Formelsammlung TM III - FSMB
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Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Technische Mechanik III Formelsammlung TM III Wissenswertes aus den ersten Semestern Reibung Coulomb Haften: Klotz gleitet nach rechts: Klotz gleitet nach links: −µ0 FN ≤ FR ≤ µ0 FN FR = −µFN FR = µFN FN FR FR FN Seilreibung ϕ e−µ0 ϕ ≤ Haften: Seil gleitet im Uhrzeigersinn: Seil gleitet gegen den Uhrzeigersinn: F1 ≤ eµ0 ϕ F2 F2 = F1 eµϕ F2 = F1 e−µϕ F1 F2 Schwerpunkt P Massenschwerpunkt: r OS 1 = mges Z r Oi dmi ⇒ r Oi dAi ⇒ r OS = m Flächenschwerpunkt: r OS 1 = Ages Z A r OS = r Oi mi i P mi Pi r Oi Ai i P i Ai Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Formelsammlung TM III Mathematik Trigonometrische Beziehungen π (30◦ ) 6 1 √2 3 √2 3 3 0 0 1 0 sin cos tan π (45◦ ) 4 √ 2 √2 2 2 1 π (60◦ ) 3 √ 3 2 1 √2 3 sin2 α + cos2 α = 1 sin α tan α = cos α sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β π (90◦ ) 2 1 0 ±∞ Basisdrehung Darstellung eines Vektors 1 a aus Koordinatensystem 1 (Index 1) in Koordinatensystem 2: Drehmatrix: cos ϕ sin ϕ 0 y1 A21 = − sin ϕ cos ϕ 0 y2 0 0 1 x2 a=A a 2 21 1 Rücktransformation: A12 = AT21 = ϕ A−1 21 x1 z1 = z2 (Relativ-)Kinematik Ableitungen in bewegten Koordinatensystemen K d r dt ◦ = K ṙ = K ω × K r + K r dabei ist K ω = (ωx , ωy , ωz )T die Winkelgeschwindigkeit des bewegten Koordinatensystems K. Der einfache Punkt (˙) kennzeichnet die totale Ableitung nach der Zeit, der ◦ Kringel ( ) die komponentenweise Ableitung. Starrkörperformel vQ = vP + ω × rP Q ω vQ vP rP Q : : : : absolute Winkelgeschwindigkeit des Körpers Geschwindigkeit des Punktes Q Geschwindigkeit des Punktes P Vektor von Punkt P zu Punkt Q 2 vP rP Q vQ Q P ω Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Formelsammlung TM III Eindimensionale Bewegungen gegebene Funktion gesuchte Funktionen x(t) v = d2 x dt2 dv a = dt dx dt a = Z v(t) x = x0 + v dt ZZ x = x0 + v0 (t − t0 ) + a(t) dv a = v sdxZ v(x) a(x) v = t(x) v = 2 2 a (dt) a dx + v02 1 dt/dx v a = dx/dv Z v dv x = x0 + a Z dt x = x0 + v dv dv x(v) a(v) t(v) Z v = v0 + a dt Z dx t = t0 + v Z dx t = t0 + q R 2 a dx + v02 1 d 1 a = dt/dx dx dt/dx Z 1 dx t = t0 + dv v dv Z dv t = t0 + a 1 a = dt/dv Kinetik Trägheitsmomente Trägheitstensor eines Körpers K P P P θxx −θxy −θxz P P P θyy −θyz θ P = −θxy P P −θxz −θyz P θxx P θyy Z = 2 bezüglich des Punktes P P θzz 2 P θxy (y + z ) dm K Z = Z = K 2 2 P θxz (x + z ) dm Z = K P θzz Z = xy dm xz dm K 2 2 P θyz (x + y ) dm K Z = yz dm K 3 Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Massenträgheitsmomente Massenbelegung µl = Deviationsmomente m θxx = m(yS2 + zS2 ) θyy = m(zS2 + x2S ) θzz = m(x2S + yS2 ) θxy = mxS yS θyz = myS zS θzx = mzS xS m = ρAl = µl l θxx = 0 1 ml2 θyy = θzz = 12 1 θȳȳ = θz̄z̄ = 3 ml2 θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) m = 2πrµl θxx = θyy = 12 mr2 θzz = mr2 θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) θxx = 12 mr2 (1 − cos α sinα α ) θyy = 21 mr2 (1 + cos α sinα α ) θzz = mr2 θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) Punkt- und linienförmige Körper Bezeichnung Masse, Schwerpunkt y S, m yS x zS xS Punktmasse z Formelsammlung TM III ȳ y z z̄ x S xS l Dünner Balken y r z S x Dünner Kreisring y r m = 2αrµl z S 2α x xS = xS r sinα α Ringsegment ȳ b y S z 1 α a x x̄ 2 θxx = θyy = m = µl (a + b) a2 x̄S = 12 (a+b) ȳS = 2 1 b 2 (a+b) θzz = Dünner Winkel 4 m 3 4a+b 12 b (a+b)2 m 3 a+4b 12 a (a+b)2 m a4 +4a3 b+4ab3 +b4 12 (a+b)2 2 2 a b θxy = − m 4 (a+b)2 m l Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Dünne Scheiben und Schalen Bezeichnung Masse, Schwerpunkt ȳ Formelsammlung TM III Massenträgheitsmomente Massenbelegung µA = Deviationsmomente y S h x z a x̄ m = µA 21 bh x̄S = 13 (a + b) ȳS = 13 h 1 θxx = 18 mh2 1 θyy = 18 m(a2 + b2 − ab) θzz = θxx + θyy 1 mh(2a − b) θxy = 36 θyz = θzx = 0 m = µA ab x̄S = 21 a ȳS = 12 b 1 θxx = 12 mb2 1 θyy = 12 ma2 1 θzz = 12 m(a2 + b2 ) 1 θz̄z̄ = 3 m(a2 + b2 ) θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) θx̄ȳ = 41 mab θx̄z̄ = θȳz̄ = 0 θxx = 14 m(ra2 + ri2 ) θyy = θxx θzz = 21 m(ra2 + ri2 ) θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) θxx = 14 mr2 (1 − cos α sinα α ) θyy = 41 mr2 (1 + cos α sinα α ) θzz = 21 mr2 θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) b Dreieckscheibe ȳ y z b x S x̄ z̄ 0 a Rechteckscheibe y ra ri z m= x S µA π(ra2 − ri2 ) Ringscheibe y z x S 2α m = µA αr2 xS = 32 r sinα α xS Scheibensektor z r y S α x xS 0 m = 2µA πr2 (1 − cos α) 2α) xS = r(1−cos 4(1−cos α) θxx = θzz = θzz = 2 m 2 2−cos α(2+sin α) 3r 1−cos α 2 m 2 4−cos α(4−sin α) 6r 1−cos α θyy θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) Kugelschale y l x S z 1 θxx = 12 m(6r2 + l2 ) θyy = θxx θzz = mr2 m = µA 2πrl r Dünnwandiges Rohr 5 θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) m A Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Formelsammlung TM III Massendichte ρ = Homogene Vollkörper Bezeichnung Masse, Schwerpunkt Massenträgheitsmomente Deviationsmomente 1 θxx = 12 m(3r2 + l2 ) θyy = θxx θzz = 21 mr2 θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) 1 2 12 m(b 1 2 12 m(c 1 2 12 m(a θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) y l m = ρπr2 l S z x r Walze y b S θxx = θyy = θzz = m = ρabc x z + c2 ) + a2 ) + b2 ) c a Quader y r S x m = ρ 34 πr3 θxx = 25 mr2 θyy = θzz = θxx m = ρ 31 πr2 h x̄S = 34 h θxx = θyy = θzz = m = 21 ρπr2 h x̄S = 23 a θxx = 13 mr2 1 θyy = 18 m(3r2 + a2 ) θyy = θzz 1 θz̄z̄ = 18 m(3r2 + 9a2 ) θȳȳ = θz̄z̄ θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) m = ρ 34 πabc θxx = 15 m(b2 + c2 ) θyy = 15 m(c2 + a2 ) θzz = 15 m(a2 + b2 ) θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) z Kugel ȳ x̄ S y r S z̄ x z h Kreiskegel ȳ 3 2 10 mr 3 2 80 m(4r 3 2 80 m(4r + h2 ) + h2 ) θxy = θyz = θzx = 0 (Hauptachsen) y a r x S z̄ z x̄S Paraboloid y a r x S b z c Ellipsoid 6 m V Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Formelsammlung TM III Verschiebung des Bezugspunktes Sätze von Huygens-Steiner: Relativvektor zwischen Schwerpunkt S und Bezugspunkt B: r SB = (a, b, c)T S B + (b2 + c2 )m = θxx θxx B S θxy = θxy + ab m B S θyy = θyy + (a2 + c2 )m S B + ac m = θxz θxz S B + (a2 + b2 )m = θzz θzz B S θyz = θyz + bc m Impuls und Impulssatz Impuls: p = m vS Impulssatz: X ṗ = Fi i Raketengleichung: X dp = maS − v rel ṁ = Fi dt i mit: vS aS ṁ Pv rel Fi : : : : : absolute Geschwindigkeit des Schwerpunktes absolute Beschleunigung des Schwerpunktes zeitliche Änderung der Masse Relativgeschwindigkeit des Massestroms Summe aller angreifenden Kräfte Drall und Drallsatz Drall Drall eines Starrkörpers um allgemeinen Punkt P : LP = θ S ω + m (r P S × v P S ) Drall eines Starrkörpers um körperfesten Punkt (z. B. Momentanpol) K: LK = θ K ω Drall eines Starrkörpers um Schwerpunkt S: LS = θ S ω 7 Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Formelsammlung TM III Drallsatz Drallsatz für allgemeinen Bezugspunkt P : X P L̇ + m (r P S × aP ) = M Pi i Drallsatz für Schwerpunkt S als Bezugspunkt: X S L̇ = M Si i mit: LP θP ω vP S P aPP Mi : : : : : : Drall, bezogen auf den Punkt P Trägheitstensor, bezogen auf den Punkt P absolute Winkelgeschwindigkeit Differenz der absoluten Geschwindigkeiten der Punkte S und P absolute Beschleunigung des Punktes P Summe aller angreifenden Momente bzgl. P Feder und Dämpfer s FC = c(s − s0 ) FD = dṡ c s0 d mit: : : : s FC FC Federkonstante Länge der entspannten Feder Dämpferkonstante Stoßbeziehung ε=− II I vN,1 − vN,1 vrel,1 =− II I vrel,0 vN,0 − vN,0 I, II : : Bezeichner: 0 1 : zusammenstoßende Körper I und II Größen kurz vor dem Stoß Größen kurz nach dem Stoß Energiemethoden E1 + ∆E12 = E2 E =T +V Z 2 Z T ∆E12 = F dr + 1 2 M T dϕ 1 8 FD FD Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Ei ∆E12 T V mit: : : : : Formelsammlung TM III gesamte Systemenergie im Zustand i dem System zugeführte Energie zwischen 1 und 2 kinetische Energie des Systems potentielle Energie des Systems Kinetische Energie Kinetische Energie eines Starrkörpers: 1 1 m v 2P + m v TP (ω × r P S ) + ω T θ P ω 2 2 1 1 T = m v 2S + ω T θ S ω 2 2 1 T M T = ω θ ω 2 T = mit: T vP ω S M θP : : : : : : kinetische Energie des Starrkörpers absolute Geschwindigkeit des körperfesten Punktes P absolute Winkelgeschwindigkeit des Körpers Schwerpunkt Momentanpol Trägheitstensor, bezogen auf den Punkt P Lagrange II d dt T T T ∂T ∂T ∂V − + = QNK ∂ q̇ ∂q ∂q X X J Tj,R M j = J Ti,T F i + QNK j i J i,T = ∂r i ∂ ṙ i = ∂q ∂ q̇ J j,R = ∂ω j ∂ q̇ mit: T V QNK q J T,i : : : : : J R,j : Fi Mj : : gesamte kinetische Energie des Systems gesamte potentielle Energie des Systems generalisierte nichtkonservative Kräfte Vektor der generalisierten Koordinaten Jacobimatrix der Translation zur Projektion der Kraft i in den Raum generalisierter Koordinaten Jacobimatrix der Rotation zur Projektion des Momentes j in den Raum generalisierter Koordinaten angreifende nichtkonservative Kraft i angreifendes nichtkonservatives Moment j 9 Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Schwingungen mẍ + d ẋ + c x = F (t) oder gleichbedeutend: ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = F (t) m mit: δ := d , 2m ω02 := c m Homogene Lösung Exponentialansatz x(t) = Âeλt Charakteristische Gleichung λ2 + 2 δ λ + ω02 = 0 Schwingung für kleine Dämpfungen: x(t) = e−δ t (A cos(ω t) + B sin(ω t)) q ω = ω02 − δ 2 Partikuläre Lösung Für F (t) m = k cos(Ω t): xpartik. = V (Ω) cos(Ω t + ψ) mit: V (Ω) = p k (ω02 − Ω 2 )2 + 4δ 2 Ω 2 2δΩ tan(ψ(Ω)) = − 2 ω0 − Ω 2 Gesamte Lösung x(t) = xhomogen + xpartik. 10 Formelsammlung TM III
