1. Addition vom Spin-1 und Spin

Quantenmechanik I
WS 2005/06 (Hausübung 10)
(abzugeben am Donnerstag, den 19.01.2006)
1. Addition vom Spin-1 und Spin- 12 Drehimpuls (6 Punkte)
Gegeben sei ein System, das aus einem Spin-1 und einem Spin- 12 Teilchen zusam~ 21 ,
mengesetzt ist. Verwenden Sie die Eigenzustände der Drehimpulsoperatoren S
~ 22 , S2 z
S1 z des ersten Spins und die Eigenzustände der Drehimpulsoperatoren S
des zweiten Spins als vollständige Basis. Berechnen Sie alle Eigenzustände der
~ 2 (wobei S
~ =S
~ 1+S
~ 2 ) und Sz = Sz 1 + Sz 2 in
Gesamtdrehimpulsoperatoren S
dieser Basis. Welche Symmetrie besitzen diese Zustände?
(Hinweis: Gehen Sie analog wie in der Vorlesung für zwei Spin- 12 vor, und berechnen Sie die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.)
2. Fermionen und Bosonen (insg. 6 Punkte)
Zwei Teilchen bewegen sich in einem 1D Kasten mit potentieller Energie V (x) = 0
für |x| <
a
2
und V (x) = ∞ sonst. Sie besetzen den Grundzustand und den ersten
angeregten Zustand mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
(a) (2 Punkte)
Stellen Sie die Gesamtwellenfunktion ψ(x1 , x2 ) für den Fall auf, dass (i) die
Teilchen unterscheidbar sind, (ii) es sich um ununterscheidbare (spinlose)
Fermionen handelt und (iii) es sich um ununterscheidbare (spinlose) Bosonen
handelt.
(b) (2 Punkte)
Die nachfolgenden Abbildungen zeigen von links nach rechts |ψ(x1 , x2 )|2 für
die Fälle (i)-(iii). Auf der horizontalen Achse ist die Koordinate x1 und auf
der vertikalen Achse die Koordinate x2 aufgetragen (hier: a = π). Diskutieren Sie die Unterschiede.
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
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0
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
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-1
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-1.5
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-1
-0.5
0
0.5
1
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-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
(c) (2 Punkte)
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten findet man in den drei Fällen beide Teilchen in derselben Hälfte des Kastens? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
eines der Teilchen bei x anzutreffen (ohne Berücksichtigung des zweiten Teilchens)?
3. He-Atom (insg. 7 Punkte)
Für ein Elektron mit Spin- 12 im Coulombpotential des Atomkernes betrachten wir
nur die Zustände |(n = 0)lmi |αi und |(n = 1)lmi |αi, wobei |αi den Spinanteil
beschreibt und α =↑, ↓.
(a) (1,5 Punkte)
Begründen Sie, dass untenstehende Abbildung das zugehörige Zustandsdiagramm darstellt und geben Sie die Quantenzahlen n, l, m, α für die jeweiligen
Zustände an.
E
(b) (1,5 Punkte)
Es befinden sich zwei Elektronen (zunächst ohne Wechselwirkung) im Coulombpotential des Atomkernes. Zeichnen Sie die Besetzung der Zustände für
den Grundzustand in das obige Diagramm. Berechnen Sie den Grundzustand
des Systems mit der Slaterdeterminante.
(c) (3 Punkte)
Betrachten Sie im Folgenden nur die Zustände mit l = m = 0. Falls nun
ein Elektron n = 0 hat und eines n = 1, dann gibt es vier Möglichkeiten,
die beiden (ununterscheidbaren) Elektronen auf die Zustände zu verteilen.
Zeichnen Sie diese vier Möglichkeiten jeweils in ein Zustandsdiagramm und
berechnen Sie per Slaterdeterminante die zugehörigen Zustände. Zeigen Sie,
dass deren geschickte Addition und Subtraktion auf die vier Zustände
1
1
|ψS i = √ (|000i1 |100i2 + |100i1 |000i2 ) √ (|↑i1 |↓i2 − |↓i1 |↑i2 ) ,
2
2
1
|ψT,−1 i = √ (|000i1 |100i2 − |100i1 |000i2 ) |↓i1 |↓i2 ,
2
1
1
|ψT,0 i = √ (|000i1 |100i2 − |100i1 |000i2 ) √ (|↑i1 |↓i2 + |↓i1 |↑i2 ) ,
2
2
1
|ψT,1 i = √ (|000i1 |100i2 − |100i1 |000i2 ) |↑i1 |↑i2
2
führt. Der Zustand |ψS i wird als Singulett-Zustand und |ψT,−1 i, |ψT,0 i, |ψT,1 i
werden als Triplett-Zustände bezeichnet.
(d) (1 Punkt)
Wird nur die attraktive Coulombwechselwirkung zwischen Atomkern und
den Elektronen berücksichtigt, dann haben alle obigen Zustände die gleiche
Energie. Diese Entartung wird durch die repulsive Coulombwechselwirkung
zwischen den Elektronen aufgehoben. Begründen Sie (ohne Rechnung), dass
in diesem Fall die Energie der Triplett-Zustände niedriger ist als die des
Singulett-Zustandes.
4. Hermitesche Operatoren (3* Bonuspunkte)
(a) (1* Punkt)
Der adjungierte Operator A† zu einem Operator A ist definiert durch
hψ| A† |φi = (hφ| A |ψi)∗ . Zeigen Sie, dass in einer Matrixdarstellung von
A gilt (A† )ij = (A)∗ji .
(b) (2* Punkte)
Gegeben sei ein Hamiltonoperator H =
p2
+V
2m
(x). Zeigen Sie, dass H in der
Ortsdarstellung (Hx ) reell ist, d.h. Hx∗ = Hx . Finden Sie eine Darstellung,
in der dies nicht mehr gilt, und eine Darstellung, in der Hc rein imaginär
ist, d.h. Hc∗ = −Hc .