Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. I. Gasser, Dr. H. P. Kiani
WiSe 2014/15
Differentialgleichungen I für Studierende der
Ingenieurwissenschaften
Blatt 0, Präsenzübung
Aufgabe:
Die Lage eines Schwingers (zum Beispiel eines Zylinders, befestigt an einer Feder), der sich in
einer zähen Flüssigkeit bewegt, soll durch eine mathematische Gleichung beschrieben werden.
Wir bezeichnen mit y(t) die Auslenkung aus der Ruhelage. In einem einfachen Modell wird
angenommen, dass nur
• eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft F = −D · y(t), D ≥ 0 und
• eine zur Geschwindigkeit proportionale Dämpfungskraft F̃ = −µ · y 0 (t), µ ≥ 0
auf den Kolben wirken.
Nach dem Newtonschen Gesetz der Mechanik gilt: P
Masse (m) · Beschleunigung ( y 00 (t)) =
aller einwirkenden Kräfte.
a) Durch welche Differentialgleichung wird diese gedämpfte Schwingung beschrieben?
b) Wie lautet die Differentialgleichung aus a) im ungedämpften Fall µ = 0 eines Kolbens
mit der Masse m = 50 kg wenn D = 200 N/m gilt?
(i) Zeigen Sie, dass die Funktionen c1 sin(2t)+c2 cos(2t) mit beliebigen reellen Zahlen
c1 und c2 diese Differentialgleichung lösen.
(ii) Welche Lösung(en) erhält man, wenn man die Anfangsgeschwindigkeit
y 0 (0) = 0 m/s vorgibt?
Können Sie die Position des Zylinders zu einem vorgegebenen Zeitpunkt (zum
Beispiel t = 10 ) angeben?
(iii) Welche Lösung(en) erhält man, wenn man zusätzlich die Anfangsauslenkung
y(0) = 0.5 m vorgibt?
c) Gesucht seien nun die Lösungen der Differentialgleichung
200 · y 00 (t) = − 40 · y 0 (t) − 202 · y(t) .
Bestimmen Sie mit Hilfe des Ansatzes y(t) = keλt , k, λ ∈ C konstant, Lösungen dieser
Differentialgleichung.
Differentialgleichungen I, I. Gasser, WiSe 2014/2015, Präsenzübung
2
Lösung:
a) m · y 00 (t)) = −D · y(t) − µ · y 0 (t) .
b) 50 · y 00 (t)) = −200 · y(t) ⇐⇒ y 00 (t)) = −4 · y(t) .
(i)
y(t) = c1 sin(2t) + c2 cos(2t) =⇒ y 0 (t) = 2c1 cos(2t) − 2c2 sin(2t)
=⇒ y 00 (t) = −4c1 sin(2t) − 4c2 cos(2t) = −4 · y(t) .
(ii) Die Anfangsbedingung y 0 (0) = 0 m/s liefert:
!
y 0 (0) = 2c1 cos(0) − 2c2 sin(0) = 2c1 = 0 =⇒ y(t) = c2 cos(2t) .
Nein, man kann die Position des Zylinders zu einem vorgegebenen Zeitpunkt nicht
angeben! Die Lösung ist nicht eindeutig. Das ist auch nicht zu erwarten, wenn man
nur einen Zusammenhang zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung und
die Startgeschwindigkeit kennt, aber kein Startpunkt bekannt sind.
(iii) Die zusätzliche Anfangsbedingung y(0) = 0.5 liefert:
!
y(0) = c2 cos(0) = c2 = 0.5 =⇒ y(t) =
1
cos(2t) .
2
Jetzt kann man die Auslenkung des Zylinders aus der Ruhelage zu jedem Zeitpunkt t angeben.
c) Offensichtlich ist für k = 0, y(t) = 0 eine Lösung der DGL.
Wir untersuchen nun den Fall k 6= 0 . Mit dem Ansatz erhält man
y(t) = keλt =⇒ y 0 (t) = k · λ · eλt =⇒ y 00 (t) = k · λ2 · eλt .
Dies eingesetzt in die DGL: 200 · y 00 (t) = − 40 · y 0 (t) − 202 · y(t)
ergibt
200 · k · λ2 · eλt = − 40 · k · λ · eλt − 202 · keλt ⇐⇒ 200 · λ2 = − 40 · λ − 202
2
2
101
1
2
1
1
2
·λ +
= 0 ⇐⇒ λ +
+1=0
⇐⇒ λ +
−
+
10
100
10
10
100
2
1
1
⇐⇒ λ +
= −1 ⇐⇒ λ = − ± i .
10
10
Die Funktionen
1
t
1
t
y1 (t) = k · e(− 10 +i)t = e− 10 · eit und y2 (t) = k · e(− 10 −i)t = e− 10 · e−it
k∈R
lösen die Differentialgleichung.
Hinweis für Tutoren: hier kann man eventuell schon zeigen, dass y1 ± y2
reelle Lösungen der DGL sind. Systematische Diskussion folgt später in der
Vorlesung
Bearbeitungstermine:
13.10.-17.10.2014