A Ebene Geometrie: Dreiecke 1 Seitenlängen und

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Cyan
Magenta
Yellow
Inhalt
A
Ebene Geometrie: Dreiecke
1
2
3
B
Schrägbilder
Berechnungen an Körpern
Weiterführende Aufgaben
Probe-Prüfungsaufgaben
22
25
27
28
Die Entstehung von Rotationskörpern
Zusammengesetzte Rotationskörper
Probe-Prüfungsaufgaben
30
31
33
Quadratische Funktionen und Parabeln
1
2
4
14
16
18
19
20
Rotationskörper
1
2
E
Seitenlängen und Winkelmaße in Vierecken
Flächeninhalte von Vierecken
Bogenlängen und Flächeninhalte in Kreisausschnitten
Weiterführende Aufgaben
Probe-Prüfungsaufgaben
Schrägbilder und Berechnungen an Körpern
1
2
3
D
6
8
10
12
Ebene Geometrie: Vierecke und andere Figuren
1
2
3
4
C
Seitenlängen und Winkelmaße in rechtwinkligen Dreiecken
Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
Weiterführende Aufgaben
Probe-Prüfungsaufgaben
Parabeln zu y = ax2 + bx + c, x * R
Die Lösung quadratischer Gleichungen
Probe-Prüfungsaufgaben
34
36
38
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Cyan
Magenta
Yellow
Inhalt
F
Funktionen zu y = }kx und Hyperbeln
1
2
G
40
42
44
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
1
2
3
H
Graphen zu y = }kx , x * R \ {0}
Weiterführende Aufgaben
Probe-Prüfungsaufgaben
Exponentielles Wachstum
Exponentielle Abnahme
Zinseszinsrechnung
Probe-Prüfungsaufgaben
Abschlussprüfung 2009 Mathematik II
45
47
48
49
50
Lösungen der Grundaufgaben
A
B
C
D
E
F
G
Ebene Geometrie: Dreiecke
Ebene Geometrie: Vierecke und andere Figuren
Schrägbilder und Berechnungen an Körpern
Rotationskörper
Quadratische Funktionen und Parabeln
Funktionen zu y = }kx und Hyperbeln
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
58
62
66
69
70
72
75
Lösungen der Probe-Prüfungsaufgaben
76
Lösungen der Abschlussprüfung 2009
91
5
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Cyan
Magenta
Yellow
A Ebene Geometrie: Dreiecke
1
Seitenlängen und Winkelmaße
in rechtwinkligen Dreiecken
Beispiel 1
In dem rechtwinkligen Dreieck AMH sind
s = 7,5 cm und h = 6 cm lang.
a) Wie heißt hier die Hypotenuse? Welche Seite
ist Ankathete, welche Gegenkathete von a?
b) Berechne die Länge von x mithilfe des
Satzes von Pythagoras.
c) Berechne das Maß von a mit trigonometrischen
Mitteln.
d) Kontrolliere dein Ergebnis zu b) mithilfe der
Trigonometrie.
e) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AMH.
Probefigur
H
s
h
a
x
A
M
Lösung
a) Die Hypotenuse heißt s (= längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, die dem rechten
Winkel gegenüber liegt). [AM] = x ist die Ankathete, h die Gegenkathete von a.
b) x2 = s2 – h2 (Hypotenusenquadrat minus Kathetenquadrat);
eingesetzt: x2 = (7,5 cm)2 – (6 cm)2 = 20,25 cm2 ⇒ x = 4,5 cm
h
c) sin a = } s (Länge der Gegenkathete durch Länge der Hypotenuse);
6 cm
eingesetzt: sin a = }}} = 0,8 ⇒ a < 53,13°
7,5 cm
x
d) cos a = } s ⇒ x = s · cos a; eingesetzt: x = 7,5 cm · cos 53,13° = 4,5 cm
4,5 cm · 6 cm
x·h
e) A = }} ; eingesetzt: A = }}}}} ; A = 13,5 cm2
2
2
C
Beispiel 2
g
Es gibt zwei ganz unterschiedliche
Gründe, warum das abgebildete
Dreieck ABC rechtwinklig ist.
Führe dies aus.
b = 4 cm
a = 3 cm
b
a
A
c = 5 cm
Lösung
(1) C liegt auf dem Thaleskreis über [AB], also ist c gleich 90°.
(2) 3, 4 und 5 sind pythagoreische Zahlen, also ist ABC rechtwinklig.
6
B
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Cyan
Magenta
Yellow
1 Seitenlängen und Winkelmaße in rechtwinkligen Dreiecken
Nützlich zu wissen
Im rechtwinkligen Dreieck ABC (c = 90°) gelten
der Satz des Pythagoras:
die trigonometrischen Beziehungen:
C
a2 + b2 = c2
b
a2 = c2 – b2
a
b
sin a = } c ; sin b = } c
a
b
a
cos a = } c ; cos b = } c
b
a
b2 = c2 – a2
A
Merkwerte:
sin 30° = 0,5
c
B
a
b
tan a = } ; tan b = } a
b
cos 60° = 0,5
tan 45° = 1
Beispiel 3
Im gleichschenkligen Dreieck ABC (a = b) sind a = 5,4 cm und c = 3,8 cm. Konstruiere es.
Kontrolliere deine Zeichnung, indem du die Maße der Dreieckswinkel berechnest.
Lösung
}
Konstruktion: Zeichne AB = 3,8 cm und jeweils einen
Kreisbogen um A und B mit dem Radius a = b = 5,4 cm.
Der Schnittpunkt ist C. Verbinde C mit A und B.
Gemessen: a = 69° und c = 41°.
BerechnungderDreieckswinkel: Ergänze
die Figur um die Höhe hc. Dadurch entstehen
zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke.
C
g
b
a
hc
C
} 2
Im Dreieck HBC gilt: cos b = } a . Eingesetzt:
1,9 cm
cos b = }}} < 0,351852 [TR] ⇒ b < 69,4° = a.
5,4 cm
Weiter ist c = 180° – 2 · b < 41,2°.
Die Rechnung bestätigt die Richtigkeit der Konstruktion.
a
A
b
H
c
B
Grundaufgaben
1. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit c = 90°.
a) b = 52,4° und c = 6,3 cm
b) a = 4,2 cm und c = 7,4 cm
c) b = 3,6 cm und c = 6,1 cm
d) a = 43,5° und a = 4,5 cm
e) a = 4,6 cm und b = 5,8 cm
f ) b = 51,8° und a = 4,5 cm
Berechne die fehlenden Winkelgrößen und Seitenlängen und führe eine Kontrolle
deiner Rechnungen durch.
2. Berechne die fehlenden Winkelgrößen, Seitenlängen und den Flächeninhalt eines
gleichschenkligen Dreiecks ABC (a = b).
a) a = 5,8 cm und c = 8,2 cm
b) a = 60,8° und a = 7,9 cm
7
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Magenta
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A Ebene Geometrie: Dreiecke
2
Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
Beispiel 1
In einem allgemeinen Dreieck ABC sind a = 5,2 cm, a = 51° und b = 42°. Konstruiere
das Dreieck, berechne die Länge von c und den Flächeninhalt des Dreiecks (Ergebnisse
auf 2 Nachkommastellen runden).
Lösung
Konstruktion: Zeichne [BC] mit a = 5,2 cm.
Trage an [BC] in B den Winkel b = 42° ab.
Markiere auf dessen freiem Schenkel
einen Hilfspunkt A'. Trage an [A'B] den Winkel
a' = a = 51° ab. Dessen freier Schenkel
schneidet die Seite a bzw. deren
Verlängerung in C'. Zeichne eine
Parallele zu [A'C'] durch C.
A
C
C’
a
a
a9
b
A’
B
Berechnungen:
c
a
a
(1) Nach dem Sinussatz ist }} = }} ⇒ c = }} · sin c mit c = 180° – a – b.
sin g
sin a
sin a
5,2 cm
· sin 87° < 6,68 cm [TR: 6,68197].
Eingesetzt: c = }}} sin 51°
1
(2) Der Flächeninhalt des Dreiecks ist A = } · a · c · sin b (a und c sind zwei Seiten
2
des Dreiecks, b ist der eingeschlossene Winkel).
Eingesetzt: A = 0,5 · 5,2 cm · 6,68 cm · sin 42° < 11,62 cm2.
h
c
Du kannst auch so rechnen: sin b = } a ⇒ hc = a · sin b; hc < 3,4795 cm
c·h
6,68 cm · 3,4795 cm
c
A = }} ; eingesetzt: A < }}}}}}} ⇒ A < 11,62 cm2.
2
2
Beispiel 2
In einem Dreieck ABC sind a = 5,4 cm, b = 4,0 cm und c = 5,0 cm lang.
Berechne die Maße der Innenwinkel (auf zwei Nachkommastellen genau).
Lösung
Lege eine Probefigur an. Da der Fall SSS vorliegt,
musst du den Kosinussatz anwenden. Es gilt z. B.:
2
2
Probefigur
C
g
2
b +c –a
.
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a ⇒ cos a = }}}} 2bc
b
(4 cm)2 + (5 cm)2 – (5,4 cm)2
= 0,296
}}}}}}}}}} 2 · 4 cm · 5 cm
Eingesetzt: cos a =
Daraus folgt: a < 72,78°.
Berechne das Maß eines zweiten Winkels mithilfe des Sinussatzes:
sin b
4 cm
sin 72,78º
5,4 cm
= }}}} ⇒ b < 45,03° ⇒ c < 62,19°.
}} 8
a
a
A
b
c
B
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Magenta
Yellow
2 Berechnungen in allgemeinen Dreiecken
Nützlich zu wissen
In allgemeinen Dreiecken gelten folgende trigonometrischen Sätze:
Sinussatz
g
sin a
sin b
sin g
}} = }} = }} a
c
b
C
Kosinussatz
b
a2 = b2 + c2 – 2bc · cos a
a
b2 = a2 + c2 – 2ac · cos b
bzw.
a
sin a
b
sin b
c
sin g
= }} = }} }} A
a
b
c
B
c2 = a2 + b2 – 2ab · cos c
Sind zwei Seitenlängen und das Maß des eingeschlossenen Winkels bekannt,
kann man den Flächeninhalt des Dreiecks so berechnen:
1
A = } ab · sin c
2
1
oder A = } ac · sin b
2
1
oder A = } bc · sin a
2
Beispiel 3
Am südlichen Ufer eines Flusses ist eine Standlinie
}
AB = 100,00 m abgesteckt. Der Punkt N am
nördlichen Ufer wird von A aus unter a = 44,3°
und von B aus unter b = 71,9° angepeilt.
a) Wie weit ist es von A nach N?
b) Wie breit ist der Fluss?
Probefigur
N
a
A
b
B
Lösung
a) In dem Dreieck ABN sind die Länge einer Seite und die Maße der beiden anliegenden
Winkel gegeben (Fall WSW). Die Größe des Winkels bei N beträgt:
c = 180° – 44,3° – 71,9° = 63,8°.
}}
}
}
}}
AN AB AB Nach dem Sinussatz ist: }} = }} ⇒ AN = }} · sin b;
sin b
sin g
sin g
}} 100,00 m
eingesetzt AN = }}}} · sin 71,9º < 105,94 m.
sin 63,8º
b) Du musst die Länge der Höhe von N auf [AB] berechnen. Der Höhenfußpunkt sei H.
h
Im rechtwinkligen Dreieck AHN gilt: sin a = }} }}
AN }}
Daraus folgt: h = AN · sin a; also: h = 105,94 m · sin 44,3° < 73,99 m.
Der Fluss ist an dieser Stelle rund 74 Meter breit.
Grundaufgaben
3. Berechne die fehlenden Seitenlängen und Maße der Winkel eines Dreiecks ABC.
a) c = 6,7 cm
b) a = 4,1cm
c) a = 4,6 cm
d) a = 5,4 cm
a = 67,2°
b = 3,1 cm
c = 5,3 cm
b = 6,6 cm
c = 57,8°
a = 68,4°
b = 69,1°
c = 8,0 cm
Tipp:ZeichnezunächsteineProbefigurundhebediegegebenenStückefarbighervor.
9
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Magenta
Yellow
A Ebene Geometrie: Dreiecke
3
Weiterführende Aufgaben
Beispiel 1
Im Dreieck ABC sind die Seiten a = 6,2 cm, b = 4,2 cm und c = 5,2 cm lang.
Konstruiere das Dreieck und seinen Inkreis. Berechne die Länge des Inkreisradius
(auf zwei Nachkommastellen).
Lösung
C
Konstruktion:
}
Zeichne die Seite c mit AB = 5,2 cm,
danach einen Kreisbogen um A mit
dem Radius b = 4,2 cm und einen zweiten
b
Kreisbogen um B mit dem Radius a = 6,2 cm.
Mi
Die Kreise schneiden sich im Punkt C.
Verbinde C mit A und B.
ri
Konstruiere nun die Winkelhalbierenden
a
der Winkel a und b. Sie schneiden sich
H
A
im Punkt M i, dem Mittelpunkt des Inkreises.
Die Senkrechte von M i auf c liefert den Inkreisradius.
Berechnungvonri :
6,22 + 5,22 – 4,22
Nach dem Kosinussatz ist cos b = }}}}}}} < 0,741936
2 · 6,2 · 5,2
a
b
c
B
(auf 6 Nachkommastellen gerundet) ⇒ b < 42,10°. Mithilfe des Sinussatzes
b
a
erhältst du danach a < 81,76°. Im Dreieck ABM i sind also } und } bekannt.
2
2
Das Maß für den Winkel BM i A ist e = 118,07°. Berechne mit dem Sinussatz:
5,2 cm
}}
AM i = }}}} · sin 21,05º < 2,12 cm.
sin 118,07º
}}
a }}
Im Dreieck AHM i gilt: ri = sin } · AM i . Daraus folgt: r i < 1,39 cm.
2
Nützlich zu wissen
In jedem Dreieck
schneiden sich die
Winkelhalbierenden
im Mittelpunkt
des Inkreises.
In jedem Dreieck
schneiden sich die
Mittelsenkrechten
der Seiten im Mittel­
punkt des Umkreises.
C
C
A
10
C
b
g
a
In jedem Dreieck
schneiden sich die
Seitenhalbierenden
im Schwerpunkt
des Dreiecks.
Mi
c
MU
a
b
b
B
A
c
B
A
•
•a
S
•c
B
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Magenta
Yellow
3 Weiterführende Aufgaben
Beispiel 2
Zeichne in ein Koordinatensystem (Längeneinheit 1 cm) die Punkte A(–1| –2); B(4 | 0)
und C(0 | 5) ein.
Verbinde sie zu einem Dreieck.
y
Berechne die Seitenlängen,
5
C
die Maße der Winkel und
den Flächeninhalt des Dreiecks.
4
Lösung
Weil 1 LE = 1 cm ist,
kannst du in cm rechnen.
Den Abstand zweier Punkte
im Koordinatensystem berechnet
man mithilfe des Satzes
von Pythagoras.
}
}
}
AB = Ï 22 + 52 cm = Ï 29 cm
Daraus folgt c < 5,39 cm.
}
}
}
BC = Ï 52 + 42 cm = Ï 41 cm
Daraus folgt a < 6,40 cm.
}
}
}}
AC = Ï 72 + 12 cm = Ï 50 cm
Daraus folgt b < 7,07 cm.
3
a
2
b
1
B
1
−1
−1
A
2
3
4
5 x
c
−2
Die Winkelmaße musst du mithilfe trigonometrischer Sätze berechnen.
2
2
2
+c –a
+ 29 – 41
Nach dem Kosinussatz ist: cos a = b}}}} . Eingesetzt: cos a = 50
}}}}} }
}
2bc
< 0,498964 (auf sechs Nachkommastellen) ⇒ a < 60,07°.
2 · Ï 50 · Ï 29 Hinweis:IndenTermfürcosawurdendieWurzelwerteeingesetzt.
}
sin 60,07º
Ï 41 cm Nach dem Sinussatz ist sin b = Ï 50 cm · }}}} } .
Daraus folgt b < 73,14° und schließlich c < 46,79°.
Den Flächeninhalt berechnest du am einfachsten mit der trigonometrischen
1
Flächenformel, z. B. mit A = } ab · sin c.
2 }
}
Eingesetzt: A = 0,5 · Ï 41 cm · Ï 50 cm · sin 46,79º ⇒ A < 16,50 cm2.
Grundaufgaben
4. In einem allgemeinen Dreieck ABC sind
a) a = 5,4 cm; b = 50,8°; c = 62,4°,
b) a = 4 cm; c = 6 cm; b = 60°.
Berechne die fehlenden Seitenlängen und Maße der Dreieckswinkel.
Berechne zusätzlich in a) den Radius des Inkreises und in b) den Flächeninhalt
des Dreiecks.
11
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Magenta
Yellow
A Ebene Geometrie: Dreiecke
Probe­Prüfungsaufgaben
A 1.0 Im Dreieck ABC gilt b = 4,2 cm, c = 6,4 cm und a = 57°.
A 1.1 Konstruiere das Dreieck ABC, miss die Länge von a und die Größe
des Winkels b. Prüfe die Genauigkeit deiner Zeichnung, indem du a und b
(auf eine Nachkommastelle genau) berechnest.
g·h
A 1.2 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks aus 1.1 mithilfe der Formel A = }} .
2
Bestimme dazu hc als Zwischenwert auf 4 Nachkommastellen. Bestätige das
Ergebnis A < 11,27 cm2 mithilfe der trigonometrischen Flächenformel.
A 1.3 Wähle in der Zeichnung zu 1.1 auf dem Schenkel von a, auf dem der Punkt C
}}
liegt, einen Punkt Xn und nenne AXn = x. Verbinde Xn mit B.
Bestätige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABXn in Abhängigkeit von x
gleich An = 3,2 · x · sin 57° cm2 ist.
A 1.4 Zeichne in die Zeichnung zu 1.1 das Dreieck ABX1 mit x1 = 5,4 cm ein
und berechne den zugehörigen Flächeninhalt A1.
A 1.5 Wie lang muss man x2 wählen, damit A2 halb so groß wie der Flächeninhalt
des Dreiecks ABC ist?
A 1.6 Der Flächeninhalt eines Dreiecks ABX3 beträgt 16 cm2. Berechne die Länge
der Strecke x3. Zeichne ABX3 in die Zeichnung zu 1.1 ein.
A 1.7 Konstruiere den Umkreis des Dreiecks ABX3.
12
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Magenta
Yellow
Probe-Prüfungsaufgaben
A 2.0 Das Dreieck ABC ist in einem
Koordinatensystem durch
die Koordinaten der Eckpunkte
festgelegt.
y
5
C (5|4)
3
A (–3| 2)
−3
1
−1
−3
1
3
5
7 x
B (5| –2)
−5
A 2.1 Übertrage die Abbildung in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.
A 2.2 Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC in cm (auf eine Nachkommastelle).
A 2.3 Berechne die Maße der Dreieckswinkel.
A 2.4 Gib die Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte A und B geht.
Hebe diese Gerade in der Zeichnung zu 2.1 farbig hervor.
A 2.5 Spiegele das Dreieck ABC aus 2.1 an der Geraden zu 2.4. Zeichne das Spiegelbild ein. Bestimme rechnerisch die Ordinate von C'(0,2 | y).
A 2.6 Bestätige, dass die Strecke [C'C] rund 10,73 cm misst.
A 2.7 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks C'BC (auf zwei Nachkommastellen).
13
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Magenta
Yellow
B Ebene Geometrie:
Vierecke und andere Figuren
1
Seitenlängen und Winkelmaße in Vierecken
Beispiel 1
}
}
In dem Trapez ABCD (c !! a) sind a = AB = 7,2 cm, b = BC = 5,0 cm und
}}
d = AD = 4,0 cm lang. Das Maß des Winkels BAD = a beträgt 71°.
a) Konstruiere das Viereck.
b) Berechne die Maße der nicht gegebenen Innenwinkel und die Länge der Seite c
(auf zwei Nachkommastellen).
Lösung
a) Konstruktion
D
h
h
a
A
C2
g

d
C1
c1
b
b
H1
a
H2
B
Zeichne a = 7,2 cm mit den Endpunkten A und B. Trage an a in A den
Winkel a = 71° an und auf dem freien Schenkel von a die Strecke d = 4,0 cm
mit dem Endpunkt D ab. Zeichne eine Parallele zu a durch den Punkt D und
einen Kreisbogen um B mit dem Radius b = 5,0 cm.
Dieser schneidet die Parallele in den Punkten C1 und C2. (Zwei Lösungen!)
b) RechnungenfürdasTrapezABC1D(ABC2 D:SieheGrundaufgabe1)
h
Im Dreieck AH1D (Höhe einzeichnen!) gilt: sin a = } ⇔ h = d · sin a.
d
Gegebene Größen einsetzen: h = 4,0 cm · sin 71° ⇒ h < 3,7821 cm
(Zwischenwert mit höherer Stellenzahl angeben oder in den Speicher legen!)
h
. Daraus folgt b < 49,15°.
Im Dreieck H2BC1 gilt: sin b = } b
Ferner ist c < 180° – 49,15° = 130,85° und d = 180° – 71° = 109°.
}} }}
Weil c1 = a – AH1 – H2B ist, müssen die beiden Teilstrecken von a bestimmt werden:
}}
AH1 }}
}}
cos a = }} , nach AH1 aufgelöst, eingesetzt und ausgerechnet: AH1 < 1,3023 cm.
d
}}
H2B }}
liefert H2B < 3,2704 cm. Schließlich ist c1 < 2,63 cm.
cos b = }} b
14
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Magenta
Yellow
1 Seitenlängen und Winkelmaße in Vierecken
y
4
Beispiel 2
Das Viereck ABCD
ist in einem Koordinatensystem
mit 1 LE = 1 cm eingezeichnet.
a) Zeige, dass ABCD
ein Parallelogramm ist.
b) Berechne die Seitenlängen
und die Maße der Winkel.
C
3
D
2
B
1
2
Lösung
2
−2
−1
1
3
4
a) Bestimme die Steigungen
−1
der Vierecksseiten und zeige,
A
6
dass die gegenüber liegenden
Seiten die gleiche Steigung besitzen, also parallel sind.
2
1
= } .
Im farbig eingezeichneten Steigungsdreieck siehst du: m[AB] = } 6
3
1
Entsprechend ist: m[BC] = 3; m[DC] = } und m[AD] = 3.
3
Daraus folgt: m[AB] = m[DC] und m[BC] = m[AD]. Die gegenüber liegenden Seiten
des Vierecks sind parallel und damit ist ABCD ein Parallelogramm.
b) BerechnungderSeitenlängen
}
}
}
a = AB = Ï 22 + 62 cm = Ï 40 cm < 6,32 cm
}
}
c = a < 6,32 cm; d = b = Ï 12 + 32 cm = Ï 10 cm < 3,16 cm.
BerechnungderWinkelmaße: Zeichne zunächst die Diagonale [AC] ein
}
}
}}
2 cm = Ï 74 cm.
und berechne ihre Länge: e = AC = Ï 52 + 7 Bestimme b im Dreieck ABC mithilfe des Kosinussatzes:
5 x
+ 10 – 74
cos b = 40
}}}}} }
} ⇒ b < 126,87° = d und a = c = 180° – 126,87° = 53,13°.
2 · Ï 40 · Ï 10 Tipp: Bei der Bestimmung von Seitenlängen oder von Winkelmaßen in Vierecken
kommst du meistens weiter, wenn du Höhen oder Diagonalen einzeichnest.
Grundaufgaben
1. Berechne die Maße von b und c und die Länge von c2 im Trapez ABC2D
aus dem Beispiel 1.
2. Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelmaße.
a) Im Drachen ABCD mit a = d = 4,2 cm; b = d = 3,2 cm; a = 64,2°
b) Im gleichschenkligen Trapez ABCD mit a = 6,8 cm;
b = d = 4,4 cm und c = 2,8 cm
c) Im allgemeinen Viereck ABCD mit a = 6,3 cm; b = 4,2 cm;
c = 3,4 cm; d = 4,8 cm und a = 70,8°
15
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Cyan
Magenta
Yellow
B Ebene Geometrie: Vierecke und andere Figuren
2
Flächeninhalte von Vierecken
Beispiel 1
Im Trapez ABCD sind a = 7,4 cm; b = d = 3,2 cm und a = b = 77°.
Berechne seinen Flächeninhalt.
Tipp: Berechne Flächeninhalte in der Regel auf zwei Nachkommastellen.
Notiere Zwischenwerte (abgekürzt „ZW“) mit einer höheren Stellenzahl
oder lege sie in den Speicher des Taschenrechners.
D
c
C
Probefigur
d
h
h
b
b
a
A
H1
a
H2
B
Lösung
Wegen b = d ist das Trapez gleichschenklig, die rechtwinkligen Dreiecke
AH1D und H2BC sind also kongruent.
h
Aus sin 77° = }}} folgt h = 3,2 cm · sin 77° < 3,1180 cm (ZW) und aus
}} 3,2 cm
AH 1
}}
cos 77° = }}} folgt AH1 = 3,2 cm · cos 77° < 0,7198 cm (ZW).
3,2 cm
}}
Für c gilt: c = a – 2 · AH1 < 7,4 cm – 2 · 0,7198 cm < 5,96 cm.
7,4 cm + 5,96 cm
Der Flächeninhalt des Trapezes ist A = }}}}}}} · 3,118 cm < 20,83 cm2.
2
Beispiel 2
Im Drachenviereck ABCD sind a = d = 3,3 cm, b = c = 2,4 cm und a = 64°.
Berechne seinen Flächeninhalt.
Lösung
Die Formel für den Flächeninhalt eines
·f
Drachenvierecks lautet: A = e}} .
2
Berechne zunächst die Längen der Diagonalen.
C
Probefigur
c
D
b
E
f
} 2
Im rechtwinkligen Dreieck ABE ist sin 32° = }} cm.
3,3
f
Daraus folgt } < 1,7487 cm und f < 3,4975 cm (ZW).
2
Berechne im rechtwinkligen Dreieck EBC mithilfe des Satzes
}
von Pythagoras EC zu angenähert 1,6438 cm und im rechtwinkligen
}
Dreieck ABE die Länge von AE zu angenähert 2,7986 cm.
Damit erhältst du: e < 4,4424 cm. Schließlich ist A =
16
B
f
e
d
a
a
A
4,4424 cm · 3,4975 cm
< 7,77 cm2.
}}}}}}}} 2
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2 Flächeninhalte von Vierecken
Nützlich zu wissen
Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken
Dreieck
Parallelogramm
Trapez
Raute
Drachen
c
f
h
A=
h
g
g·h
}} 2
f
h
g
e
e
a
+c
A = a}} ·h
2
A=g·h
·f
A = e}} 2
Flächeninhalte von allgemeinen Vierecken
Man zerlegt ein allgemeines Viereck in der Regel in zwei Dreiecke und
berechnet zunächst deren Flächeninhalte. Es gibt mehrere Möglichkeiten.
D
D
c

d
A2
A1
A
A=
c
C
a
1
} ab
2
· sin b +
b
a2
b
B
1
} cd
2
e
a1
A
· sin d
A=
C
A2
d
b
A1
a
1
} ae
2
· sin a1 +
Beispiel 3
B
1
} de
2
· sin a2
D
Probefigur
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD mit
a = 5,2 cm, b = 4,8 cm, c = 1,8 cm, d = 3,8 cm und b = 58,8°.
d
2
C
A2
Lösung
A
Zerlege das Viereck mithilfe der Diagonalen [AC] = e in zwei Dreiecke
und berechne deren Flächeninhalte. Dazu musst du vorab die Länge von e
und das Maß von d bestimmen. Im Dreieck ABC erhältst du aus
e2 = a2 + b2 – 2ab · cos b den Wert e2 < 24,22 cm2 ⇒ e < 4,92 cm.
2
c

A1
a
b
b
B
2
+d –e
Im Dreieck ACD erhältst du aus cos d = c}}}} das Maß d < 118,56°.
2cd
Schließlich ist: A Viereck = A1 + A2 < 10,6749 cm2 + 3,0038 cm2 < 13,68 cm2.
Grundaufgaben
3. Berechne die Flächeninhalte auf zwei Nachkommastellen.
a) Parallelogramm mit a = 6,4 cm, b = 3,2 cm und a = 70,8°
b) Trapez (a i c) mit a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm und b = 72,4°
c) Allgemeines Viereck mit a = 6,6 cm, b = 4,4 cm, c = 2,2 cm,
a = 57° und c = 111°.
17
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B Ebene Geometrie: Vierecke und andere Figuren
3
Bogenlängen und Flächeninhalte
in Kreisausschnitten
Beispiel 1
In einem Kreisausschnitt (Kreissektor) sind der Radius r = 4,8 cm und der Mittelpunktswinkel e = 56,7° groß. Berechne die Länge des zugehörigen Kreisbogens b
und den Flächeninhalt des Ausschnitts (jeweils auf zwei Nachkommastellen).
Lösung
56,7
Teil
Der Kreisbogen des Ausschnitts ist der }} 360 ·
des zugehörigen Kreisumfangs 2pr,
Probefigur
b
A
56,7
also b = 2p · 4,8 cm · }} < 4,75 cm.
360
r
r
Entsprechend gilt für den Flächeninhalt des Kreisausschnitts:
56,7
A = p · (4,8 cm)2 · }} < 11,40 cm2.
360
«
b
Beispiel 2
In einem Kreisausschnitt ist die zugehörige
Sehne s eingezeichnet. Es gilt: s = r = 4 cm.
Berechne den Flächeninhalt A der farbig
hervorgehobenen Fläche (des Kreisabschnitts)
auf zwei Nachkommastellen.
B
A
s
r
r
«
Lösung
Wegen s = r ist das Dreieck MAB gleichseitig und damit
der Mittelpunktswinkel e = 60°. Ferner ist A = AAusschnitt – ADreieck
M
60
= p · 16 cm2 · }} – 0,5 · 4 cm · 4 cm · sin 60° < 8,38 cm2 – 6,93 cm2 = 1,45 cm2.
360
Nützlich zu wissen
Kreis:
Umfang U (oder u) = 2pr
«
Ausschnitt: Bogenlänge b = 2pr · }} 360
Flächeninhalt A = pr2
«
Flächeninhalt A = pr2 · }} 360
Grundaufgaben
4. a) Berechne die Länge des Kreisbogens und den Flächeninhalt,
wenn (1) r = 3,3 cm und e = 99,9°, (2) r = 2,22 m und e = 22,2° sind.
b) Berechne das Maß des Mittelpunktswinkels e und die Bogenlänge,
wenn A = 30 cm2 und r = 10 cm sind.
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Magenta
Yellow
4 Weiterführende Aufgaben
Weiterführende Aufgaben
A
P
r
B
r
«
(1)
M
2 cm
3 cm
Berechne die Umfänge und die
Flächeninhalte
der Figuren
(1) und (2) auf
zwei Nachkommastellen.
B
4 cm
Beispiel
4 cm
4
M
(2)
6 cm
Lösung
Berechne vorab in Figur (1) die Länge des Radius r und das Maß des
}
«
= 0,5.
Mittelpunktswinkels e. Im Dreieck MAP ist: r = Ï 5 cm und tan 1 } 22
Daraus folgt e < 53,13°.
BerechnungderUmfänge
}
53,13
In (1) gilt: Bogenlänge b1 = 2p · Ï 5 cm · }}} ⇒ b1 < 2,0735 cm.
360
Gesamter Umfang U1 = 2 cm + 2 · 4 cm + b1 < 12,07 cm
Die Figuren (2) und (1) sind ähnlich und es gilt: U2 : U1 = 3 : 2.
Daraus folgt: U2 < 18,11 cm.
BerechnungderFlächeninhalte: Berechne zunächst den Flächeninhalt A A
des Kreisabschnitts in Figur (1): A A = AAusschnitt – A Dreieck.
A
53,13
A Ausschnitt = p · 5 cm2 · }}} < 2,32 cm2; A Dreieck = 2 cm2 ⇒ A A < 0,32 cm2
360
2
3
A1 = 8 cm2 + 0,32 cm2 = 8,32 cm2; A2 = 8,32 cm2 · 1 } = 18,72 cm2
22
Nützlich zu wissen
Streckensatz ähnlicher Figuren: In ähnlichen Figuren stehen die Längen
entsprechender Strecken im gleichen Verhältnis k.
Flächensatz ähnlicher Figuren: Die Flächeninhalte ähnlicher Figuren verhalten
sich wie k2.
Grundaufgaben
5. Ein Beet hat die Form der farbigen Fläche und wird mit Blumen
bepflanzt, der Rest mit Rasen.
a) Berechne die Flächeninhalte beider Flächen.
b) Wie viele laufende Meter Kantsteine braucht man
zur Einfassung des Blumenbeets?
15 m
19
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Magenta
Yellow
B Ebene Geometrie: Vierecke und andere Figuren
Probe­Prüfungsaufgaben
B 1.0
Die Skizze zeigt eine Terrasse. Die Grundform ist ein gleichschenkliges Trapez
ABM1M2. Daran sind zwei Kreisbögen angesetzt. Die farbig unterlegten Flächen
sind Blumenbeete, die Restfläche ist mit Platten belegt. In der Wirklichkeit
}
}} }}
}} }}
gelten folgende Maße: AB = 8,00 m, BM1 = AM2 = 4,50 m, M1D = M2E = 2,00 m
und } CBA = 70°.
M2
F
A
E
D
M1
C
B
B 1.1
Zeichne den Grundriss der Terrasse mit den Beeten im Maßstab 1 : 100.
B 1.2
Bestätige, dass der Winkel DM1C 110° groß ist und berechne die Länge
der Strecke [CD].
B 1.3
Die beiden Blumenbeete sollen mit Kantsteinen eingefasst werden.
Wie viele laufende Meter Kantsteine werden gebraucht?
B 1.4
Berechne den Flächeninhalt der beiden Blumenbeete.
B 1.5
Wie viele Quadratmeter nimmt die mit Platten belegte Fläche ein?
B 1.6
Berechne den prozentualen Anteil der beiden vom Trapez abgetrennten
Dreiecke CM1D und EM2F an der Fläche des gesamten Trapezes.
20
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Cyan
Magenta
Yellow
Probe-Prüfungsaufgaben
B 2.0
In der Skizze besitzt die
Figur diese Eckpunkte.
A (– 4 | –3)
B (4 | –3)
C (4 | 3)
D (0 | 5)
E (– 4 | 3)
Der Kreisbogen unten
hat den Radius r = 5 cm.
y
5
E
D
C
3
1
−5
A
−3
r
–1
« 1
3
x
5
r
−3
B
−5
B 2.1
Bestimme das Maß des Mittelpunktswinkels e und bestätige,
dass die Länge des Bogens AB = b < 9,28 LE beträgt.
B 2.2
Bestimme die Größen der Teilflächen unterhalb und oberhalb der x-Achse in LE2.
Um wie viel Prozent ist die untere Fläche größer als die obere?
B 2.3
Bestätige, dass der Flächeninhalt der gesamten Figur angenähert 67,19 LE2
beträgt.
B 2.4
Zeichne die Figur samt Koordinatensystem in Originalgröße. Wähle den Punkt Dn
variabel mit Dn(0 | y) und y $ 0.
Bestätige, dass der Flächeninhalt der Figur ABCDnE in Abhängigkeit von y gleich
An = 47,19 LE2 + 4y LE2 beträgt.
B 2.5
Wähle y1 = 3. Zeichne die Figur ABCD1E farbig in die Zeichnung zu 2.4 ein
und berechne A1.
B 2.6
Welchen Wert muss man für y2 wählen, damit der Flächeninhalt der zugehörigen
Figur ABCD2E ein Minimum ist? Berechne A2 = A Minimum.
B 2.7
Bestimme die Koordinaten von D3 so, dass die beiden Teilflächen gleich groß
sind.
21