Komplexe Zahlen Entstehung komplexer Zahlen Entstehung

Entstehung komplexer Zahlen
Teil B:
Komplexe Zahlen
Reelle Zahlen sind Vektoren auf dem Zahlenstrahl.
Entstehung komplexer Zahlen
2,5
Kartesische Koordinaten
-4
Addition und Subtraktion
-3
-2
-1
0
1
2
Multiplikation
3
4
π
Division
-4
-3
Exponentialfunktion
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
0
1
2
3
4
-2,5
-4
-3
-2
06.002.02
06.007.31
Entstehung komplexer Zahlen
Entstehung komplexer Zahlen
An Stelle des Vorzeichens kann ein Winkel
angegeben werden:
Wert = 2,5
-4
Winkel = 0°
-3
-2
-1
0
Wert = -2,5
Betrag = 2,5
-4
-3
-2
1
Reelle Zahlen können geschrieben werden als (r,α).
Rechenregeln:
Addition: (r1, α1) + (r2, α2)
Setze Anfang von Vektor 2 auf Ende
von Vektor 1. Summenvektor beginnt
am Anfang von Vektor 1 und läuft zum
Ende von Vektor 2.
Betrag = 2,5
2
3
4
Winkel = 180°
-1
0
1
2
3
(1.5, 0°)
4
-4
06.007.32
06 / Teil B / Seite 01
-3
-2
-1
0
1
(2.5, 0°)
2(1, 180°)
3
4
06.007.33
Entstehung komplexer Zahlen
Entstehung komplexer Zahlen
Beispiele:
Reelle Zahlen können geschrieben werden als (r,α).
Aufgabe
Weitere Rechenregeln:
Subtraktion:
(r1, α1) - (r2, α2) = (r1, α1) + (r2, α2+180°)
Multiplikation: (r1, α1) * (r2, α2) = (r1 * r2, α1 + α2)
Division:
(r1, α1) / (r2, α2) = (r1 / r2, α1 - α2)
Quadrieren: (r, α)2
= (r2, 2*α)
Wurzel:
(r, α)
1+1
(1, 0°) + (1, 0°)
1-2
(1, 0°) + (2, 180°)
3*2
(3, 0°) * (2, 0°)
-3 * 2
= ( r, 0.5*α)
mit Winkel
3 * -2
-3 * -2
Ergebnis
(2, 0°)
2
(1, 180°)
-1
(6, 0°)
6
(3, 180°) * (2, 0°)
(6, 180°)
-6
(3, 0°) * (2, 180°)
(6, 180°)
-6
(3, 180°) * (2, 180°)
(6, 360°)
6
06.007.34
06.007.35
Entstehung komplexer Zahlen
Entstehung komplexer Zahlen
Beispiele:
Verabredung:
Aufgabe
mit Winkel
42
(4, 0°) * (4, 0°)
(16, 0°)
16
(-4)2
(4, 180°) * (4, 180°)
(16, 360°)
16
16
( 16, 0.5*0°)
(4, 0°)
4
16
( 16, 0.5*360°)
(4, 180°)
-4
-16
( 16, 0.5*180°)
(4, 90°)
-
Ergebnis
Zahlen der Form (r, α) heißen komplexe Zahlen.
Zahlen der Form (r, α) mit α = 0° oder α = 180°
heißen reelle Zahlen.
Zahlen der Form (r, α) mit α = 90° oder α = 270°
heißen imaginäre Zahlen.
06.007.36
06 / Teil B / Seite 02
06.007.37
Komplexe Zahlen
Bildliche Darstellung
Komplexe Zahlen
Kartesische Koordinaten
Eine komplexe Zahl (r, α) kann als Punkt einer
Ebene gezeichnet werden:
I
1
Als Punkt der Ebene kann die komplexe Zahl (r, α) auch
über kartesische Koordinaten beschrieben werden:
I
(r, α)
e
ng
r
1
Lä α
1
(r, α) = (a, b)
b
e
ng
r
Lä α
R
a
1
Die Koordinatenachsen werden mit R und I bezeichnet.
R
Zur Vereinfachung wird vereinbart:
(a, b) = a + j*b
06.007.38
06.007.39
Komplexe Zahlen
Kartesische Koordinaten
Komplexe Zahlen
Addition, Subtraktion
(r1, α1) und (r2, α2) gegeben.
Umrechnung zwischen den beiden Darstellungen:
a1 + j*b1 + a2 + j*b2
I
(r, α) = a + j*b
b
j
ge
r
n
Lä α
1
a
R
= r1*cos(α1) + j*r1*sin(α1)
+ r2*cos(α2) + j*r2*sin(α2)
a = r*cos(α)
b = r*sin(α)
= (r1*cos(α1) + r2*cos(α2))
+ j*(r1*sin(α1) + r2*sin(α2))
r = a2 + b2
α = atan(b/a)
= (a1 + a2) + j*(b1+ b2)
I
Summe
b1+b2
b2
(r2, α2)
(r1, α1)
b1
a2
a1 a1+a2 R
a1 + j*b1 - (a2 + j*b2)
= (a1 - a2) + j*(b1- b2)
06.007.40
06 / Teil B / Seite 03
06.007.41
Komplexe Zahlen
Multiplikation
(r1, α1) und (r2, α2) gegeben.
kartesische Koord.
Produkt
I
(a1 + j*b1) * (a2 + j*b2)
Komplexe Zahlen
Division
= (r1, α1) * (r2, α2)
= (r1 * r2, α1 + α2)
r2
α2
(a1 + j*b1)*(a2 - j*b2)
=
r1
α1
(r1, α1) / (r2, α2)
(a1 + j*b1) / (a2 + j*b2)
(r2, α2)
= r1*r2*cos(α1+α2)
+ j*r1*r2*sin(α1+α2)
Länge und Winkel
(a2 + j*b2)*(a2 - j*b2)
(r1, α1)
= r1*r2*cos(α1)*cos(α2)
- r1*r2*sin(α1)*sin(α2)
+ j*r1*r2*sin(α1)*cos(α2)
+ j*r1*r2*cos(α1)*sin(α2) = (a *a - b *b ) + j*(a *b + a *b )
1 2
1 2
1 1
2 2
(a1 + j*b1)*(a2 - j*b2)
=
R
=
=
(a22 + b22)
(r1, α1)*(r2, -α2)
(r2, α2)*(r2, -α2)
(r1, α1)*(r2, -α2)
(r1 * r2)
06.007.42
06.007.43
Komplexe Zahlen
e - Funktion
Komplexe Zahlen
e - Funktion
7
6
5
5
(ea, 0°)
4
3
1
-1
3
-1
-2
I
2
1
1
-1
0
ea
4
2
-2
e-Funktion
7
e-Funktion
6
0
1
-1
a +j*0
-2
ea +j*0 = ea = (ea, 0°) (reeller Fall)
1
b
1
a
a +j*b
R
ea + j*b = (ea, b*180°/π) = ea * cos(b) + j*ea * sin(b)
06.007.44
06 / Teil B / Seite 04
06.007.45