1 Mikroökonomik I

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Mikroökonomik I
1. Präferenzordnung und Indifferenzkurven
(a) Erläutern Sie die Annahmen über die Präferenzordnung des Konsumenten.
(b) Was folgt aus diesen Annahmen?
(c) Erläutern Sie, weshalb sich aufgrund dieser Annahmen die verschiedenen Indifferenzkurven nicht schneiden dürfen?
(d) Ein Konsument hat verschiedene Güterbündel zur Auswahl, gegenüber denen er indifferent ist: a = (1; 3), b = (2; 2), c = (3; 1).
Prüfen Sie, ob die Infifferenzkurve streng konvex ist.
2. Eigenschaften von Präferenzen
Betrachten Sie auf der Menge M = {a, b, c} von Personen die Relationen ist mindestens so gross wie“ und ist grösser als“. Ist die aus diesen
”
”
Relationen entstehende Ordnung vollständig, reflexiv und transitiv?
3. Transitivität von Präferenzordnungen
Der Konsument habe die Wahl zwischen den verschiedenen Gütermengenkombinationen A, ...,F. Bilden Sie, wenn möglich, aus den folgenden
Präferenzrelationen eine Präferenzordnung, und ordnen Sie die Gütermengenkombinationen entsprechend an. Unterstellen Sie für alle drei
Beispiele, dass die Reflexivitätseigenschaft x x und das Vollständigkeitsaxiom gilt.
(a) A ∼ E, C B, F E, A D, D ≺ B
(b) A B, C B, D ∼ A, E A, B D, F ≺ B
(c) A ∼ B, D ∼ E, C ∼ B, A ≺ E, D ∼ C
Halten Sie es für möglich, dass eine Person eine Präferenzstruktur wie
unter c) besitzt?
4. Konsummöglichkeiten und Budgetmenge
Ein Haushalt beziehe ein Jahreseinkommen von 40.000. Der Haushalt
konsumiert die zwei Güter Wohnen (in der Menge w) und Nahrung
(in der Menge n) zu Preisen pw = 150 = Preis pro Quadratmeter
Wohnungsmiete im Jahr, pn = 30 = Preis pro Nahrungseinheit im
Jahr.
1
(a) Nennen Sie verschiedene Konsumbündel, die sich der Haushalt
leisten kann.
(b) Stellen Sie graphisch und analytisch die Budgetrestriktion auf.
(c) Das zum Überleben notwendige Existenzminimum sei (w, n) =
(40, 120). Wie lässt sich die Menge der Konsumbündel charakterisieren, die noch erreichbar bleiben?
(d) Durch einen exogenen Schock erhöhe sich (zusätzlich zur Beschränkung in c)) die Jahresmiete pro m2 auf pw = 200 und das Schicksal
der Arbeitslosigkeit trifft den Haushalt, wobei sich das Jahreseinkommen um 10.000 senkt. Wie verändert sich die Menge der
möglichen Konsumbündel (graphisch und analytisch)?
(e) Und es kommt noch viel schlimmer: die Regierung muss die Nahrung rationieren und gibt Bezugsscheine aus; dem Haushalt steht
im Jahr n = 130 zu. Die Konsummenge wird gegenüber d) weiter
eingeschränkt. Wie?
(f) Zusätzlich zu den vorhergehenden Einschränkungen c) - e) wird
zur Finanzierung einer staatlichen Maßnahme eine Besteuerung
des Gutes Wohnen eingeführt. Für diese Steuer setzt der Finanzminister das folgende Prinzip fest: Wer weniger als 50 m2 mietet,
zahlt keine Steuer, was ein Haushalt darüber hinaus konsumiert,
wird mit 100% besteuert (also doppelt so teuer). Bestimmen Sie
die verbleibende Konsummenge und zeigen Sie, dass sie konvex
ist.
5. Existenz einer Nutzenfunktion
Der Existenzansatz für eine stetige Nutzenfunktion lautet: Sind die
Präferenzen vollständig, reflexiv, transitiv und stetig, dann existiert
eine stetige Nutzenfunktion. Zeigen Sie, dass bei Verletzung der Stetigkeitsannahme die Existenz der stetigen Nutzenfunktion nicht garantiert
ist.
6. Quasikonkavität
In welcher Weise unterscheiden sich konkave und quasikonkave Funktionen, und warum werden quasikonkave Funktionen in der Theorie der
Präferenzordnung zu deren Abbildung benutzt?
7. Transformation von Nutzenfunktionen
(a) Was versteht man unter einer linearen Transformation und unter
einer monotonen Transformation?
2
(b) Ein Europäer behauptet, kochendes Wasser ist viermal so heiss
wie das Wasser im Schwimmbad (25o C). Ein US-Amerikaner will
das nicht einsehen. Lösen Sie den Widerspruch.
(c) Unterscheiden Sie kardinale und ordinale Nutzenmessung.
8. Erstes Gossensches Gesetz
(a) Stellen Sie das erste Gossensche Gesetz dar, und erläutern Sie
dessen ökonomische Aussage!
(b) In welchen Nutzenkonzepten gilt das erste Gossensche Gesetz?
√
9. Ein Konsument habe die Nutzenfunktion U = x1 ∗ x2 .
(a) Skizzieren Sie das Nutzengebirge.
(b) Erläutern Sie graphisch die Herleitung einer Indifferenzkurve aus
dem Nutzengebirge.
(c) Bestimmten Sie analytisch die Indifferenzkurven für U = 1 und
U = 2.
(d) Erfüllt die Nutzenfunktion das erste Gossensche Gesetz?
10. Konvexität, Konkavität und Monotonie der Nutzenfunktion
und der Indifferenzkurven
Die Nutzenfunktion eines Haushaltes sei
uρ (x1 , x2 ) = ρ1 (xρ1 + xρ2 ), x1 , x2 > 0, ρ < 1.
(a) Zeichnen Sie für ρ =
1
2
und ρ = −1 einige Indifferenzkurven.
(b) Überprüfen Sie uρ hinsichtlich Konvexität und Monotonie.
11. Durchschnitts- und Grenzrate der Substitution
(a) Was bedeuten die Begriffe Durchschnittsrate der Substitution
(DRS), Grenzrate der Substitution (GRS) und abnehmende Grenzrate der Substitution?
(b) Durch welche Annahmen über die Präferenzordnung wird die abnehmenden Grenzrate der Substitution erreicht?
(c) Angenommen, die Nutzenfunktion sei zweimal differenzierbar, welches sind die hinreichenden Bedingungen für eine abnehmende
Grenzrate der Substitution?
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12. Beispielhafte Berechnung von GRS und DRS
√
Sei U = x1 · x2 die Nutzenfunktion des Konsumenten.
(a) Die Punkte xa = (9; 4)t , xb = (16; 49 )t liegen beide auf der Indifferenzkurve zum Nutzenniveau U = 6.
i. Berechnen Sie die Durchschnittsrate der Substitution des Gutes 2 durch das Gut 1 beim Wechsel der Gütermengenkombination von xa zu xb .
ii. Wie gross ist umgekehrt die Durchschnittsrate der Substitution des Gutes 1 durch das Gut 2 beim Wechsel von xa zu
xb ?
(b) Seien xa und xb wie unter a) gegeben.
i. Wie gross ist die Grenzrate der Substitution des Gutes 2 durch
Gut 1 in xa und xb ?
13. Tauschmöglichkeit, Grenzrate der Substitution, optimaler
Tausch
Der Nährwert eines Güterbündels (x1 , x2 ), bestehend aus x1 Einheiten Bier und x2 Einheiten Wein sei x1 · x2 , und der Alkoholgehalt sei
0, 1x1 + 0, 2x2 . Haushalt 1 und 2 haben beide als Anfangsausstattung des Bündel (1,1). Haushalt 1 strebe Maximierung des Nährwertes,
Haushalt 2 Maximierung des Alkoholgehaltes an.
(a) Jemand bietet den Haushalten an, ihnen für jeweils 2 Einheiten
von Gut 2 eine Einheit von Gut 1 zu geben. Wären die Haushalte
zu einem solchen Tausch bereit?
(b) Nun werden den Haushalten für jeweils eine Einheit von Gut 1
zwei Einheiten von Gut 2 angeboten, aber nur, falls sie mindestens
α Einheiten von Gut 1 abgeben. Bei welchen Werten von α würden
die Haushalte tatsächlich tauschen?
(c) Situation wie in b). Wieviel müssten die Haushalte jeweils tauschen, um sich maximal zu verbessern?
Machen Sie sich den Sachverhalt mittels einer Zeichnung klar.
14. Grundproblem des Konsumenten und Opportunitätskosten
(a) Beschreiben Sie kurz das Grundproblem des Konsumenten.
(b) Überlegen Sie sich, wie vor dem Hintergrund des Opportunitätskostenkonzepts eine optimale Entscheidung getroffen würde.
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15. Graphische Konsumentscheidung
(a) Stellen Sie das Optimierungsproblem des Konsumenten und dessen Lösung für den Zwei-Güter-Fall graphisch dar, und geben Sie
Zielfunktion, Nebenbedingung, Variablen und Parameter an.
(b) Welche Bedingung ist im Optimum erfüllt? Interpretieren Sie diese
Bedingung ökonomisch!
(c) Beschreiben Sie graphisch das duale Optimierungsproblem des
Konsumenten und dessen Lösung für den Zwei-Güter-Fall. Geben
Sie erneut die Nebenbedingung, Variablen und Parameter an.
(d) Welche Bedingung ist im Optimum erfüllt? Vergleichen Sie diese
mit dem Ergebnis des primalen Problems.
16. Algebraische Konsumentscheidung
(a) Stellen Sie allgemein das primale Optimierungsproblem des Konsumenten dar, und geben Sie Zielfunktion, Nebenbedingung, Variable und Parameter an.
(b) Stellen sie für den Fall streng quasikonkaver differenzierbarer Nutzenfunktion einen allgemeinen Lösungsansatz dar, und geben Sie
die notwendigen Optimalitätsbedingungen an.
(c) Stellen Sie allgemein das duale Optimierungskalkül des Konsumenten dar, und geben Sie Zielfunktion, Nebenbedingung, Variable und Parameter an.
(d) Stellen Sie für den Fall streng quasikonkaver und differenzierbarer Nutzenfunktionen einen allgemeinen Lösungsansatz dar, und
geben Sie die Optimalitätsbedingungen an.
(e) Vergleichen Sie die Optimalitätsbedingungen aus dem dualen Ansatz mit den Optimierungsbedingungen aus dem primalen Ansatz.
17. Beispielaufgabe zum Konsumplan
Ein Konsument hat eine Präferenzordnung, die sich durch die ordinale Nutzenfunktion U = x1 x2 darstellen lässt. Das Einkommen Y des
Konsumenten betrage 336 Geldeinheiten. Der Konsument kann beliebige Mengen der Güter für gegebene Preise der Güter kaufen. Der Preis
für das Gut 1 beträgt 4 Geldeinheiten, der Preis für das Gut 2 beträgt
2 Geldeinheiten.
(a) Ermitteln Sie den optimalen Konsumplan des Konsumenten.
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(b) Ändert sich der optimale Konsumplan, wenn Sie die Funktion U
einer positiven, streng monotonen Transformation unterziehen?
18. Engel-Kurve, Nachfragefunktionen und Offer-Kurve
(a) Zeigen Sie die Einkommensabhängigkeit der Nachfragefunktion.
Stellen Sie die Einkommenabhängigkeit für superiore und inferiore
Güter dar. Welche Bedeutung hat die Einkommenselastizität?
(b) Zeigen Sie die direkte Preisabhängigkeit der Nachfrage: Stellen Sie
bei einer einmaligen Preisänderung Einkommens- und Substitutionseffekt dar. Was versteht man unter dem Giffen-Paradox und
was ist die Normalreaktion der Nachfrage auf Preisreaktionen?
(c) Leiten Sie graphisch die Offer-Kurve und die Nachfragefunktion
in Abhängigkeit vom Preis ab. Welche Bedeutung hat die Preiselastizität der Nachfrage?
(d) Zeigen Sie die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage. Was gibt die
Kreuzpreiselastizität an? Was sind die Bruttosubstitute?
19. Berechnung von Elastizitäten
Berechnen Sie mit Hilfe der Nachfragefunktion x2 = (0, 5Y + 5p1 )/p2
die direkte Preiselastizität der Nachfrage ηx2 ,p2 , die Kreuzpreiselastizität ηx2 ,p1 sowie die Einkommenselastizität der Nachfrage ηx2 ,Y , und
interpretieren Sie die Ergebnisse.
20. Einkommens- und Preiselastizitäten der Nachfrage, Preis-Konsum-Pfade
Ermitteln Sie für die Nutzenfunktion
u(x1 , x2 ) = (x1 + 1)x2 ,
(x1 , x2 ) ∈ R2+ ,
(a) die Marshallschen Nachfragen xM (p1 , p2 , m), p1 , p2 , m > 0,
(b) den Einkommensexpansionspfad und die Einkommenselastizität
der Nachfrage,
(c) die Preis-Konsum-Pfade
O(p1 , m) = {x = (x1 , x2 )|x = xM (p1 , p2 , m), p2 > 0},
O(p2 , m) = {x = (x1 , x2 )|x = xM (p1 , p2 , m), p1 > 0},
(d) die Preiselastizität der Nachfrage.
21. Berechnung von Substitutions- und Einkommenseffekt
Ein Konsument hat eine Präferenzordnung, die sich durch die Nutzenfunktion U = (x1 + 10)x2 darstellen lässt.
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(a) Berechnen Sie die Nachfragefunktionen.
(b) Welches Güterbündel fragt der Konsument bei einem Einkommen
von 100 und den Preisen p1 = 2 und p2 = 4 nach?
(c) Das Einkommen des Konsumenten steigt auf 140 Geldeinheiten.
Welches Güterbündel fragt er jetzt nach? Sind die Güter inferior
oder superior? Gilt dieses auch für andere Einkommenhöhen?
(d) Bei einem Budget von 100 Geldeinheiten steigt der Preis des Gutes 2 von 4 auf 8 Geldeinheiten. Berechnen Sie Substitutions-,
Einkommens- und Gesamteffekt.
22. Untersuchung der Wirkung von Preisänderungen
Beschreiben Sie die Wirkung einer Preisänderung auf den Nutzen eines
Konsumenten.
23. Interpretation des Lagrange-Multiplikators
Interpretieren Sie unter Verwendung des algebraischen Primalansatzes
den Lagrange-Multiplikator im Optimum.
24. Engel-Aggregationsregel
Die Eigenschaften der Nachfragefunktion implizieren verschiedene allgemeine Relationen.
(a) Was gilt wegen der Homogenität der Nachfragefunktion vom Grade Null für die Summe von Einkommens- und Preiselastizität?
(b) Welche Eigenschaft der Einkommens- bzw. Preiselastizitäten kann
man mit Hilfe der Budgetrestriktion herleiten?
25. Vergleich von Hicksscher und Marshallscher Nachfragefunktion
Vergleichen Sie graphisch die Marshallsche und Hickssche Nachfragefunktion hinsichtlich ihrer direkten Preisreaktionen bei Preissenkungen.
Welche alternative Bezeichnung hat aus diesem Grunde die Hickssche
Nachfragefunktion noch? Wann liegt die Hickssche Nachfragefunktion
unterhalb der Marshallschen Nachfragefunktion?
26. Slutzky-Gleichung
Stellen Sie den Zusammenhang zwischen Marshallscher und Hicksscher
Nachfragekurve algebraisch dar, indem Sie die Slutzky-Gleichung bestimmen.
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27. Ausgabenminimierung, Hickssche Nachfragefunktion und Ausgabenfunktion, duales Konzept der Haushaltstheorie
Berechnen Sie für die Nutzenfunktionen
u1 (x1 , x2 ) = x1 x2 ,
u2 (x1 , x2 ) = min{x1 , x2 },
√
√
u3 (x1 , x2 ) = x1 + x2 ,
mit jeweils (x1 , x2 ) > 0,
(a) die Marshallsche Nachfrage xM (p, m) und die indirekte Nutzenfunktion V (p, m) = u(xM (p, m)),
(b) die Hickssche Nachfrage xH (p, u) und die Ausgabenfunktion
E(p, u) = p · xH (p, u),
(c) E(p, V (p, m)),
wobei jeweils (p, m) = (p1 , p2 , m) > 0, (p, u) = (p1 , p2 , u) > 0 sei.
28. Arbeits-Freizeit-Entscheidung
Erweitern Sie die bisherigen Konsumententscheidungen um die Arbeitsangebotsentscheidung. Argumentieren Sie
(a) ökonomisch intuitiv
(b) graphisch und
(c) algebraisch
29. Herleitung der Arbeitsangebotsfunktion
Leiten Sie graphisch und algebraisch die Arbeitsangebotsfunktion aus
der optimalen Arbeitsangebotsentscheidung des Konsumenten her. Gehen Sie hierbei besonders auf die Bedeutung des Substiutions- und Einkommenseffektes für die Arbeitsangebotsreaktion ein.
30. Arbeitsangebot des Haushalts
Die Präferenzen eines Studenten bezüglich des Konsum (x) und Studieren (s) lassen sich durch folgende Nutzenfunktion abbilden:
2
1
u(x, s) = x 3 s 3 .
Der Student bezieht BAföG in Höhe von m > 0 (pro Tag), das ihm zur
Finanzierung seines ausschweifenden Lebens aber nicht reicht. Deshalb
hat er einen Job bei einer Consulting-Firma angenommen, wo er einen
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Stundenlohn von w > 0 erhält. Der Preis für Konsum ist p (pro Einheit). Jeden Tag benötigt der Student 9 Stunden Regenerationszeit“,
”
so dass er über T = 15 Stunden verfügt, die er auf Studium (s) und
Job (j) aufteilen kann.
(a) Berechnen Sie das Arbeitsangebot j ∗ sowie die optimale Studienzeit s∗ . Was konsumiert der Student im Optimum (jeweils pro
Tag)?
(b) Wie wirkt sich eine BAföG-Erhöhung auf seine tägliche Studienzeit aus?
(c) Der Chefmanager der Consulting-Firma ist von den Leistungen
des Studenten begeistert und möchte ihn gerne dazu bewegen, sein
Arbeitsangebot zu erhöhen. Der Manager erwägt zwei alternative
Maßnahmen, um den Studenten zu motivieren:
i. eine Lohnerhöhung von w > 0,
ii. eine Pauschalzulage von Z > 0 pro Tag.
Welche der beiden Maßnahmen würden Sie dem Manager empfehlen? Begründen Sie Ihre Antwort!
(d) Der Student hat die Regelstudienzeit überschritten, d.h. sein
BAföG wird gestrichen. Wie wirkt sich dies auf seine Studienzeit
aus?
31. Gleichgewicht und Effizienz
In einer Zwei-Personen-Zwei-Güter-Tauschökonomie habe Haushalt A
die Anfangsausstattung eA = (1, 0) und Haushalt B die Angangsausstattung eB = (0, 1).
Die Nutzenfunktionen der beiden Haushalte seien ui (xi1 , xi2 ) = xi1 xi2 ,
i = A, B.
(a) Ermitteln Sie die Marshallschen Nachfragen der beiden Haushalte
in Abhängigkeit vom Preisverhältnis.
(b) Zeichnen Sie die Preis-Konsum-Pfade in eine Edgeworth-Box.
(c) Für welches Preisverhältnis herrscht ein Gleichgewicht? Bestimmen Sie das Gleichgewichtspreisverhältnis.
32. Technologie und Produktionsfunktion
(a) Was versteht man unter einer Technologie und wie lässt sich diese
darstellen?
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(b) Was versteht man unter einer Produktionsfunktion?
(c) Erläutern Sie die Begriffe Ertragsgebirge, Ertragskurve, partielle
Faktorvariation und Isoquante.
33. Partielle Produktionsfunktion, Grenzprodukt- und Durchschnittsproduktfunktion, Isoquante
1
1
Gegeben sei die folgende Produktionsfunktion y = f (x1 , x2 ) = x12 x24 .
x1 , x2 sind die Mengen des jeweiligen Inputfaktors, y ist die Menge des
erstellten Produkts.
Zeichnen Sie in ein Diagramm:
(a) die partielle Produktionsfuktion y = f (x1 , x2 ) für x2 = 1 und
x2 = 4,
(b) die Grenzproduktfunktion von Inputfaktor 1 für x2 = 1 und x2 =
2,
(c) die Durchschnittsproduktfunktion von Inputfaktor 1 für x2 = 1.
Liegt die Grenzproduktfunktion oberhalb oder unterhalb der Durchschnittsproduktfunktion (jeweils von Inputfaktor 1 für x2 = 1)?
Gibt es einen allgemeinen Zusammenhang?
(d) die Isoquante für y = 1 und y = 2.
34. Allgemeine Charakteristika von Produktionsfunktionen
Produktionsfunktionen lassen sich durch folgende Charakteristika allgemein beschreiben:
(a) Grenzertrag
(b) Eigenschaften der zweiten Ableitungen
(c) Grenzrate der Substitution
(d) Quasikonkavität und Konvexität
(e) Produktionselastizitäten
(f) Homogenitätsgrad bzw. Skalenelastizität
(g) Homothetie
(h) Substitutionselastizität
(i) Inada-Bedingungen.
Erläutern Sie diese Begriffe.
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35. Homogenität und Skalenertrag
Erläutern Sie für homogene Produktionsfunktionen mit Hilfe von graphischen Darstellungen den Begriff des Skalenertrags.
Was besagt das Wicksell-Johnson-Theorem?
36. Produktionselestizität, Homogenitätsgrad, Skalenelastizität (Skaleneigenschaften)
Gegeben sie die Produktionsfunktion y = f (x1 , ...., xn ).
Geben Sie die Definition
(a) der Produktionselastizität,
(b) der Skalenelastizität,
(c) des Homogenitätsgrades
bezüglich des Faktors i an. Welcher Zusammenhang besteht zwischen
diesen beiden Größen?
37. Skaleneigenschaften und Homogenitätsgrad an Beispielen
Gegeben sei die Produktionsfunktion y = f (x1 , ...., xn ) mit
(a) y = x1 x2 ,
1
1
1
(b) y = x12 x24 x34 ,
1
(c) y = x1 + x2 + 2x32 ,
(d) y = min{ax1 , bx2 },
1
(e) y = (5x21 + x1 x2 + 3x22 ) 2 .
Ermitteln Sie die jeweilige Skalenelastizität und überprüfen Sie die
Funktionen auf Homogenität.
38. Skaleneigenschaften, Zusammenhang zwischen Homogenitätsgraden von Produktionsfunktionen und Grenzproduktfunktion
Gegeben sei die Produktionsfunktion y = f (x1 , x2 ) =
3x1 x2
.
x1 +2x2
(a) Ermitteln Sie die jeweilige Produktionselastizität in bezug auf Inputfaktor 1 und 2.
(b) Ermitteln Sie den Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion und
den Homogenitätsgrad der Grenzproduktfunktion von x2 . Welcher
Zusammenhang besteht zwischen diesen Homogenitätsgraden?
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39. Eigenschaften linear-homogener Produktionsfunktionen
Welche charakteristischen Eigenschaften kennzeichnen linear-homogene
Produktionsfunktionen?
40. Spezielle Typen von Produktionsfunktionen
(a) Welche speziellen Produktionsfunktionen kennen Sie?
(b) Diskutieren Sie die Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion.
Welcher Klasse von allgemeinen Produktionsfunktionen gehört sie
an?
(c) Diskutieren Sie die Eigenschaften der CES-Produktionsfunktion.
(d) Welche Eigenschaften weist die Walras-Leontief-Produktionsfunktion
auf?
41. Beispiel zur Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
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2
Gegeben sie die Produktionsfunktion Y = v13 v23 .
(a) Weist diese Funktion konstante Skalenerträge auf?
(b) Überprüfen Sie, ob das Gesetz des abnehmenden Ertragszuwachses gilt.
(c) Weisen Sie nach, dass die Produktionselastizität für den Faktor 1
gleich dem Exponenten des Faktors ist.
(d) Beweisen Sie, dass die Isoquanten der Funktion konvex zum Ursprung sind.
42. Leontief-Produktionsfunktion
Zur Produktion von 1000 kg Stahl werden 900 kg Einsenerz und 100
kg Schrott benötigt.
(a) Geben Sie die Produktionsfunktion an.
(b) Stellen Sie die jeweilige Isoquante für die Produktionsniveaus 1000
kg und 3000 kg Stahl in einem Diagramm dar.
(c) Ermitteln Sie die partielle Produktionsfunktion für den Produktionsfaktor Schrott, wenn 1800 kg Eisenerz zur Verfügung stehen.
43. Grenzrate der Substitution
(a) Definieren Sie die Grenzrate der Substitution (MRS) und stellen
Sie sie mit Hilfe der Isoquante einer quasi-konkaven Produktionsfunktion dar.
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(b) Bestimmen Sie die MRS für die Produktionsfunktion
1 x2
y = f (x1 , x2 ) = x3x
.
1 +2x2
44. Grenzrate der Substitution für verschiedene Produktionsfunktionen
Bestimmen Sie für die folgenden Produktionsfunktionen die MRS für
x1 = 1 und x2 = 4.
1
1
(a) y = (x12 + x22 )2 ,
1
1
(b) y = 3x12 + x22 ,
(c) y = min{x1 ; 4x2 },
(d) y = 3x1 + 2x2 .
45. Optimale Faktornachfrage
Bestimmen Sie aus dem Gewinnmaximierungsproblem des mengenanpassenden Unternehmens die Bedingung für eine optimale Faktornachfrage. Interpretieren Sie diese Bedingung ökonomisch.
46. Isokostengerade
Gegeben seien die Faktorpreise w1 = 4 GE für Faktor 1 und w2 = 10
GE für Faktor 2.
(a) Stellen Sie die Isokostengerade in allgemeiner Form dar.
(b) Stellen Sie die Isokostengerade zu einem Kostenniveau von 400
GE graphisch dar.
(c) Wie verändert sich die Isokostengerade für ein Kostenniveau von
400 GE, wenn sich der Preis für Faktor 1 von w1 = 4 GE auf
w1 = 8 GE erhöht?
47. Graphische Ermittlung der Minimalkostenkombination
Beschreiben und Lösen Sie graphisch das Kostenminimierungsproblem
der Unternehmung, und leiten Sie die Optimalitätsbedingungen erster
Ordnung ab. Interpretieren Sie diese Bedingungen ökonomisch.
48. Algebraische Ermittlung der Minimalkostenkombination
(a) Beschreiben Sie algebraisch des Kostenminimierungsproblem der
Unternehmung, und leiten Sie die Bedingungen erster Ordnung
ab. Interpretieren Sie diese Bedingungen ökonomisch.
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(b) Bestimmen Sie die Bedingungen zweiter Ordnung für ein Minimum, und zeigen Sie, welche Bedingungen die Produktion erfüllen
muss.
49. Optimaler Faktoreinsatz bei einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
y = f (x1 , x2 ) = cxa1 xb2 , a, b >=, a + b = 1.
Hierbei seien die Faktorpreise w1 und w2 gegeben. Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch die Faktorkombination, die bei vorgegebener
Outputmenge y zu minimalen Kosten führt.
50. Optimaler Faktoreinsatz bei einer linearen Produktionsfunktion
Gegeben sei die lineare Produktionsfunktion:
y = f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
(a) Gegeben seien die Faktorpreise w1 = 1 und w2 = 4. Bestimmen
Sie die Faktorkombination, die bei gegebener Outputmenge von
y = 20 zu minimalen Kosten führt.
(b) Wie verändert sich die kostenminimale Faktorkombination bei einer Veränderung des Faktorpreises 1 auf w1 = 4 ?
51. Graphische Herleitung der Faktornachfragefunktion
Leiten Sie die Faktornachfragefunktion für eine homothetische Produktionsfunktion mit den Produktionsfaktoren Arbeit L und Kapital K
graphisch her. Die Faktorpreise w und r repräsentieren Lohn- und Zinssatz.
52. Algebraische Herleitung der Faktornachfragefunktion
Leiten Sie die Faktornachfragefunktion für ein quasikonkave Produktionsfunktion mit den Faktoren Arbeit und Kapital algebraisch her.
53. Allgemeine Eigenschaften der Kostenfunktion
Wie leitet man die Kostenfunktion einer Unternehmung her, und welche
Bedingungen werden dabei unterstellt?
54. Kostenfunktionen, Durchschnitts- und Grenzkosten, variable
und fixe Kosten
Definieren Sie die Begriffe
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(a) Kostenfunktion,
(b) Grenzkosten,
(c) Durchschnittskosten (durchschnittliche totale Kosten),
(d) durchschnittliche variable und durchschnittliche fixe Kosten.
Beschreiben Sie die durchschnittlichen variablen und fixen Kosten anhand der Kostenfunktion
C(y) = CV (y) + CF
und stellen Sie diese für die Funktion
C(y) = y 3 + 10
graphisch dar.
55. Zusammenhang zwischen Grenz- und Durchschnittskostenfunktion
Gegeben sei die Kostenfunktion
C(y) = y 3 − 3y 2 + 0, 5y + 5.
(a) Stellen Sie die Kostenfunktion, die Grenzkostenfunktion sowie die
Durchschnittskostenfunktion graphisch dar.
(b) Gibt es einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Steigung der
Durchschnittskosten und Lage der Grenzkosten in bezug auf die
Durchschnittskosten?
56. Graphische Diskussion von Kostenfunktionsverläufen
Bestimmen Sie für eine Kostenfunktion
C(Y ) = Cf + Cv (Y )
mit den Fixkosten Cf und den variablen Kosten Cv mit positiven, erst
fallenden und dann steigenden Grenzkosten den graphischen Verlauf
der Kostenfunktion, der Grenzkosten und der durchschnittlichen variablen und totalen Kosten.
57. Algebraische Herleitung der Kostenfunktion
Leiten Sie aus dem Kostenminimierungsproblem der Unternehmung die
(indirekte) Kostenfunktion her. Nehmen Sie an, dass nur mit zwei Produktionsfaktoren (Arbeit und Kapital) produziert wird.
58. Herleitung der Kostenfunktion aus der Produktionsfunktion
Folgende Produktionsfunktion sei gegeben:
15
1
1
y = f (x1 , x2 ) = x12 x22 .
Hierbei sind x1 , x2 die Mengen des jeweiligen Inputfaktors, y ist die
Menge des erstellten Produkts.
(a) Bestimmen Sie die optimalen Faktoreinsatzmengen bei einem Produtktionsniveau von y = 200 und gegebenen Faktorpreisen von
w1 = 2 und w2 = 4.
(b) Wie verändern sich die Faktoreinsatzmengen, wenn der Preis des
Faktors 2 auf w2 = 9 steigt und ansonsten die Vorgaben aus Teilaufgabe a) aufrecht gehalten werden?
(c) Bestimmen Sie die Kostenfunktion, Grenz- sowie Durchschnittskostenfunktion bei den Faktorpreisen aus Teilaufgabe a).
(d) Stellen Sie Kostenfunktion, Grenz- sowie Durchschnittskostenfunktion in Abhängigkeit der Outputmenge graphisch für w1 = 1 und
w2 = 4 dar.
59. Herleitung von Kostenfunktionen
Gegeben seien die Produktionsfunktionen
(a) y = f (x1 , x2 ) = cxa1 xb2 ,
(b) y = f (x1 , x2 ) = ax1 + bx2 ,
(c) y = f (x1 , x2 ) = min{ax1 ; bx2 },
mit a, b, c > 0.
Bestimmen Sie die jeweiligen Kostenfunktionen, die Grenz- und Durchschnittskostenfunktionen.
60. Beispiel zu Minimalkostenkombination und Kostenfunktion
(a) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination für eine Unternehmung mit der Produktionsfunktion
1
1
Y = v12 v22 ,
wenn die Preise p1 = 9 und p2 = 4 gegeben sind und der Output
Y = 3 beträgt.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Minimalkostenkombination die Kostenfunktion für das Unternehmen.
61. Dualitäts-Theorem der Produktions- und Kostentheorie
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(a) Wie lautet das Dualitäts-Theorem der Produktions- und Kostentheorie? erläutern Sie die ökonomischen Implikationen dieses Theorems.
(b) Wie lautet die Produktionsfunktion, die durch die Kostenfunktion
(1−α)
C = q1α q2
Y beschrieben wird?
62. Faktornachfragefunktionen und Kostenfunktion der CobbDouglas-Produktionsfunktion
Leiten Sie die Faktornachfragefunktionen und die Kostenfunktion der
Cobb-Douglas-Produktionsfunktion her. Diskutieren Sie die allgemeinen Eigenschaften der Kostenfunktion.
63. Kostenfunktion der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, Skaleneigenschaften
Gegeben sei die Produktionsfunktion
y = f (x1 , x2 ) = 10x10,2p x20,8p , p > 0.
(a) Wie lautet die Kostenfunktion für die Faktorpreise w1 = w2 = 1 ?
(b) Welche Bedeutung kommt dem Parameter p zu? Wie beeinflusst
er die Eigenschaften der Produktions-, Kosten-, Grenzkosten- und
Durchschnittskostenfunktion?
(c) Sind die bedingten Faktornachfragen fallend in ihren Faktorpreisen? Inwieweit ist der Parameter p für diese Eigenschaft verantwortlich?
64. Eigenschaften von Kostenfunktionen, Sheppards Lemma
Gegeben sie die Kostenfunktion
1
2
C(y) = w1a w2a y, a < 0.
(a) Ermitteln Sie die bedingten Faktornachfragefunktionen aus der
gegebenen Funktion.
(b) Überprüfen Sie die Symmetrie der Kreuzpreiseffekte.
65. Produktionsfunktionen, Kostenfunktionen und Homogenitätsgrad
Gegeben seien folgende Produktionsfunktionen:
i. y = x1 x2 ,
1
1
ii. y = x12 + x22 ,
17
iii. y = x1 + 2x2 ,
iv. y = min{2x1 ; 3x2 }.
(a) Berechnen Sie die bedingten Faktornachfragen x∗1 und x∗2 bei gegebenen w1 = 1, w2 = 4 und bei einem Outputniveau von y = 10.
(b) Bestimmen Sie die Homogenitätsgrade der Produktionsfunktionen
sowie der aus ihnen resultierenden Kostenfunktionen.
66. Graphische Herleitung optimalen Angebotsverhaltens
Welche Bedingung muss für optimales Angebotsverhalten einer mengenanpassenden Unternehmung erfüllt sein? Leiten Sie diese Bedingung
graphisch her, und liefern Sie eine ökonomische Interpretation des Ergebnisses. Unterstellen Sie in Ihrer Analyse, dass die Unternehmung
mit steigenden Grenzkosten arbeitet.
67. Graphische Herleitung der Angebotskurve
Leiten Sie die Angebotskurve graphisch her.
68. Algebraische Bestimmung des optimalen Angebotsverhaltens
Leiten Sie die Bedingung für ein optimales Angebotsverhalten der mengenanpassenden Unternehmung algebraisch her, und interpretieren Sie
diese ökonomisch.
69. Eigenschaften der Angebotsfunktion
Wie reagieren die Unternehmen mit ihren Angebotsmengen, wenn die
exogen gegebenen Güter- und Faktorpreise sich verändern? Beschreiben
Sie algebraisch die Eigenschaften der Angebotsfunktion.
70. Gewinnmaximierung bei zwei Inputfaktoren
Ein gewinnmaximierendes Unternehmen produziere gemäß der Produktionsfuktion:
1
1
y = x14 x24 .
Gegeben seien die Faktorpreise w1 , w2 und der Produktpreis p.
Ermitteln Sie
(a) die Angebotsfunktion sowie
(b) die Gewinnfunktion.
18
71. Gewinnmaximum und Wertgrenzprodukt
Gegeben sei die Produktionsfunktion
y = x21 x2 .
Die Unternehmung produziert, indem sie Wertgrenzprodukt gleich Faktorpreis setzt.
(a) Zeigen Sie, inwieweit das Unternehmen mit Hilfe ihrer Produktionsregel für p = 16, w1 = 4 und w2 = 4 ein Gewinnmaximum
realisiert.
(b) Klären Sie graphisch den Irrtum der Unternehmung auf und geben
Sie das Gewinnmaximum an.
72. Gewinnänderung bei Faktorpreisänderung
Wie verändert sich der Gewinn der Unternehmung, wenn sich die Güterund Faktorpreise verändern? Nutzen Sie für Ihre Überlegungen die Ergebnisse des Envelope-Theorems.
73. Beispiel zur kurz- und langfristigen Angebotskurve
Eine Unternehmung mit dem Unternehmensziel der Gewinnmaximierung sei in der Situation des Mengenanpassers, d.h., Güter- und Faktorpreise sind exogen vorgegeben. Der Unternehmung ist die Kostenfunktion C(Y ) = Y 3 + 6Y + 6, 25 bekannt. Bestimmen Sie die langfristige
Angebotskurve der Unternehmung. Wie hoch muss der Marktpreis des
Gutes mindestens sein, damit die Unternehmung langfristig produziert?
Erläutern Sie den Begriff des Betriebsminimums.
74. Skalenelastizität, Stückkosten und Angebotsverhalten
Leiten Sie den Zusammenhang zwischen Skalenelastizität und Stückkosten her. Welche Schwierigkeiten ergeben sich bei der Unterstellung
einer homogenen Produktionsfunktion für die Bestimmung des Angebotsverhaltens?
75. Gewinnmaximierung bei gegebener Kostenfunktion
Ein gewinnmaximierendes Unternehmen produziere positive Outputmengen mit der Kostenfunktion
C(Y ) = 3y a + 10, a > 1.
(a) Ermitteln Sie die Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten für
a = 2 und a = 3 und stellen Sie diese graphisch für beide Werte
dar.
19
(b) Bestimmen Sie die kurz- und die langfristige Angebotsfunktion
des Unternehmens bei einem Produktpreis p für a > 2.
76. Einteilung von Marktformen
Welche Marktformen werden im allgemeinen unterschieden? Nach welchen Kriterien werden verschiedene Marktformen klassifiziert?
77. Grundvorstellung: Märkte und Konkurrenzmärkte
Was versteht man
(a) unter einem Markt und
(b) unter einem Konkurrenzmarkt?
78. Eigenschaften der linearen Nachfragekurve
Stellen Sie eine lineare Nachfragekurve graphisch und algebraisch dar,
und beschreiben Sie deren Eigenschaften mit Hilfe der Preiselastizität
der Nachfrage.
79. Isoelastische Nachfragefunktion
Stellen Sie eine isoelastische Nachfragefunktion graphisch und algebraisch dar und beschreiben Sie deren Eigenschaften.
80. Isoelastische Angebotsfunktion
Stellen Sie eine isoelastische Marktangebotskurve graphisch dar. Geben
Sie ein Beispiel für eine relativ elastische lineare Angebotskurve und ein
Beispiel für eine relativ inelastische lineare Angebotskurve.
81. Marktgleichgewicht, Existent und Eindeutigkeit
Wann spricht man davon, dass ein Markt im Gleichgewicht ist? Beschreiben Sie mit intuitiver Argumentation die Bedingungen für die
Existenz des Marktgleichgewichts. Wann ist das Gleichgewicht eindeutig?
82. Stabilität des Gleichgewichts und dynamische Anpassung
Zeigen Sie, unter welchen Bedingungen ein parzielles Marktgleichgewicht stabil ist. Verwenden Sie graphisch und algebraisch die Walrasianische Preisanpassungsvorstellung (Walrasianischer Auktionator).
Erläutern Sie den ökonomischen Inhalt des Anpassungsmechanismus.
20
83. Cobweb-Modell und Marktzyklen
Was besagt das cobweb Modell? Unter welchen speziellen Marktbedingungen tritt eine cobweb Situation auf? Nennen Sie Beispiele für
solche Märkte, und beschreiben Sie die Mechanismen algebraisch und
graphisch.
84. Marktreaktion auf Angebotsschock
Beschreiben Sie graphisch und algebraisch die Reaktion eines Konkurrenzmarktes auf die plötzliche Verringerung der Angebotsmenge.
85. Marktreaktion auf Nachfrageschock
Beschreiben Sie graphisch und algebraisch die Reaktion eines Konkurrenzmarktes auf einen plötzlichen Nachfrageausfall.
86. Konsumenten- und Produzentenrente
Erklären Sie graphisch und mit Hilfe intuitiver Argumentation des Konzept der Konsumenten- und Produzentenrente.
87. Monopolverhalten
Beschreiben Sie das Angebotsverhalten und die Preisbildung auf einem
Monopolmarkt graphisch und algebraisch.
88. Nachfragemonopol: Monopson
(a) Beschreiben Sie einen Markt mit einem Nachfragemonopol (Monopson), und nennen Sie Beispiele für einen solchen Markt.
(b) Welche optimale Strategie würde ein gewinnmaximierender Nachfragemonopolist auf einem solchen Markt wählen? Leiten Sie die
optimalen Mengen und Preise des Monopolisten algebraisch her
(linearisierter Fall).
(c) Stellen Sie die Lösung graphisch dar.
89. Bilaterales Monopol
(a) Was versteht man unter einem bilateralen Monopol? Nennen Sie
Beispiele, für die die Vorstellung eines bilateralen Monopols angewandt werden kann.
(b) Beschreiben Sie die Marktlösung eines bilateralen Monopols mit
traditionellen Analysemehtoden.
21
90. Gewinnmaximierung im Monopol und Vergleich zum Polypol
Ein Monopolist möchte seinen Gewinn maximieren, wobei er Kenntnis
über seine Kostenfunktion
C(y) = 20y 2 + 60y
sowie seine Preis-Absatz-Funktion
besitzt.
p(y) = max{0; 300 − 20y}
(a) Berechnen Sie den maximalen Gewinn des Monopolisten. Stellen
Sie die Situation graphisch dar.
(b) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn unter der Annahme, dass
der Monopolist seine Produktionsmenge wie ein Polypolist bestimmt.
91. Totalanalyse — Darstellung der Angebotsseite
(a) Beschreiben Sie graphisch die Angebotsseite einer geschlossenen
Wirtschaft. Welche Bedingungen müssen für effiziente Produktion
gelten? Zeigen Sie diese in der Edgeworth-Box.
(b) Was besagt die Transformationskurve?
92. Totalanalyse – Darstellung der Nachfrageseite
Beschreiben Sie die Nachfrageseite einer Wirtschaft und bestimmen Sie
das gesamtwirtschaftliche Gleichgewicht.
93. Pareto-Optimalität von Konkurrenzgleichgewichten
(a) Was bedeutet der Begriff der Pareto-Optimalität“?
”
(b) Wie muss eine Wirtschaft organisiert sein, damit ein Pareto-Optimum
entsteht?
(c) Welchen Beitrag kann eine Marktwirtschaft leisten, um ein ParetoOptimum zu erreichen?
22
2
Mikroökonomik II
1. Intertemporale Konsumnutzenoptimierung (diskret)
Ein Konsument erhält zum Zeitpunkt t0 ein Einkommen von Y0 und
zum Zeitpunkt t1 von Y1 . Für eine Einheit des Einkommens erhält er
eine Einheit eines Gutes, wobei er sich entscheiden muss, wieviel er zum
Zeitpunkt konsumieren will. Er kann sein Einkommen am Kapitalmarkt
zum Zinssatz r anlegen oder sich zum Zins r verschulden. Bestimmen
Sie den optimalen Konsumplan.
2. Intertemporale Konsumnutzenoptimierung (stetig)
(a) Bestimmen Sie den optimalen zeitlichen Konsumplan eines Wirtschaftssubjektes mit additiver Nutzenfunktion U , Zeitpräferenzrate δ und bekanntem Einkommensstrom w. Es besteht die Möglichkeit, zur Zinsrate r Geld aufzunehmen bzw. anzulegen. Die Anfangsvermögensausstattung des Wirtschaftssubjektes sei A0 , die
Ausstattung des Wirtschaftssubjektes zum bekannten Todeszeitpunkt T sein AT .
(b) Spezifizieren Sie die Lösung aus a) für die spezielle Nutzenfunktion
U = log C.
3. Charakterisierung der monopolistischen Konkurrenz
Wodurch ist die Marktform der monopolistischen Konkurrenz charakterisiert? Nennen Sie Beispiel für diese Märkte. Welche Strategien der
Unternehmen und welche Marktlösungen lassen sich für Märkte mit
monopolistischer Konkurrenz beschreiben?
4. Gutenbergs doppelt geknickte Preis-Absatz-Funktion
Erläutern Sie Gutenbergs doppelt geknickte Preis-Absatz-Funktion
5. Chamberlins Tangentenlösung
Erläutern Sie Chamberlins Tangentenlösung.
6. Grundlegendes Problem der Dyopoltheorie
Erläutern Sie das grundlegende Problem der Dyopoltheorie.
7. Cournotsche Dyopollösung
Stellen Sie die Cournotsche Interpretation eines dyopolistischen Marktgleichgewichts dar. Ist dieses Marktgleichgewicht stabil und Paretooptimal?
23
8. Stackelberg-Lösung des Dyopols
Stellen Sie die von Stackelbergsche Interpretation eines dyopolistischen
Marktgleichgewichts dar. Erweitern Sie die Überlegungen, und erläutern
Sie die Bowley-Dyopol-Lösung.
9. Dyopollösung von Bertrand
Erläutern Sie die Dyopollösung von Bertrand.
10. Erklären Sie a) verbal und b) formal Gegenstand und Ziel der Spieltheorie.
11. Gefangenendilemma - Dominante Strategien und Nash-Gleichgewicht
Erklären Sie a) verbal im Gefangenendilemma Spiel und b) formal folgende Begriffe
- kooperative/ nicht kooperative Lösung
- dominante Strategie
- Nash-Gleichgewichtslösung
12. Matching Pennies — Gemischte Strategien
Erklären Sie a) verbal im Spiel Matching Pennies“ und b) formal ge”
mischte Strategien.
Das Spiel Matching Pennies verläuft folgendermaßen: Zwei Spieler legen
gleichzeitig jeweils eine Münze auf den Tisch. Stimmen die gezeigten
Seiten, d.h. Kopf bzw. Zahl, bei beiden Spielern überein, erhält Spieler
1 eine Nutzeneinheit und Spieler 2 verliert eine. Stimmen die Seiten
nicht überein, erhält Spieler 2 die Nutzeneinheit und Spieler 1 verliert
sie (siehe Tabelle).
Spieler 1
s11
s12
Spieler 2
s21
s22
(1, -1) (-1, 1)
(-1, 1) (1, -1)
13. Battle of the Sexes — Stackelberg-Lösung
Erklären Sie a) verbal im Spiel Battle of Sexes“ und b) formal die
”
Stackelberg-Lösung eines Spiels.
Das Battle of Sexes Spiel“ besteht aus folgender Entscheidungssitua”
tion:
24
Klaus und Stefan treffen sich zufällig in einer Mikrovorlesung und verlieben sich ineinander. Wie sie so schäkern unterhalten sie sich über ihre Vorlieben. Stefan ist ein echter Kulturgourmet und geht am liebsten
zum Fußball. Klaus steht mehr auf leichte Kost und sich gerne im Kino
Das Kettensägenmassaker Teil VIII“ an. Um einer unangenehmen Fra”
ge des Dozenten zu entkommen, sucht Klaus das Weite und kann nur
noch flüstern: Wir müssen uns heute abend unbedingt sehen!“ Erst
”
danach wird ihnen klar, dass sie keinen Treffpunkt vereinbart haben.
Beide wissen, dass Stefan Fußball und Klaus Kino präferiert, wenn sie
sich jedoch verfehlen würden, hätten sie keinen Spaß daran (u = 0).
Spieler 1
s11
s12
Spieler 2
s21
s22
(3, 1) (0, 0)
(0, 0) (1, 3)
14. Pareto-Optimalität von Nash-Gleichgewichten
Man kann zeigen, dass bei differenzierbaren Nutzenfunktionen NashGleichgewichte im allgemeinen nicht Pareto-optimal sind.
(a) Zeigen Sie diesen Sachverhalt für eindimensionale Strategieräume,
differenzierbare Auszahlungsfunktionen und Lösungen im Innern
des Strategieraumes.
(b) Erläutern Sie diesen Sachverhalt am Beispiel des Dyopolmodells.
15. Extensive Form des Gefangenendilemmas
(a) Beschreiben Sie das Gefangenendilemma in extensiver Form.
(b) Wann ist es sinnvoll, Spiele in extensiver Form zu beschreiben?
16. Markteintrittsspiel
Zwei Konkurrenten treten potenziell in einem Markt auf. Ein Monopolist beherrscht bisher den Markt. Nun könnte jedoch auch ein zweiter
Anbieter in den Markt eintreten. Im ersten Zeitpunkt entscheidet der
potenzielle Anbieter, ob er in den Markt eintritt. Tritt er nicht ein (s N
1 ),
so erhält er nichts und der Monopolist einen Monopolgewinn von 100.
Tritt er in den Markt jedoch ein (sE
1 ), kann sich der Monopolist entscheiden, ob er einen Vernichtungskampf beginnt (sK
2 ), bei dem jeder
Spieler einen Verlust von 10 macht, oder ob er sich friedlich verhält
25
(sE
2 ), einer Marktteilung zustimmt und jeder Spieler einen Dyopolgewinn von 40 erhält.
(a) Stellen Sie den Spielbaum dar.
(b) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte.
(c) Sind alle Nash-Gleichgewichte gleich plausibel?
17. Teispielperfekte Gleichgewichte
(a) Was versteht man unter einem teilspielperfekten Gleichgewicht?
(b) Bestimmen Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht im Spielbaum
aus der vorherigen Aufgabe.
18. Signalspiel Markteintritt
Bestimmen Sie im folgenden Signalspiel Pooling- und Trennungsgleichgewichte.
Der potenzielle Konkurrent (Spieler 1) eines Monopolisten ist entweder
stark, so dass er einen Kampf um den Marktanteil bestehen könnte,
oder schwach, so dass er in einem Kampf verlieren würde. Der Spieler
N
1 kann in den Markt eintreten (sE
1 ) oder nicht (s1 ). Der Monopolist
(Spieler 2) weiss nicht, ob der Spieler 1 stark oder schwach ist, sondern
hat a priori eine Wahrscheinlichkeitseinschätzung, dass der Spieler mit
der Wahrscheinlichkeit δ stark ist. Er kann den Kampf um die MarktN
anteile aufnehmen sK
2 oder einer Marktteilung zustimmen s2 . Es ergibt
sich der folgende Spielbaum, wobei zu Beginn die Natur entscheidet,
ob der Spieler 1 stark oder schwach ist. Nur Spieler 1 kennt den Zug
der Natur, weiss also, ob er selber stark oder schwach ist.
Abbildung muss noch erstellt und eingefügt werden!!!!
19. Trigger-Strategien
(a) Was versteht man unter einer Trigger-Strategie?
(b) Zeigen Sie, dass im Superspiel mit Gefangenendilemma-Auszahlungsmatrix
Kooperation möglich ist, falls die Spieler die Zukunft genügend
stark gewichten.
20. Folk-Theorem
Beweisen Sie folgenden Satz, der in der Literatur als Folk-Theorem
bekannt ist:
26
Jeder zulässige Auszahlungsvektor mit höheren Auszahlungen als im
Nash-Gleichgewicht ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht das unendlich wiederholten Spiels, falls die Spieler die Zukunft genügend stark
gewichten.
21. Nash-Verhandlungslösung
(a) Erläutern Sie die Axiome der Nash-Verhandlungslösung anhand
des Edgeworth-Box-Spiels.
(b) Interpretieren Sie das Nash-Verhandlungsergebnis.
Aufgaben entnommen aus:
Gries, Thomas; Sieg, Gernot; Strulik, Holger: Repetitorium Mikroökonomik;
Springer; Berlin, Heidelberg, New York 1996
Hippe, Alan; Holz, Andreas; Falk, Bernhard: Übungsbuch Mikroökonomie
— Aufgaben mit ausführlichen Lösungen; Gabler, Wiesbaden 1995
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