 4 Form Wenn ein Punkt mehrmals abgebildet wird, können die Bildpunkte streuen. Das „Gefühl“ sagt, wo der Bildpunkt „theoretisch“ liegen muss. Hier sollen intuitive Vorstellungen zum Vergrößern entwickelt werden. Die präzise Untersuchung der Zusammenhänge erfolgt im Arbeitsheft. In der Lernumgebung „Schieben – Drehen – Zerren“, Klasse 6, wurde erfahren, dass nicht jede geometrische Abbildung geradentreu ist. Bei c. soll gezielt beobachtet werden, dass der Pantograph geradentreu abbildet. Bei d. soll dies mit Punkten auf den Dreiecksseiten kontrolliert werden, bevor man die Bildpunkte zu einem Dreieck verbindet. 8 Hier_ wird das Seitenverhältnis berechnet, in dem T die Stre- cke PV teilt. Mit einem Wert von 2 erhält man die Form des selbstgebauten Pantographen. Der Teilpunkt T kann auch mit einem Schieberegler (ZahlObjekt) flexibel angelegt werden. Literatur – – – Elschenbroich, Hans-Jürgen / Rechmann, Markus (2004): Pantographien, in: MU, 4 / 2004 Zender, D. (1997): Messungen mithilfe der Strahlensätze, in: Mathematik lehren, Heft 80 / 1997 Unter www.juergen-roth.de/dynageo/pantograph kann man eine Dynageo Datei herunterladen Man muss an V ziehen, um damit zu erreichen, dass mit F das Dreieck ABC umfahren wird. Dies ist eine ziemlich „wacklige“ Angelegenheit, was sichtbar wird, wenn man die Ortslinie von Z beim Ziehen an V aufzeichnen lässt. Einfacher ist es, F nacheinander auf die drei Punkte des Dreieck zu führen und dann jeweils einen Bildpunkt auf die Stelle zu setzen, die dann der Zielpunkt Z anzeigt. Die so erhaltenen Bildpunkte A’, B’ und C’ können dann zum Bilddreieck werden. Anschließend können z. B. Winkel oder Seitenverhältnisse gemessen werden. Lösungen 1 a. Ähnlich sind 2, 9, 12 und 5, 7, 14. b. individuelle Lösungen c. Sie können sich in Größe, Lage und Orientierung unterscheiden. 2 Durch zwei Winkel ist auch der dritte bestimmt (Winkel- 3 a. Mögliche Begründung der Ähnlichkeit über die übereinstimmenden Winkelgrößen. Dies kann über Scheitel- oder Wechselwinkel begründet werden. Dabei wird die (offensichtliche) Parallelität der Strecken AC und DE benutzt. _ __ 10 11 __ b. BE = __ cm, BD = cm 3 3 4 individuelle Lösungen 6 Mögliche Feststellungen: e. Das entstehende Dreieck ist ähnlich zum Ausgangsdreieck. Es ist dreimal so groß wie das Ausgangsdreieck. f. Die Verlängerungen dieser Verbindungslinien schneiden sich in einem Punkt, dem mit der Nadel fixierten Anfangspunkt. Die Abstände vom Anfangspunkt zu den Bildpunkten sind dreimal so lang wie die Abstände vom Anfangspunkt zu den Originalpunkten. 7 a. Alle Längen (Seitenlängen, Umfänge) der zwei Figuren stehen im Verhältnis 1 : 3, die Flächeninhalte stehen im Verhältnis 1 : 9. b. Die Bildfigur wird ein Drittel so groß wie die Originalfigur. c. Das Parallelogramm (in Abbildung B bei der Bauanleitung) muss eine Raute sein. Der Flächeninhalt ist in diesem Fall viermal so groß wie die Originalfläche. 12 ¹ summensatz). Damit ist die Form gegeben. Die Größe kann variieren, ebenso die Lage und die Orientierung. Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben 1 a. (1; 3; 9; 10) (2; 4; 5; 11; 14) (7; 8) Die Seitenlängen sind jeweils zueinander proportional. b. 1; 3; 7; 8; 9; 10 Die Seitenlängen bilden pythagoreische Zahlentripel. c. 2 und 5. Sie stimmen in drei Seitenlängen überein. Kongruenz ist ein Spezialfall von Ähnlichkeit. Nicht nur die Form, auch die Größe ist gleich. 2 a. Dreieck Winkel 1 Winkel 2 Winkel 3 1 30° 60° 90° 2 90° 30° 60° 3 45° 45° 90° 4 60° 30° 90° 5 20° 80° 80° 6 75° 75° 30° 7 30° 70° 80° Dreieck Winkel 1 Winkel 2 Winkel 3 8 100° 20° 60° 9 80° 20° 80° 10 30° 75° 75° 11 30° 100° 50° 12 60° 60° 60° 13 45° 45° 90° 14 30° 80° 70° Ähnlich sind jeweils: (1; 2; 4), (3; 13), (5; 9), (6; 10), (7; 14) b. Bei (1; 4), (3; 13) und (5; 9) stimmen die bekannten Winkel überein. Form c. Alle zueinander ähnlichen Dreiecke könnten auch kongruent sein. d. Ohne Kenntnis der Längen kann das nicht entschieden werden. 6 SE89700593_G_13_05 81 mm x 48 mm 3 a. w Alle Winkel sind gleich. Seitenverhältnis 1 : 1 : 1 : 1 b. f Gegenbeispiel: c. f Gegenbeispiel: d. w Alle Winkel sind gleich. Seitenverhältnis 1 : 1 : 1 e. f Gegenbeispiel: f. f Gegenbeispiel: g. w Winkel 45°; 45°; 90°. Seitenverhältnis 1 : 1 : 90000 2 h. w „Kreis“ bezeichnet eine eindeutige Form i. f Gegenbeispiel: 7 a. y G A 5 F G’ B = A’ 4 Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln über- F’ einstimmen. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn entsprechende Längen proportional sind. B’ C C’ Z=D E’ E x 5 5 a. 4 B Z b. B’ y G’ A’ G A 5 F’ F Z B B’ C A C’ D E E’ A’ b. 5 C c. y A’ x D’ G’ C’ 5 Z B’ F B A’ B’ A c. F’ G A B Z C C’ D E x C’ C 5 E’ D’ Z A B B’ A’ 13 Form 4 8 10 a. Seitenlängen (cm × cm × cm) Größte Seitenfläche ( cm2 ) Kleinste Seitenfläche ( cm2 ) Oberfläche ( cm2 ) Kantenlänge (cm) Volumen ( cm3 ) SE89700593_G_14_01 81 mm x 48 mm Quader 1 Quader 2 Quader 3 2×4×6 3×6×9 6 × 12 × 18 24 54 216 8 18 72 88 48 48 198 72 162 792 144 1296 b. Längenverhältnisse: Quader 1 : Quader 2 = 1 : 1,5 Quader 2 : Quader 3 = 1 : 2 Quader 1 : Quader 3 = 1 : 3 Flächenverhältnisse: Quader 1 : Quader 2 = 1 : 1,52 = 1 : 2,25 Quader 2 : Quader 3 = 1 : 4 Quader 1 : Quader 3 = 1 : 9 Volumenverhältnisse: Quader 1 : Quader 2 = 1 : 1,53 = 1 : 3,375 Quader 2 : Quader 3 = 1 : 8 Quader 1 : Quader 3 = 1 : 27 9 a. Z ( 0 | 0 ); S = 2 c. Die Oberfläche 2200 cm3 ist die 25-mal so groß wie die Oberfläche von Quader 1. Seine Seitenängen sind also 5-mal so lang wie die von Quader 1, also 10 cm, 20 cm und 30 cm. Das Volumen beträgt damit 6000 cm3 = 6 dm3. y D’ C’ Leistungsaufgaben 5 A’ Aufgabe 1a. 1b. 1c. 2 C D A B’ B Z b. A ( 1 | 2 ) B ( 2,5 | 0,5 ) C ( 3,5 | 3 ) D (1 | 3) Anforderungsbereich II I II bis III III x 5 A’ ( 2 | 4 ) B’ ( 5 | 1 ) C’ ( 7 | 6 ) D’ ( 2 | 6 ) Die Koordinaten der Bildpunkte sind jeweils doppelt so groß wie die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Originalfigur. Grund ist, dass Z im Ursprung liegt, d.h. Original- und Bildpunkt liegen jeweils auf Ursprungsgeraden (Gleichung y = mx). Die Bildpunkte erhält man mit m = 2. Allgemein gilt: Wenn Z im Ursprung liegt, dann hat der Bildpunkt von P ( x | y ) die Koordinaten ( sx | sy ), wobei s der Streckungsfaktor ist. 14 Kompetenz K5, K6 K1 K2, K1 K3, K6 1 a. Konstruiere drei zueinander ähnliche Dreiecke. Beschreibe, wie du vorgehst. b. Sind alle rechtwinkligen Dreiecke zueinander ähnlich? Begründe! c. Alle Dreiecke in den Abbildungen sind rechtwinklig. Welche der Dreiecke in einer Figur sind ähnlich? Begründe! Form 4 2 Erkläre mithilfe der Ähnlichkeit, wie die Höhenmessung Baumhöhe mit einem Försterdreieck funktioniert. x Beobachterin Augenhöhe 1,2 m Distanz vom Baum Lösungen zu den Leistungsaufgaben 1 a. Konstruktion z. B. durch Parallelenkonstruktion über einer gemeinsamen Grundlinie b. Nein. Die Dreiecke können verschiedene Winkel haben. Es ist auch möglich, als Gegenbeispiel zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke zu zeichnen. c. Mögliche Begründungen: Linke Figur: Alle Dreiecke sind ähnlich, da sie gleiche Winkel haben. Begründung: Alle haben einen 90°-Winkel, das linke Teildreieck hat mit dem großen Dreieck den Winkel links gemeinsam, also ist auch der dritte Winkel gleich. Entsprechende Argumentation mit dem rechten Teildreieck und dem rechten Winkel. Rechte Figur: Wenn im größten Teildreieck die Höhe eingezeichnet wird, erhält man die linke Teilfigur. Dieses Dreieck ist also mit seinen beiden durch die Höhe entstandenen Teildreiecken ähnlich. Die beiden in der Fogur außen liegenden Teildreiecke erhält man aus den durch die Höhe entstandenenTeildreiecke durch Punktspiegelung, also sind alle Dreiecke ähnlich. 2 Mögliche Begründung über Parallelität der waagerechten und senkrechten Linien oder über Winkelgleichheit. 15 Zehnhoch 5 Vorschlag zur Stundenverteilung Einordnen 6 Vom Leben im Vierwaldstättersee Klasse 7 1 Wie viel ist viel? 5 Zehnhoch Klasse 7 13 Potenzieren 18 Wachstum Zur Sache Begriffe Wissenschaftliche Schreibweise, Potenzschreibweise, Zehnerpotenz Merktexte – Worum geht es? Es sollen die Vorstellungen zu den Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten weiter entwickelt werden. Insbesondere sollen die Bedeutung und die Auswirkung eines veränderten Exponenten vertieft werden. Wichtig ist auch hier der Wechsel der Darstellung (Zehnerpotenz, Dezimalbruch, Bruch). Auf der rechten Seite werden Zehnerpotenzen im Zusammenhang mit Homöopathie aufgegriffen und es wird in diesem Sachkontext damit gerechnet. Zum Unterricht Was wird benötigt? – Stunde LU 1 1, 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ¹ Kompetenzerwartungen – Repräsentanten für große und kleine Maßeinheiten angeben (K 1) – den Taschenrechner richtig bedienen (K 5) – Zahlen in Potenzschreibweise lesen und schreiben (K 5) – Verschiedene Schreibweisen ineinander umwandeln (K 4) – Rechengesetze für Potenzen erforschen und anwenden (K 2) – Die Potenzschreibweise mit ganzzahligen Exponenten erläutern (K 1) und verwenden (K 4) 1 2, 3 4, 5, 6 7, 8 9, 10 1 2 LU AH 3 Wie kann man vorgehen? Zur Lernumgebung Die Illustrationen und Fotos der Lernumgebung dienen der Schulung des Vorstellungsvermögens und zeigen für jede Zehnerpotenz von 100 bis 10– 6 einen Repräsentanten im Metermaß. Sie knüpfen an die Darstellungen und Erfahrungen aus der Lernumgebung „Wie viel ist viel?“ an. 1 Mögliche Aufträge zu den Illustrationen: – Zeichne ein Chromosom vergrößert mit der Breite 1 mm, dazu in entsprechender Größe ein weißes Blutkörperchen, einen Fingernagel. Wie groß wäre dann eine Hand? – Weitere Repräsentanten suchen lassen (im und ums Schulhaus, zu Hause, in der Biologie usw.). Die Bedeutung der negativen Exponenten kann innermathematisch mit Hilfe einer fortlaufenden Division durch 10 klar werden. 2 Die Schülerinnen und Schüler sollen den Sachverhalt selbst formulieren. Eventuell kann vorher in der Klasse eine eigene Serie untersucht und dargestellt werden (1 000 000 : 10, 100 000 : 10 usw.). Die Serie wird anschließend mit der Tabelle im Schulbuch verglichen. 3 Standortbestimmung zum Verständnis des Zehnersystems: Bei Bedarf kann die Aufgabe mit einer leeren Stellentafel beliebig erweitert werden. Die Aufgabe eignet sich auch als Partnerarbeit. Übersetzung in andere Schreibweisen: Durch die Struktur der Aufgabenserie sollte die Bedeutung von 100 klar werden. 4 5 Vor der Bearbeitung der Aufgaben muss das Thema Ho- möopathie besprochen werden bzw. es können die Informationen durch Internetrecherche ergänzt werden. Zu den Ergänzenden Aufgaben Die strukturierten Aufgaben 5 bis 8 sind so angelegt, dass die Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung einige Potenzgesetze entdecken können und Regeln hierzu formulieren sollen. Wie könnte es weitergehen? Bei der Erarbeitung ist für schwächere Schüler sorgfältig darauf zu achten, dass negative Potenzen nicht mit negativen Zahlen verwechselt werden. Es muss klargestellt sein, dass 103 eine Eins mit drei Nullen ist, und nicht eine Zehn mit drei Nullen; genauso wie ein Tausendstel nur zwei Nullen nach dem Dezimalpunkt hat, und nicht drei, obwohl 1000 drei Nullen hat 17 Zehnhoch 5 1 ( ___ 1000 = 0,001 ). Zählt man die Einerstelle mit, dann stimmt die 1 1 __ Anzahl Nullen aber: __ 10 = 0,1; 100 = 0,01 usw. Der konventionelle Platz des Dezimalkommas provoziert hier leider immer wieder Fehler. Besonders begabte Schülerinnen und Schüler kann man zeigen lassen, dass die gefundenen Potenzgesetze auch bei einer anderen Basis gelten. Literatur – – – – Morrison, Ph./Morrison, Ph./Eames, R.: Zehn Hoch. Dimensionen zwischen Quarks und Galaxien. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2002 Eames, Ch./Eames, R.: Zehn Hoch. Dimensionen zwischen Quarks und Galaxien. Videokassette (10 Minuten). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg Film „Zehn hoch“ bei www.youtube.de zu finden. Kunsch, K./Kunsch, St.: Der Mensch in Zahlen. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006 Lösungen 1 individuelle Lösung b. hinzufügen: 1213 313 223 214 213,1 213,01 213,001 213,0001 c. 3 Plättchen auf eine Stelle: 8 2 Plättchen auf eine Stelle: 8·7 = 56 8·7·6 _8 1 Plättchen auf eine Stelle: 56 ( = ____ 1·2·3 = ( 3 )) insgesamt 120 Möglichkeiten (Wenn man die Tabelle erweitert, werden es mehr.) 4 a. D 2 und C 1 sind jeweils Verdünnungen 1 : 100. Der Unterschied besteht in der unterschiedlichen Herstellungsweise. Die D 2-Potenz wurde zweimal geschüttelt. b. D 3 steht für den Anteil 10– 3 bzw. die Verdünnung 1 : 1000. c. 10– 4, die Abkürzung könnte D 4 oder C 2 sein. d. individuelle Lösung 5 a. D 6 bedeutet 10– 6, also 10– 6 von 20 g. 2 Von tausend an werden die Zahlen fortlaufend durch zehn 20 g · 10– 6 = ____ 50 000 g = 0,000 02 g 1 dividiert. Die Auswirkung dieser Operation auf den Exponenten wird dargestellt. D 1 bedeutet 10– 1, also 40 mø · __ 10 = 4 mø 1 D 2 bedeutet 10– 2, 100 mø · __ 100 = 1 mø 1 3 C 3 bedeutet 10– 6, 15 g · _____ 1 000 000 = 0,000 015 g = 0,015 mg 1 a. 103 102 101 100 10– 1 10– 2 10– 3 10– 4 • •• ••• Zahl in Zahl in Ziffern Worten 1230 tausendzweihundertdreißig 103 + 2 · 102 + 3 · 101 •• • ••• 213 zweihundertdreizehn 2 · 102 + 1 · 101 + 3 · 100 • ••• •• 13,2 dreizehn Komma zwei 3,21 drei Komma zwei eins 0,231 null Komma zwei drei eins 1 · 101 + 3 · 100 + 2 · 10– 1 ••• •• • 3 · 100 + 2 · 10– 1 + 1 · 10– 2 •• ••• • 2 · 10– 1 + 3 · 10– 2 + 1 · 10– 3 ••• • •• 3 · 10– 2 + 1 · 10– 3 + 2 · 10– 4 18 0,0312 null Komma null drei eins zwei C 30 bedeutet 10– 60, 1000 g · 10– 60 = 10– 57 g = 10– 54 mg = 3 · 10– 12 ø = 3 · 10– 9 mø D 12 bedeutet 10– 12, 3 ø · __ 1012 1 b. D2 102 5 g · 100 = 500 g D 12 5 g · 1012 = 5 000 000 000 000 g = 5 000 000 000 kg = 5 000 000 t C 30 1060 5 g · 1060 = 5 · 1060 g Atomare Maseneinheit 1 u ≈ 1,7 · 10– 27 kg = 1,7 · 10– 24 g C 12 bedeutet 10– 24, damit enthalten 5 g eines homöopathischen Arzneimittels mit der Potenzierung C 12 weniger als ein Atom der Ursubstanz. c. Zuckerwürfel V = 2,56 cm3; Wassertropfen r = 0,3 cm und damit V = 0,113 cm3. Somit steht das Volumen eines Tropfens zum Volumen eines halben Zuckerwürfel in einem Verhältnis von 1 : 10. D 2: Verhältnis 1 : 100; 1 Tropfen auf 100 mø Flüssigkeit D 6; Verhältnis 1 : 1 000 000; 1 Tropfen auf 1000 ø Flüssigkeit. 6 Mögliche Lösung: Angenommen, ein Mensch hat 5 ø Blut. Das sind 5 dm3 = 5 · 10– 3 m3. Ein weißes Blutkörperchen hat etwa ein Volumen von 10– 5 · 10– 5 · 10– 5 m3 = 10– 15 m3. Da das Blut aus verschiedenen Komponenten besteht, nehme ich einen Anteil von 1 % für die weißen Blutkörperchen. Zehnhoch 1 % von 5 · 10– 3 m3 sind 5 · 10– 5 m3. 5 · 10– 5 m3 : 10– 15 m3 = 5 · 1010. Es sind also etwa 1010 bis 1011 weiße Blutkörperchen. Je nach Annahmen können die Lösungen variieren. ¹ Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben 1 1 Million = 106 – 5 · 10– 3 = – 0,005 102 = 1,02 · 102 1,2 · 10– 3 = 0,001 2 0,005 = 5 · 10– 3 10– 5 = 0,000 01 10– 2 = 0,01 – 5000 = – 5 · 103 – 0,01 = – 10– 2 – 105 = – 100 000 2 a. 104 b. 10– 4 10– 6 106 108 1010 108 1012 10– 8 10– 10 10– 3 · 10– 5 = 10– 8 10– 6 · 10– 6 = 10– 12 0,1 · 10– 3 0,2 · 10– 5 Ziffernschreibweise (Dezimalbruch) Wissenschaftliche Schreibweise Bruchschreibweise 0,000 01 1 · 10– 5 1 __ 0,0001 1 · 10– 4 1 __ 2 __ 3 __ 0,000 002 2 · 10– 6 0,3 · 10– 7 0,000 000 03 3 · 10– 8 1500 · 105 150 000 000 1,5 · 108 750 · 104 7 500 000 7,5 · 106 187,5 · 100 187,5 1,875 · 10 2 93,75 · 10– 2 0,9375 9,375 · 10 – 1 0,023 437 5 · 10– 6 105 104 106 108 9375 ___ 104 234 375 0,000 000 023 437 5 2,34375 · 10– 8 _____ 8 10 0,000 000 000 4 4 · 10– 10 0,000 000 000 45 4,5 · 10– 10 0,000 000 4 4 · 10– 7 4 ___ 1010 45 ___ 1011 4 __ 107 4 1 5 a. 10 · 10 = 100 = 102 10 · 102 = 1000 = 103 10 · 103 = 10 000 = 104 10 · 104 = 100 000 = 105 b. 102 · 101 = 1000 = 103 103 · 102 = 100 000 = 105 104 · 103 = 10 000 000 = 107 105 · 103 = 100 000 000 = 108 c. 105 · 100 = 100 000 = 105 104 · 101 = 100 000 = 105 103 · 102 = 100 000 = 105 102 · 103 = 100 000 = 105 d. 10n · 10m = 10n + m. In der Zehnerpotenzschreibweise gibt der Exponent die Anzahl der Nuller an. Die Exponenten können bei der Multiplikation zweier Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise addiert werden. 6 3 0,01 · 10– 3 5 0 2 a. – 102; – 10– 2; 10– 4; 0,001; 10– 2; __ 10 ; 10 ; 10; 10 ; 1000 15 ___ – 3 0 2 3 b. 1,5 · 10 ; 0,1; 100 ; 10 ; 50; 10 ; 150; 5 · 10 a. 103 · 10– 1 = 102 = 100 103 · 10– 2 = 101 = 10 103 · 10– 4 = 10– 1 = 0,1 103 · 10– 5 = 10– 2 = 0,01 b. 105 · 10– 1 = 104 = 10 000 104 · 10– 2 = 102 = 100 103 · 10– 3 = 100 = 1 102 · 10– 4 = 10– 2 = 0,01 c. 10– 5 · 100 = 10– 5 = 0,000 01 10– 4 · 101 = 10– 3 = 0,001 10– 3 · 102 = 10– 1 = 0,1 10– 2 · 103 = 101 = 10 d. Bei der in Aufgabe 5 formulierten Regel sind die Exponenten alle positiv, hier ist einer positiv und einer negativ. Die Regel 10 n · 10 m = 10 n + m gilt auch hierfür. 7 1 –6 a. __ 64 = 2 1 –3 b. __ 27 = 3 1 d. __4 = x– 4 1 –n e. __ an = a x 1 –4 c. ___ 625 = 5 8 a. ( 102 )2 = 104 = 10 000 ( 101 )2 = 102 = 100 ( 100 )2 = 100 = 1 ( 10– 1 )2 = 10– 2 = 0,01 ( 10– 2 )2 = 10– 4 = 0,0001 ( 10– 3 )2 = 10– 6 = 0,000 001 b. ( 104 )2 = 108 = 100 000 000 ( 102 )4 = 108 = 100 000 000 ( 103 )2 = 106 = 1 000 000 ( 102 )3= 106 = 1 000 000 ( 103 )1 = 103 = 1000 ( 101 )3 = 103 = 1000 c. ( 10– 3 )– 3 = 109 = 1 000 000 000 ( 10– 3 )– 2 = 106 = 1 000 000 ( 10– 3 )– 1 = 103 = 1000 ( 10– 3 )0 = 100 = 1 ( 10– 3 )1 = 10– 3 = 0,001 ( 10– 3 )2 = 10– 6 = 0,000 001 19 Zehnhoch 5 d. ( 10n )m = 10n · m; der Exponent in der Klammer kann mit dem äußeren Exponenten multipliziert werden. Der äußere Exponent gibt an, wie häufig die Klammer mit sich selber zu multiplizieren ist. In der Klammer gibt der Exponent an, wie häufig die Basis mit sich selber zu multiplizieren ist. Als Multiplikation der Basen geschrieben gibt der Exponent die Anzahl der Faktoren an. 9 a. b. c. d. 172,56 · 102 = 17 256 = 1,7256 · 104 844 · 10– 4 = 0,0844 = 8,44 · 10– 2 0,0034 · 103 = 3,4 = 3,4 · 100 105 = 100 000 = 105 12 –3 e. ____ 10 000 = 0,0012 = 1,2 · 10 f. g. h. i. 64 891 · 10– 3 = 64,891 = 6,4891 · 101 72,6 · 0,001 = 0,0726 = 7,26 · 10– 2 0,009 009 0 = 9,009 · 10– 3 0,37 · 10– 1 = 0,037 = 3,7 · 10– 2 10 c. x = 2 x=2 x=3 x=3 b. x = 2 x=1 x = –2 x=7 a. x = 3 x=6 x = –2 x = –5 Leistungsaufgabe Aufgabe 1 Kompetenz K5 Anforderungsbereich I 1 Bestimme x. 102 · 105 = 10x ( 105 ) 3 = 10x 10 __ = 10x 10– 3 · 10x = ( 10x ) 4 10x __ = 10 10x · 10 10– 7 = 107 = 10– 4 ( 10x ) x = 109 104 104 105 __ = 108 10x Lösungen zur Leistungsaufgabe 1 102 · 105 = 107 20 10– 3 · 1010 = 10– 8 · 10 10– 7 = 107 ( 105 ) 3 = 1015 10 __ = 10– 3 ( 10– 1 ) 4 = 10– 4 105 __ = 10 ( 103 ) 3 105 ___ = 108 = 109 104 104 10– 3 Vom Leben im Vierwaldstättersee Kompetenzerwartungen – Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise lesen, schreiben und anwenden (K 4, K 5) – Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen entnehmen, bearbeiten und interpretieren (K 1, K 6) – Abbildungen maßstabsgetreu vergrößern (K 5) – Sachaufgaben lösen (K 2, K 3) – Aufgaben erfinden (K 6, K 1) – Medien zur Informationsbeschaffung nutzen (K 6) 6 einer Abfolge von Zusammenbrüchen. Dabei werden Nährstoffe freigesetzt und der Zyklus kann mit dem Wachstum schnellwüchsiger, kleiner Algen von Neuem beginnen. Die jahreszeitlichen Veränderungen der Umwelt verhindern dabei, dass sich ein Gleichgewicht in den Bevölkerungsdichten der einzelnen Organismengruppen einstellt. Dieser Ablauf ist jedoch störanfällig, und nicht alle Auswüchse der Entwicklungszahlen eines bestimmten Jahres sind so einfach erklärbar. Zum Unterricht Einordnen Was wird benötigt? 4 Zehnhoch 6 Vom Leben im Vierwaldstättersee – Texte und Grafiken als Arbeitskopie (Kopiervorlagen) Vorschlag zur Stundenverteilung Zur Sache Worum geht es? Der Vierwaldstättersee gehört zu den größeren Seen der Schweiz. Seine interessante Form und eine gute Erforschung der Lebensbedingungen im See, machen ihn zu einem geeigneten Forschungsobjekt für diese Lernumgebung. Der See ist allerdings auch einer der schönsten Seen der Schweiz und somit auch ein Anziehungspunkt für Touristen. Seit 1950 wird der See von der EAWAG (Eidgenössische Anstalt für Wasserversorgung, Abwasserreinigung und Gewässerschutz) erforscht. Der Vierwaldstättersee hat sich heute auf einem nährstoffarmen Niveau, mit relativ geringem Algenwachstum und vielfältigem Artenbestand, stabilisiert. Die Schadstoffbelastung hat sich deutlich verringert. Die Uferzonen des Sees, die wichtige ökologische Funktionen erfüllen, sind allerdings durch die starke Besiedelung des Sees gefährdet. Da der See viele Zuflüsse und nur einen Abfluss besitzt, ist die Überwachung und Regelung des Seepegelstandes eine wichtige Aufgabe für die EAWAG. Bei Hochwasser kommt es schnell zu schweren Schäden an den Ufern des Sees, besonders betroffen war 2005 die Stadt Luzern. Die Nahrungskette Die dynamische Entwicklung der Wasserorganismen im Verlauf des Jahres hängt ab von den jahreszeitlichen Bedingungen wie Wasssertemperatur, Sonnenscheindauer, Nährstoffgehalt für die Algen sowie von der gegenseitigen Beeinflussung durch die Nahrungskette. Innerhalb von drei Wochen können ganze Organismengruppen erscheinen und verschwinden. Zuerst entwickeln sich die schnellwüchsigen kleinen Algen (Nanoplankton) und die Wassertierchen, die sich davon ernähren, und somit schnell wachsen können (Protozoen, Rotatorien). Die höher entwickelten, größeren Kleinkrebse weisen längere Entwicklungszeiten auf. Da viele Wassertierchen nur die kleineren Algen fressen können, verursachen sie mit der Zeit eine Veränderung der Algenzusammensetzung: Die langsamwüchsigen, großen Algen (Netzplankter), meistens Algenfäden oder -kolonien, werden bevorteilt und beginnen das Artenspektrum zu dominieren. Nährstoffverknappung und Fraß führen dann zu Stunde LU AH 1, 2 1 1 bis 3 3, 4 2 4 bis 5 Wie kann man vorgehen? Die Texte und Grafiken bieten vielfältige Informationen zum Vierwaldstättersee an. Es geht darum, die wichtigen Informationen zu entnehmen. Durch Berechnungen werden weitere Sachzusammenhänge erschlossen. Größenangaben geben Anlass für Schätzungen, Umrechnungen und Maßstabsberechnungen, bei denen auch das Vorstellungsvermögen für sehr große und sehr kleine Größen geschult wird. Zur Lernumgebung Die Lernumgebung ist geeignet, erste Schritte auf dem Weg zur Portfolioarbeit zu erproben. Dazu gibt es eine kurze Anleitung direkt unter der ersten Aufgabe. Bei dieser Vorgehensweise sollte die Aufgabe 2 nicht mehr komplett im Unterricht bearbeitet werden, da in dieser Aufgabe einige Themenbereiche angesprochen werden, die sich für Portfolios eignen und daher wohl auch von einigen Schülerinnen und Schülern ausgewählt werden könnten. Die Bearbeitung dieser Lernumgebung ist auch ohne Portfolioarbeit möglich und sinnvoll. Dann sollten jedoch beide Aufgaben der Lernumgebung im Unterricht bearbeitet werden. Das Arbeitsheft greift bestimmte Themenfelder wie Regulierung des Seepegelstandes und Bewohner des Sees wieder auf und vertieft diese. Literatur – – www.4waldstaettersee.ch Stadelmann, Pius: Vierwaldstättersee, Lebensraum für Pflanzen, Tiere und Menschen, Rex Verlag, Luzern 2007 21 6 Vom Leben im Vierwaldstättersee Lösungen c. Pro Sekunde 110 m3 = 110 000 ø 1 a. Pro Minute 6 600 000 ø Die Entstehung des Vierwaldstättersees begann schon vor 12 000 Jahren, in der Eiszeit. In dieser Zeit wurde der See endgültig vom Reussgletscher geformt, so dass es heute sogar in Luzern im Gletschergarten eine Dokumentation über die Alpen, die Eiszeit und deren Gletscher gibt. Dort kann man sich intensiv mit der Entstehung des Sees beschäftigen. Der See, der zu den größten Seen der Schweiz gehört ( ca. 114 km2 ) hat eine sehr verzweigte Form mit den Vitznauer und Gersauer Becken als Hauptbecken. Die Endzweige enden an der Reuss, die der einzige Abfluss des Sees ist. Die Zuflüsse des Sees bestehen aus dem Schmelzwasser der Alpen und Niederschlag. Insgesamt befindet sich dort 1,18 · 1010 m3 Wasser und er besitzt eine Uferlänge von 129 km. Die maximale Tiefe des Sees beträgt 214 m und die Höhe des Sees beträgt 434 m über dem Meeresspiegel. Der Vierwaldstättersee besteht aus mehreren Armen und Buchten: • Der Urnersee erstreckt sich von der Einmündung der Reuss bei Seedorf 11 km in nördlicher Richtung bis nach Brunnen. • Das Gersauer Becken führt 14 km von Ost nach West von Brunnen nach Ennetbürgen, wo die Engelberger Aa in den See mündet. In der Mitte der Bucht von Buochs erreicht der See mit 214 m Tiefe seine tiefste Stelle. • Das Vietznauer Becken liegt südlich von Weggis und verläuft von Ost nach West. Es führt zwischen Hertenstein im Norden und dem Bürgenstock im Süden hin zur Seemitte. • Der Chrüztrichter bildet im Westen des Weggiser Beckens das eigentliche Zentrum dieses Seeteils. Im Südwesten davon liegen • die Horwer Bucht und • der Alpnacher See, der zwischen Acheregg und Stansstad durch eine Engstelle und eine Brücke vom restlichen See abgetrennt wird und am Südfuß des Pilatus liegt. • Der Luzernersee führt vom Kreuztrichter aus nach Nordwesten nach Luzern, wo die Reuss den See verlässt und zur Aare weiter fließt. • Der Küssnachter See führt zwischen Merlischachen und Meggen in nordöstlicher Richtung nach Küssnacht am Rigi. • Alpenpanorama und der prächtigen Landschaft. (Larissa S., Betül G., Katharina S.) b. Wir haben hier den Flächeninhalt des Sees bereits angegeben, er beträgt 114 km2. Aber wäre es nicht interessant zu wissen, wie die Fläche des Sees genau bestimmt wird? Innerhalb einer Aufgabe eines Mathematikarbeitsblattes wurde genau solch eine Frage gestellt. Ich bin dabei in folgender Art und Weise vorgegeangen. Zuerst war dort die Fläche des Sees. Ich KDEHDXI$QKLHEQLFKWLUJHQGHLQH)RUPHOKHUDXV¿QGHQN|QQHQ also habe ich dies folgendermaßen gemacht. Ich habe die verschieGHQHQ7HLOÀlFKHQGHV6HHVLQZHLWHUH7HLOÀlFKHQXQWHUWHLOWGLHVH vermessen und dann genau die Fläche jedes einzelnen bestimmt. Meine Ausführung: Ich habe den See in ungefähr 35 kleine Dreiecke und Rechtecke aufgeteilt, diese vermessen, den Flächeninhalt errechnet und diese dann zusammengerechnet. (Mario H.) 22 Pro Stunde 396 000 000 ø Pro Tag 9 504 000 000 ø Pro Jahr 3 468 960 000 000 ø Pro Jahr fließen 3,468 96 · 1012 Liter Wasser aus dem See. (Nathalie B.) d. 1,18 · 1010 : 110 = 107 272 727,3 : 60 = 1 787 878,788 : 60 = 29 797,9798 : 24 = 1241,582 492 : 365 = 3,401 595 867 (Sekunde) (Minute) (Stunde) (Jahr) Antwort: Der See wäre nach meiner Berechnung nach 3,401 595 867 Jahren leer, wenn kein Wasser mehr hineinfließen würde! (Fabian G.) e. e) In einem Liter Wasser sind ungefähr 3,35 · 1025 g Wassermoleküle. Ein Wassermolekül hat eine Masse von 2,99 · 10– 23 g. Im Vierwaldstättersee gibt es 1,18 · 1013 l Wasser im See. Rechnung für die Anzahl der Atome: 1,18 · 1013 · 3,35 · 1025 = 3,953 · 1038 Wassermoleküle A: Es befinden sich 3,953 · 1038 Wassermoleküle im See. Rechnung für die Masse der Atome: 3,953 · 1038 · 2,99 · 10– 23 = 1,181 947 · 1016 (g) A: 1,181 947 · 1016 g Wassermoleküle sind im See. (Muhammed C.) f. In einen Teelöffel (TL) passen 5 mø Wasser. Mit wie vielen TL könnte man das Wasser des gesamten Sees ausschöpfen? 5 mø = 0,005 ø 0,005 mø entsprechen 1 TL, also 1 ø entsprechen 200 TL. 1ø 1,18 · 1013 ø 200 TL 2,36 · 1015 TL (Franziska J.) Vom Leben im Vierwaldstättersee e. 2 a. (verkleinert) Maßstab 100 : 1 6 Vor über 40 Jahren führten Überdüngungen und der Einsatz von phosphathaltigen Waschmitteln fast zum Ersticken der Seen. Schuld daran waren die veralteten Kläranlagen, die nicht imstande waren das Phosphat vollständig aus dem Wasser zu filtern. Phosphate werden in der Landwirtschaft als Dünger sowie in Wasch- und Spülmitteln eingesetzt, aber auch der Mensch scheidet Phosphate aus. Je mehr Phosphor im Wasser vorhanden ist, desto mehr Algen werden produziert. Dadurch bilden sich riesige Algenteppiche, die anderen Lebewesen oder Wasserpflanzen den Sauerstoff entziehen, den sie zum Überleben brauchen. Aus diesem Grund beschloss der Bundesrat 1985 ein Verbot für Textil-Waschmittel mit Phosphat in der Schweiz. Seither verbessert sich die Situation. Wobei im Jahre 1976 noch 32 mg Phosphat pro Liter vorhanden waren, sind es 2000 nur noch 4 – 6 mg/ø. Aufgabe: Wie viele Tonnen Phosphat waren im Jahre 1976 im ganzen See vorhanden? 1,18 · 1010 m3 = 1,18 · 1013 ø 1,18 · 1013 · 32 mg = 3,776 · 1014 mg = 3,776 · 105 Tonnen b. Blaualgen: 3,14 · ( 1 · 10– 5 m ) = 3,14 · 10– 5 m ( 3,14 · 10– 5 m ) · ( 1 · 10– 2 m ) = 3,14 · 10– 7 m2 1 · 10– 5 m ______ = 5 ·10– 6 m 2 ( 5 · 10– 6 )2 m2 · 3,14 = 7,85 · 10– 11 m2 ( 7,85 · 10– 11 m2 ) · 2 = 1,57 · 10– 10 m2 ( 3,14 · 10– 7 m2 ) + ( 1,57 · 10– 10 m2 ) ≈ 3,14 · 10– 7 m2 Kieselalgen: 3,14 · ( 1 · 10– 5 m ) = 3,14 · 10– 5 m ( 3,14 · 10– 5 m ) · ( 7 · 10– 5 m ) = 2,198 · 10– 9 m2 (Franziska J.) Meine erste Aufgabe bezieht sich auf den Ruderfußkrebs: Die Länge eines solchen männlichen ausgewachsenen Ruderfußkrebses ist 1,6 · 10– 3 m. Jedoch eine vor Kurzem geschlüpfte Ruderkrebslarve (auch Naupilus genannt) ist gerade mal 5 · 10– 7 groß. Wie viel mal passt diese Larve in die Länge des Krebses hinein? 5 · 10– 7 = 0,000 5 mm 1,6 · 10– 3 m = 1,6 mm 1,6 mm / 0,000 5 mm = 3200 Also passt der Naupilus 3200-mal in die Länge des Ruderfußkrebses hinein. (David P.) 1 · 10– 5 m ______ = 5 ·10– 6 m 2 ( 5 · 10– 6 )2 m2 · 3,14 = 7,85 · 10– 11 m2 ( 7,85 · 10– 11 m2 ) · 2 = 1,57 · 10– 10 m2 ( 2,198 · 10– 9 m2 ) + ( 1,57 · 10– 10 m2 ) = 2,355 · 10– 9 m2 Die Blaualgen haben eine größere Oberfläche als die Kieselalgen. Dies liegt wohl daran, dass die Blaualgen länger als die Kieselalgen sind. (Nathalie B.) c. 6,2 · 10– 4 · 1,18 · 1013 = 7,316 · 109 7,316 · 109 g = 7,316 · 103 t d. Im März erwärmt sich das Wasser und es gibt mehr Sonnenlicht. Als Folge davon vermehren sich als Erstes die Algen. Da sie die Nahrungsgrundlage für die Pflanzen fressenden Wassertierchen sind, vermehren sich diese in der Folge von Mai bis Juni. Die Algenpopulation nimmt wieder etwas ab. In den Monaten Mai und Juni finden auch die Fleisch fressenden Wassertierchen dank mehr Nahrung bessere Wachstumsbedingungen. Im Oktober gibt es am meisten Fleisch fressende Wassertierchen. 23 Pythagoras & Co. 7 Zum Unterricht Kompetenzerwartungen – Sätze am rechtwinkligen Dreieck wiedergeben und darstellen (K 6) – Sätze am rechtwinkligen Dreieck begründen und beweisen (K 1, K 2) – Geometrische Größen unter Verwendung der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras berechnen (K 5) Was wird benötigt? Evtl. stärkeres Papier oder Pappe für Aufgabe 2 und 3. Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde LU EA AH Einordnen Klasse 8 18 Aus dem Leben des Pythagoras 1 1, 2, 3 2, 3 1 2 4, 5 4, 5, 6 2 3 6, 7, 8 1 3 4 5 6 7, 8 4 9, 10 5 11, 12 Wie kann man vorgehen? Klasse 8 19 Pythagoras-Parkette 11 Pythagoras & Co. 13 Sinus, Kosinus, Tangens 4 Form Zur Sache Begriffe Rechtwinkliges Dreieck, Kathete, Hypotenuse, Satz des Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz, Umkehrsatz Merktexte 1. 2. 3. 4. Satz des Pythagoras: siehe linke Seite der Lernumgebung Umkehrsatz: siehe rechte Seite der Lernumgebung Kathetensatz: vgl. Aufgabe 7 Höhensatz: vgl. Aufgabe 8 Worum geht es? Im Mathematikbuch Klasse 8 Lernumgebung 18 wurden die Schülerinnen und Schüler mit dem Leben des Pythagoras bekanntgemacht. In Lernumgebung 19 wurde der Satz des Pythagoras eingeführt. Dort wurde der Schwerpunkt darauf gelegt, dass die Schülerinnen und Schüler den Satz selbst entdecken, formulieren und verstehen. In dieser Lernumgebung wird der Satz des Pythagoras wieder aufgegriffen und durch die übrigen Sätze der sogenannten Satzgruppe des Pythagoras ergänzt: den Kathetensatz und den Höhensatz des Euklid. Der Schwerpunkt liegt hier darauf, das Beweisen geometrischer Sätze zu erlernen und zu üben. Dazu dienen vor allem ikonische und handlungsorientierte Beweise, die von den Schülern ausformuliert werden sollen. In den Ergänzenden Aufgaben steht das Anwenden des Satzes des Pythagoras im Vordergrund (Diagonalen, Höhen, Flächenberechnungen, Abstände in der Ebene und im Raum). In vielen Bundesländern ist der Satz des Pythagoras noch nicht Inhalt von Klasse 8. Die Lernumgebung „Pythagoras-Parkette“ wurde in diesem Fall möglicherweise nicht behandelt. Es ist aber problemlos möglich, direkt mit der vorliegenden Lernumgebung in das Thema einzusteigen. Zum (Wieder-)Einstieg, insbesondere falls der Satz des Pythagoras noch nicht behandelt wurde, bietet es sich an, mit der Vorstellungsübung zu beginnen, die in Christoph Weber, Mathematische Vorstellungsübungen im Unterricht, S. 189f. (siehe Literatur) beschrieben wird. Dabei stellen sich die Schülerinnen und Schüler ein zunächst gleichseitiges Dreieck vor, bei dem an jeder Seite Quadrate angeheftet sind. Im Verlauf der Übung stellen sie sich vor, dass die obere Ecke sich nach unten bewegt, wobei die anliegenden Seiten entsprechend kürzer und die angehängten Quadrate kleiner werden, bis die Ecke fast die Grundseite berührt. In der Vorstellung vergleichen die Schülerinnen und Schüler den Gesamtflächeninhalt der oberen beiden Quadrate mit dem Flächeninhalt des unteren, in der Anfangssituation, in der Endsituation und dazwischen und versuchen, aus ihrer Anschauung heraus, eine Antwort auf die Frage zu finden, wann die beiden Flächeninhalte gleich sind. 1 Hier geht es um den Wechsel der Darstellung. In Lernum- gebung 19 „Pythagoras-Parkette“ in Klasse 8 sollten die Schülerinnen und Schüler, ausgehend von einer zeichnerischen Darstellung, den Satz in Worten formulieren. Hier sollen sie von der Formulierung in Worten zur zeichnerischen Darstellung und der Formulierung mithilfe von Formeln wechseln. Es ist üblich, die Katheten mit a und b und die Hypotenuse mit c zu bezeichnen. Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit. Je nach Wahl der Bezeichnungen bekommt man unterschiedliche Formeln. Dies sollte thematisiert werden. 2 Es ist möglich und gerade für schwächere Schüler hilfreich, die Flächen aus Papier auszuschneiden und zusammenzulegen. Die Formulierungen im Beweispuzzle enthalten die wesentlichen Beweisschritte. Wenn man ganz exakt sein möchte, muss man noch begründen, dass die „Restfläche“ in der oberen Figur tatsächlich ein Quadrat ist, und dass die Flächen in der unteren Figur lückenlos zusammenpassen. Die dargestellten Figuren lassen auch andere Interpretationen des Vorgehens zu. Zum Beispiel könnte man in der oberen Figur mit dem inneren „c-Quadrat“ starten und daran vier Dreiecke anlegen. In diesem Fall muss man bgründen, dass insgesamt ein Quadrat entsteht, insbesondere, dass an den Ecken des c-Quadrats keine Knicke entstehen. 25 Pythagoras & Co. 7 3 Auch hier ist es sinnvoll, die Flächen aus Papier auszu- schneiden und zu legen. Man beginnt dann sinnvollerweise mit der rechten Figur. 4 Die Gültigkeit des Umkehrsatzes ergibt sich hier (zumin- dest experimentell) aus der vollständigen Fallunterscheidung: Für spitze Dreiecke gilt …, für rechtwinklige gilt …, für stumpfwinklige gilt … Wenn a2 + b2 = c2 ist, dann muss das Dreieck rechtwinklig sein, denn wenn es spitz wäre, wäre a2 + b2 > c2, wenn es stumpf wäre, wäre a2 + b2 < c2. 6 7 Der Kathetensatz und der Höhensatz sind in vielen Bundes8 ländern nicht im Kerncurriculum enthalten. Die Aufgaben 2 a. „Gegeben ist …“ „In ein Quadrat …“ „Das obere Quadrat …“ „Das untere Quadrat …“ „Die Flächen …“ „Also hat …“ b. Einerseits: A = (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 1 Andererseits: A = c2 + 4 · _2 · a b = c2 + 2 a b fa2 + 2 a b + b2 = c2 + 2 a b fa2 + b2 = c2 3 a. bieten jedoch die Gelegenheit, das Beweisen geometrischer Sätze zu üben. c a b a c b a b–a b–a b Wie könnte es weitergehen? – – a Pythagoräische Tripel Möndchen des Hippokrates c c b c a a b b a c Literatur – – – – Hans J. Schmidt: Der Satz des Pythagoras, Verlag an der Ruhr 1999 Christoph Weber, Mathematische Vorstellungsübungen im Unterricht – Ein Handbuch für das Gymnasium, KlettKallmeyer, Seelze-Velber 2010 http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/ pythagoras.html mathematik lehren 155, Erhard Friedrich Verlag, Seelze 2009 Lösungen 1 a. 4 b2 C b B c2 b. a2 + b2 = c2 a c A 26 b. Verlängert man die rechte Seite des kleinen Quadrats nach unten, so zerteilt diese Linie die Figur in zwei Rechtecke. Das linke Rechteck hat die Höhe b und die Breite a + (b – a) = b, ist also ein Quadrat der Seitenlänge b. Das rechte Rechteck hat die Höhe a und die Breite b – (b – a) = a, ist als ein Quadrat der Seitenlänge a. c. Die linke und die rechte Figur sind aus denselben Teilen zusammengesetzt. Also haben sie den gleichen Flächeninhalt. Die linke Figur hat den Flächeninhalt a2 + b2, die rechte Figur den Flächeninhalt c2. d. Der Vergleich der Flächeninhalte in der rechten Figur ergibt: (b – a)2 + 4 · _21 a b = c2 b2 – 2 a b + a2 + 2 a b = c2 Daraus folgt: b2 + a2 = c2 b. „Wenn ein Dreieck spitzwinklig ist, dann ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über zwei Seiten immer größer als der Flächeninhalt des Quadrats über der dritten Seite.“ „Wenn ein Dreieck stumpfwinklig ist, dann ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den zwei kürzeren Seiten kleiner als der Flächeninhalt des Quadrats über der längsten Seite.“ c. „Wenn bei einem Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Quadrate zweier Seiten gleich groß ist wie der Flächeninhalt des Quadrats über der dritten Seite, dann ist das Dreieck rechtwinklig.“ d. Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a, b und c. Nach Voraussetzung gilt a2 + b2 = c2. Man konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a’ = a und b’ = b. Nach dem Satz des Pythagoras gilt a’2 + b’2 = c’2. Also gilt auch c’ = c. Nach dem Kongruenzsatz sss sind die beiden Dreiecke kongruent. Also ist auch das ursprüngliche Dreieck rechtwinklig mit den Katheten a und b und Hypotenuse c. Pythagoras & Co. 7 5 a. Voraussetzung: „Das Dreieck ist rechtwinklig.“ Behauptung: „Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächeninhalte über den beiden Katheten.“ b. „Wenn bei einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.“ Die Umkehrung ist wahr. c. Mögliche Formulierung für den Satz des Thales: „Wenn der Punkt C eines Dreiecks ABC auf dem Kreis mit _ der Strecke AB als Durchmesser liegt, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.“ Umkehrung: „Wenn das Dreieck ABC bei C einen rechten _ Winkel hat, so liegt C auf dem Kreis mit der Strecke AB als Durchmesser.“ Die Umkehrung ist wahr. d. Individuelle Lösungen. Beispiele: „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann ist es auch ein Rechteck.“ „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann ist es achsensymmetrisch.“ 6 Das Dreieck ABC und das Dreieck ADC haben beide densel- ben Winkel bei A und einen rechten Winkel. Sie haben also beide die gleichen Winkel. Somit sind sie ähnlich. Das Dreieck ABC und das Dreieck DBC haben beide denselben Winkel bei B und einen rechten Winkel. Also sind sie ähnlich. Somit sind alle drei Dreiecke ähnlich. h2 h q p p·q Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben _ 1 Das Quadrat über der Kathete b = AC wird in mehreren – – – – – – – 7 a. Mit Worten: „Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zur Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt.“ Formeln: Bei jedem rechtwinkligen Dreieck, bei dem die Seiten wie in der Figur bezeichnet sind, gilt a2 = p · c und b2 = q · c. b. Bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse entsprechender Seiten gleich. Seite b im Dreieck ADC entspricht der Seite c im Dreieck ABC, die Seite q im Dreiekc q b ADC entspricht der Seite b im Dreieck ABC. Also gilt _c = _b . q b _ _ c. Man multipliziert die Gleichung c = b mit bc und erhält b2 = qc. p a d. Aus der Ähnlichkeit von ABC und DBC erhält man _c = _a . 2 Durch Multiplizieren mit ac erhält man a = pc. e. Man addiert die beiden Gleichungen und erhält a2 + b2 = pc + qc = ( p + q ) c = c2. Oder geometrisch: Die beiden Rechtecke zusammen bilden das Hypotenusenquadrat. p Schritten, bei denen sich der Flächeninhalt nicht ändert, in das Rechteck mit den Längen c und q verwandelt. Das Quadrat über der Kathete b im 1. Bild hat denselben Flächeninhalt wie das Parallelogramm im 2. Bild, denn die _ beiden haben die gleiche Grundseite und dieselbe Höhe AC. Das Parallelogramm wird um 90° gedreht (3. Bild) Das Parallelogramm im 3. Bild hat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck im 4. Bild, denn die beiden haben dieselbe Grundseite c (vertikal) und dieselbe Höhe q. Somit hat das Quadrat über der Kathete b denselben Flächeninhalt wie das Rechteck im 4. Bild. Also gilt b2 = c q. Entsprechendes gilt für die andere Kathete: a2 = cp. Zusammen bilden die beiden Rechtecke das Quadrat über der Hypotenuse c. Also gilt a2 + b2 = c p + c q = c2. 2 a. d = 90000 2 ·a b. d = 90000000000000000000 a2 + b2 3 92 + 92 + 92 = 900000000000 243 = 9 · 90000 3 ≈ 15,588 a. d = 9000000000000000000000000000000 2 2 2 9 000000000000000000000000000000 b. d = a + a + a = a · 90000 3 ≈ 1,732 · a c. d = 9000000000000000000000000000000 a2 + b2 + c2 4 a. h = 12; A = 60 b. h = 4; A = 12 c. h = 90000 5 ; A = 2 90000 5 ≈ 4,472 5 90000 90000 3 3 2 __ a. h = __ 2 a; A = 4 a 9 9 a2 – _2 ; A = _2 00000000000000000000000 a2 – _2 b. h = 00000000000000000000000 ( b )2 b ( b )2 6 8 a. Der Seite h im Dreieck BCD entspricht die Seite q im Dreieck ADC, der Seite p im Dreieck BCD entspricht die Seite h im Dreieck ADC. Da die beiden Dreiecke ähnlich sind, folgt _h = _p . q h b. Durch Multiplizieren mit q · h erhält man h2 = p · q. c. Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe gleich groß wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten. 90000 3 2 2 a. ASechseck = 6 · ADreieck = 6 · __ 4 · (12 cm) ≈ 374,12 cm 3 3 a2 b. A = _2 90000 7 d = 9000000000000000000 l 2 + b2 h f e d b l 2 + h2 f = 9000000000000000000 b2 + h2 e = 9000000000000000000 l 27 Pythagoras & Co. 7 b. Das Dreieck mit dem Eckpunkt ( x | y ) auf dem Kreis hat die Katheten x und y und die Hypotenuse r = 5. Nach dem Satz des Pythagoras gilt x2 + y2 = 25. Dies gilt auch dann, wenn x oder y negativ sind, da das Minuszeichen beim Quadrieren wegfällt. 8 _ a. AC = 6 · 90000 2 = 90000000 72 ≈ 8,485; A = 3 · 90000000 72 ≈ 25,456 __ 5 b. BM = 900000000 52 : 2 ≈ 3,606; A = _4 900000000 52 ≈ 9,014 _ 9 52 ≈ 7,211; A = _2 900000000 52 ≈ 32,450 c. AC = 900000000 _ = 900000000 32 = 4 90000 2 ≈ 5,657; _ A = 10 90000 2 ≈ 14,142 d. AB _ 9 9 e. AB = 0000000 12 = 2 0000 3 ≈ 3,465; AC = 900000000 40 = 2 90000000 10 ; A = 2 900000000 30 ≈ 10,954 9 _ Leistungsaufgaben Aufgabe 1 2 a. 2 b. _ = 90000 2 ≈ 1,414; AC_= 90000000 13 ≈ 3,606; a. AB _ 9 90000000 AD = 12 ≈ 3,464; BC = 11 ≈ 3,317; 0000000 _ __ 9 9 BD = 0000 6 ≈ 2,450; CD = 0000 5 ≈ 2,236 Kompetenz K5 K 5, K 2 K 5, K 2 Anforderungsbereich I II III b. individuelle Lösungen 1 Wie lang ist der Trinkhalm, wenn er 10 cm aus der 330-møDose herausragt? 10 a a a. h2 + ( _2 )2 = k2; hk2 + ( _2 )2 = h2; a2 + a2 = d2; ( _d2 )2 + ( _d2 )2 = a2; ( _d2 )2 + hk2 = k2 b. individuelle Lösungen 11 y B 5 C 2 Eine Firma verpackt ihre Getränke in verschieden große A 1 x –1 _ 1 5 __ _ a. OA = 90000 5 ≈ 2,236; OB = 900000000 65 ≈ 8,062; OC = 90000000 17 ≈ 4,123 _ 9 AB =_ 00000000 34 ≈ 5,831 AC = 90000 8 ≈ 2,828 _ 900000000 BC = 34 ≈ 5,831 _ 000000000000000000 9 d. OP = x2 + y2 _ 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 e. PQ = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 9 quaderförmige Trinkpäckchen, die oben eine mittige Einstichstelle für den Trinkhalm haben. a. Ein Päckchenformat ist: Breite 6 cm, Tiefe 4 cm und Höhe 5 cm . Wie lang müssen die mitzuliefernden Trinkhalme sein, wenn sie mindestens 5 cm aus dem Päckchen herausragen sollen? b. Stelle für Trinkpäckchen mit den Maßen b, t und h eine allgemeine Formel auf, wenn der Trinkhalm mindestens 5 cm aus dem Päckchen herausragen soll. 12 Lösungen zu Leistungsaufgaben a. Beispiel: y 1 ø = 100 mm + 90000000000000000000000000000000 1152 + 33,52 mm ≈ 220 mm = 22 cm 5 2 4 a. ø = 5 cm + 90000000000000000000 13 + 25 cm ≈ 11,16 cm 3 b. ø = 5 cm + 2 1 x –5 –4 –3 –2 1 –1 –1 –2 –3 –4 –5 28 2 3 4 5 6 900000000000000000000000000000000 ( ____ ) + h b2 + t2 4 2 Zahlenlotto Kompetenzerwartungen – Vermutungen über zufällige Ereignisse formulieren und begründen (K 1) – Bei Abzählproblemen systematisch vorgehen (K 2) – Den Binomialkoeffizienten erklären und anwenden (K 4) – Statistische Auswertungen lesen und erstellen (K 4) – Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung von Chancen und Risiken und zur Schätzung von Häufigkeiten nutzen (K 1, K 3) – Ein- und zweistufige Zufallsexperimente mithilfe von Baumdiagrammen veranschaulichen (K 3, K 5) Einordnen Klasse 8 8 Gesetze des Zufalls 8 Zahlenlotto Zur Sache Begriffe Baumdiagramm, Häufigkeit, Laplace-Experiment, Pfad-Multiplikationsregel, Pfad-Additionsregel, Fakultät, Binomialkoeffizient Merktexte – – – – Ein Zufallsexperiment, dessen mögliche Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich dann durch den Quotienten aus der Anzahl der günstigen Fälle und der Anzahl der möglichen Fälle. Betrachtet man im Baumdiagramm einen Pfad, so ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den einzelnen Pfadstücken (Pfadmultiplikationsregel). Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert (Pfadadditionsregel). Die Fakultät n! (gesprochen „n Fakultät“) ist eine Kurzschreibweise für das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Beispiel: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 Der Binomialkoeffizient ( nk ) beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, k aus n Elementen auszuwählen. Er wird berechn! net nach der Formel ( nk ) = _____ k! (n – k)! Worum geht es? Im 8. Schuljahr wurde mit der Lernumgebung „Gesetze des Zufalls“ die Grundlage zur Bearbeitung des vorliegenden Themas gelegt. Falls dieses Thema im 8. Schuljahr nicht bearbeitet wurde, wird empfohlen, Fragestellungen aus jener Lernumgebung dem Thema „Zahlenlotto“ voranzustellen. „Gesetze des Zufalls“ beschäftigt sich beinahe ausschließlich mit kombinatorischen Fragestellungen, die sich mit wenig Aufwand durch systematisches Auszählen lösen lassen. Falls dennoch mit Formeln gerechnet wurde, konnten die Resultate experimentell überprüft werden. Im vorliegenden Thema ist die Anzahl möglicher Kom- 8 binationen jeweils so groß, dass sie sich nunmehr durch analoges Schließen überprüfen lassen. Hier besteht schnell einmal die Gefahr, dass man Formeln benutzt, ohne genau zu wissen, was sie leisten. Viele Gymnasiasten kommen – trotz teilweise erheblichem Aufwand – nicht über dieses Stadium hinaus. Die Lernumgebung „Zahlenlotto“ ist daher nicht in erster Linie auf das Anwenden und Begreifen von Formeln ausgerichtet. Formeln können – falls überhaupt – in dieser Lernumgebung durch analoges Schließen von auszählbaren Situationen („Gewinnen“) gewonnen werden. Die Lernenden kommen mit Lotto immer wieder in Berührung: Als Spielende, durch Gewinne im Bekanntenkreis, durch die Ziehung am Fernsehen oder durch Werbung. „Zahlenlotto“ soll zu einer ganzheitlichen Beschäftigung mit der Institution und dem Spiel anregen. Dazu gehören Fragen zur Statistik, zum Wettverhalten, zur Berechnung von Gewinnen, sowie zur Kombinatorik und zur Wahrscheinlichkeit. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit eines Sechsers wird dabei aufgegriffen – die mathematische Berechnung ist auch eher einfach nachzuvollziehen. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von 3, 4 oder 5 richtigen Tipps ist jedoch ungleich schwieriger. Falls Sie auch diese Berechnungen in Ihren Unterricht einbauen wollen, empfiehlt es sich, die Berechnungen selbst zu modellieren und darauf hinzuweisen, dass von Lernenden der Sekundarstufe I solche Berechnungen nicht verlangt werden. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei, vier oder fünf Richtige ist, wie bereits erwähnt, schwierig nachzuvollziehen. Ein möglicher Ansatz, wie man bei „6 aus 49“ die Wahrscheinlichkeit für drei Richtige berechnen könnte, sei nachfolgend wiedergegeben: – Von sechs gezogenen Zahlen drei richtig zu tippen, ist auf 6 · 5 · 4 Arten möglich. – Drei Zahlen nicht richtig zu tippen, ist auf 43 · 42 · 41 verschiedene Arten möglich. – Da die Reihenfolge sowohl bei den Treffern wie auch bei den Nieten keine Rolle spielt, muss je durch die Anzahl möglicher Reihenfolgen dividiert werden ( 3 ! = 6 ). Die Wahrscheinlichkeit für drei richtig getippte Zahlen berechnet sich daher wie folgt: ( 3 ) · ( 3 ) ___________ Anzahl mögliche 3er bei 6 aus 49 3! · 3! ________________ = _____ = ______________ 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 ≈ 1 : 57 Anzahl mögliche Tipps 49 6 43 6 · 5 · 4 _______ 43 · 42 · 41 _____ (6) 6! Wahrscheinlichkeit für vier richtig getippte Zahlen: ( 4 ) · ( 2 ) _________ Anzahl mögliche 4er bei 6 aus 49 4·3·2·1 · 2 ________________ = _____ = 13 983 816 ≈ 1 : 1032 Anzahl mögliche Tipps 49 6 43 6 · 5 · 4 · 3 ____ 43 · 42 ______ (6) Analog die Wahrscheinlichkeit für fünf richtig getippte Zahlen ohne die Zusatzzahl als möglicher Tipp: ( 5 ) · ( 1 ) _____ Anzahl mögliche 5er bei 6 aus 49 5 · 1 6 · 43 ________________ = _____ = 49 = ______ Anzahl mögliche Tipps 49 13 983 816 6 43 (6) ( 6 ) ( 43 ) (6) ≈ 1 : 54 201 Weitere Überlegungen zur Wahrscheinlichkeit Bei Wahrscheinlichkeitsüberlegungen spielt uns unser Gefühl oft einen Streich – da machen auch Wahrscheinlichkeitsexperten keine Ausnahme. So beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass in 40 Jahren zweimal die gleichen Gewinnzahlen gezogen 29 8 Zahlenlotto werden über 25 %. Das ist eine für viele verschwindend kurze Zeitspanne angesichts der Tatsache, wie klein die Wahrscheinlichkeit für einen Volltreffer ist. Die deutsche Presse feierte die Ziehung des Mittwochslottos vom 21. Juni 1995 als Sensation, da die gleiche Kombination bereits am 20. Dezember 1986 gezogen wurde. Dass so etwas in 40 Jahren Lotto vorkommt, ist etwa gleich wahrscheinlich wie der Umstand, dass eine zweifache Mutter zwei Söhne hat. Natürlich ist es äußerst unwahrscheinlich, dass in zwei bestimmten Ziehungen die gleichen Zahlen gespielt werden. Aber dass zwei von drei Ziehungen die gleiche Kombination produzieren, ist schon mehr als doppelt so wahrscheinlich. Literatur – – – – – – – – Zum Unterricht A. Büchter, H.-W. Henn: Elementare Stochastik, Axel Springer Verlag, Heidelberg 2007 A. Eichler, M. Vogel: Leitidee Daten und Zufall. Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Stochastik. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009 mathematik lehren, Heft 138: Daten und Zufall, Friedrich Verlag, 2006 mathematik lehren, Sammelband: Wege in die Stochastik, Friedrich Verlag, 2008 Mathematik 5 – 10, Heft 2: Mit Wahrscheinlichkeit anfangen, Friedrich Verlag, Seelze 2008 Mathekoffer, Klett Verlag, 2008 Wahrscheinlichkeitsbox, Kallmeyer Verlag 2008 http://www.dielottozahlende.net/lotto/6aus49/ statistikensa.html Was wird benötigt? – – Spielscheine von Lotto; eventuell Lottospiel Evtl. Kopiervorlage Zahlenlotto Lösungen 1 Vorschlag zur Stundenverteilung Stunde LU EA AH 1, 2 1 bis 3 1 1, 2 3 bis 5 4, 5 2 bis 4 3 Wie kann man vorgehen? Voraussetzungen Propädeutische Erfahrungen im Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten (zum Beispiel „Gewinnen“, Das Mathematikbuch 8) 1 Es lohnt sich, das Baumdiagramm in der Lernumgebung zu besprechen. Es ist die Grundlage für das Verständnis der zu bestimmenden Wahrscheinlichkeiten. Man könnte etwa das Baumdiagramm teilweise (oder vollständig) um zwei Reihen weiterführen. In diesem Fall werden alle Kugeln gezogen und es ergeben sich 5! = 120 verschiedene Möglichkeiten. Das Baumdiagramm würde dann alle Permutationen mit fünf Zahlen darstellen. 1 b. kann als Anlass genommen werden, den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ zu wiederholen. Mithilfe des Baumdiagramms lässt sich bestimmen, dass es 60 verschiedene Möglichkeiten gibt, drei Zahlen aus fünf zu ziehen. Da nur die sechs Permutationen von 1, 3, 5 ge6 1 __ winnen, ist die Wahrscheinlichkeit für drei Richtige __ 60 = 10 . Zähler und Nenner können einzeln erklärt werden. Im Baumdiagramm sind 60 Wege erkennbar, davon liefern jeweils sechs die gleichen Zahlen. 2 Um eine nachhaltige Grundvorstellung für die Berechnun- gen zur Wahrscheinlichkeit aufzubauen, ist als Veranschaulichung ein dauernder Bezug zum Baumdiagramm sinnvoll. Daher sollte bei den einführenden Aufgaben noch nicht mit dem Binomialkoeffizienten gearbeitet werden. 30 a. Es gibt sechs solche Möglichkeiten: 135; 153; 315; 351; 513 und 531. b. Zähler: 5 · 4 · 3 Anzahl verschiedene Ziehungen. Für die erste gezogene Zahl sind jeweils fünf gleich wahrscheinliche Ereignisse möglich, für die zweite gezogene Zahl noch vier und für die dritte gezogene Zahl noch drei. Nenner: 3 · 2 · 1 Für drei Zahlen ergeben sich 3 · 2 · 1 verschiedene mögliche Reihenfolgen. Dies entspricht den sechs Permutationen in Aufgabe 1 a. Wenn alle möglichen Ereignisse (60) durch die Anzahl jeweils gleicher Ereignisse (6) dividiert werden, erhält man die Anzahl verschiedener Ereignisse. 2 b. Annahme: In einer Klasse wurden 280 Tipps abgegeben. Die Erwartungswerte sind: – 3 Richtige: 5-mal – 2 Richtige: 75-mal – 1 Richtigen: 150-mal – 0 Richtige: 50-mal Die Resultate werden wahrscheinlich etwas vom oben stehenden Modell abweichen. c. | d. Es gibt selbstverständlich wie bei allen Glücksspielen kein „gerechtes Modell“. Die Verteilung der Gewinne ist willkürlich. Ein mögliches Beispiel für Gewinnverteilungen: – 3 Richtige: 20,– – 2 Richtige: 2,– Im Beispiel von B würden damit 250,– ausbezahlt, 30,– würden in der Bank bleiben. Zahlenlotto 3 a. Es sind ( 8 · 7 · 6 ) : ( 3 · 2 · 1 ) = 56 verschiedene Tipps möglich. b. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1 : 56. Zusatzinformation: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1 __ – für 3 Richtige: 56 – für 2 Richtige: 15 __ – für 1 Richtigen: 30 __ – für 0 Richtige: 10 __ 56 56 56 c. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2 : 56, 3 : 56, 4 : 56 … d. Bei 56 verschiedenen Tipps ist die Wahrscheinlichkeit für drei Richtige 1 (= 100 %). 8 e. e. Der Term ( 3 ) ( gesprochen: „8 über 3“ ) beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, 3 aus 8 Elementen auszuwählen. Es gibt 8 · 7 · 6 Möglichkeiten, diese 3 Elemente aus den 8 vorgegebenen auszuwählen, die man auf 3 · 2 · 1 verschiedene Weisen ziehen kann. 4 a. individuelle Lösung b. Anzahl „Richtige“ 1 2 3 4 5 6 Wahrscheinlichkeit 43 · 42 · 41 · 40 · 39 · 38 ______________ 0,435 96 d. Da bestimmte Zahlenkombinationen häufiger getippt werden und der Gewinn unter allen Gewinnern geteilt wird, sollte man lieber „seltene“ Zahlenkombinationen tippen. Schließlich sind alle gleich (un-)wahrscheinlich. 5 a. Es ist ein Laplace-Experiment, da alle Kugeln gleich wahrscheinlich gezogen werden. b. Am häufigsten: 49, 32, 38; am seltensten: 13, 45, 28 c. Die Person hat festgestellt, dass diese Zahlen bisher weniger gezogen wurden, und glaubt, dass sie deshalb früher wieder auftauchen. Jedoch „wissen“ dies die Lottozahlen nicht und haben weiterhin alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. d. Erste Möglichkeit: Die Statistik läuft über einen Zeitraum von etwas mehr als 56 Jahren, pro Jahr finden 52 Ziehungen statt. Insgesamt sind in die Grafik also etwa 56 · 52 ≈ 2900 Ziehungen eingeflossen. Zweite Möglichkeit: Durchschnittlich liegen pro Zahl etwa 340 Ziehungen vor (Schätzung anhand der Grafik), d. h. dass etwa 49 · 340 ≈ 17 000 Lottozahlen in der Grafik dargestellt sind. Jeweils 6 davon entfallen auf eine Ziehung. Danach kommt man auf etwa 2800 Ziehungen. ¹ 0 Möglichkeiten 6! 43 · 42 · 41 · 40 · 39 ___________ ·6 5! 6·5 43 · 42 · 41 · 40 ___ _________ · 2 4! 6·5·4 43 · 42 · 41 _____ _______ · 3! 3! 6·5·4·3 43 · 42 ______ ____ 2! · 4! 6·5·4·3·2 ________ 43 · 5! 6·5·4·3·2·1 __________ =1 6! 0,4130 bei „3 aus 8“ gezogenen Zahlen. Es sind alle sechs Möglichkeiten dargestellt, wie diese 3 Zahlen gezogen sein können. Das Baumdiagramm besteht somit aus den genau 6 „Gewinnpfaden“ (von den 56 Pfaden zu „3 aus 8“). 0,1324 0,0177 0,000 969 0,000 018 4 Zweites Baumdiagramm: + Z steht für die Menge aus den drei Gewinnzahlen, – Z für die Menge der fünf nicht gezogenen Zahlen. Hier werden also mehrere Pfade zusammengefasst, entsprechend der Anzahl der Ereignisse werden die Häufigkeiten entlang der Pfade eingetragen. 0,000 000 071 5 Drittes Baumdiagramm: Hier werden beide Darstellungsformen verknüpft. Ausgehend vom ersten Baumdiagramm werden die Zahlen zur gesamten Gewinnmenge + Z zusammengefasst; vom zweiten Baumdiagramm aus wird nur der oberste Pfad als Gewinnpfad übernommen. 1 P (6 Richtige + Superzahl) = P (6 Richtige) · __ 10 ≈ 0,000 000 72 % 1 · __ P (5 Richtige + Zusatzzahl) = _____ 49 10 ≈ 0,000 184 % P (4 Richtige + Zusatzzahl) ≈ 0,0097 % P (3 Richtige + Zusatzzahl) ≈ 0,177 % Lösungen zu den Ergänzenden Aufgaben 1 Erstes Baumdiagramm: Z 1, Z 2 und Z 3 stehen für die drei c. Die Gewinnausschüttungen beim Lotto hängen davon ab, wie viele Teilnehmer das Spiel hat, also wie viel Geld eingenommen wurde und wie viele Spieler die jeweils 6, 5, … Richtigen getippt haben. Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige etc. sind in b. abzulesen. ( 65 ) · ( 431 ) (6) 8 2 1 a. A P („5“) = __ 49 24 B P (gerade Zahl) = __ 49 40 C P (zweistellige Zahl) = __ 49 31 8 Zahlenlotto 1 1 __ b. A P (7, 12) = __ 49 · 48 ≈ 0,000 425 gewinnst, wenn das Ergebnis positiv ist. Du hast die folgenden drei Urnen zur Auswahl: 1 __ 1 B P (7 u. 12) = __ 49 · 48 · 2 ≈ 0,000 85 1 1 __ C P (Zwilling) = __ 49 · 48 · 2 · 48 ≈ 0,0408 25 Urne 1: 6 Kugeln mit den Zahlen + 1, + 2, + 3, – 1, – 2, – 3 Urne 2: 4 Kugeln mit den Zahlen + 1, + 2, – 1, – 2 Urne 3: 20 Kugeln mit den Zahlen + 1, bis + 10 und – 1 bis – 10 Welche Urne würdest du wählen? Begründe! 24 __ D P (zwei ungerade Z.) = __ 49 · 48 ≈ 0,255 24 23 25 __ __ c. A P (nur dritte Zahl ungerade) = __ 49 · 48 · 47 ≈ 0,1248 23 24 25 __ __ B P (eine Zahl ist ungerade) = __ 49 · 48 · 47 · 3 ≈ 0,3745 48 47 1 1 __ __ __ C P (dritte Zahl ist 49) = __ 49 · 48 · 47 = 49 3 Du sollst aus der Urne mit den sechs Zahlen + 1, + 2, + 3, – 1, – 2, – 3 zwei Zahlen ziehen, die multipliziert werden. Du hast folgende Möglichkeiten für ein Spiel: A Du gewinnst, wenn das Ergebnis positiv ist. B Vor der Ziehung wirfst du eine Kugel mit der Zahl Null hinein. Du gewinnst, wenn das Ergebnis positiv ist. C Du gewinnst, wenn das Ergebnis gerade ist. D Vor der Ziehung wirfst du eine Kugel mit der Zahl Null hinein. Du gewinnst, wenn das Ergebnis gerade ist. Hier ist ein Baumdiagramm nicht wirklich sinnvoll. 3 a. Welches Spiel hat die größten Gewinnchancen? Begründe! Lösungen zu den Leistungsaufgaben 1 a. Die Wahrscheinlichkeiten können mit einem Baumdiagramm ermittelt werden. P (Augensumme 2) = _61 b. analog zu 3 c. gerade/ungerade bei 2 Ziehungen 2 P (Augensumme 3) = _3 1 P (Augensumme 4) = _6 Leistungsaufgaben Aufgabe 1 a., b. 1 c. 2 a. 2 b. 3 Kompetenz K5 K 1, K 5 K 1, K 5 K 1, K 5 K 1, K 2, K 5 1 b. P (Augensumme 2) = _4 Anforderungsbereich I II II II III 1 P (Augensumme 3) = _2 1 P (Augensumme 4) = _4 1 c. P (Augensumme 2) = _5 3 P (Augensumme 3) = _5 1 P (Augensumme 4) = _5 Alternative Begründung ohne Rechnung: Wenn die erste Zahl eine 1 ist, kann Summe 4 gar nicht erreicht werden, Summe 2 nur, wenn noch eine 1 gezogen wird ( Wahrscheinlichkeit _25 ). In mehr als der Hälfte aller Fälle ist die Augensumme 3. Falls zu Beginn eine 2 gezogen wird, kann Summe 2 nicht erreicht werden, Summe 4 nur in 40 % der Fälle, und in 60 % der Fälle wieder Augensumme 3. Daher ist Augensumme 3 mit Sicherheit das wahrscheinlichste Ergebnis. 1 a. Eine Urne enthält zwei Kugeln mit Nummer 1 und zwei Kugeln mit Nummer 2. Es werden zwei Kugeln zufällig gezogen und addiert. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für Augensumme 2, 3 und 4. b. Es wird eine Kugel gezogen, dann wieder zurückgelegt, und dann die zweite Kugel gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Augensummen. c. Eine andere Urne enthält drei Kugeln mit der Zahl 1 und drei Kugeln mit der Zahl 2. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Auf welche Augensumme (2, 3 oder 4) würdest du setzen? Begründe! 2 a. Eine Urne enthält sechs Kugeln mit den Zahlen + 1, + 2, + 3, – 1, – 2, – 3. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen und multipliziert. Würdest du auf ein positives oder auf ein negatives Ergebnis setzen? Begründe! b. Aus einer Urne werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und die entsprechenden Zahlen multipliziert. Du 32 2 a. Wenn die erste Zahl positiv ist, muss die zweite Zahl ebenfalls positiv sein, damit das Produkt positiv ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist kleiner als _21 , da nur noch 2 von 5 Kugeln günstig sind. Mit der gleichen Argumentation ist auch für den Fall, dass die erste Kugel negativ ist, die Wahrscheinlichkiet für ein positives Ergebnis kleiner als _21 . Es ist also günstiger, auf ein negatives Ergebnis zu setzen. Alternativ kann dies auch mit einem Baumdiagramm begründet werden. Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis beträgt 40 %. Zahlenlotto 8 b. Verkürztes Baumdiagramm für alle 3 Urnen: + + – – Pfadwahrscheinlichkeiten: Urne 1 Oberer Pfad Unterer Pfad Pfadsumme 2 _1 · _ 2 5 2 _1 · _ 2 5 2 _ 5 = 40 % Urne 2 Urne 3 _1 · _1 9 _1 · __ 2 3 _1 · _1 2 3 _1 ≈ 33 % 3 2 19 9 _1 · __ 2 19 9 __ 19 ≈ 47 % Urne 3 hat die höchste Gewinnwahrscheinlichkeit. Die Argumentation ist auch ohne Baumdiagramm möglich: Je mehr Kugeln in der Urne sind (jeweils gleich viele Plus- und Minuszahlen), um so weniger wirkt sich die erste gezogene Kugel auf das Verhältnis der Kugeln (Plus- und Minuskugeln) aus, d. h. die Pfadwahrscheinlichkeit für die zweite Ziehung nähert sich mit zunehmender Kugelzahl dem Wert _21 an. 3 Die Aufgabe kann mit vier Baumdiagrammen gelöst wer- den, was einfacher, aber auch zeitaufwendiger ist. Alternativ ist hier eine mögliche freie Argumentation dargestellt. A Gewinnwahrscheinlichkeit 40 % (Berechnung z. B. über ein Baumdiagramm, s. Urne 1 bei 2 b, oder wie in 2 a dargestellt) B Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist kleiner als 40 %, da keine neuen Gewinnereignisse dazukommen, mit der Zahl Null aber weitere Ergebnisse dazukommen, die keine Gewinne sind. C Ein gerades Ergebnis entsteht, wenn die Kugel mit 2 oder die mit – 2 dabei sind. Die Wahrscheinlichkeit, bei der 1. Ziehung ± 2 zu erhalten, ist _31 . Hat man in der 1. Ziehung ± 1 oder ± 3 ( Wahrscheinlichkeit _23 ), so braucht man in der 2. Ziehung ± 2. Die Wahrscheinlichkeit dafür 4 beträgt _23 · _25 = __ 15 . Somit ist die Wahrscheinlichkeit für ein 4 _3 gerades Ergebnis: _31 + __ 15 = 5 = 60 %. D Wenn eine Kugel mit Null hinzugenommen wird, kommen im Vergleich zu Urne C nur Gewinnereignisse dazu. In D ist also die Gewinnwahrscheinlichkeit am größten. Die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beschriebenen Spiele (müssen nicht berechnet werden): A _25 = 40 % 12 B __ 49 ≈ 24,5 % 1 2 2 3 C _3 + _3 · _5 = _5 = 60 % 3 4 3 5 D _7 + _7 · _6 = _7 ≈ 71 % 33
